高一数学笔记Revised on November 25, 2020
第一章集合
1一般地，研究对象统称为元素（element ），一些元素组成的总体叫集合（set ），也简称集。 2元素与集合的关系；
（1）如果a 是集合A 的元素，就说a 属于（belongto ）A ，记作a ∈A （2）如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于（notbelongto ）A ，记作a ?A （或aA ）（举例） 3常用数集及其记法
非负整数集（或自然数集），记作N 正整数集，记作N *或N +； 整数集，记作Z 有理数集，记作Q
4任何一个集合是它本身的子集
5真子集的概念：若集合B A ?，存在元素A x B x ?∈且，则称集合A 是集合B 的真子集（propersubset ）。记作：A B （或B A ） 6空集的概念
不含有任何元素的集合称为空集（emptyset ），记作：? 规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 7集合基本运算的一些结论：
A ∩
B ?A ，A ∩B ?B ，A ∩A=A ，A ∩?=?,A ∩B=B ∩A A ?A ∪B ，B ?A ∪B ，A ∪A=A ，A ∪?=A,A ∪B=B ∪A
（C U A）∪A=U，（C U A）∩A=?
若A∩B=A，则A?B，反之也成立
若A∪B=B，则A?B，反之也成立
若x∈（A∩B），则x∈A且x∈B
若x∈（A∪B），则x∈A，或x∈B
：A
A?B
A?
B?，则C
A?，且C
第二章函数
§1.2.2函数的表示法
1．函数的概念：
设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A →B为从集合A到集合B的一个函数（function）．
记作：y=f(x)，x∈A．
其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain）；与x 的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域（range）．
2构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域
3一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射（mapping）．记作“f：A→B”说明：（1）这两个集合有先后顺序，A到B的射与B到A 的映射是截不同的．其中f表示具体的对应法则，可以用汉字叙述
补充：复合函数
如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则
y=f[g(x)]=F(x)(x∈A)称为f、g的复合函数。
1.3.1函数的单调性
1．增函数
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，
如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1 思考：仿照增函数的定义说出减函数的定义．（学生活动） 注意： 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； 必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1 f(x1) 2．函数的单调性定义 如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间：3．判断函数单调性的方法步骤 利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤： 任取x1，x2∈D，且x1 作差f(x1)－f(x2)； 变形（通常是因式分解和配方）； 定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）； 下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）． §1.3.2函数的奇偶性 1．偶函数（evenfunction）（偶函数的图象关于y轴对称）； 一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数． 仿照偶函数的定义给出奇函数的定义 2．奇函数（oddfunction）（奇函数的图象关于原点对称） 一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数． 注意：作出相应结论：若f(－x)=f(x)或f(－x)－ f(x)=0，则f(x)是偶函数；若f(－x)=－f(x)或f(－x) ＋f(x)=0，f(x)是奇函数． 注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性 的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称， 若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定 义判定;(2)由f(-x)±f(x)=0或f(x)／f(-x)=±1来判 定;(3)利用定理，或借助函数的图象判定. §1.3.1函数的最大（小）值 （一）函数最大（小）值定义 1．最大值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： （1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M； （2）存在x0∈I，使得f(x0)=M 那么，称M是函数y=f(x)的最大值（MaximumValue）． 思考：仿照函数最大值的定义，给出函数y=f(x)的最小值（MinimumValue）的定义．（学生活动） 注意： 函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x0∈I，使得f(x0)=M； 函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x∈I，都有f(x)≤M（f(x)≥M）． 2．利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值 利用图象求函数的最大（小）值 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值 如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)； 如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)； §2.1.1指数 （一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念 一般地，如果a x n ，那么x叫做a的n次方根（nthroot），其中n>1，且n∈N*． 当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数．此时，a的n次方根用符号n a表示． 式子n a叫做根式（radical），这里n叫做根指数（radicalexponent），a 叫做被开方数（radicand）． 当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数．此时，正数a的正的n次方根用符号n a表示，负的n次方根用符号－n a表示．正的n次方根与负的n次方根可以合并成±n a（a>0）． 由此可得：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n ． 思考：（课本P 58探究问题）n n a =a 一定成立吗．（学生活动） 结论：当n 是奇数时，a a n n = 当n 是偶数时，? ??<≥-==)0()0(||a a a a a a n n ．分数指数幂 正数的分数指数幂的意义 规定： ．有理指数幂的运算性质 （1）r a ·s r r a a += ),,0(Q s r a ∈>； （2）rs s r a a =)( ),,0(Q s r a ∈>； （3）s r r a a ab =)( ),0,0(Q r b a ∈>>． §2.1.2指数函数及其性质 （一）指数函数的概念 一般地，函数)1a ,0a (a y x ≠>=且叫做指数函数 （exponentialfunction ），其中x 是自变量，函数的定义域为R ． 2．你能根据指数函数的图象的特征归纳出指数函数的性质吗 课题：§2.2.1对数 1．对数的概念 一般地，如果N a x =)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数 （Logarithm ），记作： a —底数，N —真数，N a log —对数式 说明：注意底数的限制0>a ，且1≠a ； 对数的性质 （1）负数和零没有对数；（2）1的对数是零：01log =a ； （3）底数的对数是1：1log =a a ；（4）对数恒等式：N a N a =log ； （5）n a n a =log ． ：§ （一）对数函数的概念 1．定义：函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函数 （logarithmicfunction ） 其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）． 注意：对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨 别．如：x y 2log 2=，5 log 5 x y =都不是对数函数，而只能称其为对数型函数． 对数指数对数 （二）对数的运算性质 如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么： M a (log ·=)N M a log ＋N a log ； =N M a log M a log －N a log ； n a M log n =M a log )(R n ∈． 注意：换底公式 a b b c c a log log log = （0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ； 0>b ）． 利用换底公式推导下面的结论 （1）b m n b a n a m log log =；（2）a b b a log 1log =． 函数对底数的限制：0(>a ，且)1≠a ． 类比指数函数图象和性质的研究，研究对数函数的性质并填写如下表
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