， 第十二讲 整除问题（一）
在学习整数除法时，我们已经知道：
被除数＝除数×商数＋余数
这里要求除数不为零，且余数小于除数。当两个整数 a 和 b （b ≠0），a 被 b 除的余数为零时（商为整数），则称 a 被 b 整除或者 b 整除 a ，也把 a 叫作 b 的倍数，b 叫 4a 的约数，记作 b ｜a 。
如果a 被b 除所得的余数不为零，则称a 不能被b 整除，或b 不整除a
很显然，1 是任何整数的约数，即对于任何整数 a ，总有 1|a ，0 是任何非零
整数的倍数，a ≠0，a 为整数，则 a ｜0。
一般来说，整数 a 是否能被整数 b 整除，只要真正作除法就可判断。但是对于一些特殊数，可以有比较简单的判断办法。
一、数的整除的特征
1．前面我们已学过奇数与偶数，我们正是以能否被 2 整除来区分偶数与奇数的。因此，有下面的结论：末位数字为 0、2、4、6、8 的整数都能被 2 整除。偶数总可表为 2k ，奇数总可表为 2k ＋1（其中 k 为整数）。
2．末位数字为零的整数必被 10 整除。这种数总可表为 10k （其中 k 为整数）。
3．末位数字为 0 或 5 的整数必被 5 整除，可表为 5k （k 为整数）。
4．末两位数字组成的两位数能被4（25）整除的整数必被4（25）整除。
如 1996＝1900＋96，因为 100 是 4 和 25 的倍数，所以 1900 是 4 和 25 的倍数，只要考察96 是否4 或25 的倍数即可。
由于4｜96
能被 25 整除的整数，末两位数只可能是00、25、50、75。能被 4 整除的整数，末两位数只可能是00，04，08，12，16，20，24，28，32，36，40，44，48，52，56，60，64，68，72，76，80，84，88，92，96，不可能是其它的数。
5．末三位数字组成的三位数能被8（125）整除的整数必能被8（125）整除。
由于1000＝8×125，因此，1000 的倍数当然也是8 和125 的倍数。
如判断765432 是否能被8 整除。
因为765432＝765000＋432
显然8|765000，故只要考察8是否整除432即可。由于432＝8×54，即8|432，所以8|765432。
能被 8 整除的整数，末三位只能是000，008，016，024，…984，992。
由于125×1＝125，125×2＝250，125×3＝375；
125×4＝500，125×5＝625；125×6＝750；
125×7＝875；125×8＝10000
故能被125 整除的整数，末三位数只能是000，125，250，375，500，
625，
750，875。
6．各个数位上数字之和能被3（9）整除的整数必能被3（9）整除。如
478323 是否能被3（9）整除？
由于478323＝4×100000＋7×10000＋8×1000＋3×100＋2×10＋3
＝4×（99999＋1）＋7（9999＋1）＋8×（999＋1）＋3×（99＋1）＋2×（9＋1）＋3
＝（4×99999＋7×9999＋8×999＋3×99＋2×9）＋（4＋7＋8＋3＋2＋3）前
一括号里的各项都是3（9）的倍数，因此，判断478323 是否能被3（9）
整除，只要考察第二括号的各数之和（4＋7＋8＋3＋2＋3）能否被3（9）整除。而第二括号内各数之和，恰好是原数478323 各个数位上数字之和。
∵4＋7＋8＋3＋2＋3＝27 是3（9）的倍数，故知478323 是3（9）的倍数。
在实际考察4＋7＋8＋3＋2＋3 是否被3（9）整除时，总可将3（9）的倍数划掉不予考虑。
即考虑被3 整除时，划去7、2、3、3，只看4＋8，考虑被9 整除时，由于 7 ＋2＝9，故可直接划去7、2，只考虑4＋8＋3＋3 即可。
如考察9876543 被9 除时是否整除，可以只考察数字和（9＋8＋7＋6＋5＋4＋3）是否被9 整除，还可划去9、5＋4、6＋3，即只考
察8
如问 3 是否整除 9876543，则先可将9、6、3 划去，再考虑其他数位上数字之和。由于3|（8＋7＋5＋4），故有3|9876543。
实际上，一个整数各个数位上数字之和被3（9）除所得的余数，就是这个整数被3（9）除所得的余数。
7．一个整数的奇数位数字和与偶数位数字和的差如果是11 的倍数，那么这个整数也是11 的倍数。（一个整数的个位、百位、万位、…称为奇数位，十位、千位、百万位……称为偶数位。）
如判断42559 能否被11 整除。42559＝4×
10000＋2×1000＋5×100＋5×10＋9
＝4×（9999＋1）＋2×（1001－1）＋5（99＋1）
＋5×（11－1）＋9
＝（4×9999＋2×1001＋5×99＋5×11）＋
（4－2＋5－5＋9）
＝11×（4×909＋2×91＋5×9＋5）＋
（4－2＋5－5＋9）
前一部分显然是11 的倍数。因此判断42559 是否 11 的倍数只要看后一部分4－2＋5－5＋9 是否为11 的倍数。
而4－2＋5－5＋9＝（4＋5＋9）－（2＋5）恰为奇数位上数字之和减去偶数位上数字之和的差。
由于（4＋5＋9）－（2＋5）＝11 是11 的倍数，故42559 是11 的倍数。
现在要判断7295871 是否为11 的倍数，只须直接计算（1＋8＋9＋7）－（7＋5＋2）是否为11 的倍数即可。由25－14＝11 知（1＋8＋9＋7）－（7＋5＋2）是1 的倍数，故11|7295871。
上面所举的例子，是奇数位数字和大于偶数位数字和的情形。如果奇数位数字和小于偶数位数字和（即我们平时认为“不够减”），那么该怎么办呢？
如 867493 的奇数位数字和为 3＋4＋6，而偶数位数字和为9＋7＋8。显然3 ＋4＋6 小于9＋7＋8，即13 小于24。
遇到这种情况，可在13－24 这种式子后面依次加上11，直至“够减”为止。
由于13－24＋11＝0，恰为11 的倍数，所以知道867493 必是11 的
倍数。
又如738292 的奇数位数字和与偶数位数字和的差为
130
131
（2＋2＋3）－（9＋8＋7）＝7－24
7－24＋11＋11＝5（加了两次 11 使“够减”）。由于 5 不能被 11 整除，故 可立即判断 738292 不能被 11 整除。
实际上，一个整数被 11 除所得的余数，即是这个整数的奇数位数字和与偶数
位数字和的差被 11 除所得的余数（不够减时依次加 11 直至够减为止）。
同学们还会发现：任何一个三位数连写两次组成的六位数一定能被 11 整除。如 186 这个三位数，连写两次成为六位数 186186。由于这个六位数的奇数位 数字和为 6＋1＋8，偶数位数字和为 8＋6＋1，它们的差恰好为零，故 186186 是 11 的倍数。
数位数字和为 c ＋a ＋b ，偶数位数字和为 b ＋c ＋a ，它们的差恰为零，
象这样由三位数连写两次组成的六位数是否能被 7 整除呢？
如 186186 被 7 试除后商为 26598，余数为零，即 7｜186186。能否不做 186186 ÷7，而有较简单的判断办法呢？
由于 186186＝186000＋186
＝186×1000＋
186
＝186×1001
而1001＝7×11×13，所以186186 一定能被7 整除。
这就启发我们考虑，由于7×11×13＝1001，故若一个数被1001 整除，则
这个数必被7 整除，也被11 和13 整除。
或将一个数分为两部分的和或差，如果其中一部分为1001 的倍数，另一部分为7（11 或 13）的倍数，那么原数也一定是7（11 或 13）的倍数。
如判断2839704 是否是7 的倍数？
由于2839704＝2839000＋704
＝2839×1000＋704
＝2839×1001－2839＋704
＝2839×1001－（2839－704）
∵2839－704＝2135 是 7 的倍数，所以 2839704 也是 7 的倍数；2135 不是 11（13）的倍数，所以2839704 也不是11（13）的倍数。
实际上，对于283904 这样一个七位数，要判断它是否为7（11 或13）的倍数，只需将它分为2839 和704 两个数，看它们的差是否被7（11 或13）整除即可。
132
又如判断42952 是否被 13 整除，可将 42952 分为 42 和 952 两个数，只要看952－42＝910 是否被13 整除即可。由于910＝13×70，所以13|910，
8．一个三位以上的整数能否被7（11 或13）整除，只须看这个数的末三位数字表示的三位数与末三位数字以前的数字所组成的数的差（以大减小）能否被7（11 或13）整除。
另法：将一个多位数从后往前三位一组进行分段。奇数段各三位数之和与偶数段各三位数之和的差若被7（11 或 13）整除，则原多位数也被7（11 或 13）整除。
如 3546725 可分为 3，546，725 三段。奇数段的和为 725＋3＝728，偶数段为546，二者的差为
728－546＝182＝7×26＝7×2×13
二、整除的几条性质
整除的以下性质是最基本的，也是最常用的。
（1）a｜a（a 为非零整数）；
（2）若a｜b，且b｜a，那么a＝b；
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（3）若c｜b，且b｜a，那么c｜a；
（4）若c｜a，且c｜b 那么c｜（a＋b）；若a≥b，那么c｜（a－b）；
（5）若m 是非零整数，且b｜a，则必有bm｜am；反之，若bm｜am，则必有b｜a；
（6）如果 b｜a，c｜a，且 b、c 没有除 1 以外的公共约数（此时称 b、c 互质），那么bc｜a。
对于（3），如由2｜4，4｜12，可推出2｜12。
对于（4），如由4｜36，4｜16，可推出4｜（36＋16），4｜（36－16）。
对于（5），如由3｜9 可推出 3×4｜9×4。反之，由 3×4｜9×4 可推出 3｜9。
对于（6），如由 3｜24，2｜24，且 3 和 2 之间没有 1 以外的公共约数（即 3 与2 互质），可推出3×2｜24。这一性质在很多情况下将被多次使用。
例1 求一个首位数字为5 的最小六位数，使这个数能被9 整除，且各位数字均不相同。
分析：由于要求被9 整除，可只考虑数字和、又由于要求最小的，故从第二位起应尽量用最小的数字排，并试验末位数字为哪个数时，六位数为9 的倍数。
解：一个以5 为首位的六位数5×××××，要想使它最小，只可能是501234（各
位数字均不相同）。
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但是 501234 的数字和为 5＋0＋1＋2＋3＋4＝15，并不是 9 的倍数，故只能将末位数字改为7。这时，5＋0＋1＋2＋3＋7＝18 是9 的倍数，故501237 是9 的倍数。
即501237 是以5 为首位，且是9 的倍数的最小的六位数。
例2 老师买了72 本相同的书，当时没有记住每本书的价格，只用铅笔记下了用掉的总钱数，回校后发现有两个数字已看不清了。你能帮助补上这两个数字吗？
（□13.7□元，□中为看不清的数字）。
分析：首先将□13.7□元化为分，这样总钱数就是□137□分（整数分）。由于每本书价格相同，所以72｜□137□。但72＝8×9，所以8 和9 都应整除□137□。
由于8 整除□137□，所以8｜37□。由此可知，当37□＝376 时，才有8｜
376。故原数为□1376。
又由于9 整除□1376，所以其数字和□＋1＋3＋7＋6 必为9 的倍数。
即 9｜（□＋17）。而□只能是1 到9 中的某个数，所以□只能是1。
因此，原数为11376分，即113.76元。
例 3 在 568 后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3、4、5 整除，且使这个数尽可能的小。
数分别被3、4、
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5 整除，故它应满足如下三个条件：
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（1）数字和（5＋6＋8＋a＋b＋c）是3 的倍数；
（3）末位c 为0 或5。
又因3｜（5＋6＋8＋a＋b＋c），即3｜（5＋6＋8＋a＋b＋0），所以当b＝2 时，3｜（5＋6＋8＋a＋2），a 可为0，3，6，9。
当b＝4 时，3｜（5＋6＋8＋a＋4），a 可为1，4，7。
当 b＝6 时，3｜（5＋6＋8＋a＋6），a 可为2，5，8。
当 b＝8 时，3｜（5＋6＋8＋a＋8），a 可为 0，3，6，9
当 b＝0 时，3｜（5＋6＋8＋a＋0），a 可为2，5，8。
例4 求能被26 整除的六位数□1993□。
分析与解：由于26＝2×13，所以所求六位数□1993□应分别被2 和13 整除。
被 2 整除的数个位只能是 0，2，4，6，8；所求六位数被13 整除，必有□19 与93□的差（93□－□19）是13 的倍数。
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（1）当原数个位为0 时，930＝71×13＋7，故□19 也应满足被13 除余 7。
□19＝100×□＋13＋6＝7×13×□＋9×□＋13＋6
＝13（7×□＋1）＋9×□＋6 即
9×□＋6＝13K＋7
∴9×□－1 应是13 的倍数，故□只能是3。即六位数为319930。
（2）当原数个位数为2 时，932＝71×13＋9，故□19 也应满足被13 除余9。
由于□19＝（7×□＋1）×13＋9×□＋6
∴9×□＋6＝13K＋9，故9×□－3 应是13 的倍数，□只能是9。即六位
数为919932。
（3）当原数个位数为4 时，934＝71×13＋11，故□19 也应被13 除余11。
由于□19＝（7×□＋1）×13＋9×□＋6
∴9×□＋6＝13K＋11，即9×□－5 应是13 的倍数，故□只能是2。
即六位数为219934。
（4）当原数个位数为6 时，936＝72×13，所以□19 也应被 13 整除。
由于□19＝（7×□＋1）×13＋9×□＋6
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∴9×□＋6＝13K，9×□－7＋13＝13K，故9×□－7 应是13 的倍数，□只能是8。即六位数为819936。
（5）当原数个位数为8 时，938＝72×13＋2，故□19 也应被13 除余2。
由于□19＝（7×□＋1）×13＋9×□＋6
∴9×□＋6＝13K＋2，即9×□＋4 应是13 的倍数，□只能是1。即六位
数为119938。
综合以上情况，满足条件的六位数有：
319930，919932，219934，819936，119938，共五个。
例5 将自然数1，2，3…依次写下去组成一个数12345678910111213…。如果
写到某个自然数时，所组成的数恰好第一次能被72 整除，问这个自然数是多少？
分析与解：由于要求恰好第一次能被72 整除，因此，应以从前往后的顺序去寻找。
如果先考虑被8 整除，那么末位应为偶数，且末三位数字组成的三位数应是8的倍数。
因而依次看三位数234，456，678，810，112，314，516，718，192，920，202，
212，122，222，
232，324，242，252，526，262，272，728，282，930，132，334，536，738，394…中哪些是8 的倍数。
139
如知456、112 为8 的倍数，就要再看123456 以及123456789101112 是否为
9 的倍数。由于123456 的数字和为21，123456789101112 的数字和为56，都不是9的倍数，所以不满足题目的条件。满足条件的数要在其它8 的倍数中寻找。
象这样试验三位偶数能否被8 整除，速度较慢，由于被8 整除的数一定能被
4 整除，故只须对被4 整除的数（这种数极易看出）进行检验即可。
经检验，形如123456…，末三位为516，192、920，232、272、728 的自然数都不是9 的倍数。而当末三位为536 时，才满足题目的条件，即
123456789101112 (33343536)
恰被72 整除，故所求自然数为36。
现在换一种方法，先考虑被9 整除，再考虑被8 整除，由于数123456789101112…18192021…前九个数字之和为45，是9 的倍数，故在考察位数超过九的数是否被整除时，前九个数字可不再看；
接下来，由于101112131415161718 的数字之和为45，是9 的倍数，故在考
察位数超过27 位的数是否被9 整除时，前27 个数字可不再看；
1920212223242526 的数字之和为36，是9 的倍数，因而在考察位数超过43
位的数是否是9 的倍数时，前43 个数字可不再看；
272829303 的数字的之和为 36，是 9 的倍数，因而在考察位数超过 52 位的数
140
是否被9 整除时，前52 个数字可不再看；
141
1323 的数字和为 9，因而在考察位数超过56 位的数是否被9 整除时，前 56 个数字可不再看；
33343536 的数字和为 27，因而在考察位数超过63 位的数是否被 9 整除时，前63 个数字可不看。
以上做法把按自然数依次写下去组成的数分成若干段，各段的数字和均为
9 的倍数，即
123456789｜101112131415161718｜1920212223242526｜27｜2829303｜132333435｜36｜…
然后从中再看各段末三位数字组成的三位数是否为8 的倍数。
789、718、526、627、303、435 都不是 8 的倍数，但 536 是 8 的倍数。
即写到36 时，第一次恰好是72 的倍数。
这样做比先考虑被8 整除，后考虑被9 整除要快速简单得多。
习题十二
1．一个数是任何自然数的倍数，问这个数是几？一个数是任何自然数的约数，问这个数是几？
2．四位数5□5□能被5、6、7 整除，问这样的四位数应该是多少？
3．写出能被3、4、5 整除的最大三位数和最小的四位数。
140
4．一个无重复数字的五位数3□6□5，千位与十位数
字看不清了，但知这个
数是75 的倍数。问这种五位数有哪几个？
5．求一个能被11 整除且首位数字为7，其余各位数
字各不相同的最小六位
数。
6．六位数□1993□能被33 整除，这样的六位数是
多少？
7．前若干个自然数1，2，3…的乘积的最末13 位数都是零，问最后一个自然数最小应该是多少？
8．在一个两位数的两个数字中间加一个0，所得三位数比原数大8 倍。求这个两位数。
9．从1，2，3，4，5 中任取三个数，组成没有重复数字的三位数，在这些三位数中找出能同时被2 和9 整
除的数来。
10．四个小朋友恰好一个比一个大1 岁，他们年龄的乘积等于3024。问这四个孩子年龄各是多少？
五年级奥数专题-数的整除 如果整除a 除以不为零数b,所得的商为整数而余数为0,我们就说a 能被b 整除,或叫b 能整除a 。如果a 能被b 整除,那么,b 叫做a 的约数,a 叫做b 的倍数。 数的整除的特征： （1） 能被2整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是2、4、6、8、0,那么这个整数一定能被2整除。 （2） 能被3（或9）整除的数的特征：如果一个整数的各个数字之和能被3（或9）整除,那么这个整数一定能被3（或9）整除。 （3） 能被4（或25）整除的数的特征：如果一个整数的末两位数能被4（或25）整除,那么这个数就一定能被4（或25）整除。 （4） 能被5整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是0或5,那么这个整数一定能被5整除。 （5） 能被6整除的数的特征：如果一个整数能被2整除,又能被3整除,那么这个数就一定能被6整除。 （6） 能被7（或11或13）整除的数的特征：一个整数分成两个数,末三位为一个数,其余各位为另一个数,如果这两个数之差是0或是7（或11或13）的倍数,这个数就能被7（或11或13）整除。 （7） 能被8（或125）整除的数的特征：如果一个整数的末三位数能被8（或125）整除,那么这个数就一定能被8（或125）整除。 （8） 能被11整除的数的特征：如果一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差（大减小）能被11整除,那么它必能被11整除。 一、例题与方法指导 例1. 一个六位数23□56□是88的倍数,这个数除以88所得的商是_____或_____. 思路导航： 一个数如果是88的倍数,这个数必然既是8的倍数,又是11的倍数.根据8的倍数,它的末三位数肯定也是8的倍数,从而可知这个六位数个位上的数是0或8.而11的倍数奇偶位上数字和的差应是0或11的倍数,从已知的四个数看,这个六位数奇偶位上数字的和是相等的,要使奇偶位上数字和差为0,两个方框内填入的数字是相同的,因此这个六位数有两种可能 或又 23056088=2620 238568÷88=2711 所以,本题的答案是2620或2711. 例2. 123456789□□,这个十一位数能被36整除,那么这个数的个位上的数最小是_____. 思路导航：
五年级奥数讲义 第一讲 数的整除 一、学法指导 数的整除特性： （1）能被2（或5）、3(或9)整除的数的特征（自己回忆整理）。 （2）能被4（或25）整除的数的特征：如果一个数的末两位数能被4（或25）整除，这个数就能被4（或25）整除。 （3）能被8（或125）整除的数的特征：如果一个数的末三位能被8（或125）整除这个数就能被（或）125整除。 （4）能被11整除的数的特征：如果一个整数奇数位数字与偶数位数字和的差能被11整除，那么这个数就能被11整除。 （5）能被7、11、13整除的数的特征：一个整数末三位与末三位以前的数的差（大减小）能被7（11或13）整除，那么这个数就能被7（11或13）整除。 补充结论： 1.abcabc 能被7、11、13整除。 2.如果数a 能同时被数b 、c 整除，而且b 、c 互质，那么a 就能被b 、c 的乘积整除。举例：比如能被72整除的数的特征，就是这个数能同时被8、9整除。因为72=8×9，而8、9互质，根据上面的结论，一个数能否被72整除，我们只要分析这个数能否同时被8和9整除就可以了。 有了这个结论，我们研究整除特性的范围就被大大地扩展，很多很多我们没学过的数的整除特征，都可以据此找到规律了。如能被20，26，28，45，91，99整除的数的特征等。我们研究整除特性有了有利的工具。 二、例题： 例1、 整数6427B A 能被72整除，这个数有那些可能？ 例2、 四位数Y X 47能被18整除，要使这个四位数尽可能小，那么这个四位数是
多少？ 例3、在1992后面补上三个数字，组成一个七位数，使它分别能被2、3、5、7整除，这个七位数最小是多少？ 例4、一个六位数B A1997，能被99整除，A和B各是多少？ 例5、在532后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3、4、5整除，这样的六位数中最小的是□□□□□□。 例6、已知45|Y X1993,求所有满足条件的六位数？ 三、练习 A卷、基本能力训练 154能被72整除，求X+Y是多少？ 1、XY 2、1997□□□能被4、5、6整除，那么这个七位数最小是多少？ 3、一个能被11整除的最小四位数，去掉它的千位上和个位上的数字以后，是一个同时能被2、3、5整除的最大的两位数。这个四位数是□□□□。 4、在 5、 6、7的公倍数中，是五位数且最小的是________。
整除 整除是整数问题中一个重要的基本概念.如果整数a除以自然数b，商是整数且余数为0，我们就说a能被b整除，或b能整除a，或b整除a，记作b丨a.此时，b是a的一个因数（约数），a是b的倍数. 1.整除的性质 性质1 如果a和b都能被m整除，那么a+b，a-b也都能被m整除（这里设a>b）. 例如：3丨18，3丨12，那么3丨（18+12），3丨（18-12）. 性质2如果a能被b整除，b能被c整除，那么a能被c整除。 例如： 3丨6，6丨24，那么3丨24. 性质3如果a能同时被m、n整除，那么a也一定 能被m和n的最小公倍数整除. 例如：6丨36，9丨26，6和9的最小公倍数是18，18丨36. 如果两个整数的最大公约数是1，那么它们称为互质的. 例如：7与50是互质的，18与91是互质的. 性质4整数a，能分别被b和c整除，如果b与c互质，那么a能被b×c整除. 例如：72能分别被3和4整除，由3与4互质，72 能被3与4的乘积12整除. 性质4中，“两数互质”这一条件是必不可少的.72分别能被6和8整除，但不能被乘积48整除，这就是因为6与8不互质，6与8的最大公约数是2. 性质4可以说是性质3的特殊情形.因为b与c互 质，它们的最小公倍数是b×c.事实上，根据性质4，我们常常运用如下解题思路：要使a被b×c整除，如果b与c互质，就可以分别考虑，a被b整除与a被c整除. 能被2，3，4，5，8，9，11整除的数都是有特征的，我们可以通过下面讲到的一些特征来判断许多数的整除问题. 2.数的整除特征 （1）能被2整除的数的特征： 如果一个整数的个位数是偶数，那么它必能被2整除. （2）能被5整除的数的特征： 如果一个整数的个位数字是0或5，那么它必能被5整除. （3）能被3（或9）整除的数的特征： 如果一个整数的各位数字之和能被3（或9）整除，那么它必能被3（或9）整除.
数的整除（1）性质、特征、奇偶性 【知识要点】： 整除性质：（1）如果数a、b都能被c整除，那么它们的和（a+b）或差（a－b）也能被c整除。 （2）如果数a能被自然数b整除，自然数b能被自然数c整除，则数a必能被数c整除。 （3）若干个数相乘，如其中有一个因数能被某一个数整除，那么，它们的积也能被这个数整除。 （4）如果一个数能被两个互质数中的每一个数整除，那么，这个数能被这两个互质数的积整除。反之，若一个数能被两个互质数的积整除，那么这个数能分别被这两个互质数整除。 整除特征：（1）若一个数的末两位数能被4（或25）整除，则这个数能被4（或25）整除。 （2）若一个数的末三位数能被8（或125）整除，则这个数能被8（或125）整除。 （3）若一个数的各位数字之和能被3（或9）整除，则这个数能被3（或9）整除。 （4）若一个数的奇数位数字和与偶数数字和之差（以大减小）能被11整除，则这个数能被11整除。 （5）若一个数的末三位数字所表示的数与末三位以前的数字所表示的数之差（大数减小数）能被7（或13）整除，则这个数能被7（或13）
整除。 奇偶性：（1）奇数±奇数=偶数（2）偶数±偶数=偶数（3）奇数±偶数=奇数（4）奇数×奇数=奇数（5）偶数×偶数=偶数（6）奇数×偶数=偶数（7）奇数÷奇数=奇数（8）… 【典型例题】 例1：一个三位数能被3整除，去掉它的末尾数后，所得的两位数是17的倍数，这样的三位数中，最大是几？ 例2：1～200这200个自然数中，能被6或8整除的数共有多少个？
例3：任意取出1998个连续自然数，它们的总和是奇数还是偶数？ 例4：有“1”，“2”，“3”，“4”四张卡片，每次取出三张组成三位数，其中偶数有多少个？
数的整除练习题及答案 1. 在自然数里，最小的质数是（），最小的合数是（），最小的奇数是（），最小的自然数是（）。 2. 在1，2，9这三个数中，（）既是质数又是偶数，（）既是合数又是奇数，（）既不是质数也不是合数。 3. 10能被0.5（），10能被5（）。 4. a÷b=4（a，b都是非0自然数），a是b的（）数，b是a的（）数。 5. 自然数a的最小因数是（），最大因数是（），最小倍数是（）。 6. 20以内不是偶数的合数有（），不是奇数的质数有（）。 7. 同时是2，3，5的倍数的最小三位数是（），最大三位数是（）。 8. 18和30的最大公因数是（），最小公倍数是（）。 9. 102分解质因数是（）。 10. 数a和数b是互质数，它们的最小公倍数是最大公因数的（）倍。 11. 在1到10之间的十个数中，（）和（）这两个数既是合数又是互质数；（）和（）这两个数既是奇数又是互质数；（）和（）这两个数既是质数又是互质数；（）和（）这两个数一个是质数，一个是合数，它们是互质数。 12. 在6，9，15，32，45，60这六个数中，3的倍数的数是（）；含有因数5的数是（）；既是2的倍数又是3的倍数的数是（）；同时是3和5的倍数的数是（）。 13. 28的因数有（），50以内13的倍数有（）。 14. 一位数中，最大的两个互质合数的最小公倍数是（）。 15. 在自然数中，最小的质数与最小的奇数的和是（），最小的合数与最小的自然数的差是（）。 16. 256 的分数单位是（），它减少（）个这样的分数单位是最小的质数，增加（）个这样的分数单位是最小的合数。 17. 493至少增加（）才是3的倍数，至少减少（）才有因数5，至少增加（）才是2的倍数。 18. 把4.87的小数点向左移动三位，再向右移动两位后，这个数是（）。 19. 一个最简真分数的分子是质数，分子与分母的积是48，这个最简真分数是（）。 20. A=2×2×3×7，B=2×2×2×7，A和B的最大公因数是（），最小公倍数是（）。 21. 一个数的最大因数是36，这个数是（），把它分解质因数是（ ）。 22. 三个质数的最小公倍数是231，这三个质数是（），（），（）。 23. 从0，2，3，6，8和5这六个数中选四个数，组成的同时是2，3，5的倍数的最大四位数是（）。
五年级下奥数专题：整数的整除 数的整除的特征 （1）能被2整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是2、4、6、8、0，那么这个整数一定能被2整除。 （2）能被3（或9）整除的数的特征：如果一个整数的各个数字之和能被3（或9）整除，那么这个整数一定能被3（或9）整除。 （3）能被4（或25）整除的数的特征：如果一个整数的末两位数能被4（或25）整除，那么这个数就一定能被4（或25）整除。 （4）能被5整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是0或5，那么这个整数一定能被5整除。 （5）能被6整除的数的特征：如果一个整数能被2整除，又能被3整除，那么这个数就一定能被6整除。 （6）能被7（或11或13）整除的数的特征：一个整数分成两个数，末三位为一个数，其余各位为另一个数，如果这两个数之差是0或是7（或11或13）的倍数，这个数就能被7（或11或13）整除。 （7）能被8（或125）整除的数的特征：如果一个整数的末三位数能被8（或125）整除，那么这个数就一定能被8（或125）整除。 （8）能被11整除的数的特征：如果一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差（大减小）能被11整除，那么它必能被11整除。 过关测试 一、选择题 1、某个正数分别与 73，59和2 3相乘，所得的积均为整数，则这个最小数为( )。 A 、3211 B 、3123 C 、70 D 、140 2、一个五位数，各个数位上的数字互不相同，它能被3，5，7，11整除，这样的数中最大的是（ ）。 A 、98175 B 、98765 C 、98675 D 、98715 3、王老师为班级买了28个价格相同的圆规，共付人民币1□6.□8元，已知□处的数字相同，则每个圆规（ ）。 A 、4.16 元 B 、5.16元 C 、4.86元 D 、4.51元 4、所有数字都是2且能被 6 100666个整除的最小自然数是（ ）位数。 A 、100 B 、200 C 、300 D 、400 5、2005年11月11日20时在北京举行了距29届北京奥运会还有1000天的纪念活动。事实上这次纪念活动是为期一天的，到11月12日20时截止，也就是说11月12日才是真正距北京奥运会的日子。那么北京奥运会将在2008年8月（ ）日20时开幕。 A 、7 B 、8 C 、9 D 、10 二、填空题 6、y x 532能同时被2、3、5整除，则所有满足条件的五位数为 。 7、四位数□□47能被55整除，则所有这样的四位数有 。 8、四位数b a 47能被18整除，只要使这个四位数尽可能小，那么a= ，b= 。 9、在1~100这100个自然数中，不能被3或11整除的数有 个。 10、用2、8、8、6四个数字可以组成 个不同的四位数；所有这些四位数的平均值是 。 11、甲乙两数能被7整除，且甲数的61和乙数的5 2相等，甲乙两数的差最小是 。 12、有2006个不同的自然数（不包括0），它们当中的任意两个数的和都是2的倍数，任意三个数的和都是3的倍数。为了使这2006个数的和尽可能小，那么这2006个数中最大的一个是 。 13、一次速算比赛共出了100道题，李明每分钟做3道题，张强每做5道题比李明少用6秒钟．那么张强做完100道题时，李明已做完 道题。
小学五年级奥数：数的整除知识点汇总+例题解析 数的整除 数的整除问题，内容丰富，思维技巧性强。它是小学数学中的重要课题，也是小学数学竞赛命题的内容之一。 一、基本概念和知识 1.整除——约数和倍数 例如：15÷3=5，63÷7=9 一般地，如a、b、c为整数，b≠0，且a÷b=c，即整数a除以整除b（b不等于0），除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0），我们就说，a能被b整除（或者说b能整除a）。记作b｜a.否则，称为a不能被b整除，（或b不能整除a），记作ba。 如果整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a 的约数。 例如：在上面算式中，15是3的倍数，3是15的约数；63是7的倍数，7是63的约数。
2.数的整除性质 性质1：如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c整除。 即：如果c｜a，c｜b，那么c｜（a±b）。 例如：如果2｜10，2｜6，那么2｜（10＋6）， 并且2｜（10—6）。 性质2：如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a.即：如果bc｜a，那么b｜a，c｜a。 性质3：如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c 的积能整除a。 即：如果b｜a，c｜a，且（b，c）=1，那么bc｜a。 例如：如果2｜28，7｜28，且（2，7）=1, 那么（2×7）｜28。 性质4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。 即：如果c｜b，b｜a，那么c｜a。 例如：如果3｜9，9｜27，那么3｜27。
3.数的整除特征 ①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数.“特征”包含两方面的意义：一方面，个位数字是偶数（包括0）的整数，必能被2整除；另一方面，能被2整除的数，其个位数字只能是偶数（包括0）.下面“特征”含义相似。 ②能被5整除的数的特征：个位是0或5。 ③能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。 ④能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。 例如：1864=1800＋64，因为100是4与25的倍数，所以1800是4与25的倍数.又因为4｜64，所以1864能被4整除.但因为2564，所以1864不能被25整除. ⑤能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。 例如：29375＝29000＋375，因为1000是8与125的倍数，所以29000是8与125的倍数.又因为125｜375，所以29375能被125整除.但因为8375，所以829375。
数的整除性 一、填空题 1. 四位数“3AA1”是9的倍数，那么A=_____. 2. 在“25□79这个数的□内填上一个数字,使这个数能被11整除,方格内应填_____. 3. 能同时被2、3、5整除的最大三位数是_____. 4. 能同时被2、5、7整除的最大五位数是_____. 5. 1至100以内所有不能被3整除的数的和是_____. 6. 所有能被3整除的两位数的和是______. 7. 已知一个五位数□691□能被55整除,所有符合题意的五位数是_____. 8. 如果六位数1992□□能被105整除,那么它的最后两位数是_____. 9. 42□28□是99的倍数,这个数除以99所得的商是_____. 10. 从左向右编号为1至1991号的1991名同学排成一行,从左向右1至11报数,报数为11的同学原地不动,其余同学出列;然后留下的同学再从左向右1至11报数,报数为11的留下,其余同学出列;留下的同学第三次从左向右1至11报数,报到11的同学留下,其余同学出列,那么最后留下的同学中,从左边数第一个人的最初编号是_____号. 二、解答题 11. 173□是个四位数字.数学老师说：“我在这个□中先后填入3个数字, 所得到的3个四位数,依次可被9、11、6整除.”问：数学老师先后填入的3个数字的和是多少？ 12．在1992后面补上三个数字，组成一个七位数，使它们分别能被2、3、5、11整除，这个七位数最小值是多少？
13．在“改革”村的黑市上,人们只要有心,总是可以把两张任意的食品票换成3张其他票券,也可以反过来交换.试问,合作社成员瓦夏能否将100张黄油票换成100张香肠票,并且在整个交换过程中刚好出手了1991张票券？ 14．试找出这样的最小自然数,它可被11整除,它的各位数字之和等于13.
6、整除及数字整除特征 【数字整除特征】 例1 42□28□是99的倍数，这个数除以99所得的商是__。 （上海市第五届小学数学竞赛试题） 讲析：能被99整除的数，一定能被9和11整除。 设千位上和个位上分别填上数字a、b，则：各位上数字之和为[16+（a+b）]。要使原数能被9整除，必须使[16+（a+b）]是9的倍数，即（a+b）之和只能取2或11。 又原数奇位上的数字和减去偶位上数字和的差是（8+a-b）或（b-a-8），要使原数能被11整除，必须使（8+a-b）或（b-a-8）是11的倍数。经验证，（b-a-8）是11的倍数不合。 所以a-b=3。 又a+b=2或11，可求得a=7，b=4。 从而很容易求出商为427284÷99=4316。 例2 某个七位数1993□□□能同时被2、3、4、5、6、7、8、9整除，那么它的最后三位数字依次是__。 （1993年全国小学数学奥林匹克初赛试题） 讲析：因为2、3、4、5、6、7、8、9的最小公倍数是2520。 而1993000÷2520=790余2200。 于是再加上（2520-2200）=320时，就可以了。所以最后三位数字依次是3、2、0。 例3 七位数175□62□的末位数字是__的时候，不管千位上是0到9中的哪一个数字，这个七位数都不是11的倍数。 （上海市第五届小学数学竞赛试题） 讲析：设千位上和个位上的数字分别是a和b。则原数奇位上各数字和与偶位上各数字之和的差是[3+（b-a）]或[（a-b）-3]。 要使原数是11的倍数，只需[3+（b-a）]或[（a-b）-3]是11的倍数。 则有 b-a=8，或者a-b=3。 ①当 b-a=8时，b可取9、8； ②当 a-b=3时，b可取6、5、4、3、2、1、0。
整数的整除 数的整除的特征 （1）能被2整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是2、4、6、8、0，那么这个整数一定能被2整除。 （2）能被3（或9）整除的数的特征：如果一个整数的各个数字之和能被3（或9）整除，那么这个整数一定能被3（或9）整除。 （3）能被4（或25）整除的数的特征：如果一个整数的末两位数能被4（或25）整除，那么这个数就一定能被4（或25）整除。 （4）能被5整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是0或5，那么这个整数一定能被5整除。 （5）能被6整除的数的特征：如果一个整数能被2整除，又能被3整除，那么这个数就一定能被6整除。 （6）能被7（或11或13）整除的数的特征：一个整数分成两个数，末三位为一个数，其余各位为另一个数，如果这两个数之差是0或是7（或11或13）的倍数，这个数就能被7（或11或13）整除。 （7）能被8（或125）整除的数的特征：如果一个整数的末三位数能被8（或125）整除，那么这个数就一定能被8（或125）整除。 （8）能被11整除的数的特征：如果一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差（大减小）能被11整除，那么它必能被11整除。 过关测试 一、选择题 1、某个正数分别与 73，59和2 3相乘，所得的积均为整数，则这个最小数为( )。 A 、3211 B 、3123 C 、70 D 、140 2、一个五位数，各个数位上的数字互不相同，它能被3，5，7，11整除，这样的数中最大的是（ ）。 A 、98175 B 、98765 C 、98675 D 、98715 3、王老师为班级买了28个价格相同的圆规，共付人民币1□6.□8元，已知□处的数字相同，则每个圆规（ ）。 A 、4.16 元 B 、5.16元 C 、4.86元 D 、4.51元 4、所有数字都是2且能被 6 100666个整除的最小自然数是（ ）位数。 A 、100 B 、200 C 、300 D 、400 5、20XX 年11月11日20时在北京举行了距29届北京奥运会还有1000天的纪念活动。事实上这次纪念活动是为期一天的，到11月12日20时截止，也就是说11月12日才是真正距北京奥运会的日子。那么北京奥运会将在20XX 年8月（ ）日20时开幕。 A 、7 B 、8 C 、9 D 、10 二、填空题 6、y x 532能同时被2、3、5整除，则所有满足条件的五位数为 。 7、四位数□□47能被55整除，则所有这样的四位数有 。 8、四位数b a 47能被18整除，只要使这个四位数尽可能小，那么a= ，b= 。 9、在1~100这100个自然数中，不能被3或11整除的数有 个。 10、用2、8、8、6四个数字可以组成 个不同的四位数；所有这些四位数的平均值是 。 11、甲乙两数能被7整除，且甲数的61和乙数的5 2相等，甲乙两数的差最小是 。 12、有2006个不同的自然数（不包括0），它们当中的任意两个数的和都是2的倍数，任意三个数的和都是3的倍数。为了使这2006个数的和尽可能小，那么这2006个数中最大的一个是 。 13、一次速算比赛共出了100道题，李明每分钟做3道题，张强每做5道题比李明少用6秒钟．那么张强做完100道题时，李明已做完 道题。
数的整除（1）性质、特征、奇偶性 知识要点】：整除性质：（1）如果数a、b都能被c整除，那么它们的和（a+b）或差（a—b）也能被c整除。 2）如果数a 能被自然数b 整除，自然数b 能被自然数c 整除，则数 a 必能被数c 整除。 3）若干个数相乘，如其中有一个因数能被某一个数整除，那么，它 们的积也能被这个数整除。 4）如果一个数能被两个互质数中的每一个数整除，那么，这个数能 被这两个互质数的积整除。反之，若一个数能被两个互质数的积整除，那么这个数能分别被这两个互质数整除。 整除特征：（1）若一个数的末两位数能被4（或25）整除，则这个数 能被4（或25）整除。 2）若一个数的末三位数能被8（或125）整除，则这个数能被8（或125）整除。 3）若一个数的各位数字之和能被3（或9）整除，则这个数能被3 或9）整除。 4）若一个数的奇数位数字和与偶数数字和之差（以大减小）能被11 整除，则这个数能被11 整除。 5）若一个数的末三位数字所表示的数与末三位以前的数字所表示的 数之差（大数减小数）能被7（或13）整除，则这个数能被7（或13） 整除。
奇数±奇数 =偶数（ 2）偶数±偶数 =偶数（ 3）奇数 ±偶 奇数X 奇数二奇数（5）偶数X 偶数二偶数（6）奇数X 偶 典型例题】 例 1：一个三位数能被 3 整除，去掉它的末尾数后，所得的两位数是 17 的倍数，这样的三位数中，最大是几？ 例2: 1?200这200个自然数中，能被6或8整除的数共有多少个? 奇偶性：（1） 数 =奇数（ 4） 数=偶数（ 7） 奇数一奇数二奇数（8）…
例3 ：任意取出1998 个连续自然数，它们的总和是奇数还是偶数？ 例4：有“ 1”，“ 2 ”，“ 3 ”4”四张卡片，每次取出三张组成三位数，其中偶数有多少个？
小学五年级奥数：数的整除知识点汇总+例题解析(2).DOC 数的整除问题;内容丰富;思维技巧性强。它是小学数学中的重要课题;也是小学数学竞赛命题的内容之一。 一、基本概念和知识 1.整除——约数和倍数 例如：15÷3=5;63÷7=9 一般地;如a、b、c为整数;b≠0;且a÷b=c;即整数a除以整除b（b不等于0）;除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0）;我们就说;a能被b整除（或者说b能整除a）。记作b｜a.否则;称为a不能被b整除;（或b不能整除a）;记作ba。 如果整数a能被整数b整除;a就叫做b的倍数;b就叫做a的约数。 例如：在上面算式中;15是3的倍数;3是15的约数;63是7的倍数;7是63的约数。 2.数的整除性质 性质1：如果a、b都能被c整除;那么它们的和与差也能被c整除。 即：如果c｜a;c｜b;那么c｜（a±b）。
例如：如果2｜10;2｜6;那么2｜（10＋6）; 并且2｜（10—6）。 性质2：如果b与c的积能整除a;那么b与c都能整除a.即：如果bc｜a;那么b｜a;c｜a。 性质3：如果b、c都能整除a;且b和c互质;那么b与c的积能整除a。 即：如果b｜a;c｜a;且（b;c）=1;那么bc｜a。 例如：如果2｜28;7｜28;且（2;7）=1, 那么（2×7）｜28。 性质4：如果c能整除b;b能整除a;那么c能整除a。 即：如果c｜b;b｜a;那么c｜a。 例如：如果3｜9;9｜27;那么3｜27。 3.数的整除特征 ①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数.“特征”包含两方面的意义：一方面;个位数字是偶数（包括0）的整数;必能被2整除;另一方面;能被2整除的数;其个位数字只能是偶数（包括0）.下面“特征”含义相似。
第一讲数的整除 学生黄文浩学生年级六年级学科数学授课教师马老师上课日期2016年 9 月24 日时段 核心容数的整除课型一对一教学目标 1.熟记2、5、3的倍数的特征。 2.灵活掌握8、9、11的倍数的特征。 3.综合运用所学知识灵活解决问题。 重难点掌握2、5、3、8、9、11的倍数的特征，解决问题。 【课首沟通】 了解学生对2、5、3的倍数的特征的掌握情况； 适当的向学生提出问题4、8、9、11的倍数的特征； 引起学生的好奇心，激发学生学习探讨的兴趣。 【知识导图】 精准诊查
【课首小测】 1.人们口上经常所说的单数、双数是什么意思？（口述回答） 2.从下面四数字卡中取出三，按要求组成三位数。（有几个写几个） 奇数： （ ） 偶数：（ ） 2的倍数：（ ） 3的倍数：（ ） 5的倍数：（ ） 5的倍数：（ ） 既是2又是3的倍数：（ ） 【知识梳理】 能被2整除的数：个位数是0、2、4、6、8。 能被5整除的数：个位数是0或5。 自然数中，是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫做奇数 导学一 2、5的倍数的特征 1.判断题。 （1）两个奇数的和不一定是偶数。（ ） （2）个位上是0的数既是2的倍数，又是5的倍数。（ ） 2.填一填。 （1）2的倍数中最小的三位数是（ ）；最大的三位数是（ ）。 （2）5的倍数中最小的两位数是（ ）；最大的两位数是（ ）。 （3）既是2的倍数又是5的倍数的最大的两位数是（ ）。 奇数＋奇数＝ 偶数＋偶数＝ 奇数－奇数＝ 奇数＋偶数＝ 奇数×奇数＝ 奇数×偶数＝ 3.选择题 （1）能被5整除的数，个位上是（ ）。
第06讲数的整除 知识点、重点、难点 两个整除b a ,，0 b ，若a 除以b 所得商为c ，余数为0，我们就称a 能被b 整除.能被2整除的数的特征是：一个数的个位数字是偶数，则这个数能被2整除；能被5整除的数的特征是：一个数的个位数字是0或5，则这个数能被5整除；能被3或9整除的数的特征是：一个数的各位数字之和能被3或9整除，则这个数能被3或9整除； 能被4或25整除的数的特征是：一个数的末两位数能被4或25整除，则这个数能被4或25整除； 能被8或125整除的数的特征是：一个数的末三位数能被8或125整除，则这个数能被8或125整除. 例题精讲 例1判断238、345、582、1650、4396这五个数，哪些能被2整除，哪些能被5整除.练习1判断144、295、376、1980、5466、8855、34180、42952、8950、775这十个数，哪些能被2整除，哪些能被5整除，哪些能同时被2、5整除. 例2在四位数67□4中，□中分别填什么数字，才能分别被9、8、4整除？练习2在四位数58□2中，□中分别填什么数字，才能分别被3、8、4整除？例3用4、7、6三张数字卡片能组成多少个能被2整除的三位数？写出这些数.练习3用2、4、6、8这四个数字写成的没有重复数字的三位数中，有哪些数能被3整除.
例4同时能被2、3、5整除的最大四位数是____________. A B能被2、3、5整除，求数字A与B. 例5要使六位数3587 例6个位数是5，且能被9整除的三位数共有多少个？ 精选习题 1.判断132、158、710、195、496、9760、765、3335、10100、424这十个数，哪些能被2整除，哪些能被3整除，哪些能被5整除. 2.在下面的空格里填上合适的数: (1)87□□能被9、25整除； (2)63□□能被2、3、4、5、9整除. 3.用3、0、4、5这四个数字组成的没有重复数字的四位数中，能同时被2、3、5整除的数有哪些？ A A能同时被4、9整除，求这个五位数. 4.五位数743
， 第十二讲 整除问题（一） 在学习整数除法时，我们已经知道： 被除数＝除数×商数＋余数 这里要求除数不为零，且余数小于除数。当两个整数 a 和 b （b ≠0），a 被 b 除的余数为零时（商为整数），则称 a 被 b 整除或者 b 整除 a ，也把 a 叫作 b 的倍数，b 叫 4a 的约数，记作 b ｜a 。 如果a 被b 除所得的余数不为零，则称a 不能被b 整除，或b 不整除a 很显然，1 是任何整数的约数，即对于任何整数 a ，总有 1|a ，0 是任何非零 整数的倍数，a ≠0，a 为整数，则 a ｜0。 一般来说，整数 a 是否能被整数 b 整除，只要真正作除法就可判断。但是对于一些特殊数，可以有比较简单的判断办法。 一、数的整除的特征 1．前面我们已学过奇数与偶数，我们正是以能否被 2 整除来区分偶数与奇数的。因此，有下面的结论：末位数字为 0、2、4、6、8 的整数都能被 2 整除。偶数总可表为 2k ，奇数总可表为 2k ＋1（其中 k 为整数）。 2．末位数字为零的整数必被 10 整除。这种数总可表为 10k （其中 k 为整数）。 3．末位数字为 0 或 5 的整数必被 5 整除，可表为 5k （k 为整数）。
4．末两位数字组成的两位数能被4（25）整除的整数必被4（25）整除。 如 1996＝1900＋96，因为 100 是 4 和 25 的倍数，所以 1900 是 4 和 25 的倍数，只要考察96 是否4 或25 的倍数即可。 由于4｜96 能被 25 整除的整数，末两位数只可能是00、25、50、75。能被 4 整除的整数，末两位数只可能是00，04，08，12，16，20，24，28，32，36，40，44，48，52，56，60，64，68，72，76，80，84，88，92，96，不可能是其它的数。 5．末三位数字组成的三位数能被8（125）整除的整数必能被8（125）整除。 由于1000＝8×125，因此，1000 的倍数当然也是8 和125 的倍数。 如判断765432 是否能被8 整除。 因为765432＝765000＋432 显然8|765000，故只要考察8是否整除432即可。由于432＝8×54，即8|432，所以8|765432。 能被 8 整除的整数，末三位只能是000，008，016，024，…984，992。 由于125×1＝125，125×2＝250，125×3＝375；
数的整除（1）性质、特征、奇偶性 教室：姓名：学号： 【知识要点】： 整除性质：（1）如果数a、b都能被c整除，那么它们的和（a+b）或差（a－b）也能被c整除。 （2）如果数a能被自然数b整除，自然数b能被自然数c整除，则数a必能被数c整除。（3）若干个数相乘，如其中有一个因数能被某一个数整除，那么，它们的积也能被这个数整除。 （4）如果一个数能被两个互质数中的每一个数整除，那么，这个数能被这两个互质数的积整除。反之，若一个数能被两个互质数的积整除，那么这个数能分别被这两个互质数整除。整除特征：（1）若一个数的末两位数能被4（或25）整除，则这个数能被4（或25）整除。（2）若一个数的末三位数能被8（或125）整除，则这个数能被8（或125）整除。 （3）若一个数的各位数字之和能被3（或9）整除，则这个数能被3（或9）整除。 （4）若一个数的奇数位数字和与偶数数字和之差（以大减小）能被11整除，则这个数能被11整除。 （5）若一个数的末三位数字所表示的数与末三位以前的数字所表示的数之差（大数减小数）能被7（或13）整除，则这个数能被7（或13）整除。 奇偶性：（1）奇数±奇数=偶数（2）偶数±偶数=偶数（3）奇数±偶数=奇数（4）奇数×奇数=奇数（5）偶数×偶数=偶数（6）奇数×偶数=偶数（7）奇数÷奇数=奇数（8）…【典型例题】 例1：一个三位数能被3整除，去掉它的末尾数后，所得的两位数是17的倍数，这样的三位数中，最大是几？ 解：在两位数中，是17的倍数的数中最大的为17×5=85（17×6=102）.于是所求数的前两位数字为85.因为8+5=13，故所求数的个位数字为2、5、8时，该数能被3整除，为使该数最大，其个位数字应为8.最大三位数是858. 例2：1～200这200个自然数中，能被6或8整除的数共有多少个？ 解：1～200中，能被6整除的数共有33个（200÷6=33…），能被8整除的数共有25个（200÷8=25）.但［6，8］=24，200÷24=8……8，即1～200中，有8个数既被6整除，又被8整除。故总共有：33+25－8=50。
专题一数的整除 数的整除问题，内容丰富，思维技巧性强。它是小学数学中的重要课题，也是小学数学竞赛命题内容之一。 一、基本概念和知识 1.整除 例如：15÷3=5，63÷7=9 一般地，如a、b、c为整数，b≠0，且a÷b=c，即整数a除以整除b（b不等于0），除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0），我们就说，a 能被b整除（或者说b能整除a） 7是63的约数。 2.数的整除性质 性质1：如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c整除。 例如：如果2｜10，2｜6，那么2｜（10＋6），并且2｜（10—6）。性质2：如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a. 即：如果bc｜a，那么b｜a，c｜a。 性质3：如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c的积能整除a。 即：如果b｜a，c｜a，且（b，c）=1，那么bc｜a。 例如：如果2｜28，7｜28，且（2，7）=1, 那么（2×7）｜28。 性质4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。 即：如果c｜b，b｜a，那么c｜a。 例如：如果3｜9，9｜27，那么3｜27。 3.数的整除特征
①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数. ②能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。 ③能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。 ④能被5整除的数的特征：个位是0或5。 ⑤能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。 ⑥能被11整除的数的特征：这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的 数字之和的差（大减小）是0或11的倍数。 ⑦能被7（11或13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的 数字所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）整除。 例题1. 四位数“3AA1”是9的倍数，那么A=_____。（小五奥数） 解析：已知四位数3AA1正好是9的倍数,则其各位数字之和3+A+A+1一定是9的倍数,可能是9的1倍或2倍,可用试验法试之。 练习（1）在“25□79这个数的□内填上一个数字,使这个数能被11整除, 方格内应填_____。（小五奥数） 练习（2）已知一个五位数□691□能被55整除,所有符合题意的五位_____。 例题 2. 1至100以内所有不能被3整除的数的和是_____。 解析：先求出1~100这100个数的和,再求100以内所有能被3整除的数的和,以上二和之差就是所有不能被3整除的数的和。 (1+2+3+…+100)-（3+6+9+12+…+99） =(1+100)÷2?100-(3+99)÷2?33 =5050-1683=3367 练习所有能被3整除的两位数的和是______。 例题3. 能同时被2、3、5整除的最大三位数是_____。 练习能同时被2、5、7整除的最大五位数是_____。 例题4. 173□是个四位数字，数学老师说：“我在这个□中先后填入3个数字, 所得到的3个四位数,依次可被9、11、6整除。”问：数学老师先后填入的3个
第2讲数的整除特征（二） 知识网络 上一章我们已经学习了被2、3、5、8、9、25、125等整除的数的特征和一些整除的基本性质，但作为奥林匹克竞赛仅仅掌握以上知识还不够，这一讲继续学习有关数的整除知识。 （1）能被7、11和13整除的数的特征：如果一个数的末三位数字所表示的数与末三以前的数字所表示的差（一定要大数减小数）能被7、11或13整除，那么这个数就能被7、11或13整除。 （2）能被11整除的数的特征还有：一个数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小）是11的倍数。 重点·难点 同学们在牢记上面整除的数的特征的同时，重点应弄清楚能被7、11、13整除的数为什么有上面的特征。 学法指导 上面数的整除特征可以结合例子来理解。例如：443716，判断它能否被7、11、13整除的方法是：716－443=273。因为273能被7整除，所以443716能被7整除；因为273不能被11整除，所以443716不能被11整除；因为273能被13整除，所以443716能被13整除。记忆要理论联系实际。 经典例题 [例1]用1、9、8、8这四个数字能排成几个被11除余8的四位数？ 思路剖析 能被11整除的数的特征是这个数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除。一个数要能被11除余8，那么这样的数加上3后，就能被11整除了，于是得到被11除余8的数的特征是：将偶位数字相加得到一个和数，再将奇位数字相加再加上3，得到另一个和数，如果这两个和数之差能被11整除，那么这个数就是被11除余8的数。 解答 要把1、9、8、8排成被11除余8的四位数，可以把这四个数字分成两组，每组两个数字，其中一组作为千位和十位数，它们的和记作p，另外一组作为百位和个位数，它们之和加上3记作q，且p 和q的差能被11整除，满足要求的分组只可能是p=1+8=9，q=（9+8）+3=20，q－p=20－9=11，所以1988是被11除余8的四位数。 如果一个数被11除余8，那么在奇位的任意两介数字互换，或者在偶位的任意两个数字互换，得到的新数被11除也余8，因此除1988外，还有1889、8918与8819共四个被11除余8的四位数。 [例2]如果下面这个41位数□能被7整除，那中间方格内的数字是几? 思路剖析 对于数555555，由于555–555=0是7的倍数，根据能被7整除的数的特征，555555也能被7整 除；同理999999也能被7整除，所以和也能被7整除，所以我们可以把这个41位数分成几个数的和，其中部分能被7整除。
三年级奥数：数的整除性（一） 年级班姓名得分 一、填空题 1. 四位数“3AA1”是9的倍数，那么A=_____. 2. 在“25□79这个数的□内填上一个数字,使这个数能被11整除,方格内应填_____. 3. 能同时被2、3、5整除的最大三位数是_____. 4. 能同时被2、5、7整除的最大五位数是_____. 5. 1至100以内所有不能被3整除的数的和是_____. 6. 所有能被3整除的两位数的和是______. 7. 已知一个五位数□691□能被55整除,所有符合题意的五位数是_____. 8. 如果六位数1992□□能被105整除,那么它的最后两位数是_____. 9. 42□28□是99的倍数,这个数除以99所得的商是_____. 10. 从左向右编号为1至1991号的1991名同学排成一行,从左向右1至11报数,报数为11的同学原地不动,其余同学出列;然后留下的同学再从左向右1至11报数,报数为11的留下,其余同学出列;留下的同学第三次从左向右1至11报数,报到11的同学留下,其余同学出列,那么最后留下的同学中,从左边数第一个人的最初编号是_____号. 二、解答题 11. 173□是个四位数字.数学老师说：“我在这个□中先后填入3个数字, 所得到的3个四位数,依次可被9、11、6整除.”问：数学老师先后填入的3个数字的和是多少？ 12．在1992后面补上三个数字，组成一个七位数，使它们分别能被2、3、5、11整除，这个七位数最小值是多少？
13．在“改革”村的黑市上,人们只要有心,总是可以把两张任意的食品票换成3张其他票券,也可以反过来交换.试问,合作社成员瓦夏能否将100张黄油票换成100张香肠票,并且在整个交换过程中刚好出手了1991张票券？ 14．试找出这样的最小自然数,它可被11整除,它的各位数字之和等于13.