第一章光的电磁理论
1.1在真空中传播的平面电磁波，其电场表示为
Ex=0，Ey=0，Ez=(102)Cos[π×1014(t?x
c )+π
2
]，
（各量均用国际单位），求电磁波的频率、波长、周期和初相位。
解：由Ex=0，Ey=0，Ez=(102)Cos[π×1014(t?
x c )+π
2
]，则频率υ= ω
2π
=π×10
14
2π
=0.5×1014Hz，周
期T=1/υ=2×10-14s，初相位φ0=+π/2（z=0，t=0），振幅A=100V/m，
波长λ=cT=3×108×2×10-14=6×10-6m。
1.2.一个平面电磁波可以表示为Ex=0，
Ey=2Cos[2π×1014(z
c ?t)+π
2
]，Ez=0，求：（1）
该电磁波的振幅，频率，波长和原点的初相位是多少？（2）波的传播和电矢量的振动取哪个方向？（3）与电场相联系的磁场B的表达式如何写？
解：（1）振幅A=2V/m，频率υ=ω
2π=2π×1014
2π
=
1014Hz，波长λ=c
υ=3×108
1014
=3×10?6m，原点的初
相位φ0=+π/2；（2）传播沿z轴，振动方向沿y轴；（3）由B=1
c
(e k???? ×E?)，可得By=Bz=0，
Bx=2
c Cos[2π×1014(z
c
?t)+π
2
]
1.3.一个线偏振光在玻璃中传播时可以表示为
Ey=0，Ez=0，Ex=102Cos[π×1015(z
0.65c
?t)]，试求：（1）光的频率；（2）波长；（3）玻璃的折射率。
解：（1）υ=ω
2π=π×10
15
2π
=5×1014Hz；
（2）λ=2π
k =2π
π×1015/0.65c
=2×0.65×3×108
1015
m=
3.9×10?7m=390nm；
（3）相速度v=0.65c，所以折射率n=c
v =c
0.65c
≈
1.54
1.4写出：（1）在yoz平面内沿与y轴成θ角的k?方向传播的平面波的复振幅；（2）发散球面波和汇聚球面波的复振幅。
解：（1）由E?=A exp(ik??r )，可得E?= A exp?[ik(ycosθ+zsinθ)]；
（2）同理：发散球面波E?(r，t)=A r exp?(ikr)= A1
r
exp?(ikr)，
汇聚球面波E?(r，t)=A r exp?(?ikr)= A1
r
exp?(?ikr)。
1.5一平面简谐电磁波在真空中沿正x方向传播。其频率为4×1014Hz，电场振幅为14.14V/m，如果该电磁波的振动面与xy平面呈45o，试写出E，B 表达式。
解：E?=E y e y???? +E z e z??? ，其中
E y=10exp[i(2π
λ
x?2πυt)]
=10exp[i(2πυ
c
x?2πυt)]
=10exp[i(2π×4×10
14
3×108
x?2π×4×1014t)]
=10exp[i(8
3
×106π)(x?3×108t)]，
同理：E z=10exp[i(8
3
×106π)(x?3×108t)]。
B? =1
c
(k0???? ×E?)=?B y e y???? +B z e z??? ，其中
B z=10
3×108
exp[i(8
3
×106π)(x?3×108t)]=B y。
1.6一个沿k方向传播的平面波表示为
E=100exp{i[(2x+3y+4z)?16×105t]}，试求k
方向的单位矢k0。
解：|k?|=√22+32+42=√29，
又k?=2e x??? +3e y???? +4e z??? ，
∴k0???? =
√29x
??? +3e y???? +4e z??? )。
1.9证明当入射角θ1=45o时，光波在任何两种介质分界面上的反射都有r p=r s2。
证明：r s=sin(θ1?θ2)
sin(θ1+θ2)
=sin45ocosθ2?cos45osinθ2
sin45ocosθ2+cos45osinθ2
=cosθ2?sinθ2
cosθ2+sinθ2
=1?tanθ2
1+tanθ2
r p=
tan(θ1?θ2)
tan(θ1+θ2)
=(tan45o?tanθ2)/(1+tan45otanθ2) (tan45o+tanθ2)/(1?tan45otanθ2)=(1?tanθ2
1+tanθ2
)
2
=r s2
1.10证明光束在布儒斯特角下入射到平行平面玻璃片的上表面时，下表面的入射角也是布儒斯特角。证明：由布儒斯特角定义，θ+i=90o，
设空气和玻璃的折射率分别为n1和n2，先由空气入射到玻璃中则有n1sinθ=n2sin i，再由玻璃出射到空气中，有n2sinθ′=n1sin i′，
又θ′=i，∴n1sin i′=n1sinθ?i′=θ，
即得证。
1.11平行光以布儒斯特角从空气中射到玻璃(n=1.5)上，求：（1）能流反射率R p和R S；（2）能流透射率T p和T s。
解：由题意，得n=n2
n1
=1.5，
又θ为布儒斯特角，则θ+i=90°.....①
n1sinθ=n2si?n i?sinθ=nsini..... ②
由①、②得，θ=56.31°，i=33.69°。
（1）R p=tan2(θ??)
tan2(θ+?)
=0，
R s=s?n2(θ??)
s?n2(θ+?)
=0.148=14.8%，
（2）由R p+T p=1，可得T p=1，
同理，T s=85.2%。
1.12证明光波在布儒斯特角下入射到两种介质的分界面上时，t p=1n?，其中n=n2∕n1。
证明：t p=2sinθ2cosθ1
sin(θ1+θ2)cos(θ1?θ2)
，因为θ1为布儒斯特角，所以θ2+θ1=90°，
t p=
2sinθ2cosθ1
sin90°cos(θ1?θ2)
=
2sinθ2cosθ1
cos(90°?θ2?θ2)
=2sinθ2cosθ1
sin(2θ2)=2sinθ2cosθ1
2sinθ2cosθ2
=sinθ2
sinθ1
，又根据折射定律
n1sinθ1=n2sinθ2，得sinθ2
sinθ1=n1
n2
=1
n
，
则t p=1
n
，其中n=n2∕n1，得证。
1.17利用复数表示式求两个波E1=a cos(kx+ωt)和E2=?a cos(kx?ωt)的合成。
解：E=E1+E2=a[cos(kx+ωt)?cos(kx?ωt)] =aexp[i(kx+ωt)]?aexp[i(kx?ωt)]
=aexp(ikx)(e?ωt?e??ωt)
=2a sin(ωt)exp(i cos kx?sin kx)=?2aexp[i(kx+π
2
)]sin(ωt)。
1.18两个振动方向相同的单色波在空间某一点产生的振动分别为E1=a1cos(φ1?ωt)和E2= a2cos(φ2?ωt)。若ω=2π×1015Hz，a1=6V/m，a2=8V/m，φ1=0，φ2=π∕2，求该点的合振动表达式。
解：E=E1+E2=a1cos(φ1?ωt)+a2cos(φ2?
ωt)=6cos(?2π×1015t)+8cos(π
2
?2π×1015t) =6cos(2π×1015t)+8sin(2π×1015t)
=10cos(arccos6
10
?2π×1015t)
=10cos(53°7′48′′?2π×1015t)。
1.20求如图所示的周期性三角波的傅立叶分析表达式。
解：由图可知，E(z)={
z(0 ?z+λ(λ∕2 A0= 2 λ ∫E(z)?z λ =2 λ (∫z?z λ∕2 +∫(?z+λ)?z λ λ∕2 )=λ 2 ， A m= 2 λ ∫E(z)cos λ (mkz)?z =2 λ （∫E(z)cos mkz?z λ2? +∫E(z)cos mkz?z λ λ2? ） =?2 λ ·(?22 m2k2 )=?8 λ ·λ2 m2(2π)2 =?2λ m2(2π)2 ，（m为奇 数），B m=2 λ ∫E(z)sinmkz?z=0 λ ， 所以E(z)=λ 4 ?2λ π2 ∑(cos mkz m2 ?) ∞ m=1 =λ 4 ?2λ π2 (cos kz 12 +cos3kz 32 +cos5kz 52 +···)。 1.21试求如图所示的周期性矩形波的傅立叶级数的表达式。 解：由图可知，E(z)=1(?λ∕a A0= 2 λ ∫E(z)?z λ = 2 λ (∫?z λ∕a +∫?z λ λ?λ∕a )= 4 a A m= 2 λ ∫E(z)cos λ (mkz)?z =2 λ (∫cos mkz?z+∫cos mkz?z λ λ?λa ? λa ? ) =2 πm sin2mπ a ，B m=2 λ ∫E(z)sinmkz?z=0 λ ， 所以E (z )=2 a +∑ 2 πm ∞ m=1sin 2mπa cos mkz 。 1.22利用复数形式的傅里叶级数对如图所示的周期性矩形波做傅里叶分析。 解：由图可知，E (z )={1(0 ?1(λ2? A 0=2 λ ∫E (z )?z λ 0=∫?z λ∕2 +∫(?1)?z λ λ∕2=0， A m =2 λ∫E (z )cos λ0(mkz )?z =0， B m =2 λ ∫E (z )sinmkz ?z λ 0， =2 λ(∫sin mkz ?z λ 0?∫sin mkz ?z λ λ∕2) = 1πm (2?2cos mπ)， 所以E (z )=1 π ∑ 1 m (2?2cos mπ)∞ m=1sin mkz =4π(sin kz +13sin 3kz +1 5 sin 5kz +···) 1.23氪同位素k r 86放电管发出的红光波长为λ=605.7nm ，波列长度约为700mm ，试求该光波的波长宽度和频率宽度。 解：由题意，得，波列长度2L =700mm ， 由公式Δλ= λ22L = 605.72700×106 =5.2×10?4 nm ， 又由公式2L =c/Δν，所以频率宽度Δν= c 2L = 3×108700×10 ?3Hz =4.3×108 Hz 。 1.24某种激光的频宽Δv =5.4×104Hz ，问这种激光的波列长度是多少？ 解：由相干长度D max = λ2Δλ = c Δν ，所以波列长度2L = λ2Δλ = c Δν = 3×1085.4×104 =5.55×103m 。 第二章 光的干涉及其应用 2.1在与一平行光束垂直的方向上插入一透明薄片，其厚度?=0.01mm ，折射率n =1.5，若光波波长为500nm ，试计算插入玻璃片前后光束光程和相位的变化。 解：由时间相干性的附加光程差公式Δ=(n ?1)? =(1.5?1)×0.01mm =0.005mm ， δ= 2πλ Δ= 2π500×10?6 ×0.005=20π。 2.2在杨氏干涉实验中，若两小孔距离为0.4mm ，观察屏至小孔所在平面的距离为100cm ，在观察屏上测得的干涉条纹间距为1.5cm ，求所用光波的波。 解：由公式e =λD d ，得光波的波长 λ= ?d D = 1.5×10?3×0.4×103 100×10?2 m =6×10?7m =600nm 。 2.3波长为589.3nm 的钠光照射在双缝上，在距双缝100cm 的观察屏上测量20个干涉条纹的宽度为2.4cm ，试计算双缝之间的距离。 解：因为干涉条纹是等间距的，所以一个干涉条纹的宽度为e = 2.420 cm 。又由公式e = λD d ，得双缝间距 离?= λD ? = 589.3×10?6×100×10 10×2.4∕20 mm =0.491mm 。 2.4设双缝间距为1mm ，双缝离观察屏为1m ，用钠光照明双缝。钠光包含波长为λ1=589nm 和λ2=589.6nm 两种单色光，问两种光的第10级亮条纹之间的距离是多少？ 解：因为两束光相互独立传播，所以λ1光束第10级亮条纹位置x 1=mλ1D d ，λ2光束第10级亮条纹位 置x 2=mλ2D d ，所以间距l =x 2?x 1=mD d (λ2?λ1) = 10×1000 1×(589.6?589)×10?6=6×10?3mm 。 2.5在杨氏双缝干涉的双缝后面分别放置n 1=1.4和n 2=1.7，厚度同为t 的玻璃片后，原来中央极大所在点被第5级亮纹所占据。设λ=480nm ，求玻璃片厚度t 以及条纹迁移的方向。 解：由题意，得 (n 2?n 1)t =5λ， 所以t = 5λn 2?n 1 = 5×480×10?9 1.7?1.4 =8×10?6m =8μm ， 条纹迁移方向向下。 2.6在杨氏双缝干涉实验装置中，以一个长30mm 的充以空气的气室代替薄片置于小孔s 1前，在观察屏上观察到一组干涉条纹。继后抽去气室中空气，注入某种气体，发现屏上条纹比抽气前移动了25个。已知照明光波波长为656.28nm ，空气折射率n a =1.000276，试求注入气室内的气体的折射率。 解：设注入气室内的气体的折射率为n ，则 (n ?n a )?=25λ，所以n = 25λ? +n a =25×656.28×10?9 30×10?3 +1.000276 =5.469×10?4+1.000276=1.000823。 2.7杨氏干涉实验中，若波长λ=600nm ，在观察屏上形成暗条纹的角宽度为0.02°，（1）试求杨氏干涉中二缝间的距离？（2）若其中一个狭缝通过的能量是另一个的4倍，试求干涉条纹的对比度？ 解：角宽度为ω=0.02°×180π ， 所以条纹间距e = λω = 6000.02°× 180 π =1.72mm 。 由题意，得 I 1=4I 2，所以干涉对比度 K =2√I 1∕I 21+I 1∕I 2=2×√4I 2∕I 2 1+4I 2∕I 2=45?=0.8 2.8若双狭缝间距为0.3mm ，以单色光平行照射狭缝时，在距双缝1.2m 远的屏上，第5级暗条纹中心离中央极大中间的间隔为11.39mm ，问所用的光源波长为多少？是何种器件的光源？ 解：由公式x =(m +12 ) λD d ，所以λ= xd D(m+1 2 ) =11.39×10?3×0.3×10?3 12×(4+0.5) m =632.8nm 。 此光源为氦氖激光器。 2.12在杨氏干涉实验中，照明两小孔的光源是一个直径为2mm 的圆形光源。光源发光的波长为500nm ，它到小孔的距离为1.5m 。问两小孔可以发生干涉的最大距离是多少？ 解：因为是圆形光源，由公式b c =1.22λl ∕?， 则?= 1.22λl b c = 1.22×500×10?6×1.5×103 2 =0.46mm 。 2.13月球到地球表面的距离约为3.8×105km ，月球的直径为3477km ，若把月球看作光源，光波长取500nm ，试计算地球表面上的相干面积。 解：相干面积A =π( 0.61×l b c )2 =π×(0.61×500×10?6×3.8×1011 3.477×109)2 =3.49×10?3mm 2。 2.14若光波的波长宽度为Δλ，频率宽度为Δν，试证明：|Δν ν |=|Δλ λ |。式中，ν和λ分别为光波的频率 和波长。对于波长为632.8nm 的氦氖激光，波长宽度为Δλ=2×10?8nm ，试计算它的频率宽度和相干长度。 解：证明：由D max =cΔt =λ2Δλ?，则有 c ?Δν?=λ2Δλ???Δλλ=λΔνc ?Δλλ=?Δν?c ∕νc ? Δλλ = ?Δνν （频率增大时波长减小），取绝对值得证。 相干长度D max =λ2Δλ?=632.822×10?8 =2.0× 1013nm =20km ， 频率宽度Δν= c D max = 3×10820×103 Hz =1.5×104Hz 。 2.15在图2.22（a ）所示的平行平板干涉装置中，若平板的厚度和折射率分别为?=3mm 和n =1.5，望远镜的视场角为6°，光的波长λ=450nm ，问通过望远镜能够看见几个亮纹？ 解：设能看见N 个亮纹。从中心往外数第N 个亮纹对透镜中心的倾角θN ，成为第N 个条纹的角半径。设m 0为中心条纹级数，q 为中心干涉极小数，令m 0=m +q (m ∈z ,?0≤q <1)，从中心往外数， 第N 个条纹的级数为m ?(N ?1)=m 0?(N ?1)?q ，则 { Δ中=2n ?+λ2?=m 0λ=(m +q )λ ΔN =2n?cosθN +λ2?=[m ?(N ?1)λ] ， 两式相减，可得2n?(1?cos θN )=(N ?1+q )λ，利用折射定律和小角度近似，得θN = 1n ′ √ Nλ? √N ?1+q ，(n ′?为平行平板周围介质的折 射率) 对于中心点，上下表面两支反射光线的光程差为D =2a ?+λ 2=(2×1.5×3×106+ 4502 )nm = (2×104+12)×450nm 。因此，视场中心是暗点。 由上式，得N = hθN 2nλ = 3×106×( π×3°180° )2 1.5×450 =12.1，因此， 有12条暗环，11条亮环。 2.16一束平行白光垂直投射到置于空气中的厚度均匀的折射率为n =1.5 的薄膜上，发现反射光谱中出现波长为400nm 和600nm 的两条暗线，求此薄膜的厚度？ 解：光程差Δ=(n ?1)?=λ2?λ1， 所以?= λ2?λ1n?1 = (600?400)×10?3 1.5?1 μm =0.4μm 2.17用等厚条纹测量玻璃光楔的楔角时，在长5cm 的范围内共有15个亮条纹，玻璃折射率n =1.52，所用单色光波长λ=600nm ，问此光楔的楔角为多少？ 解：由公式e =λ2nα ，所以楔角α= λ2n? ， 又e = 515 cm =13?cm ， 所以α=600×10?91 3 ×10?2×1.52 rad =5.92×10?5rad 。 2.18利用牛顿环测透镜曲率半径时，测量出第10个暗环的直径为2cm ，若所用单色光波长为500nm ，透镜的曲率半径是多少？ 解：由曲率半径公式R = r 2Nλ =(2 2 ×10?2) 2 10×500×10?9 m =20m 。 2.19F-P 干涉仪两反射镜的反射率为0.5，试求它的最大透射率和最小透射率。若干涉仪两反射镜以折射率n =1.6的玻璃平板代替，最大透射率和最小透射率又是多少？（不考虑系统吸收） 解：当反射率R =0.5 时，由光强公式 I M (t ) =I ，I m (t ) = (1?R )24R +(1?R )2I (i) 可得最大透射率T M =1； 最小透射率T m = (1?R )24R+(1?R )2 =0.11。 当用玻璃平板代替时，n =1.6 ，则 R n =(n ?1n +1)2=(1.6?11.6+1 )2 所以T M ′=1 ，T m ′=(1?R n )2 4R n +(1?R n )2 ≈0.81。 2.20已知一组F-P 标准具的间距分别为1mm 和120mm ，对于λ=550.0nm 的入射光而言，求其相应的标准具常数。如果某激光器发出的激光波长为632.8nm ，波长宽度为0.001nm ，测量其波长宽度时应选用多大间距的标准具？ 解：(Δλ1)S.R =λ22?1 = 55022×1×106 =0.15nm ， (Δλ2)S.R =λ22?2 = 55022×120×106 =0.0013nm ， ?3= λ′ 2 2(Δλ3)S.R = 632.822×0.001 =2×108nm =200mm 。 2.21有两个波长λ1和λ2，在600nm 附近相差0.0001nm ，要用F-P 干涉仪把两谱线分辨开来，间隔至少要多大？在这种情况下，干涉仪的自由光谱范围是多少？设反射率R =0.98。 解：由分辨极限公式(Δλ)m ?22π?√R ，得 F-P 干涉仪间隔??22π(Δλ)m R =60022π×0.0001×10?90.98=11.58mm 自由光谱范围(Δλ)S.R =λ?22?1 = 60022×11.58×106 = 0.0155nm 。 2.22在照相物镜上通常镀上一层光学厚度为 5λ04 （λ0=550nm ）的介质膜。问：（1）介质膜的作用？（2）求此时可见光区（390~780nm ）反射最大的波长？ 解：（1）作用：因为上下表面光程差2n?=2× 5λ4 = (2+12 )λ0，所以该介质膜对λ0的反射达到最小，为增透膜；（2）由n?= 5λ04 ，可知，对波长为λ0，δ=5π， R = (n 0?n G )2cos 2δ2+( n 0n G n ?n)2sin 2 δ2 (n 0+n G )2cos 2δ2+(n 0n G n +n)2sin 2δ2 ，反射最大的波长满足2n?=2× 5λ4 =mλ，则λ= 5λ02m ?，取m =2,3?时则 符合条件的可见光的波长分别为687.5nm 和458.3nm 。 2.23在玻璃基片上镀两层光学厚度为λ0∕4的介质薄膜，如果第一层的折射率为1.35，为了达到在正入射下膜系对λ0全增透的目的，第二层薄膜的折射率应为多少？（玻璃基片的折射率n G =1.6） 解：由题意，得n 1=1.35，n G =1.6，n 0=1， 要使膜系对λ0全增透，由公式 n 2=√n G n 0 n 1=√ 1.61 ×1.35=1.71。 第三章 光的衍射与现代光学 3.1波长λ=500nm 的单色光垂直入射到边长为3cm 的方孔，在光轴（它通过方孔中心并垂直方孔平面）附近离孔z 处观察衍射，试求出夫琅禾费衍射区德大致范围。 解：要求k ?(x 12+y 12)max 2z ?π，又k = 2πλ ， 所以z ?(x 12+y 12)max λ = (3×10?2)22?500×10?9 m =900m 。 3.5在白光形成的单缝的夫琅禾费衍射图样中，某色光的第3级大与600nm 的第2极大重合，问该色光的波长是多少？ 解：单缝衍射明纹公式：a sin φ=(2n +1)λ 2(n ∈z ) 当λ1=600nm 时，n 1=2，因为φ与a 不变，当n 2=3时，(2n 1+1) λ12 =(2n 2+1)λ 22 ，所以λ2= (2n 1+1)λ1(2n 2+1) = (2×2+1)×600 (2×3+1) =428.6nm 。 3.6在不透明细丝的夫琅禾费衍射图样中，测得暗条纹的间距为1.5mm ，所用透镜的焦距为300nm ，光波波长为632.8nm 。问细丝直径是多少？ 解：由e = λf a ，所以直径即为缝宽a = λf ? =632.8×10?6×300 1.5mm =0.127mm 3.8迎面开来的汽车，其两车灯相距?=1m ，汽车离人多远时，两车灯刚能为人眼所分辨？（假定人眼瞳孔直径D =2mm ，光在空气中的有效波长λ=500nm ）。 解：此为夫琅禾费圆孔衍射，由公式d l =1.22λ D ， 所以l = dD 1.22λ = 1×2×10?31.22×500×10?9 m =3278.7m 。 3.9在通常的亮度下，人眼瞳孔直径约为2mm ，若视觉感受最灵敏的光波长为550nm ，问：（1）人眼最小分辨角是多大？（2）在教室的黑板上，画的等号的两横线相距2mm ，坐在距黑板10m 处的同学能否看清？ 解：（1）θm =1.22λ D （夫琅禾费圆孔衍射） = 1.22×550×10?9 2×10?3 =3.36×10?4 rad 。 (2)θ=2×10?3 10 =2×10?4rad <θm ，所以不能看清。 3.7边长为a 和b 的矩孔的中心有一个边长为a 0和b 0 的不透明屏，如图所示，试导出这种光阑的夫琅禾费衍射强度公式。 解： E 1=Cab sin α1α1 sin β1β1 ，E 2=Ca 0b 0 sin α2α2 sin β2β2 ， （C 为常数），所以E =E 1?E 2 =C (ab sin α1α1sin β1β1?a 0b 0sin α2α2sin β2 β2 ) I =EE ?=C 2(ab sin α1α1 sin β1β1 ?a 0b 0 sin α2α2 sin β2β2 )2， 因为场中心强度(场中心对应于α1=α2=β1=β2=0?)为I 0=C 2(ab ?a 0b 0)2?，所以I = I 0 (ab?a 0b 0 )2 (ab sin α1α1 sin β1β1 ?a 0b 0 sin α2α2 sin β2β2 )2。 其中α1=πa sin θx λ ，β1=πb sin θx λ ，α2=πa 0 sin θx λ ， β2=πb 0sin θx λ 。 3.10人造卫星上的宇航员声称，他恰好能分辨离他100km 地面上的两个点光源。设光波波长为550nm ，宇航员眼瞳直径为4mm ，这两个点光源的距离是多大？ 解:由夫琅禾费圆孔衍射，d l = 1.22λD ，所以 ?=1.22λl D =1.22×550×10?9×100×103 4×10?3m =16.775m 。 3.11在一些大型的天文望远镜中，把通光圆孔做成环孔。若环孔外径和内径分别为a 和a/2，问环孔的分辨本领比半径为a 的圆孔的分辨本领提高了多少？ 解： 由α= πDsin θx λ ≈ πDθx λ ≈3.144，环孔衍射图 样第一个零点的角半径为θ=3.144λ2πa =0.51λ a ， 按照瑞利判据, 天文望远镜的最小分辨角就是θ=0.51λ a ，与中心部分没有遮挡的圆孔情形(θ= 0.61λa )相比较, 分辨本领提高了, 即 0.61?0.51 (0.61+0.51)∕2 =17.9%。 3.12若望远镜能分辨角距离为3×10?7rad 的两颗星，它的物镜的最小直径是多少？为了充分利用望远镜的分辨本领，望远镜应有多大的放大率？ 解：光的波长λ=550nm?，则由公式θ=1.22λ D ?， 最小直径D =1.22λ θ =1.22× 550×10?93×10?7 m =2.24m 。 因为人眼的最小分辨角为2.9×10?4rad ， 所以放大率N =2.9×10?43×10?7 =970。 3.13若要使照相机感光胶片能分辨2?μm 的线距，求：（1）感光胶片的分辨本领至少是每毫米多少线？（2）照相机镜头的相对孔径D ∕f 至少有多大？（设光波波长为550nm 。） 解：⑴直线数N =1ε′= 12×10?3 mm ?1=500mm ?1。 （ε′?为线距，即为能分辨的最靠近的两直线在感光 胶片上得距离）。 ⑵由N = 1 1.22λD f ，所以相对孔径D f ?=N ?1.22λ= 500×1.22×550×10?6=0.34。 3.16计算光栅常数是缝宽5倍的光栅的第0、1级 亮纹的相对强度。解：由题意，得a =?5?，第零级强度I 0(θ)=N 2I 0，第0、1级亮纹相对强度分别为 I 0N 2I 0 =( sin αα )2=1， I 1N 2I 0 =( sin π5 π5 )2 =0.875。 3.14一块光学玻璃对谱线435.8nm 和546.1nm 的折射率分别为1.6525和1.6245。试计算用这种玻璃制造的棱镜刚好能分辨钠D 双线时底边的长度。钠D 双线的波长分别为589.0nm 和589.6nm 。 解：由公式A = λΔλ =B Δn Δλ ?，(式中A?为棱镜分辨本领，B?为棱镜底边长度，n?为相对于波长λ?的棱镜的折射率，n +Δn?为相对于波长λ+Δλ?的棱镜的折射率,Δn Δλ??为色散率) 又同一种物质色散率不变，则 A 1 B 1 = Δn Δλ = 1.6525?1.6245(546.1?435.8)×10?9 =2.54×105， λ= 589.6+589.0 2=589.3nm ， 因为A 2= λΔλ′ =589.3589.6?589.0 =982.1?，所以用这种玻 璃制造的棱镜刚好能分辨钠D 双线时底边的长度 B 2= A 2Δn∕Δλ = 982.12.54×105 =3.87×10?3m =3.87mm 。 3.15在双缝夫琅禾费衍射试验中，所用光波波长λ=632.8nm ，透镜焦距f =50cm ，观察到两相邻亮条纹之间的距离e =1.5mm ，并且第4级亮纹缺级。试求：（1）双缝的缝距和缝宽；（2）第1、2、3级亮纹的相对强度。 解：⑴多缝衍射的亮线条件是?sin θ=mλ，m ∈z?，对上式两边取微分，得到?cos θ?Δθ=λ?Δm?， 当Δm =1?时，Δθ?就是相邻亮线之间的角距离。并且一般θ很小，cos θ≈1?，故Δθ=λ???。两相邻亮线距离为e =f ?Δθ=fλ???。所以 缝距?=fλ e ?=500×632.8×10?6 1.5?mm=0.21mm 。 因为第4级亮纹缺级，所以缝宽为 a =?4?=0.214mm ?=0.05mm 。 ⑵第1、2、3级亮线分别相应于?sin θ=±λ、±2λ、±3λ。由于?=4a ，所以当?sin θ=±λ、±2λ、±3λ时，分别有a sin θ=±λ4?、±2λ4?、±3λ4?。因此，由多缝衍射各级亮线的强度公式I m =N 2I 0(sin αα )2， 第1、2、3级亮线的相对强度为 I 1N 2I 0 =( sin αα)2= sin πa sin θ λπa sin θ λ =( sin π4 π4 )2 =0.811，I 2 N 2I 0 =( sin π2 π2)2 =0.405， I 3N 2I 0 =(sin 3π43π4 )2 =0.090。 3.17一块宽度为5cm 的光栅，在2级光谱中可分辨500nm 附近的波长差0.01nm 的两条谱线，试求这一光栅的栅距和500nm 的2级谱线处的角色散。 解：由A =λδλ =mN =m L d （L 为光栅宽度），所以 ?= mL λ∕δλ = 2×5×10500∕0.01 mm =2×10?3mm ， 角色散 dθdλ = m d cos θ = m d×cos[arcsin(2λ d )] （一般θ角很小， cos θ≈1）=2 0.002×cos[arc sin(2×500 2000 )] =866.03?rad/mm 3.18为在一块每毫米1200条刻线的光栅的1级光谱中分辨波长为632.8nm 的一束氦氖激光的膜结构（两个模之间的频率差为450MHz ），光栅需要有多宽？ 解：Δλ= λ2c?Δt = λ2c Δν，又光栅的色分辨本领A = λΔλ = c λΔν =mN =m ?1200L ，所以光栅的宽度 L =c λΔνm?1200 = 3×1011 632.8×10?6×1×1200×450×10 9=878mm 。 3.19用复色光垂直照射在平面透射光栅上，在30°的衍射方向上能观察到600nm 的第二级主极大，并能在该处分辨δλ=0.005nm 的两条谱线，但却观察不到600nm 的第三级主极大。求：（1）光栅常数?，每一缝宽a ；（2）光栅的总宽L 至少不得低于多少？ 解：⑴?sin θ=mλ，所以?=mλsin θ = 2×600×10?6 sin 30° mm =2.4×10?3mm ，a =d k = 2.4×10?3 3 mm=8×10?4mm 。 ⑵A = λδλ =mN ，又N =L sin θ∕?，所以L ≥ Ad 2sin θ = 600∕0.005×2.4×10?3 2×1 2 mm=288mm 。 3.20一束波长λ=600nm 的平行光，垂直射到一平面透射光栅上，在与光栅法线成45°?的方向观察到该光的第二级光谱，求此光栅的光栅常数。 解：由?sin θ=mλ，得光栅常数 ?=mλsin θ=2×600×10?6 sin 45°mm =1.7×10?3mm 3.21一块每毫米500条缝的光栅，用钠黄光正入射，观察衍射光谱。钠黄光包含两条谱线，其波长分别为589.6nm 和589.0nm 。求在第二级光谱中这两条谱线互相分离的角度。 解：光栅公式?sin θ=mλ，?=1500 mm=2×10?3mm ， 所以θ1=arcsin mλ1d =arcsin 2×589.6×10?6 2×10?3 =36.1286°， 同理θ2=36.0861°?，所以第二级光谱中这两条谱线互相分离的角度δ=θ1?θ2=0.0425° =2′33′′。 3.22一光栅宽50mm ，缝宽为0.001mm ，不透光部分宽为0.002mm ，用波长为550nm 的光垂直照明，试求：（1）光栅常数d ；（2）能看到几级条纹？有没有缺级？ 解:⑴?=a +a ′=0.001+0.002=0.003mm ， ⑵?a ?=0.0030.001?=3，所以第±3级亮纹为缺级，又由?sin 90°=mλ，解得m =5.45，所以m M =5.45×2=11，又缺±3级，所以能看到9级条纹。 3.23按以下要求设计一块光栅：①使波长600nm 的第二级谱线的衍射角小于30°?，并能分辨其0.02nm 的波长差；②色散尽可能大；③第三级谱线缺级。则该光栅的缝数、光栅常数、缝宽和总宽度分别是多少？用这块光栅总共能看到600nm 的几条谱线？ 解：为使波长600nm 的二级谱线的衍射角θ≤30°, ?必须满足?= mλsin θ ≥ 2×600×10?6 sin 30° =2.4×10?3mm ， 根据要求②，?尽可能小，则?=2.4×10?3mm ， 根据要求③，光栅缝宽a = d 3 =0.8×10?3mm ， 再由条件④，光栅缝数N 至少有 N = λmδλ=600 2×0.02 =15000 所以光栅的总宽度L 至少为 L =N?=15000×2.4×10?3mm =36mm 光栅形成的谱线在|θ|<90°?范围内，当θ=±90°?时，有m = d sin θλ = ±2.4×10?36×10?4 =±4?，即第4 级谱线 对应于衍射角θ=±90°实际上不可能看见。此外第3 级缺级, 所以只能看见0 ,±1 , ±2 级共5 条谱线。 3.24一块闪耀光栅宽260mm ，每毫米有300个刻槽，闪耀角为77°12′?。⑴求光束垂直于槽面入射时，对于波长λ=500nm?的光的分辨本领；⑵光栅的自由光谱范围有多大？ 解：⑴光栅栅距为?= 1300 mm?，已知光栅宽260 mm ， 因此光栅槽数N =L ??=260×300=7.8×104? 由2?sin γ=mλ?，光栅对500 nm 的闪耀级数为 m = 2d sin γ λ = 2×1300?×s?n77°12′ 500×10?6 =13，所以分辨本领 A =mN =13×7.8×104≈106?；⑵光栅的自由光 谱范围为Δλ=λ m =500 13 nm=38.5nm。 第四章光的偏振和偏振器件 4.2一束部分偏振光由光强比为2:8?的线偏振光和 自然光组成，求这束部分偏振光的偏振度。 解：设偏振光光强为I1=2I，自然光光强为I2=8I，（其中I1=I max?I m?n，I t=I1+I2=I max+I m?n）， 所以偏振度P=I1 I t =I max?I min I max+I min =2I I1+I2 =2I 2I+8I =0.2。 4.3线偏振光垂直入射到一块光轴平行于界面的方解石晶体上，若光矢量的方向与晶体主截面成60°?角，问o光和e光从晶体透射出来的强度比时多少？ 解：I o:I?=tan260°=3:1 4.4线偏振光垂直入射到一块光轴平行于表面的方解石波片上，光的振动面和波片的主截面成30°?和60°?角。求：⑴透射出来的寻常光和非常光的相对强度各为多少？⑵用钠光入射时如要产生90°?的位相差，波片的厚度应为多少？（λ=589.0nm，n?= 1.486，n o=1.658） 解：⑴I o:I?=tan230°=1:3； ⑵由δ=90°=2π λ (n o?n?)?，所以 ?=λ 4(n o?n e)=589.0×10?9 4×(1.658?1.486) ≈8.56×10?7m。 4.7有一块平行石英片是沿平行光轴方向切出的。要把它切成一块黄光的14??波片，问这块石英片应切成多厚？(石英的n?=1.552?，n o=1.543?，波长为589.3nm) 解：由D=(n??n o)?=(m+1 4 )λ，所以厚度 ?=(m+ 1 4)λ (n??a o) = (0+ 1 4)×589.3 (1.552?1.543) nm =1.637×104nm≈1.64×10?3cm 4.5由自然光和圆偏振光组成的部分偏振光，通过 一块1∕4波片和一块旋转的检偏镜，已知得到的最大光强是最小光强的7倍，求自然光强占部分偏振光强的百分比。 解：设自然光和圆偏振光的光强分别为I1和I2，则 部分偏振光的光强为I=I1+I2。 圆偏振光经过λ4?波片后成为线偏振光，光强仍为I2。当线偏振光光矢的振动方向与检偏器的透光方向 一致时，从检偏器出射的光强最大，其值为I2，当其振动方向与透光方向互相垂直时其值为零。自然光通过λ4?波片后还是自然光，通过检偏器后光强 为1 2 I1。因此，透过旋转的检偏器出射的最大光强和 最小光强分别为I max=1 2 I1+I2，I m?n=1 2 I1，又题给I max=7I m?n，因此I2=3I1，所以，自然光强占 部分偏振光强的百分比为I1 I =I1 I1+3I1 =25%。 4.6在两个共轴平行放置的透振方向正交的理想偏振片P1?和P3?之间，有一个共轴平行放置的理想偏振片P2?以云角速度ω?绕光的传播方向旋转。设t=0?时P3?偏振化方向与P1?平行，若入射到该系统的平行自然光强为I0?，则该系统的透射光强为多少？ 解：通过第一块、第二块和第三块偏振片后，光强 分别为I1=I0 2 ，I2=I1cos2θ，I3=I2cos2(π 2 ?θ)，由于t=0?时P3?偏振化方向与P1?平行，因此θ=ωt， 所以透射光强为I=I3=I0 2 cos2θcos2(π 2 ?θ)= I0 16 (1?cos4ωt)，可见，最大光强为I0 8 ，最小光强 为0，出射光强的变化频率为4ω。 4.11为了决定一束圆偏振光的旋转方向，可将14??波片置于检偏器之前，再将后者转到消光位置。这时发现14??波片快轴的方位是这样的：它须沿着逆 时针方向转45°?才能与检偏器的透光轴重合。问该 圆偏振光是右旋的还是左旋的？ 解：是右旋圆偏振光。因为在以λ4?波片快轴为y轴的直角坐标系中，偏振片位于Ⅱ、Ⅳ象限时消光，说明圆偏振光经λ4?波片后，成为位于Ⅰ、Ⅲ象限 的线偏振光，此线偏振光由y方向振动相对x方向振动有2π位相差的两线偏振光合成。而λ4?波片使e光 和o光的位相差增加π 2 ，成为2π，所以，进入λ4?波 片前y方向振动相对x方向振动就已有3π 2 位相差，所以是右旋圆偏振光。 4.9下列两波及其合成波是否为单色波？偏振态如何？计算两波及其合成波光强的相对大小。 波1：{ E x=A sin(kz?ωt?π 2 ) E y=A cos(kz?ωt+π 2 ) ；和 波2：{ E x=A cos(kz?ωt??x(t)) E y=A cos(kz?ωt+?y(t)) 。其中?x(t)?和 ?y(t)?均为时间t的无规变化函数，且?y(t)?? ?x(t)≠常数。 解：波1是单色波，且E x=A sin(kz?ωt?π z )= A cos(kz?ωt?π)，而E y=A cos(kz?ωt+π z )，显然，等相面和等幅面重合，所以是均匀波。又因 为位相差δ=φy?φx=3π 2 ?，且x?和y?方向振动的振幅相等，所以是右旋圆偏振光。 对于波2，因为?y(t)???x(t)≠常数，为自然光， 而相速v=ω ?? ?只与空间部分有关，虽然?y(t)?? ?x(t)≠常数，但等相面和等幅面仍然重合，故为均匀波。 波1和波2是不相干波，因此由上述结果得合成波是非单色光，是部分偏振光，是均匀波。 光强度：波1 I1=E x2+E y2=A2； 波2 I2=Eλ2+E y2=A2； 合成波I3=I1+I2=2A2，因此，三个波的光强的相对大小为I1:I2:I3=1:1:2。 4.12一束右旋圆偏振光垂直入射到一块石英14??波片，波片光轴平行于x轴，试求透射光的偏振态。如果换成18??波片，透射光的偏振态又如何？ 解：右旋圆偏振光可视为光矢量沿y轴的线偏振光和与之位相差为π2?的光矢量沿x轴的线偏振光的 叠加。⑴右旋圆偏振光入射14?波片并从14?波片出射时，光矢量沿y轴的线偏振光（o光）对光矢量沿 x轴的线偏振光（e光）的位相差应为δ=π 2+π 2 =π， 故透射光为线偏振光，光矢量方向与x轴成?45°； ⑵右旋圆偏振光入射18?波片并从18?波片出射时，光矢量沿x轴的线偏振光（o光）对光矢量沿y轴的 线偏振光（e光）的位相差应为δ=π 2+π 4 =3π 4 ，透 射光为右旋椭圆偏振光。 4.10一束线偏振的钠黄光(λ=584.3nm)垂直通过一块厚度为8.0859×10?2mm?的石英晶片。晶片折射率为n o=1.54424?，n?=1.55335?，光轴沿y轴方向。试对于以下三种情况，决定出射光的偏振态： ⑴入射线偏振光的振动方向与x轴成45°?角； ⑵入射线偏振光的振动方向与x轴成?45°?角； ⑶入射线偏振光的振动方向与x轴成30°?角。 解：入射线偏振光在波片内产生的o光和e光出射波 片是得位相延迟角为δ=2π λ(n??n o)?= 2π×(1.55335?1.54424)×8.0859×10?2 589.3×10?6 =2.5π， ⑴当α=45°?时，设入射光振幅为A，则o光和e光的 振幅为A o=A cos45° =√2 2 A，A?=A sin45°=√2 2 A， 其中A为入射光的振幅。因此，在波片后表面，o光 和e光的合成为E=E o+E?=e x??? √2 2 A cos(ωt+ 2.5π)+e y???? √2 2 A cos(ωt)=√2 2 A[e x??? cos(ωt+π 2 )+ e y???? cos(ωt)]，因此，是左旋偏振光； ⑵当α=?45°?时，则o光和e光的振幅为A o= A cos?45° =√2 2 A，A?=A sin?45°=?√2 2 A，在波 片后表面，o光和e光的合成为E=E o+E?= √2 2 A[e x??? cos(ωt+π 2 )+e y???? cos(ωt+π)]，因此，是 右旋圆偏振光； ⑶当α=30°?时，则o光和e光的振幅为A o= A cos30° =√3 2 A，A?=A sin30°=1 2 A， 在波片后表面，o光和e光的合成为E=E o+E?= e x??? √3 2 Acos(ωt+π 2 )+e y???? 1 2 Acos(ωt)，因此，是左旋 椭圆偏振光，椭圆长轴沿x轴。 16一块厚度为0.05mm的方解石波片放在两个正交 的线偏振器中间，波片的光轴方向与两线偏振器的 夹角为45°?，问在可见光（390~780nm）范围内， 哪些波长的光不能通过这一系统？ 解：I=A2?2+A2o2+2A2o A2?cos? =1 2 I0sin22αcos2? 2 =1 2 I0cos2? 2 ，两相干线偏振光 的位相差是?=2π λ (n o?n?)?+π，又，当?= (2m+1)π（m=0,1,2，… ）时，干涉相消，对应 第一章光的电磁理论 在真空中传播的平面电磁波，其电场表示为Ex=0，Ey=0，Ez=，（各 量均用国际单位），求电磁波的频率、波长、周期和初相位。 解：由Ex=0，Ey=0，Ez=，则频率υ= ==×1014Hz，周期T=1/υ=2×10-14s， 初相位φ0=+π/2（z=0，t=0），振幅A=100V/m，波长λ=cT=3×108×2×10-14=6×10-6m。 .一个平面电磁波可以表示为Ex=0，Ey=，Ez=0，求： （1）该电磁波的振幅，频率，波长和原点的初相位是多少（2）波的传播和电矢量的振动取哪个方向（3）与电场相联系的磁场B的表达式如何写 解：（1）振幅A=2V/m ，频率υ=Hz，波长λ==，原点的初相位φ0=+π/2；（2）传播沿z轴，振动方向沿y 轴；（3）由B=，可得By=Bz=0，Bx= .一个线偏振光在玻璃中传播时可以表示为Ey=0，Ez=0，Ex=， 试求：（1）光的频率；（2）波长；（3）玻璃的折射率。 解：（1）υ===5×1014Hz； （2）λ=； （3）相速度v=，所以折射率n= 写出：（1）在yoz平面内沿与y轴成θ角的方 向传播的平面波的复振幅；（2）发散球面波和汇聚球面波的复振幅。 解：（1）由，可得 ； （2）同理：发散球面波 ， 汇聚球面波 。 一平面简谐电磁波在真空中沿正x方向传播。其频率为Hz，电场振幅为m ，如果该电磁波的振动面与xy平面呈45o，试写出E ，B表达式。解：，其中 = = = ， 同理：。 ，其中 = 。 一个沿k方向传播的平面波表示为 E=，试求k 方向的单位矢。 解：， 又， ∴=。 证明当入射角=45o时，光波在任何两种介质分界面上的反射都有。 证明： = === 证明光束在布儒斯特角下入射到平行平面玻璃片的上表面时，下表面的入射角也是布儒斯特角。证明：由布儒斯特角定义，θ+i=90o ， 设空气和玻璃的折射率分别为和，先由空气入射到玻璃中则有，再由玻璃出射到空气中，有， 又，∴， 即得证。 平行光以布儒斯特角从空气中射到玻璃 上，求：（1）能流反射率和；（2）能流透射率和。 解：由题意，得， 又为布儒斯特角，则=.....① ..... ② 由①、②得，，。 （1）0， ， （2）由，可得， 同理，=。 证明光波在布儒斯特角下入射到两种介质的分界面上时，，其中。 证明：，因为为布儒斯特角，所以， =，又根据折射定律，得，则，其中，得证。 利用复数表示式求两个波 和 的合成。 解： = = = =。 两个振动方向相同的单色波在空间某一点产生的振动分别为和 。若Hz，V/m ，8V/m，，，求该点的合振动表达式。 解：= = = =。 求如图所示的周期性三角波的傅立叶分析表达式。解：由图可知， ， =， =）=，（m为奇数），， 第一章光的电磁理论 1.1在真空中传播的平面电磁波，其电场表示为Ex=0，Ey=0，Ez= ，（各量均用国际单位），求电磁波的频率、波长、周期和初相位。解：由Ex=0，Ey=0，Ez= ，则频率υ= ==0.5×1014Hz， 周期T=1/υ=2×10-14s，初相位φ0=+π/2（z=0，t=0），振幅A=100V/m， 波长λ=cT=3×108×2×10-14=6×10-6m。 1.2.一个平面电磁波可以表 示为Ex=0，Ey= ，Ez=0，求：（1）该电磁波的振幅，频率，波长和原点的初相位是多少？（2）波的传播和电矢量的振动取哪个方向？（3）与电场相联系的磁场B的表达式如何写？ 解：（1）振幅A=2V/m，频率υ=Hz，波长λ== ，原点的初相位φ0=+π/2；（2）传播沿z轴，振动方向沿y轴；（3）由B=，可得By=Bz=0，Bx= 1.3.一个线偏振光在玻璃中传播时可以表示为Ey=0，Ez=0，Ex= ，试求：（1）光的频率；（2）波长；（3）玻璃的折射率。 解：（1）υ===5×1014Hz； （2）λ= ； （3）相速度v=0.65c，所以折射率n= 1.4写出：（1）在yoz平面内沿与y轴成θ角的方 向传播的平面波的复振幅；（2）发散球面波和汇聚球面波的复振幅。 解：（1）由，可得 ； （2）同理：发散球面波， ， 汇聚球面波， 。 1.5一平面简谐电磁波在真空中沿正x方向传播。其频率为Hz，电场振幅为14.14V/m，如果该电磁波的振动面与xy平面呈45o，试写出E，B表达式。解：，其中 = = = ， 同理： 。 ，其中 =。 1.6一个沿k方向传播的平 面波表示为 E= ，试求k 方向的单位矢。 解： ， 又， ∴=。 1.9证明当入射角=45o时，光波在任何两种介质分界面上的反射都有。 证明： = = == 1.10证明光束在布儒斯特角下入射到平行平面玻璃片的上表面时，下表面的入射角也是布儒斯特角。 证明：由布儒斯特角定义，θ+i=90o， 设空气和玻璃的折射率分别为和，先由空气入射到玻璃中则有 ，再由玻璃出射到空气中，有， 29 c 14 = ， 原点 ) 8 ] c 3 ( 0.65c = s c 2 c 2 c c 2 第一章 光的电磁理论 1.1 在真空中传播的平面电磁波，其电场表示为Ex=0，Ey=0，Ez=(102)C os [ π × 1014( t ? x ) + π ]， （各量均用国际单位），求电磁波的频率、波长、周期和初相位。 解 ： 由 Ex=0， Ey=0， Ez=(102)C os 1.4 写出：（1）在 yoz 平面内沿与 y 轴成θ角的k 方 向传播的平面波的复振幅；（2）发散球面波和汇聚球面波的复振幅。 解： （ 1） 由E = A exp （i k ? r ）， 可得E = A exp [ik(y cos θ + zsin θ)]； A 1 （2）同理：发散球面波E (r ，t) = A r exp (ikr) = r [ π × 1014(t ? x ) + π ] ，则频率υ= ? π × 1014 = =0.5× c 2 2π 2π exp (ikr)， 1014Hz ， 周期T=1/υ=2×10-14s ， 初相位φ0=+ π/2（ z =0， t=0）， 振幅 A=100V/m ， A 1 汇聚球面波E (r ，t) = A r exp ( ? ikr) 波长λ=cT=3×108×2×10-14=6×10-6m 。 1.2. 一个平面电磁波可以表示为 Ex=0， Ey=2 Cos [ 2π × 1014 ( z ? t ) + π ] ， Ez=0， 求：（ 1）该电磁波的振幅， 频率， 波长和原点的初相位 是多少？（ 2）波的传播和电矢量的振动取哪个 = r exp ( ? ikr) 。 1.5 一平面简谐电磁波在真空中沿正 x 方向传播。其频率为4 × 1014Hz ，电场振幅为 14.14V/m ，如果该电磁波的振动面与 xy 平面呈 45o，试写出 E ，B 表达式。 解：E = E y e y + E z e z ，其中 E =10exp [i ( 2π x ? 2πυt )] y λ 方向？（ 3）与电场相联系的磁场 B 的表达式如 何写？ ω 2π × 1014 =10exp [i ( 2πυx ? 2πυt )] 解：（ 1）振幅 A=2V/m ，频率υ=2π = 2π = 2π × 4 × 1014 1014Hz ，波长λ = c = 3 × 108 3 × 10 ? 6m =10exp [i ( x ? 2π × 4 × 1014t 3 × 10 υ 10 = 10exp [i ( 8 × 106π) (x ? 3 × 108t )] ， 的初相位 φ0=+π/2；（ 2） 传播沿 z 轴， 振动 3 方 向 沿 y 轴 ； （ 3） 由 B =1 (e × E ) ， 可 得 同理：E z = 10exp [i ( 8 × 106 π )(x ? 3 × 108 t )]。 By=Bz=0， B x=2 C os [ 2π × 1014 ( z ? t ) + π ] 1 B = c k 0 × E ) = ? B y e y + B z e z ，其中 B = 10 exp [i ( 8 × 106π) (x ? 3 × 108t )] =B 1.3. 一个线偏振光在玻璃中传播时可以表示为 z 3 × 10 8 3 y Ey=0，Ez=0，Ex=102C os [ π × 1015 ( z ? t )] ， 。 试求：（ 1） 光的频率；（ 2） 波长；（ 3） 玻璃的折射率。 1.6 一个沿 k 方向传播的平面波表示为 E=100exp {i [(2x + 3y + 4z) ? 16 × 105t ]}，试求 k 方向的单 ω π × 1015 位矢k 0。 解：（ 1） υ=2π= 2π 2π 2π =5×1014Hz ； 2 × 0.65 × 3 × 108 解：|k | = 22 + 32 + 42 = ， 又k = 2e x + 3e y + 4e z ， （ 2） λ = k = π × 1015/0.65c = 1015 k 1 (e + 3e + 4e )。 m = 3.9 × 10 ? 7m = 390nm ； 0 29 x y z c c （3）相速度 v=0.65c ，所以折射率 n=v = 0.65c ≈ 1.54 1.9 证明当入射角θ1=45o时，光波在任何两种介质分界面上的反射都有r p = r 2 。 k 九阳真经------搞仫仔 第一章光的电磁理论 1.1在真空中传播的平面电磁波，其电场表示为Ex=0，Ey=0，Ez=， （各量均用国际单位），求电磁波的频率、波长、周期和初相位。 解：由Ex=0，Ey=0，Ez= ，则频率υ= ==0.5× 1014Hz，周期T=1/υ=2×10-14s，初相位φ0=+π/2（z=0，t=0），振幅A=100V/m， 波长λ=cT=3×108×2×10-14=6×10-6m。 1.2.一个平面电磁波可以表示为Ex=0，Ey=，Ez=0，求：（1） 该电磁波的振幅，频率，波长和原点的初相位是多少？（2）波的传播和电矢量的振动取哪个方向？（3）与电场相联系的磁场B的表达式如何写？ 解：（1）振幅A=2V/m，频率υ= Hz，波长λ= υ =，原点的初相位φ0=+π/2；（2）传播沿z轴，振动方向沿y轴；（3）由B=，可得By=Bz=0，Bx= 1.3.一个线偏振光在玻璃中传播时可以表示为Ey=0，Ez=0，Ex=，试求：（1）光的频率；（2）波长；（3）玻璃的折射率。 解：（1）υ===5×1014Hz； （2）λ= ； （3）相速度v=0.65c，所以折射率n=1.4写出：（1）在yoz平面内沿与y轴成θ角的方 向传播的平面波的复振幅；（2）发散球面波和汇聚球面波的复振幅。 解：（1）由，可得 ； （2）同理：发散球面波， ， 汇聚球面波， 。 1.5一平面简谐电磁波在真空中沿正x方向传播。其频率为Hz，电场振幅为14.14V/m，如果该电磁波的振动面与xy平面呈45o，试写出E，B 表达式。 解：，其中 =υ =υ = ， 同理：。 ，其中 =。 1.6一个沿k方向传播的平面波表示为 E=，试求k 方向的单位矢。 解：， 又， ∴=。 1.9证明当入射角=45o时，光波在任何两种介质分界面上的反射都有。 证明：oo oo = 物理光学梁铨廷版习题答案 第一章光的电磁理 论 1.1在真空中传播的平面电磁波，其电场表示为Ex=0，Ey=0，Ez= ，（各量均用国际单位），求电磁波的频率、波长、周期和初相位。 解：由Ex=0，Ey=0，Ez= ，则频率υ= ==0.5×1014Hz，周期T=1/υ=2×10-14s，初相位φ0=+π/2（z=0，t=0），振幅A=100V/m， 波长λ=cT=3×108×2×10-14=6×10-6m。 1.2.一个平面电磁波可以表示为Ex=0，Ey= ，Ez=0，求：（1）该电磁波的振幅，频率，波长和原点的初相位是多少？（2）波的传播和电矢量的振动取哪个方向？（3）与电场相联系的磁场B的表达式如何写？ 解：（1）振幅A=2V/m，频率υ= Hz，波长λ==，原点的初相位φ0=+π/2；（2）传播沿z轴，振 动方向沿y轴；（3）由B=，可得By=Bz=0，Bx= 1.3.一个线偏振光在玻璃中传播时可以表示为Ey=0，Ez=0，Ex= ，试求：（1）光的频率；（2）波长；（3）玻璃的折射率。解：（1）υ===5×1014Hz； （2）λ= ；（3）相速度v=0.65c，所以折射率n= 1.4写出：（1）在yoz平面内沿与y轴成θ角的方 向传播的平面波的复振幅；（2）发散球面波和汇聚球面波的复振幅。解：（1）由 ，可得 ； （2）同理：发散球面波， ， 汇聚球面波， 。 1.5一平面简谐电磁波在真空中沿正x方向传播。其频率为Hz，电场振幅为14.14V/m，如果该电磁波的振动面与xy 平面呈45o，试写出E，B 表达式。 解：，其中 = = = ，同理： 。 ，其中 =。 1.6一个沿k方向传播的平面波表示为 E= ，试求k方向的单位矢。 解： ， 又，∴= 。 第一章光的电磁理 论 1.1在真空中传播的平面电磁波，其电场表示为Ex=0，Ey=0，Ez=(102)Cos[π× 1014(t?x c )+π 2 ]，（各 量均用国际单位），求电磁波的频率、波长、周期和初相位。 解：由Ex=0，Ey=0，Ez=(102)Cos[π× 1014(t?x c )+π 2 ]，则频 率υ= ω 2π =π×10 14 2π =0.5× 1014Hz，周期T=1/υ=2×10-14s，初相位φ0=+π/2（z=0，t=0），振幅A=100V/m， 波长λ=cT=3×108×2×10-14=6×10-6m。 1.2.一个平面电磁波可以表示为Ex=0，Ey=2Cos[2π×1014(z c ?t)+π 2 ]，Ez=0，求：（1）该电磁波的振幅，频率，波长和原点的初相位是多少？（2）波的传播和电矢量的振动取哪个方向？（3）与电场相联系的磁场B的表达式如何写？ 解：（1）振幅 A=2V/m，频率υ=ω 2π = 2π×1014 2π =1014Hz，波长 λ=c υ =3×108 10 =3× 10?6m ，原点的初相位φ0=+π/2；（2）传播沿z 轴，振动方向沿y 轴；（3）由B =1 c (e k ???? ×E ? )，可 得By=Bz=0，Bx=2 c Cos [2π×1014(z c ? t)+π 2] 1.3.一个线偏振光在玻璃中传播时可以表示为Ey=0，Ez=0， Ex=102Cos [π× 10 15 (z 0.65c ?t)]，试 求：（1）光的频率；（2）波长；（3）玻璃的折射率。 解： （1） υ =ω 2π= π×1015 2π =5×1014 Hz ； （2）λ= 2πk = 2ππ×10/0.65c =2×0.65×3×108 1015 m = 3.9×10?7m =390nm ； （3）相速度v=0.65c ，所以折射率n=c v =c 0.65c ≈1.54 1.4写出：（1）在yoz 平面内沿与y 轴成θ角的k ? 方 向传播的平面波的复振幅；（2）发散球面波和汇聚球面波的复振幅。 解：（1）由E ?=A ? exp(ik ? ?r ? )，可得E ?=A ? exp?[ik (ycosθ+zsinθ)]； （2）同理：发散球面波E ?(r ，t)=A r exp?(ikr )= 物理光学知识点汇总 一、名词：（共58个） 1、全反射：光从光密介质入射到光疏介质，并且当入射角大于临界角时，在两个不同介质的分界面上，入射光全部返回到原介质中的现象，就叫全反射。 2、折射定律：①折射光位于由入射光和法线所确定的平面内。 ②折射光与入射光分居在法线的两侧。 ③折射角与入射角满足：。 3、瑞利判据： 定义一：一个点物衍射图样的中央极大与近旁另一点物衍射图样的第一极小重合，作为光学系统的分辨极限，认为此时系统恰好可以分辨开两个点物，称此分辨标准为瑞利判据。 定义二：两个波长的亮条纹只有当它们合强度曲线中央极小值低于两边极大值的0.81时才能被分辨开。 4、干涉：在两个（或多个）光波叠加的区域，某些点的振动始终加强，另一些点的振动始终减弱，形成在该区域内稳定的光强强弱分布的现象。 5、衍射：通俗的讲，衍射就是当入射光波面受到限制后，将会背离原来的几何传播路径，并呈现光强不均匀分布的现象。 6、倏逝波：沿着第二介质表面流动的波。 7、光拍现象：光强随时间时大时小变化的现象。 8、相干光束会聚角：对应干涉场上某一点P的两支相干光线的夹角。 9、干涉孔径角：对于干涉场某一点P的两支相干光线从光源发出时的张角。 10、缺级现象：当干涉因子的某级主极大值刚好与衍射因子的某级极小值重合，这些主极大值就被调制为零，对应级次的主极大就消失了，这种现象就是缺级。 11、坡印亭矢量（34、辐射强度矢量）：它表示单位时间内，通过垂直于传播方向的，单位面积的电磁能量的大小。它的方向代表的是能量流动的方向，。 12、相干长度：对于光谱宽度为的光源而言，能够发生干涉现象的最大光程差。 13、发光强度：辐射强度矢量的时间平均值。 14、全偏振现象（15、布儒斯特角）：当入射光是自然光，入射角满足时，，，即反射光中只有波，没有波，这样的现象就叫全偏振现象。此时的入射角即为布儒斯特角，16、马吕斯定律：从起偏器出射的光通过一检偏器，透过两偏振器后的光强随两器件透光轴的夹角而变化，即称该式表示的关系式为马吕斯定律。 17、双折射：一束光射向各向异性的介质中，分为两束的现象。 18、光栅的色分辨本领：指可分辨两个波长差很小的谱线的能力。，其中，为光栅能分辨的最小波长差；为级次；为光栅总缝数（光栅总线对数）。 19、自由光谱范围：F-P干涉仪或标准具能分辨的最大波长差，用表示。 20、衍射光栅：能对入射光波的振幅或相位进行空间周期性调制，或对振幅和相位同时进行空间周期性调制的光学元件称为衍射光栅。 21、光源的临界宽度：条纹对比度刚好下降为0时的光源宽度。 22、光源的许可宽度：一般认为，当光源宽度不超过其临界宽度的时条纹对比度依然是很好的（），我们把此时的光源宽度称为光源的许可宽度。 23、晶体的主平面：光线在晶体中的传播方向与晶体光轴组成的平面称为该光线的主平面。 24、晶体的主截面：晶体光轴和晶面法线组成的面为晶体的主截面。 28、线色散：把波长相差的两条谱线分开的线距离。 29、角色散：把波长相差的两条谱线分开的角距离。 物理光学-梁铨廷-答案 第一章光的电磁理论1.1在真空中传播的平面电磁波，其电场表示为 Ex=0，Ey=0，Ez=(102)Cos[π×1014(t?x c )+π 2 ]， （各量均用国际单位），求电磁波的频率、波长、周期和初相位。 解：由Ex=0，Ey=0，Ez=(102)Cos[π×1014(t? x c )+π 2 ]，则频率υ= ω 2π =π×1014 2π =0.5×1014Hz，周 期T=1/υ=2×10-14s，初相位φ0=+π/2（z=0，t=0），振幅A=100V/m， 波长λ=cT=3×108×2×10-14=6×10-6m。 1.2.一个平面电磁波可以表示为Ex=0， Ey=2Cos[2π×1014(z c ?t)+π 2 ]，Ez=0，求：（1） 该电磁波的振幅，频率，波长和原点的初相位是多少？（2）波的传播和电矢量的振动取哪个方向？（3）与电场相联系的磁场B的表达式如何写？ 解：（1）振幅A=2V/m，频率υ=ω 2π=2π×1014 2π = 1014Hz，波长λ=c υ=3×108 1014 =3×10?6m，原点的 初相位φ0=+π/2；（2）传播沿z轴，振动方向沿y轴；（3）由B=1 c (e k???? ×E?)，可得By=Bz=0， Bx=2 c Cos[2π×1014(z c ?t)+π 2 ] 1.3.一个线偏振光在玻璃中传播时可以表示为 Ey=0，Ez=0，Ex=102Cos[π×1015(z 0.65c ?t)]，试求：（1）光的频率；（2）波长；（3）玻璃的折射率。 解：（1）υ=ω 2π=π×1015 2π =5×1014Hz； （2）λ=2π k =2π π×1015/0.65c =2×0.65×3×108 1015 m= 3.9×10?7m=390nm； （3）相速度v=0.65c，所以折射率n=c v =c 0.65c ≈1.54 1.4写出：（1）在yoz平面内沿与y轴成θ角的k?方 向传播的平面波的复振幅；（2）发散球面波和汇聚 球面波的复振幅。 解：（1）由E?=A exp(ik??r )，可得E?= A exp?[ik(ycosθ+zsinθ)]； （2）同理：发散球面波E?(r，t)=A r exp?(ikr)= A1 r exp?(ikr)， 汇聚球面波E?(r，t)=A r exp?(?ikr)= A1 r exp?(?ikr)。 1.5一平面简谐电磁波在真空中沿正x方向传播。 其频率为4×1014Hz，电场振幅为14.14V/m，如果 该电磁波的振动面与xy平面呈45o，试写出E，B 表达式。 解：E?=E y e y???? +E z e z??? ，其中 E y=10exp[i(2π λ x?2πυt)] =10exp[i(2πυ c x?2πυt)] =10exp[i(2π×4×10 14 3×108 x?2π×4×1014t)] =10exp[i(8 3 ×106π)(x?3×108t)]， 同理：E z=10exp[i(8 3 ×106π)(x?3×108t)]。 B? =1 c (k0???? ×E?)=?B y e y???? +B z e z??? ，其中 B z=10 3×108 exp[i(8 3 ×106π)(x?3×108t)]=B y。 1.6一个沿k方向传播的平面波表示为 E=100exp{i[(2x+3y+4z)?16×105t]}，试求k 方向的单位矢k0。 解：|k?|=√22+32+42=√29， 又k?=2e x??? +3e y???? +4e z??? ， ∴k0???? =1 √29x ??? +3e y???? +4e z??? )。 1.9证明当入射角θ1=45o时，光波在任何两种介质 分界面上的反射都有r p=r s2。 证明：r s=sin(θ1?θ2) sin(θ1+θ2) =sin45ocosθ2?cos45osinθ2 sin45ocosθ2+cos45osinθ2 =cosθ2?sinθ2 cosθ2+sinθ2 =1?tanθ2 1+tanθ2 r p= tan(θ1?θ2) tan(θ1+θ2) 第一章 光的电磁理 ×10-14=6×10-6m。 /2；（2）传播沿 z 轴，振 动方向沿 y 轴；（3）由 《物理光学与应用光学》习题及选解 第一章 习题 1-1. 一个线偏振光在玻璃中传播时，表示为：i E ))65.0(10cos(10152t c z -??=π，试求该光的频率、波长，玻璃的折射率。 1-2. 已知单色平面光波的频率为z H 1014 =ν，在z = 0 平面上相位线性增加的情况如图所示。求f x ， f y ， f z 。 1-3. 试确定下列各组光波表示式所代表的偏振态： (1))sin(0kz t E E x -=ω，)cos(0kz t E E y -=ω; (2) )cos(0kz t E E x -=ω， )4cos(0πω+-=kz t E E y ; (3) )sin(0kz t E E x -=ω，)sin(0kz t E E y --=ω。 1-4. 在椭圆偏振光中，设椭圆的长轴与x 轴的夹 角为α，椭圆的长、短轴各为2a 1、2a 2，E x 、E y 的相位差为?。求证：?αcos 22tan 2 20 00 0y x y x E E E E -= 。 1-5.已知冕牌玻璃对0.3988m 波长光的折射率为n = 1.52546，11m 1026.1/--?-=μλd dn ，求光在该玻璃中的相速和群速。 1-6. 试计算下面两种色散规律的群速度（表示式中的v 表示是相速度）： (1)电离层中的电磁波，222λb c v +=，其中c 是真空中的光速，λ是介质中的电磁波波长，b 是常数。 (2)充满色散介质（)(ωεε=，)(ωμμ=）的直波导管中的电磁波，222/a c c v p -=εμωω，其中c 真空中的光速，a 是与波导管截面有关的常数。 1-7. 求从折射率n = 1.52的玻璃平板反射和折射的光的偏振度。入射光是自然光，入射角分别为?0，?20，?45，0456'?，?90。 1-8. 若入射光是线偏振的，在全反射的情况下，入射角应为多大方能使在入射面振动和垂直入射面振动的两反射光间的相位差为极大？这个极大值等于多少？ 1-9. 电矢量振动方向与入射面成45°的线偏振光，入射到两种透明介质的分界面上，若入射角 ?=501θ，n 1 = 1，n 2 = 1.5，则反射光的光矢量与入射面成多大的角度？若?=601θ时，该角度又为 1-2题用图 第一章光的电磁理论 1、1在真空中传播的平面电磁波,其电场表示为 Ex=0,Ey=0,Ez=,(各量均用国际单位),求电磁波的频率、波长、周期与初相位。 解:由Ex=0,Ey=0,Ez=,则频 率υ= ==0、5×1014Hz, 周期T=1/υ=2×10-14s, 初相位φ0=+π/2(z=0,t=0), 振幅A=100V/m, 波长λ=cT=3×108×2×10-14=6×10-6m。 1、2、一个平面电磁波可以表示为 Ex=0,Ey=,Ez=0,求:(1)该电磁波的振幅,频率,波长与原点的初相位就是多少？(2)波的传播与电矢量的振动取哪个方向？(3)与电场相联系的磁场B的表达式如何写？ 解:(1)振幅A=2V/m,频率υ=Hz,波长λ ==,原点的初相位φ0=+π/2;(2)传播沿z轴,振动方向沿y轴;(3)由 B =,可得 By=Bz=0,Bx= 1、3、一个线偏振光在玻璃中传播时可以表示 为Ey=0,Ez=0,Ex=,试求:(1)光的频率;(2)波长;(3)玻璃的折射率。 解:(1)υ===5×1014Hz; (2)λ= ; (3)相速度v=0、65c,所以折射率n= 1、4写出:(1)在yoz平面内沿与y 轴成θ角的方 向传播的平面波的复振幅;(2)发散球面波与汇聚球面波的复振幅。 解:(1)由,可得 ; (2)同理:发散球面波 , 汇聚球面波 。 1、5一平面简谐电磁波在真空中沿正x方向传播。其频率为Hz,电场振幅为14、14V/m,如果 该电磁波的振动面与xy平面呈45o,试写出E,B表达式。 解:,其中 = = = , 同理:。 ,其中 = 。 1、6一个沿k方向传播的平面波表示为 E=,试求k 方向的单位矢。 解:,物理光学梁铨廷答案
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论
1.2. 一 个 平 面 电 磁 波 可
1.1 在真空中传播的平面 以 表 示 为 Ex=0 ，
电磁波，其电场表示为 Ey=
Ex=0 ， Ey=0 ，
Ez= ， Ez=0 ， 求 ：（ 1 ） 该 电
磁波的振幅，频率，波
，（各量均用国际单位）， 长 和 原 点 的 初 相 位 是 多
求电磁波的频率、波长、 少？（2）波的传播和电
周期和初相位。
矢量的振动取哪个方
解：由 Ex=0，Ey=0， 向？（3）与电场相联系
Ez=
的磁场 B 的表达式如何
写？
解：（1）振幅 A=2V/m，
，则频率υ=
频
率
υ
=
=0.5 × 1014Hz ， =
Hz
周期 T=1/υ=2×10-14s， ， 波 长 λ
初相位 φ0=+π/2（z=0，
t=0）， 振幅 A=100V/m， =
=
波 长 λ =cT=3×108×2 ，原点的初相位 φ0=+π
B= By=Bz=0 Bx=
，可得 ，
； （3）相速度 v=0.65c，所 以折射率
1.3. 一 个 线 偏 振 光 在 玻 璃中传播时可以表示为 Ey=0 ， Ez=0 ， Ex=
n=
1.4 写出：（1）在 yoz 平 面内沿与 y 轴成θ角的 方
向传播的平面波的复振 ，试求：（1）光的频率；
幅；（2）发散球面波和汇 （2）波长；（3）玻璃的
聚球面波的复振幅。 折射率。
解 ：（ 1 ） 由 解 ：（ 1 ） υ
== 1014Hz；
=5 × 得
，可
（2）λ ；
=物理光学与应用光学石顺祥课后答案
物理光学 梁铨廷 答案
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