[英语]大联考2011长沙一中高三12次月考试卷

湖南省2011届高三·十二校联考第一次考试理科数学试卷总分:150分时量:120分钟考试时间：2011年3月6日下午2:30～4:30得分:一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将所选答案填在答题卡中对应位置。

1.若复数错误!（a∈R，i为虚数单位）是纯虚数，则a的值为A。

－2 B。

错误!C。

－错误!D。

22。

“a＝－1”是“直线a2x－y＋6＝0与直线4x－(a－3）y＋9＝0互相垂直"的A。

充分不必要条件B。

必要不充分条件C.充要条件D。

既不充分也不必要条件3.根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20—80mg/100ml（不含80)之间,属于酒后驾车；血液酒精浓度在80mg/100ml(含80)以上时，属醉酒驾车.据《法制晚报》报道，2010年8月15日至8月28日,全国查处酒后驾车和醉酒驾车共28800人，如下图是对这28800人酒后驾车血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图，则属于醉酒驾车的人数约为A.2160 B。

2880 C。

4320 D。

86404。

若下列程序框图中输入n＝6，m＝4，那么输出的p等于A.720 B。

360 C.240 D.1205.已知{a n｝满足a1＝a2＝1,错误!－错误!＝1，则a6－a5的值为A.0 B 。

18 C.96 D.6006。

设双曲线M :错误!－y 2＝1，点C (0，1），若直线12x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ （t为参数)交双曲线的两渐近线于点A 、B ，且错误!＝2错误!,则双曲线的离心率为A 。

错误!B 。

错误!C 。

错误!D 。

错误!7。

已知a ＝∫错误!（sin t －cos t )d t ，则(x －错误!)6的展开式中的常数项为A.20B.－20C.错误! D 。

－错误!8。

设点P 是△ABC 内一点(不包括边界)，且AP ＝m 错误!＋n 错误!(m ，n ∈R ）,则(m ＋1）2＋（n －1)2的取值范围是A 。

英才大联考长沙市一中2024届高三月考试卷(一)语文得分: 本试卷共10页，时量150分钟，满分150分。

一、现代文阅读(35分)(一)现代文阅读Ⅰ(本题共5小题，19分)阅读下面的文字，完成1~5题。

材料一：人类创造的文化，包括科技文化和人文文化两大部类，它们分别发展看工具理性和价值理性。

科学技术作为最富革命性格的生产力，改造着世界，创造着巨大的物质财富，为人类提供日益增多的方便与享受，使人类自觉不自觉地产生了一种对科学技术的盲目崇拜。

19世纪以降，尤其是20世纪，相当多的人把科学技术视作全知、全能、全在的救世主，以为所有难题，包括精神、价值、自由都可以经由科学技术获得完满解决。

但由于科学技术是从研究自然界(尤其是物理世界)中抽象出来的一种“物质化”方法，或“非人格化”方法，其应用显然不足以解决人的精神领域的各种问题。

用池田大作的语言来说，“科学之眼”自有其限定性，因为“科学的思维法产生了轻视生命的领向，容易忽视活生生的人的真实风貌”，因而有赖人文的思想及方法的补充与矫正。

这首先表现在，对人类的生命意义而言，科学技术的健康走向，有赖人文精指引。

诚然，科技是“价值中立”的，但是作为社会人的科学家却不应是价值中立的，二战期间，爱因斯坦与“原子弹之父”奥本海默联袂反对使用原子弹，便是从人类良知和社会责任感出发的。

科技需要人文文化弥补的又一理由是：科学技术可以提供日益强大、有效的工具理性，却不能满足人类对于政治理念、伦理规范和终极关怀等层面的需求，总之，无法提供人类区别于禽兽的“价值理性”。

而现代人类所面临的诸多困扰，往往发生在值理性”管辖的领地，发生在“意义危机”频频袭来之际。

中国古代优秀的人文传统也其是在道德层面，有若干超越性的意义，可以成为文明人类公认的生活准则。

诸不忍之心、羞恶之心、恻隐之心、仁爱之心，都是贯通古今、中外认可的。

“人无信不少”，何尝不是成熟的现代市场交易所应遵循的经济伦理?“己所不欲，勿施于人”，也规代社会人际关系须臾不可脱离的黄金法则。

名校联考联合体2021年秋季高一12月联考英语时量：120分钟满分：150分得分：第一部分听力（共两节，满分30分）做题时，先将答案标在试卷上。

录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。

第一节（共5小题；每小题1.5分，满分7.5分）听下面5段对话。

每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。

听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

例：How much is the shirt？A．£ 19.15．B．£ 9.18．C．£ 9.15．答案是C。

1．What does the boy still need to do？A．Hang up his clothes．B．Put away his toys．C．Sweep the floor．2．What is the girl doing？A．Making the bed．B．Fixing the chair．C．Driving to school．3．Why is the woman sad？A．She lost her homework．B．The man deleted her essay．C．She forgot to send some emails．4．What does the man want to know？A．What time it is．B．When his train is supposed to leave．C．Where he can find the boarding hall．5．What does the woman suggest the man do？A．Look at his cards．B．Use different cards．C．Put his cards down．第二节（共15小题；每小题1.5分，满分22.5分）听下面5段对话或独白。

高中数学学习材料金戈铁骑整理制作炎德·英才大联考长沙市一中2016届高三月考试卷（八）数学（理科）一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的）.1.命题“2,0x R x ∀∈>”的否定是（ ）A ．2,0x R x ∀∈≤ B ．2,0x R x ∃∈≤ C ．2,0x R x ∃∈< D ．2,0x R x ∃∈>2.在复平面内，复数(1)(1)z a a i =-++（,a R i ∈为虚数单位），对应的点在第四象限的充要条件是（ ） A ．1a ≥- B ．1a >- C ．1a ≤- D ．1a <-3.已知{}n a 是等差数列，1010a =，其前10项和1070S =，则其公差d 为（ ） A ．23 B ．13 C ．13- D ．23- 4.设函数()sin (0)f x x ωω=>，将()y f x =的图象向左平移3π个单位长度后，所得图象与原函数的图象重合，则ω的最小值是（ ） A ．13B ．3C ．6D ．9 5.设非负实数,x y 满足：125y x x y ≥-⎧⎨+≤⎩，(2,1)是目标函数3(0)z ax y a =+>取最大值的最优解，则a 的取值范围是（ ）A ．(0,6)B ．(]0,6C ．[)6,+∞D ．(6,)+∞6.已知点P 是椭圆221168x y +=上非顶点的动点，12,F F 分别为椭圆的左、右焦点，O 是坐标原点，若M 是12F PF ∠的平分线上一点，且10FM MP =，则OM 的取值范围是（ ） A ．[)0,3 B ．(0,22) C ．)22,3⎡⎣D ．(]0,47.在闭区间[]4,6-上随机取出一个数x ，执行右图程序框图，则输出x 不小于39的概率为（ ）A ．15 B ．25 C ．35 D ．459.某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）A ．4B ．203 C ．263D ．810.已知函数224log ,02()1512,22x x f x x x x ⎧<<⎪=⎨-+≥⎪⎩，若存在实数a b c d 、、、，满足()()()()f a f b f c f d ===，其中0d c b a >>>>，则abcd 的取值范围是（ ） A ．(16,21) B ．(16,24) C ．(17,21) D ．(18,24)11. ABC ∆中，5,,BC G O =分别为ABC ∆的重心和外心，且5GO BC =，则ABC ∆的形状是（ ） A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．上述均不是12.用()g n 表示自然数n 的所有因数中最大的那个奇数，例：9的因数有1，3，9，(9)9g =，10的因数有1，2，5，10，(10)5g =，那么2016(1)(2)(3)(21)g g g g ++++-=_________．A ．201541433⨯+ B ．201541433⨯- C ．201641433⨯+ D ．201641433⨯- 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上）13.在某项测量中，测量结果2(1,)N ξσ，若ξ在(0,2)内取值的概率为0.8，则ξ在(],2-∞内取值的概率为________．14.已知54(12)(1)x ax -+的展开式中x 的系数为2，则实数a 的值为________． 15.曲线sin y x =与直线,32x x ππ=-=及x 轴所围成的图形的面积是________．16.设函数()2xg x e x a =+-（a R ∈，e 为自然对数底数），定义在R 上函数()f x 满足：2()()f x f x x -+=，且当0x <时，()f x x '<，若存在01|()(1)2x x f x f x x ⎧⎫∈+≥-+⎨⎬⎩⎭．使[]00()g g x x =，则实数a 的取值范围为________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）已知(2cos 23sin ,1),(cos ,)a x x b x y =+=-，且a b ⊥． （1）将y 表示为x 的函数()f x ，并求()f x 的单调增区间．（2）已知,,a b c 分别为ABC ∆的三个内角,,A B C ∠∠∠对应边的边长，若()32Af =且2,4a b c =+=，求ABC ∆的面积． 18.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，PG ⊥平面ABCD ，垂中为G ，G 在AD 上，且14,,,23PG AG GD BG GC GB GC ==⊥==，E 是BC 的中点．（1）求异面直线GE 与PC 所成角的余弦值； （2）若F 点是棱PC 上一点，且DF GC ⊥，求PFFC的值． 19.（本小题满分12分）为弘扬民族古典文化，市电视台举行古诗词知识竞赛，某轮比赛由节目主持人随机从题库中抽取题目让选 手抢答，回答正确将给该选手记正10分，否则记负10分．根据以往统计，某参赛选手能答对每一个问题的概率为23；现记“该选手在回答完n 个问题后的总得分为n S ”． （1）求620S =且0(1,2,3)i S i ≥=的概率；（2）记5X S =，求X 的分布列，并计算数学期望()E X ． 20.（本小题满分12分） 已知曲线22111:()1()44C x y y +-=≥，22:81(1)C x y x =-≥，动直线l 与2C 相交于,A B 两点，曲线2C 在,A B 处的切线相交于点M ．（1）当MA MB ⊥时，求证：直线l 恒过定点，并求出定点坐标；（2）若直线l 与1C 相切于点P ，试问：在y 轴上是否存在两个定点12,T T ，当直线12,MT MT 斜率存在时，两直线的斜率之积恒为定值？若存在求出满足条件的点12,T T 的坐标，若不存在，请说明理由． 21.（本小题满分12分）已知函数32()ln(1)()3x f x ax x ax a R =++--∈． （1）若()y f x =在[)4,+∞上为增函数，求实数a 的取值范围；（2）当322a ≥时，设32()ln (1)3()(0)3x g x x ax ax f x x ⎡⎤=++-->⎣⎦的两个极值点1212,()x x x x <恰为2()ln x x cx bx ϕ=--的零点，求1212()()2x x y x x ϕ+'=-的最小值． 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）在ABC ∆中，AB AC =，过点A 的直线与其外接圆交于点P ，交BC 延长线于点D ． （1）求证：PC PDAC BD=； （2）若3AC =，求AP AD 的值．23.已知曲线1C 的参数方程为32212x t y t⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，曲线2C 的极坐标方程为22cos()4πρθ=-．以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系． （1）求曲线2C 的直角坐标方程；（2）求曲线2C 上的动点M 到曲线1C 的距离的最大值． 24.（本小题满分10分）已知定义在R 上的函数*(),f x x m x m N =-+∈，存在实数x 使()2f x <成立．（1）求实数m 的值；（2）若,1αβ>，()()2f f αβ+=，求证：4192αβ+≥．参考答案一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案BDACCBABBBBB6．B 【解析】延长1F M 交2PF 或其延长线于点G ， ∵10FM MP =，∴10FM MP ⊥= 又MP 为12F PF ∠的平分线，∴1PF PG =且M 为1FG 的中点，∵O 为12F F 的中点， ∴2//OM F G ，且212OM F G =． ∵2221F G PF PG PF PF =-=- ，∴2212242OM a PF PF =-=-． ∴24224PF -<<或24422PF <<+，∴(0,22)OM ∈．8．B 【解析】共有1323233330C A C A +=种方案．10．B 【解析】如下图，由1,10ab c d =+=，得(10)(16,24)abcd cd c c ==-∈．11．B 【解析】2211()()()()()536GO BC AO AG BC AO AC AB AC AB AC AB AC AB =-=--+-=-=，而2230AC AB -=，∴222230,30b c c b -=-=-．2222530cos 022a c b B ac ac+--==<，故B 为钝角．12．B 【解析】由递推关系1(1)(2)(3)(21)(1)(2)(21)135(21)n n n g g g g g g g -⎡⎤++++-=+++-+++++-⎣⎦，设(21)(1)(2)(21)n n G g g g -=+++-，则11(21)(21)2n n n G G -----=再由累加法得到． 二、填空题13．0.9 14．3 15．3216．1,2e ⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦【解析】设21()()2h x f x x =-，则()()h x h x -=- 又0x <时，()()0h x f x x ''=-<， ∴()h x 在(,)-∞+∞单调递减，由1()(1)2f x f x x +≥-+得()(1)h x h x ≥-， ∴1x x ≤-，∴12x ≤．∴1,2a e ⎛⎤∈-∞+ ⎥⎝⎦．三、解答题17．【解析】（1）由a b ⊥得0a b =，所以22cos 23sin cos 0x x x y +-=， 即22cos 23sin cos cos 23sin 212sin(2)16y x x x x x x π=+=++=++，由222,262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，得,36k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，即增区间为,,36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）因为()32A f =，所以2sin()13,sin()166A A ππ++=+=， 所以2,62A k k Z πππ+=+∈，因为0A π<<，所以3A π=．由余弦定理，得2222cos a b c bc A =+-，即224b c bc =+-，所以24()3b c bc =+-，因为4b c +=，所以4bc =．所以1sin 32ABC S bc A ∆==． ．．．．．．．12分 18．【解析】（1）以G 点为原点，GB 、GC 、GP 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则(2,0,0)B ， (0,2,0),(0,0,4)C P ，故(1,1,0),(1,1,0),(0,2,4)E GE PC ==．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 ∵210cos ,10220GE PC GE PC GE PC===∙，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 ∴GE 与PC 所成角的余弦值为1010． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）解：设(0,,)F y z ，则3333(0,,)(,,0)(,,)2222DF y z y z =--=-， ∵DF GC ⊥，∴0DF GC =，即33(,,)(0,2,0)23022y z y -=-=，∴32y =，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 又PF PC λ=，即3(0,,4)(0,2,4)2z λ-=-，∴1z =，故3(0,,1)2F ，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分31(0,,3),(0,,1)22PF FC =-=-，∴352352PF FC == ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分19．【解析】（1）当620S =时，即回答6个问题后，正确4个，错误2个．若回答正确第1个和第2个问题，则其余4个问题可任意回答正确2个问题；若第一个问题回答正确，第2个问题回答错误，第三个问题回答正确，则其余三个问题可任意回答正确2个．记回答每个问题正确的概率为p ，则23p =．同时回答每个问题错误的概率为13． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 故所求概率为：222222432212122116()()()()3333333381P C C =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯=．．．．．．．．．．6分（2）由5X S =可知X 的取值为10，30，50． 可有44111455212130(30)()()()()333381P X C C ==+=，5505552111(30)()()3381P X C C ==+=． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分故X 的分布列为：X 10 30 50P4081 3081 1181 1850()81E X =，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分20．【解析】（1）依题意，直线l 的斜率存在，设1122:,(,),(,)l y kx b A x y B x y =+， 由281y kx b x y =+⎧⎨=-⎩得28810x kx b --+=则1281x x b =-+，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 又由218x y +=得1212116444MA MB x x x y k k x x '===-=-，∴8116b -+=-，∴178b =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． ４分 ∴l 的方程为178y kx =+，恒过定点17(0,)8．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）设(,)M u v ，直线111:()4x MA y y x x -=-，即111044x x y y --+=又MA 经过(,)M u v ，∴111044x u v y --+=，即∴111044x u y v --+=，同理，∴221044x u y v --+=由此可得切线AB 的方程为∴1044x u y v --+=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分由直线AB 与圆相切得21104441()14u v u⨯--+=+，化简得22116u v -=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分从而动点M 的轨迹方程为22116x y -=，为焦点在y 轴上的双曲线． 取12(0,1),(0,1)T T -，则12222211111616MT MT x y y y k k x x x x +--====为定值 故存在两个定点12(0,1),(0,1)T T -满足12116MT MT k k =恒为定值．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分21．【解析】（1）2()21af x x x a ax '=+--+ 由题意2()201a f x x x a ax '=+--≥+，即22()201a x f x x x ax -'=+-≥+对[)4,x ∈+∞恒成立，整理得2201a x ax -+-≥+，即22(12)20ax a x a +---≥，在[)4,+∞恒成立 设22()(12)2h x ax a x a =+---显然0a >其对称轴为1112x a=-< ∴()h x 在(4,)+∞单调递增，∴只要2(4)164(12)20h a a a =+---≥，∴0432a <≤+．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）2222(1)()2ln 2,()22x ax g x x ax x g x a x x x-+'=-+=-+=由题意21212322401a a x x ax x ⎧≥⎪⎪⎪∆=->⎨⎪+=⎪=⎪⎩，∴221212()92x x a x x +=≥解得12102x x <≤，22111122221()2,()ln ,()ln x cx b x x cx bx x x cx bx xϕϕϕ'=--=--=--，两式相减得11212122ln()()()0x c x x x x b x x x --+--=， ∴12122(1)1()()ln (0)212x x t x x t t t ϕ+-'-=-<≤+记为()t φ， 222(1)(1)1(1)()20(1)(1)t t t t t t t t φ+----'=-=<++． ∴()t φ在10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦递减，min 12()()ln 223t φφ==-．∴1212()()2x x x x ϕ+'-的最小值为2ln 23-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 22．【解析】（1）∵,CPD ABC D D ∠=∠∠=∠，∴DPC DBA ∆∆，∴PC PDAB BD=， 又∵AB AC =，∴PC PDAC BD=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）∵,ACD APC CAP CAP ∠=∠∠=∠，∴APC ACD ∆∆，∴AP ACAC AD=， ∴29AC AP AD ==．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分23．【解析】（1）22cos()2(cos sin )4πρθθθ=-=+，．．．．．．．．．．．．．．．．2分即22(cos sin )ρρθρθ=+，可得22220x y x y +--=，故2C 的直角坐标方程为22(1)(1)2x y -+-= ……………………5分（2）1C 的直角坐标方程为320x y ++=，由（1）知曲线2C 是以(1,1)为圆心的圆， 且圆心到直线1C 的距离221323321(3)d +++==+，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 所以动点M 到曲线1C 的距离的最大值为33222++．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 24．【解析】（1）因为()x m x x m x m -+≥--=， 要使不等式2x m x -+<有解，则2m <，解得22m -<<． 因为*m N ∈，所以1m =．（2）因为,1αβ>，所以()()2121f f αβαβ+=-+-，即2αβ+=． 所以4114114149()(5)(52)2222βαβααβαβαβαβ+=+=++≥+=． （当且仅当4βααβ=时，即42,33αβ==等号成立）。

长沙市一中2011届高三月考试卷(六)数 学(文科)长沙市一中高三文科数学备课组组稿 命题人：陈 震 审题人：汤清亮(考试范围：集合、逻辑用语、算法、函数、导数、三角函数、立体几何、平面向量、复数、数列、不等式、概率统计、解析几何)本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共8页。

时量120分钟。

满分150分。

得分：一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若A ＝{x |x ＋1>0}，B ＝{x |x －3<0}，x ∈Z ，则A ∩B ＝ A.{1,2} B.{0,1,2} C.{1,2,3} D.{0,1,2,3}2.A.V ＝log 2t 2C.V ＝12(t 2－1) D.V ＝2t －23.已知α、β是不同的两个平面，直线a ⊂α，直线b ⊂β.命题p ：a 与b 没有公共点；命题q ：α∥β，则p 是q 的A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件4.直线x sin2－y cos2＝0的倾斜角的大小是A.－12 B.－2C.12 D.25.在一次运动员的选拔中，测得到7名选手身高(单位：cm )分布的茎叶图如图.已知记录的平均身高为177cm ，但有一名候选人的身高记录不清楚，其末位数记为x ，那么x 的值为A.5B.6C.7D.86.执行如图所示的程序框图，若输出的n ＝6，则输入整数p 的最大值是 A.32 B.31 C.15 D.167.设双曲线x 2a 2- y 2b 2＝1(a>0，b>0)的离心率为54，抛物线y 2＝20x 的准线过双曲线的左焦点，则此双曲线的方程为A.x 24－y 23＝1B.x 23－y 24＝1 C.x 216－y 29＝1 D.x 29－y 216＝1 8.已知实系数一元二次方程x 2＋(1＋a )x ＋a ＋b ＋1＝0的两个实根为x 1、x 2，满足0<x 1<2，x 2>2.则ba －1的取值范围是A.(－1，－13) B.(－3，－1)C.(－3，－12)D.(－3，12)选择题答题卡的横线上.9.sin45°cos15°＋cos45°sin15°的值为 .10.若＝ad －bc ，则复数＝ .11.函数y ＝2cos 2x2－1的最小正周期是 .12.若直线l ：y ＋1＝k (x －2)被圆C ：x 2＋y 2－2x －24＝0截得的弦AB 最短，则直线AB 的方程是 .13.有一个底面圆半径为1、高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为 .14.已知向量a ＝(3,4)，|a －b |＝1，则|b |的范围是 .15.某同学在研究函数f (x )＝x1＋|x |(x ∈R )时，分别给出下面几个结论：①等式f (－x )＋f (x )＝0对x ∈R 恒成立； ②函数f (x )的值域为(－1,1)；③若x 1≠x 2，则一定有f (x 1)≠f (x 2)；④函数g (x )＝f (x )－x 在R 上有三个零点.其中正确结论的序号有 .(请将你认为正确的结论的序号都填上)三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对应边分别为a ，b ，c ，且满足a 2－ab ＋b 2＝c 2. (1)求角C ；(2)若△ABC 的面积为3，c ＝2，求a ＋b 的值.如图，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC＝22，E、M分别是DC、BC的中点.(1)证明：AM⊥面PME；(2)求二面角P—AM—D的大小.已知：△ABC为直角三角形，∠C为直角，A(0，－8)，顶点C在x轴上运动，M在y轴上，AM＝12(AB＋AC)，设B的运动轨迹为曲线E.(1)求B的运动轨迹曲线E的方程；(2)过点P(2,4)的直线l与曲线E相交于不同的两点Q、N，且满足QP＝PN，求直线l 的方程.统计某校高三年级100名学生的数学月考成绩，得到样本频率分布直方图如下图所示，已知前4组的频数分别是等比数列{}a n 的前4项，后6组的频数分别是等差数列{}b n 的前6项，(1)求数列{}a n 、{}b n 的通项公式；(2)设m 、n 为该校学生的数学月考成绩，且已知m 、n ∈[)70，80∪[]140，150，求事件“||m －n >10”的概率.为了加快经济的发展，某省选择A、B两城市作为龙头带动周边城市的发展，决定在A、B两城市的周边修建城际轻轨，假设10km为一个单位距离，A、B两城市相距8个单位距离，设城际轻轨所在的曲线为E，使轻轨E上的点到A、B两市的距离之和为10个单位距离，(1)建立如图的直角坐标系，求城际轻轨所在曲线E的方程；(2)若要在曲线E上建一个加油站M与一个收费站N，使M、N、B三点在一条直线上，并且AM＋AN＝12个单位距离，求M、N之间的距离有多少个单位距离？(3)在A、B两城市之间有一条与AB所在直线成45°的笔直公路l，直线l与曲线E交于P，Q两点，求四边形P AQB的面积的最大值.定义在D上的函数f(x)，如果满足：对任意x∈D，存在常数M，都有f(x)≥M成立，则称f()x是D上的有界函数，其中M称为函数f()x的下界.已知函数f(x)＝(x2－3x＋3)·e x，其定义域为[－2，t](t>－2)，设f(－2)＝m，f(t)＝n.(1)试确定t的取值范围，使得函数f(x)在[－2，t]上为单调递增函数；(2)试判断m，n的大小，并说明理由；并判断函数f()x在定义域上是否为有界函数，请说明理由；(3)求证：对于任意的t>－2，总存在x0∈(－2，t)满足f′(x0)e x0＝23(t－1)2，并确定这样的x的个数.长沙市一中2011届高三月考试卷(六)文科数学参考答案一、选择题9.32 10.3＋i 11.2π 12.x －y －3＝0 13.23 14.[4,6] 15.①②③ 三、解答题16.解：(1)由cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，∴C ＝π3.(5分)(2)由S ＝12ab sin C ＝3，ab ＝4，(8分)故a 2＋b 2＝8，故a ＋b ＝(a ＋b)2＝a 2＋2ab ＋b 2＝8＋8＝4.(12分) 17.解：(1)连接EA ，∵△PCD 为正三角形，∴PE ⊥CD ，∵平面PCD ⊥平面ABCD ，∴PE ⊥平面ABCD ，∴PE ⊥AM.(3分)∵四边形ABCD 是矩形，∴△ADE 、△ECM 、△ABM 均为直角三角形，由勾股定理可求得EM ＝3，AM ＝6，AE ＝3，∴EM 2＋AM 2＝AE 2，∴∠AME ＝90°，∴AM ⊥EM.(4分) 又EM∩PE ＝E ，∴AM ⊥面PME.(6分)(2)∵AM ⊥平面PME ，∴PM ⊥AM ，∴∠PME 是二面角P —AM —D 的平面角，PE ＝PD sin 60°＝3，∴tan ∠PME ＝PE EM ＝33＝1，∴∠PME ＝45°，∴二面角P —AM —D 为45°.(12分)18.解：(1)由AM ＝12(AB ＋AC )，知M 为BC 中点，(2分)设B(x ，y)则M(0，y2)，C(－x,0).(4分)又∠C 为直角，故CB ·CA ＝0，∴x 2＝4y(5分) B 的运动轨迹曲线E 的方程为x 2＝4y.(x≠0)(6分) (2)∵QP ＝PN ，∴点P 是线段QN 的中点，设Q(x 1，y 1)、N(x 2，y 2)，线段QN 的中点P(2,4)，设l ：y －4＝k(x －2)方法一：则x 21＝4y 1，① x 22＝4y 2，②①－②得：4y 1－4y 2＝(x 1－x 2)(x 1＋x 2)，(8分)∴直线l 的斜率为k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝14(x 1＋x 2)＝1.(11分)方法二：由错误!，消去y 得x 2－4kx ＋8k －16＝0，(*)方程(*)中Δ＝16(k 2－2k ＋4)>0，显然方程(*)有两个不相等的实数根.(8分) 由x 1＋x 2＝4k ＝4⇒k ＝1.(11分)所以直线l 的方程为x －y ＋2＝0.(12分)19.解：(1)由已知：第2组的频数为3，第3组的频数为9，又前4组的频数是等比数列，所以a n ＝3n －1，(3分)又第4组的频数为27，后6组是首项为27，和是87的等差数列， 所以b n ＝－5n ＋32.(6分)(2)由(1)知成绩在[)70，80中的有3人，成绩在[]140，150中的有2人，分别记为：a 1，a 2，a 3和b 1，b 2，由||m －n >10知，这两人必来自两个不同的组，(8分)所以事件“||m －n >10”的概率为35.(13分)20.解：(1)以AB 为x 轴，以AB 中点为原点O 建立直角坐标系.设曲线E 上点P(x ，y)，∵|PA|＋|PB|＝10＞||AB ＝8∴动点轨迹为椭圆，且a ＝5，c ＝4，从而b ＝3.∴曲线E 的方程为x 225＋y 29＝1.(4分)(2)由|AM|＋|AN|＋|BM|＋|BN|＝20，|AM|＋|AN|＝12，所以|MN|＝8.(8分)(3)将y ＝x ＋t 代入x 225＋y 29＝1，得34y 2－18ty ＋9t 2－25×9＝0.设P(x 1，y 1)、Q(x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝9t17，y 1y 2＝9t 2－25×934.||y 1－y 2＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝11750×9×17－9×25t 2，S ＝S △ABP ＋S △ABQ ＝12AB·||y 1－y 2＝83450×9×17－9×25t 2， 所以当t ＝0时，面积最大是601734，此时直线为l ：y ＝x.(13分)21.解：(1)f′(x)＝(x 2－3x ＋3)·e x ＋(2x －3)·e x ＝x(x －1)·e x . 由f′(x)>0⇒x>1或x<0；由f′(x)<0⇒0<x<1，所以f(x)在(－∞，0]，[1，＋∞)上单调递增，在[0,1]上单调递减， 要使f(x)在[－2，t]上为单调递增函数，则－2<t ≤0.(4分) (2)n>m.因为f(x)在(－∞，0]，[1，＋∞)上单调递增，在[0,1]上单调递减，所以f(x)在x ＝1处取极小值e .又f(－2)＝13e2<e ，所以f(x)在[－2，＋∞)上的最小值为f(－2)，从而当t>－2时，f(－2)<f(t)， 即m<n.(6分)由上知，因为f(x)在()－∞，0上递增，且恒大于0，f(x)在(0，＋∞)的最小值为e ， 所以函数f ()x 在(－∞，＋∞)上是有界函数，M ＝0.(8分)(3)因为f′(x 0)e x 0＝x 20－x 0，所以f′(x 0)e x 0＝23(t －1)2，即为x 20－x 0＝23(t －1)2. 令g(x)＝x 2－x －23(t －1)2，从而问题转化为证明方程g(x)＝x 2－x －23(t －1)2＝0在(－2，t)上有解，并讨论解的个数.因为g(－2)＝6－23(t －1)2＝－23(t ＋2)(t －4)，g(t)＝t(t －1)－23(t －1)2＝13(t ＋2)(t －1)，所以①当t>4或－2<t<1时，g(－2)·g(t)<0，所以g(x)＝0在(－2，t)上有解，且只有一解；②当1<t<4时，g(－2)>0且g(t)>0，但由于g(0)＝－23(t －1)2<0，所以g(x)＝0在(－2，t)上有解，且有两解；(10分) ③当t ＝1时，g(x)＝x 2－x ＝0⇒x ＝0或x ＝1， 所以g(x)＝0在(－2，t)上有且只有一解；(11分) ④当t ＝4时，g(x)＝x 2－x －6＝0⇒x ＝－2或x ＝3， 所以g(x)＝0在(－2,4)上有且只有一解.(12分)综上所述，对于任意t>－2，总存在x 0∈(－2，t)，满足f′(x 0)xx 0＝23(t －1)2，且当t ≥4或－2<t ≤1时，有唯一的x 0符合题意； 当1<t<4时，有两个x 0符合题意.(13分)。

时量：120分钟满分：150分一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的炎德英才大联考长沙市一中2025届高三月考试卷（三）数学）1.若复数z 满足1i34i z +=-，则z =（）B.252.已知数列{}n a 的前n 项和22n S n n =-，则345a a a ++等于（）A.12B.15C.18D.213.抛物线24y x =的焦点坐标为（）A.(1,0)B.(1,0)-C.1(0,)16-D.1(0,)164.如图是函数()sin y x ωϕ=+的部分图象，则函数的解析式可为（）A.πsin 23y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭B.πsin 3y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭C.πsin 26y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭D.5πcos 26y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭5.1903年，火箭专家、航天之父康斯坦丁・齐奥尔科夫斯基就提出单级火箭在不考虑空气阻力和地球引力的理想情况下的最大速度v 满足公式：1201lnm m v v m +=，其中12,m m 分别为火箭结构质量和推进剂的质量，0v 是发动机的喷气速度.已知某单级火箭结构质量是推进剂质量的2倍，火箭的最大速度为8km /s ，则火箭发动机的喷气速度为（）（参考数据：ln20.7≈，ln3 1.1,ln4 1.4≈≈）A.10km /sB.20km /sC.80km /s 3D.40km /s 6.若83cos 5αβ=，63sin 5αβ-=，则()cos αβ+的值为（）A.4-B.54C.4-D.47.如图，一个质点从原点O 出发，每隔一秒随机向左或向右移动一个单位长度，向左的概率为23，向右的概率为13，共移动4次，则该质点共两次到达1的位置的概率为（）A.427B.827C.29D.498.设n S 为数列的前n 项和，若121++=+n n a a n ，且存在*N k ∈，1210k k S S +==，则1a 的取值集合为（）A.{}20,21-B.{}20,20-C.{}29,11-D.{}20,19-二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项是符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分）9.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别为1AD ，DB 的中点，则下列说法正确的是（）A.直线EF 与11D B 为异面直线B.直线1D E 与1DC 所成的角为60oC.1D F AD⊥ D.//EF 平面11CDD C 10.已知P 是圆22:4O x y +=上的动点，直线1:cos sin 4l x y θθ+=与2:sin cos 1l x y θθ-=交于点Q ，则（）A.12l l ⊥ B.直线1l 与圆O 相切C.直线2l 与圆O 截得弦长为 D.OQ 11.已知三次函数()32f x ax bx cx d =+++有三个不同的零点1x ，2x ，()3123x x x x <<，函数()()1g x f x =-也有三个零点1t ，2t ，()3123t t t t <<，则（）A.23b ac>B.若1x ，2x ，3x 成等差数列，则23bx a=-C.1313x x t t +<+D.222222123123x x x t t t ++=++三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）12.已知随机变量X 服从二项分布(),B n p ，若()3E X =，()2D X =，则n =_____.13.已知平面向量a ，b 满足2a = ，1= b ，且b 在a上的投影向量为14a - ，则ab + 为______.14.如图，已知四面体ABCD 的体积为32，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，G ，H 分别在CD ，AD 上，且G ，H 是靠近D 点的四等分点，则多面体EFGHBD 的体积为_____.四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin cos 0a B A =.（1）求A ；（2）若sin sin 2sin B C A +=，且△ABC ，求a 的值.16.设()()221ln 2f x x ax x x =++，a ∈R .（1）若0a =，求()f x 在1x =处的切线方程；（2）若a ∈R ，试讨论()f x 的单调性.17.已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，,PD PB H =为PC 上的点，过AH 的平面分别交,PB PD 于点,M N ，且BD ∥平面AMHN ．（1）证明：MN PC ⊥；（2）当H 为PC 的中点，,PA PC PA ==与平面ABCD 所成的角为60︒，求平面PAM 与平面AMN 所成的锐二面角的余弦值．18.已知双曲线22:13y x Γ-=的左、右焦点为1F ，2F ，过2F 的直线l 与双曲线Γ交于A ，B 两点.（1）若AB x ⊥轴，求线段AB 的长；（2）若直线l 与双曲线的左、右两支相交，且直线1AF 交y 轴于点M ，直线1BF 交y 轴于点N .（i ）若11F AB F MN S S = ，求直线l 的方程；（ii ）若1F ，2F 恒在以MN 为直径的圆内部，求直线l 的斜率的取值范围.19.已知{}n a 是各项均为正整数的无穷递增数列，对于*k ∈N ，设集合{}*k i B i a k =∈<N ∣，设k b 为集合k B 中的元素个数，当k B =∅时，规定0k b =.（1）若2n a n =，求1b ，2b ，17b 的值；（2）若2n n a =，设n b 的前n 项和为n S ，求12n S +；（3）若数列{}n b 是等差数列，求数列{}n a 的通项公式.。

湖南省长沙市一中2011届高三月考（七）2011 届 高 三 月 考（七）数 学 试 题（文）（考试范围：高考文科内容（不含优选法应用））本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页。

时量120分钟。

满分150分。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数z ＝11＋2i （i 为虚数单位）所对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤12，m ＝sin20°，则下列关系中正确的是（ ）A ．m ⊆AB ．m ∉AC ．{}m ∈AD ． {}A m ⊂≠3．设命题p ：∀x ∈R ，|x |≥x ；q ：∃x ∈R ，1x＝0．则下列判断正确的是（ ）A ．p 假q 真B ．p 真q 假C ．p 真q 真D ．p 假q 假4．下列函数中，既是周期为π的周期函数又是偶函数的是 （ ） A ．y ＝10x B ．y ＝tan x C ．y ＝sin2x D ．y ＝|cosx|5．某公司2005～2010年的年利润x （单位：百万元）与年广告支出y （单位：百万元）的统计资料如下表所示：（ ）A ．利润中位数是16，x 与y 有正线性相关关系B ．利润中位数是18，x 与y 有负线性相关关系C ．利润中位数是17，x 与y 有正线性相关关系D ．利润中位数是17，x 与y 有负线性相关关系6．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1（a ，b>0）的渐近线与圆（x －3）2＋y 2＝3相切，则双曲线的离心率为（ ）A ．62B ． 3C ．2 3D ．67．设函数()221log ()x f x a x+=-在区间()0，＋∞内有零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（0，＋∞）B ．（－∞，1]C ．[1，＋∞）D ．[2，＋∞）8．定义{},,min ,,.b a b a b a a b ≥⎧=⎨<⎩设实数x ，y 满足约束条件2211x y ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩，则{}min 2,-z x y x y =+的取值范围为（ ）A ．[－2，12]B ．[－52，－12]C ．[－2,3]D ．[－3，32]二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上． 9．在极坐标系中，A （1，π6）、B （2，π2）两点的距离为 ．10．设平面向量a ＝（1,2），b ＝（－2，y ），若a ∥b ，则||3a ＋b 等于 ．11．一空间几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积是cm 3．12．若{a n }为等差数列，S n 是其前n 项和．且S 11＝22π3，则tan a 6的值为 ．13．直线l ：x －y ＝0与椭圆x 22＋y 2＝1相交A 、B 两点，点C 是椭圆上的动点，则△ABC 面积最大值为 ．14．直线l ：x －3y ＝0与曲线⎪⎩⎪⎨⎧ϕ=ϕ+=sin 2cos 2:y a x C （φ为参数，a >0）有两个公共点A ，B ，且||AB ＝2，则实数a 的值为 ；在此条件下，以直角坐标系的原点为极点，x轴正方向为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为 ．15．对于三次函数f （x ）＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d （a ≠0），定义：设f ″（x ）是函数y ＝f （x ）的导数y ＝f ′（x ）的导数，若方程f ″（x ）＝0有实数解x 0，则称点()x 0，f (x 0)为函数y ＝f （x ）的“拐点”．有同学发现“任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心；且“拐点”就是对称中心．”请你根据这一发现，求： （1）函数f （x ）＝x 3－3x 2＋3x 对称中心为 ；（2）若函数g （x ）＝13x 3－12x 2＋3x －512＋1x －12，则g （12011）＋g （22011）＋g （32011）＋g （42011）＋…＋g （20102011）＝ ．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（本小题满分12分）已知函数f （x ）＝a sin x ＋b cos （x －π3）的图象经过点（π3，12），（7π6，0）．（1）求实数a ，b 的值；（2）求函数f （x ）在[0，π]上的单调递增区间．17．（本小题满分12分）如图：在矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝3，沿对角线BD 把△ABD 折起，使A 移到A1点，过点A 1作A 1O ⊥平面BCD ，垂足O 恰好落在CD 上． （1）求证：BC ⊥A 1D ；（2）求直线A 1B 与平面BCD 所成角的正弦值． 18．（本小题满分12分）某校高一某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：（1）求分数在[50,60）的频率及全班人数；（2）求分数在[80,90）之间的频数，并计算频率分布直方图中[80,90）间的矩形的高； （3）若要从分数在[80,100]之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，在抽取的试卷中，求至少有一份分数在[90,100]之间的概率． 19．（本小题满分13分）工厂生产某种产品，次品率p 与日产量x （万件）间的关系为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤<-=c x c x x p ,320,61，（c 为常数，且0<c <6）．已知每生产1件合格产品盈利3元，每出现1件次品亏损1．5元．（1）将日盈利额y （万元）表示为日产量（万件）的函数；（2）为使日盈利额最大，日产量应为多少万件？（注：次品率＝次品数产品总数×100%）20．（本小题满分13分）已知f （x ）＝m x （m 为常数，m >0且m ≠1）． 设f （a 1），f （a 2），…，f （a n ）…（n ∈N ）是首项为m 2，公比为m 的等比数列． （1）求证：数列{a n }是等差数列； （2）若b n ＝a n ·f （a n ），且数列{b n }的前n 项和为S n ，当m ＝2时，求S n ； （3）若c n ＝f （a n ）lg f （a n ），问是否存在m ，使得数列{c n }中每一项恒小于它后面的项？若存在，求出m 的范围；若不存在，请说明理由．21．（本小题满分13分）已知动圆G 过点F （32，0），且与直线l ：x ＝－32相切，动圆圆心G 的轨迹为曲线E ．曲线E 上的两个动点A （x 1，y 1）和B （x 2，y 2）．（1）求曲线E 的方程；（2）已知OA ·OB ＝－9（O 为坐标原点），探究直线AB 是否恒过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过，请说明理由．（3）已知线段AB 的垂直平分线交x 轴于点C ，其中x 1≠x 2且x 1＋x 2＝4．求△ABC 面积的最大值．参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1—5 DDBDC 6—8 ACD二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上． 9．在极坐标系中，A （1，π6）、B （2，π2）两点的距离为．10．设平面向量a ＝（1,2），b ＝（－2，y ），若a ∥b ，则||3a ＋b 等于5． 11．一空间几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积是4πcm 3． 12．若{a n }为等差数列，S n 是其前n 项和．且S 11＝22π3，则tan a 6的值为13．直线l ：x －y ＝0与椭圆x 22＋y 2＝1相交A 、B 两点，点C 是椭圆上的动点，则△ABC 面14．直线l ：x －3y ＝0与曲线⎪⎩⎪⎨⎧ϕ=ϕ+=sin 2cos 2:y a x C （φ为参数，a >0）有两个公共点A ，B ，且||AB ＝2，则实数a 的值为 2 ；在此条件下，以直角坐标系的原点为极点，x 轴正方向为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为 ρ2－4ρcos θ＋2＝0 ． 15．（1）函数f （x ）＝x 3－3x 2＋3x 对称中心为 （1,1） ；（2）若函数g （x ）＝13x 3－12x 2＋3x －512＋1x －12，则g （12011）＋g （22011）＋g （32011）＋g （42011）＋…＋g （20102011）＝ 2010 ．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．解：（1）∵函数f （x ）＝a sin x ＋b cos （x －π3）的图象经过点（π3，12），（7π6，0）．∴12102b a +=⎨⎪-=⎪⎩，（4分） 解得：a ＝3，b ＝－1．（5分）（2）由（1）知：f （x ）＝3sin x －cos （x －π3）＝32sin x －12cos x ＝sin （x －π6）．（9分）由2k π－π2≤x －π6≤2k π＋π2，解得2k π－π3≤x ≤2k π＋2π3k ∈Z ．∵x ∈[0，π]，∴x ∈[0，2π3]，∴函数f （x ）在[0，π]上的单调递增区间为[0，2π3]．（12分）17．解：（1）因为A 1O ⊥平面BCD ，BC ⊂平面BCD ，∴BC ⊥A 1O ，因为BC ⊥CD ，A 1O ∩CD ＝O ，∴BC ⊥面A 1C D ． 因为A 1D ⊂面A 1CD ，∴BC ⊥A 1 D ．（6分）（2）连结BO ，则∠A 1BO 是直线A 1B 与平面BCD 所成的角． 因为A 1D ⊥BC ，A 1D ⊥A 1B ，A 1B ∩BC ＝B ，∴A 1D ⊥面A 1B C ．A 1C ⊂面A 1BC ，∴A 1D ⊥A 1 C ．在Rt △DA 1C 中，A 1D ＝3，CD ＝5，∴A 1C ＝4．根据S △A 1CD ＝12A 1D ·A 1C ＝12A 1O ·CD ，得到A 1O ＝125，在Rt △A 1OB 中，sin ∠A 1BO ＝A 1O A 1B ＝1255＝1225．所以直线A 1B 与平面BCD 所成角的正弦值为1225．（12分）18．解：（1）分数在[50,60）的频率为0．008×10＝0．08，（2分）由茎叶图知：分数在[50,60）之间的频数为2，所以全班人数为20.08＝25，（4分） （2）分数在[80,90）之间的频数为25－2－7－10－2＝4；（6分） 频率分布直方图中[80,90）间的矩形的高为425÷10＝0．016．（8分）（3）将[80,90）之间的4个分数编号为1,2,3,4，[90,100]之间的2个分数编号为5,6， 在[80,100]之间的试卷中任取两份的基本事件为： （1,2），（1,3），（1,4），（1,5），（1,6）， （2,3），（2,4），（2,5），（2,6）， （3,4），（3,5），（3,6）， （4,5），（4,6）， （5,6）共15个，（10分）其中，至少有一个在[90,100]之间的基本事件有9个， 故至少有一份分数在[90,100]之间的概率是915＝0．6．（12分）19．解：（1）当x >c 时，p ＝23，y ＝13·x ·3－23·x ·32＝0；（2分）当0<x ≤c 时，p ＝16－x，∴y ＝（1－16－x ）·x ·3－16－x ·x ·32＝32·9x －2x26－x ．（4分）∴日盈利额y （万元）与日产量x （万件）的函数关系为23(92)02(6)0 x x x c y x x c ⎧-<≤⎪=-⎨⎪>⎩．（5分）（2）由（1）知，当x >c 时，日盈利额为0． 当0<x ≤c 时，∵y ＝3(9x －2x 2)2(6－x )，∴y ′＝32·(9－4x )(6－x )＋(9x －2x 2)(6－x )2＝3(x －3)(x －9)(6－x )2，令y ′＝0，得x ＝3或x ＝9（舍去）．∴①当0<c <3时，∵y ′>0，∴y 在区间（0，c ]上单调递增， ∴y 最大值＝f （c ）＝3(9c －2c 2)2(6－c )，此时x ＝c ；②当3≤c <6时，在（0,3）上，y ′>0，在（3，c ）上y ′<0， ∴y 在（0,3）上单调递增，在（3，c ）上单调递减． ∴y 最大值＝f （3）＝92．综上，若0<c <3，则当日产量为c 万件时，日盈利额最大； 若3≤c <6，则当日产量为3万件时，日盈利额最大．（13分）20．解：（1）由题意f （a n ）＝m 2·m n ＋1，即ma n ，＝m n ＋1．∴a n ＝n ＋1，（2分） ∴a n ＋1－a n ＝1，∴数列{a n }是以2为首项，1为公差的等差数列．（4分）（2）由题意b n ＝a n f （a n ）＝（n ＋1）·m n ＋1，当m ＝2时，b n ＝（n ＋1）·2n ＋1∴S n ＝2·22＋3·23＋4·24＋…＋（n ＋1）·2n ＋1 ①（6分） ①式两端同乘以2，得2S n ＝2·23＋3·24＋4·25＋…＋n ·2n ＋1＋（n ＋1）·2n ＋2 ② ②－①并整理，得S n ＝－2·22－23－24－25－…－2n ＋1＋（n ＋1）·2n ＋2＝－22－（22＋23＋24＋…＋2n ＋1）＋（n ＋1）·2n ＋2＝－22－22(1－2n )1－2＋（n ＋1）·2n ＋2＝－22＋22（1－2n ）＋（n ＋1）·2n ＋2＝2n ＋2·n ．（9分）（3）由题意c n ＝f （a n ）·lg f （a n ）＝m n ＋1·lg m n ＋1＝（n ＋1）·m n ＋1·lg m ，要使c n <c n ＋1对一切n ∈N *成立，即（n ＋1）·m n ＋1·lg m <（n ＋2）·m n ＋2·lg m ，对一切n ∈N *成立， ①当m >1时，lg m >0，所以n ＋1<m （n ＋2）对一切n ∈N *恒成立；（11分） ②当0<m <1时，lg m <0，所以等价使得n ＋1n ＋2>m 对一切n ∈N *成立，因为n ＋1n ＋2＝1－1n ＋2的最小值为23，所以0<m <23．综上，当0<m <23或m >1时，数列{c n }中每一项恒小于它后面的项．（13分）21．解：（1）依题意，圆心G 到定点F （32，0）的距离与到直线l ：x ＝－32的距离相等，∴曲线E 是以F （32，0）为焦点，直线l ：x ＝－32为准线的抛物线．∴曲线E 的方程为y 2＝6x ．（3分）（2）当直线AB 不垂直x 轴时，设直线AB 方程为y ＝kx ＋b （k ≠0）． 由26y kx b y x=+⎧⎨=⎩消去x 得ky 2－6y ＋6b ＝0，Δ＝36－24kb >0． y 1y 2＝6b k ，x 1x 2＝y 216·y 226＝(y 1y 2)236＝b 2k2．OA ·OB ＝x 1x 2＋y 1y 2＝b 2k 2＋6bk＝－9，∴b 2＋6kb ＋9k 2＝0，（b ＋3k ）2＝0，b ＝－3k ，满足Δ>0．∴直线AB 方程为y ＝kx －3k ，即y ＝k （x －3）， ∴直线AB 恒过定点（3,0）．（7分）当直线AB 垂直x 轴时，可推得直线AB 方程为x ＝3，也过点（3,0）． 综上，直线AB 恒过定点（3,0）．（8分） （3）设线段AB 的中点为M （x 0，y 0），则 x 0＝x 1＋x 22＝2，y 0＝y 1＋y 22，k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝y 1－y 2y 216－y 226＝6y 1＋y 2＝3y 0． ∴线段AB 的垂直平分线的方程为y －y 0＝－y 03（x －2）．令y ＝0，得x ＝5，故C （5,0）为定点．又直线AB 的方程为y －y 0＝3y 0（x －2），与y 2＝6x 联立，消去x 得y 2－2y 0y ＋2y 20－12＝0． 由韦达定理得y 1＋y 2＝2y 0，y 1y 2＝2y 20－12． ∴|AB |＝1＋1k 2AB ·|y 1－y 2|＝(1＋y 209)[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2]＝(1＋y 209)[4y 20－4(2y 20－12)]＝23(9＋y 20)(12－y 20)． 又点C 到直线AB 的距离为h ＝|CM |＝9＋y 20，∴S △ABC ＝12|AB |·h ＝13(9＋y 20)2(12－y 20) 令t ＝9＋y 20（t >9），则12－y 20＝21－t ．设f （t ）＝（9＋y 20）2（12－y 20）＝t 2（21－t ）＝－t 3＋21t 2， 则f ′（t ）＝－3t 2＋42t ＝－3t （t －14）．当9<t <14时，f ′（t ）>0；当t >14时，f ′（t ）<0．∴f （t ）在（9,14）上单调递增，在（14，＋∞）上单调递减．∴当t ＝14时，[f （t ）]max ＝142×7．故△ABC 面积的最大值为1437．（13分）注：第（3）问也可由AB 直线方程y ＝kx ＋b 及x 1＋x 2＝4，推出b ＝3k －2k ，然后转化为求关于k 的函数的最值问题．。