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手写笔记高一数学

高中数学全套笔记

高中数学常用公式及常用结论 1. 元素与集合的关系 U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 2.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==. 3.包含关系 A B A A B B =?=U U A B C B C A ????U A C B ?=ΦU C A B R ?= 6 4.容斥原理 ()()card A B cardA cardB card A B =+- ()() card A B C cardA cardB cardC card A B =++-()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+. 5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个；非空的真子集有2n –2个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式 ()N f x M <- ? 11 ()f x N M N >--. 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(210时，若[]q p a b x ,2∈- =，则{}min max max ()(),()(),()2b f x f f x f p f q a =-=； []q p a b x ,2?- =，{}max max ()(),()f x f p f q =，{}min min ()(),()f x f p f q =. (2)当a<0时，若[]q p a b x ,2∈-=，则{}min ()min (),()f x f p f q =，若[]q p a b x ,2?-=，则{}max ()max (),()f x f p f q =，{}min ()min (),()f x f p f q =. 10.一元二次方程的实根分布依据：若()()0f m f n <，则方程0)(=x f 在区间(,)m n 内至少有一个实根 . 设q px x x f ++=2)(，则

高等数学笔记

第1章函数 §1 函数的概念一、区间、邻域自然数集N整数集Z有理数集Q实数集R 建立数轴后：建立某一实数集A与数轴上某一区间对应区间：设有数a,b,a0)，则称实数集{x|a?δ

a称为N(a,δ)的中心，δ>0称为邻域N(a,δ)的半径。去心邻域：把N(a,δ)的中心点a去掉，称为点a的去心邻域，记为N(a^,δ)={x|0<|x?a|<δ}=N(a,δ)?{a} 注：其中，?{a}表示去掉由a这一个数组成的数集。二、函数概念例1. 设圆的半径为x(x>0)，它的面积A=πx2，当x在(0,+∞)内任取一个数值（记为?x∈(0,+∞)）时，由关系式A=πx2就可以确定A的对应数值。文章来源：https://www.doczj.com/doc/cd4291345.html,/ 例2. 设有半径为r的圆，作圆的内接正n边形，每一边对应的圆心角α=2πn，周长S n=n?2r sinπn，当边数n在自然数集N(n≥3)任取一个数，通过关系式S n=2nr sinπn就有一个S n对应确定数值。函数定义：设有数集X,Y，f是一个确定的对应法则，对?x∈X，通过对应法则f都有唯一的y∈Y与x对应，记为x→f y，或f(x)=y，则称f为定义在X上的函数。其中X称为f的定义域，常记为D f。 X——自变量，Y——因变量。当X遍取X中的一切数时，那么与之对应的y值构成一个数集V f={y|y=f(x),x∈X}，称V f为函数f的值域。文章来源：https://www.doczj.com/doc/cd4291345.html,/ 注意：（1）一个函数是由x,y的对应法则f与x的取值范围X所确定的。把“对应法则f”、“定义域”称为函数定义的两个要素。例如，y=arcsin(x2+2)这个式子，由于x2+2>2，而只有当|x2+2|≤1时，arcsin才有意义，因此这个式子不构成函数关系。又例如，y=ln x2与y=2ln x不是同一个函数，因为定义域不同。而y=ln x2与y=2ln|x|是同一个函数，因为定义域相同。（2）函数的值域是定义域和对应法则共同确定的。（3）确定函数定义域时，注意：若函数有实际意义，需依据实际问题是否有意义来确定。若函数不表示某实际问题，则定义域为自变量所能取得的使函数y=f(x)成立的一切实数所组成的数值。函数的几何意义：设函数y=f(x)定义域为D f，?x∈D f，对应函数值y=f(x)在XOY平面上得到点(x,y)，当x遍取D f中一切实数时，就得到点集P={(x,y)|y=f(x),x∈D f}。点集P称为函数y=f(x)的图形。文章来源：https://www.doczj.com/doc/cd4291345.html,/ 三、函数的几个简单性质 1. 函数的有界性若?M>0,s.t.|f(x)|≤M,x∈I，则称y=f(x)在区间I上有界。否则称f(x)在I上无界。注：s.t.是“使得，满足于”的意思，I表示某个区间。

高等数学学习笔记

第一章代数运算与自然数主要内容： 1、集合与映射的概念 2、映射及其运算 3、代数系统 4、自然数及其他相关定义 5、归纳法原理与反归纳法的运用重点掌握 1、由A →B 的单映射σ的定义为：设2121,,,:a a A a A a B A ≠∈∈→若由σ，就推出)()21a a σσ≠（，则称σ为从A 到B 的单映射。 2、由A →B 的满映射σ的定义为：设B ran B A =→)(,:σσ若，则称σ为从A 到B 的满映射。 3、给出一个由整数集合Z 到自然数集合N 的双射：可考虑分段映射，即将定义域分为小于0、等于0、大于0的整数三部分分别给出其象 4、若集合|A|=n ，则集合A →A 的映射共有n n 种。 5、皮阿罗公理中没有前元的元素为1。 6、自然数a 与b 加法的定义中两个条件为①：'1a a =+②：)'('b a b a +=+. 7、自然数a 与b 相乘的定义中两个条件为: ①：a a =?1;②：a b a b a +?=?' 8、自然数a>b 的定义为:如果给定的两个自然数a 与b 存在一个数k,使得a=b+k ，则称a 大于b,b 小于a,记为a>b 或b

12、若A 是有限集合，则A →A 的不同映射个数为：||||A A 。 13、从整数集合Z 到自然数集合N 存在一个单映射。 14、若A 是有限集合，则不存在A 到其真子集合的单映射。 15、若A 为无限集合，则存在A 的真子集合B 使其与A 等价。 16、存在从自然数集合N 到整数集合Z 的一个满映射，但不是单映射。可考虑将定义域分成奇数、偶数两部分，定义一个与n )1(-有关的映射 17、存在从自然数N 到整数集合Z 的双射。可考虑分段映射 18、代数系统(+R ,?)与代数系统(R,+)是同构的，其中+R 表示正实数集合，R 表示实数集合，?与+就是通常的实数乘法与加法。根据同构定义，只需找到一个从(+R ,?)到(R,+)的一一映射，例如lgx 就可以证明上述论述。 19、令+Q 为正有理数集合，若规定 2 b a b a +=⊕，ab b a =? 则：（1）{+Q ,⊕}构成代数体系，但不满足结合律。（2）{+Q ,?}不构成代数体系，但满足结合律。根据代数体系和结合律的定义可得上述论述成立。 20、若在实数集合中规定b a ⊕=a+b-a ×b ，其中+与×是通常的加法与乘法，则⊕满足结合律。只需证明等式（b a ⊕）⊕c=)(c b a ⊕⊕成立 21、分别利用归纳法与反归纳法可以证明n 个数的算术平均值大于等于这n 个数的几何平均值。归纳法根据定义易证，在运用反归纳法证明时可先证n=2,4,…,n 2都成立，假设命题对n=k 成立，令,...21k a a a S k k +++= 1 ...1211-+++=--k a a a S k k ，利用12111...---≥k k k a a a S 证之成立

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第一章集合 1一般地，研究对象统称为元素（element ），一些元素组成的总体叫集合（set ），也简称集。 2元素与集合的关系；（1）如果a 是集合A 的元素，就说a 属于（belong to ）A ，记作a ∈A （2）如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于（not belong to ）A ，记作a ?A （或a A ）（举例） 3常用数集及其记法非负整数集（或自然数集），记作N 正整数集，记作N *或N +；整数集，记作Z 有理数集，记作Q 4任何一个集合是它本身的子集 5真子集的概念：若集合B A ?，存在元素A x B x ?∈且，则称集合A 是集合B 的真子集（proper subset ）。记作：A B （或B A ） 6空集的概念不含有任何元素的集合称为空集（empty set ），记作：? 规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 7集合基本运算的一些结论： A ∩ B ?A ，A ∩B ?B ，A ∩A=A ，A ∩?=?,A ∩B=B ∩A A ?A ∪B ，B ?A ∪B ，A ∪A=A ，A ∪?=A,A ∪B=B ∪A （ C U A ）∪A=U ，（C U A ）∩A=? 若A ∩B=A ，则A ?B ，反之也成立若A ∪B=B ，则A ?B ，反之也成立若x ∈（A ∩B ），则x ∈A 且x ∈B 若x ∈（A ∪B ），则x ∈A ，或x ∈B ： A A ? ○ 2B A ?，且C B ?，则C A ? 第二章函数 §1.2.2函数的表示法 1．函数的概念：设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数（function ）．记作： y=f(x)，x ∈A ．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域（domain ）；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x ∈A }叫做函数的值域（range ）． 2构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 3 一般地，设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B ∈

高中数学知识点笔记(可编辑修改word版)

基本函数 --- 高中数学知识点笔记 1.函数解析式：y = f (kx +b) ?y = f (x) 2.函数的定义域：指 x，图像在 x 轴上的影子有 3 种情况：分母≠0，平方根内≥0，对数真数>0 解法：先列不等式组，解交集 3.函数的值域：指 y，图像在 y 轴上的影子解法：利用函数单调性；图像法；均值不等式法 4.函数单调性单调递增：函数在区间上，图像由左向右上升，x 变大，y 变大;x 变小，y 变小;即同向变化单调递减：函数在区间上，图像由左向右下降，x 变大，y 变小;x 变小，y 变大;即反向变化会由图像求单调区间；单调区间有多个时，用逗号分隔 5.比较大小的方法利用函数的单调性 6.函数求值；分段函数问题注意 x 的取值范围；不同题型的解法 7.函数图像：会画图像利用函数图像，求定义域、值域、单调区间 8.二次函数：y =ax2+bx +c, a ≠ 0 图像：开口方向，对称轴，顶点坐标，韦达定理，单调区间，值域 9.一次函数：y =kx +b 会画图像：会求单调区间、定义域、值域 k 10.反比例函数: y = x 会画图像：会求单调区间、定义域、值域 k 11.对勾函数: y =x + , k > 0 x 会画图像，会求单调区间、定义域、值域 12.函数零点方程y = f (x) = 0 的根；图像与 x 轴的交点；求法：正负值之间必有零点 13.指数指数与根式的互化，指数为负数时的含义，指数运算公式

14.指数函数 f (x) =a x, a > 0, a ≠ 1, x ∈R, y > 0；当a > 1时，单调递增；当0 0, a ≠ 1, x > 0, y ∈R；当a > 1时，单调递增；当0