解直角三角形是九年级上学期第二章第二节的内容，通过本节的学习，需要
掌握直角三角形中，除直角外其余五个元素之间的关系，并熟练运用锐角三角比的意义解直角三角形．难点在于，若一个三角形不是直角三角形，要有意识把它化归为解直角三角形的问题．
1、 解直角三角形
在直角三角形中，由已知元素求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形． 在t R ABC ?中，如果=90C ∠?，那么它的三条边和两个锐角之间有以下的关系： （1）三边之间的关系：
222a b c +=
（2）锐角之间的关系：
90A B ∠+∠=?
（3）边角之间的关系： sin cos a A B c ==，cos sin b
A B c ==
tan cot a A B b ==
，cot tan b A B a
== 解直角三角形
内容分析
知识结构
知识精讲
模块一：解直角三角形的基本类型
2 / 29
【例1】 在ABC ?中，已知90C ∠=?，37B ∠=?，c = 8，求这个直角三角形的其他边
和角（sin370.6?≈，cos370.8?≈，tan370.75?≈，cot370.25?≈）．
【难度】★
【答案】53A ∠=?， 4.8b =， 6.4a =．
【解析】解：90903753A B ∠=?-∠=?-?=?；
在Rt ABC △中，sin b B c =，则0.68b
=，解得： 4.8b =；
在Rt ABC △中，cos a B c =
，则0.88
a
=，解得： 6.4a =． 【总结】已知斜边和一锐角度数时，求直角边时，用锐角的正弦或余弦．
【例2】 在ABC ?中， 90C ∠=?，43A ∠=?，
b = 9，解这个直角三角形（sin430.68?≈，cos430.73?≈，tan430.93?≈，cot 43 1.07?≈）．
【难度】★
【答案】47B ∠=?，8.37a =，12.33c =．
【解析】解：90904347B A ∠=?-∠=?-?=?； 在Rt ABC △中，tan a A b =，则0.939a
=，解得：8.37a =；
在Rt ABC △中，9cos A c
=
，则0.88a
=，解得：12.33c =．
【总结】已知直角边和一锐角度数时，求直角边时用锐角的正切或余切，求斜边时用锐
角的正弦或余弦．
【例3】 在ABC ?中，已知90C ∠=?，c = 8，a = 6，求这个直角三角形的其他边和角
（利用计算器计算）．
【难度】★
【答案】27b =，48A ∠=?，42B ∠=?．
【解析】解：22228627b c a =-=-=．在Rt ABC △中，sin a A c =，则3
sin 4
A =．
利用计算器解得：48A ∠=?，90904842B A ∠=?-∠=?-?=?． 【总结】已知直角三角形的两条边，利用勾股定理求另一条边，利用锐角三角比确定锐
角的度数．
例题解析
【例4】 在ABC ?中，已知90C ∠=?，a = 7，b = 9，解这个直角三角形（利用计算器
计算）．
【难度】★
【答案】130c =，38A ∠=?，52B ∠=?． 【解析】解：222279130c a b =+=+=， 在Rt ABC △中，tan a A b =
，则7
tan 9
A =，利用计算器可得：38A ∠=?，
∴90903852B A ∠=?-∠=?-?=?．
【总结】已知直角三角形的两条边，利用勾股定理求另一条边，利用锐角三角比确定锐
角的度数．
【例5】 Rt ABC ?中，90C ∠=?，AB = 4，AC = 22，BC = ______，A ∠= ______． 【难度】★
【答案】22BC =，45A ∠=?．
【解析】解：()
2
22242222BC AB AC =-=-=．
在Rt ABC △中，cos AC A AB =，则2
cos A =，
∴45A ∠=?． 【总结】已知直角三角形的两条边，利用勾股定理求另一条边，利用锐角三角比确定锐
角的度数．
师生总结
解直角三角形的基本类型有哪些？并简述解法．
【例6】 在ABC ?
中，::2AC BC AB =，则A ∠= ______． 【难度】★ 【答案】60°．
【解析】解：设AC x =
，BC =，2AB x =， ∵222AC BC AB +=，∴ABC ?为直角三角形．
在Rt ABC △中，cos AC A AB =，则1
cos 2
A =，∴60A ∠=?．
【总结】
当已知直角三角形的三边比为2时，则这个直角三角形中的最小角为30°．
【例7】 Rt ABC ?中，90C ∠=?，60B ∠=?，AC + BC = 2，则AB 的长是______． 【难度】★★
【答案】2．
【解析】解：在Rt ABC △中，cos BC B AB =，又60B ∠=?，则1
cos 2
B =． 设B
C x =，则2AB x =
，AC =．
∵AC + BC = 2，
2x +=
．解得：1x ，
∴22AB x ==．
【总结】当直角三角形中含有30
°的锐角时，则三边比为2．
【例8】 在直角三角形中，90C ∠=?，30A B ∠-∠=?，a – b =2，a 、b 、c 是A ∠、B ∠、
C ∠所对的边，解这个直角三角形．
【难度】★★
【答案】60A ∠=?，30B ∠=?
，3a =
1b =
，2c =． 【解析】∵在Rt ABC △中，90C ∠=?， ∴+90A B ∠∠=?； 又∵30A B ∠-∠=?， ∴60A ∠=?，30B ∠=?；
在Rt ABC △中，tan b B a =
b
a
=
，即a =； ∵a – b =2，
2b -=，
∴1b =．
∴3a ==
22c b ==．
【总结】当直角三角形中含有30
°的锐角时，则三边比为2．
A B
C
D
E
【例9】 如图，Rt ABC ?中，90C ∠=?，BC = 3，AC = 4，以B 为圆心，4为半径作圆
弧交AC 边于点F ，交AB 于点E ，连接CE ，求ACE ∠的正切值．
【难度】★★
【答案】3
16
．
【解析】解：过点E 作EG ⊥AC ，交AC 于点G ．
∵GE BC ∥，∴AE AG GE
AB AC BC ==， ∴
1543
AG GE ==， ∴45AG =
，3
5
GE =，
∴416455
CG AC AG =-=-
=．
在Rt CEG △中，33
5tan 1616
5
GE ACE CG ∠===． 【总结】当所求锐角三角比的锐角不在直角三角形中时，要构造包含该锐角的直角三角 形求锐角三角比．
【例10】 如图，在Rt ABC ?中，90C ∠=?，D 是BC 中点，DE ⊥AB ，垂足为E ，tan B =
1
2，AE = 7，求DE 的长． 【难度】★★
【答案】7
3
．
【解析】解：在Rt BED ?中，1
tan 2
ED B BE ==， 设DE x =，则2BE x =，()2
22225BD DE BE x x x +=+． ∵D 是BC 中点，∴5DC x =． 在Rt ABC ?中，1
tan 2
AC B BC =
=， 1
2
25x
=
，解得：5AC x =． 在Rt ABC ?中，222AB AC BC =+， 则())(
)
2
2
2
27525x x
x +=+，
解得：73
x =
．即DE 的长为73．
【总结】当同一个锐角在不同的直角三角形中时，可多次运用此锐角的三角比，得到不
同的线段的比值．
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【例11】 在Rt ABC ?中，90C ∠=?，a 、b 、c 分别是A ∠、B ∠、C ∠的对边，解下列
直角三角形：
（1）60B ∠=?，232AC BC -=-； （2）10BC =，503
3
ABC S ?=
； 【难度】★
【答案】（1）30A ∠=?，2BC =，23AC =，4AB =；
（2）60A ∠=?，30B ∠=?，1033AC =
，20
33
AB =． 【解析】解：（1）9030A B ∠=?-∠=?．
在Rt ABC ?中，tan 3AC
B B
C ==，设BC x =，则3AC x =； ∵232AC BC -=-，∴3232x x -=-，∴2x =． ∴2BC =，323AC x ==，24AB x ==．
（2）∵503
3
ABC S ?=
，∴150323BC AC ??=
，
∴15010323AC ??=
，解得：10
33AC =；
在Rt ABC ?中，10
3
33cot 103
AC A AB ===
，则60A ∠=?． ∴906030B ∠=?-?=?，20
233
AB AC ==
． 【总结】利用特殊角30°以及60°的特殊角的锐角三角比的值解直角三角形．
模块二：解直角三角形的运用
例题解析
A
B
C
D
'D 【例12】 如图，在菱形ABCD 中，AE ⊥BC 于点E ，EC = 1，cos B =
5
13
，则这个菱形的面积是______．
【难度】★
【答案】39
16
．
【解析】解：在Rt ABE ?中，cos B =5
13
BE AB =，设5BE x =，则13AB x =．
∴
12AE x =，
∴1358EC x x x =-=．
∵EC = 1，∴81x =，解得：18
x =
．
∴39121316
ABCD S AE BC x x =?=?=
四边形． 【总结】本题主要考查锐角三角比的直接运用．
【例13】 如图，已知正方形ABCD 的边长为2，如果将线段BD 绕着点B 旋转后，点D
落在CB 的延长线上的'D 处，则tan 'BAD ∠等于（ ） A ．
1
B
C
D ．【难度】★ 【答案】B
【解析】解：∵线段BD 绕着点B 旋转后， 点D 落在CB 的延长线上的'
D 处． ∴'BD BD ==
在'Rt
ABD △
中，'tan '=
D B BAD AB ∠=． 【总结】本题一方面考查锐角三角比的意义，另一方面考查图形旋转的性质．
A
B C
D
E
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B C
D
【例14】 如图，在Rt ABC ?中，90C ∠=?，AD 是BC 边上的中线．
（1）求证：tan =2tan ADC ABC ∠∠； （2）若2BD =30B ∠=?，求AD 的长．
【难度】★
【答案】（1）证明略；（242
． 【解析】（1）证明：在Rt ABC ?中，tan CA
ABC BC
∠=； 在Rt ADC ?中，tan CA
ADC DC
∠=
． ∵AD 是BC 边上的中线，∴2BC CD =， ∴2CA CA
BC CD
?
=． ∴tan =2tan ADC ABC ∠∠．
（2）∵2BD =，AD 是BC 边上的中线， ∴222BC BD ==
在Rt ABC ?中，tan30AC BC ?=
322
=，解得：263AC ． 在Rt ADC ?中，()
2
2
2
2
2422633AD CD CA ??
++= ???
． 【总结】本题一方面考查锐角三角比的意义，一方面考查特殊角的锐角三角比的值．
【例15】 ABC ?中，=90C ∠?，85AC =，角平分线16
153
AD =解这个直角三角形． 【难度】★★
【答案】30B ∠=?，60CAB ∠=?，165AB =，815BC =
【解析】解：在Rt ADC ?中，853cos 16153
AC CAD AD ∠=
，
∴30CAD ∠=?，∵AD 平分CAB ∠，
∴60CAB ∠=?．
∴9030B CAB ∠=?-∠=?，2165AB AC == 在Rt ABC ?中，tan AC B BC =385
=，
∴815BC =
【总结】通过直角三角形中边之间的关系得到角度．
【例16】 如图，四边形ABCD 中，45A ∠=?，90C ∠=?，75ABD ∠=?，30DBC ∠=?，
AB = 2a ，求BC 的长．
【难度】★★ 2a ．
【解析】解：过B 作BE AD ⊥，垂足为E ． ∵45A ∠=?，∴45ABE ∠=?．
∵75ABD ∠=?，∴30EBD ∠=?．
在Rt ABE ?中，sin EB A AB =22EB
a
=
，∴2EB a ；
在Rt DBE ?中，cos EB DBE DB ∠=32a
，∴263DB a =．
在Rt DCB ?中，cos CB DBC DB
∠=32
63
CB a =
，∴2CB a =． 【总结】将题目中的特殊角构造到直角三角形中．
【例17】 如图，在Rt ABC ?中，90A ∠=?，AC = 2，AB = 4，ACD B ∠=∠，求cos DCB ∠． 【难度】★★
【答案】4
5
．
【解析】解：过点D 作DE BC ⊥，交BC 边于点E ． 在Rt ABC ?中，22222425BC AC AB =++= ∵ACD B ∠=∠，A A ∠=∠，∴ACD ABC △∽△．
∴AC AD DC
AB AC BC ==，即24225AD ==
∴1AD =，5CD =．
∵B B ∠=∠，BED BAC ∠=∠，∴BED BAC △∽△． ∴BE BD AB BC =，即425BE =，∴6
55BE =．
∴64
255555
EC BC BE =-=
在Rt DCE △中，4
5
45cos 55
CE DCB CD ∠===．
【总结】当所求锐角三角比的锐角不在直角三角形中时，要构造包含该锐角的直角三角 形求锐角三角比．
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【例18】 如图，在ABC ?中，AB = AC ，BD ⊥AC ，D 为垂足，且2sin 7DBC ∠=
，求BC AC
的值．
【难度】★★
【答案】4
7
．
【解析】解：过点A 作AE BC ⊥，交BC 边于点E ． ∵90C DBC ∠+∠=?，90C EAC ∠+∠=?， ∴DBC EAC ∠=∠．∴2
sin sin 7
DBC EAC ∠=∠=， 在Rt ACE △中，sin EC EAC AC ∠=
，∴
2
7
EC AC =．
∵AB AC =，AE BC ⊥， ∴2BC EC =．∴
224
277
BC CE AC AC ==?=． 【总结】善于发现题目中的条件得到相等的角，然后运用角度相等的锐角三角比值也相
等的思路去解题．
【例19】 在ABC ?中，已知D 为AB 中点，135ACB ∠=?，AC ⊥CD ，求sin A 的值． 【难度】★★ 5
． 【解析】解：过点D 作DE CD ⊥，交BC 边于点E ． ∵135ACB ∠=?，∴45DCE ∠=?． ∵DE CD ⊥，AC ⊥CD ， ∴AC DE ∥， ∴
DB ED
AB AC
=． ∵D 为AB 中点，
∴
1
2
ED AC =． 设ED x =，则CD x =，2AC x =．
在Rt ACD △中，225AD AC CD x =+，∴5
sin 5CD A AD x
=
== 【总结】1、本题还有一种辅助线的方法，如图．
2、添辅助线的原则是：
①将特殊角构造到直角三角形中； ②添加辅助线之后要能包含基本图形．
【例20】 在Rt ABC ?中，90C ∠=?，AC = BC ，AD 是BC 上的中线，求cos BAD ∠与
sin BAD ∠的值．
【难度】★★ 3
1010
10． 【解析】解：过点D 作DE AB ⊥，交AB 于点E ． 设2DB x =，则2CD x =，4AC x =． 在Rt ABC △中，2242AB AC BC x =+=， 在Rt ADC △中，2225AD AC DC x +，
在Rt BDE △中，sin DE B BD =
22DE
x =，∴2DE x =， 在Rt BDE △中，cos BE B BD =22BE
x =
，∴2BE x =，
∴42222AE AB BE x x x =-==
在Rt ADE △中，323cos 101025AE x BAD AD x ∠=
=，210
sin 25DE x BAD AD x ∠=== 【总结】当所求锐角三角比的锐角不在直角三角形中时，要构造包含该锐角的直角三角 形求锐角三角比．
【例21】 若等腰三角形两腰上的高的和等于底边上的高，求底角的余切值． 【难度】★★ 15
． 【解析】已知：如图，等腰ABC △中，AB AC =，CD AB ⊥，BE AC ⊥，AF BC ⊥．且
满足CD BE AF +=，求cot ABC ∠的值．
解：∵A A ∠=∠，AB AC =，ADC AEB ∠=∠，∴ADC AEB △≌△． ∴DC BE =． ∵CD BE AF +=， ∴2CD AF =． ∵11
22BC AF AB CD ??=??， ∴2BA BC =． 设2BC x =，则4AB x =，BF x =
在Rt ABF △中，()
2
222415AF AB BF x x x =--，
15
cot 15BF ABC AF x ∠=
== 【总结】本题是一道文字题，要根据题意先画出图形，然后再根据条件进行求解．
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【例22】 在ABC ?中，BC = 6，63AC =30A ∠=?，求AB 的长． 【难度】★★ 【答案】6或12．
【解析】解：过点C 作CD AB ⊥，交AB 于点D ．
在Rt ACD △中，sin CD
A AC =，∴1263=，∴33CD =
cos AD
A AC =
363
=，∴6AD =． 在Rt BCD △中，()
2
222633
3BD CB CD =--=，
∴11936AB AD B D =-=-=，229312AB AD B D =+=+=．
【总结】本题主要考查对题意的理解，要注意两种情况的讨论．
【例23】 在四边形ABCD 中，AB = 8，BC = 1，30BAD ∠=?，60ABC ∠=?，
四边形ABCD 的面积为53AD 的长．
【难度】★★ 【答案】3
【解析】解：延长AD 和BC 相交于点E ． ∵30BAD ∠=?，60ABC ∠=?，∴90E ∠=?．
在Rt AEB △中，sin BE A AB =，∴128BE
=，∴4BE =，3EC BE BC =-=；
∵cos AE A AB =
38
AE
=，∴43AE =． ∵四边形ABCD 的面积为53
∴11
44335322AEB EDC ABCD S S S DE =-=????=△△四边形，
∴23DE =
∴432323AD AE DE =-=
【总结】当看到30°和60°这些特殊角时，要想办法把它们构造到一个直角三角形中．
【例24】 如图，在四边形ABCD 中，90ABC ADC ∠=∠=?，120BCD ∠=?，AD = 2，
13AB =CD 的长度．
【难度】★★ 【答案】2．
【解析】解：延长AD 和BC 交于点E ． ∵120BCD ∠=?，∴60DCE ∠=．
∵90ADC ∠=?，∴30E ∠=， ∴60BAE ∠=．
在Rt ABE △中，cos AB A AE =，∴113
2+．
∴223AE =+ ∴223223DE AE AD =-=+=
在Rt CDE △中，tan DE DCE CD ∠=
23
3=2CD =． 【总结】若题目中含有120°或者150°这些角时，要想到它们的邻补角也是特殊角．
【例25】 如图，在等腰ABC ?中底边BC 的中点是点D ，底角的正切值是1
3
，将该等腰
三角形绕其腰AC 上的中点M 旋转，使旋转后的点D 与点A 重合，得到''A B C ?，如果旋转后的底边''B C 与BC 交于点N ，求ANB ∠的正切值．
【难度】★★★ 【答案】3
5
．
【解析】解：设AD a =，在Rt ADC △中，1
tan 3
AD C DC ==， ∴3DC a =，()2
222310AC AD CD a a a ++， ∵90ADC ∠=?，M 为AC 的中点，∴MDC C ∠=∠，1102DM AC =． 又∵'C C ∠=∠， ∴'MDC C ∠=∠， ∴'DN NC =．
∵M 为'DC 的中点，
∴'MN DC ⊥．
在Rt DNM △中，1tan 3MN MDN DM ∠==，∴10
MN =，
∴在Rt DNM △中，2
2
2210105
263DN DM MN a a a ????=+=+= ? ? ? ?????
， ∴
3
tan 553
AD a ANB DN a ∠=
==
．
【总结】图形旋转后大小和形状都不变．
F
E
D
C B
A
【例26】在ABC
?中，45
C
∠=?，D是AC边上的一点，且60
ADB
∠=?，AD = 2CD．求证：ADB
?∽ABC
?．（提示：
6
sin15=）．
【难度】★★★
【答案】略．
【解析】证明：分别过点A、点D作AF⊥BD于点F，
DE⊥BC于点E．
∵AD = 2CD，∴设CD x
=，则2
AD x
=．
在Rt DCE
△中，∵sin
DE
C
CD
=，且45
C
∠=?，
DE
x
=，
∴DE x
=．
∵60
ADB C DBC
∠=∠+∠=?，又45
C
∠=?，∴15
DBC
∠=?．
在Rt BDE
△中，∵sin
DE
DBE
BD
∠=，
2
DB
=
，∴1)
DB x
=．
在Rt ADF
△中，∵60
ADB
∠=?，DE⊥BC，2
AD x
=，
∴DF
x
=，AF=．
∵1)
BD DF BF x
=+=，
∴BF=．
在Rt ABF
△中，∵222
AF BF AB
+=，
∴AB．
∵
AD
AB
，
AB
AC
==，
∴
AD AB
AB AC
=．
又∵A A
∠=∠，
∴ABD ACB
△∽△．
【总结】本题综合性较强，通过添加辅助线将特殊角放入直角三角形中，并多次运用特殊角的锐角三角比的值，从而得到边长，最终得到相似．
【例27】 在ABC ?中，cos 0.8A ∠=，45B ∠=?，三角形一边上的高是3，求BC 的长． 【难度】★★★
15273218
7
．
【解析】①如图1，当△ABC 边AC 上的高3BE =时，
在Rt ABE △中，cos 0.8AE
A A
B ==， 设4AE x =，5AB x =， 则()
()2
2
22543BE AB AE x x x =--=．
∵3BE =，∴33x =，∴1x =，∴55AB x ==． 过点C 作CD AB ⊥，交AB 于点D ．
在Rt ACD △中，cos 0.8AE
A AB
==， 设5AC m =，4AD m =，则()
()2
2
22543CD CA AD m m m =--；
在Rt BCD △中，tan 1CD
CBA BD
∠==，则3BD m =． ∴435m m +=，∴57
m =
．∴()
()2
2
2215
3327
BC CD BD m m =++ ②如图2所示，当△ABC 边AB 上的高3CF =时． ∵45B ∠=?，CF BF ⊥， ∴==3CF BF ，
∴=32BC ．
③如图3，当△ABC 边BC 上的高3AG =时． 在Rt ABG △中，2sin 2AG B AB =
=， ∴32
2
AB =
， ∴32AB =
过点C 作CH AB ⊥，交AB 于点H ． 在Rt ACH △中，cos 0.8AH
A AC
==， 设5AC a =，4AD a =，则()
()2
2
22543CH CA AH a a a =-=-；
在Rt BCH △中，tan 1CH
B BH
==，则3BH a =．
∴4332a a +=，∴3
27
a =
()
()2
2
2218337
BC CH BH a a ++． 【总结】由于本题没有说明是哪条边上的高，因此要注意分类讨论．
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【例28】 在正方形ABCD 中，N 是DC 的中点，M 是AD 上异于D 的点，且NMB MBC ∠=∠，
求tan ABM ∠的值．
【难度】★★★
【答案】1
3
．
【解析】解：延长MN BC 、交于点E ，过B 作BF MN ⊥． ∵AD BC ∥，
∴AMB MBC ∠=∠． ∵NMB MBC ∠=∠， ∴BMN AMB ∠=∠． ∵MBC NMB ∠=∠， ∴ME BE =．
设正方形的边长为1，MD x =，则1AM x =-． ∵MD CE ∥， ∴DN MD
NC CE =． ∵N 是DC 的中点， ∴CE MD x ==．
∵AMB BMN ∠=∠，A BFM ∠=∠，BM BM =，
∴AMB FMB △≌△． ∴1MF x =-，1BF =，
∴()112EF ME MF EB MF x x x =-=-=+--=． 在Rt AEF △中， ∵222BF EF BE +=，
∴()()2
2
2121x x +=+，解得23
x =．
∴在Rt ABM △中，11
tan 13
AM x ABM AB -∠=
==． 【总结】本题主要是根据题目条件，构造等腰三角形和直角三角形．
F D
E
B
A
【例29】 如图，在ABC ?中，120B ∠=? D 、E 分别是AC 、AB 上的点，AC = 7，
60EDC ∠=?，AE = BC
，sin A =DEBC S 四边形．
【难度】★★★
．
【解析】解：过点E 作EF ⊥AC ，交AC 于点F ． 设AE BC x ==．
在Rt AFE △
中，sin EF A AE =
=
∴EF
，1314
AF x =．
在Rt DFE △中，cot DF CDE EF
∠=，
3
DF
=
， ∴3
14
DF x =
， 3
27
DE DF x ==
． ∵A A ∠=∠，ADE B ∠=∠，
∴ADE ABC △∽△，∴AE DE
AC BC =， ∴377x
x x
=，∴3x =． ∵ADE ABC △∽△，
∴2
2
39749
ADE ABC S AE S AC ????
=== ? ?
????△△． ∵ABC ADE DEBC S S S =+△△四边形， ∴
9
40
ADE DEBC
S S =△四边形．
∵11133221414ADE S AD EF x x ??=??=?-= ???△
∴404099ADE DEBC S S =
==△四边形 【总结】本题的综合性比较强，当题目中已知锐角的三角比，但是并没有直角三角形时， 要通过添加辅助线构造包含该锐角的直角三角形，另外本题还考查了相似的性质，
将面积问题转化成了相似比的平方的问题．
18 / 29
【例30】 如图，在Rt ABC ?中，90C ∠=?，
sin B = 35
，点D 在BC 边上，且45ADC ∠=?，DC = 6，求BAD ∠的正切值．
【难度】★★★
【答案】1
7
．
【解析】解：过点D 作DE AB ⊥，交AB 于点E ． ∵90C ∠=?，45ADC ∠=?， ∴6CD AC ==． 在Rt ABC △中，sin AC
B AB
=， ∴
365AB
=， ∴10AB =，
∴228BC AB AC =-=，862BD BC CD =-=-=． 在Rt BDE △中，sin DE
B DB
=， ∴
325DE
=，
∴65
DE =
，
∴2
2
2
2
68255BE BD ED ??
=-- ???，
∴842
1055
AE AB BE =-=-
=，
∴在Rt AED △中，61
5tan 427
5
ED BAD AE ∠=
==． 【总结】已知三角形的三条边长，求任意一边上的高时，可采用勾股定理进行计算，也
可采用面积法．
A
B
C
H
【习题1】
在t R ABC ?中，90C ∠=?，下列条件中不能解直角三角形的是（ ） A ．已知c 和b
B ．已知a 和A ∠
C ．已知A ∠和B ∠
D ．已知a 和b
【难度】★ 【答案】C
【解析】两角只能确定三角形的形状，不能确定三角形的大小．
【习题2】
等腰三角形底边长为10厘米，周长为36厘米，则底角的余弦等于（ ）
A ．513
B ．1213
C ．1013
D ．512
【难度】★ 【答案】A
【解析】等腰△ABC 中，AB AC =，10BC =，△ABC 的周长为36，求cos B ． ∵AB AC =，10BC =，△ABC 的周长为36， ∴13AB AC ==．
过A 作AD BC ⊥，则5BD =，
在Rt ABD △中，5
cos 12
BE B AB =
=． 【总结】本题主要考查等腰三角形的性质和锐角三角比的意义．
【习题3】
如图，在ABC ?中，高CH 是边AB 的一半，且=75B ∠?，求A ∠的度数
（tan 75=2+3?）．
【难度】★★ 【答案】30°．
【解析】在Rt BCH △中，tan 23CH
B HB
==+， 设HB x =，则()23CH x =+．∵高CH 是边AB 的一半， ∴()
423AB x =+．
∴()()
423323AH AB HB x x x =-=+-=+，
在Rt ACH △中，()()
233tan 3323x CH A HA x
+===+，∴30A ∠=?． 【总结】本题主要考查特殊角的锐角三角比的值．
随堂检测
C
B
A
A
B
C
D F
G
【习题4】等腰三角形ABC
的周长为4+AB = AC，30
B
∠=?，求三角形的三边长．
【难度】★★
【答案】2
AB AC
==
，BC=．
【解析】过点A作AD BC
⊥，交BC边于点D．
设AD x
=，则2
AB x
=
，BD．
∵等腰三角形ABC
的周长为4+
∴224
x x
++=+，解得：1
x=．∴2
AB AC
==
，BC=．
【总结】本题主要考查等腰三角形的性质和特殊角的锐角三角比的值．
【习题5】如图，90
C
∠=?，30
A
∠=?，AC = 6，点G是的重心，GF // BC，求GF 的长．
【难度】★★
【解析】在Rt ABC
△中，
∵30
A
∠=?，
∴tan
CB
A
AC
==
∵AC = 6，
∴CB=
∵点G是的重心，GF // BC，∴
1
3
GF DG
BC DB
==，
∴
1
3
GF BC
==
【总结】本题一方面考查了重心定理，一方面考查了特殊角的锐角三角比的值．
九年级数学下册位似同步练习3新人教 版 专题一 开放探究题 1．在如图所示的方格纸中（每个小方格的边长都是1个单位）有一点O 和△ABC. (1)请以点O 为位似中心,把△ABC 缩小为原来的一半（不改变方向）,得到△C B A '''； (2)请用适当的方式描述△C B A '''的顶点C B A ''',,的位置. 专题二 实际应用题 2．如图,位似图形由三角尺与其灯光照射下的中心投影组成,相似比为2：5,且三角尺的一 边长为8cm,则投影三角形的对应边长为( ) A.8 cm B.20 cm C.3.2 cm D.10 cm 3．如图,印刷一张矩形的张贴广告,它的印刷面积是32 dm 2,两边空白各0.5 dm,上下空白各 1 dm,设印刷部分从上到下长是x dm,四周空白的面积为S dm 2. (1)求S 与x 的关系式； (2)当要求四周空白处的面积为18 dm 2时,求用来印刷这张广告的纸张的长和宽各是多 少? (3)在(2)问的条件下,内外两个矩形是位似图形吗?为什么?
专题三 一题多变题 4．已知五边形ABCDE 与五边形A′B′C′D′E′是位似图形,O 是位似中心,OD ∶OD ′=2∶3,如图所示,求S 五边形ABCDE 与S 五边形A′B′C′D′E′之比是多少？ （1）一变：若已知条件不变,五边形ABCDE 的周长为32 cm,求五边形A′B′C′D′E′的周长； （2）二变：已知条件不变,试判断△ODE 与△OD′E′是位似图形吗？ 专题四 阅读理解题 5．阅读下面材料：“如果两个三角形不仅是相似三角形,而且每组对应点所在的直线都经过同一个点,那么这两个三角形叫做位似三角形,它们的相似比又称为位似比,这个点叫做位似中心．利用三角形的位似可以将一个三角形缩小或放大．” （1）选择：如图1,点O 是等边△PQR 的中心,P′· Q′·R′分别是OP ·OQ ·OR 的中点,则△P′Q′R ′与△PQR 是位似三角形,此时,△P′Q′R′与△PQR 的位似比·位似中心分别为( ) A ．2,点P B ．12 ,点P C ．2,点O D ．12 ,点O （2）如图2,用下面的方法可以画△AOB 的内接等边三角形,阅读后证明相应的问题的画法： ①在△AOB 内画等边△CDE ,使点C 在OA 上,点D 在OB 上, ②连结OE 并延长交AB 于点E ′,过点E ′作E ′C′∥EC ,交OA 于点C′,过点E ′作E ′D′∥ED 交OB 于点D′； ③连结C′D′,则△C′D′E′是△AOB 的内接三角形,求证：△C′D′E′是等边三角形．
九年级数学教师的工作总结 九年级数学教师的工作总结 九年级数学教师的工作总结1 一学期来，本人担任初三年级1、2班的数学教学，在教学期间认真备课、上课、听课、评课，及时批改作业、讲评作业，做好课后辅导工作，广泛涉猎各种知识，不断提高自己的业务水平，充实自己的头脑，形成比较完整的知识结构，严格要求学生，尊重学生，发扬教学民主，教育民主，使学生学有所得，学有所用，不断提高，从而不断提高自己的教学水平和思想觉悟，并顺利完成教育教学任务。立足现在，放眼未来，为使今后的工作取得更大的进步不断努力，现对近年来教学工作作出总结，希望能发扬优点，克服不足，总结检验教训，继往开来，以促进教学工作更上一层楼。 一、坚持认真备课 备课中我不仅备学生而且备教材备教法，根据教材内容及学生的实际，设计课的类型，拟定采用的教学方法，并对教学过程的程序及时间安排都作了详细的记录，认真写好教案。每一课都做到“有备而来”，每堂课都在课前做好充分的准备，并制作各种利于吸引学生注意力的有趣教具，课后及时对该课作出总结，写好教学小记。 二、努力增强我的上课技能 提高教学质量，使讲解清晰化，条理化，准确化，条理化，准确化，情感化，生动化，做到线索清晰，层次分明，言简意赅，深入浅
出。 在课堂上特别注意调动学生的积极性，加强师生交流，充分体现学生的主作用，让学生学得容易，学得轻松，学得愉快；注意精讲精练，在课堂上老师讲得尽量少，学生动口动手动脑尽量多；同时在每一堂课上都充分考虑每一个层次的学生学习需求和学习能力，让各个层次的学生都得到提高。现在学生普遍反映喜欢上数学课，就连以前极讨厌数学的学生都乐于上课了。 三、与同事交流，虚心请教其他老师 在教学上，有疑必问。在各个章节的学习上都积极征求其他老师的意见，学习他们的方法，同时，多听老师的课，做到边听边讲，学习别人的优点，克服自己的不足，并常常邀请其他老师来听课，征求他们的意见，改进工作。 四、完善批改作业 布置作业做到精读精练。有针对性，有层次性。为了做到这点，我常常到各大书店去搜集资料，对各种辅助资料进行筛选，力求每一次练习都起到最大的效果。同时对学生的作业批改及时、认真，分析并记录学生的作业情况，将他们在作业过程出现的问题作出分类总结，进行透切的评讲，并针对有关情况及时改进教学方法，做到有的放矢。 五、做好课后辅导工作，注意分层教学 在课后，为不同层次的学生进行相应的辅导，以满足不同层次的学生的需求，避免了一刀切的弊端，同时加大了后进生的辅导力度。对后进生的'辅导，并不限于学习知识性的辅导，更重要的是学习思
解直角三角形 第02课 三角函数综合应用 锐角三角函数的增减性：当角度在0°~90°之间变化时， （1）正弦值随着角度的增大（或减小）而 （或 ） （2）余弦值随着角度的增大（或减小）而 （或 ） （3）正切值随着角度的增大（或减小）而 （或 ） 仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。 坡度：坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度(坡比)。用字母i 表示，即h i l = 。坡度一般写成1:m 的形式，把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角)，那么tan h i l α==。 例1.求下列各函数值,并把它们按从小到大的顺序用“<”连接： (1)0041sin 37sin 与 (2)0041cos 37cos 与 (3)0041tan 37tan 与 (4)0041cos 37sin 与 例2.如图，将正方形ABCD 的边BC 延长到点E,使CE=AC,AE 与CD 相交于点F .求∠E 的正切值. 例3.一个小孩荡秋千,秋千链子的长度为2.5 m,当秋千向两边摆动时,摆角恰好为600 ，且两边的摆动角度相同,求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差.
例4.如图为住宅区内的两幢楼,它们的高AB=CD=30m,两楼问的距离AC=24m，现需了解甲楼对乙楼的采光影响情况.当太阳光与水平线的夹角为300时，求甲楼的影子在乙楼上有多高?(精确到0.1m， 2= ≈，) 41 .1 73 .1 3 例5.如图,身高1.5m的小丽用一个两锐角分别是30o和60o 的三角尺测量一棵树的高度.已知她与树之间的距离为5m,那么这棵树大约有多高? 例6.△ABC中,∠A、∠B均为锐角,且0 )3 -A B,试确定△ABC的形状. - + tan2= 2( sin 3 例7.如图,城市规划期间,要拆除一电线杆AB,已知距电线杆水平距离14米的D处有一大坝，背水坡的坡度i=2:1,坝高CF为2米,在坝顶C处测得杆顶A的仰角为300，D、E之间是宽为2米的人行道.请问：在拆除电线杆AB时,为确保行人安全,是否需要将此人行道封上?请说明理由.(在地面上，以点B为圆心，以AB长为半径的圆形区域为危险区域)
1中考第一轮复习 三角形 中考大纲剖析 本讲结构 1
2 一、等腰三角形 二、直角三角形 1．直角三角形的边角关系． ①．直角三角形的两锐角互余． ②．三边满足勾股定理． ③．边角间满足锐角三角函数． 2．特殊直角三角形 知识导航
3 三.尺规构造等腰三角形和直角三角形 四.全等三角形 全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等． 全等三角形的判定：⑴SSS；⑵SAS；⑶ASA；⑷AAS；⑸HL． 在证明图形的线或角关系时，通常需要将全等与图形变换（旋转、平移、轴对称等）相结合. 五.相似三角形 相似三角形的性质： ⑴相似三角形的对应角相等，对应边成比例，其比值称为相似比． 3
4 ⑵ 相似三角形对应高的比等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方． 相似三角形的判定： ⑴ 平行于三角形一边的直线，截其他两边所得的三角形与原三角形相似； ⑵ 两角对应相等，两三角形相似； ⑶ 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似； ⑷ 三边对应成比例，两三角形相似． 相似三角形的基本模型： (1)E D C B A (3)E D C B A (4) D C B A D C B A (6) E D C B A (2)E D C B A (5) E D C B A （10） （9） （8） A B D E A B C D E E D B A 【编写思路】由于三角形的知识点非常多，本讲只针对三角形中的重要考点来编写的，侧重于等腰三角形、直角三角形、全等三角形和相似三角形，由于相似三角形在中考中考察的分值较少，而且简单，所以本讲也只是针对相似中的重要模型进行复习，不对学生做太高要求. 另外，我们在每一讲中，针对当前考试的热点和难点，设计一种“系列探究”， 使得每一讲有一个复习亮点，为我们第一轮复习锦上添花.本讲的探究是：由“直角三角形斜边中线”引发的“几何最值问题”. 【例1】 （1）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A 、B 是 两格点，如果C 也是图中的格点，且使得ABC △为等腰三角形，则点C 的 个数是（ ） A.6 B.7 C.8 D.9 （2）在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(4)，0，点B 的坐标为(410)，，点C 在y 轴上，且ABC △ 是直角三角形，则满足条件的C 点的坐标为 ． （2010顺义一模） （3）已知：如图，在ABC △中，B ACB ∠=∠， 点D 在AB 边上，点 E 在AC 边的延长线上，且BD CE =， 连接DE 交BC 于F ． 求证：DF EF =． （2012海淀期中） 模块一 特殊三角形 夯实基础 A C F E D B
27．1 图形的相似 知识点1 相似图形 1．下列选项中，哪个才是相似图形的本质属性() A．大小不同B．大小相同 C．形状相同 D．形状不同 2．下列各组图形相似的是() 知识点2 比例线段 3．下列各线段的长度成比例的是() A．2 cm，5 cm，6 cm，8 cm B．1 cm，2 cm，3 cm，4 cm C．3 cm，6 cm，7 cm，9 cm D．3 cm，6 cm，9 cm，18 cm 4．在比例尺为1∶40 000的地图上，某条道路的长为7 cm，则该道路的实际长度是km. 知识点3 相似多边形 5．两个相似多边形一组对应边分别为3 cm，4.5 cm，那么它们的相似比为() A.2 3 B. 3 2 C. 4 9 D. 9 4 6．要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为 5 cm，6 cm和9 cm，另一个三角形的最短边长为2.5 cm，则它的最长边长为()
A．3 cm B．4 cm C．4.5 cm D．5 cm 7．如下的各组多边形中，相似的是() A．(1)(2)(3) B．(2)(3) C．(1)(3) D．(1)(2) 8．在一张复印出来的纸上，一个多边形的一条边由原图中的2 cm变成了6 cm，这次复印的放缩比例是． 9．如图所示是两个相似四边形，求边x、y的长和α的大小． 10．已知三条线段的长分别为1 cm、2 cm、 2 cm，如果另外一条线段与它们是成比例线段，那么另外一条线段的长为 . 11．下列说法： ①放大(或缩小)的图片与原图片是相似图形； ②比例尺不同的中国地图是相似图形； ③放大镜下的五角星与原来的五角星是相似图形；
九年级数学2020年教学工作总结 一学期的时光转瞬即逝，本学期的教学工作即将落下帷幕。一学期以来，我担任九年级的数学教学工作，在教学的各方面严格要求自己，为了明年的教学工作做得更好，做得更出色，为了能在以后的工作中更好的发挥自己的优势，及时总结经验，吸取教训，现将一学期的工作总结如下： 教学工作是学校各项工作的中心，我在坚持抓好新课程理念学习和应用的同时，充分运用学校现有的教育教学资源，坚持备好每节课，上好每一堂课。 平时认真研究教材，多方参阅各种资料，力求深入理解教材，准确把握难重点。在制定教学目的时，非常注意学生的实际情况。 2 、注重课堂教学效果 针对九年级学生特点，坚持学生为主体，教师为主导、教学为主线，注重讲练结合。在教学中注意抓住重点，突破难点，做到讲解清晰化，准确化，条理化，情感化，生动化，做到线索清晰，层次分明，言简意赅，深入浅出。在课堂上特别注意调动学生的积极性，加强师生交流，充分体现学生的主观能动作用，让学生学得容易，学得轻松，学得愉快;注意精讲精练，在课堂上老师尽量讲得
少，学生动口动手动脑尽量多;同时在每一堂课上都充分考虑每一个层次的学生学习需求和学习能力，让各个层次的学生都得到提高。 在教学上，有疑必问。在各个章节的学习上都积极征求其他老师___，学习他们的方法. 在作业批改上，认真及时，力求做到全批全改，分析并记录学生的作业情况，将他们在作业过程出现的问题作出分类总结.，以便在辅导中做到有的放矢。 在课后，为不同层次的学生进行相应的辅导，以满足不同层次的学生的需求，避免了一刀切的弊端，同时加大了后进生的辅导力度。对后进生的辅导，并不限于学习知识性的辅导，更重要的是学习思想的辅导，要提高后进生的成绩。 模板,内容仅供参考
解直角三角形及其应用 一、选择题 1.如图,一个斜坡长130m,坡顶离水平地面的距离为50m,那么这个斜坡与水平地面夹角的正切值等于( ) A. 13 5 B. 13 12 C. 12 5 D. 12 13 第1题图第2题图 2.如图,在5x4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1,△ABC的顶点都在这些小正方形的顶 点上，则sin∠BAC的值为( ) A. 3 4 B. 4 3 C. 5 3 D. 5 4 3.将一张矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，使顶点C落在点C'处，其中AB=4,若∠C'ED=30°, 则折痕ED的长为( ) A.4 B.3 4 C.8 D.5 5 4.在Rt△ABC中，∠C= 90°，若AB=4，sinA= 5 3 ，则斜边上的高等于( ) A. 25 64 B. 25 48 C. 5 16 D. 5 12 5.如图，在△ABC中,AC⊥BC,∠ABC= 30°，点D是CB延长线上的一点，且BD=BA,则tan∠DAC 的值为( ) A.3 2+ B.3 2 C.3 3+ D.3 3 第3题图第5题图第6题图 6.如图所示，某地修建高速公路，要从A地向B地修条隧道(点A,B在同一近水平面上).为了测量 A,B两地之间的距离，一架直升飞机从A地出发,垂直上升800米到达C处,在C处观察B地的俯 角为α,则A,B两地之间的距离为( ) A.800sinα米 B.800tanα米 C. α sin 800 米 D. α tan 800 米 7.如图, 在矩形ABCD中,DE⊥AC于点E，设∠ADE=α,且cosα= 5 3 ,AB=4,则AD的长为( ) A.3 B. 3 16 C. 3 20 D. 5 16 8.如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC=α，∠ADC=β ,则竹竿AB与AD的长度 之比为( ) A. β α tan tan B. α β sin sin C. β α sin sin D. α β cos cos 第7题图第8题图 9.在△ABC中，AC=8,∠ABC= 60°，∠C = 45°,AD⊥BC，垂足为D,∠ABC的平分线交AD于点 E,则AE的长为( ) A. 3 2 4 B.2 2 C. 3 2 8 D.2 3 10.如图所示，为了测量山坡护坡石坝的坡度(坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度)，把一根长 5 m的竹竿AC斜靠在石坝旁，量出杆长1 m处的D点离地面的高度DE=0. 6 m,又量得杆底与坝脚 的距离AB=3m,则石坝的坡度为( ) A. 4 3 B.3 C. 5 3 D.4 第9题图第10题图
内容 基本要求 略高要求 较高要求 勾股定理及逆定理 已知直角三角形两边长，求第三条边 会用勾股定理解决简单问题；会用勾股定理的逆定理判定三角形是否为直角三角形 会运用勾股定理解决有关的实际问 题。 解直角三角形 知道解直角三角形的含义 会解直角三角形；能根据问题的需要添加辅助线构造直角三角形；会解由两个特殊直角三角形构成的组合图形的问题 能综合运用直角三角形的性质解决有关问题 锐角三角函数 了解锐角三角函数（正弦、余弦、正切、余切），知道特殊角的三 角函数值 由某个角的一个三角函数值，会求这个角其余两个三角函数值；会求含有特殊角的三角函数值的计算 能用三角函数解决与直角三角形有关的简单问题 模块一、勾股定理 1．勾股定理的内容：如果直角三角形的两直角边分别是a 、b ，斜边为c ，那么a 2＋b 2＝c 2．即直角三 角形中两直角边的平方和等于斜边的平方。 注：勾——最短的边、股——较长的直角边、 弦——斜边。 知识点睛 中考要求 解直角三角形
C A B c b a 如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。即 222,,ABC AC BC AB ABC ?+=?在中如果那么是直角三角形。 4．勾股数： 满足a 2 +b 2=c 2的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数．常用勾股数：3、4、5； 5、12、13；7、24、25；8、15、17。 模块二、解直角三角形 一、解直角三角形的概念
根据直角三角形中已知的量（边、角）来求解未知的量（边、角）的过程就是解直角三角形． 二、直角三角形的边角关系 如图，直角三角形的边角关系可以从以下几个方面加以归纳： c b a C B A （1）三边之间的关系：222a b c += (勾股定理) （2）锐角之间的关系：90A B ∠+∠=? （3）边角之间的关系：sin cos ,cos sin ,tan a b a A B A B A c c b ===== 三、 解直角三角形的四种基本类型 （1）已知斜边和一直角边(如斜边c ，直角边a )，由sin a A c = 求出A ∠，则90B A ∠=?-∠， b =； （2）已知斜边和一锐角(如斜边 c ，锐角A )，求出90B A ∠=?-∠，sin a c A =，cos b c A =； （3）已知一直角边和一锐角(如a 和锐角A )，求出90B A ∠=?-∠，tan b a B =，sin a c A =； （4）已知两直角边(如a 和b ) ，求出c =tan a A b =，得90B A ∠=?-∠． 具体解题时要善于选用公式及其变式，如sin a A c =可写成sin a c A =，sin a c A =等． 四、解直角三角形的方法 解直角三角形的方法可概括为：“有斜(斜边)用弦(正弦，余弦)，无斜用切(正切，余切)，宁乘毋除，取原避中”．这几句话的意思是：当已知或求解中有斜边时，就用正弦或余弦；无斜边时，就用正切或余切； 当所求的元素既可用乘法又可用除法时，则用乘法，不用除法；既可由已知数据又可用中间数据求得时，则用原始数据，尽量避免用中间数据． 五、解直角三角形的技巧及注意点 在Rt ABC ?中，90A B ∠+∠=?，故sin cos(90)cos A A B =?-=，cos sin A B =．利用这些关系式，可在解题时进行等量代换，以方便解题． 六、如何解直角三角形的非基本类型的题型 对解直角三角形的非基本类型的题型，通常是已知一边长及一锐角三角函数值，可通过解方程(组)来转化为四种基本类型求解； （1）如果有些问题一时难以确定解答方式，可以依据题意画图帮助分析；
26.1.1反比例函数 知识要点基础练 知识点1反比例函数的定义 1.下列函数中,表示y是x的反比例函数的是( B ) B.y= A.y= - C.y=2x D.y= 2.( 合肥包河区期末 )如果函数y=x2m+3为反比例函数,则m的值是-2. 【变式拓展】当a=时,函数y=( 2a-1 )-是反比例函数.( A ) A.-1或1 B.小于的任意实数 C.-1 D.1 知识点2确定反比例函数的解析式 3.反比例函数y=-中常数k的值为( D ) A.-3 B.2 C.- D.- 4.( 改编 )某蓄水池的排水管的排水量为平均每小时8立方米,6小时可以将满池水全部排空.现在排水量为平均每小时Q立方米,将满池水排空所需要的时间为t小时,那么时间t( 小时 )与Q( 立方米 )之间的函数解析式为t=. 5.已知y是x的反比例函数,且当x=-2时,y=3. ( 1 )求该函数的解析式; ( 2 )当y=2时,求x的值. 解:( 1 )该函数的解析式为y=-. ( 2 )x=-3. 知识点3识别实际问题中变量的反比例函数关系 6.下列关系中,两个变量之间为反比例函数关系的是( D ) A.长40米的绳子减去x米,还剩y米 B.买单价为3元的笔记本x本,花了y元
C.正方形的面积为S,边长为a D.菱形的面积为20,对角线的长分别为x,y 7.( 教材P3练习题第1题变式 )写出下列问题中两个变量之间的函数解析式,并判断其是否为反比例函数. ( 1 )底边为3的三角形的面积y随底边上的高x的变化而变化; ( 2 )一艘轮船从相距s的甲地驶往乙地,轮船的速度v与航行时间t的关系; ( 3 )在检修100 m长的管道时,每天能完成10 m,剩下未检修的管道长y( 单位:m )随检修天数x的变化而变化. 解:( 1 )函数解析式为y=x,不是反比例函数. ( 2 )函数解析式为v=,是反比例函数. ( 3 )函数解析式为y=100-10x,不是反比例函数. 综合能力提升练 8.( 柳州中考 )已知反比例函数的解析式为y=-,则a的取值范围是( C ) A.a≠2 B.a≠-2 C.a≠±2 D.a=±2 9.某圆锥的体积为V,则圆锥的高h是底面积S的( B ) A.正比例函数 B.反比例函数 C.一次函数 D.无法确定 10.已知y与x2成反比例,且当x=-2时,y=2,那么当x=4时,y的值是( C ) A.-2 B.2 C. D.-4 11.下列函数:①y=x-2;②y=;③y=x-1;④y=,其中y是x的反比例函数的有( B ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 12.若y与x成反比例关系,x与成反比例关系,则y与z成( B ) A.正比例关系 B.反比例关系 C.一次函数关系 D.不能确定 【变式拓展】若与y成反比例关系,与z成正比例关系,则x与( A ) A.成正比例关系 B.成反比例关系
九年级数学教师年度考核总结在这一年里，我思考的主要是教学总结，改进的问题。我想对于老教师的经验的借鉴在这个方面显得尤为重要。 在此我要感谢一年来一直帮助我、关心我的老教师们。从他们的经验中我体会到数学的核心——问题;总结出解决问题的途径——问的是什么、有什么、还有什么、是什么;教会学生如何去学习—勤于思考、善于提问、解决问题。 数学问题成为数学教学创新的载体。 1.在引入新概念时，把相关的旧概念联系起来，确立信任学生的观念，大胆放手让学生把某种情境用数学方法加以表征;在形成概念时，留给学生充足的思维空间，多角度、全方位地提出有价值的问题，让学生思考;指导学生自主地建构新概念。在辨识概念时，鼓励学生质疑。宋代有一位教育家说过：“读书无疑者，须教有疑。有疑者却要无疑，到这里方是长进。”从学生的角度看，学贵有疑是学习进步的标志，也是创新的开始。 2.在学习数学定理、公式、方法时，离不开对命题的证明，应当改变传统的分为“展示定理、推证定理、应用定理”简单三步的模式，而结合实际情况，在证明命题前为学生创设认知冲突的疑惑情境。经过一段训练后，学生便能清楚什么是数学证明，什么不是。并且知道数学证明的价值及其局限性。
3.在解题教学时，改变传统的解题训练多而杂的做法。加强目的性。注意渗透解题策略。因为策略往往是不容易为学生掌握的。注意解题训练的坡度和难度。如果解题训练有一个坡度，可以使学生循序渐进从易到难，完成一个小题，相当上了一个台阶，完成了最后一题，好像登上了山顶，回首俯望，小山连绵，喜悦之心，不禁而生。如果题组没有难度，学生不可能有疑，重重复复会令人乏味。反之，设置一定陷阱、难度，学生经过探索、推敲，把疑难解决了，既巩固了基础，又实现了从有疑到无疑的飞跃，体验到解题的劳动价值。 我想要做到上述三个方面，必须改变传统的单一的“传授——接受”的教学模式，在课堂教学中，首先要营造平等、相互接纳的和谐气氛，要及时提出具挑战性的新问题，这些问题要具思维价值，并为创新做出示范。并能激发学生积极参与课堂教学活动。要留给学生思维的空间，同时要鼓励学生提出不同的想法和问题，提倡课堂师生的交流和学生与学生间的交流，因为交流可令学生积极投入和充分参与课堂教学活动。通过交流，不断进行教学信息的交换、反馈、反思，概括和总结数学思想方法。在交流中，作为老师耐心倾听学生提出的问题，并从中捕捉有价值的问题，展开课堂讨论，并适时做出恰当的评价，使班集体成为一个学习的共同体，共同分享学习的成果。善于与他人对话、协调，自尊与尊重
龙文教育学科教师辅导讲义 课题九（下）第一章、解直角三角形 教学目标 1、掌握解直角三角形，并能根据题意把实际问题中的已知条件和未知元素，化归到某个直角 三角形中加以解决。会把实际问题转化为含有直角三角形的数学问题，并能给予解决。 2、通过问题探究和解决，丰富对现实空间及图形的认识，培养分析、归纳、总结知识的能力。 3、体验数学与生活实际的密切关联，进一步激发学生学习数学的兴趣，逐步养成良好的学习 品质。 重点、难点 重点：把实际问题中的已知条件和未知元素，化归到某个直角三角形中加以解决。 难点：把实际问题转化为解直角三角形的数学问题 考点及考试要求 教学内容 1.1~1.2锐角三角函数及其计算 边角之间的关系（锐角三角函数）: sin,cos,tan a b a A A A c c b === ★22 sin sin cos(90)cos,tan,sin cos1 cos A A A B A A B A =-==+= o ★三角函数的单调性：090sin sin1 A B A B ≤<≤≤<≤ o o 当时，0 090cos cos1 A B B A ≤<≤≤<≤ o o 当时，0 04590tan1tan A B A B ≤<<≤≤<<≤+∞ o o o 当时，0 0180tan A A A <<< o o 当时，sin 如下图，⊙O是一个单位圆，假设其半径为1，则对于α ∠，b ∠ =,sin CD EF CD b EF OC OE α=== Q sin CD EF < Q,sin sin a b < Q =,tan CD AB CD AB OC OB αα === Q sin,CD AB < Q tan αα ∴< sin 其它均可用上图来证明。 30°，45°，60°的三角函数值（见右表） 例（1）计算： sin60°·tan30°+cos 2 45°= （2）把Rt△ABC各边的长度都扩大3倍得Rt△A’B’C’，那么锐角A、A’的余弦值的关系为
2020-2021学年人教版数学九年级下册 第二十七章 相似 测试1 图形的相似 学习要求 1．理解相似图形、相似多边形和相似比的概念． 2．掌握相似多边形的两个基本性质． 3．理解四条线段是“成比例线段”的概念，掌握比例的基本性质． 课堂学习检测 一、填空题 1．________________________是相似图形． 2．对于四条线段a ，b ，c ，d ，如果____________与____________(如 d c b a =)，那么称这四条线段是成比例线段，简称__________________． 3．如果两个多边形满足____________，____________那么这两个多边形叫做相似多边形． 4．相似多边形____________称为相似比．当相似比为1时，相似的两个图形____________．若甲多边形与乙多边形的相似比为k ，则乙多边形与甲多边形的相似比为____________． 5．相似多边形的两个基本性质是____________，____________． 6．比例的基本性质是如果不等于零的四个数成比例，那么___________． 反之亦真．即?=d c b a ______(a ，b ， c ， d 不为零)． 7．已知2a －3b ＝0，b ≠0，则a ∶b ＝______． 8．若,5 7 1=+x x 则x ＝______． 9．若 ,5 32z y x ==则=-+x z y x 2______． 10．在一张比例尺为1∶20200的地图上，量得A 与B 两地的距离是5cm ，则A ，B 两 地实际距离为______m ． 二、选择题 11．在下面的图形中，形状相似的一组是( ) 12．下列图形一定是相似图形的是( ) A ．任意两个菱形 B ．任意两个正三角形 C ．两个等腰三角形 D ．两个矩形 13．要做甲、乙两个形状相同(相似)的三角形框架，已知三角形框架甲的三边分别为 50cm ，60cm ，80cm ，三角形框架乙的一边长为20cm ，那么，符合条件的三角形框架乙共有( )
九年级数学教学工作总结 王纯 一学期以来，在学校领导及班主任的关心支持和热心帮助下，我认真做好教学工作，积极完成学校布置的各项任务。下面我把本学期的工作做简要的汇报总结。 一、师德表现： 平时积极参加全校教职工大会,认真学习学校下达的上级文件,关心国内外大事,注重政治理论的学习。配合组里搞好教研活动。服从安排，人际关系融洽。业余不从事有偿家教及第二职业。 二、教育教学情况： 在教学工作中，我注意做到以下几点： 1、深入细致的备好每一节课。在备课中,我认真研究教材，力求准确把握难重点，难点。并注重参阅各种杂志，制定符合学生认知规律的教学方法及教学形式。注意弱化难点强调重点。我把每个单元的教学目标都分成基础目标（交待单元内容的基础知识）和提高性目标（熟练地掌握数学运算技巧，提高数学能力等），在把每个单元的基础知识分解到每一个课时中去，对每一节课力求多备学生，多备“差生”：我每节课都根据教学内容用小黑板准备几道基础性的、简单的小练习题，让差生“跳一跳够得着”，“吃”得上，学得到，循序渐进。 2、认真上好每一节课。上课时注重学生主动性的发挥,发散学生的思维,注重综合能力的培养,有意识的培养学生的思维的严谨性及逻辑性,在教学中提高学生的思维素质。保证每一节课的质量。在课堂内，我常常是以上节课学生作业为依据，逐个找出每一个学生的最低起点，以此结合这节课内容安排教学。讲课中努力做到深入浅出，让差生跟上。有时根据问题的深浅，选择适当的学生提问、板演等。特别在课堂上设计一些极基础、极简单的问题，让差生优先回答，使差生有机会表现自
己，有机会获得成功的喜悦，激发他们学习热情和信心。有时还要根据全班学生听讲时的表情、神态，适时微调讲课的频率、声音、提问、重复。比如，上课时有个别学生有时走神，我就马上给其简单提问或板演，或提高声音，将他们的注意力吸引过来，发现一些学生眉头紧皱时，就把关键的地方重复讲讲等等。在课堂上合理分配讲课和练习、思考时间，避免讲得过多，包办过多，学生练习时间少，思考机会少。 3、认真及时批改作业，注意听取学生的意见,及时了解学生的学习情况，并有目的的对学生进行辅导。教育家叶圣陶曾说过：“教，是为了不教。”这其实是说教育的至高境界是使受教育者成为教育者，教育的最终目标是使受教育者学会自己学习，自学成才。有良好的学习习惯是实现这一目标的重要保证，可见好习惯养成性教育的重要性。我注重狠抓习惯教育，反复抓，抓反复，让学生养成课前预习准备，课后复习巩固，独立完成作业，按时上交作业，当日事当日毕的好习惯。上课讲得再好，还得有适量的练习。对于数学学科来说，适量的练习尤其重要，课堂作业、课后作业、阶段复习作业，都是巩固知识的手段，必不可少。但是我坚决反对题海战术，作业应适量，让学生愿意做，不搞疲劳战。对于差生，我应因材施教，布置一些基础性、简单的课后小练习题或者给以分散难度的习题、作业，并加强辅导。 4、坚持听课，注意学习组里老师的教学经验,努力探索适合自己的教学模式。本学年平均每周听课二到三节,对自己的教学促进很大。 5、注重教育理论的学习,并注意把一些先进的理论应用于课堂,做到学有所用。一年来,通过开公开课,使自己的教学水平得到很大的提高,但也使我意识到了自己在教学方面的不足之处,公开课受到各位老师及领导的好评。 以上是我本学期的工作总结,不足之处清各位领导及老师指正。我一定再接再厉,努力工作。
解直角三角形 第01课 三角函数的定义 知识点： 解直角三角形的概念：在直角三角形中,除直角外,一共有五个元素,即三条边和两个锐角,由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。 ∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正弦(sine)，记作sinA ，即= A sin ∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦(cosine)，记作cosA ，即=A cos ∠A 的对边与∠A 的邻边的比叫做∠A 的正切(tangent)，记作tanA ，即=A tan 即锐角A 的正弦、余弦和正切统称∠A 的三角函数. 注意：sinA,cosA,tanA 都是一个完整的符号,单独的"sin ”没有意义,其中A 前面的“∠”一般省略不写。 各锐角三角函数之间的关系： （1）互余关系：若∠A+∠B=900 ，则sinA=cos =cos （ ），cosA=sin =sin （ ） （2）平方关系：1cos sin 22== = +=+A A ?1cos sin 22=+A A （3）倒数关系：1tan tan ,tan tan =? = ?= = B A B A ，?=?B A tan tan （4）弦切关系：=A sin ，=A cos ， =A A cos sin ?= A tan 例1.如图,在Rt △ABC 中,∠C=900 ，AB=5,BC=3, 求∠A, ∠B 的正弦,余弦和正切. 例2.探索300、450、600 角的三角函数值.
例3.计算： (1)(1)cos600 + sin 2 450 －tan340 ·tan560 (2)已知tanA=2，求A A A A cos 5sin 4cos sin 2+-的值. 例4.如图,在Rt △ABC 中,∠C=900 ,13 5sin = B ,D 在B C 边上,且∠ADC=450 ,AC=5.求∠BAD 的正切值. 例5.如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=135°求tanB 的值. 课堂练习： 1.填表:已知一个角的三角函数值,求这个角的度数(逆向思维) 2.在Rt △ABC 中，∠C=900 ，3 1 tan = A ，AC=6，则BC 的长为（ ） A.6 B.5 C.4 D.2 3.在Rt △ABC 中，∠C=900 ，AC=4，BC=3，cosB 的值为 （ ） A. 51 B.53 C.54 D.4 3 4.在△ABC 中，∠C=900 ，tanA=1，则sinB 的值是 （ ）
学科：数学 专题：解直角三角形 主讲教师：黄炜 北京四中数学教师 重难点易错点解析 金题精讲 题一 题面：解答下列问题 （1）已知：如图1，Rt ABC ?中，90ACB ∠=?，CD AB ⊥于D ．若:3:1AD DB =，求A ∠； （2）已知：如图2，在△ABC 中，CD ⊥AC 于D ，sin ∠A =3 5 ，tan ∠B =3， AB =2，求BC 的长． 题二 题面：已知：如图，∠C=∠ABD =90°，∠BAC=30°，AB=BD ，BC=1，求： （1）∠CAD= ______； （2）∠CAD 的三角函数值.
A 满分冲刺 题一 题面：已知：如图，△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝135°，AC ＝10cm ． 求AB 及BC 的长． 题二 题面：已知：如图，在△ABC 中，AC ＝b ，BC ＝a ，锐角∠A ＝α，∠B ＝β． (1)求AB 的长； (2)求证： .sin sin β αb a = 题三
题面：已知：△ABC 中，∠A ＝30°，AC ＝10，25=BC ，求AB 的长． 讲义参考答案 重难点易错点解析 答案：90°－∠A ，c ·sin A ， c ·cos A ； o 90, ,;tan sin a a A A A -∠ tan ,90;a A A b = -∠ sin ,90.a A A c = -∠ 金题精讲 题一 答案：（1）30? （2）5 题二 答案：（1）75? （2）sin 4 CAD ∠= ，cos 4CAD ∠=，tan 2CAD ∠=满分冲刺 题一
答案： cm 25;cm )535(=-=BC AB 题二 答案：(1) AB ＝cos cos b a ?α+?β (2)略 题三 答案：535+或.535-
第二十九章投影与视图 29.1投影 基础导练 1.太阳光线形成的投影是_________，灯光形成的投影是________. 2.将一个三角板放在太阳光下，它所形成的投影是_________，也可能是_________. 3.已知两个电线杆在太阳光下形成两条不同的线段，那么这两条线段可能_________，也可能________. 4.矩形纸板在光线下的投影，可能是_________或_________也可能是_________. 5.为了测量水塔的高度，我们取一竹杆，放在阳光下，已知2米长的竹杆投影长为1.5米，在同一时刻测得水塔的投影长为30米，则水塔高为_________. 6.身高相同的小明和小丽站在灯光下的不同位置，已知小明的投影比小丽的投影长，我们可以判定小明离灯光较_________. 7.一物体在光线下的投影是椭圆形的，则该物体的形状是_________形，也可能是_________形. 8.给出以下命题，命题正确的有（） ①太阳光线可以看成平行光线，这样的光线形成的投影是平行投影 ②物体的投影的长短在任何光线下，仅与物体的长短有关 ③物体的俯视图是光线垂直照射时，物体的投影 ④物体的左视图是灯光在物体的左侧时所产生的投影 ⑤看书时人们之所以使用台灯是因为台灯发出的光线是平行的光线. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 9.为了测量某一电线杆的高度，简单实际的办法是（） A.爬上去用皮尺进行测量 B.利用测角仪与皮尺通过解三角形的方法求出 C.测得电线杆及一较短木棍在同一时刻的投影，然后通过比例进行计算（电线杆和木棍可以在不同的位置上） D.答案C中的方法只适合于阳光等平行投影 能力提升 10.“皮影戏”作为我国一种民间艺术，对它的叙述错误的是（）
篇一： 本学期我仍担任九年级两个班的数学教学，在本学期教学期间认真备课、上课、听课、评课，及时批改作业、讲评作业。充实自己的头脑，形成比较完整的知识结构，严格要求学生，尊重学生，使学生学有所得，学有所用，不断提高，从而不断提高自己的教学水平和思想觉悟，并顺利完成教育教学任务。下面我就这一学期中所做的一些工作做一下小结。 一、学生情况 九年级是初中三年的关键时刻，学生取得好成绩才是最重要的事情。 二、教学工作方面 1、备好课。本学期我每一节课前都认真钻研教材，对教材的基本思想、基本概念，了解教材的结构，重点与难点，掌握知识的逻辑，能运用自如，知道应补充哪些资料，怎样才能教好。了解学生的兴趣、需要、方法、习惯，学习新知识可能会有哪些困难，采取相应的预防措施。考虑教法，解决如何把已掌握的教材传授给学生，包括如何组织教材、如何安排每节课的活动。 2、在课堂上，组织好课堂教学，关注全体学生，注意信息反馈，调动学生的学习积极性，课堂语言简洁明了，课堂提问面向全体学生，注意引发学生学数学的兴趣，课堂上讲练结合，精讲多练。 三、总复习工作面向全体学生 1、让学生板演，加强解题过程训练。如果只分析，优等生还可以，但有些学生就可能跟不上，而且让学生板演还能让不同层次学生都有机会表现，因为学生板演可为教师提供反馈信息，如暴露知识上的缺欠，可弥补讲课中的不足，同时，学生板演中出现的优秀解题方法，为教师提供向学生学习的良好机会；另外也可以培养学生胆识，培养学生独立思考能力，促进记忆。 2、注重学生解题中的错误分析 在总复习中，学生在解题中出现错误是不可避免，教师针对错误进行系统分析是重要的，首先可以通过错误来发现教学中的不足，从而采取措施进行补救；错误从一个特定角度揭示了学生掌握知识的过程，是学生在学习中对所学知识不断尝试的结果，教师认真总结，可以成为学生知识宝库中的重要组成部分，使学生领略解决问题中的探索、调试过程，这对学生能力的培养会产生有益影响。 首先，应预防错误的发生，要了解不同层次学生对知识的掌握情况，调查中发现：（1）审题能力差、（2）分析能力差、（3）缺少创新思维。并针对以上情况进行了单独训练，效果较好。
初中几何全套复习讲义 1.三角形的有关概念 2.全等三角形 3.等腰三角形 4.直角三角形、勾股定理、面积 5.角平分线、垂直平分线 6.平行四边形 7.矩形、菱形 8.正方形 9.梯形 10.三角形、梯形的中位线 11.锐角三角函数 12.解直角三角形 13. 三角函数的综合运用 14.比例线段 15.相似三角形（一） 16.相似三角形（二） 17.相似形的综合运用（一） 18.相似形的综合运用（二） 19.圆的有关概念和性质 20.垂径定理 21.切线的判定与性质 22.与圆有关的角23.圆中成比例的线段 24.圆与圆（一）25.圆与圆（二）26.正多边形和圆 中考数学几何全套复习讲义 1.三角形的有关概念 知识考点： 理解三角形三边的关系及三角形的主要线段（中线、高线、角平分线）和三角形的内角和定理。关键 是正确理解有关概念，学会概念和定理的运用。应用方程知识求解几何题是这部分知识常用的方法。 精典例题： 【例1】已知一个三角形中两条边的长分别是a、b ，且a b ，那么这个三角形的周长L 的取值范围是（） A 、3a L 3b B、2(a b) L 2a C、2a6 b L 2b a D、3a b L a 2b 分析：涉及构成三角形三边关系问题时，一定要同时考虑第三边大于两边之差且小于两边之和。 答案：B 变式与思考：在△ABC 中，AC＝5，中线AD ＝7，则AB 边的取值范围是（） A 、1＜A B ＜29 B、4＜AB ＜24 C、5＜AB ＜19 D、9＜AB ＜19 评注：在解三角形的有关中线问题时，如果不能直接求解，则常将中线延长一倍，借助全等三角形知 识求解，这也是一种常见的作辅助线的方法。 0，∠ACB ＝610，延长BC 至E，使CE＝AC ，延长CB 至【例2】如图，已知△ABC 中，∠ABC ＝45 D，使DB ＝AB ，求∠DAE 的度数。 分析：用三角形内角和定理和外角定理，等腰三角形性质，求出∠D＋∠E 的度数，即可求得∠DAE 1