多面体与球的内切和外接常见类型归纳
在平常教学中，立体几何的多面体与球的位置关系，是培养学生的立体感，
空间想象能力的好教材。可是学生在两个几何体的组合后，往往感到无从下手。针对这种情况，笔者把日常教学中有关这方面的习题加以总结和归类如下：
一．正四面体与球
如图所示，设正四面体的棱长为a ，r 为内切球的半径，R 为外接球的半径。则高SE=3
2a,斜
高SD=4
3a ，OE=r=SE-SO ，又SD=BD,BD=SE-OE,
则在
2222)(OE SE BD EB OE OEB -==+?中，直角
r=
a 126。R=SO=OB=a 4
6
特征分析：
1． 由于正四面体是一个中心对成图形，所以它的内切球与外接球的球心为同
一个。 2． R=3r. r=
a 126 R=a 4
6
。此结论可以记忆。 例题一。1、一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的
表面积为（ ） 分析：借助结论，R=
a 46=4
6
2=
2
3
,所以S=42R π=3π。
2、球的内接正四面体又有一个内切球，则大球与小球的表面积之比是（ ）
分析：借助R=3r ，答案为9：1。
二、特殊三棱锥与球
四个面都是直角三角形的三棱锥。 SA AB BC ABC ABC ⊥⊥为直角三角形，面, 因为SA ⊥AC ，SB ⊥BC ，球心落在SC 的中点处。所以
R=2
SC
。
三．正方体与球。
1．正方体的外接球
即正方体的8个定点都在球面上。
关键找出截面图:ABCD 为正方体的体对角面。设正方
体的边长为a ，则AB=2a ，BD=2R ，AD=a ，
R=
2
3
a 。
2． 正方体的内切球。
（1）与正方体的各面相 切。如图：ABCD 为正方 体的平行侧面的正方形。 R=2
a
（2）与正方体的各棱相切。 如图：大圆是正方形ABCD 的外接圆。AB=CD=a ， R=
2
2a 。
C
A
C
D
A
3． 在正方体以一个顶点为交点的三条棱组成的三棱锥，特征是：三棱锥的三
条侧棱互相垂直且相等，它的外接球可把三棱锥补形成正方体的外接球，再求解。
例题：1。正方体的全面积是24，它的顶点都在同一球面上，这个球的表面积是 解析：显然，球是正方体的外接球，a=2，则R=
322
3
=，S=12π。
2．一个球与棱长为1 的正方体的12条棱都相切，则球的体积 解析：如果明确了上面的结论，问题很容易解决。R==2
21==
2
2
V=
π3
2
3．将棱长为1 的正方体削成体积最大的球，则球的体积为
解析：削成体积最大，即要求球是正方体的内切球，与正方体的俄各面都相切。R=21
，V=π3
4。
4．P 、A 、B 、C 、是球O 面上的四个点，PA 、PB 、PC 两两垂直，且PA=PB=PC=1，则球的体积是
解析：同过条件分析，可采用把三棱锥补形成正方体，则球是正方体的外接球，所以R=
23，V=2
3π。
四、正棱柱与球
1．正三棱柱外接球。
如图所示：过A 点作AD 垂直BC,D 为三角形ABC 的中心，D 1同样得到。则球心O 必落在DD 1的中点上。利用三角形OAD 为直角三角形，OA=R,可求出R.
2.正四棱柱外接球。
B
道理与上面相似。主要是找截面，构造直角三角形，利用勾股定理求得。 例题：1。已知一个半径为
21的球中有一个各条棱长都相等的内接正三棱柱，则
这一正三棱柱的体积是 解析：如上图，OA=
21,OD=
2
a
，AD=a 33，可求
a ＝6，V=543.
2. 正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的各个顶点都在半径为R 的球面上，则正四棱柱的侧面积有最 值，为 解析：截面如图：ABCD 为正四棱柱的体对角面OD=R ，设AD=a ，底面正方形的边长为b ，则有DC=2b ，则R 2
=
（a/2）2
+（
2b/2）
2
，S=4ba ()2
222b a +≤
=224
R 。
五、长方体与球
1．长方体的外接球。
截面图如右图：实质构造直角三角形，联系半径与长方体的长宽高。半径为体对角线的一半。 2．在长方体以一个顶点为交点的三条棱组成的三
棱锥，特征是：三棱锥的三条侧棱互相垂直不相等，它的外接球可把三棱锥补形成长方体的外接球，再求解。
例题：一个三棱锥三条棱两两垂直，其长分别是3，4，5，则它的外接球的表面积是
解析：同过条件分析，可采用把三棱锥补形成长方体，则球是长方体的外接球，所以R=
2
2
5，S=50π。
高中语文 处理球的 内切 外接 问题新人教版 与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接。作为这种特殊的位置关系在高考中也是考查的重点，但同学们又因缺乏较强的空间想象能力而感到模糊。解决这类题目时要认真分析图形，明确切点和接点的位置及球心的位置，画好截面图是关键，可使这类问题迎刃而解。 一、棱锥的内切、外接球问题 例1.正四面体的外接球和内切球的半径是多少？ 分析：运用正四面体的二心合一性质，作出截面图，通过点、线、面关系 解之。 解：如图1所示，设点O 是内切球的球心，正四面体棱长为a ．由图形的 对称性知，点O 也是外接球的球心．设内切球半径为r ，外接球半径为R ． 正四面体的表面积223434a a S =?=表． 正四面体的体积222212 34331BE AB a AE a V BCD A -=??=- 322212 233123a a a a =???? ??-= BCD A V r S -=?表31 ，a a a S V r BCD A 12631223323=?==∴-表 在BEO Rt ?中，222EO BE BO +=，即22233r a R +??? ? ??=，得a R 46=，得r R 3= 【点评】由于正四面体本身的对称性可知，内切球和外接球的两个球心是重合的，为正四面体高的四等分点，即内切球的半径为4h ( h 为正四面体的高)，且外接球的半径4 3h ，从而可以通过截面图中OBE Rt ?建立棱长与半径之间的关系。 例2．设棱锥ABCD M -的底面是正方形，且MD MA =，AB MA ⊥，如果AMD ?的面积为1，试求能够放入这个棱锥的最大球的半径. 解： ⊥∴⊥⊥AB MA AB AD AB ,, 平面MAD ， 由此，面⊥MAD 面AC .记E 是AD 的中点， 从而AD ME ⊥.⊥∴ME 平面AC ，EF ME ⊥ 设球O 是与平面MAD 、平面AC 、平面MBC 都相切的球.如图2， 得截面图MEF ?及内切圆O 不妨设∈O 平面MEF ，于是O 是MEF ?的内心. 设球O 的半径为r ，则MF EM EF S r MEF ++=?2，设a EF AD ==,1=?AMD S . 图2 图1
空间几何体的外接球和内切球问题
空间几何体的外接球和内切球问题 类型1 外接球的问题 1.必备知识： (1)简单多面体外接球的球心的结论. 结论1：正方体或长方体的外接球的球心是其体对角线的中点. 结论2：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点. 结论3：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点. (2)构造正方体或长方体确定球心. (3)利用球心O 与截面圆圆心O 1的连线垂直于截面圆及球心O 与弦中点的连线垂直于弦的性质，确定球心. 2.方法技巧：（1）几何体补成正方体或长方体.（2）轴截面法（3）空间向量法 1AB DC AD BC BD AC ======例1-1、正四面体的棱长都为，求此四面体外接球和内切球的半径 例1-2、四面体中，， 求此四面体外接球的表面积 例1-3．若三棱锥ABC S -的三条侧棱两两垂直，且2=SA ，4==SC SB ，则该三棱锥的外接球半径为（ ） A.3 B.6 C.36 D.9 训练1（创新110页） 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为( ) A.25π B.26π C.32π D.36π 训练2（创新110页）已知边长为2的等边三角形ABC ，D 为BC 的中点，沿AD 进行折叠，使折叠后的∠BDC ＝π2 ，则过A ，B ，C ，D 四点的球的表面积为( ) A.3π B.4π C.5π D.6π 例2-1（创新110页）体积为3的三棱锥P －ABC 的顶点都在球O 的球面上，P A ⊥平面ABC ，P A ＝2，∠ABC ＝120°，则球O 的体积的最小值为( ) A.773 π B.2873π C.19193π D.76193 π 例2-1（创新109页）三棱锥P －ABC 中，平面P AC ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，P A ＝PC ＝AC ＝2，AB ＝4，则三棱锥P －ABC 的外接球的表面积为( ) A.23π B.234π C.64π D.643π 类型2 内切球问题 1.必备知识： (1)内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等. (2)正多面体的内切球和外接球的球心重合. (3)正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不一定重合. 2.方法技巧：体积分割是求内切球半径的通用做法.
高考文科数学中的内切球 和外接球问题专题练习Newly compiled on November 23, 2020
内切球和外接球问题 如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.考查学生的空间想象能力以及化归能力.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用. 一、直接法(公式法) 1、求正方体的外接球的有关问题 例1 （2006年广东高考题）若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______________ . 解析：要求球的表面积，只要知道球的半径即可.因为正方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直径，因此，求球的半径可转化为先求正方体的体对角线长，再计算半径.故表面积为27π. 例2 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体积为______________. 解析：要求球的体积，还是先得求出球的半径，而球的直径正好是正方体的体对角 线，因此，由正方体表面积可求出棱长，从而求出正方体的体对角线是 故该球的体积为. 2、求长方体的外接球的有关问题 例3 （2007年天津高考题）一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则此球的表面积为 .
解析：关键是求出球的半径，因为长方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的1414π. 例4、（2006年全国卷I ）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（ ）. A. 16π B. 20π C. 24π D. 32π 解析：正四棱柱也是长方体。由长方体的体积16及高4可以求出长方体的底面边长为2，因此，长方体的长、宽、高分别为2，2，4，于是等同于例3，故选C. 3.求多面体的外接球的有关问题 例5. 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在 同一个球面上，且该六棱柱的体积为9 8，底面周长为３，则这个球的体积为 . 解 设正六棱柱的底面边长为x ，高为h ，则有263,1,2936,38x x x h h =?? =?? ∴?? =??=??． ∴正六棱柱的底面圆的半径 1 2r = ，球心到底面的距离 3d = .∴外接球的半径221R r d =+=.43V π ∴= 球. 小结 本题是运用公式222 R r d =+求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式. 二、构造法(补形法) 1、构造正方体 例5 （2008年福建高考题）若三棱锥的三条侧棱两 3_______________. 解析：此题用一般解法，需要作出棱锥的高，然后 再
*创作编号：GB8878185555334563BT9125XW* 创作者：凤呜大王* 2019届高三数学第一轮复习教学案18：难点突破：立体图形的外接球与内切球问题 一、基础知识与概念： 1．球的截面：用一个平面去截球，截面是圆面；用一个平面去截球面，截面是圆． 大圆：截面过球心，半径等于球半径（截面圆中最大）；小圆：截面不过球心． 2．球心和截面圆心的连线垂直于截面． 3．球心到截面的距离d与球半径R及截面圆半径r的关系：222 R d r =+． 4．几何体的外接球：几何体的顶点都在球面上；几何体的内切球：球与几何体的各 个面都相切． 二、多面体的外接球（球包体） 模型1：球包直柱（直锥）：有垂直于底面的侧棱（有垂底侧边棱） 球 包 直 柱 球径公式： 2 2 2 h R r ?? =+ ? ?? ，球包正方体球包长方体球包四棱柱球包三棱柱
四 棱 锥 r 速 算 模型2：“顶点连心”锥：锥体的顶点及球心在底面的投影都是底面多边形外接圆的圆心（两心一顶连成线）实例：正棱锥 例：1．（2017年全国卷III第8题）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径 为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为 A．πB． 3 4 π C． 2 π D． 4 π 【解析】模式辨识：“球包体”中的“垂底侧边棱（母线）”类型，1 h=，1 R=，底 面半径为r，则由 2 2 2 h R r ?? =+ ? ?? 2 222 13 1 24 r r ?? =+?= ? ?? ，2 3 4 V r h π π ==． 2．（2010年全国新课标卷第10题）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a， 顶点都在一个球面上，则该球的表面积为
内切球和外接球问题 一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.考查学生的空间想象能力以及化归能力.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用. 一、直接法(公式法) 1、求正方体的外接球的有关问题 例1 （2006年广东高考题）若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______________ . 解析：要求球的表面积，只要知道球的半径即可.因为正方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直径，因此，求球的半径可转化为先求正方体的体对角线长，再计算半径. 故表面积为27π. 例2 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体积为______________. 解析：要求球的体积，还是先得求出球的半径，而球的直径正好是正方体的体对角线， 23所以球的半径为3.因此，由正方体表面积可求出棱长，从而求出正方体的体对角线是 43π. 故该球的体积为 2、求长方体的外接球的有关问题 例3 （2007年天津高考题）一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三 1,2,3，则此球的表面积为. 条棱长分别为 解析：关键是求出球的半径，因为长方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直径。长方体体对角线长为14，故球的表面积为14π. 例4、（2006年全国卷I）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（）. A. 16π B. 20π C. 24π D. 32π 解析：正四棱柱也是长方体。由长方体的体积16及 高4可以求出长方体的底面边长为2，因此，长方体的长、 宽、高分别为2，2，4，于是等同于例3，故选C. 3.求多面体的外接球的有关问题 例5. 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于 底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱
微专题2 与球有关的内切、外接问题 与球有关的内切、外接问题是立体几何的一个重点(切、接问题的解题思路类似，此处以多面体的外接球为例).研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系. 一、直接法(公式法) 例1 (1)一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则此球的表面积为________. 答案 14π 解析 因为长方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直径，长方体体对角线长为14，故球的表面积为14π. (2)一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为9 8，底面周长为3，则这个球的体积为________. 答案 4π3 解析 设正六棱柱的底面边长为x ，高为h ， 则有????? 6x ＝3，98＝6×34x 2 h ，∴????? x ＝12， h ＝ 3. ∴正六棱柱的底面外接圆的半径r ＝1 2， 球心到底面的距离d ＝ 32 . ∴外接球的半径R ＝r 2＋d 2＝1.∴V 球＝4π 3 . 反思感悟 本题运用公式R 2＝r 2＋d 2求球的半径，该公式是求球的半径的常用公式. 二、构造法(补形法) 1.构造正方体 例2－1 (1)一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为( ) A.3π B.4π C.33π D.6π 答案 A 解析 联想只有正方体中有这么多相等的线段，所以构造一个正方体，则正方体的面对角线即为四面体的棱长，求得正方体的棱长为1，体对角线为3，从而外接球的直径也为3，
与内切球外接球半径相关的问题 有关于内切球、外接球的问题，应该说是一个比较困难的问题，几乎所有同学都会感到无从下手，这是正常的，因为这类问题需要强有力的想象力，同时方法性极强。 我们就这部分问题，尽量总结全面。 1． 内切球和外接球的基本定义; 立体图形的内切球是指：与该立体图形的所有面都相切的球，注意是与所有面都相切，因此，很多立体图形是不存在内切球的。 基本性质是：球心到所有面的距离相等，且为内切球半径。 立体图形的外接球是指：立体图形的所有顶点都在球面上。 基本性质是：球心到所有顶点的距离相等，且为外接球半径。 2.长方体的外接球： 长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为c b a ,,，则体对角线长为2 22c b a l ++=，几何体的外接球直径R 2，长方体体对角线长l ，则2 2 22c b a R ++= 3.正方体的外接球： 正方体的棱长为a ，则正方体的体对角线为a 3，其外接球的直径R 2为a 3。 4.正四面体的内切球、外接球 （1）正四面体的内切球球心和外接球球心是重合的，并且都在正四面体的高线上。 （2）正四面体的高若为h ，则外接球半径34R h =，内切球半径14 r h = 5. 直棱柱的外接球： 直棱柱外接球半径的思想是：找出直棱柱的外接圆柱，圆柱的外接球就是所求直棱柱的外接球。 （1） 直棱柱的体对角线长就是外接球的直径，这是核心。 （2） 直棱柱的体对角线2=底面图形的外接圆直径2+侧棱（即高）2 6.正棱锥的外接球： 正棱锥外接球半径的思想是：球心在正棱锥的高线上，根据球心到各个顶点的距离是外接球半径，列出关于半径的方程。 我们需要考虑将“球心”“底面正多边形的中心”“底面上任一个顶点”这三个点连接起来，构成一个直角三角形，利用勾股定理，列出关于半径的方程。 一般来说这个方程是：222()h R a R -+=或222 ()R h a R -+=，这里的h 是指正棱锥的高，a 是指底面正多边形的对角线长的一半，若底面为正三角形时，a 是指正三角形中线长的23 ，考生可以划出一个图形，印证一下这些内容。 7.补体法： （1）补体法是用于求锥体的外接球半径的一种简洁方法，而且如果不使用该方法，会使问题变得非常难于解决。 （2）使用条件：一是由三条两两垂直的棱构成的锥体，可以使用补体法，这时候往往会补
高考数学中的内切球和外接球问题 一、有关外接球的问题 如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.考查学生的空间想象能力以及化归能力.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用. 一、直接法(公式法) 1、求正方体的外接球的有关问题 例1若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______________ . 例2一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体积为______________. 2、求长方体的外接球的有关问题 例3一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则此球的表面积为. 例4已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4， 体积为16，则这个球的表面积为（）. A. 16π B. 20π C. 24π D. 32π
3.求多面体的外接球的有关问题 例5一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为8 9，底面周长为3，则这个球的体积为 . 解 设正六棱柱的底面边长为x ，高为h ，则有 ?? ???? ==h x x 24368936 ?? ???= =213 x h ∴正六棱柱的底面圆的半径2 1 =r ，球心到底面的距离2 3 =d .∴外接球的半径22d r R +=. 体积：3 3 4R V π= . 小结 本题是运用公式222d r R +=求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式. 二、构造法(补形法) 1、构造正方体 例5 若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是_______________. 例3 若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 . 故其外接球的表面积ππ942==r S . 小结：一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为c b a ,,，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R ，则有2222c b a R ++=. 出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。
1 球与柱体 规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题. 1.1 球与正方体 发现，解决正方体与球的组合问题，常用工具是截面图，即根据组合的形式找到两个几何体的轴截面，通过两个截面图的位置关系，确定好正方体的棱与球的半径的关系，进而将空间问题转化为平面问题 例 1 棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的8个顶点都在球O 的表面上，E F ，分别是棱1AA ，1DD 的中点，则直线EF 被球O 截得的线段长为（ ）A ． 22 B ．1 C ．212 + D ．2 1.2 球与长方体长方体各顶点可在一个球面上，故长方体存在外切球.但是不一定存在内切球.设长方体的 棱长为,,,a b c 其体对角线为l .当球为长方体的外接球时，截面图为长方体的对角面和其外接圆，和正 方体的外接球的道理是一样的，故球的半径222 2l a b c R ++== 例 2 在长、宽、高分别为2，2，4的长方体内有一个半径为1的球，任意摆动此长方体，则球经过的空间部分的体积为( )A.10π 3 B.4π C.8π3 D.7π3
1.3 球与正棱柱 例3 正四棱柱1111ABCD A B C D 的各顶点都在半径为R 的球面上，则正四棱柱的侧面积有最 值，为 . 2 球与锥体 规则的锥体，如正四面体、正棱锥、特殊的一些棱锥等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱锥的棱和高产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题. 2.1 球与正四面体
空间几何体的内切球与外接球问题 1．[2016·全国卷Ⅱ] 体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( ) A ．12π π C ．8π D ．4π [解析]A 因为正方体的体积为8，所以正方体的体对角线长为23，所以正方体的外 接球的半径为3，所以球的表面积为4π·(3)2 ＝12π. 2．[2016·全国卷Ⅲ] 在封闭的直三棱柱ABC - A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球．若AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，AA 1＝3，则V 的最大值是( ) A ．4π C ．6π [解析]B 当球与三侧面相切时，设球的半径为r 1，∵AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，∴8－r 1 ＋6－r 1＝10，解得r 1＝2，不合题意；当球与直三棱柱的上、下底面相切时，设球的半径为 r 2，则2r 2＝3，即r 2＝32.∴球的最大半径为32，故V 的最大值为43π×? ????323＝92π. 3.[2016·郑州模拟] 在平行四边形ABCD 中，∠CBA＝120°，AD ＝4，对角线BD ＝23， 将其沿对角线BD 折起，使平面ABD⊥平面BCD ，若四面体ABCD 的顶点在同一球面上，则该球的体积为________． 答案：2053π；解析：因为∠CBA ＝120°，所以∠DAB ＝60°，在三角形ABD 中，由余 弦定理得(23)2 ＝42 ＋AB 2 －2×4·AB ·cos 60°，解得AB ＝2，所以AB ⊥BD .折起后平面ABD ⊥平面BCD ，即有AB ⊥平面BCD ，如图所示，可知A ，B ，C ，D 可看作一个长方体中的四 个顶点，长方体的体对角线AC 就是四面体ABCD 外接球的直径，易知AC ＝22＋42 ＝25， 所以球的体积为205 3 π. 4.[2016·山西右玉一中模拟] 球O 的球面上有四点S ，A ，B ，C ，其中O ，A ，B ，C 四点共面，△ABC 是边长为2的正三角形，平面SAB⊥平面ABC ，则棱锥S-ABC 的体积的最大值为( ) C ．2 3 D ．4 选A ；[解析] (1)由于平面SAB ⊥平面ABC ，所以点S 在平面ABC 上的射影H 落在AB 上，根据球的对称性可知，当S 在“最高点”，即H 为AB 的中点时，SH 最大，此时棱锥S -ABC 的体积最大． 因为△ABC 是边长为2的正三角形，所以球的半径r ＝OC ＝23CH ＝23×32×2＝23 3 . 在Rt △SHO 中，OH ＝12OC ＝3 3， 所以SH ＝ ? ????2332－? ?? ??332 ＝1，
空间几何体的内切球与外接球问题 1.[2016·全国卷Ⅱ] 体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为( ) A.12π B 、32 3π C.8π D.4π [解析]A 因为正方体的体积为8,所以正方体的体对角线长为23,所以正方体的外接球的 半径为3,所以球的表面积为4π·(3)2 ＝12π、 2.[2016·全国卷Ⅲ] 在封闭的直三棱柱ABC - A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球.若AB ⊥BC ,AB ＝6,BC ＝8,AA 1＝3,则V 的最大值就是( ) A.4π B 、9π2 C.6π D 、32π 3 [解析]B 当球与三侧面相切时,设球的半径为r 1,∵AB ⊥BC ,AB ＝6,BC ＝8,∴8－r 1＋6－r 1＝10,解得r 1＝2,不合题意;当球与直三棱柱的上、下底面相切时,设球的半径为r 2,则2r 2＝3, 即r 2＝32、∴球的最大半径为32,故V 的最大值为43π×? ????323＝92π、 3、[2016·郑州模拟] 在平行四边形ABCD 中,∠CBA＝120°,AD ＝4,对角线BD ＝23,将其沿 对角线BD 折起,使平面ABD⊥平面BCD,若四面体ABCD 的顶点在同一球面上,则该球的体积为________. 答案: 205 3 π;解析:因为∠CBA ＝120°,所以∠DAB ＝60°,在三角形ABD 中,由余弦定理得(23)2 ＝42 ＋AB 2 －2×4·AB ·cos 60°,解得AB ＝2,所以AB ⊥BD 、折起后平面ABD ⊥平面BCD ,即有AB ⊥平面BCD ,如图所示,可知A ,B ,C ,D 可瞧作一个长方体中的四个顶点,长方体的 体对角线AC 就就是四面体ABCD 外接球的直径,易知AC ＝22＋42 ＝25, 所以球的体积为205 3 π、 4、[2016·山西右玉一中模拟] 球O 的球面上有四点S,A,B,C,其中O,A,B,C 四点共面,△ABC 就是边长为2的正三角形,平面SAB⊥平面ABC,则棱锥S -ABC 的体积的最大值为( ) A 、 3 3 B 、 3 C .2 3 D .4 选A;[解析] (1)由于平面SAB ⊥平面ABC ,所以点S 在平面ABC 上的射影H 落在AB 上,根据球的对称性可知,当S 在“最高点”,即H 为AB 的中点时,SH 最大,此时棱锥S -ABC 的体积最大. 因为△ABC 就是边长为2的正三角形,所以球的半径r ＝OC ＝23CH ＝23×32×2＝23 3 、 在Rt △SHO 中,OH ＝12OC ＝3 3, 所以SH ＝ ? ????2332－? ?? ??332 ＝1, 故所求体积的最大值为13×34×22 ×1＝33 、
图1 处理球的“内切”“外接”问题 与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接。作为这种特殊的位置关系在高考中也是考查的重点，但同学们又因缺乏较强的空间想象能力而感到模糊。解决这类题目时要认真分析图形，明确切点和接点的位置及球心的位置，画好截面图是关键，可使这类问题迎刃而解。 一、棱锥的内切、外接球问题 例1.正四面体的外接球和内切球的半径是多少？ 由于正四面体本身的对称性可知，内切球和外接球的两个球心是重合的，为正四面体高的四等分点，即内切球的半径为4h ( h 为正四面体的高)，且外接球的半径4 3h ，从而可以通过截面图中OBE Rt ?建立棱长与半径之间的关系。 例2．设棱锥ABCD M -的底面是正方形，且MD MA =，AB MA ⊥，如果AMD ?的面积为1，试求能够放入这个棱锥的最大球的半径. （满足条件的球最大半径为12-.） 练习：一个正四面体内切球的表面积为π3，求正四面体的棱长。（答案为：2） 【点评】根据棱锥的对称性确定内切球与各面的切点位置，作出截面图是解题的关键。 二、球与棱柱的组合体问题 1． 正方体的内切球： 球与正方体的每个面都相 切，切点为每个面的中心，显然 球心为正方体的中心。设正方体 的棱长为a ，球半径为R 。 如图3，截面图为正方形EFGH 的内切圆，得2 a R =； 2． 与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图4作截面图，圆O 为正方形EFGH 的外接圆，易得a R 2 2=。 图3 图4 图 5
3． 正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图5，以对角面1AA 作截面图得，圆O 为矩形C C AA 11的外接圆，易得a O A R 2 31==。 例3.在球面上有四个点P 、A 、B 、C .如果PA 、PB 、PC 两两互相垂直，且a PC PB PA ===,那么这个球的表面积是______. 练习：一棱长为a 2的框架型正方体，内放一能充气吹胀的气球，求当球与正方体棱适好接触但又不至于变形时的球的体积。（答案为()332 6243 a a V ==） 4．构造直三角形，巧解正棱柱与球的组合问题 正棱柱的外接球，其球心定在上下底面中心连线的中点处，由球心、底面中心及底面一顶点构成的直角三角形便可得球半径。 例4.已知三棱柱111C B A ABC -的六个顶点在球1O 上，又知球2O 与此正三棱柱的5个面都相切，求 球1O 与球2O 的体积之比与表面积之比。 分析：先画出过球心的截面图，再来探求半径之间的关系。 （1:5::2 22121==∴R R S S ，1:55:21=V V ） 练习：正四棱柱1111D C B A ABCD -的各顶点都在半径为R 的球面上，求正四棱柱的侧面积的最大值。（答案为：224R ） 【点评】“内切”和“外接”等有关问题，首先要弄清几何体之间的相互关系，主要是指特殊的点、线、面之间关系，然后把相关的元素放到这些关系中解决问题，作出合适的截面图来确定有关元素间的数量关系，是解决这类问题的最佳途径。
处理球的“内切”“外接”问题 一、球与棱柱的组合体问题： 1正方体的内切球： 设正方体的棱长为a ，求（1）内切球半径；（2）外接球半径；（3）与棱相切的球半径。 （1）截面图为正方形EFGH 的内切圆，得2 a R =； （2）与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图4作截面图，圆O 为正方形EFGH 的外接圆，易得a R 2 2=。 （3） 正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图5，以对角面1AA 作截面图得，圆O 为 矩形C C AA 11的外接圆，易得a O A R 2 31= =。 2.在球面上有四个点P 、A 、B 、C .如果PA 、PB 、PC 两两互相垂直，且a PC PB PA ===,求这个球的表面积是______. 【构造直三角形，巧解正棱柱与球的组合问题 正棱柱的外接球，其球心定在上下底面中心连线的中点处，由球心、底面中心及底面一顶点构成的直角三角形便可得球半径。】 3.已知底面边长为a 正三棱柱111C B A ABC -的六个顶点在球1O 上，又知球2O 与此正三棱柱的5个面都相切，求球1O 与球2O 的体积之比与表面积之比。 分析：先画出过球心的截面图，再来探求半径之间的关系。 解：如图6，由题意得两球心1O 、2O 是重合的，过正三棱柱的一条侧棱1AA 和它们的球心作截面，设正三棱柱底面边长为a ，则a R 6 32=，正三棱柱的高为a R h 3 322==，由O D A Rt 11?中，得 图3 图4 图 5 图6
22 222221125633333a a a R a R =???? ??+???? ??=+???? ??=，a R 1251=∴ 1:5::2 22121==∴R R S S ，1:55:21=V V 二 棱锥的内切、外接球问题 4 .正四面体的外接球和内切球的半径是多少？ 分析：运用正四面体的二心合一性质，作出截面图，通过点、线、面关系 解之。 解：如图1所示，设点O 是内切球的球心，正四面体棱长为a ．由图形的 对称性知，点O 也是外接球的球心．设内切球半径为r ，外接球半径为R ． 在BEO Rt ?中，222EO BE BO +=，即22233r a R +??? ? ??=，得a R 46=，得r R 3= 【点评】由于正四面体本身的对称性可知，内切球和外接球的两个球心是重合的，为正四面体高的四等分点，即内切球的半径为 4h ( h 为正四面体的高)，且外接球的半径 4 3h ，从而可以通过截面图中OBE Rt ?建立棱长与半径之间的关系。 5.正三棱锥S ABC -，底面边长为3，侧棱长为2，则其外接球和内切球的半径是多少 6. 正四棱锥S ABCD -，底面边长为2，侧棱长为3，则其外接球和内切球的半径是多少 练习： 1.（球内接正四面体问题）一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上， 则此球的表面积为 2. （球内接长方体问题）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1， 2，3，则此球的表面积为 。 3．设,,,P A B C 是球O 面上的四点,且,,PA PB PC 两两互相垂直,若PA PB PC a ===, 则球心O 到截面ABC 的距离是 .4.（球内接正三棱锥问题）在正三棱锥S ABC -中，侧棱SC SAB ⊥侧面，侧棱2SC =， 则此正三棱锥的外接球的表面积为 5.（球内接棱柱问题） 则此球的体积为 ． 6.（正三棱柱内切球、外接球问题）一个正三棱柱恰好有一个内切球(球与三棱柱的两个底面和三个侧面都相切)和一个外接球(球经过三棱柱的6个顶点),则此内切球与外接球表面积之比为 。 7.（球内接正四棱锥问题）半径为R 的球内接一个各棱长都相等的正四棱锥．则四棱锥的体积为 ． 8.（正三棱锥球内切问题） 正三棱锥的高为3， 底面边长为正三棱锥内有一个球与其四个面相切． 则图 1
高中数学中立体几何的内切球和外接球问题 一、 有关外接球的问题 如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点. 考查学生的空间想象能力以及化归能力.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用. 一、直接法(公式法) 1、求正方体的外接球的有关问题 例1若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______________ . 例2一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体积为______________. 2、求长方体的外接球的有关问题 例3一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则此球的表面积为 . 例4已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（ ）. A. 16π B. 20π C. 24π D. 32π 3.求多面体的外接球的有关问题 例5一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为8 9 ，底面周长为3，则这个球的体积为 . 解 设正六棱柱的底面边长为x ，高为h ，则有 ??????==h x x 24368 936 ?????==213x h ∴正六棱柱的底面圆的半径2 1= r ，球心到底面的距离23=d .∴外接球的半径2 2d r R +=. 体积： 3 3 4R V π= . 二、构造法(补形法) 1、构造正方体 例5 若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 _______________. 练习：在四面体ABCD 中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为3,6,1，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积。球的表面积为 ππ1642==R S 例 6一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ） A. π3 B. π4 C. π33 D. π6
2019届高三数学第一轮复习教学案 18：难点突破：立体图形的外接球与内切球问题 一、基础知识与概念： 球的截面：用一个平面去截球，截面是圆面；用一个平面去截球面，截面是圆. 大圆：截面过球心，半径等于球半径（截面圆中最大） ；小圆：截面不过球心. 球心和截面圆心的连线垂直于截面. 2 2 2 球心到截面的距离 d 与球半径R 及截面圆半径r 的 关系：R =d +r . 几何体的外接球：几何体的顶点都在球面上；几何体的内切球：球与几何体的各个面都相切. 二、多面体的外接球（球包体） 模型1：球包直柱（直锥）：有垂直于底面的侧棱（有垂底侧边棱） 1. 2. 3. 4. 球 包 直 柱 球包正方体 球 包 直 锥 球包长方体 球包四棱柱 球包三棱柱 球径公式：R =」（m +r 2 杠2丿 （r 为底面外接圆半径） 模型2: “顶点连心”锥：锥体的顶点及球心在底面的投影都是底面多边形外接圆的圆心（两心一顶连成线） 实例：正棱锥 球径计算方程：（h -R ）2 +r 2 = R 2 = h 2-2hR + r 2=0二 R =4 2h （h 为棱锥的高，r 为底面外接圆半径） 特别地， （1） 边长为a 正四面体的外接球半径： （2） 底面边长为a ，高为h 的正三棱锥的外接球半径： R = （3） 底面边长为a ，高为h 的正四棱锥的外接球半径： R = 例：1. （2017年全国卷III 第8题）已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为 2的同一个球的球面上，则该圆 柱的体积为 兀 C. 2 —二 ....... X y : r = ------- CJ r = ------ 3 ■沁- 2/工4买￡ f"' I ?
一、球与棱柱的组合体问题 1. （2007天津理?12）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱 的长分别为1，2，3，则此球的表面积为 ． 答案 14π 2.（2006山东卷）正方体的内切球与其外接球的体积之比为 ( ) A . 1∶3 B . 1∶3 C . 1∶33 D . 1∶9 答案 C 3.已知正方体外接球的体积是π3 32，那么正方体的棱长等于（ ） A.22 B.332 C.324 D.3 34 4.(吉林省吉林市2008届上期末)设正方体的棱长为233 ，则它的外接球的表面积为（ ） A ．π38 B ．2π C ．4π D ．π3 4 答案C 5.（2007全国Ⅱ理?15）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2 cm 的球面上。如果正四 棱柱的底面边长为1 cm ，那么该棱柱的表面积为 cm 2. 答案 2+ 6.（2008海南、宁夏理科）一个六棱柱的底面是正六边 形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为 98，底面周长为3，则这个球的体积为 ． 答案 3 4π 7．（2012辽宁文）已知点P,A,B,C,D 是球O 表面上的点,PA ⊥平面ABCD,四边形 ABCD 是边长为形 .若则△OAB 的面积为______________. 二、锥体的内切球与外接球 8.（辽宁省抚顺一中2009届高三数学上学期第一次月考） 棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个 球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中 三角形(正四面体的截面)的面积是 . 答案 9.（2006辽宁）如图，半径为2的半 球内有一内接正六棱锥 P ABCDEF -，则此正六棱锥的侧面积是________． 答案 F
立体图形的外接球与内切球问题 一、基础知识与概念： 1．球的截面：用一个平面去截球，截面是圆面；用一个平面去截球面，截面是圆． 大圆：截面过球心，半径等于球半径（截面圆中最大）；小圆：截面不过球心． 2．球心和截面圆心的连线垂直于截面． 3．球心到截面的距离d 与球半径R 及截面圆半径r 的关系：222R d r =+． 4．几何体的外接球：几何体的顶点都在球面上；几何体的内切球：球与几何体的各个面都相切． 二、多面体的外接球（球包体） 三棱锥 四棱锥 柱的体积为
A ． B ． C ． D ． 【解析】模式辨识：“球包体”中的“垂底侧边棱（母线）”类型，1h =，1R =，底面半径为r ， 则由R =得：2 22213124r r ??=+?= ??? ，2 34V r h ππ==． 2．（2010年全国新课标卷第10题）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为，顶点都在一个球面上，则该球的 表面积为 A ． B ． C ． D ． 【解析】“球包体”中的“垂底侧边棱”类型，h a = ，r =，2 22222 724312h a a a R r ??=+=+= ??? ， 所以该球的表面积22 2 7744123 a a S R ππ==?=．答案B ． 3．（2014年全国大纲卷第8题）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积 为 A ． B ． C ． D ． 【解析】模式辨识：“球包体”中的“顶点连心锥”，4h = ，2 r ==221629284h r R h ++= ==， 所以2 818144164 S R π ππ==? =，答案：A ． 4．（2013年全国卷I 第6题）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm ，将一个球 放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为 A ．35003cm π B ．38663cm π C ．313723cm π D ．320483cm π 【解析】设水面与球的接触点（切点）为P ，球心为O ，则PO 垂直于正方体的上表面，依题意P 到正方体上表面的距离为2h =，球与正方体上表面相交圆的半径4r =，有：()2 22 2R r R -+=， 2454 r R +?==，所以球的体积3450033V R ππ ==． 三、定心大法：球心在过截面圆的圆心且垂直于截面圆所在平面的直线上． 两圆定心法：如下图，过两个截面圆的圆心分别作相应截面圆的垂线，由两垂线的交点确定圆心． π34 π2 π4 πa 2 a π2 73 a π2 113 a π2 5a π814 π 16π9π274 π
内切与外接 1 球与柱体 1.1 球与正方体 例 1 棱长为1的正方体的8个顶点都在球 的表面上，分别是棱，的中点，则直线 被球截得的线段长为（ ） A ． B ． C ． D 1.2 球与长方体 长方体各顶点可在一个球面上，故长方体存在外切球.但是不一定存在内切球.设长方体 的棱长为其体对角线为.当球为长方体的外接球时，截面图为长方体的对角面和其 外接圆，和正方体的外接球的道理是一样的，故球的半径 例 2 在长、宽、高分别为2，2，4的长方体内有一个半径为1的球，任意摆动此长方体，则球经过的空间部分的体积为( ) A.10π3 B.4π C.8π3 D.7π3 1.3 球与正棱柱 1111ABCD A BC D -O E F ，1AA 1DD EF O 2112+,,,a b c l 22 l R ==
例3 正四棱柱的各顶点都在半径为 的球面上，则正四棱柱的侧面积有最 值，为 . 2 球与锥体 规则的锥体，如正四面体、正棱锥、特殊的一些棱锥等能够和球进行充分的组合，以外 接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱锥的棱和高产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题. 2.1 球与正四面体解得： 例4 将半径都为１的四个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最 小值为 ( ) 1111ABCD A BC D -R 2222233a R r a R r CE +=-=，=，66,.R r ==
A. D. 2.2 球与三条侧棱互相垂直的三棱锥 例5 在正三棱锥中， 分别是棱的中点，且,若侧棱 , 则正三棱锥S-ABC 外接球的表面积是______ 2.3 球与正棱锥 球与正棱锥的组合，常见的有两类，一是球为三棱锥的外接球，此时三棱锥的各个顶点 在球面上，根据截面图的特点，可以构造直角三角形进行求解.二是球为正棱锥的内切球，例如正三棱锥的内切球，球与正三棱锥四个面相切，球心到四个面的距离相等，都为球半径．这样求球的半径可转化为球球心到三棱锥面的距离，故可采用等体积法解决，即四个小三棱锥的体积和为正三棱锥的体积. 例6 在三棱锥P －ABC 中，PA ＝侧棱PA 与底面ABC 所成的角为60°，则该三棱锥外接球的体积为（ ） A ． B. C. 4 D. 接球的球心,则. 例7 矩形中，沿将矩形折成一个直二面角 S ABC -M N 、SC BC 、AM MN ⊥SA =R π3 ππ43π2SC R = ABCD 4,3,AB BC ==AC ABCD