绪论：本章介绍数字信号处理课程的基本概念。
0.1信号、系统与信号处理
1.信号及其分类
信号是信息的载体，以某种函数的形式传递信息。这个函数可以是时间域、频率域或其它域，但最基础的域是时域。
分类：
周期信号/非周期信号
确定信号/随机信号
能量信号/功率信号
连续时间信号/离散时间信号/数字信号
按自变量与函数值的取值形式不同分类：
2.系统
系统定义为处理（或变换）信号的物理设备，或者说，凡是能将信号加以变换以达到人们要求的各种设备都称为系统。
3.信号处理
信号处理即是用系统对信号进行某种加工。包括：滤波、分析、变换、综合、压缩、估计、识别等等。所谓“数字信号处理”，就是用数值计算的方法，完成对信号的处理。
0.2 数字信号处理系统的基本组成
数字信号处理就是用数值计算的方法对信号进行变换和处理。不仅应用于数字化信号的处理，而且也可应用于模拟信号的处理。以下讨论模拟信号数字化处理系统框图。
（1）前置滤波器
将输入信号x a(t)中高于某一频率（称折叠频率，等于抽样频率的一半）的分量加以滤除。
（2）A/D变换器
在A/D变换器中每隔T秒（抽样周期）取出一次x a(t)的幅度，抽样后的信号称为离散信号。在A/D变换器中的保持电路中进一步变换为若干位码。
（3）数字信号处理器（DSP）
（4）D/A变换器
按照预定要求，在处理器中将信号序列x(n)进行加工处理得到输出信号y(n)。由一个二进制码流产生一个阶梯波形，是形成模拟信号的第一步。
（5）模拟滤波器
把阶梯波形平滑成预期的模拟信号；以滤除掉不需要的高频分量，生成所需的模拟信号y a(t)。
0.3 数字信号处理的特点
（1）灵活性。（2）高精度和高稳定性。（3）便于大规模集成。（4）对数字信号可以存储、运算、系统可以获得高性能指标。
0.4 数字信号处理基本学科分支
数字信号处理（DSP）一般有两层含义，一层是广义的理解，为数字信号处理技术——DigitalSignalProcessing，另一层是狭义的理解，为数字信号处理器——DigitalSignalProcessor。
0.5 课程内容
该课程在本科阶段主要介绍以傅里叶变换为基础的“经典”处理方法，包括：（1）离散傅里叶变换及其快速算法。（2）滤波理论（线性时不变离散时间系统，用于分离相加性组合的信号，要求信号频谱占据不同的频段）。
在研究生阶段相应课程为“现代信号处理”（AdvancedSignalProcessing）。信号对象主要是随机信号，主要内容是自适应滤波（用于分离相加性组合的信号，但频谱占据同一频段）和现代谱估计。
第一章：本章概念较多，需要理解和识记的内容较多，学习时要注意。
1.1 离散时间信号 1.离散时间信号的定义
离散时间信号是指一个实数或复数的数字序列，它是整数自变量n 的函数，表示为x(n)。一般由模拟信号等间隔采样得到：()()
a
a t nT
x n x x nT n ===-∞<<∞。时域离散信号有三种表示方法：1）
用集合符号表示 2）用公式表示 3）用图形表示 2.几种基本离散时间信号
（1）单位采样序列
（2）单位阶跃序列
（3）矩形序列
（4）实指数序列
（5）正弦序列
ω是正弦序列数字域的频率，单位是弧度。
对连续信号中的正弦信号进行采样，可得正弦序列。设连续信号为
，它的采样值为
，因此（重点）
这个式子具有一般性，它反映了由连续信号采样得到的离散序列，其数字频率与模拟频率的一般关系。另外需要说明的是，ω的单位为弧度，Ω的单位为弧度/秒。本书中，我们一律以ω表示数字域频率，而以Ω及f 表示模拟域频率。
例：已知采样频率F T = 1000Hz, 则序列x （n ） = cos(0.4πn) 对应的模拟频率为 ( 400π ) 弧度/s 。
说明：本题旨在理解数字频率与模拟频率之间的关系：T
F Ω=
ω。 （6）复指数序列
复指数序列是以余弦序列为实部、正弦序列为虚部所构成的一个复数序列。
（7）周期序列(重点)
所有n 存在一个最小的正整数N ,满足：
)()(N n x n x +=,则称序列)(n x 是周期序列，
周期为N 。
(注意：按此定义，模拟信号是周期信号，采用后的离散信号未必是周期的) 例：正弦序列
)sin(0n ω的周期性：
当
k N πω20=，k 为整数时，)sin()](sin[00n N n ωω=+，即为周期性序列。周期0
2ωπk
N =
，式中，
k 、N 限取整数，且k 的取值要保证N 是最小的正整数。
可分几种情况讨论如下：（1）当0/2ωπ为整数时，只要1=k ，0/2ωπ=N 就为最小正整数，即周
期为
0/2ωπ。（2）当
0/2ωπ不是整数，而是一个有理数时，设Q P //20=ωπ，式中，P 、Q 是互
为素数的整数（互为素数就是两个数没有公约数），取Q k =，则P N
=，即周期为P 。（3）当
0/2ωπ是无理数时，则任何k 皆不能使N 为正整数，这时，正弦序列不是周期性的。 例：X(n) = cos(0.4πn)的基本周期为( 5 )。 [说明]基本周期的定义即计算公式：k N
ω
π
2=
，其中N 和k 均为整数，N 为基本周期（使得N 为最小
整数时k 取值）。本题ω = 0.4π，代入上式得到：1,
5==k N 。
3.信号运算
（1）加法：两个信号之和 由同序号的序列值逐点对应相加得到。 （2）乘法：两个信号之积 由同序号的序列值逐点对应相乘得到。
（3）移位：当
，序列右移（称为延时）；当
，序列左移（称为超前）。
（4）翻转：
4.信号分解（重点）
任一信号x(n)可表示成单位脉冲序列的移位加权和：
简记为
1.2 时域离散系统
时域离散系统定义 []
()
()
.x n y n T ???
→???→ []()()y n T x n =
1 线性系统（重点） 判定公式：
若1()y n =1[()]T x n ,2()y n =2[()]T x n 则1212()[()()]()()y n T ax n bx n ay n by n =+=+ 2 时不变系统（重点）
判定公式：y(n)=T[x(n)] y(n-0n )=T[x(n-0n )] 例：判断下列系统是否为线性、时不变系统。 （1）()()2(1)3(2)y n x n x n x n =+-+-； （2）2
()()y n x n =； 解：
（1）令：输入为0()x n n -，输出为'000'
0000()()2(1)3(2)
()()2(1)3(2)()
y n x n n x n n x n n y n n x n n x n n x n n y n =-+--+---=-+--+--=
故该系统是时不变系统。
12121212()[()()]
()()2((1)(1))3((2)(2))
y n T ax n bx n ax n bx n ax n bx n ax n bx n =+=++-+-+-+-
1111[()]()2(1)3(2)T ax n ax n ax n ax n =+-+- 2222[()]()2(1)3(2)T bx n bx n bx n bx n =+-+- 1212[()()][()][()]T ax n bx n aT x n bT x n +=+
故该系统是线性系统。
（2）2
()()y n x n = 令：输入为0()x n n -，输出为'
2
0()()y n x n n =-，因为
2'00()()()y n n x n n y n -=-=
故系统是时不变系统。又因为
212121222
12[()()](()()) [()][()] ()()
T ax n bx n ax n bx n aT x n bT x n ax n bx n +=+≠+=+
因此系统是非线性系统。
3 线性时不变系统（LTI 系统）输入与输出之间关系（重点）：
()[()]h n T n δ=
()()()m y n x m n m δ∞
=-∞
=
-∑
()[()()]m y n T x m n m δ∞
=-∞
=-∑
y （n ）=
()()m x m h n m ∞
=-∞
-∑=x （n ）*h （n ）
重点：线性离不变系统的输出等于输入序列和该系统的单位脉冲响应的卷积
【说明】离散时间LTI 系统的单位冲激响应h(n)为系统对单位冲激序列δ(n)的零状态响应。 单位冲激响应的概念非常重要。在时域，LTI 系统可以由其单位冲激响应h(n)唯一确定，因此，我们常常用单位冲激响应描述 LTI 系统。在这种情况下， LTI 系统的输入输出关系可以由卷积运算描述：y （n ）=
()()m x m h n m ∞
=-∞
-∑=x （n ）*h （n ）
物理意义： 卷积和运算具有显式意义，即可以用来确定系统的输出。如果系统确定，则其单位冲激响应是唯一的。由此，可求系统对任意输入的响应。
注意：计算卷积和的关键是求和区间的确定。因此，常常需要绘制序列x(m) 和h(n-m)的图形。利用序列x(m) 和h(n-m)的图形可助我们方便地确定求和区间。 卷积的求解方法：
线性卷积是一种非常重要的一种运算，对它的求解，一般我们采用作图法。线性卷积满足交换律，设两序列长度分别是N 和M ，线性卷积后序列的长度为N ＋M －1。 卷积的计算过程包括翻转、移位、相乘、相加四个过程。 1）将
和
用
和
表示，画出
和
这两个序列； 2）选择一个序列，并将其按时间翻转形成序列
；
3）将移位n ，得到；
4）将
和
相同m 的序列值对应相乘后，再相加。
例：已知x(n)=4R (n),h(n)=4R (n),求y(n)=x(n)*h(n)。 解：（翻转，移位，相乘，相加） y(n)=
()()m x m h n m ∞=-∞
-∑=4
4
()()m R m R n m ∞
=-∞
-∑
例：设(),x n n =04n ≤≤，4()()h n R n =, ()x n 和()h n 如图1所示。求()x n 和()h n 的卷积()y n 。
n
0 1 2 3
R 4(n )
1
0 1 2 3 4
4
n
()x n
图1
解 方法一：用图解法求卷积和。
(1) 将()x n 和()h n 用()x m 和()h m 表示(图2中(a)、(b)图)。
m
)(m x 4
)
(a …m
)(4R --3 -2 -1 0
)(c m
)
1(4m R --2 -1 0 1
)
(d -1 0 1 2
n
)
(n y )
(g 10 0 1 2 3 4 5 6 7
m
)
5(4m R - )
(f m
)
(4m R 0 1 2 3
)(b m
)
2(4m R -(e )
图2 图解法求卷积过程
(2) 将()h m 进行反折，形成()h m -(图2中(c)图)；将()h m -移位n ，得到()h n m -(图2中(d)、(e)、(f)图)。
(3) 将()x m 和()h n m -相同m 的序列值相乘，再相加，得到()y n (图2中(g)图)。
{}
()1,3,6,10,9,7,4y n = 17n ≤≤
再讨论解析法求线性卷积。
用式
()()()
m y n x m h n m +∞
=-∞
=
-∑
求解上式首先要根据()x m 和()h n m -的非零值区间确定求和的上下限，()x m 的非零值区间为
14m ≤≤，()h n m -的非零值区间为03n m -≤≤，或3n m n -≤≤，由两个非零值区间可得n 的
取值区间为17n ≤≤，它们的乘积()()x m h n m ?-的非零值区间应满足：
14m ≤≤ 和 3n m n -≤≤
因此
当 1n <、7n >时，()0y n =；
当 13n ≤≤时，
(1)
()12n
m n n y n m =+=?=
∑； 当 47n ≤≤时，
4
3
(1)(8)
()12m n n n y n m =-+-=
?=
∑
。
与图解法结果一致。
y (n )用公式表示为 (1)/2
()(1)(8)/2
0n n y n n n +??
=+-???
1347n n ≤≤≤≤其他
方法二：当序列()x n 和()h n 的长度分别为有限长N 和M 时，可采用“不进位乘法”求两序列线卷积。
如图1所示：
{
}()0,1,2,3,4
x n ↑
=，{}()1,1,1,1h n ↑
=
{
}()0,1,3,6,10,9,7,4
y n ↑
=
例：两线性时不变系统级联，其单位取样响应分别为)(1n h 和)(2n h ，输入为)(n x ，求系统的输出)(n y 。
已知：)()(n u n x =，)4()()
(1--=n n n h δδ，)()(2n u a n h n
=。
解：设第一个系统的输出为)(n ω，则
)3()2()1()()
4()()]
4()([)()()()(1---=--=--*=*=n n n n n u n u n n n u n h n x n δδδδδδω＋＋＋
因而输出为
)3()2()1()()
()]3()2()1()([)()()(3212-+-+-+=*-+-+-+=*=---n u a n u a n u a n u a n u a n n n n n h n n y n n n n n δδδδω
4. 系统因果性和稳定性的判定（重点）
1)稳定系统：有界的输入产生的输出也有界的系统，即：若|()|x n <∞，则|()|y n <∞（记住!!）
线性移不变系统是稳定系统的充要条件：
|()|n h n ∞
=-∞
<∞∑（记住!!）
或：其系统函数H(z)的收敛域包含单位圆 |z|=1
2)因果系统：0n 时刻的输出0()y n 只由0n 时刻之前的输入0(),x n n n ≤决定（记住!!） 线性移不变系统是因果系统的充要条件：()0,0h n n =<（记住!!） 或：其系统函数H(z)的收敛域在某圆外部：即：|z|>Rx 3）稳定因果系统：同时满足上述两个条件的系统。 线性移不变系统是因果稳定系统的充要条件：|()|n h n ∞
=-∞
<∞∑，()0,0h n n =<
或：H(z)的极点在单位园内
H(z)的收敛域满足：||,1x x z R R --><
例：判断线性时不变系统的因果性、稳定性，并给出依据。
(1)1
1
()()N k y n x n k N
-==
-∑；
（2）00
()()n n k n n y n x k +=-=
∑
；
解：（1）只要1N ≥，该系统就是因果系统，因为输出只与n 时刻的和n 时刻以前的输入有关。如果
()x n M ≤，则()y n M ≤，因此系统是稳定系统。
（2）如果
()x n M ≤，0
0()()21n n k n n y n x k n M +=-≤
≤+∑
，因此系统是稳定的。系统是非因果的，因
为输出还和x(n)的将来值有关。
注意：如果给出的是h(n)，用上面要求记住的充要条件判断！
1.3 线性常系数差分方程
1 差分方程定义
卷积和是一种LTI 系统的数学模型，一般情况下，我们可以用差分方程描述LTI系统的输入输出关系。
∑∑
= =-
= -
M
k k
N
k
k
k
n
x
b
k
n
y
a
]
[
]
[
差分方程给出了系统响应y[n]的内部关系。为得到y[n]的显式解，必须求解方程。2差分方程求解（重点）：
○1经典法○2递推法○3变换域法
例：设系统的差分方程为
)
(
5.1
)1
(
5.0
)
(n
x
n
y
n
y+
-
=，输入序列为)
(
)
(n
n
xδ
=，求输出序列)
(n
y。
解：一阶差分方程需一个初始条件。
设初始条件为：
)1 (= -
y
则
5.1
)0(
5.1
)1
(
5.0
)0(=
+
-
=x
y
y
75
.0
)1(
5.1
)0(
5.0
)1(=
+
=x
y
y
375
.0
)2(
5.1
)1(
5.0
)2(=
+
=x
y
y
)
(
)5.0(
5.1
)
(n
u
n
y n
?
=
设初始条件改为：
1
)1 (= -
y
则
2
)0(
5.1
)1
(
5.0
)0(=
+
-
=x
y
y
1
)1(
5.1
)0(
5.0
)1(=
+
=x
y
y
5.0
)2(
5.1
)1(
5.0
)2(=
+
=x
y
y
)
(
)5.0(
2
)
(n
u
n
y n
?
=
该例表明，对于同一个差分方程和同一个输入信号，因为初始条件不同，得到的输出信号是不相同的。
1.4模拟信号数字处理方法
1 模拟信号数字处理框图（重点）
()
a
x t：模拟信号输入
预滤波：目的是限制带宽（一般使用低通滤波器）
○1采样：将信号在时间上离散化
A/DC：模/数转换
○2量化：将信号在幅度上离散化（量化中幅度值=采样幅度值）
○
3编码：将幅度值表示成二进制位（条件2s
c
f
f ≥）
数字信号处理：对信号进行运算处理
D/AC ：数/模转换（一般用采样保持电路实现：台阶状连续时间信号→在采样时刻幅度发生跳变 ） 平滑滤波：滤除信号中高频成分（低通滤波器），使信号变得平滑
()y a
t ：输入信号经过处理后的输出信号
2．连续信号的采样
对连续信号进行理想采样，设采样脉冲，则采样输出
（重点表达式）
在讨论理想采样后，信号频谱发生的变化时，可遵循下面的思路： 1）由
；2）由
；
3）根据频域卷积定理，由计算出。
计算过程： 1）
2）周期信号可以用傅里叶级数展开，因此
其中系数
所以
其傅里叶变换
3）
(重点表达式)
因此，采样后信号频谱产生周期延拓，周期为Ωs，同时幅度为原来的1/T 倍。这是一个非常重要的性质，应熟练掌握。（重点） 3 时域抽样定理（重点）
一个限带模拟信号()a x t ，若其频谱的最高频率为0F ，对它进行等间隔抽样而得()x n ，抽样周期为T ，或抽样频率为1/s F T =；只有在抽样频率02s F F ≥时，才可由()a x t 准确恢复()x n 。
例：有一连续信号
()cos(2),
a x t ft π?=+式中，
20,2f Hz π
?==
（1）求出()a x t 的周期。
（2）用采样间隔0.02T s =对()a x t 进行采样，试写出采样信号()a x t 的表达式。
（3）求出对应
()
a x t 的时域离散信号(序列)
()x n ，并求出()x n 的周期。
解：（1）)(t x a 周期为s f
T 05.01
==
（2）[])05.0)(()2cos()()()(^
s T nT t fnT nT t t x t x n n =-=-?
=∑∑∞
-∞
=∞
-∞
=δπδ
（3）x(n)的数字频率ω=0.8π，故2
5
8.022==
ππω
π
，因而周期N=5，所以x(n)=cos(0.8πn+π/2) 简答题：
1．是不是任意连续信号离散后，都可从离散化后的信号恢复出原来的信号？为什么？
2．一个连续时间信号经过理想采样以后，其频谱会产生怎样的变化？在什么条件下，频谱不会产生失真？
3．离散信号频谱函数的一般特点是什么？
第二章：本章涉及信号及系统的频域分析方法，概念较多，但很基础，学习时要注意。
2.1 序列的傅里叶变换的定义及性质 1.定义
DTFT 是一个用来确定离散时间序列频谱的重要数学工具。
物理意义：傅里叶变换是将对信号的时域分析转换为对其在频域的分析，便于研究问题。
若序列满足绝对可和条件
则其傅里叶变换（DiscreteTimeFourierTransform-DTFT ）定义为 ∑∞
-∞
=-=
n n
j j e
n x e
X ωω
][)(------记住!
反变换定义为： ?-
=
π
πωω
ωπ
d e e
X n x n j j )(21
][------记住!
傅里叶变换对
2.性质
1）周期性（重点）： DTFT 是关于ω的周期为2π的周期函数。
(2)(2)()()()j j M n
j M n X e x n e
X e M ω
ωπωπ∞
-++=-∞
=
=∑为整数
2)线性（重点）：设
11()[()]
j X e FT x n ω=，22()[()]
j X e FT x n ω=，那么
1212[()()]()()
j j FT ax n bx n aX e bX e ωω+=+
3）时移特性
4）频移特性
5）时域卷积定理（重点）
6）频域卷积定理
7）帕斯瓦尔定理
时域总能量等于频域一周期内总能量。
7) 幅度频谱为ω的偶函数，相位频谱为ω的奇函数。
8) X(e j ω
)的实部为ω的偶函数， X(e j ω
) 的虚部为ω的奇函数。
例：设系统的单位取样响应()(),01n
h n a u n a =<<，输入序列为()()2(2)x n n n δδ=+-，完成下面各题：（1）求出系统输出序列()y n ；（2）分别求出()x n 、()h n 和()y n 的傅里叶变换。
解：（1）
2
()()*()()*[()2(2)] ()2(2)
n n n y n h n x n a u n n n a u n a
u n δδ-==+-=+-
（2）20
2()[()2(2)]121
()()112()()()1jw
jwn
j w
n jw n jwn
n jwn jw
n n j w
jw
jw jw
jw
X e n n e e H e a u n e
a e ae
e Y e H e X e ae δδ∞
--=-∞
∞
∞---=-∞
=--=
+-=+=
==
-+==
-∑∑∑ 2.2 时域离散信号的傅里叶变换与模拟信号傅里叶变换之间的关系：
^
()()j T
a X e
X j Ω=Ω
1()()j T
a s k X e
X j jk T ∞Ω=-∞=Ω-Ω∑ 式中
22s s F T ππΩ== 2.3 序列的Z 变换 1 Z 变换定义
Z 变换为离散时间信号与LTI 系统分析的重要数学工具。给定一离散时间序列x(n)，其z 变换定义为：
()()n
k X z x n z
∞
-=-∞
=
∑ x x R z R -+<< ------记住!
其中，s
e z =,ωσj s +=。z 变换存在情况下的Z 变量取值范围称为收敛域(ROC)。
注意：Z 变换+不同收敛域?对应不同收敛域的不同序列 序列?唯一
（Z 变换+收敛域）(重点) 例：求以下序列的Z 变换及收敛域： （1）2(1)n
u n ----； （2）2()n u n --；
（3）2[()(10)]n u n u n ---
解：（1）110
11
[2()]2()2,122
n
n n
n n n n ZT u n u n z
z z z ∞
∞
-------=-∞
==
==
>-∑
∑
（2）
1
1
11[2(1)]2
(1)2
2211
,12122
n
n
n
n
n
n n
n n n ZT u n u n z
z
z z z z z ∞
∞
∞
-----=-∞
=-=-----=
---=
-=--=
=<--∑∑∑
（3）
9
1010
11
[2()(10)]212 ,012n
n n
n ZT u n u n z z
z z ---=------=-=
<≤∞
-∑
[说明]上题也可以改为求序列的傅立叶变换。可以利用ωω
j e z j z X e
X ==)()(。
2 Z 变换和DTFT 之间的关系(重点)
DTFT 为单位圆上的z 变换。数学表达为：ωω
j e z j z X e
X ==)()( ------ 记住并理解!
3. 序列特性与X(z)的收敛域ROC 的关系。(重点)
收敛区域要依据序列的性质而定。同时，也只有Z 变换的收敛区域确定之后，才能由Z 变换唯一地确定序列。
一般来来说，序列的Z 变换的收敛域在Z 平面上的一环状区域：+-< ?<<=其它0 2 1N n N n x n x )()(，∞<≤||z 0 右序列：1()()0x n N n x n ≤<∞ ?=?? 其它，|Z|>Rx- 左序列：2 ()()0 x n n N x n -∞<≤?=? ?其它， （|z| 双边序列：(),x n n -∞<<∞，+-< b.有理 z 变换的收敛域ROC 由其极点界定。 c. 对于有限长序列x[n],其z 变换的收敛域ROC 为整个z -平面，可能在 z = 0 或z = ∞除外。 d. 对于因果序列x[n],其 z 变换的收敛域ROC 由其离原点最远的极点确定，其形式为 - >x R z 。 e. 对于反因果序列x[n], 其 z 变换的收敛域ROC 由其离原点最近的极点确定，其形式为 + 4. Z 反变换(重点) 常用序列的Z 变换(重点--记住!!)： 1 1 1 [()]1,||0 1 [()],||111[()],|||| 11 [(1)],|||| 1n n Z n z Z u n z z Z a u n z a az Z b u n z b bz δ---=≥=>-=>---=<- 逆变换 11()()2n c x n X z z dz j π-= ? x ，C ：收敛域内绕原点逆时针的一条闭合曲线 留数定理：1 ()[()C ]n x n X z z -= ∑在内极点留数之和 留数辅助定理：1 ()[()C ]n x n X z z -=- ∑ 在外极点留数之和 利用部分分式展开：1()1k k A X z a z -= -∑，然后利用定义域及常用序列的Z 变换求解。(重点) 基本要求：用部分分式展开法求z 反变换。 例：假设1 13.011 5.011)(---+-= z z z X ，收敛域ROC 为5.03.0< ( )()3.0()1()5.0(n u n u n n +--- )。 说明：本题要求掌握序列的时域特性域z 变换收敛域之间的对应关系。具体说，有限长序列的z 变换的 收敛域 ROC 敛域ROC ROC 是怎样的，右边序列的z 变换的ROC 是怎样的，因果序列的z 变换的ROC 是怎样的，左边序列的z 变换的ROC 是怎样的，反因果序列的z 变换的ROC 是怎样的。 典型序列的z 变换表达式是否记住了？ β ββα αα>-? <-? -----z ROC z n u z ROC z n u n n :11)(:11)1(1 1 这两个典型z 变换对，对求z 变换或逆z 变换非常重要。 例：已知25.0)(-+ -= z z z z z X ，试求与)(z X 对应的所有可能的序列)(n x 。 解：同一个Z 变换函数，收敛域不同，对应的序列也不同。本题没有给定收敛域，所以必须先确定收敛 域。 )(z X 有两个极点：5.01=z ，22=z ，因为收敛域总是以极点为边界，所以收敛域有以下三种情况： 5 .0 2 5.0< 2 >z ，三种收敛域对应三种不同的原序列，分别讨论如下： （1）5 .0 )1(2)1(5.0)(------=n u n u n x n n （2）25.0< )1(2)(5.0)(---=n u n u n x n n （3） 2 >z 对应右边序列 ∴ )(2)(5.0)(n u n u n x n n += 例：设 )5.01)(21(1 )(11----= z z z X 2>z ，用部分分式展开法求逆Z 变换。 解：先去掉z 的负幂次，以便于求解，将)(z X 的分子分母同乘以2 z ，得： )5.0)(2()(2 --= z z z z X 将等式两端同时除以z ，得：5.02)5.0)(2()(21-+ -=--=z A z A z z z z z X 34) 5.0)(2() 2() ()2(]2,)([ Re 2 2 1= ---=-====z z z z z z z z X z z z X s A 31) 5.0)(2() 5.0() ()5.0(]5.0,)([ Re 2 5 .02- =---=-====z z z z z z z z X z z z X s A 因而得： 5.031234)(-? --?= z z z z z X 由收敛域知，)(n x 为右边序列，得：)(5.031 )(234)(n u n u n x n n ?-?= 主要应用于单阶极点的序列。 5 Z 变换的性质 ○ 1线性性质()[()]()()m m M z ZT m n aX z bY z R z R -+=+<< ○ 2序列的移位性质 ()[()]x x X z ZT x n R z R -+=<< 00[()]()n x x ZT x n n z X z R z R --+-=<< ○ 3序列乘以指数序列的性质 ()[()]x x X z ZT x n R z R -+=<< ()()n y n a x n a =为常数 1()[()]() n x x Y z ZT a x n X a z a R z a R --+==<< ○ 4序列乘以n 的ZT ()[()]x x X z ZT x n R z R -+=<< () [()]x x dX z ZT nx n z R z R dx -+=-<< ○ 5复共轭序列的ZT ()[()]x x X z ZT x n R z R -+=<< ***[()]()x x ZT x n X z R z R -+=<< ○ 6初值定理()[()]X z ZT x n = (0)lim ()z x X z →∞ = ○7终值定理1lim ()lim(1)()z z x n z x z →∞→=- ○ 8时域卷积定理 设()()*()n x n y n ω= ()[()]x x X z ZT x n R z R -+=<< ()[()]x x Y z ZT y n R z R -+=<< 则()[()]()() W z ZT n X z Y z ω==w w R z R -+<< ○ 9复卷积定理[()]()x x ZT x n X z R z R -+=<< [()]()y y ZT y n Y z R z R -+=<< ()()()n x n y n ω= 1 ()()() 2x y x y c z d W z X Y R R z R R j υ υπυυ --++= < ○10帕斯维尔定理[()]()x x ZT x n X z R z R -+= << [()]()y y ZT y n Y z R z R -+=<<1x y R R --<，1x y R R ++> 那么 **1 * 11 ()()()( )2c n x n y n X Y d j υυυπυ ∞ -=-∞ = ∑ ? 2.4 离散时间系统的系统函数及频率响应 1 系统函数定义（重点） 一个线性时不变离散时间系统在时域中可以用它的单位取样响应)(n h 来表征，即：)()()(n h n x n y *= 对等式两边取Z 变换并根据时域卷积定理，有：)()()(z H z X z Y = 则： )() ()(z X z Y z H = 一般称)(z H 为系统的系统函数（系统零状态响应的Z 变换与输入的Z 变换之比）， 它表征了系统的复频域特性。 2 系统函数与差分方程的关系 ()()k k k k a y n k b x n k ∞ ∞ ==-=-∑∑(给定差分方程，能计算其传输函数，或给定传输函数，能计算得到差 分方程。) 3 频率响应（重点） 频率响应是一个重要的概念，根据频率响应，可理解滤波。 频率响应定义为系统单位冲激响应的DTFT ： ) ()(][)(ω ωωω j e H j j n n j j e e H e n h e H ∠∞ -∞ =-== ∑（重点） 其中， |H(e j ω )| 称为幅频响应， )(ω j e H ∠ 称为相频响应。系统的频率响应是以2π为周期的ω的 连续函数，这一点和连续系统的频率响应是不同的，学习时应加以注意。若h(n)为实数，则系统的幅度响应在 区间内是偶对称的，而相位响应是奇对称的。 注意：仅当稳定系统才有频率响应。频率响应H(e j ω )可根据DTFT 与z 变换之间的关系简单得到： ωωj e z j z X e X ==)()( ? ωωj e z j z H e H ==)()( 稳态响应的求解 ( 重点 ) 结论： 对于LTI 系统，如果输入为正弦序列x(n)=cos(ω0t+φ0), 则输出响应y(n)必为相同形式的正弦 序列，但需在 ω=ω0的幅频响应|H(e j ω )|进行加权，并通过相频响应)(ω j e H ∠在 ω=ω0的值进行移 位，即：y[n]= |H(e j ω0 )|cos(ω0t+φ0+)(0 ωj e H ∠) 例：假设实序列x[n]的DTFT 记为)(ω j e X , 则其幅值)(ωj e X 是关于ω的（偶函数）。 说明：还记得反复强调的一句话，实序列的DTFT 的幅度、实部是关于频率ω偶函数，而相位和虚部则是关于频率ω奇函数。 例：对于一LTI 离散时间系统其频率响应ωω j j e e H --= 5.011)(,如果系统输x(n) =)3 cos(n π , 响应 的稳态输出响应y(n) = ( )52.03 cos( 15.1-n π )。 说明：将系统的频率响应写成幅度相位表达式： ) ()()(ω ωωj e H j j j e e H e H ∠=，则输出信号为： )) (3 cos()(][33 π π π j j e H n e H n y ∠+=。这里由于给出了 )(ωj e H 的具体表达式，所以需要分别计算出 ) (3π j e H 和 )(3 π j e H ∠之值。 4 用系统函数极点分布分析系统的因果性和稳定性（重点） 系统函数：00 () ()() M i i i M i i k b z Y z H z X z a z -=-== =∑∑（传输函数H(z) 为系统的单位冲激响应h （n ）的Z 变换。） 简答题：怎样在z 域表示离散时间LTI 系统? 答案：传输函数H(z)表示离散时间LTI 系统。 1)稳定系统：有界的输入产生的输出也有界的系统，即：若|()|x n <∞，则|()|y n <∞ 线性移不变系统是稳定系统的充要条件： |()|n h n ∞ =-∞ <∞∑ 或：其系统函数H(z)的收敛域包含单位圆 |z|=1（牢记此结论!） 2)因果系统：0n 时刻的输出0()y n 只由0n 时刻之前的输入0(),x n n n ≤决定 线性移不变系统是因果系统的充要条件：()0,0h n n =< 或：其系统函数H(z)的收敛域在某圆外部：即：|z|>Rx （牢记此结论!） 3）稳定因果系统：同时满足上述两个条件的系统。 线性移不变系统是因果稳定系统的充要条件： |()|n h n ∞ =-∞ <∞∑，()0,0h n n =< 《数字信号处理》辅导 一、离散时间信号和系统的时域分析 （一） 离散时间信号 （1）基本概念 信号：信号传递信息的函数也是独立变量的函数，这个变量可以是时间、空间位置等。 连续信号：在某个时间区间，除有限间断点外所有瞬时均有确定值。 模拟信号：是连续信号的特例。时间和幅度均连续。 离散信号：时间上不连续，幅度连续。常见离散信号——序列。 数字信号：幅度量化，时间和幅度均不连续。 （2）基本序列（课本第7——10页） 1）单位脉冲序列 1,0()0,0n n n δ=?=?≠? 2）单位阶跃序列 1,0 ()0,0n u n n ≥?=?≤? 3）矩形序列 1,01 ()0,0,N n N R n n n N ≤≤-?=?<≥? 4）实指数序列 ()n a u n 5）正弦序列 0()sin()x n A n ωθ=+ 6）复指数序列 ()j n n x n e e ωσ= （3）周期序列 1）定义：对于序列()x n ，若存在正整数N 使()(),x n x n N n =+-∞<<∞ 则称()x n 为周期序列，记为()x n ，N 为其周期。 注意正弦周期序列周期性的判定（课本第10页） 2）周期序列的表示方法： a.主值区间表示法 b.模N 表示法 3）周期延拓 设()x n 为N 点非周期序列，以周期序列L 对作()x n 无限次移位相加，即可得到周期序列()x n ，即 ()()i x n x n iL ∞ =-∞ = -∑ 当L N ≥时，()()()N x n x n R n = 当L N <时，()()()N x n x n R n ≠ （4）序列的分解 序列共轭对称分解定理：对于任意给定的整数M ，任何序列()x n 都可以分解成关于/2c M =共轭对称的序列()e x n 和共轭反对称的序列()o x n 之和，即 A 一、 选择题（每题3分，共5题） 1、)6 3()(π-=n j e n x ，该序列是 。 A.非周期序列 B.周期6 π = N C.周期π6=N D. 周期π2=N 2、序列)1()(---=n u a n x n ，则)(Z X 的收敛域为 。 A.a Z < B.a Z ≤ C.a Z > D.a Z ≥ 3、对)70()(≤≤n n x 和)190()(≤≤n n y 分别作 20 点 DFT ，得)(k X 和)(k Y ， 19,1,0),()()( =?=k k Y k X k F ，19,1,0)],([)( ==n k F IDFT n f ， n 在 围时，)(n f 是)(n x 和)(n y 的线性卷积。 A.70≤≤n B.197≤≤n C.1912≤≤n D.190≤≤n 4、)()(101n R n x =，)()(72n R n x =，用DFT 计算二者的线性卷积，为使计算量尽可能的少，应使DFT 的长度N 满足 。 A.16>N B.16=N C.16 数字信号处理作业提交日期：2016年7月15日 实验一 维纳滤波器的设计 第一部分 设计一维纳滤波器。 (1)产生三组观测数据，首先根据()(1)()s n as n w n =-+产生信号()s n ，将其加噪(信噪比分别为20,10,6dB dB dB )，得到观测数据123(),(),()x n x n x n 。 (2)估计()i x n ，1,2,3i =的AR 模型参数。假设信号长度为L ，AR 模型阶数为N ，分析实验结果，并讨论改变L ，N 对实验结果的影响。 1 实验原理 滤波技术是信号分析、处理技术的重要分支，无论是信号的获取、传输，还是信号的处理和交换都离不开滤波技术，它对信号安全可靠和有效灵活地传递是至关重要的。信号分析检测与处理的一个十分重要的内容就是从噪声中提取信号，实现这种功能的有效手段之一是设计一种具有最佳线性过滤特性的滤波器，当伴有噪声的信号通过这种滤波器的时候，它可以将信号尽可能精确地重现或对信号做出尽可能精确的估计，而对所伴随噪声进行最大限度地抑制。维纳滤波器就是这种滤波器的典型代表之一。 维纳（Wiener ）是用来解决从噪声中提取信号的一种过滤（或滤波）方法。这种线性滤波问题，可以看做是一种估计问题或一种线性估计问题。 设一线性系统的单位样本响应为()h n ，当输入以随机信号()x n ，且 ()() () x n s n v n =+，其中()s n 表示原始信号，即期望信号。()v n 表示噪声，则输出()y n 为()=()()m y n h m x n m -∑，我们希望信号()x n 经过线性系统()h n 后得到的()y n 尽可能接近 于()s n ，因此称()y n 为估计值，用?()s n 表示。 则维纳滤波器的输入-输出关系可用下面表示。 设误差信号为()e n ,则?()()()e n s n s n =-,显然)(n e 可能是正值，也可能是负值，并且它是一个随机变量。因此，用它的均方误差来表达误差是合理的，所谓均方误差最小即 它的平方的统计期望最小：222?[|()|][|()()|][|()()|]E e n E s n s n E s n y n =-=-=min 。而要使均方误差最小，则需要满足2[|()|]j E e n h ?=0. 进一步导出维纳-霍夫方程为：()()()()*(),0,1,2...xs xx xx i R m h i R m i R m h m m =-==∑ 写成矩阵形式为：xs xx R R h =，可知：1xs xx h R R -=。表明已知期望信号与观测数据的互相关函数以及观测信号的自相关函数时，可以通过矩阵求逆运算，得到维纳滤波器的 对模拟信号（一维信号，是时间的函数）进行采样后，就是 离散 信号，再进行幅度量化后就是 数字信号。2、若线性时不变系统是有因果性，则该系统的单位取样响应序列h(n)应满足的充分必要条件是 当n<0时，h(n)＝0 。3、序列)(n x 的N 点DFT 是)(n x 的Z 变换在 单位圆 的N 点等间隔采样。4、)()(5241 n R x n R x ==，只有 当循环卷积长度L ≥8 时，二者的循环卷积等于线性卷积。5、已知系统的单位抽样响应为h(n)，则系统稳定的充要条件是 ()n h n ∞ =-∞ <∞ ∑ 6、用来计算N ＝16点DFT ，直接计算需要（N 2 ）16*16＝256_次复乘法，采用基2FFT 算法， 需要__(N/2 )×log 2N ＝8×4＝32 次复乘法。7、无限长单位冲激响应（IIR ）滤波器的基本结构有直接Ⅰ型，直接Ⅱ型，_级联型_和 并联型_四种。8、IIR 系统的系统函数为)(z H ，分别用直接型，级联型，并联型结构实现，其中 并 联型的运算速度最高。9、数字信号处理的三种基本运算是：延时、乘法、加法 10、两个有限长序列 和 长度分别是 和 ，在做线性卷积后结果长度是__N 1＋N 2－1_。11、N=2M 点基2FFT ，共有 M 列蝶形， 每列有N/2 个蝶形。12、线性相位FIR 滤波器的零点分布特点是 互为倒数的共轭对 13、数字信号处理的三种基本运算是： 延时、乘法、加法 14、在利用窗函数法设计FIR 滤波器时，窗函数的窗谱性能指标中最重要的是___过渡带宽___与__阻带最小衰减__。16、_脉冲响应不变法_设计IIR 滤波器不会产生畸变。17、用窗口法设计FIR 滤波器时影响滤波器幅频特性质量的主要原因是主瓣使数字滤波器存在过渡带，旁瓣使数字滤波器存在波动，减少阻带衰减。18、单位脉冲响应分别为 和 的两线性系统相串联，其等效系统函数时域及频域表达式分别是h(n)=h 1(n)*h 2(n), =H 1(e j ω )× H 2(e j ω )。19、稳定系统的系统函数H(z)的收敛域包括 单位圆 。20、对于M 点的有限长序列x(n)，频域采样不失真的条件是 频域采样点数N 要大于时域采样点数M 。 1、下列系统（其中y(n)为输出序列，x(n)为输入序列）中哪个属于线性系统？( y(n)=x(n 2 ) ) A.窗函数的截取长度增加，则主瓣宽度减小，旁瓣宽度减小 B.窗函数的旁瓣相对幅度取决于窗函数的形状，与窗函数的截取长度无关 C.为减小旁瓣相对幅度而改变窗函数的形状，通常主瓣的宽度会增加 D.窗函数法能用于设计FIR 高通滤波4、因果FIR 滤波器的系统函数H(z)的全部极点都在(z = 0 )处。6、已知某序列z 变换的收敛域为|z|<1，则该序列为(左边序列)。7、序列)1() (---=n u a n x n ，则)(Z X 的收敛域为（a Z <。8、在对连续信号均匀 采样时，要从离散采样值不失真恢复原信号，则采样周期T s 与信号最高截止频率f h 应满足关系(T s <1/(2f h ) ) 9、 )()(101n R n x =，)()(72n R n x =，用DFT 计算二者的线性卷积，为使计算量尽可能的少，应使DFT 的长度N 满足 （16=N ）。10、线性相位FIR 滤波器有几种类型（ 4） 。11、在IIR 数字滤波器的设计中，用哪种方法只适 合于片断常数特性滤波器的设计。（双线性变换法）12、下列对IIR 滤波器特点的论述中错误的是( C )。 A ．系统的单位冲激响应h(n)是无限长的B.结构必是递归型的C.肯定是稳定的D.系统函数H(z)在有限z 平面（0<|z|<∞）上有极点 13、有限长序列h(n)(0≤n ≤N-1)关于τ= 2 1 -N 偶对称的条件是(h(n)=h(N-n-1))。14、下列关于窗函数设计法的说法中错误的是( D )。A.窗函数的截取长度增加，则主瓣宽度减小，旁瓣宽度减小 B.窗函数的旁瓣相对幅度取决于窗函数的形状，与窗函数的截取长度无关 C.为减小旁瓣相对幅度而改变窗函数的形状，通常主瓣的宽度会增加 D.窗函数法不能用于设计FIR 高通滤波器 15、对于傅立叶级数而言,其信号的特点是(时域连续非周期，频域连续非周期)。 数字信号处理期末试卷(含答案) 填空题（每题2分，共10题） 1、 1、 对模拟信号（一维信号，是时间的函数）进行采样后，就是 信号，再 进行幅度量化后就是 信号。 2、 2、 )()]([ωj e X n x FT =，用)(n x 求出)](Re[ωj e X 对应的序列 为 。 ３、序列)(n x 的N 点DFT 是)(n x 的Z 变换在 的N 点等间隔采样。 ４、)()(5241n R x n R x ==，只有当循环卷积长度L 时，二者的循环卷积等于线性卷积。 ５、用来计算N ＝16点DFT ，直接计算需要_________ 次复乘法，采用基2FFT 算法，需要________ 次复乘法，运算效率为__ _ 。 ６、FFT 利用 来减少运算量。 ７、数字信号处理的三种基本运算是： 。 ８、FIR 滤波器的单位取样响应)(n h 是圆周偶对称的，N=6， 3)3()2(2 )4()1(5 .1)5()0(======h h h h h h ，其幅 度特性有什么特性？ ，相位有何特性？ 。 ９、数字滤波网络系统函数为 ∑=--= N K k k z a z H 111)(，该网络中共有 条反馈支路。 １０、用脉冲响应不变法将)(s H a 转换为)(Z H ，若)(s H a 只有单极点k s ，则系统)(Z H 稳定的条件是 （取s T 1.0=）。 一、 选择题（每题3分，共6题） 1、 1、 )6 3()(π-=n j e n x ，该序列是 。 A.非周期序列 B.周期 6π = N C.周期π6=N D. 周期π2=N 2、 2、 序列)1()(---=n u a n x n ，则)(Z X 的收敛域为 。 A.a Z < B.a Z ≤ C.a Z > D.a Z ≥ 3、 3、 对)70() (≤≤n n x 和)190()(≤≤n n y 分别作20点DFT ，得)(k X 和)(k Y ， 19,1,0),()()( =?=k k Y k X k F ，19,1,0)],([)( ==n k F IDFT n f ， n 在 范围内时，)(n f 是)(n x 和)(n y 的线性卷积。 A.70≤≤n B.197≤≤n C.1912≤≤n D.190≤≤n 4、 4、 )()(101n R n x =，)()(72n R n x =，用DFT 计算二者的线性卷积，为使计算量尽可 能的少，应使DFT 的长度N 满足 。 A.16>N B.16=N C.16 实验一MATLAB语言的基本使用方法 实验类别：基础性实验 实验目的： （1）了解MATLAB程序设计语言的基本方法，熟悉MATLAB软件运行环境。 （2）掌握创建、保存、打开m文件的方法，掌握设置文件路径的方法。 （3）掌握变量、函数等有关概念，具备初步的将一般数学问题转化为对应计算机模型并进行处理的能力。 （4）掌握二维平面图形的绘制方法，能够使用这些方法进行常用的数据可视化处理。 实验内容和步骤： 1、打开MATLAB，熟悉MATLAB环境。 2、在命令窗口中分别产生3*3全零矩阵，单位矩阵，全1矩阵。 3、学习m文件的建立、保存、打开、运行方法。 4、设有一模拟信号f(t)=1.5sin60πt,取?t=0.001,n=0,1,2,…,N-1进行抽样，得到 序列f(n),编写一个m文件sy1_1.m,分别用stem,plot,subplot等命令绘制32 点序列f(n)(N=32)的图形，给图形加入标注，图注，图例。 5、学习如何利用MATLAB帮助信息。 实验结果及分析： 1）全零矩阵 >> A=zeros(3,3) A = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2）单位矩阵 >> B=eye(3) B = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 3）全1矩阵 >> C=ones(3) C = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4)sy1_1.m N=32; n=0:N-1; dt=0.001; t=n*dt; y=1.5*sin(60*pi*t); subplot(2,1,1), plot(t,y); xlabel('t'); ylabel('y=1.5*sin(60*pi*t)'); legend('正弦函数'); title('二维图形'); subplot(2,1,2), stem(t,y) xlabel('t'); ylabel('y=1.5*sin(60*pi*t)'); legend('序列函数'); title('条状图形'); 00.0050.010.0150.020.0250.030.035 t y = 1 . 5 * s i n ( 6 * p i * t ) 二维图形 00.0050.010.0150.020.0250.030.035 t y = 1 . 5 * s i n ( 6 * p i * t ) 条状图形 绪论：本章介绍数字信号处理课程的基本概念 0.1信号、系统与信号处理 1?信号及其分类 信号是信息的载体，以某种函数的形式传递信息。这个函数可以是时间域、频率域或其它域，但最基础的域是时域。 分类： 周期信号/非周期信号 确定信号/随机信号能量信号/功率信号 连续时间信号/离散时间信号/数字信号按自变量与函数值的取值形式不同分类： 2?系统 系统定义为处理（或变换）信号的物理设备，或者说，凡是能将信号加以变换以达到人们要求的各种设备都称为系统。 3. 信号处理 信号处理即是用系统对信号进行某种加工。包括：滤波、分析、变换、综合、压缩、估计、识别等等。所谓“数字信号处理”，就是用数值计算的方法，完成对信号的处理。 0.2数字信号处理系统的基本组成 数字信号处理就是用数值计算的方法对信号进行变换和处理。不仅应用于数字化信号的处理, 而且也可应用于模拟信号的处理。以下讨论模拟信号数字化处理系统框图。 精选 PrF ADC DSP DAC PoF （1）前置滤波器 将输入信号X a（t ）中高于某一频率（称折叠频率，等于抽样频率的一半）的分量加以滤除。 （2）A/D变换器 在A/D变换器中每隔T秒（抽样周期）取出一次X a（t）的幅度，抽样后的信号称为离散信号。在A/D 变换器中的保持电路中进一步变换为若干位码。 （3）数字信号处理器（DSP） （4）D/A变换器 按照预定要求，在处理器中将信号序列x（n）进行加工处理得到输出信号y（n）。由一个二进制码流产生一个阶梯波形，是形成模拟信号的第一步。 （5）模拟滤波器 把阶梯波形平滑成预期的模拟信号；以滤除掉不需要的高频分量，生成所需的模拟信号y a（t）。 0.3数字信号处理的特点 （1）灵活性。（2）高精度和高稳定性。（3）便于大规模集成。（4）对数字信号可以存储、运算、系统可以获得高性能指标。 0.4数字信号处理基本学科分支 数字信号处理（DSP）一般有两层含义，一层是广义的理解，为数字信号处理技术 ----- D igitalSignalProcessing 另一层是狭义的理解，为数字信号处理器----- DigitalSignalProcesso。 0.5课程内容 该课程在本科阶段主要介绍以傅里叶变换为基础的“经典”处理方法，包括：（1）离散傅里叶变换及其快速算法。（2）滤波理论（线性时不变离散时间系统，用于分离相加性组合的信号，要求信号 频谱占据不同的频段）。 在研究生阶段相应课程为“现代信号处理”（AdvancedSignalProcessin）信号对象主要是随机信 号，主要内容是自适应滤波（用于分离相加性组合的信号，但频谱占据同一频段）和现代谱估计。 简答题： 1 ?按自变量与函数值的取值形式是否连续信号可以分成哪四种类型？ 江 苏 大 学 试 题 课程名称 数字信号处理 开课学院 使用班级 考试日期 江苏大学试题第2A页 江苏大学试题第3A 页 江苏大学试题第页 一、填空题：（每空1分，共18分） 8、 数字频率ω是模拟频率Ω对采样频率s f 的归一化，其值是 连续 （连续还是离散？）。 9、 双边序列z 变换的收敛域形状为 圆环或空集 。 10、 某序列的DFT 表达式为∑-== 10 )()(N n kn M W n x k X ，由此可以看出，该序列时域的长度为 N ， 变换后数字频域上相邻两个频率样点之间的间隔是 M π 2 。 11、 线性时不变系统离散时间因果系统的系统函数为2 52) 1(8)(22++--=z z z z z H ，则系统的极点为 2,2 1 21-=-=z z ；系统的稳定性为 不稳定 。系统单位冲激响应)(n h 的初值4)0(=h ； 终值)(∞h 不存在 。 12、 如果序列)(n x 是一长度为64点的有限长序列)630(≤≤n ，序列)(n h 是一长度为128点的有限长 序列)1270(≤≤n ，记)()()(n h n x n y *=（线性卷积），则)(n y 为 64+128-1＝191点 点的序列，如果采用基FFT 2算法以快速卷积的方式实现线性卷积，则FFT 的点数至少为 256 点。 13、 用冲激响应不变法将一模拟滤波器映射为数字滤波器时，模拟频率Ω与数字频率ω之间的映射变换 关系为T ω = Ω。用双线性变换法将一模拟滤波器映射为数字滤波器时，模拟频率Ω与数字频率ω之 间的映射变换关系为)2tan(2ωT = Ω或)2 arctan(2T Ω=ω。 当线性相位FIR 数字滤波器满足偶对称条件时，其单位冲激响应)(n h 满足的条件为)1()(n N h n h --= ， 武汉工程大学 数字信号处理实验报告 姓名：周权 学号：1204140228 班级：通信工程02 一、实验设备 计算机，MATLAB语言环境。 二、实验基础理论 1.序列的相关概念 2.常见序列 3.序列的基本运算 4.离散傅里叶变换的相关概念 5.Z变换的相关概念 三、实验内容与步骤 1.离散时间信号（序列）的产生 利用MATLAB语言编程产生和绘制单位样值信号、单位阶跃序列、指数序列、正弦序列及随机离散信号的波形表示。 四实验目的 认识常用的各种信号，理解其数字表达式和波形表示，掌握在计算机中生成及绘制数字信号波形的方法，掌握序列的简单运算及计算机实现与作用，理解离散时间傅里叶变换，Z变换及它们的性质和信号的频域分 实验一离散时间信号（序列）的产生 代码一 单位样值 x=2; y=1; stem(x,y); title('单位样值 ') 单位阶跃序列 n0=0; n1=-10; n2=10; n=[n1:n2]; x=[(n-n0)>=0]; stem(n,x); xlabel('n'); ylabel('x{n}'); title('单位阶跃序列'); 实指数序列 n=[0:10]; x=(0.5).^n; stem(n,x); xlabel('n'); ylabel('x{n}'); title('实指数序列'); 正弦序列 n=[-100:100]; x=2*sin(0.05*pi*n); stem(n,x); xlabel('n'); ylabel('x{n}'); title('正弦序列'); 随机序列 n=[1:10]; x=rand(1,10); subplot(221); stem(n,x); xlabel('n'); ylabel('x{n}'); title('随机序列'); 绪论：本章介绍数字信号处理课程的基本概念。 0.1信号、系统与信号处理 1.信号及其分类 信号是信息的载体，以某种函数的形式传递信息。这个函数可以是时间域、频率域或其它域，但最基础的域是时域。 分类： 周期信号/非周期信号 确定信号/随机信号 能量信号/功率信号 连续时间信号/离散时间信号/数字信号 按自变量与函数值的取值形式不同分类： 2.系统 系统定义为处理（或变换）信号的物理设备，或者说，凡是能将信号加以变换以达到人们要求的各种设备都称为系统。 3.信号处理 信号处理即是用系统对信号进行某种加工。包括：滤波、分析、变换、综合、压缩、估计、识别等等。所谓“数字信号处理”，就是用数值计算的方法，完成对信号的处理。 0.2 数字信号处理系统的基本组成 数字信号处理就是用数值计算的方法对信号进行变换和处理。不仅应用于数字化信号的处理，而且 也可应用于模拟信号的处理。以下讨论模拟信号数字化处理系统框图。 （1）前置滤波器 将输入信号x a(t)中高于某一频率（称折叠频率，等于抽样频率的一半）的分量加以滤除。 （2）A/D变换器 在A/D变换器中每隔T秒（抽样周期）取出一次x a(t)的幅度，抽样后的信号称为离散信号。在A/D 变换器中的保持电路中进一步变换为若干位码。 （3）数字信号处理器（DSP） （4）D/A变换器 按照预定要求，在处理器中将信号序列x(n)进行加工处理得到输出信号y(n)。由一个二进制码流产生一个阶梯波形，是形成模拟信号的第一步。 （5）模拟滤波器 把阶梯波形平滑成预期的模拟信号；以滤除掉不需要的高频分量，生成所需的模拟信号y a(t)。 0.3 数字信号处理的特点 （1）灵活性。（2）高精度和高稳定性。（3）便于大规模集成。（4）对数字信号可以存储、运算、系统可以获得高性能指标。 0.4 数字信号处理基本学科分支 数字信号处理（DSP）一般有两层含义，一层是广义的理解，为数字信号处理技术——DigitalSignalProcessing，另一层是狭义的理解，为数字信号处理器——DigitalSignalProcessor。 0.5 课程内容 该课程在本科阶段主要介绍以傅里叶变换为基础的“经典”处理方法，包括：（1）离散傅里叶变换及其快速算法。（2）滤波理论（线性时不变离散时间系统，用于分离相加性组合的信号，要求信号频谱占据不同的频段）。 在研究生阶段相应课程为“现代信号处理”（AdvancedSignalProcessing）。信号对象主要是随机信号，主要内容是自适应滤波（用于分离相加性组合的信号，但频谱占据同一频段）和现代谱估计。 简答题： 1．按自变量与函数值的取值形式是否连续信号可以分成哪四种类型? 2．相对模拟信号处理，数字信号处理主要有哪些优点? 3．数字信号处理系统的基本组成有哪些？ 数字信号处理学习心得 体会 数字信号处理学习心得 一、课程认识和内容理解 《数字信号处理》是我们通信工程和电子类专业的一门重要的专业基础课程，主要任务是研究数字信号处理理论的基本概念和基本分析方法，通过建立数学模型和适当的数学分析处理，来展示这些理论和方法的实际应用。 数字信号处理技术正飞速发展，它不但自成一门学科，更是以不同形式影响和渗透到其他学科：它与国民经济息息相关，与国防建设紧密相连；它影响或改变着我们的生产、生活方式，因此受到人们普遍的关注。信息科学是研究信息的获取、传输、处理和利用的一门科学，信息要用一定形式的信号来表示，才能被传输、处理、存储、显示和利用，可以说，信号是信息的表现形式。这学期数字信号处理所含有的具体内容如下： 第一单元的课程我们深刻理解到时域离散信号和时域离散系统性质和特点；时域离散信号和时域离散系统时域分析方法；模拟信号的数字处理方法。 第二单元的课程我们理解了时域离散信号（序列）的傅立叶变换，时域离散信号Z变换，时域离散系统的频域分析。 第三单元的课程我们学习了离散傅立叶变换定义和性质，离散傅立叶变换应用——快速卷积，频谱分析。 第四单元的课程我们重点理解基 2 FFT算法——时域抽取法﹑频域抽取法，FFT的编程方法，分裂基FFT算法。 第五单元的课程我们学了网络结构的表示方法——信号流图，无限脉冲响 应基本网络结构，有限脉冲响应基本网络结构，时域离散系统状态变量分析法。 第六单元的课程我们理解数字滤波器的基本概念，模拟滤波器的设计,巴特沃斯滤波器的设计,切比雪夫滤波器的设计，脉冲响应不变法设计无限脉冲响应字数字滤波器，双线性变换法设计无限脉冲响应字数字滤波器，数字高通﹑带通﹑带阻滤波器的设计。 第七单元的课程我们学习了线性相位有限脉冲响应（FIR）数字滤波器，窗函数法设计有限脉冲响应（FIR）数字滤波器，频率采样法设计有限脉冲响应（FIR）数字滤波器 二、专业认识和未来规划 通信工程是一门工程学科，主要是在掌握通信基本理论的基础上，运用各种工程方法对通信中的一些实际问题进行处理。通过该专业的学习，可以掌握电话网、广播电视网、互联网等各种通信系统的原理，研究提高信息传送速度的技术，根据实际需要设计新的通信系统，开发可迅速准确地传送各种信息的通信工具等。 对于我们通信专业，我觉得是个很好的专业，现在这个专业很热门，这个专业以后就业的方向也很多，就业面很广。我们毕业以后工作，可以进入设备制造商、运营商、专有服务提供商以及银行等领域工作。当然,就业形势每年都会变化，所以关键还是要看自己。可以从事硬件方面，比如说PCB，别小看这门技术，平时我们在试验时制作的简单，这一技术难点就在于板的层数越多，要做的越稳定就越难，这可是非常有难度的，如果学好了学精了，也是非常好找工作的。也可以从事软件方面，这实际上要我们具备比较好的模电和数电的 北京信息科技大学 2010 ~2011 学年第一学期 《数字信号处理》课程期末考试试卷（A） 一、填空题（本题满分30分，共含4道小题，每空2分） 1.两个有限长序列x1(n)，0≤n≤33和x2(n)，0≤n≤36，做线性卷积 后结果的长度是，若对这两个序列做64点圆周卷积，则圆周卷积结果中n= 至为线性卷积结果。 W的、和三个固有特性来实现2.DFT是利用nk N FFT快速运算的。 3.IIR数字滤波器设计指标一般由、、和等 四项组成。 4.FIR数字滤波器有和两种设计方法，其结构 有、和等多种结构。 二、判断题（本题满分16分，共含8道小题，每小题2分，正 确打√，错误打×） 1.相同的Z变换表达式一定对应相同的时间序列。（） 2.Chirp-Z变换的频率采样点数M可以不等于时域采样点数N。（） 3.按频率抽取基2 FFT首先将序列x(n)分成奇数序列和偶数序列。（） 4.冲激响应不变法不适于设计数字带阻滤波器。（） 5.双线性变换法的模拟角频率Ω与数字角频率ω成线性关系。（） 6.巴特沃思滤波器的幅度特性必在一个频带中（通带或阻带）具有等 波纹特性。（ ） 7. 只有FIR 滤波器才能做到线性相位，对于IIR 滤波器做不到线性相 位。（ ） 8. 在只要求相同的幅频特性时，用IIR 滤波器实现其阶数一定低于 FIR 阶数。（ ） 三、 综合题（本题满分18分，每小问6分） 若x (n)= {3，2，1，2，1，2 }，0≤n≤5， 1) 求序列x(n)的6点DFT ，X (k)=？ 2) 若)()]([)(26k X W n g DFT k G k ==，试确定6点序列g(n)=? 3) 若y(n) =x(n)⑨x(n)，求y(n)=？ 四、 IIR 滤波器设计（本题满分20分，每小问5分） 设计一个数字低通滤波器，要求3dB 的截止频率f c =1/π Hz ，抽样频率f s =2 Hz 。 1. 导出归一化的二阶巴特沃思低通滤波器的系统函数H an (s)。 2. 试用上述指标设计一个二阶巴特沃思模拟低通滤波器，求其系 统函数H a (s)，并画出其零极点图。 3. 用双线性变换法将H a (s)转换为数字系统的系统函数H(z)。 4. 画出此数字滤波器的典范型结构流图。 五、 FIR 滤波器设计（本题满分16分，每小问4分） 实验一 MATLAB 仿真软件的基本操作命令和使用方法 实验容 1、帮助命令 使用 help 命令，查找 sqrt （开方）函数的使用方法； 2、MATLAB 命令窗口 （1）在MATLAB 命令窗口直接输入命令行计算3 1)5.0sin(21+=πy 的值； （2）求多项式 p(x) = x3 + 2x+ 4的根； 3、矩阵运算 （1）矩阵的乘法 已知 A=[1 2;3 4]， B=[5 5;7 8]，求 A^2*B （2）矩阵的行列式 已知A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9]，求A （3）矩阵的转置及共轭转置 已知A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9]，求A' 已知B=[5+i,2-i,1;6*i,4,9-i], 求B.' , B' （4）特征值、特征向量、特征多项式 已知A=[1.2 3 5 0.9;5 1.7 5 6;3 9 0 1;1 2 3 4] ，求矩阵A的特征值、特征向量、特征多项式； （5）使用冒号选出指定元素 已知：A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9]；求A 中第3 列前2 个元素；A 中所有列第2，3 行的元素； 4、Matlab 基本编程方法 （1）编写命令文件：计算1+2+…+n<2000 时的最大n 值； （2）编写函数文件：分别用for 和while 循环结构编写程序，求 2 的0 到15 次幂的和。 5、MATLAB基本绘图命令 （1）绘制余弦曲线 y=cos(t)，t∈[0，2π] （2）在同一坐标系中绘制余弦曲线 y=cos(t-0.25)和正弦曲线 y=sin(t-0.5)， t∈[0，2π] （3）绘制[0，4π]区间上的 x1=10sint 曲线，并要求： （a）线形为点划线、颜色为红色、数据点标记为加号； （b）坐标轴控制：显示围、刻度线、比例、网络线 （c）标注控制：坐标轴名称、标题、相应文本； >> clear; 数字信号处理知识点归纳整理 第一章时域离散随机信号的分析 1.1. 引言 实际信号的四种形式: 连续随机信号、时域离散随机信号、幅度离散随机信号和离散随 机序列。本书讨论的是离散随机序列 ()X n ,即幅度和时域都是离散的情况。随机信号相比随机变量多 了时 间因素,时间固定即为随机变量。随机序列就是随时间n 变化的随 机变量序列。 1.2. 时域离散随机信号的统计描述 1.2.1 概率描述 1. 概率分布函数(离散情况) 随机变量 n X ,概率分布函数: ()()n X n n n F x ,n P X x =≤ (1) 2. 概率密度函数(连续情况) 若 n X 连续,概率密度函数: ()()n n X X n n F x,n p x ,n x ?= ? (2) 注意,以上两个表达式都是在固定时刻n 讨论,因此对于随机序列而言,其概率分布函数和概率密度函数都是关于n 的函数。 当讨论随机序列时,应当用二维及多维统计特性。 ()()()()1 21 21 2,,,1 21122,, ,1 2 ,,,1 2 12,1,,2, ,,,,,,1,,2, ,,,1,,2, ,,N N N x X X N N N N x X X N x X X N N F x x x N P X x X x X x F x x x N p x x x N x x x =≤≤≤?= ??? 1.2.2 数字特征 1. 数学期望 ()()()()n x x n n m n E x n x n p x ,n dx ∞ -∞ ==????? (3) 2. 均方值与方差 均方值: ()()22 n n x n n E X x n p x ,n dx ∞ -∞ ??=??? (4) 方差: ()()()222 2x n x n x n E X m n E X m n σ????=-=-???? (5) A 一、选择题（每题3分，共5题） 1、 )6 3()(π-=n j e n x ，该序列是 。 A.非周期序列 B.周期6 π = N C.周期π6=N D. 周期π2=N 2、 序列)1()(---=n u a n x n ，则)(Z X 的收敛域为 。 A.a Z < B.a Z ≤ C.a Z > D.a Z ≥ 3、 对)70() (≤≤n n x 和)190()(≤≤n n y 分别作20 点 DFT ，得 )(k X 和)(k Y ， 19,1,0),()()( =?=k k Y k X k F ，19,1,0)],([)( ==n k F IDFT n f ， n 在 范围内时，)(n f 是)(n x 和)(n y 的线性卷积。 A.70≤≤n B.197≤≤n C.1912≤≤n D.190≤≤n 4、 )()(101n R n x =，)()(72n R n x =，用DFT 计算二者的线性卷积，为使计算量尽可能的少，应使DFT 的长度N 满足 。 A.16>N B.16=N C.16 信息科学与技术学院本科三年级 数字信号处理实验报告 2011 年12 月21日 实验一 序列的傅立叶变换 实验目的 进一步加深理解DFS,DFT 算法的原理;研究补零问题;快速傅立叶变换 （FFT ）的应用。 实验步骤 1. 复习DFS 和DFT 的定义，性质和应用； 2. 熟悉MATLAB 语言的命令窗口、编程窗口和图形窗口的使用；利用提供的 程序例子编写实验用程序；按实验内容上机实验，并进行实验结果分析；写出完整的实验报告，并将程序附在后面。 实验内容 1. 周期方波序列的频谱试画出下面四种情况下的的幅度频谱,并分析补零后，对信号频谱的影响。 实验结果： 60 ,7)4(;60,5)3(; 40,5)2(;20,5)1()] (~[)(~,2,1,01 )1(,01,1)(~=========±±=???-+≤≤+-+≤≤=N L N L N L N L n x DFS k X m N m n L m N L m N n m N n x ) 52.0cos()48.0cos()(n n n x ππ+= 2. 有限长序列x(n)的DFT （1） 取x(n)(n=0:10)时，画出x(n)的频谱X(k) 的幅度； （2） 将（1）中的x(n)以补零的方式，使x(n)加长到(n:0~100)时，画出 x(n)的频谱X(k) 的幅度； （3） 取x(n)(n:0~100)时，画出x(n)的频谱X(k) 的幅度。利用FFT 进行谱分析 已知：模拟信号 以t=0.01n(n=0:N-1)进行采样，求N 点DFT 的幅值谱。 请分别画出N=45; N=50;N=55;N=60时的幅值曲线。 实验结果： ) 8cos(5)4sin(2)(t t t x ππ+= 数字信号处理学习心得 XXX ( XXX学院XXX班) 一、课程认识和内容理解 《数字信号处理》是我们通信工程和电子类专业的一门重要的专业基础课程，主要任务是研究数字信号处理理论的基本概念和基本分析方法，通过建立数学模型和适当的数学分析处理，来展示这些理论和方法的实际应用。 数字信号处理技术正飞速发展，它不但自成一门学科，更是以不同形式影响和渗透到其他学科：它与国民经济息息相关，与国防建设紧密相连；它影响或改变着我们的生产、生活方式，因此受到人们普遍的关注。信息科学是研究信息的获取、传输、处理和利用的一门科学，信息要用一定形式的信号来表示，才能被传输、处理、存储、显示和利用，可以说，信号是信息的表现形式。这学期数字信号处理所含有的具体内容如下： 第一单元的课程我们深刻理解到时域离散信号和时域离散系统性质和特点；时域离散信号和时域离散系统时域分析方法；模拟信号的数字处理方法。 第二单元的课程我们理解了时域离散信号（序列）的傅立叶变换，时域离散信号Z变换，时域离散系统的频域分析。 第三单元的课程我们学习了离散傅立叶变换定义和性质，离散傅立叶变换应用——快速卷积，频谱分析。 第四单元的课程我们重点理解基2 FFT算法——时域抽取法﹑频域抽取法，FFT的编程方法，分裂 基FFT算法。 第五单元的课程我们学了网络结构的表示方法——信号流图，无限脉冲响应基本网络结构，有限脉冲响应基本网络结构，时域离散系统状态变量分析法。 第六单元的课程我们理解数字滤波器的基本概念，模拟滤波器的设计,巴特沃斯滤波器的设计,切比雪夫滤波器的设计，脉冲响应不变法设计无限脉冲响应字数字滤波器，双线性变换法设计无限脉冲响应字数字滤波器，数字高通﹑带通﹑带阻滤波器的设计。 第七单元的课程我们学习了线性相位有限脉冲响应（FIR）数字滤波器，窗函数法设计有限脉冲响应（FIR）数字滤波器，频率采样法设计有限脉冲响应（FIR）数字滤波器 二、专业认识和未来规划 通信工程是一门工程学科，主要是在掌握通信基本理论的基础上，运用各种工程方法对通信中的一些实际问题进行处理。通过该专业的学习，可以掌握电话网、广播电视网、互联网等各种通信系统的原理，研究提高信息传送速度的技术，根据实际需要设计新的通信系统，开发可迅速准确地传送各种信息的通信工具等。 对于我们通信专业，我觉得是个很好的专业，现在这个专业很热门，这个专业以后就业的方向也很多，就业面很广。我们毕业以后工作，可以进入设备制造商、运营商、专有服务提供商以及银行等领域工作。当然,就业形势每年都会变化，所以关键还是要看自己。可以从事硬件方面，比如说PCB，别小看这门技术，平时我们在试验时制作的简单，这一技术难点就在于板的层 一、单项选择题(在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的序号填在括号内。 1.若一模拟信号为带限，且对其抽样满足奈奎斯特采样定理，则只要将抽样信号通过( )即可完全不失真恢复原信号。 A.理想低通滤波器 B.理想高通滤波器 C.理想带通滤波器 D.理想带阻滤波器 2．下列系统（其中y(n)为输出序列，x(n)为输入序列）中哪个属于线性系统？( ) A.y(n)=x 3(n) B.y(n)=x(n)x(n+2) C.y(n)=x(n)+2 D.y(n)=x(n 2) 3.．设两有限长序列的长度分别是M 与N ，欲用圆周卷积计算两者的线性卷积，则圆周卷积的长度至少应取( )。 A ．M+N B.M+N-1 C.M+N+1 D.2(M+N) 4.若序列的长度为M ，要能够由频域抽样信号X(k)恢复原序列，而不发生时域混叠现象，则频域抽样点数N 需满足的条件是( )。 A.N ≥M B.N ≤M C.N ≤2M D.N ≥2M 5.直接计算N 点DFT 所需的复数乘法次数与( )成正比。 A.N B.N 2 C.N 3 D.Nlog 2N 6.下列各种滤波器的结构中哪种不是FIR 滤波器的基本结构( )。 A.直接型 B.级联型 C.并联型 D.频率抽样型 7.第二种类型线性FIR 滤波器的幅度响应H(w)特点( )： A 关于0=w 、π、π2偶对称 B 关于0=w 、π、π2奇对称 C 关于0=w 、π2偶对称 关于=w π奇对称 D 关于0=w 、π2奇对称 关于=w π偶对称 8.适合带阻滤波器设计的是： （ ） A )n =1N为偶数 - - N (h )n(h- B )n =1N为奇数 - - N (h )n(h- C )n =1N为偶数 - (h N )n(h- D )n =1N为奇数 - N )n(h- (h 9.以下对双线性变换的描述中不正确的是( )。 A.双线性变换是一种非线性变换 B.双线性变换可以用来进行数字频率与模拟频率间的变换 C.双线性变换把s平面的左半平面单值映射到z平面的单位圆内 D.以上说法都不对 10.关于窗函数设计法中错误的是： A窗函数的截取长度增加，则主瓣宽度减小； B窗函数的旁瓣相对幅度取决于窗函数的形状，与窗函数的截取长度无关； C为减小旁瓣相对幅度而改变窗函数的形状，通常主瓣的宽度会增加； D窗函数法不能用于设计高通滤波器； 二、填空题(每空2分，共20分) 1. 用DFT近似分析连续信号频谱时, _________效应是指DFT只能计算一些离散点上的频谱。 2.有限长序列X(z)与X（k）的关系 X（k）与) X jw的关系 e( 3.下图所示信号流图的系统函数为：数字信号处理知识点总结
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