新人教版八年级上册数学第11章：全等三角形综合复习
切记：“有三个角对应相等”和“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等。
例1. 如图，,,,A F E B 四点共线，AC CE ⊥，BD DF ⊥，AE BF =，AC BD =。求证：ACF BDE ???。
例 2. 如图，在ABC ?中，BE 是∠ABC 的平分线，AD BE ⊥，垂足为D 。求证：21C ∠=∠+∠。
例3. 如图，在ABC ?中，AB BC =，90ABC ∠=。F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，BE BF =，连接,AE EF 和CF 。求证：AE CF =。
例4. 如图，AB //CD ，AD //BC ，求证：AB CD =。
例5. 如图，,AP CP 分别是ABC ?外角MAC ∠和NCA ∠的平分线，它们交于点P 。求证：
BP 为MBN ∠的平分线。
例6. 如图，D 是ABC ?的边BC 上的点，且CD AB =，ADB BAD ∠=∠，AE 是ABD ?的中线。求证：2AC AE =。
例7. 如图，在ABC ?中，A B A C >，12∠=∠，P 为AD 上任意一点。求证：AB AC PB PC ->-。
同步练习
一、选择题：
1. 能使两个直角三角形全等的条件是( ) A. 两直角边对应相等 B. 一锐角对应相等 C. 两锐角对应相等
D. 斜边相等
2. 根据下列条件，能画出唯一ABC ?的是( ) A. 3AB =，4BC =，8CA =
B. 4AB =，3BC =，30A ∠=
C. 60C ∠=，45B ∠=，4AB =
D. 90C ∠=，6AB =
3. 如图，已知12∠=∠，AC AD =，增加下列条件：①AB AE =；②BC ED =；③
C D ∠=∠；④B E ∠=∠。其中能使ABC AED ???的条件有( )
A. 4个
B. 3个
C. 2个
D. 1个
4. 如图，12∠=∠，C D ∠=∠，,AC BD 交于E 点，下列不正确的是( ) A. DAE CBE ∠=∠
B. CE DE =
C. DEA ?不全等于CBE ?
D. EAB ?是等腰三角形
5. 如图，已知AB CD =，BC AD =，23B ∠=，则D ∠等于( )
A. 67
B. 46
C. 23
D. 无法确定
二、填空题：
6. 如图，在ABC ?中，90C ∠=，ABC ∠的平分线BD 交AC 于点D ，且
:2:3C D A D =，10AC cm =，则点D 到AB 的距离等于__________cm ；
7. 如图，已知AB DC =，AD BC =，,E F 是BD 上的两点，且B E D F =，若
100AEB ∠=，30ADB ∠=，则BCF ∠=____________；
8. 将一张正方形纸片按如图的方式折叠，,BC BD 为折痕，则CBD ∠的大小为_________；
9. 如图，在等腰Rt ABC ?中，90C ∠=，AC BC =，AD 平分BAC ∠交BC 于D ，
DE AB ⊥于E ，若10AB =，则BDE ?的周长等于____________；
10. 如图，点,,,D E F B 在同一条直线上，AB //CD ，AE //CF ，且AE CF =，若
10BD =，2BF =，则EF =___________；
三、解答题：
11. 如图，ABC ?为等边三角形，点,M N 分别在,BC AC 上，且BM CN =，AM 与BN 交于Q 点。求AQN ∠的度数。
12. 如图，90ACB ∠=，AC BC =，D 为AB 上一点，AE CD ⊥，BF CD ⊥，交CD 延长线于F 点。求证：BF CE =。
答案
例1. 思路分析：从结论ACF BDE ???入手，全等条件只有AC BD =；由AE BF =两边同时减去EF 得到AF BE =，又得到一个全等条件。还缺少一个全等条件，可以是
CF DE =，也可以是A B ∠=∠。
由条件AC CE ⊥，BD DF ⊥可得90ACE BDF ∠=∠=，再加上AE BF =，AC BD =，可以证明ACE BDF ???，从而得到A B ∠=∠。
解答过程：
AC CE ⊥，BD DF ⊥
∴90ACE BDF ∠=∠= 在Rt ACE ?与Rt BDF ?中 AE BF
AC BD
=??
=? ∴Rt ACE Rt BDF ???(HL)
∴A B ∠=∠ AE BF =
∴AE EF BF EF -=-，即AF BE = 在ACF ?与BDE ?中 AF BE A B AC BD =??
∠=∠??=?
∴ACF BDE ???(SAS)
解题后的思考：本题的分析方法实际上是“两头凑”的思想方法：一方面从问题或结论入手，看还需要什么条件；另一方面从条件入手，看可以得出什么结论。再对比“所需条件”和“得出结论”之间是否吻合或具有明显的联系，从而得出解题思路。
小结：本题不仅告诉我们如何去寻找全等三角形及其全等条件，而且告诉我们如何去分析一个题目，得出解题思路。
例2. 思路分析：直接证明21C ∠=∠+∠比较困难，我们可以间接证明，即找到α∠，证明2α∠=∠且1C α∠=∠+∠。也可以看成将2∠“转移”到α∠。
那么α∠在哪里呢？角的对称性提示我们将AD 延长交BC 于F ，则构造了△FBD ，可以通过证明三角形全等来证明∠2=∠DFB ，可以由三角形外角定理得∠DFB=∠1+∠C 。 解答过程：延长AD 交BC 于F
在ABD ?与FBD ?中 90ABD FBD BD BD
ADB FDB ?∠=∠?
=??
∠=∠=? ∴ABD FBD ???(ASA ∴2DF B
∠=∠ 又
1DFB C ∠=∠+∠ ∴21C ∠=∠+∠。
解题后的思考：由于角是轴对称图形，所以我们可以利用翻折来构造或发现全等三角形。
例3. 思路分析：可以利用全等三角形来证明这两条线段相等，关键是要找到这两个三角形。以线段AE 为边的ABE ?绕点B 顺时针旋转90到CBF ?的位置，而线段CF 正好是
CBF ?的边，故只要证明它们全等即可。
解答过程：90ABC ∠=，F 为AB 延长线上一点 ∴90ABC CBF ∠=∠= 在ABE ?与CBF ?中 AB BC ABC CBF BE BF =??
∠=∠??=?
∴ABE CBF ???(SAS) ∴AE CF =。
解题后的思考：利用旋转的观点，不但有利于寻找全等三角形，而且有利于找对应边和对应角。
小结：利用三角形全等证明线段或角相等是重要的方法，但有时不容易找到需证明的三角形。这时我们就可以根据需要利用平移、翻折和旋转等图形变换的观点来寻找或利用辅助线构造全等三角形。
例4. 思路分析：关于四边形我们知之甚少，通过连接四边形的对角线，可以把原问题转化为全等三角形的问题。 解答过程：连接AC
AB //CD ，AD //BC ∴12∠=∠，34∠=∠ 在ABC ?与CDA ?中 1243AC CA ∠=∠??
=??∠=∠? ∴ABC CDA ???(ASA) ∴AB CD =。
解题后的思考：连接四边形的对角线，是构造全等三角形的常用方法。 例5. 思路分析：要证明“BP 为MBN ∠的平分线”，可以利用点P 到,BM BN 的距离相等来证明，故应过点P 向,BM BN 作垂线；另一方面，为了利用已知条件“,AP CP 分别是MAC ∠和NCA ∠的平分线”，也需要作出点P 到两外角两边的距离。
解答过程：过P 作PD BM ⊥于D ，PE AC ⊥于E ，PF BN ⊥于F
AP 平分MAC ∠，PD BM ⊥于D ，PE AC ⊥于E
∴PD PE =
CP 平分NCA ∠，PE AC ⊥于E ，PF BN ⊥于F
∴PE PF
=
PD PE
=，PE PF
=
∴PD PF
=
PD PF
=，且PD BM
⊥于D，PF BN
⊥于F
∴BP为MBN
∠的平分线。
解题后的思考：题目已知中有角平分线的条件，或者有要证明角平分线的结论时，常过角平分线上的一点向角的两边作垂线，利用角平分线的性质或判定来解答问题。
例6.思路分析：要证明“2
AC AE
=”，不妨构造出一条等于2AE的线段，然后证其等于AC。因此，延长AE至F，使EF AE
=。
解答过程：延长AE至点F，使EF AE
=，连接DF
在ABE
?与FDE
?中
AE FE
AEB FED
BE DE
=
?
?
∠=∠
?
?=
?
∴ABE FDE
???(SAS)
∴B EDF
∠=∠
ADF ADB EDF
∠=∠+∠，ADC BAD B
∠=∠+∠
又ADB BAD
∠=∠
∴ADF ADC
∠=∠
AB DF
=，AB CD
=
∴DF DC
=
在ADF
?与ADC
?中
AD AD
ADF ADC
DF DC
=
?
?
∠=∠
?
?=
?
∴ADF ADC
???(SAS)
∴AF AC
=
又2
AF AE
=
∴2
AC AE
=。
解题后的思考：三角形中倍长中线，可以构造全等三角形，继而得出一些线段和角相等，甚至可以证明两条直线平行。
例7. 思路分析：欲证AB AC PB PC ->-，不难想到利用三角形中三边的不等关系来证明。由于结论中是差，故用两边之差小于第三边来证明，从而想到构造线段AB AC -。而构造AB AC -可以采用“截长”和“补短”两种方法。
解答过程：法一：
在AB 上截取AN AC =，连接PN 在APN ?与APC ?中 12AN AC AP AP =??
∠=∠??=?
∴APN APC ???(SAS) ∴PN PC =
在BPN ?中，PB PN BN -<
∴-<-PB PC AB AC ，即AB －AC>PB －PC 。
法二：
延长AC 至M ，使AM AB =，连接PM 在ABP ?与AM P ?中 12AB AM AP AP =??
∠=∠??=?
∴ABP AM P ???(SAS)
∴PB PM =
在PCM ?中，CM PM PC >- ∴AB AC PB PC ->-。
解题后的思考：当已知或求证中涉及线段的和或差时，一般采用“截长补短”法。具体作法是：在较长的线段上截取一条线段等于一条较短线段，再设法证明较长线段的剩余线段等于另外的较短线段，称为“截长”；或者将一条较短线段延长，使其等于另外的较短线段，然后证明这两条线段之和等于较长线段，称为“补短”。
小结：本题组总结了本章中常用辅助线的作法，以后随着学习的深入还要继续总结。我们不光要总结辅助线的作法，还要知道辅助线为什么要这样作，这样作有什么用处。
同步练习的答案
一、选择题： 1. A
2. C
3. B
4. C
5. C
二、填空题： 6. 4
7.
70
8.
90
9. 10
10. 6
三、解答题： 11. 解：
ABC ?为等边三角形
∴AB BC =，60ABC C ∠=∠= 在ABM ?与BCN ?中
AB BC ABC C BM CN =??
∠=∠??=?
∴ABM BCN ???(SAS) ∴NBC BAM ∠=∠
∴60AQN ABQ BAM ABQ NBC ∠=∠+∠=∠+∠=。
12. 证明：
AE CD ⊥，BF CD ⊥
∴90F AEC ∠=∠= ∴90ACE CAE ∠+∠= 90ACB ∠=
∴90ACE BCF ∠+∠= ∴CAE BCF ∠=∠ 在ACE ?与CBF ?中
F AEC CAE BCF AC BC ∠=∠??
∠=∠??=?
∴ACE CBF ???(AAS) ∴BF CE =。
八年级上册数学第十一章检测卷 一、选择题(每小题3分，共36分) 1.如果三角形的两边长分别为2和7，其周长为偶数，则第三边长为（） A.3 B.6 C.7 D.8 2.下列说法:①△ABC的顶点A就是∠A，②三角形一边的对角也是另外两边的夹角； ③三角形的中线就是一顶点与它对边中点连接的线段; ④三角形的角平分线就是三角形内角的平分线，其中正确的说法是（） A.①②③④ B.②③④ C.②③ D.②④ 3.一个三角形的三边分别为3，5，x，则x的取值范围是（） A.x>2 B.x<5 C.3 1. 如图①,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,过点C在△ABC外作直线MN,AM⊥MN于点 M,BN⊥MN于点N. (1)试说明:MN=AM+BN. (2)如图②,若过点C作直线MN与线段AB相交,AM⊥MN于点M,BN⊥MN于点N(AM>BN),(1)中的结论是否仍然成立?说明理由. 【答案】(1)答案见解析;(2)不成立 【解析】试题分析：（1）利用互余关系证明∠MAC=∠NCB，又∠AMC=∠CNB=90°，AC=BC，故可证△AMC≌△CNB，从而有AM=CN，MC=BN，即可得出结论； （2）类似于（1）的方法，证明△AMC≌△CNB，从而有AM=CN，MC=BN，可推出AM、BN 与MN之间的数量关系． 试题解析：解：（1）∵AM⊥MN，BN⊥MN，∴∠AMC=∠CNB=90°． ∵∠ACB=90°，∴∠MAC+∠ACM=90°，∠NCB+∠ACM=90°，∴∠MAC=∠NCB． 在△AMC和△CNB中， ∵∠AMC＝∠CNB，∠MAC＝∠NCB，AC＝CB，∴△AMC≌△CNB（AAS），∴AM=CN ，MC=NB． ∵MN=NC+CM，∴MN=AM+BN； （2）图（1）中的结论不成立，MN=BN-AM．理由如下： ∵AM⊥MN，BN⊥MN，∴∠AMC=∠CNB=90°． ∵∠ACB=90°，∴∠MAC+∠ACM=90°，∠NCB+∠ACM=90°，∴∠MAC=∠NCB． 在△AMC和△CNB中， ∵∠AMC＝∠CNB，∠MAC＝∠NCB，AC＝CB，∴△AMC≌△CNB（AAS），∴AM=CN ，MC=NB． ∵MN=CM-CN，∴MN=BN-AM． 点睛：本题考查了全等三角形的判定与性质．关键是利用互余关系推出对应角相等，证明三角形全等． 第一讲 三角形认识与三线（讲义） 1.三角形相关概念 基本概念： 三角形表示： 例1、如图，试回答下列问题： （1）图中有______个三角形，它们分别是； (2）以线段AD 为公共边的三角形是； （3）CE 边所对的角是________________________． (4)△ABC 、△ACD 、△ADE 这三个三角形的面积之比等于___∶____∶____． 2.三边关系 三边关系： 符号表示： 例2、 （1）在△ABC 中，AB=16，AC=7，BC=x. (1)x 的取值范围为__________， (2)化简424x x --- (1)已知a,b,c 是三角形的三边长，化简|a-b-c|+|b-c-a|+|c-a-b| 对应练习： 1、已知等腰三角形的一边等于8cm ，一边等于6cm ，求它的周长． 2、三角形两边长为7和10，求最长边x 的范围． 3、下列各组线段能组成一个三角形的是( )． (A)3cm ，3cm ，6cm (B)2cm ，3cm ，6cm (C)5cm ，8cm ，12cm (D)4cm ，7cm ，11cm 4、现有两根木条，它们的长分别为50cm ，35cm ，如果要钉一个三角形木架，那么下列四根木条中应选取( )． (A)0.85m 长的木条 (B)0.15m 长的木条 (C)1m 长的木条 (D)0.5m 长的木条 3、与三角形有关的角 (1)三角形的内角:。 (2)三角形的内角和为。 (3)三角形的外角：由三角形一边的延长线和另一条临边所组成的角，叫做三角形的外角。 ∵∠ACD 是△ABC 的外角， ∴∠ACD 与∠ACB 互为______， 即∠ACD ＝180°－∠ACB ．① 又∵∠A ＋∠B ＋∠ACB ＝______， ∴∠A ＋∠B ＝______．② 由①、②，得∠ACD ＝______＋______． ∴∠ACD ＞∠A ，∠ACD ＞∠B 例3、 （1）如图，在纸片=50ABC A ?∠?中，，沿DE 折叠纸片，点A 落在四边形BCED 内部，则''CEA BDA ∠+∠= （2）已知：如图，BE 与CF 相交于A 点，试确定∠B ＋∠C 与∠E ＋∠F 之间的大小关系，并说明你的理由． （3）已知：如图，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6=___________． 八年级数学下册全等三角形知识点归纳 八年级数学下册全等三角形知识点归纳 定义能够完全重合的两个三角形称为全等三角形.(注：全等三角形是相似三角形中的特殊情况) 当两个三角形完全重合时,互相重合的顶点叫做对应顶点,互相重合的边叫做对应边,互相重合的角叫做对应角. 由此,可以得出：全等三角形的对应边相等,对应角相等. (1)全等三角形对应角所对的边是对应边,两个对应角所夹的边是对应边; (2)全等三角形对应边所对的角是对应角,两条对应边所夹的角是对应角; (3)有公共边的,公共边一定是对应边; (4)有公共角的,角一定是对应角; (5)有对顶角的,对顶角一定是对应角;三角形全等的判定公理及推论1、三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称SSS或“边边边”),这一条也说明了三角形具有稳定性的原因. 2、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS或“边角边”). 3、有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA或“角边角”). 由3可推到 4、有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS或“角角边”) 5、直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL或“斜边,直角边”) 所以,SSS,SAS,ASA,AAS,HL均为判定三角形全等的定理. 注意：在全等的`判定中,没有AAA和SSA,这两种情况都不能唯一确定三角形的形状. A是英文角的缩写(angle),S是英文边的缩写(side). 性质1、全等三角形的对应角相等、对应边相等. 2、全等三角形的对应边上的高对应相等. 3、全等三角形的对应角平分线相等. 4、全等三角形的对应中线相等. 5、全等三角形面积相等. 6、全等三角形周长相等. (以上可以简称:全等三角形的对应元素相等) 7、三边对应相等的两个三角形全等.(SSS) 8、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.(SAS) 9、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.(ASA) 10、两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全 等.(AAS) 11、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.(HL)运用1、性质中三角形全等是条件,结论是对应角、对应边相等.而全等的判定却刚好相反. 2、利用性质和判定,学会准确地找出两个全等三角形中的对应边与对应角是关键.在写两个三角形全等时,一定把对应的顶点,角、边的顺序写一致,为找对应边,角提供方便. 全等三角形复习练习题 一、选择题 1．如图，给出下列四组条件： ①AB DE BC EF AC DF ===，，；②AB DE B E BC EF =∠=∠=，，； ③B E BC EF C F ∠=∠=∠=∠，，；④AB DE AC DF B E ==∠=∠，，． 其中，能使ABC DEF △≌△的条件共有（ ） A ．1组 B ．2组 C ．3组 D ．4组 2.如图，D E ，分别为ABC △的AC ，BC 边的中点，将此三 角形沿DE 折叠，使点C 落在AB 边上的点P 处．若48CDE ∠=°， 则APD ∠等于（ ） A ．42° B ．48° C ．52° D ．58° 3.如图（四），点P 是AB 上任意一点，ABC ABD ∠=∠，还应补 充一个条件，才能推出APC APD △≌△．从下列条件中补充 一个条件，不一定能．．．． 推出APC APD △≌△的是（ ） A ．BC BD = B.AC AD = C.ACB ADB ∠=∠ D.CAB DAB ∠=∠ 4.如图，在△ABC 与△DEF 中，已有条件AB=DE ，还需添加两 个条件才能使△ABC ≌△DEF ，不能添加的一组条件是( ) (A)∠B=∠E,BC=EF （B ）BC=EF ，AC=DF (C)∠A=∠D ，∠B=∠E （D ）∠A=∠D ，BC=EF 5．如图，△ABC 中，∠C = 90°，AC = BC ，AD 是∠BAC 的平分线， DE⊥AB 于E ，若AC = 10cm ，则△DBE 的周长等于( ) A ．10cm B ．8cm C ．6cm D ．9cm 6． 如图所示，表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中 转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ） Ａ．1处 Ｂ．2处 Ｃ．3处 Ｄ．4处 7．某同学把一块三角形的玻璃打碎了3块，现在要到玻璃店去配 E D C B A ④ ①② ③ C A D P B 图（四） 一次函数知识点归纳总结 基本概念 1、 变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。 例题：在匀速运动公式vt s =中,v 表示速度,t 表示时间,s 表示在时间t 内所走的路程,则变量是________,常量是_______。在圆的周长公式C=2πr 中，变量是________，常量是_________. 2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x 和y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x 称为自变量，把y 称为因变量，y 是x 的函数。 *判断Y 是否为X 的函数，只要看X 取值确定的时候，Y 是否有唯一确定的值与之对应 例题：下列函数（1）y=πx (2)y=2x-1 (3)y=1x (4)y=2-1-3x (5)y=x 2-1中，是一次函数的有（ ） （A ）4个 （B ）3个 （C ）2个 （D ）1个 3、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。 4、确定函数定义域的方法： （1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零； （3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零； （5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。 例题：下列函数中，自变量x 的取值范围是x ≥2的是（ ） A ．． ． D ． 函数y = x 的取值范围是___________. 已知函数22 1+-=x y ，当11≤<-x 时，y 的取值范围是 （ ） A.2325≤<-y B.2523< 八年级上册数学期中考试培优题 1、△ABC中，AB=AC，AC上的中线BD把△ABC的周长分为24㎝和30㎝两部分，求三角形的三边长. 2、如图，AF，AD分别是△ABC的高和角平分线，BE是△ABC的角平分线，AD、BE交于点O，且∠ABC=36°，∠C=76°，求∠DAF和∠DOE的度数. 3.在边长为3的等边△ABC的AB边上任取一点D，作DF⊥AC交AC于F，在BC的延长线上截取CE=AD，连接DE交AC于G，求FG的值。 4.（1）如图所示，已知△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，试说明 ∠BOC=90°+ 2 1 ∠A。 （2）如图所示，在△ABC中，BD、CD分别是∠ABC、∠ACB的外角平分线，试 说明∠D=90°- 2 1 ∠A。 （3）如图所示，已知BD为△ABC的角平分线，CD为△ABC外角∠ACE的平分线，且与BD交于点D，试说明∠A=2∠D。 F D E B A G A B C D E 图2 F E C A D 5．已知，AC⊥CE，AC=CE，∠ABC=∠EDC=900，证明：BD=AB+ED. 6. 如图,在正方形ABCD中,点E,F分别在边BC,CD上,AE,BF交于点O,∠AOF＝ 90°.求证：BE＝CF. 7.（1）把一大一小两个等腰直角三角板（即EC=CD,AC=BC）如图1放置，点D 在BC上，连结BE，AD，AD的延长线交BE于点F，求证：（1）ΔACD≌ΔBCE （2）AF⊥BE． A B C O A B C D A B C D (1) (2) (3) E D C A H F C （2）把左边的小三角板逆时针旋转一定的角度如图2放置，问AF 与BE 是否垂直？并说明理由． 8. 如图，已知点B 、C 、D 在同一条直线上，△ABC 和△CDE?都是等边三角形．BE 交AC 于F ，AD 交CE 于H ， ①求证：△BCE ≌△ACD ；②求证：CF=CH ； 判断△CFH?的形状并说明理由；④FH||BD. 9.已知：在⊿ABC 中，∠A=900，AB=AC ，在BC 上任取一点P ，作PQ ∥AB 交AC 于Q ，作PR ∥CA 交BA 于R ，D 是BC 的中点，求证：⊿RDQ 是等腰直角三角形。 C B 10.已知：在⊿ABC 中，∠A=900，AB=AC ，D 是AC 的中点，AE ⊥BD ，AE 延长线交BC 于F ，求证：∠ADB=∠FDC 。 11.已知：在⊿ABC 中BD 、CE 是高，在BD 、CE 或其延长线上分别截取BM=AC 、CN=AB ，求证：MA ⊥NA 。 12、在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC =90°，O 为BC (1)写出点O 到△ABC 的三个顶点A 、B 、C 的距离的大小关系(不要求证明)； (2)如果点M 、N 分别在线段AB 、AC 上移动，在移动中保持AN ＝BM ，请判断△OMN 的形状，并证明你的结论。 全等三角形单元 预习测试题 小题3分，共30分） 一、选择题（每 1．下列说法错误的是（） A ．全等三角形的对应边相等B．全等三角形的对应角相等 C．全等三角形的周长相等D．全等三角形的高相等 2．如图，△ABC≌△CDA，并且BC=DA，那么下列结论错误的是（） A ．∠1=∠2 B．AC= C A C．AB=AD D．∠B=∠D 第2 题第3 题第5 题第7 题 3．如图，AB∥DE，AC∥DF ，AC= D F ，下列条件中不能判断△ABC≌△DEF 的是（） A ．A B =DE B．∠B=∠E C．EF =B C D．EF∥BC 4．长为3cm，4 c m，6 c m，8cm 的木条各两根，小明与小刚分别取了3cm 和4cm 的两根，要使两人所拿的三根木条组成的两个三角形全等，则他俩取的第三根木条应为（） A ．一个人取6cm 的木条，一个人取8cm 的木条B．两人都取6cm 的木条 C．两人都取8cm 的木条D．B、C 两种取法都可以 5．△ABC 中，AB= A C，三条高AD，BE，CF 相交于O，那么图中全等的三角形有（） A ． 5 对B．6 对C．7 对D．8 对 6．下列说法中，正确的有（） ①三角对应相等的两个三角形全等；②三边对应相等的两个三角形全等；③两角、一 边相等的两个三角形全等；④两边、一角对应相等的两个三角形全等． A ． 1 个B．2 个C．3 个D．4 个 7．如图，已知△ABC 中，∠ABC=45°，AC =4，H 是高AD 和BE 的交点，则线段B H 的长度为（） A ．B．4 C．D．5 8．如图，ABC 中，AD 是它的角平分线，AB=4，AC=3，那么△ABD 与△ADC 的面积比是（） A ．1：1 B．3：4 C．4：3 D．不能确定 第9讲 全等三角形的性质和判定 【知识要点】 1.全等三角形概念：两个能完全重合的三角形叫做全等三角形。 2.全等三角形性质：(1)两全等三角形的对应边相等，对应角相等． (2)全等三角形的对应边上的高相等，对应边上的中线相等，对应角的平分线相等. (3)全等三角形的面积相等． 3．全等三角形判定方法：(1) “边角边”或“SAS” (2) “角边角”或“ASA” (3) “边边边”或“SSS” (4) “角角边”或“AAS” (5) “斜边、直角边”或“HL” 【典型例题】 例1. 如图所示，某同学把一块三角形玻璃打碎成了三块，现在 要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法 是 _________。 A.带①去 B. 带②去 C. 带③去 D. 带①和②去 【变式】判断题 1．两边和一角对应相等的两个三角形全等。 （ ） 2．两角和一边对应相等的两个三角形全等。 （ ） 3．两条直角边对应相等的两个三角形全等。 （ ） 4．腰长相等，顶角相等的两个等腰三角形全等。 （ ） 5．三角形中的一条中线把三角形分成的两个小三角形全等。 （ ） 6．两个等边三角形全等。 （ ） 7．一腰和底边对应相等的两个等腰三角形全等. （ ） 8．腰长相等，且都有一个40°角的两个等腰三角形全等; （ ） 9．腰长相等，且都有一个100°角的两个等腰三角形全等; （ ） 10．有两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等． （ ） 例2. （长沙·中考题）已知: AB=DE ，AC=DF ，BF=EC ， 求证：∠B=∠E 【变式】（红河·中考题）已知：OA=OB ，AC=BD ，∠A=∠B ，M 为CD 中点， 求证：OM 平分∠AOB A B C D E F A B C O D ② ① ③ 最新北师大版八年级数学上册第四章知识点总结(1-4章) 第一部分 知识点归纳 第一章 勾股定理 【知识点归纳】： 1、勾股定理 直角三角形两直角边a ，b 的 等于斜边c 的 ，即 2、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是 三角形. 3、勾股数：满足2 22c b a =+的三个 ，称为勾股数. 注意：1.勾股定理仅适用于直角三角形； 2.常见的勾股数：3，4，5；6，8，10；5，12，13；7，24，25；8，15，17. 3.若a ，b ，c 为勾股数，则ka ，kb ，kc （k 为正整数）也是勾股数. 第二章 实数 【知识点归纳】： 一、实数的概念及分类 1、实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数 无理数 小数 负无理数 2、无理数： 叫做无理数. 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如32,7等； （2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3π +8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； （4）某些三角函数值，如sin60o 等（稍拓展一下） 二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数 只有 不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零，从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b ，反之亦成立. 2、绝对值 在数轴上，一个数所对应的点与 的距离，叫做该数的绝对值.（|a|≥0）.零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0. 3、倒数 如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立.倒数等于本身的数是 .零没有倒数. 4、数轴 规定了 、 和 的直线叫做数轴.解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用. 5、估算 三、平方根、算数平方根和立方根 1、算术平方根：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个正数x 就叫做 a 的算术平方根.特别地，0的算术平方根是0. 第二章达标测试卷 一、选择题(每题3分，共30分) 1．如图，∠1的大小等于() A．40°B．50°C．60°D．70° 2．以下列各组线段为边，能组成三角形的是() A．2 cm，3 cm，4 cm B．2 cm，3 cm，5 cm C．2 cm，5 cm，10 cm D．8 cm，4 cm，4 cm 3．在△ABC中，能说明△ABC是直角三角形的是() A．∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶2 B．∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5 C．∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3 D．∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶4 4．如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是() A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．不能确定 5．如图，在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝40°，D，E分别是AB，AC上的点，且DE∥BC，则∠AED的度数是() A．40°B．60°C．80°D．120° 6．在下列各图形中，分别画出了△ABC中BC边上的高AD，其中正确的是() 7．若一个多边形的内角和小于其外角和，则这个多边形的边数是() A．3 B．4 C．5 D．6 8．如图，在△ABC 中，∠C ＝75°，若沿图中虚线截去∠C ，则∠1＋∠2＝( ) A ．360° B ．180° C ．255° D ．145° 9．如图，∠A ，∠B ，∠C ，∠D ，∠E 五个角的和等于( ) A ．90° B ．180° C ．360° D ．540° 10．已知△ABC ，有下列说法： (1)如图①，若P 是∠ABC 和∠ACB 的平分线的交点，则∠P ＝90°＋12∠A ； (2)如图②，若P 是∠ABC 和外角∠ACE 的平分线的交点，则∠P ＝90°－∠A ； (3)如图③，若P 是外角∠CBF 和∠BCE 的平分线的交点，则∠P ＝90°－12∠A . 其中正确的有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 二、填空题(每题3分，共24分) 11．如图，小明的父亲在院子的门板上钉了一个加固板，从数学的角度看，这样 做的道理是__________________________________________________． 12．正五边形每个外角的度数是________． 13．已知三角形三边长分别为1，x ，5，则整数x ＝________. 14．将一副三角尺按如图所示放置，则∠1＝________． 15．一个多边形从一个顶点可以画9条对角线，则这个多边形的内角和为 ________． 16．如图，AD 是△ABC 的角平分线，BE 是△ABC 的高，∠BAC ＝40°，且∠ABC 与∠ACB 的度数之比为3∶4，则∠ADC ＝________，∠CBE ＝________． 初二数学第十一章全等三角形综合复习 切记：“有三个角对应相等”和“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等。 例1. 如图，,,,A F E B 四点共线，AC C E ⊥，BD DF ⊥，AE BF =，AC BD =。求证： AC F BD E ???。 例 2. 如图，在A B C ?中，BE 是∠ABC 的平分线，A D B E ⊥，垂足为D 。求证：21C ∠=∠+∠。 例3. 如图，在A B C ?中，A B B C =，90ABC ∠= 。F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，BE BF =，连接,A E E F 和C F 。求证：A E C F =。 例4. 如图，AB //C D ，AD //BC ，求证：A B C D =。 例5. 如图，,AP C P 分别是A B C ?外角M A C ∠和N C A ∠的平分线，它们交于点P 。求证： BP 为M BN ∠的平分线。 例6. 如图，D 是A B C ?的边BC 上的点，且C D A B =，ADB BAD ∠=∠，AE 是ABD ?的中线。求证：2AC AE =。 例7. 如图，在A B C ?中，A B A C >，12∠=∠，P 为AD 上任意一点。求证：AB AC PB PC ->-。 同步练习 一、选择题： 1. 能使两个直角三角形全等的条件是( ) A. 两直角边对应相等 B. 一锐角对应相等 C. 两锐角对应相等 D. 斜边相等 2. 根据下列条件，能画出唯一A B C ?的是( ) A. 3A B =，4B C =，8C A = B. 4A B =，3B C =，30A ∠= C. 60C ∠= ，45B ∠= ，4A B = D. 90C ∠= ，6A B = 3. 如图，已知12∠=∠，AC AD =，增加下列条件：①A B A E =；②B C E D =；③C D ∠=∠；④B E ∠=∠。其中能使A B C A E D ???的条件有( ) A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 4. 如图，12∠=∠，C D ∠=∠，,AC BD 交于E 点，下列不正确的是( ) A. D AE C BE ∠=∠ B. C E D E = C. D EA ?不全等于C B E ? D. E A B ?是等腰三角形 八年级培优班数学全等三角形复习题 1．如图1，已知在等边△ABC 中，BD ＝CE ，AD 与BE 相交于P ，则∠APE 的度数是 。 图1 图2 B A 图 3 2．如图2，点E 在AB 上，AC ＝AD ，BC ＝BD ，图中有 对全等三角形。 3．如图3，OA ＝OB ，OC ＝OD ，∠O ＝60°，∠C ＝25°，则∠BED 等于 度。 4．如图4所示的2×2方格中，连接AB 、AC ，则∠1＋∠2＝ 度。 图4 C B A 图5 A B D 图6 E C 5．如图5，下面四个条件中，请你以其中两个为已知条件，第三个为结论，推出一个正确的命题。（ ）①AE ＝AD ； ②AB ＝AC ； ③OB ＝OC ； ④∠B ＝∠C 。 6．如图6，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，延长BA 到点D ，使AD ＝2 1 AB ，点E 、F 分别为边BC 、AC 的中点。 （1）求证：DF ＝BE ；（2）过点A 作AG ∥BC ，交DF 于点G ，求证：AG ＝DG 。 7．如图7，在四边形ABCD 中，对角线AC 平分∠BAD ，AB ＞AD ，下列结论正确的是（ ） A.AB －AD ＞CB －CD B. AB －AD ＝CB －CD C.AB －AD ＜CB －CD D.AB －AD 与CB －CD 的大小关系不确定 图7 B D 图9 A B 图10 B 8．如图9，在△ABC 中，AC ＝BC ＝5，∠ACB ＝80°，O 为△ABC 中一点， ∠OAB ＝10°，∠OBA ＝30°，则线段AO 的长是 。 9．如图10，已知BD 、CE 分别是△ABC 的边AC 和AB 上的高，点P 在BD 的延长线上，BP ＝AC ，点Q 在CE 上，CQ ＝AB 。 求证：（1）AP ＝AQ ；（2）AP ⊥AQ 。 11．如图11，在△ABC 中，∠C ＝60°，AC ＞BC ，又△ABC ′、△BCA ′、△CAB ′都是△ABC 形外的等边三角形，而点D 在AC 上，且BC ＝DC 。 （1）证明：△C ′BD ≌△B ′DC ； （2）证明：△AC ′D ≌△DB ′A ； 图 11 第四章 《实数》复习课 班级________姓名__________学号 一、知识要点 1、如果x 2=a （x ≥0），那么x 叫做 的平方根。 2、一个正数有 个平方根，它们互为 ；0的平方根是 ；负数 平 方根。 3、正数a 的 的平方根叫做算术平方根，0的算术平方根是 。 4、如果x 3=a ，那么x 叫做 的立方根。 5、正数的立方根是 ；负数的立方根是 ；0的立方根是 。 6、数轴上的点与 一一对应。 7、实数的分类： 。 二、基础练习 1、比较大小： 5.2． 2、计算：（﹣）2= ； = ； = ； 的倒数是 ；（）3的相反数是 ；的平方根为 。 3、若3+x 是4的平方根，则=x ＿＿＿，若－8的立方根为1-y ，则y=________. 4、计算：2)4(3-+-ππ的结果是＿＿＿＿＿＿。 5、0.02634（精确到0.01）是 。 6、5.089×106精确到 位。 7、在实数70107.08 1 221.03、、、、－ 。。π中，其中无理数的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 8、下列语句中，正确的是（ ） A.无理数都是无限小数 B.无限小数都是无理数 C.带根号的数都是无理数 D.不带根号的数都是无理数 9、若a 为实数，则下列式子中一定是负数的是（ ） A.2a - B.2 )1(+-a C.2a - D.)1(+--a 10、下列说法中正确的是（ ） A.若a 为实数，则0≥a B.若a 为实数，则a 的倒数为a 1 2)9(- 64 )24(3-=-x 0144252=-x 333)5(027.025 425---++-C.若y x 、为实数，且y x =，则y x = D.若a 为实数，则02≥a 11、若10< 人教版八年级数学上册第11章三角形综合 复习 一、选择题（本大题共10道小题） 1. 下列各组数中，不可能成为一个三角形三边长的是() A. 2，3，4 B. 5，7，7 C. 5，6，12 D. 6，8，10 2. 已知一个多边形的内角和是1080°，则这个多边形是() A．五边形B．六边形 C．七边形D．八边形 3. 在△ABC中，∠A，∠C与∠B处的外角的度数如图所示，则x的值是() A．80 B．70 C．65 D．60 4. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD平分∠ABC，则∠BDC的度数为() A．30°B．40°C．50°D．60° 5. 如图，点D在BC的延长线上，DE⊥AB于点E，交AC于点F.若∠A＝35°，∠D＝15°，则∠ACB的度数为() A．65°B．70°C．75°D．85° 6. 已知三角形的两边长分别为1和4，第三边长为整数，则该三角形的周长为() A．7 B．8 C．9 D．10 7. 在△ABC中，若∠B＝3∠A，∠C＝2∠B，则∠B的度数为() A．18°B．36°C．54°D．90° 8. 若多边形的一个顶点处的所有对角线把多边形分成了11个三角形，则经过这一点的对角线的条数是() A．8 B．9 C．10 D．11 9. 长为9，6，5，4的四根木条，选其中三根组成三角形，选法有() A．1种B．2种 C．3种D．4种 10. 如图,在△ABC中,BC边不动,点A竖直向上运动,∠A越来越小,∠B,∠C越来越大.若∠A减小x°,∠B增加y°,∠C增加z°,则x,y,z之间的关系是() A.x=y+z B.x=y-z C.x=z-y D.x+y+z=180 二、填空题（本大题共5道小题） 11. 把一副三角尺如图所示拼在一起，那么图中∠ABF＝________°. 12. 如图，∠AOB＝50°，P是OB上的一个动点(不与点O重合)，当∠A的度数为________时，△AOP为直角三角形． 13. 如图，AD是△ABC的中线，已知△ABD的周长为25 cm，AB比AC长6 cm，则△ACD的周长为cm. 八年级数学全等三角形专题练习（word版 一、八年级数学轴对称三角形填空题（难） 1．已知A、B两点的坐标分别为（0，3），（2，0），以线段AB为直角边，在第一象限 内作等腰直角三角形ABC，使∠BAC＝90°，如果在第二象限内有一点P（a，1 2 ），且 △ABP和△ABC的面积相等，则a＝_____． 【答案】-8 3 ． 【解析】 【分析】 先根据AB两点的坐标求出OA、OB的值，再由勾股定理求出AB的长度，根据三角形的面积公式即可得出△ABC的面积；连接OP，过点P作PE⊥x轴，由△ABP的面积与△ABC的 面积相等，可知S△ABP＝S△POA+S△AOB﹣S△BOP＝13 2 ，故可得出a的值． 【详解】 ∵A、B两点的坐标分别为（0，3），（2，0），∴OA＝3，OB＝2， ∴22 3+213 AB＝＝， ∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°， ∴ 1113 ?1313 222 ABC S AB AC?? ＝＝＝， 作PE⊥x轴于E，连接OP， 此时BE＝2﹣a， ∵△ABP的面积与△ABC的面积相等， ∴ 111 ??? 222 ABP POA AOB BOP S S S S OA OE OB OA OB PE ++ ＝﹣＝﹣， 111113 3322 22222 a ??+???? ＝（﹣）﹣＝， 解得a＝﹣8 3 ． 故答案为﹣8 3 ． 【点睛】 本题考查等腰直角三角形的性质，坐标与图象性质，三角形的面积公式，解题的关键是根据S △ABP =S △POA +S △AOB -S △BOP 列出关于a 的方程． 2．在平面直角坐标系中，点A 在x 轴的正半轴上，点B 在y 轴的正半轴上， 36ABO ∠=?，在x 轴或y 轴上取点C ，使得ABC ?为等腰三角形，符合条件的C 点有__________个． 【答案】8 【解析】 【分析】 观察数轴，按照等腰三角形成立的条件分析可得答案． 【详解】 解：如下图所示，若以点A 为圆心，以AB 为半径画弧，与x 轴和y 轴各有两个交点， 但其中一个会与点B 重合，故此时符合条件的点有3个； 若以点B 为圆心，以AB 为半径画弧，同样与x 轴和y 轴各有两个交点， 但其中一个与点A 重合，故此时符合条件的点有3个； 线段AB 的垂直平分线与x 轴和y 轴各有一个交点，此时符合条件的点有2个． ∴符合条件的点总共有：3＋3＋2=8个． 故答案为：8． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的判定，可以观察图形，得出答案． 3．在锐角三角形ABC 中．32∠ABC=45°，BD 平分∠ABC ．若M ，N 分别是边BD ， 三角形单元测试 1．若等腰三角形的一边是7，另一边是4，则此等腰三角形的周长是（ ） A ．18 B ．15 C ．18或15 D ．无法确定 2．两根木棒分别为5cm 和7cm ，要选择第三根木棒，将它们钉成一个三角形，如果第三根木棒长为偶数，那么第三根木棒的取值情况有（ ）种 A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 3．已知△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点O ，则∠BOC 一定（ ） A ．小于直角; B ．等于直角; C ．大于直角; D ．大 4．如图，已知点A 、D 、C 、F 在同一条直线上，AB=DE ，BC=EF ，要使△ABC ≌△DEF ，还需要添加一个条件是（ ） A ． ∠BCA=∠F B ． ∠B=∠E C ． BC ∥EF D ． ∠A=∠EDF 5．如图，在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC ，垂足为D ．E 、F 分别是CD 、AD 上的点，且CE ＝AF ．如果∠AED ＝62o，那么∠DBF ＝（ ） A ．62o B ．38o C ．28o D ．26o 6．已知△A 1B 1C 1△A 2B 2C 2的周长相等，现有两个判断： ①若A 1B 1=A 2B 2，A 1C 1=A 2C 2，则△A 1B 1C 1≌△A 2B 2C 2； ②若∠A 1=∠A 2，∠B 1=∠B 2，则△A 1B 1C 1≌△A 2B 2C 2， 对于上述的两个判断，下列说法正确的是（ ） A ． ①正确，②错误 B ． ①错误，②正确 C ． ①，②都错误 D ． ①，②都正确 7、如图，在△ABC 和△DEB 中，已知AB=DE ，还需添加两个条件才能使△ABC ≌△DEC ，不能添加的一组条件是（ ） A ． BC=EC ，∠B=∠E B ． BC=E C ，AC=DC C ． BC=DC ，∠A=∠ D D ． ∠B=∠ E ，∠A=∠D 8．用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC=∠BOC 的依据是（ ） A ． S SS B ． A SA C ． A AS D ． 角平分线上的点到角两边距离相等 9．如上图，已知∠1＝∠2，则不一定．．． 能使△ABD ≌△ACD 的条件是（ ） A ．AB ＝AC B ．BD ＝CD C ．∠B ＝∠C D ．∠ BDA ＝∠CDA A B C F D E 《全等三角形》 一、教材分析 本节课的教学内容是人教版数学八年级上册第十一章《全等三角形》的第一节.这是全章的开篇，也是全等条件的基础.它是继线段、角、相交线与平行线及三角形有关知识之后出现的.通过本节的学习，可以丰富和加深学生对已学图形的认识，同时为学习其他图形知识打好基础，具有承上启下的作用. 教材根据初中学生的认知规律和特点，采用由浅入深、由易到难、抓联系、促迁移的方法.通过生活中的实例创设情景，形成概念，再通过平移、翻折、旋转说明变换前后的两个三角形全等，进而得出全等三角形的相关概念及其性质. 二、教学目标分析 知识与技能 1.了解全等三角形的概念，通过动手操作，体会平移、翻折、旋转是考察两三角形全等的主 要方法. 2.能准确确定全等三角形的对应元素. 3.掌握全等三角形的性质. 通过找出全等三角形的对应元素，培养学生的识图能力. 2.能利用全等三角形的概念、性质解决简单的数学问题. 出问题，乐于探索问题，同时注重培养学生善于合作交流的良好情感和积极向上的学习态度. 三、教学重点、难点 重点：全等三角形的概念、性质及对应元素的确定. 难点：全等三角形对应元素的确定. 四、学情分析 学生在七年级时已经学过线段、角、相交线与平行线及三角形的有关知识，并学习了一些简单的说理，已初步具有对简单图形的分析和辨识能力，但八年级的学生仍处于以形象思维为主要思维形式的时期.为了发展学生的空间观念，培养学生的抽象思维能力，本节课将充分利用动画演示，来揭示图形的平移、翻折和旋转等变换过程，以便让学生在观察、分析中获得大量的感性认识，进而达到对全等三角形的理性认识. 五、教法与学法 本节课坚持“教与学、知识与能力的辩证统一”和“人人都能获得必需的数学”的原则，博采启发教学法、引探教学法、讲授教学法等诸多方法之长，借助多媒体手段引导学生观察、猜想和探究，促进学生自主学习，努力做到教与学的最优组合. 第十一章三角形知识要点 1、三角形的定义：不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接而成的平面图形。记为△ABC 2、三角形的有关重要线段: ⑴三角形的三边：三角形的两边之和大于第三边； ①组成三角形的条件:较小的两边之和大于第三边 ②若两边为a、b，则第三边取值范围是： a-b ＜c＜ a+b ⑵三角形的高线、中线、角平分线：都是线段 3、三角形的分类：按边分可分为不等边三角形与等腰三角形(含等边三角形) 解有关等腰三角形的问题时，通常要对等腰三角形的腰与底边进行分类讨论。 4、三角形的稳定性: 三角形具有稳定性 5、三角形有关的角： ⑴三角形内角和等于180°； ⑵三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和， ⑶三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。 6、多边形： ⑴对角线：多边形中不相邻的两个顶点之间的连线。n边形从一个顶点出发有 n－3 对角线，这些对角线把n边形分成了n－2 三角形，n边形共有(3) 2 n n-条对角线； ⑵n边形的内角和等于 (n-2)180°， ⑶多边形的外角和都等于 360°，正n边形外角360 n ? ，因此内角180°－内角 第十二章全等三角形知识要点 1、能够完全重合的两个三角形叫，全等三角形。 全等三角形的性质：全等三角形对应边相等、对应角相等。 2、全等三角形的判定：边边边(SSS)、边角边（SAS）、角边角（ASA）、角角边（AAS）、 斜边、直角边（HL）。 方法与思路：要证明两条线段或两个角相等时，通常证这两条线段或这两个角分别所在 的三角形全等。 3、角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。 4、角平分线推论：角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上。 第十三章轴对称知识要点 1、如果一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形轴对 称图形；这条直线叫做对称轴。 2、轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 3、重直平分线的性质：线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等。 重直平分线的推论：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 5、画一图形关于某条直线的轴对称图形的步骤：找到关键点，画出关键点的对应点，按 照原图顺序依次连接各点。 6、点的对称 点（x , y）关于x轴对称的点的坐标为P（x , —y） 点（x , y）关于y轴对称的点的坐标为P（—x , y） 点（x , y）关于原点轴对称的点的坐标为（—x ,—y） 7、等腰三角形的性质： 性质1：等边对等角 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线相互重合（三线合一”）。 8、等腰三角形的判定：等角对等边。 9、等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°。 10、等边三角形的判定： 判定1：三个角都相等的三角形是等边三角形。 判定2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 11、直角三角形的性质： 性质1：直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 性质2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。(完整word版)八年级数学全等三角形难题集锦
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