与内切球外接球半径相关的问题
有关于内切球、外接球的问题，应该说是一个比较困难的问题，几乎所有同学都会感到无从下手，这是正常的，因为这类问题需要强有力的想象力，同时方法性极强。 我们就这部分问题，尽量总结全面。 1． 内切球和外接球的基本定义;
立体图形的内切球是指：与该立体图形的所有面都相切的球，注意是与所有面都相切，因此，很多立体图形是不存在内切球的。
基本性质是：球心到所有面的距离相等，且为内切球半径。 立体图形的外接球是指：立体图形的所有顶点都在球面上。 基本性质是：球心到所有顶点的距离相等，且为外接球半径。 2.长方体的外接球：
长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为c b a ,,，则体对角线长为2
2
2
c b a l ++=，几
何体的外接球直径R 2，长方体体对角线长l ，则2
222c b a R ++=
3.正方体的外接球：
正方体的棱长为a ，则正方体的体对角线为a 3，其外接球的直径R 2为a 3。 4.正四面体的内切球、外接球
（1）正四面体的内切球球心和外接球球心是重合的，并且都在正四面体的高线上。 （2）正四面体的高若为h ，则外接球半径34R h =
，内切球半径14
r h = 5. 直棱柱的外接球：
直棱柱外接球半径的思想是：找出直棱柱的外接圆柱，圆柱的外接球就是所求直棱柱的外接球。
（1） 直棱柱的体对角线长就是外接球的直径，这是核心。 （2） 直棱柱的体对角线
2
=底面图形的外接圆直径
2
+侧棱（即高）
2
6.正棱锥的外接球：
正棱锥外接球半径的思想是：球心在正棱锥的高线上，根据球心到各个顶点的距离是外接球半径，列出关于半径的方程。 我们需要考虑将“球心”“底面正多边形的中心”“底面上任一个顶点”这三个点连接起来，构成一个直角三角形，利用勾股定理，列出关于半径的方程。
一般来说这个方程是：222()h R a R -+=或222
()R h a R -+=，这里的h 是指正棱锥的高，
a 是指底面正多边形的对角线长的一半，若底面为正三角形时，a 是指正三角形中线长的
2
3
，考生可以划出一个图形，印证一下这些内容。 7.补体法：
（1）补体法是用于求锥体的外接球半径的一种简洁方法，而且如果不使用该方法，会使问题变得非常难于解决。
（2）使用条件：一是由三条两两垂直的棱构成的锥体，可以使用补体法，这时候往往会补
成长方体或正方体；二是有一条棱与底面垂直的锥体，可以将其先补成直棱柱，然后直接求棱柱的外接球，参看第5条。
（3）补体法一般是将锥体补成柱体，这样的柱体多为长方体或正方体，我们一般是先画出补成之后的图形，然后在补成之后的图形中标注出题目中所说的锥体，这样，就更清晰，即所求的锥体的外接球也就是补成之后立体图形的外接球。 8.体积分割法
体积分割法是用于求锥体或柱体（多为求锥体的）内切球半径的一种非常简单的方法 对于锥体来说，1S h
r S
=
,r 为内切球半径，1S 为锥体的底面积，h 为该锥体的高，为该锥体的全面积。对于该公式的由来，可以类比我们初中讲过的三角形中求内切圆半径的面积分割法。对于柱体的内切球半径求法，13S h
r S
=
，但是这时候往往因为柱体的全面积求解比较麻烦而采取其他思路，我们需要注意，柱体的内切球必然要与上下底面相切，那么该柱体的高也就等于球的直径。这一点很重要。
1. 已知一个正方体的所有顶点都在一个球面上，若球的体积为
92
π
，则正方体的体积为____。
2. 平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α，则此球的体积
为___
3. 已知底面边长为1的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体
积为___
4. 若所有侧棱长均为1的正四面体的内切球与外接球半径分别为.r R ，求它们的比值为
___
5. 已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3时，其高的值为_____
6. 已知正四棱柱的侧棱与底面的边长都为___
7. 一个三棱柱的底面为正三角形，且侧棱与底面垂直，一个体积为
43
π
的球体与棱柱的所有面都相切，那么这个三棱柱的表面积为___
8. 在直三棱柱111C B A ABC -中，4,3
,6,41==
==AA A AC AB π
,则直三棱柱
111C B A ABC -的外接球的表面积_____________。
9. 正四棱锥S ABCD -点S A B C D 、、、、都在同一球
面上，则此球的体积为 .
10. 正四棱锥S ABCD -的底面边长为1S A B C D 、、、、都在同
一球面上，则此球的体积为 .
11. 正四棱锥O ABCD -的体积
2
，则以O 为球心，为OA 半径的球的表面积___
12. 三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，CD BC ⊥，3AB =，4BC =，5CD =则
三棱锥A BCD -外接球的表面积为____
13. 四面体ABCD 的外接球为O ，AD 与平面ABC 垂直，2AD =，Rt ABC #中，
,2
ACB AB π
∠=
=则球O 的表面积为__________.
14.四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为正方形。ABCD PD ⊥,PD=AB=2,则ABCD P -的内切球与外接球半径分别为
、
。
15.已知三棱锥ABC P -,点C B A P ,,,都在半径为3的球面上，若PC PB PA ,,两两相互垂直，则球心到截面ABC 的距离为
。
16.三棱柱111C B A ABC -的6个顶点都在球O 的球面上。若12,,4,31=⊥==AA AC AB AC AB ,则球O 的半径为
。
17.H 为球O 的直径AB 上一点，2:1:=HB AH ,⊥AB 平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为
。
18.球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆，若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于。
19.A 、B 、C 、D 在同一个球的球面上，,AC=2，若四面体ABCD 体积的最大值为2
3
，则这个球的表面积为______________.
20.三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球o 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC=2，则此三棱锥的体积为______.
21.三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，,1,AC BC AC BC PA ⊥===则该三棱
锥外接球的表面积为__________.
22.边长为的正三角形ABC 内接于体积是的球O ,则球面上的点到该三角形所在平面最大的距离是_________.
23.正四面体ABCD 的棱长为4，E 为棱BC 的中点，过E 作其外接球的截面，则截面面积的最小值为_________。
24. 三棱柱侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点在同一个球面上，则该球的表面积为_____________.
25.，则正四面体的外接球的表面积为___________。
26.一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是：（ ）
（A ）433 (B)33 (C) 43 (D) 123
27.如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为62cm 、42cm 和32cm ，那么它的外接球的体积是 。
参考答案
1.分析：设出正方体棱长，利用正方形的体对角线就是外接球的直径，通过球的体积求出正方体的棱长.
解答：解：因为正方体的体对角线就是外接球的直径，设正方体的棱长为a ，所以正方体的
.
（1）球的体积为：3
4
9322ππ???= ? ???
，解得a =.
2.解：因为平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α，所以球
=体积易求为.
3.试题分析：根据正四棱柱的几何特征得：该球的直径为正四棱柱的体对角线，故
2=，即得1R =，所以该球的体积224441333
V R π
ππ===
. 4.每个正三棱锥体积113V Sr =
，而正四面体PABC 体积()21
3V S R r =??+，根据前面的分析，124V V ?=，()111
4333
r S r S R r R ∴???=??+∴=.
6.正四棱锥的各个顶点到它的底面的中心的距离都为3，∴正四棱锥外接球的球心在它的底
面的中心，且球半径3r =，球的表面积2436S r ππ==，因此，本题正确答案是：36π. 7.解：此棱柱为正棱柱，体积43
π的球体半径为1，由此可以得到三棱柱的高为2，底面三
角形内切圆的半径为1，故底面三角形高为3，边长为，所以表面积
1
23322
S =??+?=因此，本题正确答案是：
8.由2
13
O ABCD V AB ON -=
?可得，ON =，在ONA ?中，2226OA ON NA =+=.
故球的表面积2424S OA ππ=?=.
由已知条件可知，以,,PA PB PC
为棱的正三棱锥可以补充成球的内接正方体，故而
()2
2222PA PB PC R ++=，由已知PA PB PC ==,得到2PA PB PC ===.因为
?
1133P ABC ABC PBC A PBC
V V h S PA S -??-=?=?，得到233
h =，故而球心到截面ABC 的距离为3
3
R h -=
. 如图所示，球心o 即为侧面11BCC B 对角线的交点。设BC 的中点为M ，连接OM ，AM ，即可知OM ⊥平面ABC ，连接AO ，则可知6OM =，5
2
AM =
，在Rt AOM ?中，由勾股定理得球O 的半径132
R =. 14.
又由题意得2
r
ππ=，则1r =，故2
2
113R
R ??=+ ???
，即2
98R =.由球的表面积公式，
得2
942
S R
π
π==
.
15.
如图，
2.DE 为两圆的公共弦，点B 为弦的中点，因为OD 与OE 均为球的半径，所以OD =2，所以OB DE ⊥
，因为2DE =，所以22213OB =-=所以AB BC ⊥，四边形OABC 是矩形，所以圆心距3AC OB ==3.16.ABC ?中，2AB BC ==
2AC =,222AC AB BC =+,2
ABC π∠=，截面小圆的半
径112r AC ==，四面体ABCD 体积的最大值为2
3，
1112
223323
D ABC V S ABC h h h -=?*=***=∴=。设球的半径为R ，球心为O ，O 到截
面的距离为d 。当D 到底面ABC 距离最远，即h R d =+时，四面体ABCD 体积的最大值。
()()
2
22
1d R
r R
=
-=-Q ()()2
2
1212R
R R
R
-=-=-，
22144R R R -=-+，解得54R =
∴这个球的表面积为2252544164
R π
ππ=*=。 4.17.分析试题：几何问题的解决一般依赖于图形，作出三棱锥S ABC -，如下图，O 是SC 中点，由于SC 是球的直径，A 、B 在球面上，故SB BC ⊥，SA AC ⊥.设H 是等边ABC
?的中心，则OH ⊥平面ABC ，ABC ?是边长为1的正三角形，则3S ABC ?=
,3
CH =，又1OC =，则221613OH OC CH =
-=-
=,O Q 是SC
的中点，∴点S 到平面ABC 的距离为262OH =，113262233S ABC V S ABC OH -=??==。
5.19.解：根据题意条件可知三棱柱是棱长都为a 的正三棱柱，上下底面中心连线的中点就是
球心，则其外接球的半径为R ==，球的表面积为22
2
774123
a S a ππ=?=。