人教新课标版初中八上第11章全等三角形拔高题精选
一、学科内综合题(每小题8分，共32分)
1．已知一个三角形的两边分别是10和7，则第三边上的中线的取值范围是多少？
2．如图11-全-1所示，已知△ABC中，AB=AC，D是CB延长线上的一点，∠ADB=60°，E是AD上一点，且有DE=DB．求证：AE=BE+BC．
3．如图11-全-2所示，点C是线段AB上任意点（C点与A、B点不重合），分别以AC、BC为边在直线AB的同侧作等边△ACD和等边△BCE，AE与CD相交于点M，BD与CE相交于点N．
（1）求证：△ACE≌△DCB；
（2）求证：MN∥AB．
4．如图11-全-3所示，在△ABC中，AF平分∠BAC交BC于F，FD⊥AB于D，FE⊥AC 于E．求证：AF垂直平分DE．
二、学科间综合题（6分）
5．如图11-全-4所示是某房间木地板的一个图案，其中AB=BC=CD=DA，AE=CE=CF=FA；
图案由深色的全等三角形木块（阴影部分）和浅色的全等三角形土块（无阴影部分）拼成，这个图案的面积是0.05m2,若房间的面积是13 m2，问最少需要深色木块和浅色木块各多少块？
三、应用题（每小题6分，共12分）
6．传说在19世纪初，一位将军率领部队在一河边与敌军激战，为使炮弹准确落到河对岸的敌军陈地，将军站在河岸边，将帽子压低，使视线沿着帽檐恰好落到河对岸的边线上，然后他一步步向后退，一直退到视线落到河岸边自己原来站的位置为止，如图11-全-5
所示．这时，他后退的距离便是河的宽度，请想一想，这是为什么？
7．如图11-全-6所示，要在两条公路的中间建一座加油站，位置选在距两条公路的距离相等，并且到两条公路的交叉点A处的距离为2 cm(指图上距离)，图中加油站的位置是在什么地方？请说明理由．
四、创新题（每小题7分，共49分）
8．如图11-全-7所示，已知AD是△ABC的中线，AE是△ABD的中线，AB=BD．求证：AC=2AE．
9．如图11-全-8①所示，A，E，F，C在一条直线上，AE=CF，过E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，若AB=CD．
求证：BD平分EF，若将△DEC的边EC沿AC方向平移为图②，其余条件不变，上述结论是否成立？请说明理由．
10．如图11-全-9所示，在△ABC中，BE、CF分别为两条边上的高，在BE上截取BD=AC，在CF（或其延长线）上截取CG=AB，连接AD，AG，试判断AG与AD的大小关系及位置关系，并证明你的结论．
11．如图11-全-10所示，在△ABC中，AC⊥BC，AC=BC，直线EF交AC于F，交AB于E，交BC的延长线于D，连接AD，BF，CF=CD．求证：BF=AD，BF⊥AD．
12．已知如图11-全-11所示，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，过A作直线ED，使ED⊥BE于E，CD⊥ED于D．
求证：ED=BE+CD．
13．已知如图11-全-12所示，在等腰Rt△ABC中，∠ABC的平分线交AC于D，从C向BD的延长线作垂线，垂足为E．求证：BD=2CE．
14．已知如图11-全-13所示，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E、F分别是AB，AC 边上的点，且∠AED+∠AFD=180°．求证DE=DF．
五、中考题（每小题7分，共21分）
15．（2005·南充）如图11-全-14所示，四边形ABCD中，AB=AD，AC平分∠BCD，AE ⊥BC，AF⊥CD，图中有无和△ABE全等的三角形？请说明理由．
16．（2006·北京）已知，如图11-全-15所示，AB∥ED，点F、点C在AD上，AB=DE，AF=DC．
求证：BC=EF．
17．（2007·山西）如图11-全-16，在正方形ABCD 中，E 是CD 边的中点，AC 与BE 相交
于点F
，连接DF ．
（1）在不增加点和线的前提下，直接写出图中所有的全等三角形；
（2）连接AE ，试判断AE 与DF 的位置关系，并证明你的结论；
（3）延长DF 交于BC 于点M ，试判断BM 与MC 的数量关系．（直接写出结论）
六、附加题（20分）
18．如图11-全-17所示，已知AB=DC ，AE=DF ，CE=FB ．
求证：AF=DE ．
参考答案
一、1．分析：利用平移的手段，构建一个三角形，使中线与已知两边位于同一三角形中，
如图11-全-1′所示，再利用三边关系确定其范围． 解：在△ABC 中，AB=7，AC=10，AD 为BC 边上中线，延长AD 到E ，使DE=AD ，
连接CE ，则在△ABD 和△ECD 中，
,,
,AD DE BD DC ADB EDC =??
=??∠=∠?
∴△ABD ≌△ECD ， ∴AB=EC=7．
在△ACE 中，由三边关系可得10-7＜AE ＜10+7，即3＜2AD ＜17, 所以1.5＜AD ＜8.5． 点拨：此题是三角形全等和三边关系相结合的综合题，题中引的辅助线是常见的将中线与边联系起来的作法． 2．分析：方法一：如图11-全-2′所示，延长BC 到F ，使CF=BD ，连接AF ，要证AE=BE+BC ，即证AE=BF ，显然△BDE 为等边三角形，所以若AE=BF 成立，则△ADF 为等边三角形，故此方法的关键是证明△ADF 为等边三角形，可通过△ABD ≌△ACF 来证明AD=AF ，从而证明△ADF 为等边三角形．
方法二：如图11-全-3′所示，在AE 上截取AM=BE ，即要证明AE=BE+BC ，转化为证明EM=BC ，同方法一一样，需证明△MDC 为等边三角形，则需证明MD=MC ，而AE=MD ，所以转化为证明AE=MC ，故关键是如何证明△ABE ≌△CAM ，它的条件是已知AB=AC ，AM=BE ，还缺∠1=∠MAC （易证）．
证明：方法一：如图11-全-2′所示，延长BC 到F ，使CF=BD ，连接AF ， ∵AB=AC ，∴∠ABD=∠ACF ，而AB=AC ，BD=CF ， ∴△ABD ≌△ACF ，∴AD=AF ． 又∵BD=BE ，∠ADB=60°， ∴△BDE 为等边三角形． ∴△ADF 也是等边三角形． ∴DA=DF ，∴AE=BF ． ∴AE=BC+BE ．
方法二：如图11-全-3′所示， 在AE 上截取AM=BE ，连结CM ， ∵BD=BE ，∠D=60°， ∴△BDE 为等边三角形．
∴∠ABD=60°+∠1，∠ACF=60°+∠MAC ．
又∵AB=AC ，∴∠ABD=∠ACF ，∴∠1=∠MAC ．
而AB=AC ，AM=BE ，∴△ABE ≌△CAM ，∴AE=CM ． ∵AE=AM+ME ，AM=BE=DE ， ∴MD=MC ，
∴△DMC 为等边三角形． ∴DM=DC ，∴EM=BC ． ∴AE=BE+BC ．
点拨：证明一条线段等于另两条线段时的常用办法是：割补法．如方法一中，在较短的线段BC 的延长线上截取（补）CF=BE ，如方法二中在较长的线的AE 上截取（割）AM=BE ，从而问题转化为证明两条线段相等的问题． 3．分析：（1）要证△ACE ≌△DCB ，只需证明∠ACE=∠DCB 即可，已知AC=DC ，CE=BC ． (2)要证MN ∥AB ，只需证明∠CNM=∠NCB=60°即可，则需证明△CMN 为等边三角形，可通过△CME ≌△CNB 来实现 证明：（1）在△ACE 和△DCB 中，
,120,AC CD ACE DCB CE CB =??
∠=∠=???=?
∴△ACE ≌△DCB （SAS ）． （2）如图11-全-4′所示， ∵△ACE ≌△DCB ，
∴∠1=∠2（全等三角形对应角相等）． 又∵CE=CB ，∠3=∠4=60°， ∴△CME ≌△CNB ． ∴CM=CN ．
∴△CMN 为等边三角形． ∴∠MNC=∠3=60°． ∴MN ∥AB ．
点拨：利用等边三角形边角的特殊性证明是关键．
4．分析：由角平分线和FD ⊥AB ，FE ⊥AC 可证得△ADF ≌△AEF ，再由等腰三角形的性质可证AF 垂直平分DE ．
证明：在△ADF 和△AEF 中，
,90,,DAF EAF ADF AEF AF AF ∠=∠??
∠=∠=???=?
∴△ADF ≌AEF(AAS)．
∴AD=AE(全等三角形对应边相等)．
∴AF 垂直平分DE （等腰三角形三线合一）． 点拨：选择恰当的全等关系，使证明简单明了．
二、5．分析：房间面积除以每个图案面积可求出所需的木块数．
解：13÷0.05=260，而每个图案正由4个深色、2个浅色的三角形构成，故深色木块为
260×4=1040(块)；浅色木块为260×2=520(块)． 点拨：观察图案特征寻找解题规律．
三、6．分析：要说明BB ′=BC ，只需证它们所在的三角形全等即可． 证明：由题意知AB=A ′B ′，AB ⊥BC ，A ′B ′⊥B ′C ′，AC ∥A ′C ′， ∴∠ABC=∠A ′B ′C ′=90°， ∠C=∠B ， 故△ABC ≌△A ′B ′C ′（AAS ）． BC= B ′C ′(全等三角形的对应边相等)． 即BB ′=BC ． 故他后退的距离便是河的长度．
7．分析：加油站的位置到角两边的距离相等，可知它必在∠BAC
的平分线上．
解：如图11-全-5′所示，AP 平分∠BAC ，P 为加油站所处位
置，且PA2 cm ，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，P 到BA 、AC 的距离相等． 点拨：此题是角平分线性质在实际生活中的一个应用．
四、8．分析：可证AC=2AE ，可尝试把AE 延长一倍后，如图
11-全-6′所示，证明AF=AC 可先证△AEB ≌△FED ，再证△ACD ≌△AFD ． 证明：延长AE 到F ，使EF=AE ，连接DF ，在△AEB 和△FED 中，
,,,AE EF AEB FED EB DE =??
∠=∠??=?
∴△AEB ≌△FED ，
∴DF=AB ，∠EDF=∠B ． ∵AD 是△ABC 的中线， AB=BD ，
∴CD=BD=AB=DF ．
又∵∠ADC=∠B+∠BAD ， ∠BAD=∠BDA ，∠B=∠BDF ， ∴∠ADC=∠BDA+∠BDF=∠ADF ． 在△ACD 和△AFD 中，
,,,CD DF ADC ADF AD AD =??
∠=∠??=?
∴△ACD ≌△AFD ．
∴AC=AF ．
又∵AF=2AE ，∴AC=2AE ．
点拨：证明一条线段是另一条线段的两倍（或一半）时，常用的方法：找出或作出等于较短线段的两倍的线段，证它与较长线段相等（称为加倍法）；找出或作出等于较长线段的一半的线段，证它与较短线段相等（称为折半法）．本题采用的是加倍法．
9．分析：由题意可证Rt △ABF ≌Rt △CDE ，再证△BFG ≌△DEG ，移动后上述结论仍成立，
道理相同． 证明：∵AE=CF ， ∴AF=EC ，又∵∠AFB=∠CED=90°． 在Rt △ABF 和Rt △CDE 中，
,,AB CD AF CE =??
=? ∴Rt △ABF ≌Rt △CDE(HL)． ∴BF=DE(全等三角形对应边相等)． 在△BFG 和△DEG 中， ,90,.BF DE BFG DEG BGF DGE =??
∠=∠=???∠=∠?
∴△BFG ≌△DEG （AAS ）． ∴EG=GF ，
即BD 平分EF ，
若将△AEC 沿AC 方向平移后，上述结论仍成立， ∵AE=FC ，
∴AF=EC ．
∴∠AFB=∠CED=90°． 在Rt △ABF 和Rt △CDE 中， ,
,AB CD AF EC =??
=?
∴Rt △ABF ≌CDE(LH)．
∴BF=ED(全等三角形对应边相等)． 在△BFG 和△DEG 中，
,90,,BF DE BFG DEG BGF DGE =??
∠=∠=???∠=∠?
∴△BFG ≌△DEG （AAS ）．
∴EG=GF （全等三角形对应边相等）， 即BD 平分EF ．
点拨：对应图形特点，寻找规律、培养能力． 10．分析：要判断AG 与AD 的大小及位置关系，即探讨AG 与AD 是否相等以及是否垂直，
而AG 与AD 可分别看作是△AGC 、△DAB 的边，则可探讨这两三角形是否全等，看条件：BD=AC ，GC=AB ，若能证明∠ABD=∠ACG ，则这两个三角形全等，进而可推出AD 与AG 的位置关系． 证明：∵BE ⊥AC ，CF ⊥AB ，∠BOF=COE ，
∴∠ABD=∠ACG ． 又∵BD=AC ，CG=AB ， ∴△DAG ≌△AGC ．
∴AG=AD ，∠BAD=∠G ．
∵CG ⊥AB ，∴∠G+∠GAF=90°． ∴∠BAD+∠GAF=90°， 即AG ⊥AD ．
∴AG 与AD 的大小关系是AG=AD ． 位置关系是AG ⊥AD ． 点拨：要判断两条线段大小关系一般是探讨它们是否相等，要判断线段位置关系一般探讨它们是否平行、垂直、平分等．
11．分析：由题意可证得△BCF ≌△ACD ，从而得到BF=AD ，BF ⊥AD ．
证明：在△BCF 和△ACD 中，
,90,,AC BC ACD BCF CD CF =??
∠=∠=???=?
∴△ACD ≌△BCF(SAS)． ∴BF=AD ，
∠FBC=∠DAC （全等三角形对应边、对应角相等）． 延长BF 交AD 于G 点， ∵∠DAC+∠ADC=90°， ∴∠FBC+∠ADC=90°． ∴BF ⊥AD ．
点拨：选择证△BFC 和△ACD 全等是解题的关键．
12．分析：由题意可证△ABE ≌△CAD ，得到AE=CD ，AD=BE ，从而问题可证． 证明：∵∠BAC=90°， ∴∠EAB+∠DAC=180°-90°=90°． 又∵∠EAB+∠EBA=90°， ∴∠EBA=∠DAC ． 在△ABE 和△CAD 中， ,
90,.EBA DAC E D BA AC ∠=∠??
∠=∠=???=?
∴△ABE ≌△CAD （AAS ）．
∴AE=CD ，AD=EB （全等三角形对应边相等）． ∴AE+AD=CD+EB ， 即ED=BE+CD ．
点拨：此题中证∠EBA=∠DAC 是用同角的余角相等证明的，这种证明角相等的方法较常见．
13．分析：由已知条件无法直接得到BD=2CE ，可尝试引辅助线，延长CE ，BA 相交于F ，
如图11-全-7′所示，可先证△BEF ≌△BEC 得到∠ABE=∠ACF ，再证△ABD ≌△ACF 可得到BD=2CE ． 证明：延长CE 交BA 的延长线于F ．
在△BEF 和△BEC 中，
,,
,FBE CBE BE BE FEB CEB ∠=∠??
=??∠=∠?
∴△BEF ≌△BEC （ASA ）． ∴∠ABD=∠ACF ，EC=EF （全等三角形对应边、对应角相等）． 在△ABD 和△ACF 中，
,,
90,ABD ACF BA AC BAC CAF ∠=∠??
=??∠=∠=??
∴△ABD ≌△ACF(ASA)． ∴BD=FC ，又∵EC=FE ， ∴BD=2CE ．
点拨：引辅助线不要盲目，要能构造全等关系．
14．分析：由已知得不到所要结论，故可尝试引辅助线，因为AD 是角平分线，可过D 作
AB ，AC 的垂线，如图11-全-8′所示，证△DEG ≌△DFH 即可． 证明：过D 作DG ⊥AB 于G ，DH ⊥AG 于H ．
∵AD 平分∠BAC ， ∴DG=DH ．
∵∠AFD=∠DFH=180°，∠AED+∠AFD=180°， ∴∠AED=∠DFH ． 在△GED 和△HFD 中，
,90,,GED DFH EGD FHD GD DH ∠=∠??
∠=∠=???=?
∴△GED ≌△HFD （AAS ）．
∴DE=DF （全等三角形对应边相等）． 点拨：正确引辅助线是解题的关键．
五、15．分析：由角平分线性质知AE=AF ，所以△ABE ≌△ADF ．
解：∵△ADF 和△ABE 全等．
∵AC 平分∠BCD ，AE ⊥BC ，AF ⊥CD ， ∴AE=AF ． 又∵AB=AD ，
∴Rt △ABE ≌△Rt △ADF ．
点拨：应用角平分线性质和“HL ”．
16．分析：本题主要考查三角形全等的判定．现在知道AB=DE ，AF=DC ． 解：由题意要证BC=EF ，并且BC 、EF 分别在两个三角形中，只有证△ABC ≌△DEF
才可得．要证三角形全等，现在只知道AB=DE ，还需要∠A=∠D ，AC=DF 才可． 证明：因为AB ∥DE ，所以∠A=∠D ． 又∵AF=DC ，∴AF+CF=DC+CF ，即AC=DF ．
在△ABC 与△DEF 中,
,.AB DE A D AC DF =??
∠=∠??=?
∴△ABC ≌△DEF ．
∴BC=EF ．
点拨：先找出全等的两个三角形，再证明，利用AB ∥ED ，AF=DC ，CD=CE ，不难发现全等．
17．分析：(1)由正方形的性质便可得出三对全等三角形．
(2)需证两对三角形全等．△ADF ≌△ABF ，△ADE ≌△BCE ．(3)观察猜想即可． (1)解：△ADC ≌△ABC ，△ADF ≌△ABF ，△CDF ≌△CBF ． (2)AE ⊥DF ．
证法1：设AE 与DF 相交于点H ． ∵四边形ABCD 是正方形， ∴AD=AB ，∠DAF=∠BAF ．
又∵AF=AF ，∴△ADF ≌△ABF ，
∴∠1=∠2，又∵AD=BC ，∠ADE=∠BCE=90°， DE=CF ，
∴△ADE ≌△BCE ，∴∠3=∠4， ∵∠2+∠4=90°，∴∠1=∠3=90°． ∴∠AHD=90°，∴AE ⊥DE ．
证法2：如图11-全-9′，设AE 和DF 相交于点H ． ∵四边形ABCD 是正方形，∴DC=BC ，∠DCF=BCF ． 又∵CF=CF ，∴△DCF ≌△BCF ，∴∠4=∠5． 又∵AD=BC ，∠ADE=∠BCE=90°，DE=CF ，
∴△ADE ≌△BCE ，∴∠6=∠7，∵∠4+∠6=90°， ∴∠5+∠7=90°，∴∠EHD=90．∴AE ⊥DE ． 证法3：同“证法1”得△ADE ≌△BCE ． ∴EA=EB ．∴∠EAB=∠2．∴∠EAB=∠1． ∵∠EAB+∠3=90°，∴∠1+∠3=90°． ∴∠AHD=90°．∴AE ⊥DF ． （3）解：BM=MC ．
点拨：此题综合考查了图形的主要知识，培养学生综合运用知识能力．
六、18．分析：假设AF=DE ，应用△AEF ≌△DFE ，这只要有∠AEF=∠DFE ，如何得到
∠AEF=∠DFE 呢？因为AB=DC ，AE=DF ，又有CE=BF ，则CE+EF=EF+FB ，即CF=EB ，故△AEB ≌△DFC ，可利用全等三角形对应角相等， 则有∠AEF=∠DFE ．
证明：∵CE=BF ，∴CE+EF=EF+FB ，即CF=EB ． 又∵AB=DC ，AE=DF ， ∴△AEB ≌△DFC （SSS ）．
则∠AEF=∠DFE （全等三角形对应角相等）． 在△AEF 和△DFE 中，
,,,AE DF AEF DFE EF EF =??
∠=∠???=?
△AEF ≌△DFE （SAS ）
， ∴AF=DE （全等三角形对应角相等）．
点拨：以“已知”看“需知”的分析方法，为寻找一个正确的证题提供了方向和方法，一般在证题时，常采取“从结论看需知，从已知看可知”的“两头凑”的方法．