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第一章集合1一般地，研究对象统称为元素（element），一些元素组成的总体叫集合（set），也简称集。

2元素与集合的关系；

（1）如果a是集合A的元素，就说a属于（belongto）A，记作a∈A

（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于（notbelongto）A，记作a?A （或aA）（举例）

3常用数集及其记法

非负整数集（或自然数集），记作N

正整数集，记作N*或N+；

整数集，记作Z

有理数集，记作Q

4任何一个集合是它本身的子集

5真子集的概念：若集合B

A?，存在元素A

∈且，则称集合A是集合B的真

子集（propersubset）。记作：A B（或B A）

6空集的概念

不含有任何元素的集合称为空集（emptyset），记作：?

规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集

7集合基本运算的一些结论：

A∩B?A，A∩B?B，A∩A=A，A∩?=?,A∩B=B∩A

A?A∪B，B?A∪B，A∪A=A，A∪?=A,A∪B=B∪A

（C U A）∪A=U，（C U A）∩A=?

若A∩B=A，则A?B，反之也成立

若A∪B=B，则A?B，反之也成立

若x∈（A∩B），则x∈A且x∈B

若x∈（A∪B），则x∈A，或x∈B

：A

A?B

B?，则C

A?，且C

第二章函数

§1.2.2函数的表示法

1．函数的概念：

设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数（function）．

记作：y=f(x)，x∈A．

其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域（range）．

2构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域

3一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射（mapping）．

记作“f：A→B”说明：（1）这两个集合有先后顺序，A到B的射与B到A的映射是截不同的．其中f表示具体的对应法则，可以用汉字叙述

补充：复合函数

如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则y=f[g(x)]=F(x)(x∈

A)称为f、g的复合函数。

1.3.1函数的单调性

1．增函数

一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，

如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1

注意：

函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；

必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1

如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间：

3．判断函数单调性的方法步骤

利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：

任取x1，x2∈D，且x1

作差f(x1)－f(x2)；

变形（通常是因式分解和配方）；

定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；

下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．

§1.3.2函数的奇偶性

1．偶函数（evenfunction）（偶函数的图象关于y轴对称）；

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．

仿照偶函数的定义给出奇函数的定义

2．奇函数（oddfunction）（奇函数的图象关于原点对称）

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．

注意：作出相应结论：若f(－x)=f(x)或f(－x)－f(x)=0，

则f(x)是偶函数；若f(－x)=－f(x)或f(－x)＋f(x)=0，f(x)

是奇函数．

注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必

要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称

则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定;(2)由

f(-x)±f(x)=0或f(x)／f(-x)=±1来判定;(3)利用定理，

或借助函数的图象判定.

§1.3.1函数的最大（小）值

（一）函数最大（小）值定义

1．最大值

一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：

（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；

（2）存在x0∈I，使得f(x0)=M

那么，称M是函数y=f(x)的最大值（MaximumValue）．

思考：仿照函数最大值的定义，给出函数y=f(x)的最小值（MinimumValue）的定义．（学生活动）

注意：

函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x0∈I，使得f(x0)=M；

函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x∈I，都有f(x)≤M（f(x)≥M）．

2．利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法

利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值

利用图象求函数的最大（小）值

利用函数单调性的判断函数的最大（小）值

如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；

如果函数y=f(x)在区间[a ，b]上单调递减，在区间[b ，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b 处有最小值f(b)；

§2.1.1指数

（一）指数与指数幂的运算

1．根式的概念

一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根（nthroot ），其中n >1，且n ∈N *．当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数．此时，

a 的n 次方根用符号n a 表示．

式子n a 叫做根式（radical ），这里n 叫做根指数（radicalexponent ），a 叫做被开方数（radicand ）．

当n 是偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数．此时，正数a 的正的n 次方根用符号n a 表示，负的n 次方根用符号－n a 表示．正的n 次方根与负的n 次方根可以合并成±n a （a >0）．

由此可得：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n ．思考：（课本P 58探究问题）n n a =a 一定成立吗？．（学生活动）结论：当n 是奇数时，a a n n =

当n 是偶数时，?

??<≥-==)0()0(||a a a a a a n

．分数指数幂

正数的分数指数幂的意义规定：

．有理指数幂的运算性质（1）r a ·s r r a a += ),,0(Q s r a ∈>；（2）rs s r a a =)(

),,0(Q s r a ∈>；

（3）s

r a

()

)

ab=

a∈

>．

§2.1.2指数函数及其性质

（一）指数函数的概念

一般地，函数)1

=且叫做指数函数（exponentialfunction），其中x

y x≠

是自变量，函数的定义域为R．

2．你能根据指数函数的图象的特征归纳出指数函数的性质吗？

课题：§2.2.1对数

1．对数的概念

一般地，如果N a x =)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数（Logarithm ），记作：

a —底数，N —真数，N a log —对数式

说明：注意底数的限制0>a ，且1≠a ；对数的性质

（1）负数和零没有对数；（2）1的对数是零：01log =a ；（3）底数的对数是1：1log =a a ；（4）对数恒等式：N a N

=log ；

（5）n a n a =log ．

：§

（一）对数函数的概念

1．定义：函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函数（logarithmicfunction ）

其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．

注意：对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别．如：x y 2log 2=，

log 5

y =都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．对数指数对数

（二）对数的运算性质

如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么： M a (log ·=)N M a log ＋N a log ；

log M a log －N a log ； n a M log n =M a log )(R n ∈．

注意：换底公式

b c c a log log log =

（0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ；0>b ）．利用换底公式推导下面的结论（1）b m

n b a n a m

log log =；（2）a

b b a log 1

log =

．函数对底数的限制：0(>a ，且)1≠a ．

类比指数函数图象和性质的研究，研究对数函数的性质并填写如下表

高中数学全套笔记

高中数学常用公式及常用结论 1. 元素与集合的关系 U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 2.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==. 3.包含关系 A B A A B B =?=U U A B C B C A ????U A C B ?=ΦU C A B R ?= 6 4.容斥原理 ()()card A B cardA cardB card A B =+- ()() card A B C cardA cardB cardC card A B =++-()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+. 5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个；非空的真子集有2n –2个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式 ()N f x M <- ? 11 ()f x N M N >--. 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(210时，若[]q p a b x ,2∈- =，则{}min max max ()(),()(),()2b f x f f x f p f q a =-=； []q p a b x ,2?- =，{}max max ()(),()f x f p f q =，{}min min ()(),()f x f p f q =. (2)当a<0时，若[]q p a b x ,2∈-=，则{}min ()min (),()f x f p f q =，若[]q p a b x ,2?-=，则{}max ()max (),()f x f p f q =，{}min ()min (),()f x f p f q =. 10.一元二次方程的实根分布依据：若()()0f m f n <，则方程0)(=x f 在区间(,)m n 内至少有一个实根 . 设q px x x f ++=2)(，则

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第一章集合 1一般地，研究对象统称为元素（element ），一些元素组成的总体叫集合（set ），也简称集。 2元素与集合的关系；（1）如果a 是集合A 的元素，就说a 属于（belong to ）A ，记作a ∈A （2）如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于（not belong to ）A ，记作a ?A （或a A ）（举例） 3常用数集及其记法非负整数集（或自然数集），记作N 正整数集，记作N *或N +；整数集，记作Z 有理数集，记作Q 4任何一个集合是它本身的子集 5真子集的概念：若集合B A ?，存在元素A x B x ?∈且，则称集合A 是集合B 的真子集（proper subset ）。记作：A B （或B A ） 6空集的概念不含有任何元素的集合称为空集（empty set ），记作：? 规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 7集合基本运算的一些结论： A ∩ B ?A ，A ∩B ?B ，A ∩A=A ，A ∩?=?,A ∩B=B ∩A A ?A ∪B ，B ?A ∪B ，A ∪A=A ，A ∪?=A,A ∪B=B ∪A （ C U A ）∪A=U ，（C U A ）∩A=? 若A ∩B=A ，则A ?B ，反之也成立若A ∪B=B ，则A ?B ，反之也成立若x ∈（A ∩B ），则x ∈A 且x ∈B 若x ∈（A ∪B ），则x ∈A ，或x ∈B ： A A ? ○ 2B A ?，且C B ?，则C A ? 第二章函数 §1.2.2函数的表示法 1．函数的概念：设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数（function ）．记作： y=f(x)，x ∈A ．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域（domain ）；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x ∈A }叫做函数的值域（range ）． 2构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 3 一般地，设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B ∈

高中数学知识点笔记(可编辑修改word版)

基本函数 --- 高中数学知识点笔记 1.函数解析式：y = f (kx +b) ?y = f (x) 2.函数的定义域：指 x，图像在 x 轴上的影子有 3 种情况：分母≠0，平方根内≥0，对数真数>0 解法：先列不等式组，解交集 3.函数的值域：指 y，图像在 y 轴上的影子解法：利用函数单调性；图像法；均值不等式法 4.函数单调性单调递增：函数在区间上，图像由左向右上升，x 变大，y 变大;x 变小，y 变小;即同向变化单调递减：函数在区间上，图像由左向右下降，x 变大，y 变小;x 变小，y 变大;即反向变化会由图像求单调区间；单调区间有多个时，用逗号分隔 5.比较大小的方法利用函数的单调性 6.函数求值；分段函数问题注意 x 的取值范围；不同题型的解法 7.函数图像：会画图像利用函数图像，求定义域、值域、单调区间 8.二次函数：y =ax2+bx +c, a ≠ 0 图像：开口方向，对称轴，顶点坐标，韦达定理，单调区间，值域 9.一次函数：y =kx +b 会画图像：会求单调区间、定义域、值域 k 10.反比例函数: y = x 会画图像：会求单调区间、定义域、值域 k 11.对勾函数: y =x + , k > 0 x 会画图像，会求单调区间、定义域、值域 12.函数零点方程y = f (x) = 0 的根；图像与 x 轴的交点；求法：正负值之间必有零点 13.指数指数与根式的互化，指数为负数时的含义，指数运算公式

14.指数函数 f (x) =a x, a > 0, a ≠ 1, x ∈R, y > 0；当a > 1时，单调递增；当0 0, a ≠ 1, x > 0, y ∈R；当a > 1时，单调递增；当0