二、综合考察
五年级奥数专题-数的整除 如果整除a 除以不为零数b,所得的商为整数而余数为0,我们就说a 能被b 整除,或叫b 能整除a 。如果a 能被b 整除,那么,b 叫做a 的约数,a 叫做b 的倍数。 数的整除的特征： （1） 能被2整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是2、4、6、8、0,那么这个整数一定能被2整除。 （2） 能被3（或9）整除的数的特征：如果一个整数的各个数字之和能被3（或9）整除,那么这个整数一定能被3（或9）整除。 （3） 能被4（或25）整除的数的特征：如果一个整数的末两位数能被4（或25）整除,那么这个数就一定能被4（或25）整除。 （4） 能被5整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是0或5,那么这个整数一定能被5整除。 （5） 能被6整除的数的特征：如果一个整数能被2整除,又能被3整除,那么这个数就一定能被6整除。 （6） 能被7（或11或13）整除的数的特征：一个整数分成两个数,末三位为一个数,其余各位为另一个数,如果这两个数之差是0或是7（或11或13）的倍数,这个数就能被7（或11或13）整除。 （7） 能被8（或125）整除的数的特征：如果一个整数的末三位数能被8（或125）整除,那么这个数就一定能被8（或125）整除。 （8） 能被11整除的数的特征：如果一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差（大减小）能被11整除,那么它必能被11整除。 一、例题与方法指导 例1. 一个六位数23□56□是88的倍数,这个数除以88所得的商是_____或_____. 思路导航： 一个数如果是88的倍数,这个数必然既是8的倍数,又是11的倍数.根据8的倍数,它的末三位数肯定也是8的倍数,从而可知这个六位数个位上的数是0或8.而11的倍数奇偶位上数字和的差应是0或11的倍数,从已知的四个数看,这个六位数奇偶位上数字的和是相等的,要使奇偶位上数字和差为0,两个方框内填入的数字是相同的,因此这个六位数有两种可能 或又 23056088=2620 238568÷88=2711 所以,本题的答案是2620或2711. 例2. 123456789□□,这个十一位数能被36整除,那么这个数的个位上的数最小是_____. 思路导航：
五年级奥数讲义 第一讲 数的整除 一、学法指导 数的整除特性： （1）能被2（或5）、3(或9)整除的数的特征（自己回忆整理）。 （2）能被4（或25）整除的数的特征：如果一个数的末两位数能被4（或25）整除，这个数就能被4（或25）整除。 （3）能被8（或125）整除的数的特征：如果一个数的末三位能被8（或125）整除这个数就能被（或）125整除。 （4）能被11整除的数的特征：如果一个整数奇数位数字与偶数位数字和的差能被11整除，那么这个数就能被11整除。 （5）能被7、11、13整除的数的特征：一个整数末三位与末三位以前的数的差（大减小）能被7（11或13）整除，那么这个数就能被7（11或13）整除。 补充结论： 1.abcabc 能被7、11、13整除。 2.如果数a 能同时被数b 、c 整除，而且b 、c 互质，那么a 就能被b 、c 的乘积整除。举例：比如能被72整除的数的特征，就是这个数能同时被8、9整除。因为72=8×9，而8、9互质，根据上面的结论，一个数能否被72整除，我们只要分析这个数能否同时被8和9整除就可以了。 有了这个结论，我们研究整除特性的范围就被大大地扩展，很多很多我们没学过的数的整除特征，都可以据此找到规律了。如能被20，26，28，45，91，99整除的数的特征等。我们研究整除特性有了有利的工具。 二、例题： 例1、 整数6427B A 能被72整除，这个数有那些可能？ 例2、 四位数Y X 47能被18整除，要使这个四位数尽可能小，那么这个四位数是
多少？ 例3、在1992后面补上三个数字，组成一个七位数，使它分别能被2、3、5、7整除，这个七位数最小是多少？ 例4、一个六位数B A1997，能被99整除，A和B各是多少？ 例5、在532后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3、4、5整除，这样的六位数中最小的是□□□□□□。 例6、已知45|Y X1993,求所有满足条件的六位数？ 三、练习 A卷、基本能力训练 154能被72整除，求X+Y是多少？ 1、XY 2、1997□□□能被4、5、6整除，那么这个七位数最小是多少？ 3、一个能被11整除的最小四位数，去掉它的千位上和个位上的数字以后，是一个同时能被2、3、5整除的最大的两位数。这个四位数是□□□□。 4、在 5、 6、7的公倍数中，是五位数且最小的是________。
整除性质的应用 知识框架 一、常见数字的整除判定方法： （1）一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除； （2）一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除； （3）一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除； （4）一各位数数字和能被3整除，这个数就能比9整除； （5）一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除； （6）如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除. （7）1001特征(家有三子7、11、13) 一个数除以7的余数，其末三位与前面隔开，等于末三位与前面隔出数的差除以7的余数； 一个数除以11的余数，其末三位与前面隔开，等于末三位与前面隔出数的差除以11的余数； 或者，其奇数位数字之和(从个位往高位数，个位为第1位，即为奇数位)减去偶数位数字之和所得的差除以11的余数； 一个数除以13的余数，其末三位与前面隔开，等于末三位与前面隔出数的差(大减小)能被13整除； 【备注】（以上规律仅在十进制数中成立.） 二、整除性质 性质1如果数a和数b都能被数c整除，那么它们的和或差也能被c整除．即如果c︱a， c︱b，那么c︱(a±b)． 性质2如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么a也能被c整除．即如果b∣a， c∣b，那么c∣a． 用同样的方法，我们还可以得出： 性质3如果数a能被数b与数c的积整除，那么a也能被b或c整除．即如果bc∣a，那 么b∣a，c∣a． 性质4如果数a能被数b整除，也能被数c整除，且数b和数c互质，那么a一定能被b 与c的乘积整除．即如果b∣a，c∣a，且(b，c)=1，那么bc∣a． 例如：如果3∣12，4∣12，且(3，4)=1，那么(3×4)∣12．
整除 整除是整数问题中一个重要的基本概念.如果整数a除以自然数b，商是整数且余数为0，我们就说a能被b整除，或b能整除a，或b整除a，记作b丨a.此时，b是a的一个因数（约数），a是b的倍数. 1.整除的性质 性质1 如果a和b都能被m整除，那么a+b，a-b也都能被m整除（这里设a>b）. 例如：3丨18，3丨12，那么3丨（18+12），3丨（18-12）. 性质2如果a能被b整除，b能被c整除，那么a能被c整除。 例如： 3丨6，6丨24，那么3丨24. 性质3如果a能同时被m、n整除，那么a也一定 能被m和n的最小公倍数整除. 例如：6丨36，9丨26，6和9的最小公倍数是18，18丨36. 如果两个整数的最大公约数是1，那么它们称为互质的. 例如：7与50是互质的，18与91是互质的. 性质4整数a，能分别被b和c整除，如果b与c互质，那么a能被b×c整除. 例如：72能分别被3和4整除，由3与4互质，72 能被3与4的乘积12整除. 性质4中，“两数互质”这一条件是必不可少的.72分别能被6和8整除，但不能被乘积48整除，这就是因为6与8不互质，6与8的最大公约数是2. 性质4可以说是性质3的特殊情形.因为b与c互 质，它们的最小公倍数是b×c.事实上，根据性质4，我们常常运用如下解题思路：要使a被b×c整除，如果b与c互质，就可以分别考虑，a被b整除与a被c整除. 能被2，3，4，5，8，9，11整除的数都是有特征的，我们可以通过下面讲到的一些特征来判断许多数的整除问题. 2.数的整除特征 （1）能被2整除的数的特征： 如果一个整数的个位数是偶数，那么它必能被2整除. （2）能被5整除的数的特征： 如果一个整数的个位数字是0或5，那么它必能被5整除. （3）能被3（或9）整除的数的特征： 如果一个整数的各位数字之和能被3（或9）整除，那么它必能被3（或9）整除.
数的整除（1）性质、特征、奇偶性 【知识要点】： 整除性质：（1）如果数a、b都能被c整除，那么它们的和（a+b）或差（a－b）也能被c整除。 （2）如果数a能被自然数b整除，自然数b能被自然数c整除，则数a必能被数c整除。 （3）若干个数相乘，如其中有一个因数能被某一个数整除，那么，它们的积也能被这个数整除。 （4）如果一个数能被两个互质数中的每一个数整除，那么，这个数能被这两个互质数的积整除。反之，若一个数能被两个互质数的积整除，那么这个数能分别被这两个互质数整除。 整除特征：（1）若一个数的末两位数能被4（或25）整除，则这个数能被4（或25）整除。 （2）若一个数的末三位数能被8（或125）整除，则这个数能被8（或125）整除。 （3）若一个数的各位数字之和能被3（或9）整除，则这个数能被3（或9）整除。 （4）若一个数的奇数位数字和与偶数数字和之差（以大减小）能被11整除，则这个数能被11整除。 （5）若一个数的末三位数字所表示的数与末三位以前的数字所表示的数之差（大数减小数）能被7（或13）整除，则这个数能被7（或13）
整除。 奇偶性：（1）奇数±奇数=偶数（2）偶数±偶数=偶数（3）奇数±偶数=奇数（4）奇数×奇数=奇数（5）偶数×偶数=偶数（6）奇数×偶数=偶数（7）奇数÷奇数=奇数（8）… 【典型例题】 例1：一个三位数能被3整除，去掉它的末尾数后，所得的两位数是17的倍数，这样的三位数中，最大是几？ 例2：1～200这200个自然数中，能被6或8整除的数共有多少个？
例3：任意取出1998个连续自然数，它们的总和是奇数还是偶数？ 例4：有“1”，“2”，“3”，“4”四张卡片，每次取出三张组成三位数，其中偶数有多少个？
除数是两位数的除法练习题 一、我能直接写出下面各题的得数。 40×3＝ 30×50＝ 50×20＝ 240÷60＝ 23×4＝ 18×5＝ 600×20＝ 800÷400＝ 64÷4＝ 50÷2＝ 84÷7＝ 570÷3＝ 34÷2＝ 250÷50＝ 140÷7＝ 900÷100＝二、用竖式计算 720÷40＝ 450÷30＝ 523÷80＝ 858÷39 125÷24 918÷27 503÷21 448÷89 184÷46 420÷18 621÷25 635÷72
四、基础与巩固（填空） 1、计算814÷19时，可以把19看作（）来试商。 2、被除数和除数同时扩大10倍，商（）。 3、在除法算式90÷30=3中，如果除数除以6，要使商仍是3，被除数应（）。 4、要使3□6÷34的商是一位数，□里可以填（）； 要使523÷□4的商是两位数，□里可以填（）。 5、560÷71，估商约是（）；1200÷41估商约是（）。 6、812÷40的商是（）位数；176÷20的商是（）位数。 7、132÷24 的商是（）位数；384÷16的商是（）位数。 8、计算275÷28时，可以把除数看做（）来试商；计算636÷74时，可以把除数看做（）来试商。 9、把320平均分成40份，，每份是（） 10、每份是70，490里面有（）个70 11、322÷40的商写在（）位上。 12、475与195的差里有（）个70。 13、如果4×30+6=126，那么126÷30=（）……（） 14、有163个鸡蛋，每30个装一箱，这些鸡蛋需要（）个箱子。 15、按要求在（）里填上一位适当的数字，再计算。 商是一位数商是两位数 （）25÷38 （）76÷27 （）96÷82 （）04÷64
五年级下奥数专题：整数的整除 数的整除的特征 （1）能被2整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是2、4、6、8、0，那么这个整数一定能被2整除。 （2）能被3（或9）整除的数的特征：如果一个整数的各个数字之和能被3（或9）整除，那么这个整数一定能被3（或9）整除。 （3）能被4（或25）整除的数的特征：如果一个整数的末两位数能被4（或25）整除，那么这个数就一定能被4（或25）整除。 （4）能被5整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是0或5，那么这个整数一定能被5整除。 （5）能被6整除的数的特征：如果一个整数能被2整除，又能被3整除，那么这个数就一定能被6整除。 （6）能被7（或11或13）整除的数的特征：一个整数分成两个数，末三位为一个数，其余各位为另一个数，如果这两个数之差是0或是7（或11或13）的倍数，这个数就能被7（或11或13）整除。 （7）能被8（或125）整除的数的特征：如果一个整数的末三位数能被8（或125）整除，那么这个数就一定能被8（或125）整除。 （8）能被11整除的数的特征：如果一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差（大减小）能被11整除，那么它必能被11整除。 过关测试 一、选择题 1、某个正数分别与 73，59和2 3相乘，所得的积均为整数，则这个最小数为( )。 A 、3211 B 、3123 C 、70 D 、140 2、一个五位数，各个数位上的数字互不相同，它能被3，5，7，11整除，这样的数中最大的是（ ）。 A 、98175 B 、98765 C 、98675 D 、98715 3、王老师为班级买了28个价格相同的圆规，共付人民币1□6.□8元，已知□处的数字相同，则每个圆规（ ）。 A 、4.16 元 B 、5.16元 C 、4.86元 D 、4.51元 4、所有数字都是2且能被 6 100666个整除的最小自然数是（ ）位数。 A 、100 B 、200 C 、300 D 、400 5、2005年11月11日20时在北京举行了距29届北京奥运会还有1000天的纪念活动。事实上这次纪念活动是为期一天的，到11月12日20时截止，也就是说11月12日才是真正距北京奥运会的日子。那么北京奥运会将在2008年8月（ ）日20时开幕。 A 、7 B 、8 C 、9 D 、10 二、填空题 6、y x 532能同时被2、3、5整除，则所有满足条件的五位数为 。 7、四位数□□47能被55整除，则所有这样的四位数有 。 8、四位数b a 47能被18整除，只要使这个四位数尽可能小，那么a= ，b= 。 9、在1~100这100个自然数中，不能被3或11整除的数有 个。 10、用2、8、8、6四个数字可以组成 个不同的四位数；所有这些四位数的平均值是 。 11、甲乙两数能被7整除，且甲数的61和乙数的5 2相等，甲乙两数的差最小是 。 12、有2006个不同的自然数（不包括0），它们当中的任意两个数的和都是2的倍数，任意三个数的和都是3的倍数。为了使这2006个数的和尽可能小，那么这2006个数中最大的一个是 。 13、一次速算比赛共出了100道题，李明每分钟做3道题，张强每做5道题比李明少用6秒钟．那么张强做完100道题时，李明已做完 道题。
小学五年级奥数：数的整除知识点汇总+例题解析 数的整除 数的整除问题，内容丰富，思维技巧性强。它是小学数学中的重要课题，也是小学数学竞赛命题的内容之一。 一、基本概念和知识 1.整除——约数和倍数 例如：15÷3=5，63÷7=9 一般地，如a、b、c为整数，b≠0，且a÷b=c，即整数a除以整除b（b不等于0），除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0），我们就说，a能被b整除（或者说b能整除a）。记作b｜a.否则，称为a不能被b整除，（或b不能整除a），记作ba。 如果整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a 的约数。 例如：在上面算式中，15是3的倍数，3是15的约数；63是7的倍数，7是63的约数。
2.数的整除性质 性质1：如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c整除。 即：如果c｜a，c｜b，那么c｜（a±b）。 例如：如果2｜10，2｜6，那么2｜（10＋6）， 并且2｜（10—6）。 性质2：如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a.即：如果bc｜a，那么b｜a，c｜a。 性质3：如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c 的积能整除a。 即：如果b｜a，c｜a，且（b，c）=1，那么bc｜a。 例如：如果2｜28，7｜28，且（2，7）=1, 那么（2×7）｜28。 性质4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。 即：如果c｜b，b｜a，那么c｜a。 例如：如果3｜9，9｜27，那么3｜27。
3.数的整除特征 ①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数.“特征”包含两方面的意义：一方面，个位数字是偶数（包括0）的整数，必能被2整除；另一方面，能被2整除的数，其个位数字只能是偶数（包括0）.下面“特征”含义相似。 ②能被5整除的数的特征：个位是0或5。 ③能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。 ④能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。 例如：1864=1800＋64，因为100是4与25的倍数，所以1800是4与25的倍数.又因为4｜64，所以1864能被4整除.但因为2564，所以1864不能被25整除. ⑤能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。 例如：29375＝29000＋375，因为1000是8与125的倍数，所以29000是8与125的倍数.又因为125｜375，所以29375能被125整除.但因为8375，所以829375。
四年级数学上册数的整除性（二） 讲解 这一讲主要讲能被11整除的数的特征. 一个数从右边数起，第1，3，5，…位称为奇数位，第2，4，6，…位称为偶数位.也就是说，个位.百位.万位……是奇数位，十位.千位.十万位……是偶数位.例如9位数768325419中，奇数位与偶数位如下图所示： 能被11整除的数的特征：一个数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大数减小数）如果能被11整除，那么这个数就能被11整除. 例1 判断七位数1839673能否被11整除. 分析与解：奇数位上的数字之和为1＋3＋6＋3=13，偶数位上的数字之和为8＋9＋7=24，因为24-13=11能被11整除，所以1839673能被11整除. 根据能被11整除的数的特征，也能求出一个数除以11的余数. 一个数除以11的余数，与它的奇数位上的数字之和减去偶数位上的数字之和所得的差除以11的余数相同.如果奇数位上的数字之和小于偶 数位上的数字之和，那么应在奇数位上的数字之和上再增加11的整数倍，使其大于偶数位上的数字之和.
例2 求下列各数除以11的余数： （1）41873；（2）296738185. 分析与解：（1）[（4＋8＋3）－（1＋7）]÷11 =7÷11＝0……7， 所以41873除以11的余数是7. （2）奇数位之和为2＋6＋3＋1＋5=17，偶数位之和为9＋7＋8＋8＝32.因为17＜32，所以应给17增加11的整数倍，使其大于32. （17+11×2）-32＝7， 所以296738185除以11的余数是7. 需要说明的是，当奇数位数字之和远远小于偶数位数字之和时，为了计算方便，也可以用偶数位数字之和减去奇数位数字之和，再除以11，所得余数与11的差即为所求.如上题（2）中，（32-17）÷11＝1……4，所求余数是11-4=7. 例3 求除以11的余数. 分析与解：奇数位是101个1，偶数位是100个9. （9×100-1×101）÷11 =799÷11=72……7， 11-7=4，所求余数是4. 例3还有其它简捷解法，例如每个“19”奇偶数位上的数字相差9-1＝8，奇数位上的数字和与偶数位上的数字和相差8×99=8×9×11，能被11整除.所以例3相当于求最后三位数191除以11的余数. 例4 用3，3，7，7四个数码能排出哪些能被11整除的四位数？ 解：只要奇数位和偶数位上各有一个3和一个7即可.有3377，3773，7337，7733. 例5 用1～9九个数码组成能被11整除的没有重复数字的最大九位数. 分析与解：最大的没有重复数字的九位数是987654321，由 （9＋7＋5＋3＋1）-（8＋6＋4＋2）＝5
数的整除性 一、填空题 1. 四位数“3AA1”是9的倍数，那么A=_____. 2. 在“25□79这个数的□内填上一个数字,使这个数能被11整除,方格内应填_____. 3. 能同时被2、3、5整除的最大三位数是_____. 4. 能同时被2、5、7整除的最大五位数是_____. 5. 1至100以内所有不能被3整除的数的和是_____. 6. 所有能被3整除的两位数的和是______. 7. 已知一个五位数□691□能被55整除,所有符合题意的五位数是_____. 8. 如果六位数1992□□能被105整除,那么它的最后两位数是_____. 9. 42□28□是99的倍数,这个数除以99所得的商是_____. 10. 从左向右编号为1至1991号的1991名同学排成一行,从左向右1至11报数,报数为11的同学原地不动,其余同学出列;然后留下的同学再从左向右1至11报数,报数为11的留下,其余同学出列;留下的同学第三次从左向右1至11报数,报到11的同学留下,其余同学出列,那么最后留下的同学中,从左边数第一个人的最初编号是_____号. 二、解答题 11. 173□是个四位数字.数学老师说：“我在这个□中先后填入3个数字, 所得到的3个四位数,依次可被9、11、6整除.”问：数学老师先后填入的3个数字的和是多少？ 12．在1992后面补上三个数字，组成一个七位数，使它们分别能被2、3、5、11整除，这个七位数最小值是多少？
13．在“改革”村的黑市上,人们只要有心,总是可以把两张任意的食品票换成3张其他票券,也可以反过来交换.试问,合作社成员瓦夏能否将100张黄油票换成100张香肠票,并且在整个交换过程中刚好出手了1991张票券？ 14．试找出这样的最小自然数,它可被11整除,它的各位数字之和等于13.
整数的整除 数的整除的特征 （1）能被2整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是2、4、6、8、0，那么这个整数一定能被2整除。 （2）能被3（或9）整除的数的特征：如果一个整数的各个数字之和能被3（或9）整除，那么这个整数一定能被3（或9）整除。 （3）能被4（或25）整除的数的特征：如果一个整数的末两位数能被4（或25）整除，那么这个数就一定能被4（或25）整除。 （4）能被5整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是0或5，那么这个整数一定能被5整除。 （5）能被6整除的数的特征：如果一个整数能被2整除，又能被3整除，那么这个数就一定能被6整除。 （6）能被7（或11或13）整除的数的特征：一个整数分成两个数，末三位为一个数，其余各位为另一个数，如果这两个数之差是0或是7（或11或13）的倍数，这个数就能被7（或11或13）整除。 （7）能被8（或125）整除的数的特征：如果一个整数的末三位数能被8（或125）整除，那么这个数就一定能被8（或125）整除。 （8）能被11整除的数的特征：如果一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差（大减小）能被11整除，那么它必能被11整除。 过关测试 一、选择题 1、某个正数分别与 73，59和2 3相乘，所得的积均为整数，则这个最小数为( )。 A 、3211 B 、3123 C 、70 D 、140 2、一个五位数，各个数位上的数字互不相同，它能被3，5，7，11整除，这样的数中最大的是（ ）。 A 、98175 B 、98765 C 、98675 D 、98715 3、王老师为班级买了28个价格相同的圆规，共付人民币1□6.□8元，已知□处的数字相同，则每个圆规（ ）。 A 、4.16 元 B 、5.16元 C 、4.86元 D 、4.51元 4、所有数字都是2且能被 6 100666个整除的最小自然数是（ ）位数。 A 、100 B 、200 C 、300 D 、400 5、20XX 年11月11日20时在北京举行了距29届北京奥运会还有1000天的纪念活动。事实上这次纪念活动是为期一天的，到11月12日20时截止，也就是说11月12日才是真正距北京奥运会的日子。那么北京奥运会将在20XX 年8月（ ）日20时开幕。 A 、7 B 、8 C 、9 D 、10 二、填空题 6、y x 532能同时被2、3、5整除，则所有满足条件的五位数为 。 7、四位数□□47能被55整除，则所有这样的四位数有 。 8、四位数b a 47能被18整除，只要使这个四位数尽可能小，那么a= ，b= 。 9、在1~100这100个自然数中，不能被3或11整除的数有 个。 10、用2、8、8、6四个数字可以组成 个不同的四位数；所有这些四位数的平均值是 。 11、甲乙两数能被7整除，且甲数的61和乙数的5 2相等，甲乙两数的差最小是 。 12、有2006个不同的自然数（不包括0），它们当中的任意两个数的和都是2的倍数，任意三个数的和都是3的倍数。为了使这2006个数的和尽可能小，那么这2006个数中最大的一个是 。 13、一次速算比赛共出了100道题，李明每分钟做3道题，张强每做5道题比李明少用6秒钟．那么张强做完100道题时，李明已做完 道题。
数的整除（1）性质、特征、奇偶性 知识要点】：整除性质：（1）如果数a、b都能被c整除，那么它们的和（a+b）或差（a—b）也能被c整除。 2）如果数a 能被自然数b 整除，自然数b 能被自然数c 整除，则数 a 必能被数c 整除。 3）若干个数相乘，如其中有一个因数能被某一个数整除，那么，它 们的积也能被这个数整除。 4）如果一个数能被两个互质数中的每一个数整除，那么，这个数能 被这两个互质数的积整除。反之，若一个数能被两个互质数的积整除，那么这个数能分别被这两个互质数整除。 整除特征：（1）若一个数的末两位数能被4（或25）整除，则这个数 能被4（或25）整除。 2）若一个数的末三位数能被8（或125）整除，则这个数能被8（或125）整除。 3）若一个数的各位数字之和能被3（或9）整除，则这个数能被3 或9）整除。 4）若一个数的奇数位数字和与偶数数字和之差（以大减小）能被11 整除，则这个数能被11 整除。 5）若一个数的末三位数字所表示的数与末三位以前的数字所表示的 数之差（大数减小数）能被7（或13）整除，则这个数能被7（或13） 整除。
奇数±奇数 =偶数（ 2）偶数±偶数 =偶数（ 3）奇数 ±偶 奇数X 奇数二奇数（5）偶数X 偶数二偶数（6）奇数X 偶 典型例题】 例 1：一个三位数能被 3 整除，去掉它的末尾数后，所得的两位数是 17 的倍数，这样的三位数中，最大是几？ 例2: 1?200这200个自然数中，能被6或8整除的数共有多少个? 奇偶性：（1） 数 =奇数（ 4） 数=偶数（ 7） 奇数一奇数二奇数（8）…
例3 ：任意取出1998 个连续自然数，它们的总和是奇数还是偶数？ 例4：有“ 1”，“ 2 ”，“ 3 ”4”四张卡片，每次取出三张组成三位数，其中偶数有多少个？
四年级数学上册两位数除法应用题 1、被除数是除数的4倍，除数与商的和是34，求被除数。 2、有242千克豆油，每30千克装一桶，这些豆油都装完需要多少个桶？ 3、大象说：大象每天吃360千克食物。熊猫说：大象每天吃的食物是我的20倍。求：一只熊猫每天吃多少千克食物？ 4、宏宇小学在“祖国发展变化图片展”活动中，展出的照片有238张，其中黑白照片有28张，展出的彩色照片大约是黑白照片的多少倍？ 5、王师傅前20天共生产零件360个，后20天加快了速度，平均每天生产零件22个，这40天平均每天生产多少个零件？ 6、暑假里小明和爸爸去离家240千米处的奶奶家，他们早晨9：00出发，中午12：30有个快乐英语节目，小明能及时收看吗？ 我每小时行驶80 千米 7、有600箱牛奶要运往超市，如果一辆卡车一次能运70箱，这些牛奶要几辆卡车才能运完？ 8、修一条长1千米的水渠，已经修好了412米，剩下的如果每天80米，还需要多少天修完？ 9、小马虎在计算除法时，把被除数458个位上的8写错成了0，结果得到的商是9，那么正确的商是多少？有余数吗？ 10、小马虎在计算一道除法题时，把除数30的末尾的“0”漏掉了，结果得到的商是80，正确的商应该是多少呢？ 11、有325米布，做被套用去了156米，剩下的要做床罩和窗帘，做一套床罩和窗帘共需17米布，一共可以做多少床罩和窗帘？ 12、两数相除商为8，余数为16，被除数、除数、商和余数的和为463，求被除数？
13、下列的算式中，要使被除数最小，方框中应填几？ ÷＝9 (18) 14、在一道没有余数的除法算式中，被除数、除数、商三个数的和是454，商是4，求被除数和除数是多少？ 15、丽丽在计算有余数的除法时，把被除数171错写成117，结果商比原来少3，但余数恰好相同。这道题的除数和余数各是多少？ 16、10月是学校环保月，学生们共收集了930节废电池，平均每天收集废电池多少节？ 17、王叔叔在承包的荒山上种满了树，这些树每年可以吸收有毒气体二氧化硫960千克，如果每公顷树林一年可以吸收二氧化硫48千克，你能算出王叔叔承包了多少公顷荒山吗？ 18、小红读一本298页的书，每天读24页，预计从8月20日开始读，到9月1日开学，她能在开学前读完这本书吗？ 19、小丽一家去公园去玩，去时的速度是12千米／时，共行了3小时。返回时因为逆风，速度比去时每小时慢了3千米，返回时用了几小时？ 20、海南省武警总队检修供电线路。原计划36小时完成，实际每小时多检修180米，结果提前12小时完成。原计划每小时检修线路多少米？ 21、两个数相除，商是8，余数是5，如果被除数扩大到原来的3倍，除数也扩大到原来的3倍，商是多少？余数是多少？ 22、两个数相除，如果被除数去掉个位的0，商是8，那么这两个数原来的商是多少？ 23、两个数的和是572，其中一个加数的个位是0，若把0去掉，则与另一个加数相同。求这两个数。 24、两个数相除，得到的商是3，余数是20，如果被除数和除数同时缩小到原来的1／2，商是多少？余数是多少？
小学五年级奥数：数的整除知识点汇总+例题解析(2).DOC 数的整除问题;内容丰富;思维技巧性强。它是小学数学中的重要课题;也是小学数学竞赛命题的内容之一。 一、基本概念和知识 1.整除——约数和倍数 例如：15÷3=5;63÷7=9 一般地;如a、b、c为整数;b≠0;且a÷b=c;即整数a除以整除b（b不等于0）;除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0）;我们就说;a能被b整除（或者说b能整除a）。记作b｜a.否则;称为a不能被b整除;（或b不能整除a）;记作ba。 如果整数a能被整数b整除;a就叫做b的倍数;b就叫做a的约数。 例如：在上面算式中;15是3的倍数;3是15的约数;63是7的倍数;7是63的约数。 2.数的整除性质 性质1：如果a、b都能被c整除;那么它们的和与差也能被c整除。 即：如果c｜a;c｜b;那么c｜（a±b）。
例如：如果2｜10;2｜6;那么2｜（10＋6）; 并且2｜（10—6）。 性质2：如果b与c的积能整除a;那么b与c都能整除a.即：如果bc｜a;那么b｜a;c｜a。 性质3：如果b、c都能整除a;且b和c互质;那么b与c的积能整除a。 即：如果b｜a;c｜a;且（b;c）=1;那么bc｜a。 例如：如果2｜28;7｜28;且（2;7）=1, 那么（2×7）｜28。 性质4：如果c能整除b;b能整除a;那么c能整除a。 即：如果c｜b;b｜a;那么c｜a。 例如：如果3｜9;9｜27;那么3｜27。 3.数的整除特征 ①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数.“特征”包含两方面的意义：一方面;个位数字是偶数（包括0）的整数;必能被2整除;另一方面;能被2整除的数;其个位数字只能是偶数（包括0）.下面“特征”含义相似。
第06讲数的整除 知识点、重点、难点 两个整除b a ,，0 b ，若a 除以b 所得商为c ，余数为0，我们就称a 能被b 整除.能被2整除的数的特征是：一个数的个位数字是偶数，则这个数能被2整除；能被5整除的数的特征是：一个数的个位数字是0或5，则这个数能被5整除；能被3或9整除的数的特征是：一个数的各位数字之和能被3或9整除，则这个数能被3或9整除； 能被4或25整除的数的特征是：一个数的末两位数能被4或25整除，则这个数能被4或25整除； 能被8或125整除的数的特征是：一个数的末三位数能被8或125整除，则这个数能被8或125整除. 例题精讲 例1判断238、345、582、1650、4396这五个数，哪些能被2整除，哪些能被5整除.练习1判断144、295、376、1980、5466、8855、34180、42952、8950、775这十个数，哪些能被2整除，哪些能被5整除，哪些能同时被2、5整除. 例2在四位数67□4中，□中分别填什么数字，才能分别被9、8、4整除？练习2在四位数58□2中，□中分别填什么数字，才能分别被3、8、4整除？例3用4、7、6三张数字卡片能组成多少个能被2整除的三位数？写出这些数.练习3用2、4、6、8这四个数字写成的没有重复数字的三位数中，有哪些数能被3整除.
例4同时能被2、3、5整除的最大四位数是____________. A B能被2、3、5整除，求数字A与B. 例5要使六位数3587 例6个位数是5，且能被9整除的三位数共有多少个？ 精选习题 1.判断132、158、710、195、496、9760、765、3335、10100、424这十个数，哪些能被2整除，哪些能被3整除，哪些能被5整除. 2.在下面的空格里填上合适的数: (1)87□□能被9、25整除； (2)63□□能被2、3、4、5、9整除. 3.用3、0、4、5这四个数字组成的没有重复数字的四位数中，能同时被2、3、5整除的数有哪些？ A A能同时被4、9整除，求这个五位数. 4.五位数743
， 第十二讲 整除问题（一） 在学习整数除法时，我们已经知道： 被除数＝除数×商数＋余数 这里要求除数不为零，且余数小于除数。当两个整数 a 和 b （b ≠0），a 被 b 除的余数为零时（商为整数），则称 a 被 b 整除或者 b 整除 a ，也把 a 叫作 b 的倍数，b 叫 4a 的约数，记作 b ｜a 。 如果a 被b 除所得的余数不为零，则称a 不能被b 整除，或b 不整除a 很显然，1 是任何整数的约数，即对于任何整数 a ，总有 1|a ，0 是任何非零 整数的倍数，a ≠0，a 为整数，则 a ｜0。 一般来说，整数 a 是否能被整数 b 整除，只要真正作除法就可判断。但是对于一些特殊数，可以有比较简单的判断办法。 一、数的整除的特征 1．前面我们已学过奇数与偶数，我们正是以能否被 2 整除来区分偶数与奇数的。因此，有下面的结论：末位数字为 0、2、4、6、8 的整数都能被 2 整除。偶数总可表为 2k ，奇数总可表为 2k ＋1（其中 k 为整数）。 2．末位数字为零的整数必被 10 整除。这种数总可表为 10k （其中 k 为整数）。 3．末位数字为 0 或 5 的整数必被 5 整除，可表为 5k （k 为整数）。
4．末两位数字组成的两位数能被4（25）整除的整数必被4（25）整除。 如 1996＝1900＋96，因为 100 是 4 和 25 的倍数，所以 1900 是 4 和 25 的倍数，只要考察96 是否4 或25 的倍数即可。 由于4｜96 能被 25 整除的整数，末两位数只可能是00、25、50、75。能被 4 整除的整数，末两位数只可能是00，04，08，12，16，20，24，28，32，36，40，44，48，52，56，60，64，68，72，76，80，84，88，92，96，不可能是其它的数。 5．末三位数字组成的三位数能被8（125）整除的整数必能被8（125）整除。 由于1000＝8×125，因此，1000 的倍数当然也是8 和125 的倍数。 如判断765432 是否能被8 整除。 因为765432＝765000＋432 显然8|765000，故只要考察8是否整除432即可。由于432＝8×54，即8|432，所以8|765432。 能被 8 整除的整数，末三位只能是000，008，016，024，…984，992。 由于125×1＝125，125×2＝250，125×3＝375；
数的整除（1）性质、特征、奇偶性 教室：姓名：学号： 【知识要点】： 整除性质：（1）如果数a、b都能被c整除，那么它们的和（a+b）或差（a－b）也能被c整除。 （2）如果数a能被自然数b整除，自然数b能被自然数c整除，则数a必能被数c整除。（3）若干个数相乘，如其中有一个因数能被某一个数整除，那么，它们的积也能被这个数整除。 （4）如果一个数能被两个互质数中的每一个数整除，那么，这个数能被这两个互质数的积整除。反之，若一个数能被两个互质数的积整除，那么这个数能分别被这两个互质数整除。整除特征：（1）若一个数的末两位数能被4（或25）整除，则这个数能被4（或25）整除。（2）若一个数的末三位数能被8（或125）整除，则这个数能被8（或125）整除。 （3）若一个数的各位数字之和能被3（或9）整除，则这个数能被3（或9）整除。 （4）若一个数的奇数位数字和与偶数数字和之差（以大减小）能被11整除，则这个数能被11整除。 （5）若一个数的末三位数字所表示的数与末三位以前的数字所表示的数之差（大数减小数）能被7（或13）整除，则这个数能被7（或13）整除。 奇偶性：（1）奇数±奇数=偶数（2）偶数±偶数=偶数（3）奇数±偶数=奇数（4）奇数×奇数=奇数（5）偶数×偶数=偶数（6）奇数×偶数=偶数（7）奇数÷奇数=奇数（8）…【典型例题】 例1：一个三位数能被3整除，去掉它的末尾数后，所得的两位数是17的倍数，这样的三位数中，最大是几？ 解：在两位数中，是17的倍数的数中最大的为17×5=85（17×6=102）.于是所求数的前两位数字为85.因为8+5=13，故所求数的个位数字为2、5、8时，该数能被3整除，为使该数最大，其个位数字应为8.最大三位数是858. 例2：1～200这200个自然数中，能被6或8整除的数共有多少个？ 解：1～200中，能被6整除的数共有33个（200÷6=33…），能被8整除的数共有25个（200÷8=25）.但［6，8］=24，200÷24=8……8，即1～200中，有8个数既被6整除，又被8整除。故总共有：33+25－8=50。
四年级数学《整数和整除》知识点 四年级数学《整数和整除》知识点 1、整数的意义： 自然数和0都是整数。 2、自然数： 我们在数物体的时候，用来表示物体个数的1，2，3叫做自然数。一个物体也没有，用0表示。0也是自然数。 3、计数单位： 一(个)、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿都是计数单位。每相邻两个计数单位之间的进率都是10。这样的计数法叫做十进制 计数法。 4、数位： 计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数位。 5、数的整除： （1）整数a除以整数b(b0)，除得的商是整数而没有余数，我 们就说a能被b整除，或者说b能整除a。 （2）如果数a能被数b(b0)整除，a就叫做b的倍数，b就叫做 a的约数(或a的因数)。倍数和约数是相互依存的。 （3）因为35能被7整除，所以35是7的倍数，7是35的约数。 （4）一个数的约数的个数是有限的，其中最小的约数是1，最 大的约数是它本身。例如：10的约数有1、2、5、10，其中最小的 约数是1，最大的约数是10。
（5）一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。3的.倍数有：3、6、9、12其中最小的倍数是3，没有最大的倍数。 （6）个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除，例如：202、480、304，都能被2整除。。 （7）个位上是0或5的数，都能被5整除，例如：5、30、405 都能被5整除。。 （8）一个数的各位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除，例如：12、108、204都能被3整除。 （9）一个数各位数上的和能被9整除，这个数就能被9整除。 （10）能被3整除的数不一定能被9整除，但是能被9整除的数一定能被3整除。 （11）一个数的末两位数能被4(或25)整除，这个数就能被 4(或25)整除。例如：16、404、1256都能被4整除，50、325、500、1675都能被25整除。 （12）一个数的末三位数能被8(或125)整除，这个数就能被 8(或125)整除。例如：1168、4600、5000、12344都能被8整除，1125、13375、5000都能被125整除。
专题一数的整除 数的整除问题，内容丰富，思维技巧性强。它是小学数学中的重要课题，也是小学数学竞赛命题内容之一。 一、基本概念和知识 1.整除 例如：15÷3=5，63÷7=9 一般地，如a、b、c为整数，b≠0，且a÷b=c，即整数a除以整除b（b不等于0），除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0），我们就说，a 能被b整除（或者说b能整除a） 7是63的约数。 2.数的整除性质 性质1：如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c整除。 例如：如果2｜10，2｜6，那么2｜（10＋6），并且2｜（10—6）。性质2：如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a. 即：如果bc｜a，那么b｜a，c｜a。 性质3：如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c的积能整除a。 即：如果b｜a，c｜a，且（b，c）=1，那么bc｜a。 例如：如果2｜28，7｜28，且（2，7）=1, 那么（2×7）｜28。 性质4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。 即：如果c｜b，b｜a，那么c｜a。 例如：如果3｜9，9｜27，那么3｜27。 3.数的整除特征
①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数. ②能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。 ③能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。 ④能被5整除的数的特征：个位是0或5。 ⑤能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。 ⑥能被11整除的数的特征：这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的 数字之和的差（大减小）是0或11的倍数。 ⑦能被7（11或13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的 数字所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）整除。 例题1. 四位数“3AA1”是9的倍数，那么A=_____。（小五奥数） 解析：已知四位数3AA1正好是9的倍数,则其各位数字之和3+A+A+1一定是9的倍数,可能是9的1倍或2倍,可用试验法试之。 练习（1）在“25□79这个数的□内填上一个数字,使这个数能被11整除, 方格内应填_____。（小五奥数） 练习（2）已知一个五位数□691□能被55整除,所有符合题意的五位_____。 例题 2. 1至100以内所有不能被3整除的数的和是_____。 解析：先求出1~100这100个数的和,再求100以内所有能被3整除的数的和,以上二和之差就是所有不能被3整除的数的和。 (1+2+3+…+100)-（3+6+9+12+…+99） =(1+100)÷2?100-(3+99)÷2?33 =5050-1683=3367 练习所有能被3整除的两位数的和是______。 例题3. 能同时被2、3、5整除的最大三位数是_____。 练习能同时被2、5、7整除的最大五位数是_____。 例题4. 173□是个四位数字，数学老师说：“我在这个□中先后填入3个数字, 所得到的3个四位数,依次可被9、11、6整除。”问：数学老师先后填入的3个