第五章 小波变换基本原理

第五章 小波变换基本原理

问题

①小波变换如何实现时频分析？其频率轴刻度如何标定？ —尺度 ②小波发展史

③小波变换与短时傅里叶变换比较

a ．适用领域不同 b.STFT 任意窗函数 WT （要容许性条件） ④小波相关概念，数值实现算法

多分辨率分析（哈尔小波为例） Daubechies 正交小波构造 MRA 的滤波器实现

⑤小波的历史地位仍不如FT ，并不是万能的

5.1 连续小波变换

一．CWT 与时频分析 1.概念：?

+∞

∞

--ψ=

dt a

b

t t S a

b a CWT )(

*)(1),( 2.小波变换与STFT 用于时频分析的区别

小波 构造？

1910 Harr 小波

80年代初兴起 Meyer —小波解析形式

80年代末 Mallat 多分辨率分析—WT 无须尺度和小波函数—滤波器组实现

90年代初 Daubechies 正交小波变换

90年代中后期 Sweblews 第二代小波变换

3.WT 与STFT 对比举例（Fig 5–6, Fig 5–7） 二．WT 几个注意的问题

1.WT 与)(t ψ选择有关 — 应用信号分析还是信号复原

2.母小波)(t ψ必须满足容许性条件 ∞<ψ=?

∞

+∞

-ψdw w

w C 2

)(

①隐含要求 )(,0)0(t ψ=ψ即具有带通特性 ②利用ψC 可推出反变换表达式

??+∞∞-+∞

∞-ψ

-ψ=

dadb a

b t b a CWT a C t S )(),(11

)(2

3.CWT 高度冗余（与CSTFT 相似）

4.二进小波变换（对平移量b 和尺度进行离散化） )2(2)()(1

)(2

,22,,n t t a b t a

t n b a m m

n m b a m

m

-ψ=ψ?-ψ=

??==--ψ

dt t t S n CWT d n m m m n m )(*)()2,2(,,?+∞

∞

---ψ=?=

5.小波变换具有时移不变性

)

,()()

,()(00b b a C W T b t S b a C W T t S -?-?

6.用小波重构信号 ∑

∑∑∑+∞

-∞=+∞-∞

=+∞

-∞=+∞

-∞

=ψψ=

m n m n n

m n

m n

m n m t d

t d t S )(?)(?)(,,,,正交小波 中心问题：如何构建对偶框架{}

n m ,?ψ

如何构建正交小波？

5.2 分段逼近

P

1. =)(t φ

逼近函数)2(2)(

n t n t -→-φφ

)2(2)()()(S ,1,0n t C t S n t C t n

n n

n -≈?-≈∑∑φφ 尺度2

1=

a ?一般式：∑-=-≈n

m m n

m m a n t C

t S 2)2(2

)(,2

尺度φ

)(,0,τS a m 逼近收敛于→∞→ 0,,0→∞→→逼近a m

2.两尺度函数间关系 )12()2()(-+=t t t φφφ

①张成空间满足10V V ? ②两尺度空间差异在哪？ 3.表征细节的小波变换的引入

很显然采样率越高，s T 越小， 逼近误差越小，采样率∞→无误差

发现

2

)

()()12(2

)

()()2(t t t t t t ?φφ?φφ-=

-+=

?

∑-≈?n

n n t C S )2(2)t (,1φ 12,2+=m m n

??

?

???

--+-∑∑+m m m m m t C m t C )122()22(212,12,1φφ

??

????

---+-+-=∑∑+m m m m m t m t C m t m t C 2)()(2)()(21

2,12,1?φ?φ ∑

∑

-?-+-?+→++n

n n m

n n n t C C n t C C n m )(2

)(2

1

2,12,11

2,12,1?φ

001W V V ⊕=? 4.推广

?

⊕⊕⊕⊕⊕=⊕⊕=⊕=?----0

12011011W W W W V W W V W V V m m

0121W W W V V ⊕⊕⊕=--∞- ↑⊕⊕⊕=---m W W W V m m m m ,123

,l i m ,1012=↓↓⊕⊕⊕⊕⊕==↑↑∞---∞

→∞V m W W W W V V m m m 逼近精度逼近精度

?

??

?-)2(22n t m m ?包含信息量决定 →形成最简单的MRA

尺 度

2V

二．分段逼近与小波变换（哈尔小波） 1.信号的尺度逼近与小波表示 尺度逼近 ∑→-n

m n

m m t S n t C

)()2(2

,2

φ 小波表示 ∑∑+∞-∞=+∞

-∞

=-=m n m m

n

m n t d

t S )2(2)(2

,? Harr 小波

2.Harr 小波特性

①同一尺度平移正交性：?+∞

∞

-'-='--)()(*)(n n dt n t n t δ??

②尺度，平移均正交 ?∞

+∞

-''''+''='-->=

)(,,)2(*)2(2

)(),(δδ???? ??

?????-?形成正交基)2(22n t m

m ??∞

+∞

--=dt n t t S d m

m n m )2(*)(22,?影即为小波系数

信号在正交基函数上投 分段逼近的推广—MRA 一．多分辨率分析含义

①由内空间 ????+-110m m m V V V 组成

②若0V 空间尺度函数)(t ?平移正交：?+∞

∞-=-)()(*)(n n t t δφφ

则)(t ?为0V 空间尺度函数,任一函数S(t)可用表示)(t φ

③成立当且仅当1)2()(+∈∈m m V t S V t S ④{}00

=m m

m V V 交集为

⑤平方可积空间即为并集逼近m V )(l i m

2R L V m m =∞

→ 问题：Harr 小波构成最简单MRA

?同尺度m 也满足

?

+∞

∞

-''-=)()(*)(,,n n dt t t n m n m δ?? 作变量替换即可证明

?∑∞

+∞

--=-=dt

n t t S C n t C t S n n

n )(*)()

()(φφ

如何构造选其它具体的MRA 体系 二．正交小波函数的系统构造 1.两尺度方程引入 ①低通滤波器与尺度关系

Harr 小波满足 ???

???-+=-+=)12(21)2(212)12()2()(t t t t t φφφφφ

∑-=??

??

??=n

n t n h t

h 卷积关系

满足)()(2)2(212

1

00φφ ②频域反映

令 )2(2)2

()()()()(00w t

w t w H n h φφφφ????

)()(00w w H h φφ?*?

)()()2()()(2)2(200w w H w w w H w φφφφ==?即

③含义

a. LPF n h H 为)(,1)0(00=

b ．根据MRA ，∏∞

==Φ=Φ1

00)0()2()2()2()(k k w

H w w H w φ

c.1)0(=Φ 2.QMF 的引入

①)(t φ的尺度正交关系的频域反映

?

+∞

∞

-=-)()(*)(n n t t δφφ

??--)()(w e n t j n w

φφ 频域也正交

?

∑+∞

∞

-=n

jnw n dw e w w )()(*)(21δφφπ

两边对n 求和 ?

∑+∞

∞

-=?

n

inw dw e w w 1)(*)(21φφπ

利用泊松求和公式

∑∑+=-n

n

jnw

n w F e

n f )2()(π

（令)(2)(,1)(w w F n f πδ==则） 有 ∑∑+=-n

n

jnw

n w e

)2(2πδπ

∑∑-=?

n

n

jnw

n w e

)2(21πδπ

?∑+∞

∞

-=-?n

dw n w w w 1)2()(*)(πδφφ

∑?

+∞

∞

-=-n

dw n w w 1)2()(2

πδφ

即：∑∑=+?=-k

n

k w n w 1)2(1)2(2

2

πφπφ

② QMF 正交镜像滤波器组的导出 利用两尺度关系

∑=++k k w

H k w 1)2()2(2

0ππφ

对k 分奇偶讨论

1))12(2())12(2()22()22(2

020=+++++++?∑∑n

n n w

n w H n w n w H πφππφπ

1))12(2()2()22()

2

(2

2

2

2

0=+++++∑∑n

n

n w

w H n w w

H πφππφ 1)2

()2(2

02

0=++?πw

H w H

1)2(*)()(*)()()(00002

02

0=+++=++?πππw H w H w H w H w H w H ③含义

a.镜像为)()(,1)(1)0(0000w H w H H H ππ+=?=

b.功率互补条件—半带条件 )(*)()(00w H w H w P =

1

π

2

0)

(w H

3.正交小波滤波器满足的条件 ①频域关系

根据0)(),(=-k x x φ?可推出

0)(*)()(*)(1010=+++ππw H w H w H w H 上式的解为 )(*)(01π+-=-w H e w H jw ②时域关系 令 ∑-=??n

jnw e n h w H w H n h w H n h )()()()()

()(0011根据

)

(*)1()1()()

(*)1()

1()(*)()1()(*)(001001

0000πππ+?--=+?--+?--?-?

---w H e n h n h w H e

n h w H n h w H n h jw n jw

n n

③易证 QMF w H 也为)(1

④小波滤波器同样满足两尺度关系

∏∑∞==Φ=-=20111)

2

()2()2()2()()

2()(2)(k k k

w

H w H w w H w k t k h t ?φ?

4.尺度与小波滤波器频域关系的矩阵表示

??????=??????++??????++1001)()()()()(*)()()

(11001010ππππw H w H w H w H W H w H w H w H 5.{}{}解释的与MRA t t n m n m )()(,,φ?

{}{}m

n

m m

n

m V t W t →→)()(,,φ

? 正交补 112+-⊕⊕⊕=?m m m W W W L

?∑∑∞

+∞

-+∞

-∞=+∞

-∞===

dt

t t S d t d

t S n m n m m n m n n

m )(*)()

()(,,,,??

例：求Harr 小波的频域尺度函数和小波函数

??

??

??-=????

??=2121

212

1

10h h 解： 2)2()2()2()(11

210w w Sin e w Cos e w H w k k w j k w j k ?

===Φ∏∏∞

=∞=-+- ∑??=-==---n

w

j jw

jnw

w Sin e j e e n h w H )2

()1(21)()(211 4)4()()2

()2()(21w w S i n w w w H w =

?=Φ=?? 其频域幅值图如Fig 5–13所示

可发现其缺陷在于波纹太大 （原因—时域紧支撑） 例：理想LPF 也构成正交小波

?????

≤

=其它

021)(0πw w H

解：[]()

)

1()

1(2)()(00n n Sin w H IFT n h --==ππ 小波函数Sinc Sinc →?)( 三．有关小波函数的一些概念 1.小波消失矩 （vanishing moment ） 满足 阶消失矩

具有则称N t N k dt t t k m k )(1

,1,0,0)()(1??-===?+∞

∞- ①母小波)(t ?平滑度由消失矩决定，消失矩越大，则)(w ?频域衰减越快

)(t ?越平滑

②消失矩越大，小波振荡程度越高 2.小波正则度（regularity ） ①定义：小波)(t ?的连续可导次数

②正则度为n 的小波)(t ?具有（n +1）阶消失矩（必要条件） 四．问题讨论

1.根据MRA 理论

①小波和尺度函数均可由无穷频域次乘积得出，最终由)(0n h 决定 ②不关心其解析表达式

2.MRA 理论 离散小波的数值实现

5.4 小波变换与数字滤波器组

一．时间离散小波变换的实现途径 1.不能直接对定义式离散化实现

)2(2),()(),(2

,,n t t S t t S d m m

n m n m -==?? 令 )(采样周期→=T kT l 当m 较小时，n t m -2不为整数

2.第一代小波变换：根据MRA 理论，由数字滤波器组实现

3.第二代小波变换：Swelden 算法 由预测和更新滤波器进行交替提升实现 二．Mallat 算法 1.两个近似假设

①∑∑∑-=+

=n

n m k n

kn n

k n m n m t d

t C t S t S 1

,000)()()()(?φ似由某一尺度空间函数近

②n m C ,由采样数据直接近似 ?

∞

+∞

--=dt n t t S C m m n m )2(*)(2

2

,φ

m m w jn

m jnw w e n t w e n t w t ----??-??-??2)2()2()

()()()(2φφφφφφ

滤波器组

（Mallat 算法） （根据尺度函数和小波函数）

)2(2

)2(222

2

w e

n t m w

jn m m

m m -??--

-?-?φφ

?∞+∞---?=?dw e w w S C w n

j m m

n

m 22

,)2(*)(221φπ

当分辨率m 足够高时 0)2(*→-w m φ

n

t m m m nw

j m

n m m m

t S n S dw

e w S C --=---∞

+∞

--==?

≈??

22

2

2

2

,)(2

)2(2

)(212

π

故可直接用样本数据取代 2.Mallat 算法 ①分解算法 a.推导

???

∞

+∞--∞

+∞-∞

+∞

-----=-==-dt

n t t S dt

n t t S dt t t S C m m m m n m n m )2

22(*)(2)2(*)(2

)()(1

12

1*

,1,1φφφ

两尺度关系 ?

∑∞

+∞

--+-?i

m m dt i n t i h t S ))2(2(*)(2)(2

02

1

φ

∑∑∑?++∞

+∞

->=

i

i

n m i n m i

m m C i h t t S i h dt

i n t t S i h 2,02,02

0)(2)(),()(2))2(2(*2)()(φφ

∑-+='i i m C n i h i

n i ,0)2(22

同理

-=-i m n m C n i h d ,1,1)2(2

②重构算法

a.推导（由两尺度关系，正交关系，及奇偶讨论可导出）

???

??-+-=∑∑--i i i m i m n m d i n h C i n h C ,11,10,)2()2(2

b.滤波器组实现（上采样+滤波）

5.5

小波变换的应用

一．小波地位

小波曾火热一时，但小波不是万能的，在某些应用场合特别适用 小波无法求解微分方程纯数字和物理地位不如FT 二．信号检测方面应用 发动机声音中的撞击声检测

傅里叶分析：时间平均作用模糊了信号局部特性 Gabor 变换 ：仍需长窗去包含振荡波形 小波变换 ： 小波基可任意窄 三．降噪应用 1.适用场合

经典滤波：要求信号与噪声频率足够窄且不重合 高斯类噪声和脉冲噪声 → 宽带噪声 → 小波去噪 2.滤波效果

①经典滤波：丢失波形尖锐处信息

②小波降噪：基本保留波形尖锐处信息（与小波基选择有关） 3.滤波手段

①传统方法：Prony 参数建模法

②小波降噪

b.可证明其统计最优性

c.阈值比较（阈值T 可基于信号标准差得出） 硬阈值：比较n m d ,

软阈值：考虑n m d ,符号，及其其它系数相关性 4.小波基选择：小波基应与主体信号量相近

相似度越高，主小波系数越大，噪声系数则越小 NI 信号处理工具箱

分解

重构

小波变换详解

基于小波变换的人脸识别 近年来，小波变换在科技界备受重视，不仅形成了一个新的数学分支，而且被广泛地应用于模式识别、信号处理、语音识别与合成、图像处理、计算机视觉等工程技术领域。小波变换具有良好的时频域局部化特性，且其可通过对高频成分采取逐步精细的时域取样步长，从而达到聚焦对象任意细节的目的，这一特性被称为小波变换的“变聚焦”特性，小波变换也因此被人们冠以“数学显微镜”的美誉。 具体到人脸识别方面，小波变换能够将人脸图像分解成具有不同分辨率、频率特征以及不同方向特性的一系列子带信号，从而更好地实现不同分辨率的人脸图像特征提取。 4.1 小波变换的研究背景 法国数学家傅立叶于1807年提出了著名的傅立叶变换，第一次引入“频率”的概念。傅立叶变换用信号的频谱特性来研究和表示信号的时频特性，通过将复杂的时间信号转换到频率域中，使很多在时域中模糊不清的问题，在频域中一目了然。在早期的信号处理领域，傅立叶变换具有重要的影响和地位。定义信号(t)f 为在(-∞，+∞)内绝对可积的一个连续函数，则(t)f 的傅立叶变换定义如下： ()()dt e t f F t j ωω-? ∞ -∞ += (4-1) 傅立叶变换的逆变换为： ()()ωωπ ωd e F t f t j ? +∞ ∞ -= 21 (4-2) 从上面两个式子可以看出，式（4-1）通过无限的时间量来实现对单个频率

的频谱计算，该式表明()F ω这一频域过程的任一频率的值都是由整个时间域上的量所决定的。可见，式（4-1）和（4-2）只是同一能量信号的两种不同表现形式。 尽管傅立叶变换可以关联信号的时频特征，从而分别从时域和频域对信号进行分析，但却无法将两者有效地结合起来，因此傅立叶变换在信号的局部化分析方面存在严重不足。但在许多实际应用中，如地震信号分析、核医学图像信号分析等，研究者们往往需要了解某个局部时段上出现了哪个频率，或是某个频率出现在哪个时段上，即信号的时频局部化特征，傅立叶变换对于此类分析无能为力。 因此需要一种如下的数学工具：可以将信号的时域和频域结合起来构成信号的时频谱，描述和分析其时频联合特征，这就是所谓的时频局部化分析方法，即时频分析法。1964年，Gabor 等人在傅立叶变换的基础上引入了一个时间局部化“窗函数”g(t)，改进了傅立叶变换的不足，形成窗口化傅立叶变换，又称“Gabor 变换”。 定义“窗函数”(t)g 在有限的区间外恒等于零或很快地趋于零，用函数(t )g -τ乘以(t)f ，其效果等同于在t =τ附近打开一个窗口，即： ()()()dt e t g t f G t j f ωττω-+∞ ∞--=?, (4-3) 式（4-3）即为函数f(t)关于g(t)的Gabor 变换。由定义可知，信号(t)f 的Gabor 变换可以反映该信号在t =τ附近的频谱特性。其逆变换公式为： ()()()ττωτωπ ωd G t g e d t f f t j ,21 ? ?+∞ ∞ --- = (4-4) 可见()τω,f G 的确包含了信号(t)f 的全部信息，且Gabor 窗口位置可以随着 τ的变化而平移，符合信号时频局部化分析的要求。 虽然Gabor 变换一定程度上克服了傅立叶变换缺乏时频局部分析能力的不

小波变换与傅里叶变换的对比异同

小波变换与傅里叶变换的对比、异同 一、基的概念 两者都是基，信号都可以分成无穷多个他们的和（叠加）。而展开系数就是基与信号之间的内积，更通俗的说是投影。展开系数大的，说明信号和基是足够相似的。这也就是相似性检测的思想。但我们必须明确的是，傅里叶是0-2pi 标准正交基，而小波是-inf到inf之间的基。因此，小波在实轴上是紧的。而傅里叶的基（正弦或余弦），与此相反。而小波能不能成为Reisz基，或标准稳定的正交基，还有其它的限制条件。此外，两者相似的还有就是PARSEVAL定理。（时频能量守恒）。 二、离散化的处理 傅里叶变换，是一种数学的精妙描述。但计算机实现，却是一步步把时域和频域离散化而来的。第一步，时域离散化，我们得到离散时间傅里叶变换（DTFT），频谱被周期化；第二步，再将频域离散化，我们得到离散周期傅里叶级数（DFS），时域进一步被周期化。第三步，考虑到周期离散化的时域和频域，我们只取一个周期研究，也就是众所周知的离散傅里叶变换（DFT）。这里说一句，DFT是没有物理意义的，它只是我们研究的需要。借此，计算机的处理才成为可能。所有满足容许性条件（从-INF到+INF积分为零）的函数，都可以成为小波。小波作为尺度膨胀和空间移位的一组函数也就诞生了。但连续取值的尺度因子和平移因子，在时域计算量和频域的混叠来说，都是极为不便的。用更为专业的俗语，叫再生核。也就是，对于任何一个尺度a和平移因子b的小波，和原信号内积，所得到的小波系数，都可以表示成，在a，b附近生成的小波，投影后小波系数的线性组合。这就叫冗余性。这时的连续小波是与正交基毫无关系的东西，它顶多也只能作为一种积分变换或基。但它的显微镜特点和相似性检测能力，已经显现出来了。为了进一步更好的将连续小波变换离散化，以下步骤是一种有效方法。第一步，尺度离散化。一般只将a二进离散化，此时b是任意的。这样小波被称为二进小波。第二步，离散b。怎么离散化呢？b取多少才合适呢？于是，叫小波采样定理的东西，就这样诞生了。也就是小波平移的最小距离（采样间隔），应该大于二倍小波基的最高频率（好像类似，记不清了）。所以b取尺度的整数倍就行了。也就是越胖的小波，对应频谱越窄，平移量应该越大，采样间隔越大。当然，第一二两步的频域理解，即在满足频域窗口中心是3倍的频域窗口半径的前提下，频域就在统计上是完美二分的。（但很多小波满足不了这个条件，而且频域窗口能量不?,所以只是近似二分的).这时的小波变换,称为离散二进小波变换.第三步,引入稳定性条件.也就是经过变换后信号能量和原信号能量有什么不等式关系.满足稳定性条件?后,也就是一个小波框架产生了可能.他是数值稳定性的保证.一个稍弱的稳定条件???,就是?

小波变换的基本原理

10.2小波变换的基本原理 地质雷达的电磁波信号和地震波信号都是非平稳随机时变信号，长期以来，因非平稳信号处理的理论不健全，只好将其作为平稳信号来处理，其处理结果当然不满意。近年来，随着科学技术的发展和进步，国内外学术界已将注意力转向非平稳随机信号分析与处理的研究上，其中非平稳随机信号的时频表示法是研究热点之一。在这一研究中，戈勃展开、小波变换、维格纳分布与广义双线性时频分布等理论发展起来，这些方法既可以处理平稳信号过程，也可以处理非平稳随机时变信号。 小波变换是上世纪80年代中后期逐渐发展起来的一种数学分析方法。1984年法国科学家J.M OLET在分析地震波的局部特性时首先使用了小波这一术语，并用小波变换对地震信号进行处理。小波术语的含义是指一组衰减震动的波形，其振幅正负相间变化，平均值为零，是具有一定的带宽和中心频率波组。小波变换是用伸缩和平移小波形成的小波基来分解（变换）或重构（反变换）时变信号的过程。不同的小波具有不同带宽和中心频率，同一小波集中的带宽与中心频率的比是不变的，小波变换是一系列的带通滤波响应。它的数学过程与傅立叶分析是相似的，只是在傅立叶分析中的基函数是单频的调和函数，而小波分析中的基函数是小波，是一可变带宽内调和函数的组合。 小波变换在时域和频域都具有很好的局部化性质，较好地解决了时域和频域分辨率的矛盾，对于信号的低频成分采用宽时窗，对高频成分采用窄时窗。因而，小波分析特别适合处理非平稳时变信号，在语音分析和图象处理中有广泛的应用，在地震、雷达资料处理中将有良好的应用前景。 下边就小波分析的基本原理、主要作用及在雷达资料处理中的应用三方面作以介绍。 10.2.1小波分析的基本原理 小波函数的数学表达

第三章 离散小波变换

第三章 离散小波变换 3.1 尺度与位移的离散化方法 减小小波变换系数冗余度的做法是将小波基函数?? ? ??-= a t a t a τψψτ1)(,的 τ,a 限定在一些离散点上取值。 1. 尺度离散化：一种最通常的离散方法就是将尺度按幂级数进行离散化， 即取m m a a 0=（m 为整数，10≠a ，一般取20=a ）。如果采用对数坐标，则尺度a 的离散取值如图3.1 所示。 图3.1 尺度与位移离散方法 2. 位移的离散化：当120==a 时，()τψψτ-=t t a )(,。 （1）通常对τ进行均匀离散取值，以覆盖整个时间轴。 （2）要求采样间隔τ满足Nyquist 采样定理，即采样频率大于该尺度下频率通带的2倍。 3. )(,t a τψ=？ 当m 增加1时，尺度增加一倍，对应的频带减小一半（见图2.2），可见采样频率可以降低一半，即采样间隔可以增大一倍。因此，如果尺度0=m 时τ的间隔为s T ，则在尺度为m 2时，间隔可取s m T 2。此时)(,t a τψ可表示为 );(2212221 ,t T n t T n t n m s m m m s m m ψψψ记作??? ???-=??? ? ???- Z n m ∈, 为简化起见，往往把t 轴用s T 归一化，这样上式就变为

()n t t m m n m -=-- 22)(2 ,ψψ （3.1） 4. 任意函数)(t f 的离散小波变换为 ??=R n m f dt t t f n m WT )()(),(,ψ （3.2） DWT 与CWT 不同，在尺度—位移相平面上，它对应一些如图3.1所示的离散的点，因此称之为离散小波变换。将小波变换的连续相平面离散化，显然引出两个问题： （1）离散小波变换>=<)(),(),(,t t f n m W T n m f ψ是否完全表征函数)(t f 的全部信息，或者说，能否从函数的离散小波变换系数重建原函数)(t f 。 （2）是否任意函数)(t f 都可以表示为以)(,t n m ψ为基本单元的加权和 ∑∈= Z n m n m n m t C t f ,,,)()(ψ？如果可以，系数n m C ,如何求？ 上述两个问题可以归结为一个。假设条件（1）满足，可合理的选择ψ，并对τ,a 进行适当的离散（即适当的选择s T a ,0），那么一定存在与小波序列n m ,ψ对 应的n m ,~ψ序列，使得问题（1）的重建简单地表示为 ∑∈><= Z n m n m n m f t f ,,,~,)(ψψ （3.3） n m ,~ψ称为n m ,ψ的对偶，它可以由一个基本小波)(~t ψ通过位移和伸缩取得： () n t t m m n m -=--2~2)(~2,ψψ 由上式，若存在)()(2R L t g ∈，则有 ∑>><<=><>=><><><<=n m n m n m g g ,,,~,ψψ 故问题（2）也成立，其中>=

小波变换基本原理.doc

第五章小波变换基本原理 问题 ①小波变换如何实现时频分析？其频率轴刻度如何标定？—尺度 ②小波发展史 1910 Harr 小波 80 年代初兴起Meyer—小波解析形式 小波80 年代末 Mallat 多分辨率分析— WT 无须尺度 构造？和小波函数—滤波器组实现 90 年代初 Daubechies 正交小波变换 90 年代中后期 Sweblews 第二代小波变换 ③小波变换与短时傅里叶变换比较 a．适用领域不同 b.STFT 任意窗函数WT（要容许性条件） ④小波相关概念，数值实现算法 多分辨率分析（哈尔小波为例）Daubechies正交小波构造 MRA 的滤波器实现 ⑤小波的历史地位仍不如FT，并不是万能的 5.1连续小波变换 一． CWT 与时频分析 1t b 1.概念： CWT (a, b)S(t) * ()dt a a 2.小波变换与 STFT 用于时频分析的区别 STFT小波变换 基函数 (t )(t mT )e jwt(t)1* ( t b ) a a 时频轴平移 +调制（线性频轴）平移+伸缩 a —尺度—对数频 轴 基函数特包络恒定，振荡不同振荡恒定，包络恒定 征

时频分辨(t mT )e jwt，[mT,w]附近w0 附近 b, 率 a 适用情况渐变信号突变信号 2 轴spectrogram scalogram 结果复数实数 3.WT 与 STFT 对比举例（ Fig5–6, Fig5–7） 二． WT 几个注意的问题 1.WT 与(t) 选择有关—应用信号分析还是信号复原 2.母小波(t ) 必须满足容许性条件 2 ( w) C dw w ①隐含要求(0) 0,即(t) 具有带通特性 ②利用 C可推出反变换表达式 S(t) 1 1 CWT (a,b) (t b )dadb C a 2 a 3.CWT 高度冗余（与 CSTFT 相似） 4.二进小波变换（对平移量 b 和尺度进行离散化） 2 m , b n 2 m 1 ( t b ) m (2m t n) a a, b (t ) m,n (t ) 2 2 a a d m,n CWT (2 m , n 2 m ) S(t ) m,n * (t) dt 5.小波变换具有时移不变性 S(t ) C W T(a, b) S(t b0 ) C WT(a,b b0 ) 6.用小波重构信号 S(t) ? ? d m,n m,n (t )正交小波 d m,n m,n (t ) m n mn 中心问题：如何构建对偶框架? m, n

小波变换与傅里叶变换的对比异同

小波变换与傅里叶变换 的对比异同 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】

小波变换与傅里叶变换的对比、异同 一、基的概念 两者都是基，信号都可以分成无穷多个他们的和（叠加）。而展开系数就是基与信号之间的内积，更通俗的说是投影。展开系数大的，说明信号和基是足够相似的。这也就是相似性检测的思想。但我们必须明确的是，傅里叶是0-2pi标准正交基，而小波是-inf到inf之间的基。因此，小波在实轴上是紧的。而傅里叶的基（正弦或余弦），与此相反。而小波能不能成为Reisz基，或标准稳定的正交基，还有其它的限制条件。此外，两者相似的还有就是PARSEVAL 定理。（时频能量守恒）。 二、离散化的处理 傅里叶变换，是一种数学的精妙描述。但计算机实现，却是一步步把时域和频域离散化而来的。第一步，时域离散化，我们得到离散时间傅里叶变换（DTFT），频谱被周期化；第二步，再将频域离散化，我们得到离散周期傅里叶级数（DFS），时域进一步被周期化。第三步，考虑到周期离散化的时域和频域，我们只取一个周期研究，也就是众所周知的离散傅里叶变换（DFT）。这里说一句，DFT是没有物理意义的，它只是我们研究的需要。借此，计算机的处理才成为可能。所有满足容许性条件（从-INF到+INF积分为零）的函数，都可以成为小波。小波作为尺度膨胀和空间移位的一组函数也就诞生了。但连续取值的尺度因子和平移因子，在时域计算量和频域的混叠来说，都是极为不便的。用更为专业的俗语，叫再生核。也就是，对于任何一个尺度a和平移因子b的小波，和原信号内积，所得到的小波系数，都可以表示成，在a，b附近生成的小波，投影后小波系数的线性组合。这就叫冗余性。这时的连续小波是与正交基毫无关系的东西，它顶多也只能作为一种积分变换或基。但它的显微镜特点和相似性检测能力，已经显现出来了。为了进一步更好的将连续小波变换离散化，以下步骤是一种有效方法。第一步，尺度离散化。一般只将a二进离散化，此时b 是任意的。这样小波被称为二进小波。第二步，离散b。怎么离散化呢b取多少才合适呢于是，叫小波采样定理的东西，就这样诞生了。也就是小波平移的最小距离（采样间隔），应该大于二倍小波基的最高频率（好像类似，记不清了）。所以b取尺度的整数倍就行了。也就是越胖的小波，对应频谱越窄，平移量应该越大，采样间隔越大。当然，第一二两步的频域理解，即在满足频域窗口中心是3倍的频域窗口半径的前提下，频域就在统计上是完美二分的。（但很多小波满足不了这个条件，而且频域窗口能量不,所以只是近似二分的).这时的小波变换,称为离散二进小波变换.第三步,引入稳定性条件.也就是经过变换后信号能量和原信号能量有什么不等式关系.满足稳定性条件后,也就是一个小波框架产生了可能.他是数值稳定性的保证.一个稍弱的稳定条件,就是

详解傅里叶变换与小波变换

详解傅里叶变换与小波变化 希望能简单介绍一下小波变换，它和傅立叶变换的比较，以及它在移动平台做motion detection的应用。如果不做特殊说明，均以离散小波为例子。考虑到我以前看中文资料的痛苦程度，我会尽量用简单，但是直观的方式去介绍。有些必要的公式是不能少的，但我尽量少用公式，多用图。另外，我不是一个好的翻译者，所以对于某些实在翻译不清楚的术语，我就会直接用英语。我并不claim我会把整个小波变换讲清楚，这是不可能的事，我只能尽力去围绕要点展开，比如小波变换相对傅立叶变换的好处，这些好处的原因是什么，小波变换的几个根本性质是什么，背后的推导是什么。我希望达到的目的就是一个小波变换的初学者在看完这个系列之后，就能用matlab或者别的工具对信号做小波变换的基本分析并且知道这个分析大概是怎么回事。 要讲小波变换，我们必须了解傅立叶变换。要了解傅立叶变换，我们先要弄清楚什么是”变换“。很多处理，不管是压缩也好，滤波也好，图形处理也好，本质都是变换。变换的是什么东西呢？是基，也就是basis。如果你暂时有些遗忘了basis的定义，那么简单说，在线性代

数里，basis是指空间里一系列线性独立的向量，而这个空间里的任何其他向量，都可以由这些个向量的线性组合来表示。那basis在变换里面啥用呢？比如说吧，傅立叶展开的本质，就是把一个空间中的信号用该空间的某个basis的线性组合表示出来，要这样表示的原因，是因为傅立叶变换的本质，是。小波变换自然也不例外的和basis有关了。再比如你用Photoshop去处理图像，里面的图像拉伸，反转，等等一系列操作，都是和basis的改变有关。 既然这些变换都是在搞基，那我们自然就容易想到，这个basis的选取非常重要，因为basis的特点决定了具体的计算过程。一个空间中可能有很多种形式的basis，什么样的basis比较好，很大程度上取决于这个basis服务于什么应用。比如如果我们希望选取有利于压缩的话，那么就希望这个basis能用其中很少的向量来最大程度地表示信号，这样即使把别的向量给砍了，信号也不会损失很多。而如果是图形处理中常见的线性变换，最省计算量的完美basis就是eigenvector basis了，因为此时变换矩阵T对它们的作用等同于对角矩阵(Tv_n= av_n，a是eigenvalue)。总的来说，抛开具体的应用不谈，所有的basis，我们都希望它们有一个共同的特点，那就是，容易计算，用最简单的方式呈现最多的信号特性。 好，现在我们对变换有了基本的认识，知道他们其实就是在搞基。当然，搞基也是分形式的，不同的变换，搞基的妙处各有不同。接下来先看看，傅立叶变换是在干嘛。

(完整版)第三章离散傅里叶变换及其快速算法习题答案参考

第三章 离散傅里叶变换及其快速算法习题答案参考 3.1 图P3.1所示的序列()x n %是周期为4的周期性序列。请确定其傅里叶级数的系数()X k %。 解： (1) 1 1 *0 ()()()()()()N N N nk nk nk N N N n n n X k x n W x n W x n W X k X k -----=====-==-=∑∑∑ %%%%%% 3.2 （1）设()x n %为实周期序列，证明()x n %的傅里叶级数()X k %是共轭对称的，即*()()X k X k =-%。 （2）证明当()x n %为实偶函数时，()X k %也是实偶函数。 证明：（1） 1 01 1 * * ()()()[()]()() N nk N n N N nk nk N N n n X k x n W X k x n W x n W X k --=---==-=-===∑∑∑%%%%%% （2）因()x n %为实函数，故由（1）知有 *()()X k X k =-%或*()()X k X k -=% 又因()x n %为偶函数，即()()x n x n =-%%，所以有 (1) 11*0 ()()()()()()N N N nk nk nk N N N n n n X k x n W x n W x n W X k X k -----=====-= =-=∑∑∑ %%%%%% 3.3 图P3.3所示的是一个实数周期信号()x n %。利用DFS 的特性及3.2题的结果，不直接计算其傅里叶级 数的系数()X k %，确定以下式子是否正确。 （1）()(10)X k X k =+%%，对于所有的k ； （2）()()X k X k =-%%，对于所有的k ； （3）(0)0X =%；

基于Matlab的离散小波变换

基于Matlab的离散小波变换 lyqmath https://www.doczj.com/doc/4e10050055.html,/lyqmath 目录 基于Matlab的离散小波变换 (1) 简介 (1) 实例 (2) 结果 (2) 总结 (2) 简介 在数字图像处理中，需要将连续的小波及其小波变换离散化。一般计算机实现中使用二进制离散处理，将经过这种离散化的小波及其相应的小波变换成为离散小波变换（简称DWT）。实际上，离散小波变换是对连续小波变换的尺度、位移按照2的幂次进行离散化得到的，所以也称之为二进制小波变换。 虽然经典的傅里叶变换可以反映出信号的整体内涵，但表现形式往往不够直观，并且噪声会使得信号频谱复杂化。在信号处理领域一直都是使用一族带通滤波器将信号分解为不同频率分量，即将信号f(x)送到带通滤波器族Hi(x)中。 小波分解的意义就在于能够在不同尺度上对信号进行分解，而且对不同尺度的选择可以根据不同的目标来确定。 对于许多信号，低频成分相当重要，它常常蕴含着信号的特征，而高频成分则给出信号的细节或差别。人的话音如果去掉高频成分，听起来与以前可能不同，但仍能知道所说的内容；如果去掉足够的低频成分，则听到的是一些没有意义的声音。在小波分析中经常用到近似与细节。近似表示信号的高尺度，即低频信息；细节表示信号的高尺度，即高频信息。因此，原始信号通过两个相互滤波器产生两个信号。 通过不断的分解过程，将近似信号连续分解，就可以将信号分解成许多低分辨率成分。理论上分解可以无限制的进行下去，但事实上，分解可以进行到细节（高频）只包含单个样本为止。因此，在实际应用中，一般依据信号的特征或者合适的标准来选择适当的分解层数。

(完整版)小波原理课件

我希望能简单介绍一下小波变换，它和傅立叶变换的比较，以及它在移动平台做motion detection的应用。如果不做特殊说明，均以离散小波为例子。考虑到我以前看中文资料的痛苦程度，我会尽量用简单，但是直观的方式去介绍。有些必要的公式是不能少的，但我尽量少用公式，多用图。另外，我不是一个好的翻译者，所以对于某些实在翻译不清楚的术语，我就会直接用英语。我并不claim我会把整个小波变换讲清楚，这是不可能的事，我只能尽力去围绕要点展开，比如小波变换相对傅立叶变换的好处，这些好处的原因是什么，小波变换的几个根本性质是什么，背后的推导是什么。我希望达到的目的就是一个小波变换的初学者在看完这个系列之后，就能用matlab或者别的工具对信号做小波变换的基本分析并且知道这个分析大概是怎么回事。 要讲小波变换，我们必须了解傅立叶变换。要了解傅立叶变换，我们先要弄清楚什么是”变换“。很多处理，不管是压缩也好，滤波也好，图形处理也好，本质都是变换。变换的是什么东西呢？是基，也就是basis。如果你暂时有些遗忘了basis的定义，那么简单说，在线性代数里，basis是指空间里一系列线性独立的向量，而这个空间里的任何其他向量，都可以由这些个向量的线性组合来表示。那basis在变换里面啥用呢？比如说吧，傅立叶展开的本质，就是把一个空间中的信号用该空间的某个basis的线性组合表示出来，要这样表示的原因，是因为傅立叶变换的本质，是。小波变换自然也不例外的和basis有关了。再比如你用Photoshop去处理图像，里面的图像拉伸，反转，等等一系列操作，都是和basis的改变有关。 既然这些变换都是在搞基，那我们自然就容易想到，这个basis的选取非常重要，因为basis的特点决定了具体的计算过程。一个空间中可能有很多种形式的basis，什么样的basis比较好，很大程度上取决于这个basis服务于什么应用。比如如果我们希望选取有利于压缩的话，那么就希望这个basis能用其中很少的向量来最大程度地表示信号，这样即使把别的向量给砍了，信号也不会损失很多。而如果是图形处理中常见的线性变换，最省计算量的完美basis就是eigenvector basis了，因为此时变换矩阵T对它们的作用等同于对角矩阵( Tv_n = av_n，a是eigenvalue )。总的来说，抛开具体的应用不谈，所有的basis，我们都希望它们有一个共同的特点，那就是，容易计算，用最简单的方式呈现最多的信号特性。 好，现在我们对变换有了基本的认识，知道他们其实就是在搞基。当然，搞基也是分形式的，不同的变换，搞基的妙处各有不同。接下来先看看，傅立叶变换是在干嘛。 傅立叶级数最早是Joseph Fourier 这个人提出的，他发现，这个basis不仅仅存在与vector space，还存在于funct ion space。这个function space本质上还是一个linear vector space，可以是有限的，可以是无限的，只不过在这个空间里，vector就是function了，而对应的标量就是实数或者复数。在vector space里，你有vector v可以写成vector basis的线性组合，那在function space里，function f(x)也可以写成对应function basis的线性组合，也有norm。你的vector basis可以是正交的，我的function basis也可以是正交的（比如sin(t)和sin(2t)）。唯一不同的是，我的function basis是无穷尽的，因为我的function space的维度是无穷的。好，具体来说，那就是现在我们有一个函数，f(x)。我们希望将它写成一些cos函数和一些sin函数的形式，像这样 again，这是一个无限循环的函数。其中的1，cosx, sinx, cos2x …..这些，就是傅立叶级数。傅立叶级数应用如此广泛的主要原因之一，就是它们这帮子function basis是正交的，这就是有趣的地方了。为什么function basis正交如此重要呢？我们说两个vector正交，那就是他俩的内积为0。那对于function basis呢？function basis怎么求内积呢？ 现在先复习一下vector正交的定义。我们说两个vector v,w如果正交的话，应符合：

基于GEM模型和离散小波变换的图像修复方法(中文版)

基于GEM模型和离散小波变换的图像修复方法 让·格姆士，安东尼·库马尔 摘要：在本文中，我们提出了一种新颖的期望最大化算法，使用一种新的离散多尺度方向的稀疏表示称为离散小波变换（DWT）应用于自动彩色图像修复。众所周知，传统小波都不能有效处理分布不连续的多维信号，如边缘处。采用基础元素与更高的定向敏感性法的方法可以实现更有效的表示。而最为有效表示图像的边缘的方法是利用小波变换使多尺度方法的能力相结合一种能够捕捉多维数据的几何形状的独特的能力。待修复的部分可以被看作是插值或者估计问题与数据缺失。为了实现这一目标，我们建议使用期望最大化（EM）算法在贝叶斯框架上，用于恢复丢失的样本，使用的是稀疏表示的离散小波变换（DWT）的想法。我们首先介绍一个简单而有效的稀疏表示的离散小波变换（DWT）的图像修复的迭代算法。然后，我们推导出它的收敛性。我们可以证明，这种基于新的稀疏表示—离散小波变换的算法在图像修复中的应用，无论是在性能方面还是计算效率上都具有一定竞争力。 关键词：稀疏表示，小波，离散小波变换，系统修复，优化，期望最大化

1.简介 图像修复是指填充在图像中丢失或损坏的区域（如裂缝或疤痕）。在美术博物馆，专业艺术家对图像进行传统的图像修复，通常是非常耗时的，更不用说由于直接修复而造成图像完全被破坏的风险。 从数学角度来说，图像修复本质上是一个插值问题。从而在计算机视觉和图像处理上直接重叠与其他许多重要的任务，包括图像转换、图像修补、缩放、超分辨率和错误隐藏。当前的工作是激励和启发错误隐藏的应用程序，其实就是自动恢复在传输过程中所丢失的数据包信息。 在小波域内图像修复或使用稀疏表示是一个完全不同的问题，因为这种方法没有定义的图像修复区域的像素域。在新的图像压缩标准JPEG2000发布之后，这个新的标准在很大程度上是基于小波变换，许多图像不仅是格式化的并且存储在小波系数中。在这些图像无线传输时，它可能会在传输过程中发生随机丢失或损坏某些小波数据包。在小波域上，用小波变换从这些丢失或损坏小波包的图像中恢复原始图像是图像修复的难题，这种方式的任务明显不同于传统的图像修补方法。 在传统的图像修复方法中，在稀疏词典中运用著名的Daubechies 小波7/9[1][2]双正交分解。这些传统小波不能有效处理诸如如边缘处的含有分散式间断部分的多维信号。因为这种处理，常常导致形成Gibbs吉布斯型构件式假象[6]，其周围明显的锐利，不连续。由于小波系数较小的会被消除，所以系数较小的小波会被保留。虽然新的小

小波变换的原理及matlab仿真程序讲解学习

小波变换的原理及m a t l a b仿真程序

基于小波变换的信号降噪研究 2 小波分析基本理论 设Ψ(t)∈L 2( R) ( L 2( R) 表示平方可积的实数空间，即能量有限的信号空间) ， 其傅立叶变换为Ψ(t)。当Ψ(t)满足条件[4,7]： 2 () R t dw w C ψψ =<∞? （1） 时，我们称Ψ(t)为一个基本小波或母小波，将母小波函数Ψ(t)经伸缩和平移后，就可以得到一个小波序列： ,()( )a b t b t a ψ -= ,,0a b R a ∈≠ （2） 其中a 为伸缩因子，b 为平移因子。 对于任意的函数f(t)∈L 2( R)的连续小波变换为： ,(,),()( )f a b R t b W a b f f t dt a ψψ-=<>= ? （3） 其逆变换为： 211()(,)()f R R t b f t W a b dadb C a a ψ ψ+-= ?? （4） 小波变换的时频窗是可以由伸缩因子a 和平移因子b 来调节的，平移因子b,可以改变窗口在相平面时间轴上的位置，而伸缩因子b 的大小不仅能影响窗口在频率轴上的位置,还能改变窗口的形状。小波变换对不同的频率在时域上的取样步长是可调节的，在低频时，小波变换的时间分辨率较低，频率分辨率较高：在高频时，小波变换的时间分辨率较高，而频率分辨率较低。使用小波变换处理信号时，首先选取适当的小波函数对信号进行分解，其次对分解出的参

数进行阈值处理，选取合适的阈值进行分析，最后利用处理后的参数进行逆小波变换，对信号进行重构。 3 小波降噪的原理和方法 3.1 小波降噪原理 从信号学的角度看 ,小波去噪是一个信号滤波的问题。尽管在很大程度上小波去噪可以看成是低通滤波 ,但由于在去噪后 ,还能成功地保留信号特征 ,所以在这一点上又优于传统的低通滤波器。由此可见 ,小波去噪实际上是特征提取和低通滤波的综合 ,其流程框图如图所示[6]： 小波分析的重要应用之一就是用于信号消噪 ,一个含噪的一维信号模型可表示为如下形式： (k)()()S f k e k ε=+* k=0.1…….n-1 其中 ,f( k)为有用信号,s(k)为含噪声信号,e(k)为噪声,ε为噪声系数的标准偏差。 假设e(k)为高斯白噪声,通常情况下有用信号表现为低频部分或是一些比较平稳的信号,而噪声信号则表现为高频的信号,下面对 s(k)信号进行如图结构的小波分解,则噪声部分通常包含在Cd1、Cd2、Cd3中,只要对 Cd1,Cd2,Cd3作相应的小波系数处理,然后对信号进行重构即可以达到消噪的目的。

第三章离散小波变换.

第三章离散小波变换 3.1尺度与位移的离散化方法 减小小波变换系数冗余度的做法是将小波基函数 ' 一些离散点上取值。 1.尺度离散化：一种最通常的离散方法就是将尺度按幕级数进行离散化，即取 ，一般取 ）。如果采用对数坐标，则尺度'的离 ]2 3 4 5 € J ■ ■ ■ k- ] ■ ■ v ■ Prit ■ 1J ■i r 图3.1尺度与位移离散方法 （1）通常对「进行均匀离散取值，以覆盖整个时间轴。 （2）要求采样间隔「满足’’… 采样定理，即采样频率大于该尺度下频率 通带的2倍。 3. ： ' = ？ 当 增加1时，尺度增加一倍，对应的频带减小一半（见图 2.2），可见采样 频率可以降低一半，即采样间隔可以增大一倍。因此，如果尺度：■时—的 T rE T? T （ f l 间隔为?，则在尺度为-时，间隔可取 。此时 可表示为 为简化起见，往往把’轴用’归一化，这样上式就变为 叫厂畸（皿为整数，叫士 散取值如图3.1所示。 2. 位移的离散化：当1 时， 'o m, w e Z

%山"2 W"（3.1） 4.任意函数的离散小波变换为 H 心（3.2） DWT与CWT不同，在尺度一位移相平面上，它对应一些如图3.1所示的离散的点，因此称之为离散小波变换。将小波变换的连续相平面离散化，显然引出两个问题： （1）离散小波变换’一' *"是否完全表征函数的全部信息，或 者说，能否从函数的离散小波变换系数重建原函数。 （2）是否任意函数都可以表示为以为基本单元川2工 的加权和？如果可以，系数’ 如何求？ 上述两个问题可以归结为一个。假设条件（1）满足，可合理的选择，并对进行适当的离散（即适当的选择?’），那么一定存在与小波 序列对应的序列，使得问题（1）的重建简单地表示为 A0 = ￡也2“ （3.3） 称为的对偶，它可以由一个基本小波■?通过位移和伸 缩取得： 由上式，若存在'''，则有

Matlab实现小波变换

Matlab实现小波变换 本文来自: 高校自动化网(https://www.doczj.com/doc/4e10050055.html,) 详细出处参考(转载请保留本链接)：https://www.doczj.com/doc/4e10050055.html,/html/matlab/7709.html MATLAB 小波变换2010-01-11 20:51 3. 图像小波变换的Matlab 实现函数fft、fft2 和fftn 分析 3.1 一维小波变换的Matlab 实现 (1) dwt 函数Matlab 功能：一维离散小波变换 格式：[cA,cD]=dwt(X,'wname') [cA,cD]=dwt(X,Lo_D,Hi_D)别可以实现一维、二维和N 维DFT 说明：[cA,cD]=dwt(X,'wname') 使用指定的小波基函数'wname' 对信号X 进行分解，cA、cD 分别为近似分量和细节分量；[cA,cD]=dwt(X,Lo_D,Hi_D) 使用指定的滤波器组Lo_D、Hi_D 对信号进行分解。 (2) idwt 函数 功能：一维离散小波反变换 格式：X=idwt(cA,cD,'wname') X=idwt(cA,cD,Lo_R,Hi_R) X=idwt(cA,cD,'wname',L)函数fft、fft2 和fftn 分 X=idwt(cA,cD,Lo_R,Hi_R,L) 说明：X=idwt(cA,cD,'wname') 由近似分量cA 和细节分量cD 经小波反变换重构原始信号X 。 'wname' 为所选的小波函数 X=idwt(cA,cD,Lo_R,Hi_R) 用指定的重构滤波器Lo_R 和Hi_R 经小波反变换重构原始信号X 。 X=idwt(cA,cD,'wname',L) 和X=idwt(cA,cD,Lo_R,Hi_R,L) 指定返回信号X 中心附近的L 个点。 1. 离散傅立叶变换的Matlab实现 3.2 二维小波变换的Matlab 实现 二维小波变换的函数别可以实现一维、二维和N 维DFT ------------------------------------------------- 函数名函数功能 --------------------------------------------------- dwt2 二维离散小波变换 wavedec2 二维信号的多层小波分解 idwt2 二维离散小波反变换Matlab waverec2 二维信号的多层小波重构 wrcoef2 由多层小波分解重构某一层的分解信号 upcoef2 由多层小波分解重构近似分量或细节分量 1. 离散傅立叶变换的Matlab实现 detcoef2 提取二维信号小波分解的细节分量

小波变换基本原理

第五章 小波变换基本原理 问题 ①小波变换如何实现时频分析？其频率轴刻度如何标定？ —尺度 ②小波发展史 ③小波变换与短时傅里叶变换比较 a ．适用领域不同 b.STFT 任意窗函数 WT （要容许性条件） ④小波相关概念，数值实现算法 多分辨率分析（哈尔小波为例） Daubechies 正交小波构造 MRA 的滤波器实现 ⑤小波的历史地位仍不如FT ，并不是万能的 5.1 连续小波变换 一．CWT 与时频分析 1.概念：? +∞ ∞ --ψ= dt a b t t S a b a CWT )( *)(1),( 2.小波变换与STFT 用于时频分析的区别 小波 构造？ 1910 Harr 小波 80年代初兴起 Meyer —小波解析形式 80年代末 Mallat 多分辨率分析—WT 无须尺度和小波函数—滤波器组实现 90年代初 Daubechies 正交小波变换 90年代中后期 Sweblews 第二代小波变换

3.WT 与STFT 对比举例（Fig 5–6, Fig 5–7） 二．WT 几个注意的问题 1.WT 与)(t ψ选择有关 — 应用信号分析还是信号复原 2.母小波)(t ψ必须满足容许性条件 ∞<ψ=? ∞ +∞ -ψdw w w C 2 )( ①隐含要求 )(,0)0(t ψ=ψ即具有带通特性 ②利用ψC 可推出反变换表达式 ??+∞∞-+∞ ∞-ψ -ψ= dadb a b t b a CWT a C t S )(),(11 )(2 3.CWT 高度冗余（与CSTFT 相似） 4.二进小波变换（对平移量b 和尺度进行离散化） )2(2)()(1 )(2 ,22,,n t t a b t a t n b a m m n m b a m m -ψ=ψ?-ψ= ??==--ψ dt t t S n CWT d n m m m n m )(*)()2,2(,,?+∞ ∞ ---ψ=?= 5.小波变换具有时移不变性 ) ,()() ,()(00b b a C W T b t S b a C W T t S -?-? 6.用小波重构信号 ∑∑ ∑∑+∞-∞=+∞ -∞ =+∞-∞=+∞ -∞ =ψψ= m n m n n m n m n m n m t d t d t S )(?)(?)(,,,,正交小波 中心问题：如何构建对偶框架{} n m ,?ψ