小波通用函数
Allnodes 计算树结点
appcoef 提取一维小波变换低频系数
appcoef2 提取二维小波分解低频系数
bestlevt 计算完整最佳小波包树
besttree 计算最佳(优)树
*biorfilt 双正交样条小波滤波器组
biorwavf 双正交样条小波滤波器
*centfrq 求小波中心频率
cgauwavf Complex Gaussian小波
cmorwavf coiflets小波滤波器
cwt 一维连续小波变换
dbaux Daubechies小波滤波器计算
dbwavf Daubechies小波滤波器 dbwavf(W) W='dbN' N=1,2,3,...,50 ddencmp 获取默认值阈值(软或硬)熵标准
depo2ind 将深度-位置结点形式转化成索引结点形式
detcoef 提取一维小波变换高频系数
detcoef2 提取二维小波分解高频系数
disp 显示文本或矩阵
drawtree 画小波包分解树(GUI)
dtree 构造DTREE类
dwt 单尺度一维离散小波变换
dwt2 单尺度二维离散小波变换
dwtmode 离散小波变换拓展模式
*dyaddown 二元取样
*dyadup 二元插值
entrupd 更新小波包的熵值
fbspwavf B样条小波
gauswavf Gaussian小波
get 获取对象属性值
idwt 单尺度一维离散小波逆变换
idwt2 单尺度二维离散小波逆变换
ind2depo 将索引结点形式转化成深度—位置结点形式
*intwave 积分小波数
isnode 判断结点是否存在
istnode 判断结点是否是终结点并返回排列值
iswt 一维逆SWT(Stationary Wavelet Transform)变换
iswt2 二维逆SWT变换
leaves Determine terminal nodes
mexihat 墨西哥帽小波
meyer Meyer小波
meyeraux Meyer小波辅助函数
morlet Morlet小波
nodease 计算上溯结点
nodedesc 计算下溯结点(子结点)
nodejoin 重组结点
nodepar 寻找父结点
nodesplt 分割(分解)结点
noleaves Determine nonterminal nodes
ntnode Number of terminal nodes
ntree Constructor for the class NTREE
*orthfilt 正交小波滤波器组
plot 绘制向量或矩阵的图形
*qmf 镜像二次滤波器
rbiowavf Reverse biorthogonal spline wavelet filters
read 读取二进制数据
readtree 读取小波包分解树
*scal2frq Scale to frequency
set
shanwavf Shannon wavelets
swt 一维SWT(Stationary Wavelet Transform)变换
swt2 二维SWT变换
symaux Symlet wavelet filter computation.
symwavf Symlets小波滤波器
thselect 信号消噪的阈值选择
thodes References
treedpth 求树的深度
treeord 求树结构的叉数
upcoef 一维小波分解系数的直接重构
upcoef2 二维小波分解系数的直接重构
upwlev 单尺度一维小波分解的重构
upwlev2 单尺度二维小波分解的重构
wavedec 单尺度一维小波分解
wavedec2 多尺度二维小波分解
wavedemo 小波工具箱函数demo
*wavefun 小波函数和尺度函数
*wavefun2 二维小波函数和尺度函数
wavemenu 小波工具箱函数menu图形界面调用函数
*wavemngr 小波管理函数
waverec 多尺度一维小波重构
waverec2 多尺度二维小波重构
wbmpen Penalized threshold for wavelet 1-D or 2-D de-noising wcodemat 对矩阵进行量化编码
wdcbm Thresholds for wavelet 1-D using Birge-Massart strategy wdcbm2 Thresholds for wavelet 2-D using Birge-Massart strategy wden 用小波进行一维信号的消噪或压缩
wdencmp De-noising or compression using wavelets
wentropy 计算小波包的熵
wextend Extend a vector or a matrix
*wfilters 小波滤波器
wkeep 提取向量或矩阵中的一部分
*wmaxlev 计算小波分解的最大尺度
wnoise 产生含噪声的测试函数数据
wnoisest 估计一维小波的系数的标准偏差
wp2wtree 从小波包树中提取小波树
wpcoef 计算小波包系数
wpcutree 剪切小波包分解树
wpdec 一维小波包的分解
wpdec2 二维小波包的分解
wpdencmp 用小波包进行信号的消噪或压缩
wpfun 小波包函数
wpjoin 重组小波包
wprcoef 小波包分解系数的重构
wprec 一维小波包分解的重构
wprec2 二维小波包分解的重构
wpsplt 分割（分解）小波包
wpthcoef 进行小波包分解系数的阈值处理
wptree 显示小波包树结构
wpviewcf Plot the colored wavelet packet coefficients.
wrcoef 对一维小波系数进行单支重构
wrcoef2 对二维小波系数进行单支重构
wrev 向量逆序
write 向缓冲区内存写进数据
wtbo Constructor for the class WTBO
wthcoef 一维信号的小波系数阈值处理
wthcoef2 二维信号的小波系数阈值处理
wthresh 进行软阈值或硬阈值处理
wthrmngr 阈值设置管理
wtreemgr 管理树结构
导函数图像类型题 类型一:已知原函数图像,判断导函数图像。 1. (福建卷11)如果函数)(x f y =的图象如右图,那么导函 数()y f x '=的图象可能就是 ( ) 2. 设 函数f (x ) 在定义域内可导,y=f (x )的图象如下左图所示,则导函数y=f '(x )的图象可能为( ) 3. 函数()y f x =的图像如下右图所示,则()y f x '=的图像可能就是 ( ) 4. 若函 数 2()f x x b =+的图象的顶点在第 四象限,则其导函数'()f x 的图象就是( ) 类型二:已知导函数图像,判断原函数图像。
5. (2007年广东佛山)设)(x f '就是函数)(x f 的导函数,)(x f y '=的 图象如右图所示,则)(x f y =的图象最有可能的就是( ) 6. (2010年3月广东省深圳市高三年级第一次调研考试文科)已 知函数f x ()的导函数2f x ax bx c '=++()的图象如右图,则f x ()的图象可能就是( ) 7. 函数 ) (x f 的定 义域为开区间 3 (,3)2-,导函数) (x f '在 3 (,3)2 -内的图象如图所示,则函数)(x f 的单调增区间就是_____________ 类型三:利用导数的几何意义判断图像。 8. (2009湖南卷文)若函数()y f x =的导函数．．． 在区间[,]a b 上就是增函数,则函数()y f x =在区间[,] a b 上的图象可能就是 ( ) O 1 2 x y x y y O 1 2 y O 1 2 x O 1 2 x C D O 1 2 x y a b a b a o x o x y o x y o x y y )(x f y '= x o y
小波的几个术语及常见的小波基介绍 本篇是这段时间学习小波变换的一个收尾，了解一下常见的小波函数，混个脸熟，知道一下常见的几个术语，有个印象即可，这里就当是先作一个备忘录，以后若有需要再深入研究。 一、小波基选择标准 小波变换不同于傅里叶变换，根据小波母函数的不同，小波变换的结果也不尽相同。现实中到底选择使用哪一种小波的标准一般有以下几点： 1、支撑长度 小波函数Ψ(t)、Ψ(ω)、尺度函数φ(t)和φ(ω)的支撑区间，是当时间或频率趋向于无穷大时，Ψ(t)、Ψ(ω)、φ(t)和φ(ω)从一个有限值收敛到0的长度。支撑长度越长，一般需要耗费更多的计算时间，且产生更多高幅值的小波系数。大部分应用选择支撑长度为5~9之间的小波，因为支撑长度太长会产生边界问题，支撑长度太短消失矩太低，不利于信号能量的集中。 这里常常见到“紧支撑”的概念，通俗来讲，对于函数f(x)，如果自变量x在0附近的取值范围内，f(x)能取到值；而在此之外，f(x)取值为0，那么这个函数f(x)就是紧支撑函数，而这个0附近的取值范围就叫做紧支撑集。总结为一句话就是“除在一个很小的区域外，函数为零，即函数有速降性”。 2、对称性 具有对称性的小波，在图像处理中可以很有效地避免相位畸变，因为该小波对应的滤波器具有线性相位的特点。 3、消失矩 在实际中，对基本小波往往不仅要求满足容许条件，对还要施加所谓的消失矩（Vanishing Moments）条件，使尽量多的小波系数为零或者产生尽量少的非零小波系数，这样有利于数据压缩和消除噪声。消失矩越大，就使更多的小波系数为零。但在一般情况下，消失矩越高，支撑长度也越长。所以在支撑长度和消失矩上，我们必须要折衷处理。
1什么是小波函数？（或小波函数满足什么条件？） 答：设)()(2R L t ∈?,且其Fourier 变换)(ω? 满足可允许性（admissibility ）条件 +∞
1.Cwt :一维连续小波变换 格式：coefs=cwt(s,scales,'wavename') coefs=cwt(s,scales,'wavename','plot') scales:尺度向量，可以为离散值，表示为[a1,a2,a3……]，也可为连续值，表示为[amin:step:amax] 2.dwt:单尺度一维离散小波变换 格式：[ca,cd]=dwt(x,'wavename') [ca,cd]=dwt(x,lo-d,hi-d) 先利用小波滤波器指令wfilters求取分解用低通滤波器lo-d和高通滤波器hi-d。[lo-d,hi-d]=wfilters('haar','d');[ca,cd]=dwt(s,lo-d,hi-d) 3.idwt:单尺度一维离散小波逆变换 4.wfilters 格式：[lo-d,hi-d,lo-r,hi-r]=wfilters('wname') [f1,f2]=wfilters('wname','type') type=d(分解滤波器)、R(重构滤波器)、l(低通滤波器)、h(高通滤波器) 5.dwtmode 离散小波变换模式 格式：dwtmode dwtmode('mode') mode:zdp补零模式，sym对称延拓模式，spd平滑模式 6.wavedec多尺度一维小波分解 格式：[c,l]=wavedec(x,n,'wname') [c,l]=wavedec(x,n,lo-d,hi-d)
7.appcoef 提取一维小波变换低频系数 格式：A=appcoef(c,l,'wavename',N) A=appcoef(c,l,lo-d,hi-d,N) N是尺度，可省略例： loadleleccum; s=leleccum(1:2000) subplot(421) plot(s); title('原始信号') [c,l]=wavedec(s,3,'db1'); ca1=appcoef(c,l,'db1',1); subplot(445) plot(ca1); ylabel('ca1'); ca2=appcoef(c,l,'db1',2); subplot(4,8,17) plot(ca2); ylabel('ca2'); 8.detcoef 提取一维小波变换高频系数 格式：d=detcoef(c,l,N),N尺度的高频系数 d=detcoef(c,l,) 最后一尺度的高频系数 例：
《小波分析》试题 适用范围：硕士研究生 时 间：2013年6月 一、名词解释（30分） 1、线性空间与线性子空间 解释：线性空间是一个在标量域（实或复）F 上的非空矢量集合V ；设V1是数域K 上的线性空间V 的一个非空子集合，且对V 已有的线性运算满足以下条件 （1） 如果x 、y V1，则x ＋y V1； （2） 如果x V1，k K ，则kx V1， 则称V1是V 的一个线∈∈∈∈∈性子空间或子空间。2、基与坐标 解释：在 n 维线性空间 V 中，n 个线性无关的向量，称为 V 的一组n 21...εεε，，，基；设是中任一向量，于是 线性相关，因此可以被基αn 21...εεε，，，线性表出：，其中系数 αεεε，，，，n 21...n 21...εεε，，，n 2111an ...a a εεεα+++=是被向量和基唯一确定的，这组数就称为在基下的坐标，an ...a a 11，，，αn 21...εεε，，，记为 （） 。an ...a a 11，，，3、内积 解释：内积也称为点积、点乘、数量积、标量积。，()T n x x x x ,...,,21= ，令，称为x 与y 的内积。 ()T n y y y y ,...,,21=[]n n y x y x y x y x +++=...,2211[]y x ,4、希尔伯特空间 解释：线性 完备的内积空间称为Hilbert 空间。线性（linearity ）：对任意 f ， g ∈H ，a ，b ∈R ，a*f+b*g 仍然∈H 。完备（completeness ）：空间中的任何柯西序列都收敛在该空间之内。内积（inner product ）：
导函数图像类型题 类型一：已知原函数图像，判断导函数图像。 1. （福建卷11）如果函数)(x f y =的图象如右图，那么导 函数 ()y f x '=的图象可能是 ( ) 2. 设函数f (x )在定义域内可导，y=f (x )的图象如下左图所示，则导函 数y=f (x )的 图象可能为( ) 3. 函数()y f x =的图像如下右图所示，则()y f x '=的图像可能是 （ ） 4. 若 函 数 2()f x x bx c =++的图象的顶点在第 四象限，则其导函数'()f x 的图象是（ ） 类型二：已知导函数图 像，判断原函数图像。 5. (2007年广东佛山)设)(x f '是函数)(x f 的导函数,)(x f y '=的图 象如右图所示，则)(x f y =的图象最有可能的是（ ） 知函数 象可能是 7. 函数)(x f 的定 义域 为开区间( ,3)2 - ，导函数) (x f '在 3 (,3)2 -内的图象如图所示，则函数)(x f 的单调增区间是_____________ 类型三：利用导数的几何意义判断图像。 8. （2009湖南卷文）若函数()y f x =的导函数在区间[,]a b 上是增函数，则函数()y f x =在区间[,]a b 上的 图象可能是 ( ) A ． B ． C ． D ．
9.若函数)(' x f y =在区间),(21x x 内是单调递减函数，则函数)(x f y =在区间),(21x x 内的图像可以是（ ） A B C D 10.（选做）已知函数y =f (x ),y =g (x )的导函数的图象如下图，那么y =f (x ),y =g (x )的图象可能是 （ ） 类型四：根据实际问题判断图像。 9. （2010年浙江省宁波市高三“十校”联考文科）如右图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水， 容器中水面的高度h 随时间t 变化的可能图象是（ ） 10.如图，直线l 和圆c ，当l 从0l 开始在平面上绕点o 按逆时针方向匀速转动（转动角度不超过? 90）时，它扫过的园内阴影部分的面积S 是时间t 的函数，这个函数的图 像大致是（ ） 11.如图, 水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中, 请分别找出与各容器对应的水的高度h 与时间t 的函数关系图 象. 10. 已知函数 )(x f y =的导函数)(x f y '=的图像如下， 则（ ） 函数)(x f 有1个极大值点，1个极小值点 函数 )(x f 有2个极大值点，2个极小值点 函数)(x f 有3个极大值点，1个极小值点 函数)(x f 有1个极大值点，3个极小值点 11. (2008珠海质检理)函数)(x f 的定义域为 ),(b a ， 其导函数),()(b a x f 在'内的图象如图所示，则函数)(x f 在区间),(b a 内极小值点的个 数 是（ ） (A).1 (B).2 (C).3 (D).4 12. 已知函数3 2 ()f x ax bx cx =++在点0x 处取得极大值5， 其 导函数'()y f x =的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示.求： （Ⅰ）0x 的值； （Ⅱ）,,a b c 的值. 13. 函数()y f x =在定义域3 (,3)2 - 内可导， 其图象如图，记 ()y f x =的导函数为/()y f x =，则不等式 /()0 f x ≤的解集为_____________ 14. 如图为函数32()f x ax bx cx d =+++的图象， '()f x 为函 数()f x 的导函数，则不等式'()0x f x ?<的解集为_____ _ 15. 【湛江市·文】函数2 2 1ln )(x x x f - =的图象大致是 A ． B ． C ． D ． 16. 【珠海·文】如图是二次函数a bx x x f +-=2 )(的部分图象，则函数)(ln )(x f x x g '+=的零点所在的区 间是 （ ）
一、叙述小波分析理论发展的历史和研究现状 答：傅立叶变换能够将信号的时域和特征和频域特征联系起来，能分别从信号的时域和频域观察，但不能把二者有机的结合起来。这是因为信号的时域波形中不包含任何频域信息，而其傅立叶谱是信号的统计特性，从其表达式中也可以看出，它是整个时间域内的积分，没有局部化分析信号的功能，完全不具备时域信息，也就是说，对于傅立叶谱中的某一频率，不能够知道这个频率是在什么时候产生的。这样在信号分析中就面临一对最基本的矛盾——时域和频域的局部化矛盾。 在实际的信号处理过程中，尤其是对非常平稳信号的处理中，信号在任一时刻附近的频域特征很重要。如柴油机缸盖表明的振动信号就是由撞击或冲击产生的，是一瞬变信号，单从时域或频域上来分析是不够的。这就促使人们去寻找一种新方法，能将时域和频域结合起来描述观察信号的时频联合特征，构成信号的时频谱，这就是所谓的时频分析，亦称为时频局部化方法。 为了分析和处理非平稳信号，人们对傅立叶分析进行了推广乃至根本性的革命，提出并开发了一系列新的信号分析理论：短时傅立叶变换、时频分析、Gabor 变换、小波变换Randon-Wigner变换、分数阶傅立叶变换、线形调频小波变换、循环统计量理论和调幅—调频信号分析等。其中，短时傅立叶变换和小波变换也是因传统的傅立叶变换不能够满足信号处理的要求而产生的。 短时傅立叶变换分析的基本思想是：假定非平稳信号在不同的有限时间宽度内是平稳信号，从而计算出各个不同时刻的功率谱。但从本质上讲，短时傅立叶变换是一种单一分辨率的信号分析方法，因为它使用一个固定的短时窗函数，因而短时傅立叶变换在信号分析上还是存在着不可逾越的缺陷。 小波变换是一种信号的时间—尺度（时间—频率）分析方法，具有多分辨
导函数图像类型题 类型一：已知原函数图像，判断导函数图像。 1. （福建卷11）如果函数)(x f y =的图象如右图，那么导 函数()y f x '=的图象可能是 ( ) 2. 设函数f (x )在定义域内可导，y=f (x )的图象如下左图所示，则导函数y=f '(x )的图象可能为( ) 3. 函数()y f x =的图像如下右图所示，则()y f x '=的图像可能是 （ ） 4. 若函数2 ()f x x bx c =++的图象的顶点在第四象限，则其导函数'()f x 的图象是（ ） 类型二：已知导函数图像，判断原函数图像。
5.(2007年广东佛山)设) (x f'是函数) (x f的导函数,) (x f y' =的图 象如右图所示，则) (x f y=的图象最有可能的是（） 6.(2010年3月广东省深圳市高三年级第一次调研考试文科)已 知函数f x ()的导函数2 f x ax bx c '=++ ()的图象如右图，则 f x()的图象可能是( ) 7.函数) (x f的定义域为开区间 3 (,3) 2 -，导函数) (x f'在 3 (,3) 2 -内的图象如图所示，则函数) (x f的单调增区间是_____________ 类型三：利用导数的几何意义判断图像。 O 1 2 x y x y y O 1 2 y O 1 2 x O 1 2 x D O 1 2 x y ) (x f y' = x o y
8.（ 2009湖南卷文） 若函数() y f x =的导函数 ．．．在区间[,] a b上是增函数，则函数() y f x =在区间[,] a b上的图象可能是( ) A ．B．C．D． 9.若函数) ('x f y=在区间) , ( 2 1 x x内是单调递减函数，则函数) (x f y=在区间) , ( 2 1 x x内的图像可以是（） A B C D 10.（选做）已知函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图，那么y=f(x),y=g(x)的图象可能是 （） 类型四：根据实际问题判断图像。 9.（2010年浙江省宁波市高三“十校”联考文科）如右图所示是某一容器的三视图，现向容器 中匀速注水，容器中水面的高度h随时间t变化的可能图象是（） o x o x y b a o x y o x y b y
题1：设{},j V j Z ∈是依尺度函数()x φ的多分辨率分析，101()0x x φ≤
11()3.k k h k p -=为高通分解滤波器,写出个双倍平移正交关系等式 题6：列出二维可分离小波的4个变换基。 题8：要得到“好”的小波，除要求滤波器0()h n 满足规范、双正交平移性、低通等最小条件外，还可以对0()h n 加消失矩条件来得到性能更优良的小波。 （1） 请写出小波函数()t ψ具有p 阶消失矩的定义条件： （2） 小波函数()t ψ具有p 阶消失矩，要求0()h n 满足等式： （3） 在长度为4的滤波器0()h n 设计中，将下面等式补充完整： 222200000000(0)(1)(2)(3)1 (0)(2)(1)(3)0 ,1 2h h h h h h h h n ?+++=???+==??? 规范性低通双平移正交阶消失矩
课题:探究原函数与导函数的关系 首师大附中 数学组 王建华 设计思路 这节课就是在学完导数与积分之后,学生从大量的实例中对原函数与导函数的关系有了一定的认识的基础上展开教学的。由于这部分内容课本上没有,但数学内部的联系规律与对称美又会使学生既觉得有挑战性又充满探究的兴趣。备这个课的过程中我虽然参考了大量已有的资料,但需要做更深入地思考这些命题间的联系,以什么方式展开更利于学生拾级而上,最终登上高峰体会一览众山小的乐趣与成就感。教师实际上就是在引导学生进行一次理论的探险,大胆地猜,小心地证,谨慎地修改条件,步步逼近真理。最终学生能否记住这些结论并不重要,重要的就是研究相互关联的事物的一般思路与方法。对优秀生或热爱数学的学生来说会有更多的收获。 整个教学流程 1、 从经验观察发现,猜想得命题p,q 、 这两个命题为真命题,证明它们的方法用复合函数求导,比较容易上手。 2、 学生自然会想到这个命题的逆命题就是否成立,尝试证明。证明的思路也要逆向思考。发现由于导数确定后原函数不能唯一确定,有上下平移的可能,这样关于y 轴对称的性质能够保持,但关于原点对称的性质就不能保证了。 3、 函数的平移不改变函数图象的对称性,因此将奇函数的性质拓展为关于中心对称,将偶函数的性质拓展为关于直线x a =对称,研究前面的四个命题还就是否成立。研究方法可以类比迁移前面的方法。能成立的严格证明,不能成立的举出反例,并尝试通过改变条件使之成为真命题。 4、已有成果的应用:利用二次函数的对称性性质研究三次函数的对称性。 教学目标 在这个探究过程中 1、加强学生对导函数与原函数相生相伴的关系的理解; 2、增强学生对函数对称性的理解与抽象概括表达能力; 3体验研究事物的角度,一个新定理就是怎样诞生的,怎样才就是全面地认识了一个事物。4、培养学生的思辨能力,分析法解决问题的能力,举反例的能力等等。 教学重点 以原函数与导函数的对称性的联系为载体让学生体验观察发现、概括猜想、辨别真伪的过程。 教学难点 灵活运用所学知识探索未知领域。 新课引入 前面解题时我们常根据导函数的符号示意图画出原函数的单调性示意图,您能根据原函数的图像画出导函数的示意图不？ 一． 探究由原函数的奇偶性能否推出导函数的奇偶性。 问题1 已知函数()y f x =的图像,请尝试画出其导函数的图像示意图。 3()f x x = 2'()3y f x x ==
2.1小波分析中的通用函数 1 biorfilt双正交小波滤波器组 2 centfrg计算小波中心频率 3 dyaddown二元取样 4 dyadup二元插值 5 wavefun小波函数和尺度函数 6 wavefun2二维小波函数和尺度函数 7 intwave积分小波函数fai 8 orthfilt正交小波滤波器组 9 qmf镜像二次滤波器（QMF） 10 scal2frg频率尺度函数 11 wfilters小波滤波器 12 wavemngr小波管理 13 waveinfo显示小波函数的信息 14 wmaxlev计算小波分解的最大尺度 15 deblankl把字符串变成无空格的小写字符串 16 errargn检查函数参数目录 17 errargt检查函数的参数类型 18 num2mstr最大精度地把数字转化成为字符串 19 wcodemat对矩阵进行量化编码 20 wcommon寻找公共元素 21 wkeep提取向量或矩阵中的一部分 22 wrev向量逆序 23 wextend向量或矩阵的延拓 24 wtbxmngr小波工具箱管理器 25 nstdfft非标准一维快速傅里叶变换（FFT） 26 instdfft非标准一维快速逆傅里叶变换 27 std计算标准差 2.2小波函数 1 biorwavf双正交样条小波滤波器 2 cgauwavf复Gaussian小波 3 cmorwavf复Morlet小波 4 coifwavf Coiflet小波滤波器 5 dbaux Daubechies小波滤波器 6 dbwavf Daubechies小波滤波器 7 fbspwavf频率分布B-Spline小波 8 gauswavf Gaussian小波 9 mexihat墨西哥小帽函数 10 meyer meyer小波11 meyeraux meyer小波辅助函数 12 morlet Morlet小波 13 rbiowavf反双正交样条小波滤波器 14 shanwavf 复shannon小波 15 symaux计算Symlet小波滤波器 16 symwavf Symlets小波滤波器 2.3一维连续小波变换 1 cwt一维连续小波变换 2 pat2cwav从一个原始图样中构建一个小波函数 2.4一维离散小波变换 1 dwt但尺度一维离散小波变换 2 dwtmode离散小波变换拓展模式 3 idwt单尺度一位离散小波逆变换 4 wavedec多尺度一维小波分解（一维多分辨率分析函数） 5 appcoef提取一维小波变换低频系数 6 detcoef提取一维小波变换高频系数 7 waverec多尺度一维小波重构 8 upwlex单尺度一维小波分解的重构 9 wrcoef对一维小波系数进行单支重构 10 upcoef一维系数的直接小波重构 11 wenergy显示小波或小波包分解的能量 2.5二维离散小波变换 1 dwt2单尺度二维离散小波变换 2 idwt2单尺度逆二维离散小波变换 3 wavedec2多尺度二维小波分解（二维分辨率分析函数） 4 waverec2多尺度二维小波重构 5 appcoef2提取二维小波分解低频系数 6 detcoef2提取二维小波分解高频系数 7 upwlev2二维小波分解的单尺度重构 8 wrcoef2对二维小波系数进行单支重构 9 upcoef二维小波分解的直接重构 2.6离散平稳小波变换 1 swt一维离散平稳小波变换 2 iswt一维离散平稳小波逆变换 3 swt2二维离散平稳小波变换 4 iswt2二维离散平稳小波逆变换
1、小波变换在图像处理中有着广泛的应用，请简述其在图像压缩中的应用原理？ 答：一幅图像经过一次小波变换之后，概貌信息大多集中在低频部分，而其余部分只有微弱的细节信息。为此，如果只保留占总数数量1/4的低频部分，对其余三个部分的系数不存储或传输，在解压时，这三个子块的系数以0来代替，则就可以省略图像部分细节信息，而画面的效果跟原始图像差别不是很大。这样，就可以得到图像压缩的目的。 2、给出GPEG数据压缩的特点。 答：（1）一种有损基本编码系统，这个系统是以DCT为基础的并且足够应付大多数压缩方向应用。 （2）一种扩展的编码系统，这种系统面向的是更大规模的压缩，更高精确性或逐渐递增的重构应用系统。 （3）一种面向可逆压缩的无损独立编码系统。 3、设计雪花检测系统 答：1）获得彩色雪花图像。2）灰度雪花图像。3）图像的灰度拉伸，以增强对比度。4）阈值判断法二值化图像。5）图像的梯度锐化。6）对图像进行自定义模板中值滤波以去除噪声。7）用梯度算子对雪花区域的定位。8）利用hough变换截下雪花区域的图片。 9）雪花图片几何位置调整。 4、用图像处理的原理设计系统，分析木材的年轮结构。 答：1）获得彩色木材年轮图像。2）灰度木材年轮图像。3）灰度拉伸以增加对比度。4）阈值判定法二值化图像。5）图像的梯度锐化。6）对图像进行自定义模板中值滤波以去除噪声。7）用梯度算子对木材年轮圈进行定位。8）图片二值化。9）利用边界描述子对木材的年轮结构进行识别。 5、给出生猪的尺寸和形貌检测系统。 答：1）获得彩色生猪图像。2）灰度生猪图像。3）图像的灰度拉伸，以增强对比度。4）阈值判定法二值化图像。5）图像的梯度锐化。6）对图像进行自定义模板中值滤波以除去噪声。 7）用梯度算子对生猪区域的定位。8）利用hough变换截下生猪区域的图片。9）生猪图片几何位置调整。10）生猪图片二值化。11）利用边界描述子对生猪尺寸和形貌的识别。 第二种答案：（类似牌照检测系统） 1）第一步定位牌照 由图像采集部件采集生猪的外形图像并将图像存储在存储器中，其特征在于：数字处理器由存储器中读入并运行于生猪外形尺寸检测的动态检测软件、从存储器中依次读入两幅车辆外形图像数据、经过对生猪外形图像分析可得到生猪的高度，宽度和长度数据即生猪的外形尺寸。通过高通滤波，得到所有的边对边缘细化（但要保持连通关系），找出所有封闭的边缘，对封闭边缘求多边形逼近，在逼近后的所有四边形中，找出尺寸与牌照大小相同的四边形。生猪形貌被定位。 2）第二步识别 区域中的细化后的图形对象，计算傅里叶描述子，用预先定义好的决策函数，对描述子进行计算，判断到底是数字几。 6、常用的数字图像处理开发工具有哪些？各有什么特点？ 答：目前图像处理系统开发的主流工具为Visual C++(面向对象可视化集成工具)和MATLAB的图像处理工具箱（lmage processing tool box）。两种开发工具各有所长且有相互间的软件接口。 微软公司的VC++是一种具有高度综合性能的面向对象可视化集成工具，用它开发出来
用导数的基本运算法则巧构造导函数的原函数 构造函数是解决抽象不等式的基本方法，根据题设的条件，并借助初等函数的导数公式和导数的基本运算法则，相应地构造出辅助函数. 通过进一步研究辅助函数的有关性质，给予巧妙的解答. 本文从一到高考试题出发，追根溯源，研究并揭示高考试题的本质. 1 高考真题 真题 设函数()f x '是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)0f -=，当0x >时，()()0xf x f x '-<，则使得()0f x >成立的x 取值范围（ ）. A. (,1)(0,1)-∞- B. (1,0)(1,)-+∞ C. (,1)(1,0)-∞-- D. (0,1)(1,)+∞ 解析：设()()f x F x x =，则2 ()()'()xf x f x F x x '-=. 因为0x >时，()()0xf x f x '-<，所以'()0F x <,即当0x >时，()F x 单调递减. 又因为()f x 为奇函数，且(1)0f -=，所以()()f x F x x = 为偶函数，且(1)(1)0F F -==, 则当0x <时，()F x 单调递增.当(,1)x ∈-∞-时，()0F x <，()0f x >.当(0,1)x ∈时，()0F x <，()0f x >.所以()0f x >成立的x 取值范围(,1)(0,1)-∞-，即答案为A.. 上述题为2015年课标全国Ⅱ选择题第12题，创新有难度，丰富有内涵. 此其题表面看上，不知道如何入手，解决问题. 因为这是一道没有具体函数表达式的不等式试题，且不等式中含有()f x '和()f x ，更是难上加难. 从试题的解析可以看出，巧妙地构造出了函数()F x ，通过分析()F x 的单调性和奇偶性，解答问题. 解题突破口不易寻找，给人一种“旧时茅店社林边,路转溪桥忽见”的感觉. 对题的解析过程进行回顾，本题是如何构造出()()f x F x x = ，从而给出极其巧妙的解答. 为了寻求问题的本质，这里对以下例题进行分析. 2 巧构导函数的原函数 例 1 已知函数()f x 的图像关于y 轴对称，且当(,0)x ∈-∞时，()()0f x xf x '+<成立，若0.20.22(2)a f =?，log 3(log 3)b f ππ=?，33log 9(log 9)b f =?，则,,a b c 的大小关系（ ） A. b a c >> B. c a b >> C. c b a >> D. a b c >> 解析：设()()F x xf x =，则'()()()F x f x xf x '=+.因为0x <时，()()0f x xf x '+<，所以'()0F x <,则 当0x <时，()F x 单调递减.又因为函数()f x 的图像关于y 轴对称，所以()f x 为奇函数，当0x >时， ()F x 单调递减.又因为0.2122<<，0log 31π<<，3log 92=，则b a c >>，即答案为A. 例 2已知函数()f x 满足：()2()0f x f x '+>，那么系列不等式成立的是（ ） A. (1)f B. (0)(2)f f e < C. (1)(2)f D. 2(0)(4)f e f > 解析：设12()2()x F x e f x =，则1 112221'()2[()()][()2()]2 x x x F x e f x e f x e f x f x ''=+=+.因为()2()0f x f x '+>，所以'()0F x >,则()F x 在定义域上单调递增，所以(1)(0)F F >,则(1)f ，即答案为A. 例 3 已知()f x 为定义在(,)-∞+∞上的可导函数，且()()f x f x '<对于x R ∈恒成立且e 为自然对数的底，则（ ） A. 2012(1)(0),(2012)(0)f e f f e f >?>? B. 2012(1)(0),(2012)(0)f e f f e f ? C. 2012(1)(0),(2012)(0)f e f f e f >?,(2012)(0)F F >即答案为A. 例4 定义在(0, )2π上的函数()f x ，()f x '是它的导函数，且恒有()()tan f x f x x '>成立，则（ ） ()()43π π B. (1)2()sin16f f π>()()64f ππ>()()63f ππ > 解析：因为(0,)2x π ∈，所以sin 0x >，cos 0>.由()()tan f x f x x '>，得()cos ()sin 0f x x f x x '->
与标准的傅里叶变换相比，小波分析中使用到的小波函数具有不唯一性，即小波函数 具有多样性。小波分析在工程应用中，一个十分重要的问题就是最优小波基的选择问题，因为用不同的小波基分析同一个问题会产生不同的结果。目前我们主要是通过用小波分析方法处理信号的结果与理论结果的误差来判定小波基的好坏，由此决定小波基。常用小波基有Haar 小波、Daubechies(dbN)小波、Mexican Hat(mexh)小波、Morlet 小波、Meyer 小波等。 Haar 小波 Haar 函数是小波分析中最早用到的一个具有紧支撑的正交小波函数，也是最简单的一个小波函数，它是支撑域在[0,1]∈t 范围内的单个矩形波。Haar 函数 的定义如下： 1 021121(t)-1 t t ≤≤≤≤ψ=?????其他 Haar 小波在时域上是不连续的，所以作为基本小波性能不是特别好。但它也有自己的优点: 1. 计算简单。 2. (t)ψ不但与j (t)[j z]2ψ∈正交，而且与自己的整数位移正交，因此， 在2j a =的多分辨率系统中，Haar 小波构成一组最简单的正交归一的 小波族。 ()t ψ的傅里叶变换是： 2/24=sin ()j e a ψ-ΩΩ ΩΩ（）j Haar 小波的时域和频域波形
Daubechies(dbN)小波 Daubechies 小波是世界著名的小波分析学者Inrid ·Daubechies 构造的小波函数，简写为dbN ，N 是小波的阶数。小波(t)ψ和尺度函数(t)φ中的支撑 区为12-N ，(t)ψ的消失矩为N 。除1=N （Harr 小波）外，dbN 不具有
第一章 1.1.1可以用f(x,y)来表示：（ABD） A、一幅2-D数字图像 B、一个在3-D空间中的客观景物的投影； C 2-D空间XY中的一个坐标的点的位置； D、在坐标点（X,Y）的某种性质F的数值。 提示：注意3个符号各自的意义 1.1.2、一幅数字图像是：(B) A、一个观测系统； B、一个有许多像素排列而成的实体； C、一个2-D数组中的元素 D、一个3-D空间的场景。 提示：考虑图像和数字图像的定义 1.2.2、已知如图1.2.2中的2个像素P和Q，下面说法正确的是：(C) A、2个像素P和Q直接的De距离比他们之间的D4距离和D8距离都短： B、2个像素p和q之间的D4距离为5； C、2个像素p和q之间的D8距离为5； D、2个像素p和q之间的De距离为5。 1.4.2、半调输出技术可以：(B) A、改善图像的空间分辨率； B、改善图像的幅度分辨率； C、利用抖动技术实现； D、消除虚假轮廓现象。 提示：半调输出技术牺牲空间分辨率以提高幅度分辨率 1.4.3、抖动技术可以(D) A、改善图像的空间分辨率； B、改善图像的幅度分辨率； C、利用半输出技术实现； D、消除虚假轮廓现象。 提示：抖动技术通过加入随即噪声，增加了图像的幅度输出值的个数 1.5.1、一幅256*256的图像，若灰度级数为16，则存储它所需的比特数是：(A) A、256K B、512K C、1M C、2M 提示：表达图像所需的比特数是图像的长乘宽再乘灰度级数对应的比特数。1.5.2、图像中虚假轮廓的出现就其本质而言是由于：(A)(平滑区域内灰度应缓慢变化，但当图像的灰度级数不够多时会产生阶跃) A、图像的灰度级数不够多造成的； B、图像的空间分辨率不够高造成； C、图像的灰度级数过多造成的 D、图像的空间分辨率过高造成。 提示：图像中的虚假轮廓最易在平滑区域内产生。 1.5.3、数字图像木刻画效果的出现是由于下列原因所产生的：（A） A、图像的幅度分辨率过小； B、图像的幅度分辨率过大； C、图像的空间分辨率过小； D、图像的空间分辨率过大；
第五章 小波变换基本原理 问题 ①小波变换如何实现时频分析？其频率轴刻度如何标定？ —尺度 ②小波发展史 ③小波变换与短时傅里叶变换比较 a ．适用领域不同 b.STFT 任意窗函数 WT （要容许性条件） ④小波相关概念，数值实现算法 多分辨率分析（哈尔小波为例） Daubechies 正交小波构造 MRA 的滤波器实现 ⑤小波的历史地位仍不如FT ，并不是万能的 5.1 连续小波变换 一．CWT 与时频分析 1.概念：? +∞ ∞ --ψ= dt a b t t S a b a CWT )( *)(1),( 2.小波变换与STFT 用于时频分析的区别 小波 构造？ 1910 Harr 小波 80年代初兴起 Meyer —小波解析形式 80年代末 Mallat 多分辨率分析—WT 无须尺度和小波函数—滤波器组实现 90年代初 Daubechies 正交小波变换 90年代中后期 Sweblews 第二代小波变换
3.WT 与STFT 对比举例（Fig 5–6, Fig 5–7） 二．WT 几个注意的问题 1.WT 与)(t ψ选择有关 — 应用信号分析还是信号复原 2.母小波)(t ψ必须满足容许性条件 ∞<ψ=? ∞ +∞ -ψdw w w C 2 )( ①隐含要求 )(,0)0(t ψ=ψ即具有带通特性 ②利用ψC 可推出反变换表达式 ??+∞∞-+∞ ∞-ψ -ψ= dadb a b t b a CWT a C t S )(),(11 )(2 3.CWT 高度冗余（与CSTFT 相似） 4.二进小波变换（对平移量b 和尺度进行离散化） )2(2)()(1 )(2 ,22,,n t t a b t a t n b a m m n m b a m m -ψ=ψ?-ψ= ??==--ψ dt t t S n CWT d n m m m n m )(*)()2,2(,,?+∞ ∞ ---ψ=?= 5.小波变换具有时移不变性 ) ,()() ,()(00b b a C W T b t S b a C W T t S -?-? 6.用小波重构信号 ∑ ∑∑∑+∞ -∞=+∞-∞ =+∞ -∞=+∞ -∞ =ψψ= m n m n n m n m n m n m t d t d t S )(?)(?)(,,,,正交小波 中心问题：如何构建对偶框架{} n m ,?ψ
2．计算下列分形维数： （1）康托尔集合（the Cantor set） l o g l o g2 0.631 l o g l o g3 s m D c =-=≈ （2）科赫曲线（Koch） log4 1.262 log3 s D=-≈ （3）谢尔平斯基（Sierpinski）地毯、垫片、海绵 地毯： log log8 1.893 log log3 f D β κ ==≈ 垫片: log log3 1.585 log log2 f D β κ ==≈ 海绵： log log20 2.763 log log3 f D β κ ==≈ （4）阿波罗尼斯垫圆： 解：不在此圆内部的点形成一个面积为零的集合，可以说它多于一条线但少于一个面，因此它的分形维数 （5）皮亚诺曲线： log ln9 2 1ln3 log() s N D β === 1．求按下列各图所示方法生成的分形图的分维 初始元： 生成元： （a）（b）（c） (a) log ln8 1.5 1ln4 log() s N D β ==≈ (b) log ln5 1.465 1ln3 log() s N D β ==≈ (c) log ln5 1.465 1ln3 log() s N D β ==≈
2、计算康托尔三分集相似维、Hausdorff 维 解：相似维：log ln 2 0.63111log()ln 3s N D β= =≈ Hausdorff 维：log log 20.631log log 3 f D βκ= =≈ 3、计算不规则分形盒维数（只计算右下端） ε=1/10 ()N ε=N(1/10) ()ln ln 54ln 54 1.732 1ln ln10ln 10B N D εε=- =-=≈
课题：探究原函数与导函数的关系 首师大附中数学组王建华 设计思路 这节课是在学完导数和积分之后，学生从大量的实例中对原函数和导函数的关系有了一定的认识的基础上展开教学的。由于这部分内容课本上没有，但数学内部的联系规律和对称美又会使学生既觉得有挑战性又充满探究的兴趣。备这个课的过程中我虽然参考了大量已有的资料，但需要做更深入地思考这些命题间的联系，以什么方式展开更利于学生拾级而上，最终登上高峰体会一览众山小的乐趣和成就感。教师实际上是在引导学生进行一次理论的探险，大胆地猜，小心地证，谨慎地修改条件，步步逼近真理。最终学生能否记住这些结论并不重要，重要的是研究相互关联的事物的一般思路和方法。对优秀生或热爱数学的学生来说会有更多的收获。 整个教学流程 1. 从经验观察发现，猜想得命题p,q. 这两个命题为真命题，证明它们的方法用复合函数求导，比较容易上手。 2. 学生自然会想到这个命题的逆命题是否成立，尝试证明。证明的思路也要逆向思考。发现由于导数确定后原函数不能唯一确定，有上下平移的可能，这样关于y轴对称的性质能够保持，但关于原点对称的性质就不能保证了。 3. 函数的平移不改变函数图象的对称性，因此将奇函数的性质拓展为关于中心对称，将偶 对称，研究前面的四个命题还是否成立。研究方法可以类函数的性质拓展为关于直线x a 比迁移前面的方法。能成立的严格证明，不能成立的举出反例，并尝试通过改变条件使之成为真命题。 4.已有成果的应用：利用二次函数的对称性性质研究三次函数的对称性。 教学目标 在这个探究过程中 1.加强学生对导函数与原函数相生相伴的关系的理解； 2.增强学生对函数对称性的理解和抽象概括表达能力； 3体验研究事物的角度，一个新定理是怎样诞生的，怎样才是全面地认识了一个事物。 4.培养学生的思辨能力，分析法解决问题的能力，举反例的能力等等。 教学重点 以原函数与导函数的对称性的联系为载体让学生体验观察发现、概括猜想、辨别真伪的过程。 教学难点 灵活运用所学知识探索未知领域。 新课引入 前面解题时我们常根据导函数的符号示意图画出原函数的单调性示意图，你能根据原函数的图像画出导函数的示意图吗？ 一．探究由原函数的奇偶性能否推出导函数的奇偶性。