2019届高三数学第一轮复习教学案
18：难点突破：立体图形的外接球与内切球问题
一、基础知识与概念：
球的截面：用一个平面去截球，截面是圆面；用一个平面去截球面，截面是圆.
大圆：截面过球心，半径等于球半径（截面圆中最大） ；小圆：截面不过球心.
球心和截面圆心的连线垂直于截面. 2 2 2 球心到截面的距离
d 与球半径R 及截面圆半径r 的
关系：R =d +r .
几何体的外接球：几何体的顶点都在球面上；几何体的内切球：球与几何体的各个面都相切. 二、多面体的外接球（球包体）
模型1：球包直柱（直锥）：有垂直于底面的侧棱（有垂底侧边棱）
1. 2. 3. 4. 球 包 直 柱
球包正方体
球 包 直 锥
球包长方体
球包四棱柱
球包三棱柱
球径公式：R =」（m +r 2
杠2丿 （r 为底面外接圆半径）
模型2: “顶点连心”锥：锥体的顶点及球心在底面的投影都是底面多边形外接圆的圆心（两心一顶连成线） 实例：正棱锥
球径计算方程：（h -R ）2 +r 2 = R 2 =
h 2-2hR + r 2=0二 R =4
2h
（h 为棱锥的高，r 为底面外接圆半径） 特别地， （1） 边长为a 正四面体的外接球半径：
（2） 底面边长为a ，高为h 的正三棱锥的外接球半径： R =
（3） 底面边长为a ，高为h 的正四棱锥的外接球半径： R =
例：1. （2017年全国卷III 第8题）已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为 2的同一个球的球面上，则该圆
柱的体积为
兀 C. 2
—二
....... X y :
r = ------- CJ
r = ------
3
■沁-
2/工4买￡ f"'
I ?
得*”心,V
= R =A=5，所以球的体积—
4 3
三、定心大法：球心在过截面圆的圆心且垂直于截面圆所在平面的直线上.
两圆定心法：如下图，过两个截面圆的圆心分别作相应截面圆的垂线，由两垂线的交点确定圆心.
例2: 1?已知边长为2J 3的棱形ABCD 中，N =60。，现沿对角线BD 折起，使得二面角 A-BD-C 为120°，此时 点A , B , C , D 在同一个球面上，则该球的表面积为（
）
A . 20兀
B . 24兀
C . 28红
【解析】模式辨识：“球包体”中的
“垂底侧边棱（母线）”类型，h =1 , R =1 ,底面半径为r ,则由R = J （号］+r 2
2. （2010年全国新课标卷第 10题） 表面积为
设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为
a ，顶点都在一个球面上，则该球的
11 2
C .—兀 a
3
D .
【解析】 “球包体”中的“垂底侧边棱”类型,
h =a
"爭,宀書］+「
2 2 _ 2
a 丄 a 7a
= --- + -- = -----
4
3 12
所以该球的表面积 S =4JI R 2 =4兀咒亘
12
耳.答案B .
3. （2014年全国大纲卷第8题）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为 为
底面边长为2,则该球的表面积
81兀
A .——
4 27；!
D .——
4
【解析】模式辨识: “球包体”中的“顶点连心锥” ,h =4, r
h 2+r 2 16 + 2 8
2h
2 81 _ .
所以 S=4JI ：R =4兀 X 一 = ----- ，答案：A .
16 4
4. （2013年全国卷I 第6题）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高
放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为 球的体积为
500 兀 3 A .
-------------- cm
3
8
cm ，将一个
6 cm
，如果不计容器的厚度， 1372 兀 r 866兀 3
C
B . --------- cm
C. ------------ c m
3
3
【解析】设水面与球的接触点（切点）为 P ，球心为O ，则PO 垂直于正方体的上表面，依题意
D .沁 cm 3
3
2 0
到正方体上表面的距离为 h=2，球与正方体上表面相交圆的半径
r=4，有：（R -2）+r
R 2,
则 11
r F 1
s
2?在矩形ABCD中，AB =4 , BC =3,沿AC将矩形折成一个直二面角B - AC - D，则四面体ABCD的外接球的体积为.
3.在边长为1
的菱形ABCD中，N BAD =60。,沿对角线将菱形折成直二面角A-BD -C ,则三棱锥A-BCD的外接球的表面积为____________________________ .
四、正多面体的内切球（体中球）
五、正多面体的切边球”（与所有的棱都相切的球）
（2016年全国卷III第10题）在封闭的直三棱柱ABC—ABQ内有一个体积为V的球，若AB丄
BC，AB = 6，
BC =8, AA =3，则V的最大值是
C. 6兀
【解析】考查直三棱柱中截面的内切圆为球的大圆的情景，
有
3
(6+8+ 10)R = 6X8二R = 2Ad=—，故当球半
径
2 2
9兀
= ——.答案
2
为2 3时球的体积最大为V =4兀R3 = 4兀X27
2 3 3 8
练习：
1.（2015年全国卷II第9题）已知A ,B是球O的球面上两点,
体积的最大值为36,则球O的表面积为
A . 36 兀
B . 64 沢C. 144
兀
NAOB = 90° , C为该球面上的动点，若三棱锥O — ABC
D. 256兀
锥体的内切球:
R =
圆锥的内切球:
R =
边长为a的正方体: 等边圆柱（母线a）:
R =旦.
2
边长a的正八面体:
R =
正四面体边长为a，球半径R =
例
2.
正方体边长为a，球半径R =
3: 1 . 一个球的外切正方体的全面积为6，则球的体积为 _________
某圆锥的截面为边长为2的正三角形，则该圆锥的内切球的表面积为
正四面体边长为a，球半径R =
3.
32兀
AA i
C. 3
43的正三角
AC =4 , AB 丄AC , AA =12，则球O 的半径为（ )
5
13
C.—
2
5. （2012年全国新课标卷第11题）已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，AABC 是边长为1的正三角 形，SC 为球O 的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为
A .並
6 圆柱O 1
O 2
的体积为 V ，球0的体积为V 2，则一的值是
V
2
2. （2016年福建漳州市5月质检）三棱锥 S —ABC 中，SB 丄平面ABC , SB = J 5，也ABC 是边长为 形，则三棱锥S-ABC 的外接球的表面积为（
） A . 3兀
B . 5兀
C . 9兀
D . 12兀
3. （2014年湖南卷）一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工 成球，则能得到的最大球的半径等B . 2^/10 D .返
2
6?在正三棱锥 P- ABC 中, PA = PB = P C =43，侧棱 PA 与底面ABC 所成的角为60。，则该三棱锥外接球的体
积为（）
C . 4兀
7.已知底面边长为
1，侧棱长为 J 2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（
32；!
C. 2；!
8. （ 2017年福建省质检）.空间四边形 ABCD 的四个顶点都在同一球面上,
E 、
F 分别是
AB 、CD 的中点，且
EF 丄AB, EF 丄CD ，若AB =8,CD =EF =4，则该球的半径等于
A .也
16 C .遁
2
D .765
9.若三棱锥P- ABC 的最长的棱PA=2，且各面均为直角三角形，则此三棱锥的外接球的体积是 ______________________ . 10 . （ 2008年高考浙江卷理14）已知球O 的面上四点A 、B 、C 、D , DA 丄平面ABC , AB 丄BC ,
DA = AB = BC = 43，则球O 的体积为
11. （2016年东北三省三校联考）三棱柱 ABC-AB 1C 1各顶点都在一个球面上，侧棱与底面垂直,
NACB =120。,
CA =CB =2j 3, AA = 4，则这个球的表面积为
12.在三棱柱ABC —ABQ 中，侧棱AA ,垂直底面，N ACB =90° , BAC =30°, BC = 1,且三棱柱ABC - A BQ
的体积为3，则三棱柱ABC-AB J G 的外接球表面积为
13?在正三棱锥 S —ABC 中，M , N 分别是棱SC 、BC 的中点，且 AM 丄MN
，若侧棱SA=2J3，则正三棱锥
S - ABC 外接球的表面积是
14.在三棱锥 A-BCD 中，AB =CD =2 , AD = BC =亦,AC = BD =77 , 则三棱锥 A- BCD 外接球的表面
积为 ___________ .
15. （2017年天津卷）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为 这个球的体积为 _______ .
18，则
16. （2017年江苏卷）如图，在圆柱 O 1O 2内有一个球，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记
于（）
A . 1
B . 2
4. （2013年辽宁卷理10）已知三棱柱ABC-AB1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3,