第7章电力系统小干扰稳定分析 电力系统在运行过程中无时不遭受到一些小的干扰，例如负荷的随机变化及随后的发电机组调节；因风吹引起架空线路线间距离变化从而导致线路等值电抗的变化，等等。这些现象随时都在发生。和第6章所述的大干扰不同，小干扰的发生一般不会引起系统结构的变化。电力系统小干扰稳定分析研究遭受小干扰后电力系统的稳定性。
系统在小干扰作用下所产生的振荡如果能够被抑制，以至于在相当长的时间以后，系统状态的偏移足够小，则系统是稳定的。相反，如果振荡的幅值不断增大或无限地维持下去，则系统是不稳定的。遭受小干扰后的系统是否稳定与很多因素有关，主要包括：初始运行状态，输电系统中各元件联系的紧密程度，以及各种控制装置的特性等等。由于电力系统运行过程中难以避免小干扰的存在，一个小干扰不稳定的系统在实际中难以正常运行。换言之，正常运行的电力系统首先应该是小干扰稳定的。因此，进行电力系统的小干扰稳定分析，判断系统在指定运行方式下是否稳定，也是电力系统分析中最基本和最重要的任务。
虽然我们可以用第6章介绍的方法分析系统在遭受小干扰后的动态响应，进而判断系统的稳定性，然而利用这种方法进行电力系统的小干扰稳定分析，除了计算速度慢之外，最大的缺点是当得出系统不稳定的结论后，不能对系统不稳定的现象和原因进行深入的分析。李雅普诺夫线性化方法为分析遭受小干扰后系统的稳定性提供了更为有力的工具。借助于线性系统特征分析的丰富成果，李雅普诺夫线性化方法在电力系统小干扰稳定分析中获得了广泛的应用。
下面我们首先介绍电力系统小干扰稳定分析的数学基础。
李雅普诺夫线性化方法与非线性系统的局部稳定性有关。从直观上来理解，非线性系统在小范围内运动时应当与它的线性化近似具有相似的特性。 将式(6-290)所描述的非线性系统在原点泰勒展开，得
式中：()()0e
e x x x
f x x f x A x x ?=?=?+??==????如果()h x ?在邻域内是x ?的高阶无穷小量，则往往可以用线性系统
的稳定性来研究式(6-288)所描述的非线性系统在点e x 的稳定性[1]：
(1)如果线性化后的系统渐近稳定，即当A 的所有特征值的实部均为负，那么实际的非线性系统在平衡点是渐近稳定的。
(2)如果线性化后的系统不稳定，即当A 的所有特征值中至少有一个实部为正，那么实际的非线性系统在平衡点是不稳定的。
(3)如果线性化后的系统临界稳定，即当A 的所有特征值中无实部为正的特征值，但至少有一个实部为零的特征值，那么不能从线性近似中得出关于实际非线性系统稳定性的任何结论。
显然，李雅普诺夫线性化方法的基本思想是，从非线性系统的线性逼近稳定性质得出非线性系统在一个平衡点附近的局部稳定性的结论。
在进行电力系统的小干扰稳定分析时，我们总是假设正常运行的系统(运行在平衡点e x x =或0x ?=)在0t t =时刻遭受瞬时干扰，系统的状态在该时刻由0点转移至()0x t ?。这个()0x t ?就是干扰消失后系统自由运动的初始状态。由于干扰足够小，()0x t ?处0x ?=的一个足够小的邻城内，从而使得()h x ?在0x ?=的邻域内是x ?的高阶无穷小量。因此，根据李雅普诺夫线性化理论，可以用线性化系统的稳定性来研究实际非线性电力系统的稳定性。为此，将描述电力系统动态特性的微分-代数方程式(6-1)、式(6-2)在稳态运行点()()()
00,x y 线性化，得 式中：
记R 表示实数集合，n R 表示n 维实向量空间，m n R ?为所有m 行n 列实数矩阵组成的向量空间。定义n R 等于1n R ?，即n R 中的元素是列向量；另一方面，1n R ?中
的元素是行向量。显然，上式中,,,,n m n m n m n m A R B R C R D R ????∈∈∈∈%%%%。 在式(7-3)中消去运行向量y ?，得到
式中：
矩阵n n A R ?∈%，通常被称为状态矩阵或系数矩阵。
由此可见，小干扰稳定性分析实际上是研究电力系统的局部特性，即干扰前平衡点的渐近稳定性。显然，应用李雅普诺夫线性化方法研究电力系统小干扰稳定性的理论基础是干扰应足够微小。因此我们说这样的干扰为小干扰，当此干扰作用
于系统后，暂态过程中系统的状态变量只有很小的变化，线性化系统的渐近稳定性能够保证实际非线性系统的某种渐近稳定性。
至此，我们知道，稳态运行情况下电力系统遭受到足够小的干扰后，可能出现两种不同的结局：一种结局是，随着时间的推移干扰逐渐趋近于零(即有扰运动趋近于无扰运动，对应于矩阵A 的所有持征值都具有负实部)，我们称系统在此稳态运行情况下是渐进稳定的，显然受扰后的系统最终将回到受扰的的稳态运行情况；另一种结局是，无论初始干扰如何小，干扰x ?都将随着时间的推移无限增大(对应于矩阵A 至少有’一个实部为正的特征值)，显然系统在此稳态运行情况下是不稳定的。对于实际运行的电力系统来说，分析临界情况下的系统稳定性并无多大意义，可以视它为系统小干扰稳定极限的情况。
最后需要说明的是，前面在研究系统的稳定性时，假设干扰是瞬时性的，即系统的状态在瞬时由0x ?=转移至此()0x t ?，并且引起变化的干扰消失。这同样适用于研究永久性干扰下系统的稳定性，即此时我们可以把它考虑成研究系统在新的平衡点遭受瞬时性干扰的稳定性。
另外，对一些给定的小干扰不稳定或阻尼不足的运行方式，可以通过特征分析方法得到一些控制参数和反映系统稳定性的特征值之间的关系，进而得出提高系统小干扰稳定性的最佳方案。因而进行电力系统的小干扰稳定分析显得尤为重要。 这样，电力系统在某种稳态运行情况下受到小的干扰后，系统的稳定性分析可归结为
(1)计算给定稳态运行情况下各变量的稳态值。
(2)将描述系统动态行为的非线性微分-代数方程在稳态值附近线性化，得到线性微分-代数方程。
(3)求出线性微分-代数方程的状态矩阵A ，根据其特征值的性质判别系统的稳定性。
以上讨论的小干扰稳定问题主要涉及发电机组之间的机电振荡，这时我们将发电机组看成是集中的刚体质量块。然而，实际的大型汽轮发电机组的转子具有很复杂的机械结构，它是由几个主要的质量块，如各个汽缸的转子、发电机转子、励磁机转子等，通过有限刚性的轴系联接而成。当发电机受到干扰后，考虑到各质量块之间的弹性，它们在暂态过程中的转速将各不相同，从而导致各质量块之间
发生扭(转)振(荡)(TorsionalOscillation)。由于各质量块的转动惯量小于发电机组总的转动惯量，因此各质量块之间扭振的频率要高于发电机组之间机电振荡的频率，这个频率一般在十几到四十几赫兹之间，因此也常将这种振荡称为次同步振荡(SubsynchronousOscillation，SSo)。
次同步振荡发生后，在发电机组轴系中各质量块之间将产生扭力矩．轴系反复承受扭力矩会造成疲劳积累，从而降低轴系的使用寿命；当扭力矩超过一定限度后会造成大轴出现裂纹甚至断裂。系统出现的次同步振荡主要与励磁控制、调速器、HVDC控制及串联电容器补偿的输电线路的相互作用有关。进行电力系统的次同步振荡分析时，首先应建立汽轮发电机组的轴系模型；另外，由于扭振的频率较高，故系统中各元件不能再采用准稳态模型，而应计及系统的电磁暂态过程。对次同步振荡的详细分析已超出了本书的既定范围，有关电力系统次同步振荡分析的模型及方法，有兴趣的读者可参阅文献[5，6]。
本章首先推导出电力系统各动态元件的线性化方程，并给出了全系统线性化方程的形成方法和小干扰稳定计算的基本步骤，接着讨论了小干扰稳定分析中的特征值问题和电力系统振荡分析方法，最后介绍了大规模电力系统小干扰稳定分析的几种持殊方法。
7.2电力系统动态元件的线性化方程
在进行电力系统小干扰稳定分析时，需要将各动态元件的方程线性化，下面我们推导各动态元件的线性化方程。在进行线性化时，通常不考虑所有控制装置中限制环节的作用。其原因是，在正常的稳态运行情况下，控制装置中状态变量的稳态值一般在其限制环节的限制之内。当干扰足够小时，各状态变量的变化也足够小，使得其变化范围不会超出其限制环节的限制。至于一些控制装置中的失灵区，一般认为失灵区很小，可以忽赂不计；而当失灵区很大时，可以认为整个控制系统不起作用。
7.2.1同步发电机组的线性化方程
1.同步电机。
对式(6-114)一(6-116)描述的同步电机方程，在给定的稳态运行情况下，系统各
变量的稳态值()()()()()()()()()()()()
()0000000000000,,,,,,,,,,,,q q d d d q d q m e fq E E E E I I V V P P E δω''''''可按式(6-74)一(6-78)和式(6-118)一(6-122)算出。将各方程在稳态值附近线性化，可得到同步电机的线性化方程
(2)励磁系统。
以图5-16所示的采用可控硅调节器的直流励磁机励磁系统为例，根据式(6-136)一(6-140)，可以推导出其线性化方程。 对测量滤波环节，由于C C V V jX I =+&。根据坐标变换式(5-63)，发电机端电压
和电
流用它们的,d q 分量可表示为
这时显然有
将上式在稳态值附近线性化可得到
式中：
对式(6-136)线性化，并格式(7-10)代入其中，从而消去C V ?，即得到测量滤波环节的线性化方程
用式(6-140)模拟励磁机的饱和特性，将式(6-139)在稳态运行点线性化，可得到励磁机的线性化方程
最后，将式(6-137)、式(6-138)的线性化方程和式(7-12)、式(7-3)一起，并经整理后得到整个直流励磁机励磁系统的线性化方程
(3)PSS 。
对于图5-l4所示的电力系统稳定器，根据式(6-142)、式(6-143)，当输入为转速偏差，即IS s V ωω=-时，可依次列出如下线性化方程：
上式经适当整理后，可得到PSS 线性化方程的状态表达式
(4)原动机及调速系统。
对如图5-24所示的水轮机及其调速系统，可以根据式(6-171)一(6-177)得到其线性化方程
2．同步发电机组线性化方程的矩阵描述及坐标变换
1)发电机组方程的矩阵描述。
当发电机组采用式(7-6)、式(7-7)、式(7-9)、式(7-15)、式(7-17)描述时，将其中的状态变量按如下顺序组成向量：
并定义
这时各发电机微分方程式的线性化方程写成如下矩阵形式：
而定子电压方程式的线性化方程表示为 以上两式中系数矩阵,,,,g Ig Vg g g A B B P Z 的元素可以很容易地通过比较式(7-20)和式(7-6)、式(7-9)、式(7-15)、式(7-17)及比较式(7-12)和式(7-7)而得到，即 在同步电机、励磁系统、原动机及其调速系统等采用其他模型时，同上原理，总可以先写出各自的线性化方程，然后表示成式(7-20)、式(7-21)的形式。另外还需注意，式(7-18)中各状态变量的排序并不是一成不变的，不同的排序下有相应的矩阵。
(2)坐标变换。
式(7-20)和式(7-21)中的dqg V ?和dqg I ?为各发电机本身,d q 轴电压和电流分量的偏差，因此必须把它们转换成统一的同步旋转坐标参考轴x y -下的相应分量，以便将它们和电力网络联系起来。
对于发电机端电压，由坐标变换式(5-62)可知
稳态值()()()()0000,,,d q x y V V V V 和()0δ也应满足式(7-22)，即
将式（7-22）在稳态值附近线性化，得
利用式（7-23），式（7-24）可另写为
简写成
式中：
很明显，()0g T 为正交矩阵，即满足
同理，对发电机电流也可得到以下关系：
式中
将式（7-26）和式（7-28）代入式（7-21）消去dqg V ?和dqg I ?，可以得到 式中：
将式（7-26）和式（7-28）代入式（7-20）消去dqg V ?和dqg I ?，并利用式（7-29）、式（7-30）消去g I ?，可以得到
式中：
式(7-31)和式(7-29)便组成每个发电机组的线性化方程，它类似于一般线性定常系统的状态方程和输出方程。
7.2.2负荷的线性化方程
在小干扰稳定性分析中，负荷大都采用电压静态特性模型。如果要考虑一些感应电动机负荷，可以用类似于推导同步电机线性化方程的方法得到感应电动机的线性化方程。
无论采用什么形式模拟负荷的电压静特性，负荷节点注入电流与节点电压的偏差关系总可以写成如下形式：
式中：
其中的系数可由负荷节点注入电流与节点电压的关系式求得，即
当采用二次多项式模拟负荷的电压静特性时，可以利用如式(6-48)所示的负荷节点注入电流与节点电压的关系和式(7-35)直接求出式(7-34)中的有关系数： 当采用指数形式模拟负荷的电压静特性时，可以利用如式(6-49)所示的负荷节点注入电流与节点电压的关系和式(7-35)直接求出式(7-34)中的有关系数：
特别地，当对负荷的电压静特性缺少足够的信息时，通常可以接受的负荷模型是：负荷的有功功率用恒定电流(即取1m =)、无功功率用恒定阻抗(即取2m =)模拟。
7.2.3FACTS 元件的线性化方程
（1）SVC 。
由于222x y V V V =+，将它线性化，得
将上式代入式（7-38），经整理后得
式中：
另外，根据式（6-50）可直接得到SVC 注入电流和节点电压间的偏差关系 式中：
这样式(7-40)、式(7-42)便组成了SVC 的全部线性化方程式。
(2)TCSC 。
从式(6-208)、式(6-209)可以直接得到如下线性化方程：
根据式（6-211）可以得到
将上式代入式（7-44），并经整理后得
式中：
另外，根据式（6-51）可直接得到TCSC 注入电流和节点电压间的偏差关系 式中：
这样式（7-46）、式（7-48）便组成了TCSC 的全部线性化方程式。
7.2.4直流输电系统的线性化方程
当考虑直流线路的暂态过程时，直流线路以及整流器和逆变器的控制方程如式(6-222)、式(6-224)一(6-227)所示，利用式(6-53)中的第一式消去式(6-226)中的dI V ，在忽略对,αβ限制的情况下，可得到它们在稳态值附近的线性化方程 整流器和逆变器交流母线电压的幅值与其,x y 分量间的关系为
将上式在稳态值附近线性化，得
将式（7-51）代入式（7-50）消去R V ?和I V ?，并经整理后可得
式中:
式中的系数矩阵,d d A B 通过对照式(7-52)和原方程容易得到。
两端直流输电系统的代数方程可以由换流器交直流两侧的功率关系及电流关系推得。对于整流器，将有功功率关系式
在稳定值附近线性化，得
另外，将式（6-52）中第三式两端平方，得
上式的线性化方程为
将式(7-51)代入式(7-55)中消去R V ?，并注意到整流器注入交流系统的无功功率()()()()()00000R yR xR xR yR Q V I V I =-总不为零，于是可以从式(7-55)、式(7-57)中解出节点注入电流的偏差，并写成如下矩阵形式：
式中：
对于逆变器，将有功功率关系式
在稳态值附近线性化，得
同样，将式（6-53）中第三式的两端平方，得到的线性化方程为
同理，将式（7-51）代入式（7-61）中消去I V ?，式（7-61）、式（7-62）表示的电流、电压偏差关系式可以写成如下矩阵形式：
式中：
式（7-58）、式（7-63）组成了直流系统的代数方程
式中：
当直流系统采用其他数学模型时，用同样的方法可导出形如式（7-25）、式（7-65）所示的线性化方程。
7.3小干扰稳定分析的步骤
7.3.1网络方程
为了叙述方便，将网络方程式(6-36)写成分块矩阵形式，并注意到网络方程本身是线性的，因而可以直接写出在x y -坐标下节点注入电流偏差与节点电压偏差之间的线性化方程
式中：
对各负荷节点，把式(7-33)给出的注入电流偏差与节点电压偏差关系代入上式，即可消去负荷节点的电流偏差。设负荷接在节点i ，则消去该负荷后的网络方程仅是对原网络方程(7-67)的简单修正：节点i 的电流偏差变为零，导纳矩阵中的第i 个对角块变为ii li Y Y -，而其他内容不变。
不失一般性，假定网络中节点编号的次序为：先是各发电机所在节点，然后是各SVC
所在节点，接下来是各TCSC 的两端节点，再是各直流输电系统交流母线节点(先编整流侧节点，后编逆变侧节点)，最后是其他节点。消去所有负荷节点的电流偏差后，网络方程可写成如下分块矩阵形式：
式中：G I ?和G V ?分别为由全部发电机节点注入电流和节点电压偏差组成的向量；S I ?和
S V ?分别为由全部SVC 节点注入电流和节点电压偏差组成的向量；T I ?和T V ?分别为由全部TCSC 节点注入电流和节点电压偏差组成的向量；D I ?和D V ?分别为由全部换流器交流母线节点注入电流和节点电压偏差组成的向量；L V ?为其他节点电压偏差组成的向量。这些向量可表示为
7.3.2全系统线性化微分方程的形成
由各发电机组的方程式（7-31）、式（7-29）可以组成全部发电机组的方程式
式中：
由各SVC 的方程式（7-40）、（7-42）可以组成全部SVC 的方程式
式中：
由各TCSC 的方程式（7-46）、式（7-48）可以组成全部TCSC 的方程式 式中：
由各两端直流输电系统的方程式（7-52）、式（7-65）可以组成全部两端直流输电系统的方程式
式中：
将式（7-72）、式（7-75）、式（7-78）、式（7-81）代入式（7-69）消去G I ?、S I ?、T I ?、D I ?，所得结果与式(7-71)、式(7-74)、式(7-77)、式(7-80)一起组成如式(7-3)所示的矩阵关系式，其中：
显然，,,A
B C %%%分别为分块稀疏矩阵，而及和导纳矩阵具有同样的稀疏结构。 用式(7-83)中的矩阵,,,A
B C D %%%%，根据式(7-5)即可得到状态矩阵A 。至此已经得到电力系统在稳态运行点的线性化方程式。
最后，有必要说明以下几个问题：
(1)如果线性化后的系统渐近稳定，即如果A 的所有特征值的实部均为负，那么实际的非线性系统在平衡点是渐近稳定的。
(2)形成矩阵A 的方法，在已有的各种商业化程序中可能各不相同，以上仅给出其中的一种形成方法，皆在介绍形成A 阵的原理和技巧[4-7,9,10]。式(7-83)中矩阵,,,A B C D
%%%%的形式多种多样，它与状态变量的次序安排、网络方程的形式、各动态元件的代数方程和网络方程的协调处理方法等有关。不同的方法将影响到程序实现的复杂性和灵活性，但并不影响其特征值的计算结果。
(3)以上方程的形成中考虑了发电机组、SVC 、TCSC 、两端直流输电系统，对电力系统中的其他动态元件可作类似处理。例如，对并联动态元件(如感应电动机负荷等)，可以仿照以上对发电机的处理方法得到其线性化方程；对多端直流输电系统，可以仿照以上对两端直流输电系统的处理方法得到其线性化方程。然后按规定的顺序将它们安排在整个系统的方程中。
（4）按照以上方法形成的系数矩阵A 将必定有一个零特征值。其存在的理由是各发电机转子的绝对角度不是惟一的，换言之，系统中存在一个冗余的转子
角度。事实上，由于各发电机间的功率分配取决于各发电机转子角度的相对值，如果各发电机转子的绝对角度都加上一个固定的值，并不改变各发电机间的功率分配，因而不影响系统的稳定性。若要摒除零特征值，只需选定任意一台发电机的转子角度作为参考，用其余机与该机转子的相对角度作为新的状态变量即可，这时矩阵A 和相应的状态变量都将降低一阶。
（5）另外还需注意，当系统中所有发电机的转矩都与转速的变化有关，即摇摆方程的右端无阻尼项且不考虑调速器的作用时，矩阵A 还将存在一个零特征值。同样，要摒除这个零特征值，只需选定任意一台发电机的转速作为参考，用其余机与该机转速的相对值作为新的状态变量即可，这时矩阵A 和相应的状态变量也都降低一阶。
在明白了零特征值的来历后，可以在后面的计算步骤（5）和（6）中不作任何处理，仅需在计算结果中去除零特征值即可。然而应当注意，由于潮流和特征计算的误差，理论上的零特征值在实际上是很小的特征值。
7.3.3小干扰稳定分析程序的组成
按照前面介绍的内容和方法，可以构成含有FACTS （例如SVC 、TCSC ）的交直流系统的小干扰稳定分析程序。其基本计算过程如下：
（1）对给定的系统稳定运行情况进行潮流计算，求出系统各节点电压、电流和功率。
（2）形成式（7-67）中的导纳矩阵。
（3）已知各负荷的功率及负荷节点电压的稳态值为(0)(0)(0)(0),,,x y P Q V V 。根据负荷电压静特性参数，应用式（7-36）或式（7-37）求出式（7-34）中的矩阵元素,,,xx xy yx yy G B B G 用它们修改导纳矩阵中对应于各负荷节点的对角子块。
（4）首先由式（6-74）-（6-78）和式（6-118）-（6-122）计算出各发电机组中所有变量的初值，然后分别形成式（7-20）和（7-21）中的矩阵,,,,g Ig Vg g g A B B P Z 及式（7-28）中的矩阵()0,,Vg Ig g T R R 。然后应用式（7-30）和式（7-32）求出,,,g g g g C D A B ,从而得到各发电机组的线性化方程。对其他动态元
件，同同样的方法可得到其线性化方程中的系数矩阵。其至得出系统中所有动态元件的线性化方程。
（5）按照式（7-71）—(7-83)形成矩阵,,,A
B C D %%%%，再应用式（7-5）计算出系统的状态矩阵A 。
（6）应用QR 法计算矩阵A 的全部特征值[2-4],从而判断系统在所给定的稳态运行情况下的小干扰稳定性。计算矩阵A 全部特征值的QR 法将在下节介绍。
【例7-1】9节点电力系统的单线图、支路数据、发电机参数、正常运行情况下的系统潮流分别如图6-12、表6-5、表6-6、表6-7所示。系统频率为60 Hz 。
各负荷均用恒定阻抗模拟。发电机1采用经典模型，发电机2和3采用双轴模型。发电机2和3均装有自并励静止励磁系统，其参数如下：
另外，各发电机的阻尼系数i D 均取为1.0。
下面研究在正常运行情况下系统的小干扰稳定性。为简单起见，在以下的矩阵中“空白”表示数0或适当维数的0矩阵。
【解】1)利用潮流结果，根据式(6-74)一(6-78)和式(6-118)一(6-122)计算出各发电机变量的初值，如表7-1所示。负荷的等值导纳见例6-1，直接并入电力网络。
2)根据7.2.1节的方法得到各发电机组的线性化方程。
发电机1：不难算出式(7-20)、式(7-21)、式(7-26)、式(7-28)中的系数矩阵为 最后，根据式(7-32)、式(7-30)和以上矩阵计算出发电机组线性化方程(-31)、(7-29)中的矩阵：
发电机2同上原理得到发电机2线性化方程的系数矩阵：
发电机3：同上原理得到发电机3线性化方程的系数矩阵：
3)系统的线性化方程。
显然，式(7-3)中的矩阵[见式(7-83)]为
根据式（7-5）可得到状态矩阵
4)状态矩阵A 的特征值和相应的特征向量。
应用QR 法求得A 的全部特征值为
显然，除了我们已知的零特征值外，系统的其他所有特征值都具有负实部，因此系统在给定的运行方式下是小干扰稳定的。
7.4小干扰稳定分析的特征值问题
既然遭受小干扰后非线性系统的稳定性可由其线性化系统的稳定性决定，而线性系统的稳定性又由状态矩阵A 的特征值决定，因此下面我们简单介绍状态矩阵A 的特征分析方法[2,3,6]，从而为进行电力系统的小干扰稳定性分析打下基础。
由上节可见，状态矩阵A 是一个实不对称矩阵，因此后面的讨论一般仅限于n n R A ?∈。另外，在下面的论述中要涉及到复数及复矩阵的计算，记C 表示复数集合，n C 表示n 维复向量空间(列向量)，n m C ?为所有m 行n 列复数矩阵组成的向量空间。复矩阵的标乘、相加、相乘是与实矩阵完全相对应的。但是，转置在
复情形下是转置共扼(用上标H 表示)，即ji ij H a c A C ∧
=?=。n 维复向量x 和y 的点积是i i i H y x y x s ∑=∧=
=1。另外，在p 范数意义下的单位向量(或规范化向量)是指满足于1=p x
的向量x 。例如在1、2和无穷范数意义下的单位向量x 分别
为 将任一向量变为单位向量的过程称为向量的归一化。
7.4.1状态矩阵的特征特性
1.特征值
对于标量参数C ∈λ和向量n C v ∈，如果方程
有非退化解（即0≠v ），则称λ为矩阵A 的特征值。
要计算特征值，方程（7-85）可写成如下形式：
它具有非退化解的充分必要条件是
展开上式左端的行列式，得到显式的多项式方程
该方程称为矩阵A 的特征方程，方程左端的多项式称为特征多项式。因为n λ的系数不为零，所以此方程共有n 个根，这里根的集合称为谱，记为)(A λ。如果},,{)(1n A λλλΛ=，则有
而且，如果我们定义A 的追迹为
可以证明n A tr λλλ+++=Λ21)(。
实不对称矩阵A 的特征值既可能是实数，也可能是复数，并且复特征值总是以共扼对的形式出现。另外，相似矩阵的特征值相同，转置矩阵的特征值不变。
2.特征向量
对任一特征值i λ，满足方程
的非零向量n i C v ∈称为矩阵A 关于特征值i λ的右特征向量。由于该方程为齐次方程，因而i kv (k 为标量)也是以上方程的解，即同样是矩阵A 关于特征值i λ的右特征向量。除非特别声明，以后提到的“特征向量”均指“右特征向量”。一个特征向量定义了一个一维子空间，这个子空间用矩阵A 左乘保持不变性。
同样，满足方程
的非零向量n i C u ∈，称为矩阵T A 关于特征值i λ的右特征向量。方程(7-90)两边转置，得
称行向量T i u 为矩阵A 关于特征值i λ的左特征向量。
为了简明地表达矩阵A 的特征持性，将A 的所有特征值组成对角矩阵Λ，相应的右特征向量按列组成矩阵R X ，相应的左特征向量按行组成矩阵L X ，即 以上三个n 阶方阵称为模态矩阵，
利用式（7-92）,方程（7-89）和（7-91）可表示成如下矩阵形式：
在上式中，前一式两边左乘L X ，后一式两边右乘R X ，即可得到以下关系式： 或写成
显然，相应于不同特征值的左、右特征向量是正交的；相应于同一特征值的左、右特征向量的乘积为一非零常数，通过对左、右特征向量的归一化处理总可以使这个常数为1。即有
注意，j T i v u 并不是通常理解的内积。上式的矩阵形式为
根据式（7-93）和式（7-96）可得
3.动态系统的自由运动
由状态方程(7-4)可看出，每个状态变量的变化率都是所有状态变量的线性和。由于状态之间的耦合，很难对系统的运动有一个明晰的概念。
为了消去状态变量间的耦合，引入一个新的状态向量z ，它和原始状态向量x ?间的关系定义为
把上式代入方程（7-4）,并考虑式（7-97），状态方程即可改写为
它和原方程的差别在于：Λ为对角阵，而A 一般不是对角阵。方程（7-99）表示n 个解耦的一阶方程
它的时域解为
式中：i z 的初值)0(i z 可根据式（7-98）用T i u 和)0(x ?表示，即
将式(7-101)、式(7-102)代入变换式(7-98)，可得到原始状态向量的时域解 其中第i 个状态变量的时域解为
式中：ik v 表示向量k ν的第i 个元素。上式给出了用特征值、左特征向量和右特征向量表示系统自由运动时间响应的表达式。特征值i λ对应于系统的第i 个模态(Mode)，与之相应的时间特性为t i e λ，这样系统自由运动的时间响应就可以说成是n 个摸态的线性和。
因此，系统的稳定性可以由特征值决定：
(1)一个实特征值相应于一个非振荡模态。负实特征值表示衰减模态，其绝对值越大，则衰减越快；正实特征值表示非周期性不稳定。与实特征值有关的持征向量和)0(z 都具有实数值。
(2)复特征值总是以共扼对的形式出现，即
每对复特征值相应于一个振荡模态。与复特征值有关的特征向量和)0(z 都具有复数值。
因此
具有这样的形式
显然，特征值的实部刻画了系统对振荡的阻尼，而虚部则指出了振荡的频率。负实部表示衰减振荡；正实部表示增幅振荡。振荡的频率(Hz)为
定义阻尼比为
它决定了振荡幅值的衰减率和衰减特性。
7.4.2线性系统的模态分析
1.模态与特征向量
前面已经讨论了系统的时间响应，向量x ?和z 的关系为
变量n x x x ???,,,21Λ式表示系统动态性能的原始状态变量。变量n z z z ,,,21Λ是变换后的状态变量，每一个变量仅对应于系统的一个模态。
从方程(7-107)的第一式可以看出，右特征向量呈现出模态的表现形式，即当特定的模态被激活时，各状态变量的相对活动情况。例如，右特征向量i v 中的第k 个元素ki v 给出了状态变量k x 在第i 个模态中的活动程度。
i v 中各元素的模值表征了n 个状态变量在第i 个模态中的活动程度，而各元素的角度则表征了各状态变量关于该模态的相位移。
从方程(7-107)的第二式可以看出，左特征向量T i u 确定呈现第i 个模态时原始状态变量的组合方式。这样，右特征向量i v 中的第k 个元素度量变量k x 在第i 个模态中的活动，而左特征向量T i u 中的第k 个元素加权这个活动对策i 个模态的贡献。
2．特征值灵敏度
我们首先考查特征值对状态矩阵A 各元素kj a (A 的k 行、j 列元素)的灵敏度。将(7-89)两边对kj a 求偏导数，得
上式两边左乘行向量T i u ，并考虑式（7-91）、式（7-95），可得到
显然，kj a A ??/中除第k 行、j 列的元素为1外，其余元素都为零，因此 式中：ji v 表示向量i v 的第j 个元素，ki u 表示向量i u 的第k 个元素。
设α是标量，)(αA 是由元素)(αkj a 组成的n 阶方阵，如果对一切的k 和j ，)(αkj a 都是可微函数，则
这样，仿照以上推导可得到特征值对标量α的灵敏度
3.参与因子(ParticipationFactor)
为了确定状态变量和模态之间的关系，把右特征向量和左特征向量结合起来，形成如下的参与矩阵(ParticipationMatrix)P ，用它来度量状态变量与模态之间的关联程度：
称参与矩阵P 的元素ki ki ki v u p =为参与因子[12]，它度量了第i 个模态于第k 个状态变量k x ?的相互参与程度。称矩阵P 的第i 列为i p 第i 个模态的参与向量。由于ki v 度量k x ?在第i 个模态中的活动状况，而ki u 加权这个活动对模态的贡献，因此它们的乘积ki p 即可度量净参与程度。左、右特征向量相应元素的乘积导致ki p 是无量纲的，即独立于特征向量单位的选择。
设e x =?)0(，即1)0(=?k x 且0)0(=?≠k j x ，则由式(7-102)得ki i u z =)0(，根据式(7-103)可得
这个方程表明，被初值1)0(=?k x 激活的第i 个模态，以系数ki p 参与在响应)(t x k ?中，参与因子由此而得名。
对于所有的模态或所有的状态变量，有
上式不难得到证明。在式(7-114)中令0=t ，容易得到矩阵P 的第k 行元素之和为1；而矩阵P 的第i 列元素之和等于i T i v u ，根据式(7-95)可知其值为1。
另外，参看式(7-110)可知，参与因子ki p 实际上等于特征值i λ对状态矩阵A 的对角元素kk a 的灵敏度：
7.4.3特征值的计算
1.QR 法
对于给定的n n R A ?∈和正交阵n n R Q ?∈0，考虑如下达代：
其中，每个n n k R Q ?∈都是正交阵，每个n n k R R ?∈都是上三角阵。由归纳法可得 这样，每个k A 都与A 相似。由于A 有复特征值，因此k A 不会收敛到严格的、“特征值暴露”的三角阵，而只能满足于计算称为实Schur 分解的另一种分解。
对角均为1×1块或2×2块的分块上三角阵称为拟上三角阵
（UpperQuasitriangular)。实Schur 分解相当于将矩阵实归约为一个拟上三角阵。若n n R A ?∈，则存在一个正交阵n n R Q ?∈使得
其中每个ij R 是1×1矩阵或2×2矩阵。若是1×1的，其元素就是A 的特征值；若是2×2的，n R 的特征值是A 的一对共轭的复特征值。
为了有效实现实Schur 分解，选取式(7-117)中的初始正交相似变换阵0Q ，使得0A 为上海森伯矩阵，这样一次迭代的计算量将从)(3n O 减小到)(2n O 。
一个上海森伯矩阵是这样的矩阵，在其对角线下，除去第一个次对角线上元素之外的其他所有元素为零。例如，对于6×6的情形，非零元素是
至此，能够一眼看出，这样一种形式可以通过一系列豪斯霍尔德（Householder)变换得到，每一次变换将矩阵一列中的相应元素化为零。由于豪斯霍尔德变换为对称正交相似变换，所以得到的上海森伯矩阵与原矩阵具有相同的特征值。 要详细了解QR 法的原理和算法实现，可参阅各种有关数值分析的教科书和专着。目前，用双位移QR 法计算一般矩阵全部特征值，在一般的大、中型计算机中也都有标准的库程序供用户调用。
最后，我们应注意到，如果A 中的元素数值差别很大，当实施某种迭代算法时，可能导致计算的特征值误差过大。特征值对舍入误差的敏感程度可以通过平衡来减小。由于数值过程中导致的特征系统的误差一般是与矩阵的欧几里得范数成正比，而平衡的思想就是：用相似变换将矩阵对应的行和列的范数变得相接近，从而在不改变特征值的前提下使矩阵的总范数减小。
平衡的实现是通过)(2n O 运算确定对角阵D ，使得若 则∞
∞≈i i c r ，n i ,,2,1Λ=。对角阵D 选成具有形式},,,{21n i i i b b b diag D Λ=，其中b 是浮点基数，这样计算~
A 就可以没有舍入误差。当A 被平衡后，计算的特征值常常会更精确。
2.幂法(ThePowerMethod)
一般矩阵特征值问题的库程序都能够把矩阵的全部特征值和特征向量一并求出。但在实际应用中，往往不需要计算矩阵A 的全部特征值，而只需求出模
太原科技2009年第4期TAIYUAN S CI-TECH 浅谈电力系统电压稳定性 刘宝，李宝国 文章编号：1006－4877（2009）04－0035－02 最近30年来，世界各国的电力系统普遍进入大电网、高电压和大机组时代，巨量的电能需要通过长距离的高压输电线送到负荷中心，电力系统面临的压力越来越大，很多电力系统不得不运行在其稳定极限附近，极易发生失稳事故。这些事故损失是巨大的，引起人们对电压稳定问题的严重关注。可以说电压稳定问题目前已成为世界各国电力工业领域研究的热点。 1电力系统电压稳定的定义及分类 1.1电压稳定定义 电力系统电压稳定性是指给定一个初始运行条件，扰动后电力系统中所有母线维持稳定电压的能力。在发生电压失稳时，可能引起电网中某些母线上的电压下降或升高，从而导致系统中负荷丧失、传输线路跳闸、级联停电及发电机失去同步等。1.2电压稳定分类 目前，文献中可以见到与电压稳定的主要有静态电压稳定、暂态电压稳定、动态电压稳定、中长期电压稳定等，对它们的含义和范畴，至今还没有一个统一的定义。2004年，IEEE/CIGRE稳定定义联合工作组给出了电力系统电压稳定的分类：电力系统电压稳定分为小扰动电压稳定和大扰动电压稳定。 小扰动（或小信号）电压稳定是指电力系统受诸如负荷增加等小扰动后，系统所有母线维持稳定电压的能力。大扰动电压稳定是指电力系统遭受大干扰如系统故障，失去负荷，失去发电机或线路之后，系统所有母线保持稳定电压的能力。 2电力系统电压失稳的机理 对电力系统电压失稳机理的研究是十分重要的，合理解释和明确区分电压失稳现象，可以正确应对预想的事故。静态研究认为电压失稳原因是负荷超过了网络的最大传输极限，从而造成潮流方程无解。随着对电压稳定研究的进一步深入，越来越多的人们开始用非线性动力学系统的理论知识来解释电压失稳的机理。对于电压失稳机理，T．Van Custem提出：电压失稳产生于负荷动态地恢复其自身功率消耗的能力超出了传输网络和发电机系统所能达到的最大极限。把电压稳定问题仅当作静态问题的观念是不周全的；负荷是电压失稳的根源，因此，电压失稳这一现象也可称为负荷失稳，但负荷并不是电压失稳中唯一的角色；发电机不应视为理想的电压源，其模型（包括控制器）的准确性对准确的电压稳定分析十分重要。 3电压稳定性的分析方法 电力系统作为一个复杂的非线性动力系统，考虑其动态因素，数学上可用一组DAE（Differential Algebraic Equations）微分代数方程组来表示。微分方程组主要体现动态元件，代数方程组主要体现网络结构等约束条件。目前，电力系统电压稳定性的分析方法主要有：静态分析方法、动态分析方法、非线性动力学方法。 3.1静态电压稳定分析方法 潮流方程和扩展的潮流方程是静态分析方法的基本立足点。静态分析方法一般认为潮流方程的临界解就是电压稳定的极限静态方法，将一个复杂的微分代数方程组简化为简单的非线性代数方程实数，大体上可以归纳为：连续潮流法、特征值分析法、最大功率法等。 3.1.1连续潮流法 连续潮流法（CPFLOW）又称延拓法，连续潮流法使用包括有预估步和校正步的迭代方案找出随负荷参数变化的潮流解路径。连续潮流法跟踪负荷和发电机功率变化情况下电力系统的稳态行为，通 （辽宁工业大学，辽宁锦州121001） 摘要：介绍了电力系统电压稳定的定义和分类，提出了电压失稳机理和电压稳定的主要研究方法，反映出该领域的研究概貌和最新动向。 关键词：电力系统；电压稳定；静态；动态 中图分类号：TM712文献标志码：A 收稿日期：2009－01－05；修回日期：2009－02－05 作者简介：刘宝（1982-），男，山东滨州人。2006年9月就 读于辽宁工业大学，攻读硕士学位。 研究与探讨
励磁控制与电力系统的小干扰稳定性 中国电力科学研究院朱方 2006年7月 1. 励磁控制系统的任务 励磁控制系统最基本和最重要的任务是维持发电机端（或指定控制点）电压为给定值。 我国国家标准规定，自动电压调节器应保证同步发电机端电压静差率小于1%。这就要求励磁控制系统的开环增益（稳态增益）不小于100p.u（对水轮发电机），或200p.u（对汽轮发电机）。 主要原因有3个： 第一，保证电力系统运行设备的安全。 发电机运行规程规定大型同步发电机运行电压正常变化范围为 5%，最高电压不得高于额定值的110%。 第二，保证发电机运行的经济性。 规程规定，大型发电机运行电压不能低于额定值的90%，当发电机电压低于95%时，发电机应限负荷运行，其他电力设备也有这个问题。 第三，提高维持发电机电压能力的要求和提高电力系统稳定的要求在许多方面是一致的。 励磁控制系统的重要任务 1）励磁控制系统的重要任务是提高电力系统的稳定性。 2）电力系统稳定可分为功角（机电）稳定、电压稳定和频率稳定等。3）功角稳定包括静态稳定、动态稳定和暂态稳定。 4）励磁控制系统对静态稳定、动态稳定和暂态稳定的改善，都有显著的作用，而且也是改善电力系统稳定的措施中，最为简单、经济而有效的措施。 同步发电机励磁控制系统对提高静稳定的作用
设Ut =1.0,Us =1.0,发电机并网后运行人员不再手动去调整励磁,则无电压调节器时的静稳极限、有能维持E ’恒定的调压器时的极限、有能维持发电机端电压恒定的调压器时的静稳极限分别为：0.4、1.0和1.43。 维持发电机电压水平的要求与提高电力系统静态稳定极限的要求是一致的，是兼容的。当励磁控制系统能够维持发电机电压为恒定值时,不论是快速励磁系统,还是常规励磁系统,静态稳定极限都可以达到线路极限。 以某省电网外送断面为例，计算励磁控制对静态稳定的影响。 该省发电机原采用Eq ’恒定模型计算，后进行了励磁模型的参数实测，对励磁性能不达标的机组进行整改，全面提高了励磁控制的技术性能。该省电网外送电力的主要通道共三回500kV 线路。发电机采用Eq ’恒定和Eq ”、Ed ”变化（使用实测励磁模型参数）两种模型，外送断面的静稳极限如下。 恒定的静稳极限增加418 MW ，提高了12.1％ 。 同步发电机励磁控制系统对提高暂态稳定的作用 1、提高励磁系统强励倍数可以提高电力系统暂态稳定。 Eq d s q X U E Pe δsin ∑ ?=' ' sin 'E d s X U E Pe δ∑?=t U s t X U U Pe δsin ∑ ?=?????++=+++=+++=∑∑L T T e L T T d d L T T d d X X X X X X X X X X X X X X 2121''21
开关电源（Buck电路）的小信号模型及环路设计 摘要：建立了Buck电路在连续电流模式下的小信号数学模型，并根据稳定性原则分析了电压模式和电流模式控制下的环路设计问题。 关键词：开关电源；小信号模型；电压模式控制；电流模式控制 0 引言 设计一个具有良好动态和静态性能的开关电源时，控制环路的设计是很重要的一个部分。而环路的设计与主电路的拓扑和参数有极大关系。为了进行稳定性分析，有必要建立开关电源完整的小信号数学模型。在频域模型下，波特图提供了一种简单方便的工程分析方法，可用来进行环路增益的计算和稳定性分析。由于开关电源本质上是一个非线性的控制对象，因此，用解析的办法建模只能近似建立其在稳态时的小信号扰动模型，而用该模型来解释大范围的扰动（例如启动过程和负载剧烈变化过程）并不完全准确。好在开关电源一般工作在稳态，实践表明，依据小信号扰动模型设计出的控制电路，配合软启动电路、限流电路、钳位电路和其他辅助部分后，完全能使开关电源的性能满足要求。开关电源一般采用Buck电路，工作在定频PWM控制方式，本文以此
为基础进行分析。采用其他拓扑的开关电源分析方法类似。 1 Buck电路电感电流连续时的小信号模型 图1为典型的Buck电路，为了简化分析，假定功率开关管S和D1为理想开关，滤波电感L为理想电感（电阻为0），电路工作在连续电流模式（CCM）下。R e为滤波电容C的等效串联电阻，R o为负载电阻。各状态变量的正方向定义如图1中所示。 图1 典型Buck电路 S导通时，对电感列状态方程有 L=U in－U o （1） S断开，D1续流导通时，状态方程变为 L=－U o （2） 占空比为D时，一个开关周期过程中，式（1）及式（2）分别持续了DT s和（1－D）T s的时间（T s为开关周期），因此，一个周期内电感的平均状态方程为 L=D(U in－U o)＋(1－D)(－U o)=DU in－U o（3） 稳态时，=0，则DU in=U o。这说明稳态时输出电压是一个常数，其大小与占空比D和输入电压U in成正比。
电力系统稳定性分析方法研究 发表时间：2019-01-10T09:46:21.713Z 来源：《防护工程》2018年第30期作者：林丽蓉 [导读] 电力系统的健康、安全运行对国民经济的发展起到重要作用。目前，电力系统稳定性研究已经成为现阶段电力工业需面对的核心问题，同时也是电力部门急需解决的重要问题。 林丽蓉 国网青海省电力公司海西供电公司青海省 816000 摘要：电力系统的健康、安全运行对国民经济的发展起到重要作用。目前，电力系统稳定性研究已经成为现阶段电力工业需面对的核心问题，同时也是电力部门急需解决的重要问题。 关键词：电力系统；稳定性；分析方法 引言 随着电力基础建设事业的不断进步与发展，其在国民经济中的作用日趋凸显。即使短时间停电，也会给我国经济造成严重损失，因此，加强电力系统稳定性分析方法的研究，具有重要的社会意义。 1电力电子化电力系统的定义 得益于半导体新材料的出现以及电力电子变流器拓扑结构和控制策略的快速发展，电力电子变流器在电源侧、输电系统、变配电系统和负荷侧通过多种方式接入，其数量及容量都在不断提升，能源互联网的概念正是在电力系统的电力电子化背景下应运而生。从1958年的第一个产业用晶闸管开始，电力电子技术的发展至今仍然十分迅速。在电力电子技术发展的初期，其在电力系统的应用主要体现在电力系统的补偿及交流电机的励磁控制上。随着半导体器件及控制技术的发展，电力电子变流器的使用越来越广泛，源–网–荷–储中包含的电力电子变流器的数量逐渐增加，如图1所示，传统交流电力系统的特性正发生着巨大改变，系统的安全、可靠和经济运行面临新的挑战。值得指出的是，本文谈及的电力电子化电力系统是一个比传统交流电力系统更加广义的概念，不仅局限于由发、输、配、变、用环节组成的全局电力系统，更是涵盖构成全局电力系统的子系统和组成子系统的独立装置的概念。本文定义的电力电子化电力系统为：在电力系统的某一环节或多个环节中，电力电子变流器的数量和容量达到一定规模，该系统与传统交流电力系统的运行特性相比有很大差异，传统分析方法已不再适用（将带来较大分析误差），此时的电力系统称为电力电子化电力系统。 2电力电子化电力系统的暂态稳定性定义 与传统交流电力系统一样，电力电子化电力系统在大扰动情况下存在暂态失稳的现象，尽管系统内部交互作用更加复杂，系统失稳的形式更加多样，但这仍然是非线性系统稳定性的本质体现。不同于线性系统的小信号稳定即意味着全局稳定，经过线性化模型设计的电力电子变流器及其构成的系统在遇到大扰动时可能表现出复杂的非线性现象，最终导致系统不能重新工作在静态工作点。在装置层次，如DC-DC变换器和VSC，如果参数设计不合理，当出现负载扰动或者短路时，都会出现即使负载恢复正常或者故障清除，装置也无法回到原来的稳定工作点的现象，表现为电压或电流无法跟踪参考值，电压崩溃。在全局电力系统的子系统层次，如微电网、航空器电力系统和柔性直流输电系统，都存在稳定域的概念。当出现大的扰动，比如发生短路故障时，状态变量偏离平衡点，如果故障没有及时清除，状态变量运行到稳定域之外，即使扰动消失，系统也无法再回到平衡点（静态工作点），表现为系统失去控制，频率或者电压发生崩溃。在全局电力系统中，发、输、配、变、用通过不同的建模方式集成在同一个模型中，此时上文描述的电力电子化特征凸显，各个子系统交互作用，系统非线性程度强，由于新能源的大量投入，还将带来波动性和不确定性。文献[49]研究了在包含风电和柔性直流输电线路的全局电力系统的功角稳定性。对于复杂非线性系统，通过系统轨迹来认识系统的特性最为直观，然而系统轨迹常无法提供系统机理的定量信息；另一方面，全局系统中都采用电力电子变流器的精确模型是不切实际的，因此，建模是暂态稳定性分析至关重要的步骤。电力系统安全稳定导则将传统交流电力系统稳定分为功角稳定、电压稳定和频率稳定，电力电子化电力系统的暂态失稳现象将更加多样。以双端柔性直流输电系统的暂态稳定性为例，双端柔性直流输电可以实现两端同步机的功角解耦，所以不存在功角稳定性，然而当送端交流系统故障持续超过一定时间，即使故障清除，系统电压也无法恢复到稳定工作点，出现了所谓的电压崩溃现象。这种失稳现象的机理显然不同于传统交流电力系统的功角失稳或电压失稳。另一方面，虽然电力电子变流器能实现两端同步机功角解耦，但也导致电力系统在维持整个电力系统的电压和频率稳定上的作用减弱，为了模拟同步机的特性，电力电子化装备在机电等不同尺度的相位运动特性方面都表现为“虚拟同步机”，功角稳定、电压稳定和频率稳定在这种“虚拟同步发电机”中以何种方式体现也非常值得研究通过直接法分析了具有下垂控制的逆变器在大扰动时的同步特性。电压不稳定现象并不总是孤立地发生。电力电子变流器都具有时变拓扑和强非线性特性，在电力电子化电力系统中，电力电子变流器与电网的交互作用将更加复杂，不稳定现象常交织在一起发生，一般情况下其中一种占据主导地位，但并不容易区分。因此，有必要对电力电子化电力系统暂态失稳的机理进行研究。只有充分了解不稳定现象发生的本质，才能对系统稳定裕度进行定量计算，进而对系统进行规划和控制。虽然电力电子化电力系统存在不同于传统交流电力系统的失稳形式，但传统交流电力系统的暂态稳定性定义在一定程度上仍然适用于电力电子化电力系统。本文谈及的暂态稳定性是指电力电子化电力系统在运行过程中，受到一个大的扰动后经过一个
电力系统小干扰稳定性分析 【摘要】本文主要研究电力系统小干扰稳定性分析。阐述了电力系统小干扰稳定性对电力系统的重大意义，对电力系统小干扰稳定性的分析方法进行了总结归纳，并对各种方法的主要原理和适应性进行了详细分析，希望能够为电力系统小干扰稳定性的分析工作提供帮助。 【关键词】电力系统；小干扰稳定性 不同地区之间的电力系统的多重互联能够大大提高输电的经济性，但是这种互联电网会把很多动态问题诱发出来，系统更加复杂化，降低了稳定性。电力系统的安全运行需要满足一定的基本条件要求，例如电压、频率和小干扰等都需要有着相当的稳定性，并且这种稳定性应该是动态的，这些稳定性随着现代社会对电网的依赖越来越大而逐渐被人们重视起来。从上个世纪70年代开始，小干扰稳定性的失去就已经造成了很多严重的事故，对相关国家造成了严重的经济损失。为了保证电力系统的稳定性，保证其安全稳定运行，有必要对电力系统的小干扰稳定性进行分析，保障电力系统的安全运行。 一、电力系统小干扰稳定性分析方法 1.数值仿真法。使用一组微分方程来描述电力系统，根据电力系统扰动的特定性结合相关的数值计算方法计算系统变量及其完整的时间响应[1]。小干扰稳定性问题的本质是不能被时域响应最大程度的体现出来，造成系统稳定性下降的原因即便使用模拟仿真也不能够很好的找出来，也就无从找寻改进措施。 2.线性模型基础上的分析方法。这种方法是利用线性模型研究小干扰稳定性，使用微分方程和积分方程描述系统动态行为的变化，在稳态运行点现化，获得线性模型[2]。目前主流的电力系统小干扰稳定性分析方法就是基于线性模型的，目前来看主要有特征性分析方法和领域分析两种，前一种以状态空间模型为描述基础，后一种是基于函数矩阵的方法。 二、特征分析法 目前大多数电力系统分析软件都是暂态稳定仿真进行操作的，但是实际中相当多的限制条件约束了这种应用。相关结果受到选择的扰动或者时域响应观测量的很大影响，选择不合理时系统中的一些关键模式将不能被扰动触发，并且如果选择不合理，进行响应的观察时很多震荡模式中不明显的响应可能就是若阻尼模式[3]。因此，进行各种不同震荡模式阻尼特性分析时，单纯使用有关系系统变量时域可能会影响观测结果的准确性。同时为了有关系统震荡性质清晰的表现出来，需要对这些系统共动态过程进行长时间的仿真计算，计算量巨大。 特征分析方法把整个电力系统模拟成为线性模型，利用状态空间法，把电力系统的线性模型转换成为普通的线性系统表示。
含风电场的电力系统小信号稳定分析 摘要：风电场接入电网后，给电力系统带来许多不利影响。首先研究了异步风力发电机组的组成结构，并对风力发电机组风轮机系统、桨距控制系统、异步发电机系统三个部分建立了相应的数学模型。并对风电机组和无穷大单机系统的数学模型进行了线性化，得到了整个电力系统的线性化模型。用特征值分析的方法，讨论和研究了保证风电场接入电力系统保持小扰动稳定性的条件，并结合具体的算例作了详细的分析。 关键词：小干扰稳定性，风电场，异步电机，特征值分析法 1 引言 风力发电是我国能源可持续发展的现实而重要的选择。但由于风能具有随机性和间歇性的特点[1]，随着风力发电规模的不断扩大，风电场并网及并网后的稳定和安全问题逐渐成为电力工作者急需解决的新课题。 为了发挥风力发电的优势，降低成本，风力发电机组大型化，单机装机功率提高，是所有风力发电研究、设计和制造商的不断追求。同时风电并网技术的研究也成为比较热点的研究问题，比如： 1）综合分析有关风电并网带来的危害和影响 风力发电接入电网后，对电网的影响是多样性的。文献[2]通过程序计算和实际运行数据，分析了南通地区风电并网后，由于风机机组自身的特征（如间歇性、随机性），在各种运行方式下，对有功潮流、无功电压和系统频率的影响。以及给调度管理部门带来的困难。 2）风电并网对系统稳定性影响的研究 风电接入网络后，对网络的稳定性产生了一定的影响，这些影响主要包括电网的电压、频率、静态稳定性和动态稳定性[3,4]。这其中，特别是对电网小干扰稳定性的影响带来了一直都是研究的热点。文[5]建立基于异步风电机组和电力系统模型,分析异步风电机组对电力系统小干扰稳定性及阻尼特性的影响以及电力系统暂态稳定性的影响。 随着风电并网以及规模的扩大，对于含风电场的电力系统小信号稳定分析具有重要的意义。
第7章电力系统小干扰稳定分析 电力系统在运行过程中无时不遭受到一些小的干扰，例如负荷的随机变化及随后的发电机组调节；因风吹引起架空线路线间距离变化从而导致线路等值电抗的变化，等等。这些现象随时都在发生。和第6章所述的大干扰不同，小干扰的发生一般不会引起系统结构的变化。电力系统小干扰稳定分析研究遭受小干扰后电力系统的稳定性。 系统在小干扰作用下所产生的振荡如果能够被抑制，以至于在相当长的时间以后，系统状态的偏移足够小，则系统是稳定的。相反，如果振荡的幅值不断增大或无限地维持下去，则系统是不稳定的。遭受小干扰后的系统是否稳定与很多因素有关，主要包括：初始运行状态，输电系统中各元件联系的紧密程度，以及各种控制装置的特性等等。由于电力系统运行过程中难以避免小干扰的存在，一个小干扰不稳定的系统在实际中难以正常运行。换言之，正常运行的电力系统首先应该是小干扰稳定的。因此，进行电力系统的小干扰稳定分析，判断系统在指定运行方式下是否稳定，也是电力系统分析中最基本和最重要的任务。 虽然我们可以用第6章介绍的方法分析系统在遭受小干扰后的动态响应，进而判断系统的稳定性，然而利用这种方法进行电力系统的小干扰稳定分析，除了计算速度慢之外，最大的缺点是当得出系统不稳定的结论后，不能对系统不稳定的现象和原因进行深入的分析。李雅普诺夫线性化方法为分析遭受小干扰后系统的稳定性提供了更为有力的工具。借助于线性系统特征分析的丰富成果，李雅普诺夫线性化方法在电力系统小干扰稳定分析中获得了广泛的应用。 下面我们首先介绍电力系统小干扰稳定分析的数学基础。 李雅普诺夫线性化方法与非线性系统的局部稳定性有关。从直观上来理解，非线性系统在小范围内运动时应当与它的线性化近似具有相似的特性。 将式(6-290)所描述的非线性系统在原点泰勒展开，得 式中：()()0e e x x x f x x f x A x x ?=?=?+??==????如果()h x ?在邻域内是x ?的高阶无穷小量，则往往可以用线性系统 的稳定性来研究式(6-288)所描述的非线性系统在点e x 的稳定性[1]：
小干扰稳定的鲁棒性能指标及分析 莫逆，杨素，刘锋，梅生伟 （清华大学 电力系统及发电设备安全控制和仿真国家重点实验室 北京100084） 摘 要：本文借助鲁棒性能分析方法，通过选取恰当的扰动和评价输出信号，构成电力系统小干扰稳定的鲁棒分析模型，提出采用系统从扰动输入到评价输出信号的2/H H ∞范数组合作为小干扰稳定的评价指标，全面反映 系统抑制振荡的能力。为验证该指标的正确性，本文选取4机2区域系统作为测试系统，与现有指标进行了对比研究，测试结果表明：本文提出的2/H H ∞组合物理意义清晰，直观有效，能全面反映系统的小干扰稳定性，显示出应用上的优越性。系统测试还表明：该指标可有效地应用于系统小干扰稳定性能的评估、控制器安装位置选择，以及指导控制器参数调整等方面。 关键词：小干扰稳定；低频振荡；2/H H ∞组合指标 0 引言 随着现代电力系统规模日益增大，低频振荡 问题时有发生，严重威胁电网的安全稳定，因此，电力系统的小干扰稳定研究一直是各国学者长期关注的问题。目前小干扰稳定研究最主要的指标是线性化系统状态矩阵的特征值和阻尼比。系统的特征值与系统的各种振荡模式对应，特征值实部的符号决定了系统的小干扰稳定性，而阻尼比则体现了某个振荡模式下的系统阻尼能力[1,4]。为了保证整个系统稳定性，研究小干扰稳定需要考虑所有振荡模式的阻尼，同时也必须考虑控制模式以及其他特征值。通常的控制设计方案只以振荡模式阻尼比为控制目标，有可能在改善一个模式的阻尼时引起其他模式的性能恶化。因此，如何实现多阻尼控制策略之间的相互协调在理论和工程两方面都是一个具有重要意义的课题。 鲁棒性分析方法中的2/H H ∞指标是从控制系统中提出，本质是定量描述系统输入输出增益，换句话说，是衡量系统对输入的抑制能力。其中，H ∞指标表示系统对最坏输入的抑制能力，而2H 指标则描述系统对全部频段输入的平均抑制能力[2,3] 。借鉴这一观点，本文提出采用2/H H ∞组合指标综合评价系统的小干扰稳定性能。 1 小干扰稳定的鲁棒性分析模型 电力系统的机电动态特性可以用微分代数方程进行统一描述。本文发电机采用三阶模型， 则其微分方程的具体形式为： 0m e ''''d0q f q d d d (1) (1)()M p p D T e v e x x i δ ωωωω?=-?=---??=---? （1-1） 其接口方程为： ''q a q q d l d d a d q l q 0()0()v r i e x x i v r i x x i ?=+-+-?=+--? （1-2） 其中： δ为发电机转子角度，ω为角速度标幺值， 0ω为角速度额定值，m p 为机械功率，' q e 为q 轴暂态电动势，D 为阻尼系数，' d0T 为d 轴暂态时间常数，M 为惯量时间常数，f v 为励磁电动势， d x 为d 轴电抗，' d x 为d 轴暂态电抗，q x 为q 轴电抗，a r 和l x 分别为定子电阻和漏抗，d i 和q i 分别为定子电流的d 轴和q 轴分量，d v 和q v 分别为定子电压的d 轴和q 轴分量。 为了消去代数变量，还必须考虑输电网络模型。建立系统状态方程，通过节点收缩得到系统的ODE 形式，并在平衡点处线性化，得到相对坐标下的小干扰稳定分析的状态方程模型[4]： ?=?x A x （1-3） 在系统（1-3）中添加干扰输入和评价输出信号， 即可得电力系统小干扰稳定的鲁棒分析模型[3]： ?=?+=?+1111x A x B w z C x D w （1-4） 其中，w 为干扰输入，z 为评价输出信号，1B 为干扰的输入增益矩阵，1C 为评价输出信号中状态变量的系数矩阵，11D 为评价输出信号中扰动的直接输出增益矩阵。 2 2/H H ∞组合指标 设系统从扰动输入w 到评价输出信号z 的 传递函数矩阵为()s zw T ，即： ()()()s s s =zw z T w (2-1) 根据Parseval 定理，可以推得传递函数矩阵 ()s zw T 的2H 范数2()s zw T 的物理意义为w 为脉冲输入时，评价输出信号z 的总的能量[2]。()s zw T 的H ∞范数等于系统的频率响应的最大奇异值的上界，它恰好等于系统的评价输出信号能量与扰动输入能量的比的上界，即：
第五章 小干扰稳定计算 一、实验目的 理解电力系统分析中小干扰稳定计算的相关概念，掌握PSASP 小干扰稳定计算的过程。学会根据特性值判断系统的小干扰稳定性。复习PSASP 潮流计算、暂态稳定计算。 二、预习要求 复习《电力系统分析》中有关小干扰稳定计算的内容，了解有关小干扰稳定计算的功能，掌握系统小干扰稳定性的判断方法。 三、实验内容 （一）PSASP 小干扰稳定计算概述 电力系统小干扰稳定是指系统受到小干扰后，不发生自发振荡或非周期性失步，自动恢复到起始运行状态的能力。系统小干扰稳定性取决于系统的固有特性，与扰动的大小无关。 从理论上来说，电力系统的小干扰稳定性相当于一般动力学系统在李亚普诺夫意义下的渐近稳定性。当前，用于研究复杂电力系统小干扰稳定的方法主要是基于李雅普诺夫一次近似法的小干扰法。该方法的基本原理如下： 系统的状态方程为：X A X ??＝ 其中A 为n ×n 维系数矩阵，称为该系统的状态矩阵。对于由状态方程描述的线性系统，其小干扰稳定性由状态矩阵的所有特征值决定。如果所有的特征值实部都为负，则系统在该运行点是稳定的；只要有一个实部为正的特征值，则系统在该运行点是不稳定的；如果状态矩阵A 不具有正实部特征值但具有实部为零的特征值，则系统在该运行点处于临界稳定的情况。因此，分析系统在某运行点的小干扰稳定性问题，可以归结为求解状态矩阵A 的全部特征值的问题。 PSASP 小干扰稳定计算程序还提供了一些相应的分析手段，使之更加实用方便。其中包括： ? 特征值分布及其单线图上显示的模态图； ? 特征值和特征向量报表；
?线性系统频域响应曲线，包括幅频特性、相频特性、乃奎斯特(Nyquist)曲线； ?线性系统时域响应曲线。 PSASP小干扰稳定的过程如下图所示： 线性化 时域频域响应 用基于稀疏性 的方法求解系 统特征值 QR法求特性值 系统状态矩阵A 系统增广矩阵J 系统元件线性化 网络线性化 初值计算 公用数据及模型库 潮流结果 （二）数据准备 以WEPRI-7节点系统为例，其系统图如下： PSASP程序中给出了WEPRI-7节点系统的基础数据，为方便起见，就用暂态稳定计算中参数导入的方法将基础数据库（Basic、G1-CTRL）、公用参数库、单线图、地理位置接线图等数据图形导入目标数据目录（C:\XGRJS\）。
浅谈风力发电对电力系统小干扰稳定性的影响 发表时间：2018-05-30T10:18:39.223Z 来源：《电力设备》2018年第1期作者：王辉[导读] 摘要：电力系统小干扰稳定性，是电力传输安全性分析的重要分支，对电网正常传输产生直接影响，也是电力传输结构不断优化的构成要素。 （响水长江风力发电有限公司 224600）摘要：电力系统小干扰稳定性，是电力传输安全性分析的重要分支，对电网正常传输产生直接影响，也是电力传输结构不断优化的构成要素。基于此，本文对电力系统小干扰稳定性的分析，主要结合风力发电的模式，对现代电网电力传输的状态进行探究，实现现代电力传输模式，高效、安全、稳定性应用。 关键词：风力发电；电力系统；小干扰稳定性引言：风力发电是现代电力供应的主要渠道，是社会电网资源长久性传输的重要保障。随着风力发电技术的不断创新，当前，我国风力发电技术在实践过程中不断革新，风力发电已经逐步从单项电力传输向着并网式电力供应的趋向转变。为了充分发挥风力发电技术在实际中应用的优势，除了要保障电流传输量增加、传输电压稳定，同时也要做好风力发电传输的外部干扰问题的有效处理，才能够推进风力发电技术不断升级、拓展。 一、电力系统小干扰稳定性理论论述 电力系统小干扰稳定性，是指电网传输结构受到小型电流冲击波，外部携带电流波等小规模的干扰后，电力传输系统能够自动进行结构调整，电力传输周期不会出现传输混乱的问题[1]。我们以电力传输动态管理的分析模式进行探究，电网结构中出现小干扰问题，是由于线路传输中的线路做功夹角与同步转矩的速率不协调，导致线路两侧电流不均衡所引起的；或者，当发动机做功转矩的转子运动方程与线性模型分析的比值不同，也容易出现电力系统小干扰问题[2]。 二、风力发电对电力系统小干扰稳定性的影响 现代风力发电系统的周期运作，是在现有资源基础上，实现了电力传输结构的运转结构调整，它能够有效克服传统电力系统中部分小干扰问题，从而使电力传输体系的稳定性得到了保障。 （一）线路做功与同步转矩速率的协调新型风力发电模式，将传统资源传输的基础上，实现风力发电结构周期性运转，同时，增加了风力发电的外部机械转换的整体动力，保障发电过程中，发电机始终保持匀速运动。简单来说，就是外部机械做功部分的传输来源增多，替代了发电站外部机械做功，会出现间断性做功的状态。而后期线路传输分析时，也只需按照供电部分的运作周期设定即可，线路传输中出现电压不稳的频率会大大减少。此外，风力发电设计系统保障线路小干扰稳定性，也在发动机转矩调整方面发挥着重作用，现代风力发电的发动机，逐步应用双馈式发电机取代异步转矩发动机，双馈式模式主要借助电磁感应原理，实行发动机周期转换，因此，即使电力转换过程中受到电流波干扰振动，电磁转换依旧是按照磁场周期运转的模式做功，从而保障了电力系统传输的稳定性。 （二）发动机转子运动方程与线性模型比值的调整风力发电对电力系统小干扰稳定性的影响解析，也可以从发动机运动方程与线性模型比值之间的相互调整进行分析。我们设定本次电力分析的域为Q，电力传输向量值为Y，发动机转子运动为G，方程协调运作中小干扰稳定性为X，按照Y=GQ的模式，计算出Y的向量值。如果Y向量值为正数，则说明此时发动机转子运动方程的结果大于线性模型比值，风力发电的电力传输稳定性高；如果Y向量值为负数，则说明此时发动机转子运动方程的结果小于线性模型比值，风力发电的电力传输稳定性低。由此，发电人员能够按照电力传输的实际情况，调整风力发电机械做功速率。通过以上分析可知，风力发电结构作为电力传输的主要构成部分，其传输干扰调整模式，为电力传输模式的周期运转提供了可调节空间，因此，风力发电模式能够保障电力系统小干扰稳定性。 （三）电流系统稳定器的调整电流系统稳定器的调整，也是风力发电对电力系统小干扰稳定性影响分析的主要方面。这种设备是一种附加性监控设备，能够在电力系统传输的过程中，实现动态性检测线路各部分的电流传输情况。风力发电系统将该装置作为能源转换的监控装置，当外部出现线路干扰振动时，电流系统稳定器，能够进行小规模的调整，也就达到了辅助电力系统有效应对小干扰问题的目的了。值得注意的是，电流系统稳定器只能用于风力发电系统电力传输的小型干扰调整，而不能作为发电结构大干扰电流调整的措施，一旦风力发电模式中出现大规模电流波干扰，要实行有效的系统维护。 （四）电力系统阻尼分析风力发电对电力系统小干扰稳定性的影响，也可以通过电力系统的阻尼变化进行分析。阻尼是电网传输波自身携带的干扰信号，一般而言，如果电力系统母线、子线的电流传输稳定，则电力系统阻尼的振动变化频率规律性较强，电力结构的信号传输结构的综合运转效果较好；反之，如果电力系统母线、子线的电流传输受到外部强电流的干扰，则电力系统阻尼的振动变化频率变化较大，规律性不明显，电力结构的信号传输结构的综合运转效果较差。我们进行系统结构判断时，就要可以调整风力发电结构的电流传输运转速率，降低电流传输波动率。那么，当电力系统受到外部干扰波的影响，其干扰结构的传输调整，也能够通过风力发电机械持续性动力进行电流波补给，使电力系统的电流传输，始终保持恒定状态，线路应对小干扰的能力自然较强[2]。 结论：综上所述，浅谈风力发电对电力系统小干扰稳定性的影响分析，为现代电力传输结构的不断优化提供了理论指导。在此基础上，为了确保风力发电在现代电力系统中的有机融合，应实行线路做功与同步转矩速率的协调、发动机转子运动方程与线性模型比值的调整、电流系统稳定器的调整、以及电力系统阻尼动态分析，才能够达到稳定电力传输线路的效果。因此，风力发电对电力系统小干扰稳定性的影响剖析，将为国内电力供应结构的优化提供技术保障。 参考文献： [1]王铭.风光储接入对电力系统稳定性的影响分析[D].太原理工大学，2016. [2]和萍，文福拴，薛禹胜，LedwichGerard.风力发电对电力系统小干扰稳定性影响述评[J].电力系统及其自动化学报，2014，26（01）：1-7+38.
第7章 电力系统小干扰稳定分析 电力系统在运行过程中无时不遭受到一些小的干扰，例如负荷的随机变化及随后的发电机组调节；因风吹引起架空线路线间距离变化从而导致线路等值电抗的变化，等等。这些现象随时都在发生。和第6章所述的大干扰不同，小干扰的发生一般不会引起系统结构的变化。电力系统小干扰稳定分析研究遭受小干扰后电力系统的稳定性。 系统在小干扰作用下所产生的振荡如果能够被抑制，以至于在相当长的时间以后，系统状态的偏移足够小，则系统是稳定的。相反，如果振荡的幅值不断增大或无限地维持下去，则系统是不稳定的。遭受小干扰后的系统是否稳定与很多因素有关，主要包括：初始运行状态，输电系统中各元件联系的紧密程度，以及各种控制装置的特性等等。由于电力系统运行过程中难以避免小干扰的存在，一个小干扰不稳定的系统在实际中难以正常运行。换言之，正常运行的电力系统首先应该是小干扰稳定的。因此，进行电力系统的小干扰稳定分析，判断系统在指定运行方式下是否稳定，也是电力系统分析中最基本和最重要的任务。 虽然我们可以用第6章介绍的方法分析系统在遭受小干扰后的动态响应，进而判断系统的稳定性，然而利用这种方法进行电力系统的小干扰稳定分析，除了计算速度慢之外，最大的缺点是当得出系统不稳定的结论后，不能对系统不稳定的现象和原因进行深入的分析。李雅普诺夫线性化方法为分析遭受小干扰后系统的稳定性提供了更为有力的工具。借助于线性系统特征分析的丰富成果，李雅普诺夫线性化方法在电力系统小干扰稳定分析中获得了广泛的应用。 下面我们首先介绍电力系统小干扰稳定分析的数学基础。 李雅普诺夫线性化方法与非线性系统的局部稳定性有关。从直观上来理解，非线性系统在小范围内运动时应当与它的线性化近似具有相似的特性。 将式(6-290)所描述的非线性系统在原点泰勒展开，得 式中：()()0e e x x x f x x f x A x x ?=?=?+??==????如果()h x ?在邻域内是x ?的高阶无穷小
摘要：建立了Buck电路在连续电流模式下的小信号数学模型，并根据稳定性原则分析了电压模式和电流模式控制下的环路设计问题。 关键词：开关电源；小信号模型；电压模式控制；电流模式控制 0 引言 设计一个具有良好动态和静态性能的开关电源时，控制环路的设计是很重要的一个部分。而环路的设计与主电路的拓扑和参数有极大关系。为了进行稳定性分析，有必要建立开关电源完整的小信号数学模型。在频域模型下，波特图提供了一种简单方便的工程分析方法，可用来进行环路增益的计算和稳定性分析。由于开关电源本质上是一个非线性的控制对象，因此，用解析的办法建模只能近似建立其在稳态时的小信号扰动模型，而用该模型来解释大范围的扰动（例如启动过程和负载剧烈变化过程）并不完全准确。好在开关电源一般工作在稳态，实践表明，依据小信号扰动模型设计出的控制电路，配合软启动电路、限流电路、钳位电路和其他辅助部分后，完全能使开关电源的性能满足要求。开关电源一般采用Buck电路，工作在定频PWM控制方式，本文以此为基础进行分析。采用其他拓扑的开关电源分析方法类似。 1 Buck电路电感电流连续时的小信号模型 图1为典型的Buck电路，为了简化分析，假定功率开关管S和D1为理想开关，滤波电感L为理想电感（电阻为0），电路工作在连续电流模式（CCM）下。R e为滤波电容C的等效串联电阻，R o为负载电阻。各状态变量的正方向定义如图1中所示。 图1 典型Buck电路 S导通时，对电感列状态方程有 L=U in－U o （1） S断开，D1续流导通时，状态方程变为 L=－U o （2） 占空比为D时，一个开关周期过程中，式（1）及式（2）分别持续了DT s和（1－D）T s的时间（T s为开关周期），因此，一个周期内电感的平均状态方程为L=D(U in－U o)＋(1－D)(－U o)=DU in－U o（3）