137 第5章 力学量的算符表示 §5.1 算符及其运算规则 在第二章中，已经引入了算符的概念，动量算符和哈密顿量算符分别为 ?-= i ?p (5.1.1) )(2?22 r V m H +?-= (5.1.2) 在量子力学中，算符表示对它后面的波函数的一种运算或者操作，上述的动量算符与哈密顿算符皆表示对其后面的波函数的微商运算，本 章的后面将引入的宇称算符π ?则表示对其后面的波函数的一种操作，即把波函数中的坐标变量改变一个符号。由算符化规则可知，物理上可观测的力学量（例如，坐标、动量、角动量和能量等）与相应的算符相对应，并要求相应的算符为线性厄米特算符，力学量的取值情况由相应算符满足的本征方程的解来决定。 §5.1.1 算符及其运算规则 1、线性算符
138 满足下列运算规则 22112211??)(?ψψψψA c A c c c A +=+ (5.1.3) 的算符A ?，称之为线性算符，其中，21,c c 是两个任意复常数，21,ψψ是两个任意的波函数。在量子力学中，可观测量对应的算符都是线性算符，这是状态叠加原理所要求的。如无特殊声明，下面所涉及到的算符皆为线性算符。 2 、单位算符 若对任意的波函数ψ，算符I ?满足 ψψ=I ? (5.1.4) 则称I ?为单位算符。 3、 算符之和 若对任意的波函数ψ，下式 ψψψB A B A ??)??(+=+ (5.1.5) 总是成立，则称算符B A ??+为算符A ?与算符B ?之和。算符的加法运算满足交换律和结合律，即 A B B A ????+=+ (5.1.6) C B A C B A ?)??()??(?++=++ (5.1.7) 4、 算符之积 两个算符A ?和B ?之积记为)??(B A ，对任意的波函数ψ，算符)??(B A 的作用定义为下列运算 )?(?)??(ψψB A B A = (5.1.8)
第三章 量子力学中的力学量 1. 证明 厄米算符的平均值都是实数（在任意态） [证] 由厄米算符的定义 **??()F d F d ψψτψψτ=?? 厄米算符?F 的平均值 *?F F d ψψτ=? **?[()]F d ψψτ=? * * *?[ ]F d ψψτ=? **?[()]F d ψψτ=? ** ?[ ]F d ψψτ=? * F = 即厄米算符的平均值都是实数 2. 判断下列等式是否正确 （1）???H T U =+ （2）H T U =+ （3）H E T U ==+ [解]：（1）（2）正确 （3）错误 因为动能，势能不同时确定，而它们的平均值却是同时确定 。 3. 设()x ψ归一化，{}k ?是?F 的本征函数，且 ()()k k k x c x ψ? =∑ （1）试推导k C 表示式 （2）求征力学量F 的()x ψ态平均值2 k k k F c F =∑ （3）说明2 k c 的物理意义。 [解]：（1）给()x ψ左乘* ()m x ?再对x 积分 * *()()()()m m k k k x x dx x c x dx ? ??τ?=??* ()()k m k k c x x dx ??=∑? 因()x ψ是?F 的本函，所以()x ψ具有正交归一性
**()()()()m k m k k k k k x x dx c x x dx c mk c ?ψ??δ===∑∑?? ()m k = *()()k m c x x dx ?ψ∴=? （2）k ?是?F 的本征函数，设其本征值为k F 则 ?k k k F F ??= **??m k m k k k F F dx F c dx ψψψ?==∑?? * *()m m k k k k c x F c dx ? ?=∑∑? **m k k m k x mk c c F d ??=∑? *m k k mk mk c c F δ=∑ 2 k k k c F = ∑ 即 2 k k k F c F = ∑ （3）2 k c 的物理意义；表示体系处在ψ态，在该态中测量力学量F ，得到本征值k F 的 几率为2 k c 。 4. 一维谐振子处于基态ψ0（x ）态，求该态中 （1） 势能的平均值221 2 U x μω= （2） 动能的平均值2 2p T μ = （3） 动量的几率分布。 解：(1) ? ∞ ∞ --==dx e x x U x 2 22 2222121απ αμωμω μωμωαμωαπαπ αμω ?==?= 2 2 222241212121221 ω 4 1 = （ 2 210 2n ax n n x e dx a ∞ -+= ?
第3章 力学量用算符表达 习题3.1 下列函数哪些是算符22 dx d 的本征函数，其本征值是什么？ ①2x ， ② x e ， ③x sin ， ④x cos 3， ⑤x x cos sin + 解：①2)(222 =x dx d ∴ 2 x 不是22 dx d 的本征函数。 ② x x e e dx d =22 ∴ x e 是22 dx d 的本征函数，其对应的本征值为1。 ③x x dx d x dx d sin )(cos )(sin 22-== ∴ 可见，x sin 是22 dx d 的本征函数，其对应的本征值为－1。 ④x x dx d x dx d cos 3)sin 3()cos 3(22-=-= ∴ x cos 3 是22 dx d 的本征函数，其对应的本征值为－1。 ⑤) cos (sin cos sin sin (cos )cos (sin 22x x x x x x dx d x x dx d +-=--=-=+） ∴ x x cos sin +是22 dx d 的本征函数，其对应的本征值为－1。 3.2 一维谐振子处在基态t i x e t x ωαπ αψ2 2 022),(-- =，求： (1)势能的平均值222 1 x V μω= ； (2)动能的平均值μ 22 p T =.
解：(1) ? ∞ ∞ --== dx e x x V x 2 222222121α π αμωμω μωμωαμωα παπαμω ?==?= 2 2 222241212121221 ω 41= (2) ?∞∞ -==dx x p x p T )(?)(2122 *2ψψμμ ?∞∞ ----=dx e dx d e x x 2 22 221 2 22 21 )(21αα μ πα ?∞ ∞ ---= dx e x x 2 2)1(22222αααμ πα ][22 22 22222??∞∞ --∞∞---= dx e x dx e x x ααααμ πα ]2[23222απ ααπαμ πα?-= μω μαμαπαμπ α? ===442222222 ω 4 1 = 或 ωωω 4 1 4121=-= -=V E T 习题3.3 指出下列算符哪个是线性的，说明其理由。 ① 2 22 4dx d x ； ② []2 ； ③ ∑=N k 1 解：①2 2 2 4dx d x 是线性算符 φ ???φ?22 22222122 2 2122221222 44 )(4)(4)(4 dx d x c dx d x c c dx d x c dx d x c c dx d x ?+?=+=+ ②[]2 不是线性算符
第三章力学量和算符 内容简介：在上一章中，我们系统地介绍了波动力学，它的着眼点是波函数。用波函数描述粒子的运动状态。本章将介绍量子力学的另一种表述，它的着眼点是力学量和力学量的测量，并证实了量子力学中的力学量必须用线性厄米算符表示。然后进一步讨论力学量的测量，它的可能值、平均值以及具有确定值的条件。我们将证实算符的运动方程中含有对易子，出现。 §3.1 力学量算符的引入 §3.2 算符的运算规则 §3.3 厄米算符的本征值和本征函数 §3.4 连续谱本征函数 §3.5 量子力学中力学量的测量 §3.6 不确定关系 §3.7 守恒与对称 在量子力学中。微观粒子的运动状态用波函数描述。一旦给出了波函数，就确定了微观粒子的运动状态。在本章中我们将看到：所谓“确定”，是在能给出概率以及能求得平均值意义下说的。一般说来。当微观粒子处在某一运动状态时，它的力学量，如坐标、动量、角动量、能量等，不同时具有确定的数值，而具有一系列可能值，每一可能值、均以一定的概率出现。当给定描述这一运动状态的波函数后，力学量出现各种可能值的相应的概率就完全确定。利用统计平均的方法，可以算出该力学量的平均值，进而与实验的观测值相比较。既然一切力学量的平均值原则上可由给出，而且这些平均值就是在所描述的状态下相应的力学量的观测结果，在这种意义下认为，波函数描写了粒子的运动状态。 力学量的平均值
对以波函数(,)r t ψ描述的状态，按照波函数的统计解释，2 (,)r t ψ表示在t 时刻在 r r d r →+中找到粒子的几率，因此坐标的平均值显然是: ()2 * (,)(,)(,) 3.1.1r r t rdr r t r r t dr ψψψ∞ ∞ -∞ -∞ = =?? 坐标r 的函数()f r 的平均值是： ()()() *(,)(,) 3.1.2f r r t f r r t dr ψψ∞ -∞ =? 现在讨论动量的平均值。显然，P 的平均值P 不能简单的写成 2(,)P r t Pdr ψ∞ -∞ = ?，因为2 (,)r t dr ψ只表示在 r r dr →+中的概率而不代表在 P P dP →+中找到粒子的概率。要计算P ，应该先找到在t 时刻，在P P dP →+中找 到粒子的概率2 (,)C P t dP ，这相当于对(,)r t ψ作傅里叶变化，而(,)C r t 有公式 给出。动量p 的平均值可表示为 但前述做法比较麻烦，下面我们将介绍一种直接从(,)r t ψ 计算动量平均值的方法。由（3.1.4）式得 利用公式 可以得到 记动量算符为 ?p i =-? 则 ()* ?(,)(,) 3.1.9p r t p r t dr ψ ψ∞ -∞ = ? 从而有 ()()()* ?(,)(,) 3.1.10f p r t f p r t dr ψψ∞ -∞ = ? 例如：动能的平均值是 角动量L 的平均值是
§3.8 力学量平均值随时间的变化 守恒定律 在经典力学中，运动体系在每一时刻多个力学量都有确定的值，因为所研究 的是力学量的值随时间的变化（根据哈密顿理论：},{H F t F dt dF +??=，式中},{H F 为泊松括号，],[1},{H F i H F =，H 为哈密顿量，如果F 不显含时间，且},{H F =0，则F=C 是一个守恒量。找出一个守恒量，往往使研究物体的运动大大简化） 然而，在量子力学中，对任何体系，在每一时刻，不是所有力学量都具有确定的纸，一般说来，只有确定的平均值以及几率分布。因此，研究力学量的值随是的变化没有意义，仅讨论力学量的平均值及几率分布随时间的变化。 一、力学量平均值随时间的变化 在波函数),(t x ψ所描写的态中，力学量∧ F 的平均值为： ?=),(?*),(t x F t x d F ψτψ （1） 因为),(t x ψ是时间的函数，∧ F 也可能显含时间，所以F 通常是时间t 的函数。 dx t F dx F t dx t F dt F d ??+??+??=???ψψψψψψ?*?*?* （2） 由sch-eg ：ψψ∧=??H i t 1 *)(1*ψψ∧-=??H i t 代入（2）式得 dx F H i dx H F i dx t F dt F d ψψψψψψ?*)(1?*1?*???∧∧-+??= （3） ∵ ∧H 是厄密算符。 ∴ dx F H dx F H ? ?∧ ∧=ψψψψ?*?*)( 代入（3）式得： dx F H H F i dx t F dt F d ψψψψ)??(*1?*∧∧-+??=??
第三章 力学量和算符 内容简介：在上一章中，我们系统地介绍了波动力学，它的着眼点是波函数 。用波函数描述粒子的运动状态。本章将介绍量子力学的另一种表述，它的着眼点是力学量和力学量的测量，并证实了量子力学中的力学量必须用线性厄米算符表示。然后进一步讨论力学量的测量，它的可能值、平均值以及具有确定值的条件。我们将证实算符的运动方程中含有对易子，出现 。 § 3.1 力学量算符的引入 § 3.2 算符的运算规则 § 3.3 厄米算符的本征值和本征函数 § 3.4 连续谱本征函数 § 3.5 量子力学中力学量的测量 § 3.6 不确定关系 § 3.7 守恒与对称 在量子力学中。微观粒子的运动状态用波函数描述。一旦给出了波函数，就确定了微观粒子的运动状态。在本章中我们将看到：所谓“确定”，是在能给出概率以及能求得平均值意义下说的。一般说来。当微观粒子处在某一运动状态时，它的力学量，如坐标、动量、角动量、能量等，不同时具有确定的数值，而具有一系列可能值，每一可能值、均以一定的概率出现。当给定描述这一运动状态的波函数 后，力学量出现各种可能值的相应的概率就完全确定。利用统计平均的方法，可以算出该力学量的平均值，进而与实验的观测值相比较。既然一切力学量的平均值原则上可由 给出，而且这些平均值就是在 所描述的状态下相应的力学量的观测结果，在这种意义下认为，波函数描写了粒子的运动状态。 力学量的平均值 对以波函数(,)r t ψ描述的状态，按照波函数的统计解释，2 (,)r t ψ表示在t 时刻在 r r d r →+中找到粒子的几率，因此坐标的平均值显然是: ()2 *(,) (,)(,) 3.1.1r r t rdr r t r r t dr ψψψ∞ ∞ -∞ -∞ = =?? 坐标r 的函数()f r 的平均值是： ()()()* (,)(,) 3.1.2f r r t f r r t dr ψψ∞ -∞ =? 现在讨论动量的平均值。显然，P 的平均值P 不能简单的写成 2(,)P r t Pdr ψ∞ -∞ = ?，因为2 (,)r t dr ψ只表示在 r r dr →+中的概率而不代表在 P P dP →+中找到粒子的概率。要计算P ，应该先找到在t 时刻，在P P dP →+中找 到粒子的概率2 (,)C P t dP ，这相当于对(,)r t ψ作傅里叶变化，而(,)C r t 有公式 给出。动量p 的平均值可表示为 但前述做法比较麻烦，下面我们将介绍一种直接从(,)r t ψ
第三章 算符和力学量算符 算符概述 设某种运算把函数u 变为函数v ，用算符表示为： ?Fu v = （） ? F 称为算符。u 与v 中的变量可能相同，也可能不同。例如，11du v dx =，22xu v =3 v =， (,) x t ?∞ -∞ ，(,)x i p x h x e dx C p t -=，则d dx ，x dx ∞ -∞ ，x i p x h e -?都是算符。 1．算符的一般运算 （1）算符的相等：对于任意函数u ，若??Fu Gu =，则??G F =。 （2）算符的相加：对于任意函数u ，若???Fu Gu Mu +=，则???M F G =+。算符的相加满足交换律。 （3）算符的相乘：对于任意函数u ，若???FFu Mu =，则???M GF =。算符的相乘一般不满足交换律。如果????FG GF =，则称?F 与?G 对易。 2．几种特殊算符 （1）单位算符 对于任意涵数u ，若?I u=u ，则称?I 为单位算符。?I 与1是等价的。 （2）线性算符 对于任意函数u 与v ，若**1212 ???()F C u C v C Fu C Fv +=+，则称?F 为反线性算符。 （3）逆算符 对于任意函数u ，若????FGu GFu u ==则称?F 与?G 互为逆算符。即1??G F -=，111??????,1F G FF F F ---===。 并非所有的算符都有逆算符，例如把零作为算符时，称之为零算符，零算符就没有逆算符。 对于非齐次线性微分方程：?()()Fu x af x =，其中?F 为d dx 与函数构成的线性算符，a 为常数。
第三章 表示力学量的算符 第一部分；基本思想与基本概念题目 1. 举例说明算符与它表示力学量之间的关系。 2. 如何理解力学量完全集？ 3. 守恒量有哪些特征？ 4. 量子力学中的守恒量与经典力学守恒量有何区别？ 5. 如何构造力学量算符？ 6. 若ψ1与ψ2是力学量F 属于同一本征值λ的两个不同本征函数，则ψ＝C 1ψ1＋C 2ψ2（C 1，C 2是任意常数）是否仍是F 的本征函数。 7. 设[?，?]＝0，则力学量?和?是否一定可同时确定？ 8. 设[?，?]≠0，则力学量?和?是否一定不可同时确定？ 9. 试述│C n │2的物理意义。 10. 对于氢原子哪些力学量组成力学量完全集？ 11. 对氢原子n ，l ，m 这三个量子数分别决定哪些力学量？ 12. 线性谐振子的能量是守恒量，那它能否处于能量没有确定值的状态？举例说明。 13. t ＝0时，粒子处于力学量F 的 本征态，则在t 时刻它是否处于该本征态？ 14. 2?L 的本征态是否一定是 ?z L 的本征态？举例说明。 15. ?z L 的本征态是否一定是2?L 的本征态？ 16. 当氢原子处于ψnlm （r ，θ，φ）＝R nl （r ）Y lm （θ，φ）态时，哪
些力学量可同时确定，其值分别是多少？ 17. 若[?，?]＝0，则粒子是否一定处于A 和B 两力学量的共同本征态？ 第二部分：基本技能训练题 1. 证明厄密算符的平均值都是实数（在任意态） 2. 判断下列等式是否正确 12???() () E H T U (3) H E T U H T U =+==+==+ 3. 设ψ（x ）归一化，｛?k ｝是 ?F 的本征函数，且 ()()k k k x C x ψ?=∑ （1） 试推导C k 的表达式。 （2） 求证力学量在ψ（x ）态的平均值 2 k k k F C F =∑。 （3） 说明|C k |2的物理意义。 4. 一维谐振子处于基态ψ0（x ）态，求该态中 （1） 势能的平均值221 2 U x μω= （2） 动能的平均值2 2p T μ = （3） 动量的几率分布。 5. 氢原子处于 (,,)r a r ψθ?- = 态，求 （1） r 的平均值。 （2） －e 2/r 的平均值
力学量算符之间的对易关系 讨论微观态ψ中某一力学量F 时，总是以∧ F 的本征质谱作为力学量F 的可能值。若我们同时观测状态ψ中的一组不同力学量 ,, G F ，将会得到什么结果呢？这一讲我们主要讨论这个问题。主要内容有： 一个关系：力学量算符之间的对易关系 三个定理?? ? ??力学量守恒定理不确定关系逆定理）共同本征态定理（包括 1 算符之间的对易关系 1.1 算符的基本运算关系 （1）算符之和：算符∧ F 与∧ G 之和∧ ∧+G F 定义为 ψψψ∧ ∧∧∧+=+G F G F )( （1） ψ为任意函数。一般∧ ∧ ∧ ∧ +=+F G G F ，例如粒子的哈密顿算符)()(22 r U T r U p H +=+=∧∧∧ μ 是 动能算符∧ T 与势能算符)(r U 之和。 （2）算符之积：算符∧ F 与∧ G 之积定义为 )()(ψψ∧ ∧∧∧=G F G F （2） 显然，算符之积对函数的作用有先后作用次序问题，一般不能颠倒，即∧ ∧∧ ∧≠F G G F 常记为 ∧ ∧ ∧ ∧≠-0F G G F （3） n 个相同算符∧F 的积定义为算符∧ F 的n 次幂 例如 dx d F =∧ ，则 222dx d F =∧，n n n dx d F =∧ 。 为了运算上的方便，引入量子括号 ∧ ∧∧∧∧∧-=??????F G G F G F , （5） 若 0,≠?? ? ???∧∧G F （6） 称算符∧F 与∧G 是不对易的（不能交换位臵），即∧ ∧∧∧≠F G G F 。
若 0,=?? ? ???∧∧G F （7） 称算符∧F 与∧G 是对易的，即∧ ∧∧∧=F G G F 。 下面几个经常使用的对易关系，请自行证明。 ?????????+=+=+=+-=∧∧∧∧∧∧∧ ∧∧∧ ∧∧∧∧∧∧ ∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧ ∧) 11(],[],[],[)10(],[],[],[)9(] ,[],[],[)8(],[],[G M F M G F M G F M G F M F G M G F M F G F M G F F G G F 1.2 坐标算符与动量算符的对易关系 坐标算符是乘数因子，相互对易 []0],[0],[0 ,===x z z y y x （12） 动量算符是微分算符，因为 x y y x ???= ???2 2 ，则 0,0,0 ,=?? ? ???=?? ? ???=?? ? ???∧∧∧∧∧∧x z z y y x p p p p p p （13） 坐标算符与动量算符：设ψ为任意函数 ?? ??? ?? --=??-=??-=∧∧ψ ψψψψψx x i i x x i x p x x i p x x x )( 比较后可得 ψψψ i x p p x x x =-∧ ∧，即 i p x x =??? ???∧, （14a ） 但是 0,0 ,=?? ? ???=?? ? ???∧∧z y p x p x （14b ） 同理可得坐标算符与动量算符的其它对易关系式，可概括为 ij j i i p x δ =?? ? ???∧ , (14c) 其中 ),,()3,2,1(z y x i x i ≡== ),,()3,2,1(∧ ∧∧∧≡=z y x j p p p j p ※坐标算符与动量算符的对易关系是最基本的对易关系，其它力学量的对易关系均可由 此导出。 1.3 角动量算符的对易关系
§4.5 力学量测量结果的几率平均值 重点： 在本征态和任意态中测量力学量的物理过程 （一）力学量测量结果的几率 的本征函数组成正交归一完全系，它所属的本征值 设算符 （4.5-2） 根据本征函数的守全性，可看作是各本征态的线性迭加： （4.5-3） 根据态迭加原理，也是体系的可能状态，但它显然不是的本征态，因为 我们得不到关系式即在态中，将得不到确定的数值，由于态可看成是 各个本征态 的迭加，因此在测量的某一瞬刻、体系实际上是处于各本征态的
某一个中，故可能测量到数值将是本征值谱 中的某一个，所以我们称各次测 量到的数值为可能值。 出现的相对次数即相对几率分别为这些几率正好 设测得 分别是的展开式（4.5-3）中各项系数模的平方，即 （4.5-4）设已归一化的，即 （4.5-5）的正交归一性，就得到 注意到 我们看到具有几率的意义，它表明态中测量力学量F得到结果是的本的几率，故c n常称为几率振幅。 征值 可以证明，当的本征值组成连续谱时，也类似的结果，即 （4.5-8） 而 （4.5-9）
是在 态中，测得体系的力学量F的数值为的几率，其中右由（4.4-17） 式即 （4.5-10） 算出。 归纳上面的讨论，我们引进量子力学中关于力学量与算符关系的一个基本假定： 量子力学中表示力学量的算符都是厄密算符，它的本征函数组成完全系， 的属于本征值的本征态中，测量力学量F所得的数值，就是的 如果体系处在 ；如果体系所处的状态不是的本征态，可以测到力学量F的各 本征值 的本征值谱之中，而且测得数值为的几率是。 种可能值，这些可能值都是在 这个假定的正确性，如同薛定谔方程一样，由理论与实验结果符合而得到验证。 （二）平均值 当体系所处状态不是的本征态时，测量力学量得到的可能值是以一定的几率出现，但是多次测量的平均值是确定的，按照由几率求平均值的法则，可以求得力学量F在态中的平均值是 （4.5-11） 这式子可改写为 （4.5-12） 的正交归一性（4.4-8）式来证明，即 这两个式子相等可以用（4.4-14）式及
算符即运算规则算符即运算规则。。它作用在一个函数ψ(x)(x)上即是对上即是对ψ(x)(x)进行某进行某 种运算种运算，，得到另一个函数?(x) §1.7 1.7 量子力学中的力学量和算符量子力学中的力学量和算符 例： )()(?x x F ?ψ=)()(?x xf x f x =)()(?x f x f I =dx d D = ?1、定义
2、乘法与对易 算符的乘法一般不服从交换律: )?(??ψψB A B A ≡A B B A ????≠例如:
则算符的对易式可记为则算符的对易式可记为：：若对任意若对任意ΨΨ，都有： 则称 和 对易: 引入记号: ψψA B B A ????=A ?B ?]?,?[????B A A B B A ≡?0]?,?[=B A I x D ?]?,?[=h i p x x =]?,?[易证:
可定义算符的可定义算符的n n 次方为： A A A A n ???????=可定义算符的多项式和算符的函数可定义算符的多项式和算符的函数。。例如：
3、线性算符 设C 1, C 2为常数为常数，，若算符满足： 则称其为线性算符则称其为线性算符。。 量子力学态叠加原理要求力学量算符必须是线性算符 例如例如，，下列算符为线性算符下列算符为线性算符：： 2 2112211??)(?Ψ+Ψ=Ψ+ΨF C F C C C F x p H y x x ?,?,,2 ??? ??
算符的本征值方程:4、本征函数本征函数、、本征值 λ为算符 的本征值的本征值，，为算符 的本征值为λ的本征函数的本征函数。。 例如，e 2x 是微商算符的本征函数： )()(?x x F λψψ=)(x ψF ?F ?F ?
波函数和薛定谔方程-力学量算符1．一维运动的粒子处在 的状态，其中，求： （1）粒子动量的几率分布函数； （2）粒子动量的平均值。 [解]首先将归一化，求归一化系数A。 （1）动量的几率分布函数是 注意到中的时间只起参数作用，对几率分布无影响，因此可有 令 代入上式得
（2） 动量p的平均值的结果从物理上看是显然的，因为对本题说来，粒子动量是和是的几率是相同的。讨论： ①一维的傅里叶变换的系数是而不是。 ②傅里叶变换式中的t可看成参变量。因此，当原来坐标空间的波函数不含时间变量时， 即相当于的情况，变换式的形式保持不变。 ③不难证明，若是归一化的，则经傅里叶变换得到也是归一化的。 2．设在时，粒子的状态为 求粒子动量的平均值和粒子动能的平均值。 [解]方法一：根据态迭加原理和波函数的统计解释。任意状态总可以分解为单 色平面波的线性和，即，展开式的系数表示粒子的动量为p时的几率。知道了几率分布函数后，就可按照 求平均值。
在时，动量有一定值的函数，即单色德布罗意平面波为，与的展开式比较可知，处在状态的粒子动量可以取 ，而， 粒子动量的平均值为 A可由归一化条件确定 故 粒子动能的平均值为 。 方法二：直接积分法
根据函数的性质，只有当函数的宗量等于零时，函数方不为零，故的可能值有 而 则有及。 讨论：①由于单色德布罗意平面波当时不趋于零，因此的归一化积分是发散的，故采用动量几率分布的概念来求归一化系数。 ②本题的不是平方可积的函数，因此不能作傅氏积分展开，只能作傅氏级数展 开，即这时对应于波函数的是分立谱而不是连续谱，因此计算积分， 得到函数。 ③在连续谱函数还未熟练以前，建议教学时只引导学生按方法一做，在第三章函 数讲授后再用函数做一遍，对比一下，熟悉一下函数的运算。 3．一维谐振子处在 的状态，求： （1）势能的平均值； （2）动量的几率分布函数； （3）动能的平均值 [解]先检验是否归一化。 是归一化的。 （1）
自主学习01 教材内容 第三章力学量与算符 知识框架重点难点第一节第二节第三节第四节 第五节第六节第七节第八节本章习题本章自测
重点难点
通过本章的学习，应使学生掌握量子力学中的力学量用算符表示的基本原理， 表示力学量的算符，动量算符和角动量算符，厄米算符本征函数的正交性，算符与力学量的关系，算符的关系，两力学量同时有确定值的条件，不确定性关系，力学量平均值随时间的变化，守恒定律，掌握力学量随时间的演化规律。 §3.1 力学量的平均值，力学量用算符表示 [本节要求] 理解力学量的平均值的概念，掌握力学量的算符表示 [重点难点] 力学量的算符表示 [本节内容] 粒子处于波函数 )(r ψ所描述的状态下,虽然不是所有的力学量都有确定的观测值,但它们都有确定 的几率分布,因而有确定的平均值. 粒子处于归一化状态 )(r ψ,其位置坐标的几率密度为ψψ*.这样,位置坐标的平均值为 ()()()()x d r r r x d r r r r 33 ψψ ψψ ??* * == (1) 波长是用以刻画波动在空间变化快慢的,是属于整个波动的量.因此,“空间某一点的波长”的提法是没有意义的.再根据德布罗意关系式p=h/λ,“微观粒子在空间某点的动量”的提法也是没有意义的.因此, 不能像求位置的平均值那样求动量的平均值.按前面所述,给定波函数)(r ψ后,测得粒子的动量在p 到p d p +之间的几率为 p d p 3 2 )( ?,其中 x d e r p r p i 32 3)() 2(1)( ?-?∞ -∞ += ψπ? (2) 其逆变换为 ()()()p d r p i e p r 32 321 ?∞+∞ -?= ?πψ (3)
第四章：力学量用算符表示 [1]设[])(,,q f ih p q =是q 的可微函数，证明下述各式：[一维算符] （1）[ ] .2)(,2 hipf q f p q = （证明）根据题给的对易式及[];0)(,=q f q []qf p f qp fq p f qp f p q 2222 2 ,-=-= f ih qp p qppf f pq p qppf )()(--=-= hipf pf hi pq qp 2)(=+-= （2）)(])(,[pf fq ih p q pf q += （证明）同前一论题 )(],[hi qp pf qpfp pfpq qpfp pfp q --=-= hipf pqfp qpfp hipf pfpq qpfp +-=+-= )()(pf fp hi hipf fp pq qp +=+-= （3）ihfp p q f q 2])(,[2 = [证明]同前一题论据： fppq fqpp fppq qfpp fp q -=-=],[2 hifp fpqp fqpp hi qp fp fqpp +-=--=)( hifp hifp p pq qp f 2)(=+-= （4）i f p i h q f p p 22 )](,[= [证明]根据题给对易式外，另外应用对易式 i f i h q f p = )](,[ dq df f i ≡)( )(],[2222fp pf p fp p f p f p p -=-= 物83-309蒋 ~80~
i f p i h f p p 22],[= = （5）p pf i h p q pf p i = ])(,[ （证明）论据同（4）： p fp pf p pfp fp p pfp p )(],[22-=-= p pf i h i = （6）2 2 ])(,[p f i h p q f p i = （证明）论据同（4）： 2 2222)(],[p f i h p fp pf fp pfp fp p i = -=-= (2)证明以下诸式成立： (1) (证明)根据坐标分角动量对易式 为了求证 该矢量关系式，计算等号左方的矢量算符的x 分量。 以及 看到 由于轮换对称性，得到特征的公式。 ~81~
姓 名:__刘 珺__ 学 号:_06 专业班级:_2009级物理学二班 摘 要：由于微观粒子具有波粒二象性，所以在计算中必须采用新的方式来表示微观粒子的力学量——算符。本文简单叙述关于力学量算符的基本理论并详细说明了两种基本的力学量算符。 关键字：力学量算符；对易；本征值；动量算符；角动量算符 1. 引言 1923年，法国物理学家德布罗意于提出微观粒子具有波粒二象性的假说。 德布罗意认为：正如光具有波粒二象性一样，实体的微粒(如电子、原子等)也具有这种性质，即既具有粒子性也具有波动性。这一假说不久就为实验所证实。 由于观粒子具有波粒二象性，微观粒子所遵循的运动规律就不同于宏观物体的运动规律，描述微观粒子运动规律的量子力学也就不同于描述宏观物体运动规律的经典力学。 量子力学与经典力学的差别首先表现在对粒子的状态和力学量的描述及其变化规律上。在量子力学中，粒子的状态用波函数描述，它是坐标和时间的复函数。当微观粒子处于某一状态时，它的力学量(如坐标、动量、角动量、能量等)一般不具有确定的数值，而具有一系列可能值，每个可能值以一定的几率出现。当粒子所处的状态确定时，力学量具有某一可能值的几率也就完全确定。在描述力学量时，便引入了力学量算符。2. 力学量算符基本概念 算符及其运算规则 （一）算符的定义： 算符是指作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号。 我们通常用上方加“∧”的字母来表示算符，例如： i x dx d P F ,3,,,, ,∧ ∧ 。算符作 用在一个函数u 上，使之变成另一个新的函数v ，例如：v dx du v u F ==∧ , ，dx d 是 微商算符。 （二）算符的运算规则： 1.算符相等：如果u u Q P ∧ ∧ =，则Q P ∧ ∧ =。
第三章 力学量的算符表示 1．如果算符α?、β?满足条件1????=-αββα ， 求证：βαββα?2????22=-， 233?3????βαββα=-， 1?????-=-n n n n βαββα [证] 利用条件1????=-αββα，以β?左乘之得 βαββαβ??????2=- 则有 βαβββα????)1??(2=-- 最后得 βαββα?2????22=-。 再以β? 左乘上式得 222?2)????(?βαββαβ=-， 即232?2?????βαββαβ=- 则有 233?3????βαββα=- 最后得 233?3??βαββα=- 应用数学归纳法可以证明 1?????-=-n n n n βαββα： 先设 211?)1(???----=-n n n n βαββα 成立， 以β? 左乘上式得 11?)1(?????---=-n n n n βαββαβ 则有 11?)1(???)1??(---=--n n n n βαβββα 最后得 1?????-=-n n n n βαββα 2．证明 {}+ ++ )???()???(2 1 2 1n n M M M L L L {} ++=++-+++-+)???()???(11 11 M M M L L L m m n n [证] 应用+ + + ++A B B A ?? )??( 及 ++++=+B A B A ??)??(， 则 ====+-+-++-++ )???(??)???(?)???(21112121n n n n n n L L L L L L L L L L L L +++-+=1 21 ????L L L L n n 同理可证 ++-++=1121???)???(M M M M M M m m m 则 { }{} ++=+++++)???()???()???()???(21212121m n m n M M M L L L M M M L L L { } ++=++-+++-+)???()???(1 111M M M L L L m m n n 3．若算符L e ?满足
波函数和薛定谔方程-力学量算符 1．一维运动的粒子处在 的状态，其中，求： （1）粒子动量的几率分布函数； （2）粒子动量的平均值。 [解]首先将归一化，求归一化系数A。 （1）动量的几率分布函数是 注意到中的时间只起参数作用，对几率分布无影响，因此可有 令 代入上式得 （2） 动量p的平均值的结果从物理上看是显然的，因为对本题说来，粒子动量是和是的几率是相同的。讨论： ①一维的傅里叶变换的系数是而不是。 ②傅里叶变换式中的t可看成参变量。因此，当原来坐标空间的波函数不含时间变量时， 即相当于的情况，变换式的形式保持不变。
③不难证明，若是归一化的，则经傅里叶变换得到也是归一化的。 2．设在时，粒子的状态为 求粒子动量的平均值和粒子动能的平均值。 [解]方法一：根据态迭加原理和波函数的统计解释。任意状态总可以分解为单色平面波的线性和，即，展开式的系数表示粒子的动量为p时的几率。知道了几率分布函数后，就可按照 求平均值。 在时，动量有一定值的函数，即单色德布罗意平面波为，与的展开式比较可知，处在状态的粒子动量可以取 ，而，粒子动量的平均值为 A可由归一化条件确定 故 粒子动能的平均值为 。 方法二：直接积分法
根据函数的性质，只有当函数的宗量等于零时，函数方不为零，故的可能值有 而 则有及。 讨论：①由于单色德布罗意平面波当时不趋于零，因此的归一化积分是发散的，故采用动量几率分布的概念来求归一化系数。 ②本题的不是平方可积的函数，因此不能作傅氏积分展开，只能作傅氏级数展开，即 这时对应于波函数的是分立谱而不是连续谱，因此计算积分，得到函数。 ③在连续谱函数还未熟练以前，建议教学时只引导学生按方法一做，在第三章函数讲 授后再用函数做一遍，对比一下，熟悉一下函数的运算。 3．一维谐振子处在 的状态，求： （1）势能的平均值； （2）动量的几率分布函数； （3）动能的平均值 [解]先检验是否归一化。 是归一化的。 （1） . 其中应用及 （2）由于是平方可积的，因此可作傅氏变换求动量几率分布函数
关于力学量算符本征函数的正交归一性 一、余雷，力学量算符本征函数的正交归一性，贵州师范大学学报(自然科学版)，1998年第16卷第1期 量子力学中关于力学量的基本假设要求： 设某力学量用算符A ?表示，则 n n n a A ??=?（分立谱） （1） a a a A ??=?（连续谱） （2） 1 力学量用线性厄米算符表示； 2 表示力学量算符的本征函数构成完全集，即任一波函数ψ可用力学量算符A ?的本征函数n ?或a ?展开： n n n c ?ψ∑= （3） da a c a ?=?ψ)( （4） 3 几率描述： 在（3）或（4）的ψ态中测力学量A 所得的值必在（1）的n a 或（2）的a 之内。若ψ、n ?、a ?均是归一化的，则在（1）中测得A 的值为n a 的几率为2 n c ；在（4）中测A 得的值在da a a +→内的几率为da a c 2)( 同一力学量算符的线性无关的本征函数的归一化系数一般不同。 例如，一维线性谐振子的能量算符的本征函数的归一化系数n N 与量子数n 有关；轨道角动量平方算符、轨道角动量第三个分量算符的共同本征函数的归一化系数与量子数 和m 有关；当然，也有例外，如一维无限深势阱能量算符的本征函数 ?????<+>=a x a x a n A a x x n n )(2sin 0)(πψ
其归一化系数a A n 1=，所有线性无关的本征函数的归一化系数相同。 又如，轨道角动量第三个分量算符的本征函数??ψim m m e A =)(的归一化系数为π 21=m A ，也是所有线性无关的本征函数的归一化系数相同；再有，动量分量算符的所有线性无关的本征函数的归一化系数相同。 ● 力学量算符线性无关的本征函数并不全部正交 力学量算符是厄米算符，厄米算符具有属于不同本征值的本征函数正交的重要性质，而对于同一本征值的多个线性无关的本征函数（有简并情况）并不一定正交。此时，对属于同一本征值的多个线性无关的本征函数，可以把它们线性叠加为个数相同的线性无关且相互正交的本征函数。正交化方法很多，常用的方法是选择一组力学量，这组力学量算符间两两对易，它们的本征值能对简并的本征函数分类，此时，正交性问题自动得到解决。 ● 力学量算符本征函数的正交归一性是力学量几率描述假设的要求 几率描述假设要求力学量算符的本征函数正交 几率描述假设要求力学量算符的本征函数是归一化的