留数定理及其在积分中的运用

江西师范大学数学与信息科学学院

学士学位论文

留数定理及其在积分中的运用

（Residue theorem and the use in the Calculus）

姓名：刘燕

学号： 0507010122

学院：数学与信息科学学院

专业：数学与应用数学

指导老师：易才凤（教授）

完成时间：2009年*月*日

留数定理及其在积分中的应用

【摘要】本文首先在预备知识中介绍了复函数积分，并介绍了留数的计算

方法等。在此基础上，我们叙述并证明了本文的主要内容--留数定理，并得到留数定理的推广。然后利用留数定理探讨分析学中的积分计算问题，并利用积分技巧得到它们的一般计算方法和公式，进而更简捷的解决了分析学中积分的计算问题.

【关键词】解析孤立奇点留数留数定理

Residue theorem and the use in the Calculus 【Abstract】This paper, we first introduce the prior knowledge of complex function Calculus，and introduce the method of calculating the residue, etc.On this basis,We described and proved the main contents of this article--the Residue theorem,and the promotion of the Residue theorem .

This paper discussed the calculating problems of intgral in analysis with the theorem of residue, got the general computating method and formula by using analysical skills, and then made it easier to resolve the calculating problems.

【Key words】Analysis Isolated singular point Residue Residue theorem

目录

1引言 .................................................. 2预备知识.......................................

2.1 复积分.............................................

2.2 解析函数极点及留数.................................

2.3留数的计算方法.................................

3留数定理..........................................

3.1留数定理........................................

3.2 留数定理的证明...................................

3.3 留数定理的推广..............................

4 应用留数定理计算积分............................

4.1复积分的计算.....................................

4.2实积分的计算....................................

5参考文献

6 致谢

x

b z n =

1-n z

n ζ

2ζ

2z

1z

1ζ

a z =0

y

图1

1 引言

众所周知，在数学分析以及实际应用中，往往要计算一些定积分或反常积分.而这些积分中被积函数的原函数，有时不能用初等函数表示出来，或者即使可以求出原函数，如果用数学分析中的计算积分的方法往往十分局限而且繁琐.因此需要寻求新的计算方法.例如，可以考虑把实积分转化为复积分，以便利用复积分的理论，而留数定理正是这方面的重要工具.

在此我们将重点介绍复变函数中运用留数定理计算积分的方法. 其基本思想是：为了求实函数)(x f 在实数轴上的某一段Γ上的积分，我们在Γ上适当附加某一曲线使其构成一简单闭曲线C ，从而将积分转化为复变函数的围线积分，然后再运用留数定理即可解决.

留数是复变函数论中重要的基本概念之一，它与解析函数在孤立奇点出的洛朗展开式，柯西复合闭路定理等都有密切的联系.留数定理是复变函数论中的重要定理，它是复积分和复级数想结合的产物，在实际中有重要的应用，特别是它可以为积分的计算提供新的方法，对复变函数论的发展起到一定的推动作用.

那么留数定理能不能计算出所有的积分呢？答案是否定的.留数定理在积分中的应用也具有一定的局限性.通过研究留数定理及其在积分中的应用，我们可以更好的理解这一重要定理一节它在积分中的应用.

此外，应用留数定理，我们还可以证明重要的辐角原理和儒歇定理等重要定理，利用这些定理可以考察区域内函数的零点分布情况等.

2 预备知识

2.1 复积分

复变函数积分的定义

定义2.1 设有向曲线C ：

)(),(βα≤≤=t t z z

以为)(αz a = 起点，)(βz b =为终点，)(z f 沿C 有定义.

顺着C 从a 到b 的方向在C 上取分点：

b z z z z a n n ==-,,,,110

把曲线C 分成若干个弧段（如图1）。从1-k z 到),2,1(n k z k =的每一弧段上任取一点k ζ.做和数

∑=?=n

k k k n z f 1)(S ζ，

其中1--=?k k k z z z .当分点无限增多，而这些弧段长度的最大值趋于零时，如果和数n S 的极限存在且等于J ，则称)(z f 沿C （从a 到b ）可积，而称J 为)(z f 沿

C （从a 到b ）的积分，并以记号?c

dz z f )(表示：

J =?c

dz z f )(.

C 称为积分路径.?c

dz z f )(表示沿C 的正方向的积分，?-c

dz z f )(表示沿C 负方向

的积分.

如果J 存在，我们一般不能把J 写成?b

a dz z f )(的形式，因为J 的值不仅和a ,b

有关，而且与积分路径C 有关.

显然，)(z f 沿曲线C 可积的必要条件为)(z f 沿C 有界.此外，，我们还有下面可积的充分条件和计算复积分的一种表达式.

定理2.1]1[ 若函数),(),()(y x iv y x u x f +=沿曲线C 连续，则)(z f 沿C 可积，且

???++-=c

c

c

udy vdx i vdy udx dz z f )(.

这个定理说明，复变函数积分的计算问题，可以化为其实，虚部两个二元实函数曲线积分的计算问题.除此之外，复积分的计算方法还有很多，比如莱布尼兹公式，柯西定理，柯西公式，以及我们后面要重点介绍的运用留数定理计算复积分等.

2.2 函数极点及留数

2.2.1 解析函数的极点

定义2.2 若函数)(z f 在点0z 不解析，但在0z 的任一邻域内总有)(z f 的解析，点，则称0z 为函数)(z f 的奇点.

定义2.3 如果函数)(z f 在点a 的某一去心邻域R a z a K <-<-0:}{（即除去圆心a 的某圆）内解析，点a 是)(z f 的奇点，则称a 为)(z f 的一个孤立奇点.

孤立奇点是解析函数的奇点中最重要的一种类型.以解析函数的洛朗展式为工具，我们能够在孤立奇点的去心邻域内充分研究一个解析函数的性质.

我们知道，如a 为函数)(z f 的孤立奇点，则)(z f 在a 点的某去心领域}{K a -内可以展成洛朗级数

n

n n

a z c z f )

()(-=

∑∞

-∞

=.

实际上，非负幂部分n n n a z c )(0

-∑∞

= 表示在点a 的邻域K ：R a z <-内的解析

函数，故函数)(z f 在点a 的奇异性质完全体现在洛朗级数的负幂部分

n

n n

a z c

-∞

=--∑)(1

，其负幂部分又称为)(z f 在点a 的主要部分.根据其主要部分的性质，孤立奇点可分为可去奇点，极点及本质奇点。在此我们重点介绍极点.

定义2.4 如果)(z f 在点a 的主要部分为有限多项，设为

)0()()(1

1)1(≠-++-+-------m m m m m c a

z c a z c a z c ，

则称a 为)(z f 的m 阶极点。一阶极点也称为单极点.

定理2.2]1[ 如果函数)(z f 以点a 为孤立奇点，则下列三条是等价的。因此，它们中的任何一条都是m 阶极点的特征.

（1）)(z f 在点a 的主要部分为

)0()()(1

1

)1(≠-++-+-------m m m m m c a

z c a z c a z c （2）)(z f 在点a 的某去心邻域内能表成

m

a z z z f )

()

()(-=

λ，

其中)(z λ在点a 邻域内解析，且0)(≠a λ； （3）)

(1

)(z f z g =

以点a 为m 阶零点（可去奇点要当做解析点看，只要令0)(=z g ）

定理2.3]1[ 函数)(z f 的孤立奇点a 为极点的充要条件是

∞=→)(lim z f a

z .

定理2.4 函数)(z f 的孤立奇点a 为可去奇点的充要条件是

)()(lim 为有限数b b z f a

z =→.

定理2.3 函数)(z f 的孤立奇点a 为本质极点的充要条件是

)(lim z f a

z →不存在.

2 留数

如果函数)(z f 在点a 是解析的，周线C 全在点a 的某邻域内，并包围点a ，则根据柯西积分定理

0)(=?dz z f c

.

但是，如果a 是)(z f 的一个孤立奇点，且周线C 全在a 的某个去心邻域内，并包围点a ，则积分

?c

dz z f )(

的值，一般说来，不再为零.并且利用洛朗系数公式很容易计算出它的值来。概括起来，我们有

定义 2.5 设函数)(z f 以有限点a 为孤立奇点，即)(z f 在点a 的某去心邻域

R a z <-<0内解析，则称积分

?Γ<<=-Γ)0,:()(21

R a z dz z f i

ρρπ 为)(z f 在点a 的留数（residue ），记为)(R z f es a

z =.

由柯西积分定理知道，当R <<ρ0，留数的值与ρ无关，利用洛朗系数公式有

1)(21

-Γ=?c dz z f i

π， 即1)(Re -==c z f s a

z ；这里1-c 是)(z f 在a z =处的洛朗展式中

a

z -1

这一项的系数. 由此可知，函数在有限可去奇点处的留数为零.

§2.3 留数的计算方法

为了应用留数定理求周线积分，首先应掌握求留数的方法.

在计算孤立奇点a 的留数时，我们只关心其洛朗展式中的

a

z -1

这一项的系数，所以应用洛朗展式求留数是一般方法；对于n 阶极点处的留数，为避免每求一个极点处的留数都要去求一次洛朗展式，可以运用下面的定理中的公式来求.

定理2.4]1[ 设a 为)(z f 的n 阶极点，

n

a z z z f )

()

()(-=

?，

其中）（z ?（由极点性质知）在点a 解析，0≠）

（a ?，则 )!

1()

()(R )1(-=

-=n a z f es n a

z ?.

这里符号）

（）

（a 0?代表）（a ?，且有)(lim )()1(1z a n a

z n -→-=??）（. 推论2.5]1[ 设a 为)(z f 的一阶极点，

)()(z f a z a -=）（?，

则 )()(R a z f es a

z ?==.

推论2.6]1[ 设a 为)(z f 的二阶极点，

)()(2z f a z z -=）（?，

则 )()(Re 'a z f s a

z ?==.

定理2.7]1[ 设a 为)

()

()(z z z f ψ?=

的一阶极点（只要）（z ?及）（z ψ在点a 解析，且（0)(,0)(,0)'==≠a a a ψψ?（），

则 )

()

()(R '

a a z f es a

z ψ?=

=. 例2.1 求下列函数在指定奇点处的留数. （1）2

)

1)(1()(+-=z z z

z f 在 1±=z . （2）z

z f sin 1

)(=

在 ),1,0( ±==n n z π.

（3）n

n

z z z f )

1()(2-=在z=1. 解 (1) 显然z=1为函数)(z f 的一阶极点，z=-1为二阶极点. 由推论2.5,

1

21

)1()(R ==+=

z z z z z f es ;

由推论2.6,

1

'

1

)1

(

)(R -=-=-=z z z z z f es .

(2)显然),1,0( ±=?n n ,πn 均为函数)(z f 的一阶极点，若令

,sin )(,1)(z z z ==ψ?则.0)1(,0)(,1)(≠-===n n n n ）（且‘πψπψπ?

由推论2.5，

n n z n z n z z z f es )1(cos 1

)

()

()(R '-==

=

==π

ψ?π

π

.

(3) 显然z=1为函数)(z f 的n 阶极点，若令n z z 2=）（?，则）

（z ?在点z=1解析，且01≠）（

?， 由推论2.4，

)!

1()!1()!

2()!1(1)!1()

()(R 1

2)1(1+-=

?-=-==-=n n n dz

dz n n a z f es z n

n z ?.

3留数定理

§3.1留数定理

定理3.1 （留数定理）]1[)(z f 在周线或复周线C 所范围的区域D 内，除21,a a …n a 外解析，在闭域C D D +=上除21,a a …n a 外连续，则（

“大范围”积分） ∑?===n

k a z c

z f s i dz z f k 1

)(Re 2)(π. （3.1）

证明 以k a 为心，充分小的正数k ρ为半径画圆周

),,2,1(:n k a z k k k ==-Γρ，使这些圆周及其内部均含于D ，并且彼此相互隔离

（如图）应用复周线的柯西积分定理得

∑?

?=Γ=n

k c

k

dz z f dz z f 1

)()(

由留数的定义，有

)(Re 2)(z f s i dz z f k

k

a z =Γ=?

π

代入上式，即知（3.1）为真.

§3.2 留数定理的推广

1. 对数留数 留数理论的重要应用之一是计算积分

?C ')

()

(21dz z f z f i π

它称为对数留数（这个名称来源于)]([ln )()('z f dz d

z f z f =）由它推出的辐角原理提

供了计算解析函数零点个数的一个有效方法。特别是，可以借此研究在一个指定区域内多项式零点的个数问题.

显然，函数)(z f 的零点和奇点都可能是)

()

('z f z f 的奇点.

引理3.1]

1[ （1）设a 为)(z f 的n 阶零点，则a 必为函数)

()

('z f z f 的一阶极点，

并且

n z f z f es a z ==])

()([R '； （2）设b 为)(z f 的m 阶极点，则b 必为函数)

()

('z f z f 的一阶极点，并且

m z f z f es b z -==])

()([R '. 定理3.2]1[ 设C 是一条周线，)(z f 符合条件：

（1）)(z f 在C 的内部是亚纯的（即)(z f 在C 的内部处极点外无其他类型的奇点，在z 平面上除极点外没有其他类型奇点的单值解析函数称为亚纯函数）；

(2) )(z f 在C 上解析且不为零, 则有

),(),()()

(21C 'C f P C f N dz z f z f i -=?π，

（3.2） 式中),(N C f 与),(P C f 分别表示)(z f 在C 内部的零点与极点的个数（一个n 阶零点算作n 个零点，而一个m 阶极点算作m 个极点）.

2 辐角原理 在定理2.2的条件下，)(z f 在周线C 内部的零点个数与极点个数之差，等于当z 沿C 之正向绕行一周后)(arg z f 的改变量)(arg C z f ?除以π2，即

π

2)

(arg ),(),(C z f C f P C f N ?=

-.

特别说来，如)(z f 在周线C 上及C 之内部均解析，且)(z f 在C 上不为零，则

π

2)

(arg ),(C z f C f N ?=

.

3 儒歇定理 儒歇定理是辐角原理的一个推论，在考察函数的零点分布时，用起来较为方便.

定理3.3（儒歇定理）]1[设C 是一条周线，函数)(z f 及)(z ?满足条件： （1）它们在C 的内部均解析，且连续到C ； （2）在C 上，)()(z z f ?>，

则函数)(z f 与)()(z z f ?+在C 的内部有同样多（几阶算作几个）的零点，即

),(),(C f N C f N =+?.

4 应用留数定理计算积分

§4.1复积分的计算

运用留数定理计算实积分的方法我们将通过例题来进行说明： 例4.1 计算积分dz z z z z ?

=--22)1(2

5.

解 显然，被积函数

2)1(2

5)(--=

z z z z f 在圆周2=z 的内部只有一阶极点z=0及

二阶极点z=1.

由推论2.5及推论2.6，

2)1(25)(Re 0

2

-=--=

==z z z z z f s ；2)25(

)(Re 1

'

1

=-===z z z

z z f s ；

故由留数定理得

0)22(2)1(2

522=+-=--?=i dz z z z z π.

例4.2 计算积分dz z z

z f z ?==13

cos )(.

解

3cos )(z z

z f =

在圆周1=z 的内部只有三阶极点z=0.

由定理2.4，

2

1][cos !

21

)(Re 0

''1

-

==

==z z z z f s 故由留数定理得

i i dz z z z ππ-=-=?=)2

1

(2cos 13

. 例4.3 计算积分dz z z f n

z ?==

πtan )((n 为正整数).

解 z z f πtan )(=只以2

1

+=k z ，),1,0( ±=k 为一阶极点. 由定理2.5

π

ππ1

)(cos sin )(Re 2

1'

2

1-

==

+

=+

=k z k z z z z f s ，),1,0( ±=k .

故由留数定理得

i n

i z s i

dz z n k k z n

z ππ

ππππ4)2(2)(tan Re 2tan 2

1

2

1-=-

==∑

?<++==.

例4.4 计算积分dz e z z ?=1

1

2

.

解 显然，被积函数2

1

)(z e z f =在圆周1=z 的内部只有一个本质奇点z=0.在该点的去心邻域内有洛朗展式

,1!2111421

2

+++

=z z

e z 由洛朗系数公式

0Re 11

2

==-=C e s z z ；

故由留数定理得

.0Re 22

2

1

1

1

=?===?z z z z e s i dz e π

在计算孤立奇点a 的留数时，可应用洛朗展式求留数的一般方法.

§4.2实积分的计算

某些实的定积分课应用留数定理进行计算，尤其是对原函数不易直接求的的定积分和反常积分，常是一个有效的方法，其要点是将它化归为复变函数的周线积分.

1 计算θθθπ

d ?20sin ,cos R ）（型积分 这里)sin ,(cos R θθ表示θθsin ,cos 的有

理函数，并且在[]π20，上连续。若命θi e z =，则

2cos 1-+=z z θ，i

2sin 1

--=z z θ，iz dz d =θ，

当θ经历变程[]π20，时，z 沿圆周1=z 的正方向绕行一周.因此有

iz

dz

i z z z z R d z ??

=---+=11120

)2,2()sin ,(cos R π

θθθ，

右端是z 的有理函数的周线积分，并且积分路径上五奇点，应用留数定理就可求

得其值.

注 这里关键一步是引进变数代换θi e z =，至于被积函数)sin ,(cos R θθ在

[]π20，上的连续性课不必先检验，只要看变换后的被积函数在1=z 上是否有奇

点.

例4.5 计算积分

θθπ

d I ?+=

20

sin 351

. 解 命iz e z =，则iz

dz

d =

θ. ,

)

3)(3(32

2310321

12dz i z i z b i iz

dz

iz z I z z ??

==++=?

-+= 显然，被积函数)(z f 在1=z 内只有一个一阶极点,3

i

z -=则

,4

)

3(32)(Re 3

3

i i z z f s i z i z -=+=

-

=-

=

由留数定理得

θθπ

d I ?+=

20

sin 351=22)4(π

π=-i i . 与数学分析中的运用万能公式计算此类实积分相比，运用留数定理来做，可

以大大的减少运算量.

例4.6 计算积分

)0(cos sin 20

2>>+=?b a d b a I θθθπ

.

解 命iz e z =，则iz

dz d =

θ. ,)

)(()1(2)

12()1(2)

21(1]4)1([12221

222

22122

2dz z z z z b i dz

z b

a

z z z b i iz dz

z

z b a z z I z z z ???===---=++-=

?++?

--=βα

其中b b a a b b a a 2

222,++-=

-+-=βα 为实系数二次方程0122=++

z b

a

z 的两个相异实根。由根与系数的关系1=αβ，且显然αβ>，故必.1,1<>αβ

于是，被积函数)(z f 在1=z 上无奇点。在单位圆1

,2])

12()1([Re '022220b

a

z b

a z z z s z z -=++-== ,2)

()1(Re 2

222

2b

b a z z z s a

z a z -=--===β

由留数定理得

].[2]

22[222222

2b a a b

b b a b a i i I --=-+-?=π

ππ 例4.7 计算积分

,)

cos 45(cos 02

θθθ

π

d m I ?

+= m 为正整数.

解 由于被积函数)(z f 为偶函数，则

θθθ

θθθπ

ππd m d m I ??-+=+=202)cos 45(cos 21)cos 45(cos , 命iz e z =，则iz

dz

d =

θ, dz

z z z i iz dz

z z z d e z m z m im ???=+=-++=?

+?+=+1

2

21

1222)2()2

1

(41

)

125()cos 45(θθπ

π

θ

于是被积函数)(z f 在1=z 内只有一个二阶奇点2

1-

=z . 252

1'

2

12

21

2

1

2

327)1(])

2([)2()2

1

(Re -+-

=++-

=?-=+=++m m m z m m z z z z z z s

由留数定理得

,2327)1(2327)1(412)cos 45(cos 15

252ππθθθπ

π

-+-+-?-=?-??=+?m m m m m m i i d m .2327)1()cos 45(cos 21)

cos 45(cos 5

2

02πθθθθθθπ

ππm m m d m d m I +-?-=+=+=?? 这种题型主要利用被积函数是以π2为周期的偶函数的特点进行区间转化，

进而进一步利用留数定理求积分.

2 计算dx x Q x ?

+∞

∞-)

()

(P 型积分 为了计算这种反常积分，我们先证明一个引理。它主要用来估计辅助曲线Γ上的积分.

（图4.1）

引理4.1]1[ 设)(z f 沿圆弧θi k z S Re :=（21θθθ≤≤，R 充分大）上连续（如图4.1）且

λ=+∞

→)(lim z zf R

于R S 上一致成立（即与21θθθ≤≤中的θ无关），则

λθθ)()(lim

12-=?

+∞→i dz z f R

S R .

定理4.1]1[ 设)

()

()(z Q z P z f =

为有理分式，其中 )0()(P 0110≠+++=-c c z c z c z m m m

与 )0()(Q 0110≠+++=-b b z b z b z n n n

为互质多项式，且符合条件：(1) 2≥-m n ; (2) 在实轴上0)(Q ≠z ，于是有

)(Re 2)(Im z f s i dx x f k

k

a a z ∑?

=+∞

∞

-=π.

例 4.8 计算积分

).0()(2

222

>+=?∞

+∞-a dx a x x I

解 被积函数)(z f 只有一个二阶极点.ai x =且符合定理4.1的条件.而

.4])

([)(Re '

22

a

i

ai x x z f s ai

z ai z -

=+=== 于是

.2)4(2)(2222a

a i i dx a x x I π

π=-?=+=?∞

+∞-

R

2θ

θ1θ

R S

O

例 4.9 计算积分

).0(4

4>+=?

+∞

∞-a a x dx

I

解 被积函数)(z f 一共有四个一阶极点),3,2,1,0(4

2==+k ae a i

k k π

π且符合定理 4.1

的条件.而

)3,2,1,0(441)(Re 3

=-

==

==k a a z z f s k

k

a z a z k

k

)(z f 在上半平面只有两个极点10a a 及，于是

.

224sin 2)(41)(413

3434344

34444a a

e e a i ae ae a

i a x dx I i i i i π

π

ππππππ

π=

=+-=+-=+=?∞

+∞- 3 计算dx e x Q x P imx

?

+∞

∞-)

()(型积分 引理4.2（若尔当引理）]1[设函数)(z g 沿半圆周θi k z Re :=Γ（πθ≤≤0，R 充分大）上连续，且

0)(lim =+∞

→z g R

在R Γ上一致成立，则

0)(lim

=?

Γ+∞→dz e z g imz R R

(m>0) .

定理4.2]1[ 设Q(z)

)

()(z P z g =

，其中)(z P 及)(z Q 是互质多项式，且符合条件: （1）)(z Q 的次数比)(z P 的次数高， （2）在实轴上0)(Q ≠z ， （3）0>m ， 则有

])([Re 2)(0

Im imx a a z imx e z g s i

dx e x g k k

∑

?

>=+∞

∞

-=π (4.1)

特别说来，将（4.1）分开实虚部，就可以得到形如

m xdx x Q x cos )()

(P ?+∞

∞-及

mxdx x Q x sin )()

(P ?+∞

∞- 的积分.

由数学分析的结论可知上面两个反常积分都存在，其值就等于柯西主值。 例4.10 计算积分

).0(1cos 02>+=?+∞m dx x mx I

解 被积函数)(z f 为偶函数，则

.1cos 211cos 20

2dx x

mx

dx x mx I ??

+∞∞-+∞+=+= 根据定理4.2得

.22]1[Re 21cos 22m

m imz i z e i

e i z e s i dx x mx --=∞

+∞-==+=+?πππ 于是

.2)0(1cos 0

2

m

e m dx x

mx I -+∞=>+=?

π 例4.11 计算积分

.10

2cos 2?

+∞

∞-+-=x x xdx x I

解 易验证被积函数102)(2

+-=z z ze z f iz

满足若尔当引理的条件，这里

m=1,10

2)(2

+-=

z z z

z g . 函数)(z f 有两个一阶极点.3131i z i z -=+=及

.1cos 211cos 20

2dx x

mx

dx x mx I ??

+∞∞-+∞+=+= .6)31()102()(Re 331'

231i

e i z z ze z

f s i

i

z iz

i z +-+=+=+=+-=

于是

).

1sin 1cos 3(3

)1sin 31(cos 3

)

1sin 1)(cos 31(36)31(2102cos 333

32++-=

++=+=+-=---+-∞

+∞-?e i

e i i e i e i i x x xdx x I i π

π

ππ

比较灯饰两端的实部与虚部，就得

).1sin 31(cos 3

102cos 32-=+-=-+∞∞-?e x x xdx x I π

5参考文献

[1] 钟玉泉.复变函数论（第三版）[M]，北京：北京高等教育出版社，2004.

[2] 谢力之，刘中兴.复变函数奇点[M]，北京：北京电子工业出版社，1988.

[3] 欧阳露莎，刘敏思，刘寅.留数理论在积分计算中的应用[A] ，2008年3月中南民族大学学报（自然科学版）第27卷第1期，文章编号1672-4321（2008）01-0108-03. 中图分类号：O 17.[A]

[5] 王瑞苹.论留数与定积分的关系——兼谈发散性思维在数学分析中的应用

[A]. 2005年4月菏泽学院学报第27卷第2期，文章编号1673-2103（2005）02-0070-03.中图分类号：O174.5.[A]

[6] 明清和.数学分析的思想与方法[M].济南:山东大学出版社,2004.

[7] 路见可，钟寿国，刘士强.复变函数[M].武汉：武汉大学出版社.1993.

[8]李建林，复变函数与积分变换典型题分析解集[M].西北工业大学出版社.1998.

[9]Conway J B. Functions of One Complex Variable,2nd ed.Spring-Verleg,New York,1978.

6 致谢

本论文是在易才凤教授悉心的监督和指导下完成的.导师渊博的专业知识，严谨的治学态度，诲人不倦的高尚师德，平易近人的人格魅力对我影响深远.不仅使我掌握了基本的研究方法，还使我明白了许多待人接物与为人处世的道理。本论文从选题到完成，每一步都是在导师的监督和指导下完成的，倾注了导师大量的精力.在此，谨向易才凤教授表示崇高的敬意和衷心的感谢！

本论文的顺利完成，也离不开各位老师、同学和朋友的关心和帮助.在此感谢各位的关心、支持和帮助！

使用留数定理计算实积分

用留数定理计算实积分 一：教学内容（包括基本内容、重点、难点）： 基本内容：用留数定理计算实积分的几种方法 重点：用留数定理计算实积分的方法 难点：定理的应用 二：教学目标或要求： 真正掌握用留数定理计算实积分的几种方法 三、教学手段与方法： 讲授、练习 四、思考题、讨论题、作业与练习：5－7 用留数定理计算实积分 留数定理的一个重要应用是计算某此实变函数的积分. 如，在研究阻尼振动时 计算积分，在研究光的衍射时，需要计算菲涅耳积分. 在热学中将遇到积分(，b为任意实数)如用实函数分析中的方法计算这些积分几乎是不可能的，既使能计算，也相当复杂.如果能把它们化为复积分，用哥西定理和留数定理，那就简单了.当然最关键的是设法把实变函数是积分跟复变函数回路积分联系起来. 把实变积分联系于复变回路积分的要点如下：定积分的积分区 间可以看作是复数平面上的实轴上的一段，于是，或者利用自变数的变换把变成某个新的复数平面上的回路，这样就可以应用留数定理了；或者另外补上一段曲线，使和合成回路l,l包围着区域B，这样

左端可应用留数定理，如果容易求出，则问题就解决了，下面具体 介绍几个类型的实变定积分. 一 计算? π20 d )sin ,(cos R θ θθ型积分 令θi e =z ，则θc o s 与θsin 均可用复变量z 表示出来，从而实现将 )sin ,(cos R θθ变形为复变量z 的函数的愿望，此时有 z z z z i 21sin ,21cos 2 2 -= += θθ 同时，由于θi e =z ，所以1=z ，且当θ由0变到π2时，z 恰好在圆周1:=z c 上变动一周。故使积分路径也变成了所期望的围线。 至此，有 ?? =?-+=1 2 2π20 d i 1 )i 21,21(R d )sin ,(cos R z z z z z z z θθθ 于是，计算积分? π20 d )sin ,(cos R θ θθ的方法找到了，只需令θi e =z 即可。 例 求。 解 当 时， ；当 时，令 ， 当 时，在 内， 仅以 为一级极点， 在 上无奇点，故由留数定理

留数定理在定积分计算中的应用论(参考模板)

留数定理在定积分计算中的应用 引言 在微积分或数学分析中，不少积分( 包括普通定积分与反常积分) 的计算用微积分教材里的知识很难解决或几乎是无能为力． 如果我们能结合其他数学分支的理论方法来讨论解决这类问题，会达到化难为易、化繁为简的效果．本文主要利用复变函数中的留数定理，将实积分转换为复积分的方法，讨论了几类定积分的计算，首先我们来给出留数的定义及留数定理． 1留数定义及留数定理 1.1 留数的定义 设函数()f z 以有限点a 为孤立点，即()f z 在点a 的某个去心邻域0z a R

证明:以k a 为心，充分小的正数k ρ为半径画圆周:k k z a ρΓ?=（1,2,k =…,n ）使这些圆周及内部均含于D ，并且彼此相互隔离，利用复周线的柯西定理得 ()()1k n k C f z dz f z dz =Γ=∑??， 由留数的定义，有 ()()2Re k k z a f z dz i s f z π=Γ=?． 特别地，由定义得 ()2Re k k z a f z dz i s π=Γ=?， 代入（1）式得 ()()1 2Re k n z a k C f z dz i s f z π===∑?． 2．留数定理在定积分中的应用 利用留数计算定积分活反常积分没有普遍的实用通法，我们只考虑几种特殊类型的积分． 2.1形如 ()20 cos ,sin f x x dx π ?型的积分 ()cos ,sin f x x 表示cos ,sin x x 的有理函数，且在[]0,2π上连续，解决此类积分要注意两点，一：积分上下限之差为2π，这样当作定积分时x 从0到2π，对应的复变函数积分正好沿闭曲线绕行一周．二：被积函数是以正弦和余弦函数为自变量。满足这两点之后，我们可以设ix z e =，则dz izdx =， 21sin 22ix ix e e z x i iz ---==，21 cos 22ix ix e e z x z -++== 得 ()22210 11cos ,sin ,22z z z dz f x x dx f z iz iz π =??--= ????? ()1 2Re k n z z k i s f z π===∑．

用留数定理计算实积分的再讨论分析

毕业论文 （2014届） 题目用留数定理计算实积分的再讨论 学院数计学院 专业数学与应用数学（师范） 年级2010级(2)班 学生学号12010244185 学生姓名刘艳 指导教师汪文帅 2014年5月8日 用留数定理计算实积分的再讨论

数学计算机学院数学与应用数学师范专业2014届刘艳 摘要:正确运用留数定理计算实积分就是要理解它的实质并且在计算实积分的过程中构造容易求解的积分路径,然而大量教材或者相关文献长期或者有意无意的按照既定思维对某些实积分计算问题选择基本固定不变的积分路径进行求解,在一定程度上给学生造成思维定势. 本文用例证的方法讨论了用留数定理计算实积分的过程中积分曲线的选择方法,从不同的角度体现了求解过程中选择积分路径的核心思想.这为进一步开拓思维,更为深刻理解留数定理有积极的意义. 关键词:留数定理;实积分;积分曲线 中图分类号:O174 Further discussion of Calculation on real integral by the residue theorem Abstract: The correct use of the residue theorem to calculate real integration means to understand its essence and to construct easy-solved integral path, but a lot of materials or the relevant studies always select the same integral path to solve the similar problem, which give the students wrong understanding when most teachers did not pay attention to the ideological inspiration in teaching. T o some extent, this limits students’ thinking. In this paper, the selection method of integral curve is given with examples in view of the different integral path and the core idea of the residue theorem is shown in calculating process, which has a positive significance for further development of thinking and more understanding of the residue theorem. Key words: real integral；residue theorem；integral curve

使用留数定理计算实积分

用留数定理计算实积分 一：教学容（包括基本容、重点、难点）： 基本容：用留数定理计算实积分的几种方法 重点：用留数定理计算实积分的方法 难点：定理的应用 二：教学目标或要求： 真正掌握用留数定理计算实积分的几种方法 三、教学手段与方法： 讲授、练习 四、思考题、讨论题、作业与练习：5－7 用留数定理计算实积分 留数定理的一个重要应用是计算某此实变函数的积分. 如，在研究阻尼振动时计算积分，在研究光的衍射时，需要计算菲涅耳积分. 在热学中将遇到积分(，b为任意实数)如用实函数分析中的方法计算这些积分几乎是不可能的，既使能计算，也相当复杂.如果能把它们化为复积分，用哥西定理和留数定理，那就简单了.当然最关键的是设法把实变函数是积分跟复变函数回路积分联系起来. 把实变积分联系于复变回路积分的要点如下：定积分的积分区间可以看作是复数平面上的实轴上的一段，于是，或者利用自变数的变换把变成某个新的复数平面上的回路，这样就可以应用留数定理了；或者另外补上一段曲线，使和合成回路l,l包围着区域B，这样

左端可应用留数定理，如果容易求出，则问题就解决了，下面具体 介绍几个类型的实变定积分. 一 计算?π 20d )sin ,(cos R θθθ型积分 令θi e =z ，则θcos 与θsin 均可用复变量z 表示出来，从而实现将 )sin ,(cos R θθ变形为复变量z 的函数的愿望，此时有 z z z z i 21 sin ,21cos 22-= +=θθ 同时，由于θi e =z ，所以1=z ，且当θ由0变到π2时，z 恰好在圆周1:=z c 上变动一周。故使积分路径也变成了所期望的围线。 至此，有 ?? =?-+=1 22π20 d i 1)i 21,21(R d )sin ,(cos R z z z z z z z θθθ 于是，计算积分?π20 d )sin ,(cos R θθθ的方法找到了，只需令θi e =z 即可。 例 求。 解 当 时， ；当 时，令 ， 当 时，在 ， 仅以 为一级极点， 在 上无奇点，故由留数定理

应用留数定理计算实变函数定积分

应用留数定理计算物理学中实变函数定积分 1问题 在物理学中，研究阻尼振动时计算积分 sin x dx x ∞ ? ，研究光的衍射时计算菲涅耳积分20sin()x dx ∞?， 在热学中遇到积分 cos (0,ax e bxdx b a ∞ ->? 为任意实数)如果用实函数分析中的方法计算这些积分几乎不 可能。而在复变函数的积分计算中，依据留数定理，我们可以将实变函数 定积分跟复变函数回路积分联系起来。 2应用留数定理求解实变函数定积分的类型 将实变函数定积分联系于复变函数回路积分的要点如下： 1）利用自变数变换把1l 变换为某个新的复数平面上的回路； 2）另外补上一段曲线2l ，使1l 和2l 合成回路l ，l 包围着区域B ，则 1l 上的()f x 延拓为B 上的()f z ，并将它沿l 积分，有 1 2 ()()()l l l f z dz f x dx f z dz =+? ??； 3） ()l f z dz ? 可以应用留数定理，1 ()l f x dx ?就是所求的定积分。如果2 ()l f z dz ?较易求出（往往是 证明为零）或可用第一个积分表示出，问题就解决了. 类型一 20 (cos ,sin )R x x dx π ? .被积函数是三角函数的有理式；积分区间为[0,2π]. 求解方法：因为被积函数是以正弦和余弦函数为自变量，积分上下限之差为2π，可以当作定积分x 从 0变到2π，对应的复变函数积分正好沿比曲线绕行一周，实变积分化为复变回路积分就可以应用留数定理. 可以设ix z e =,则dz izdx =∴dz dx iz = 而1 1cos ()22ix ix e e x z z --+= =+，11sin ()22ix ix e e x z z i i ---==- 则原积分化为111(,)2()22k z k z z z z dz I R i Resf z i iz π--=+-==∑? 类型二 -()f x dx ∞ ∞ ? .积分区间为（-∞,+∞）；复变函数()f z 在实轴上有奇点，在上半平面除有限 个奇点外是解析的；当z 在上半平面及实轴上→∞时,()zf z 一致地→0. 求解方法：如果f(x)是有理分式()/()x x ?ψ，上述条件意味着()x ψ没有实的零点，()x ψ的次数至 图1

应用留数定理计算实变函数定积分

应用留数定理计算物理学中实变函数定积分 1问题 在物理学中，研究阻尼振动时计算积分0 sin x dx x ∞ ? ，研究光的衍射时计算菲涅耳积分20sin()x dx ∞?， 在热学中遇到积分 cos (0,ax e bxdx b a ∞ ->? 为任意实数)如果用实函数分析中的方法计算这些积分几乎不 可能。而在复变函数的积分计算中，依据留数定理，我们可以将实变函数定积分跟复变函数回路积分联系 起来。 2应用留数定理求解实变函数定积分的类型 将实变函数定积分联系于复变函数回路积分的要点如下： 1）利用自变数变换把1l 变换为某个新的复数平面上的回路； 2）另外补上一段曲线2l ，使1l 和2l 合成回路l ，l 包围着区域B ，则1l 上的()f x 延拓为B 上的()f z ，并将它沿l 积分，有 1 2 ()()()l l l f z dz f x dx f z dz =+?? ? ； 3） ()l f z dz ? 可以应用留数定理，1 ()l f x dx ? 就是所求的定积分。如果2 ()l f z dz ?较易求出（往往是证 明为零）或可用第一个积分表示出，问题就解决了. 类型一 20 (cos ,sin )R x x dx π ? .被积函数是三角函数的有理式；积分区间为[0,2π]. 求解方法：因为被积函数是以正弦和余弦函数为自变量，积分上下限之差为2π，可以当作定积分x 从 0变到2π，对应的复变函数积分正好沿比曲线绕行一周，实变积分化为复变回路积分就可以应用留数定理. 可以设ix z e =,则dz izdx =∴dz dx iz = 而1 1cos ()22ix ix e e x z z --+= =+，11sin ()22ix ix e e x z z i i ---==- 则原积分化为111(,)2()22k z k z z z z dz I R i Resf z i iz π--=+-==∑? 类型二 -()f x dx ∞ ∞ ? .积分区间为（-∞,+∞） ；复变函数()f z 在实轴上有奇点，在上半平面除有限个奇点外是解析的；当z 在上半平面及实轴上→∞时,()zf z 一致地→0. 求解方法：如果f(x)是有理分式()/()x x ?ψ，上述条件意味着()x ψ没有实的零点，()x ψ的次数至少 高于()x ?两次. 图1

留数定理与几类积分的计算

留数定理与几类积分的计算 中文摘要 本文主要总结几类可用留数定理计算的积分的特征并给出对应的用留数定理算积分的步骤以及可行性说明。其中类型3是对文献1中给出的结论的推广，类型3中的引理2是笔者对文献1的一道习题的推广并给出了证明。接着笔者补充了参考文献2中多值函数积分部分4个引理的证明并给出相应的应用例子，类型7笔者根据个人理解将分成瑕积分和黎曼积分两类给出计算方法。 关键词：留数定理，积分计算，单值函数，多值函数 …… 正文 （一）单值函数 类型1：形如20(sint,cost)dt I R π =?的实积分，其中(x,y)R 是有理函数，并且在圆 周22{(x,y):x y 1}+=上分母不为零。 解决技巧：令it z e =，将实积分转化为单位圆周上的复积分。 由sin ,cost ,22 it it it it it e e e e t dz ie dt i ---+= ==可得： 22221 111111 (,)2Re ((,),z )22222n k C k z z z z I R dz i s R iz z iz iz z i =-+-+==π∑?① 其中，12,,...,n z z z 是22111 (,)22z z R iz z zi -+在单位圆周的所有孤立奇点，22111 (,)22z z R iz z zi -+在单位闭圆盘除去12,,...,n z z z 外的其他点都解析。 例子： 类型2：形如(x)dx I R +∞ -∞ =? 的实反常积分，其中(x)R 是有理函数，在实轴上分 母不为零，并且分母的次数至少比分子次数高2。计算公式为 1 2Re (R(z),z )n k k I i s ==π∑（其中12,,...,n z z z 为R(z)在上半平面的所有孤立奇点，R(z ） 在上半平面除去这些点外的其他点解析）

留数定理及应用

留数及其应用 摘 要 数定理得知，计算函数)(z f 沿C 的积分，可归结为计算围线C 内各孤立 奇点处的留数之和．而留数又是该奇点处的罗朗级数的负一次幂的系数，因此我们只关心该奇点处罗朗留数理论是复积分和复级数理论相结合的产物，利用留数定理可 以把沿闭路的积分转化为计算孤立点处的留数．此外，在数学分析及实际问题中，往往一些被积函数的原函数不能用初等函数表示，有时即便可以，计算也非常复杂．我们利用留数定理可以把要求的积分转化为复变函数沿闭曲线的积分，从而把待求积分转化为留数计算．本文首先介绍留数定义及留数定理，然后针对具体不同的积分类型有不同的计算方法以及留数理论在定积分中的一些应用． 关键词 留数定理；留数计算；应用 引 言 对留数理论的学习不仅是前面知识的延伸，更为对原函数不易直接求得的定积分和反常积分的求法提供了一个较为方便的方法． 一. 预备知识 孤立奇点 1．设()f z 在点a 的把计算闭曲线上的积分值的问题转化为计算各个孤立奇点上的留数的问题，即计算在每一个孤立奇点处的罗朗展式中负幂一次项的系数1-C .在一般情况下，求罗朗展式也是比较麻烦的，因此，根据孤立奇点的不同类型，分别建立留数计算的一些简便方法是十分必要的. 1.1 若0z 为)(z f 的可去奇点 则)(z f 在R z z <-<00某去心邻域内解析，但在点a 不解析， 则称a 为f 的孤立奇点.例如sin z z ，1 z e 以0=z 为孤立奇点. z 以0=z 为奇点，但不是孤立奇点，是支点. 11sin z 以0=z 为奇点（又由1sin 0=z ，得1(1, 2...,)π ==±±z k k 故0=z 不是孤立奇点） 2．设a 为()f z 的孤立奇点，则()f z 在a 的某去心邻域内，有

留数定理在定积分中的应用

留数定理在定积分中的应用 1． 留数定义及留数定理 1．1 留数的定义 设函数()f z 以有限点a 为孤立点，即()f z 在点a 的某个去心邻域0z a R

由留数的定义，有 ()()2Re k k z a f z dz i s f z π=Γ=?． 特别地，由定义得 ()2Re k k z a f z dz i s π=Γ=?， 代入（1）式得 ()()1 2Re k n z a k C f z dz i s f z π===∑?． 2．留数定理在定积分中的应用 利用留数计算定积分活反常积分没有普遍的实用通法，我们只考虑几种特殊类型的积分． 2．1 形如 ()20 cos ,sin f x x dx π ?型的积分 这里()cos ,sin f x x 表示cos ,sin x x 的有理函数，并且在[]0,2π上连续，把握此类积分要注意，第一：积分上下限之差为2π，这样当作定积分时x 从0经历变到2π，对应的复变函数积分正好沿闭曲线绕行一周．第二：被积函数是以正弦和余弦函数为自变量。当满足这两个特点之后，我们可设ix z e =，则dz izdx =， 21sin 22ix ix e e z x i iz ---==，21cos 22ix ix e e z x z -++== 得 ()222 10 11cos ,sin ,22z z z dz f x x dx f z iz iz π =??--= ???? ?

留数定理及其在积分中的运用

江西师范大学数学与信息科学学院 学士学位论文 留数定理及其在积分中的运用 （Residue theorem and the use in the Calculus） 姓名：刘燕 学号： 0507010122 学院：数学与信息科学学院 专业：数学与应用数学 指导老师：易才凤（教授） 完成时间：2009年*月*日

留数定理及其在积分中的应用 【摘要】本文首先在预备知识中介绍了复函数积分，并介绍了留数的计算 方法等。在此基础上，我们叙述并证明了本文的主要内容--留数定理，并得到留数定理的推广。然后利用留数定理探讨分析学中的积分计算问题，并利用积分技巧得到它们的一般计算方法和公式，进而更简捷的解决了分析学中积分的计算问题. 【关键词】解析孤立奇点留数留数定理

Residue theorem and the use in the Calculus 【Abstract】This paper, we first introduce the prior knowledge of complex function Calculus，and introduce the method of calculating the residue, etc.On this basis,We described and proved the main contents of this article--the Residue theorem,and the promotion of the Residue theorem . This paper discussed the calculating problems of intgral in analysis with the theorem of residue, got the general computating method and formula by using analysical skills, and then made it easier to resolve the calculating problems. 【Key words】Analysis Isolated singular point Residue Residue theorem

留数定理及应用

留数定理及应用

留数及其应用 摘 要 数定理得知，计算函数)(z f 沿C 的积分，可归结为计算围线C 内 各孤立奇点处的留数之和．而留数又是该奇点处的罗朗级数的负一次幂的系数， 因此我们只关心该奇点处罗朗 留数理论是复积分和复级数 理论相结合的产物，利用留数定理可以把沿闭路的积分转化为计算孤立点处的留数．此外，在数学分析及实际问题中，往往一些被积函数的原函数不能用初等函数表示，有时即便可以，计算也非常复杂．我们利用留数定理可以把要求的积分转化为复变函数沿闭曲线的积分，从而把待求积分转化为留数计算．本文首先介绍留数定义及留数定理，然后针对具体不同的积分类型有不同的计算方法以及留数理论在定积分中的一些应用． 关键词 留数定理；留数计算；应用 引 言 对留数理论的学习不仅是前面知识的延伸，更为对原函数不易直接求得的定积分和反常积分的求法提供了一个较为方便的方法． 一. 预备知识 孤立奇点 1．设()f z 在点a 的把计算闭曲线上的积分值的问题转化为计算各个孤立奇点上的留数的问题，即计算在每一个孤立奇点处的罗朗展式中负幂一次项的系数1-C .在一般情况下，求罗朗展式也是比较麻烦的，因此，根据孤立奇点的不同类型，分别建立留数计算的一些简便方法是十分必要的. 1.1 若0z 为)(z f 的可去奇点 则)(z f 在R z z <-<00某去心邻域内解析，但在点a 不解析， 则称a 为f 的孤立奇点.例如sin z z ，1 z e 以0=z 为孤立奇点. z 以0=z 为奇点，但不是孤立奇点，是支点.

11sin z 以0=z 为奇点（又由1sin 0=z ，得1(1, 2...,)π ==±±z k k 故0=z 不是孤立奇点） 2．设a 为()f z 的孤立奇点，则()f z 在a 的某去心邻域内，有1 ()()() ， ∞ ∞ -===+-∑∑-n n n n n n f z c z a c z a 称()n=1 ∞ -∑-n n c z a 为()f z 在点a 的主要部分，称 () ∞ =-∑n n n z a c 为()f z 在点a 的正则部分， 当主要部分为0时，称a 为()f z 的可去奇点； 当主要部分为有限项时，设为 (1)11 (0)()()------+++≠---L m m m m m c c c c z a z a z a 称a 为()f z 的m 级极点；当主要部分为无限项时，称a 为本性奇点. 二. 留数的概念及留数定理 1. 留数的定义 设函数()f z 以有限点a 为孤立点，即()f z 在点a 的某个去心邻域 0z a R

用留数定理计算实积分

§2. 用留数定理计算实积分 一、教学目标或要求： 真正掌握用留数定理计算实积分的几种方法 二、教学内容（包括基本内容、重点、难点）： 基本内容：用留数定理计算实积分的几种方法 重点：用留数定理计算实积分的方法 难点：定理的应用 三、教学手段与方法： 讲授、练习 四、思考题、讨论题、作业与练习：4－7 §2. 用留数定理计算实积分 留数定理的一个重要应用是计算某此实变函数的积分. 如，在研究阻尼振动时计算积分，在研究光的衍射时，需要计算菲涅耳积分. 在热学中将遇到积分(，b为任意实数)如用实函数分析中的方法计算这些积分几乎是不可能的，既使能计算，也相当复杂.如果能把它们化为复积分，用哥西定理和留数定理，那就简单了.当然最关键的是设法把实变函数是积分跟复变函数回路积分联系起来. 把实变积分联系于复变回路积分的要点如下：定积分的积分区间可以看作是复数平面上的实轴上的一段，于是，或者利用自变数的变换把变成某个新的复数平面上的回路，这样就可以应用留数定理了；或者另外补上一段曲线，使和合成回路l,l包围着区域B，这样 左端可应用留数定理，如果容易求出，则问题就解决了，下面具体

介绍几个类型的实变定积分. 1. 计算?π 20d )sin ,(cos R θθθ型积分 令θi e =z ，则θcos 与θsin 均可用复变量z 表示出来，从而实现将 )sin ,(cos R θθ变形为复变量z 的函数的愿望，此时有 z z z z i 21 sin ,21cos 22-= +=θθ 同时，由于θi e =z ，所以 1=z ，且当θ由0变到π2时，z 恰好在圆周1:=z c 上变动一周。故使积分路径也变成了所期望的围线。 至此，有 ?? =?-+=1 22π20 d i 1)i 21,21(R d )sin ,(cos R z z z z z z z θθθ 于是，计算积分?π20 d )sin ,(cos R θθθ的方法找到了，只需令θi e =z 即可。 例 求。 解 当 时， ；当 时，令 ， 当 时，在 内， 仅以 为一级极点， 在 上无奇点，故由留数定理 当 时,在 内 仅以 为一级极点,在 上无奇点，

使用留数定理计算实积分

用留数定理计算实积分 一：教学内容（包括基本内容、重点、难 点）： 基本内容：用留数定理计算实积分的几种方法 重点：用留数定理计算实积分的方法 难点：定理的应用 二:教学目标或要求： 真正掌握用留数定理计算实积分的几种方法 三、教学手段与方法: 讲授、练习 四、思考题、讨论题、作业与练习：5-7 用留数定理计算实积分 留数定理的一个重要应用是计算某此实变函数的积分.女口，在研究阻尼振动时 a \ b 为任意实数）如用实函数分析 中的方法计算这些积分几乎是 不可能的，既使能计算，也相当复杂 ?如果能把 它们化为复积分，用哥西定理和留数定理，那就简单了 ?当然最关键的是设法 把实变函数是积分跟复变函数回路积分联系起来 . 把实变积分联系于复变回路积分的要点如下：定积分的积分区 间［口*］可以看作是复数平面上的实轴上的一段丄1,于是，或者利用自变数的 变换把变成某个新的复数平面上的回路，这样就可以应用留数定理了；或者 另外补上一段曲线。，使和一合成回路1,1包围着区域B ,这样 计算积分 ,在研究光的衍射时，需要计算菲涅耳积分 ；sin x 2dx 在热学中将遇到积分I '

打⑵必二 f f(z)dz + f f(z)dz 左端可应用留数定理，如果」 容易求出，则问题就解决了，下面具体 介绍几个类型的实变定积分? 2 n 一 计算° R(cos , sin )d 型积分 令z e i ,则cos 与sin 均可用复变量z 表示出来，从而实现将 R(cos ,sin )变形为复变量z 的函数的愿望，此时有 同时，由于z e i ，所以z 1,且当 由0变到2n 时，z 恰好在圆周c: z 1 上变动一周。故使积分路径也变成了所期望的围线。 至此，有 当一’ 时，I 一；当一」时，令二 dz 稻 =1 r -1 *~ i I s !-1 (z _ 功(1 - pz) 2_亠戸 ':内，一 「宀〔二仅以 Z = 1：为一级极点, ‘：I 上无奇点, 故由留数定理cos z 2 1 2z sin 2iz 2 n 0 R(cos , sin )d R (—)丄dz H 1 2z 2iz iz 2 n 于是，计算积分o R(cos ,sin )d 的方法找到了，只需令z e i 即可。 ds

留数定理在定积分当中的应用

一绪论 1研究背景及意义 留数,也称残数,是指函数在其孤立奇点处的积分. 综观复分析理论的早期发展,这一概念的提出对认识孤立奇点的分类及各类奇点之间的关系具有十分重要的意义. 同时,它将求解定积分的值的方法推进到一个新的阶段,通过函数的选取,积分路径的选取等等,求解出了许多被积函数的原函数解不出来的情况,为积分理论的发展奠定了充分的基础[1 ] . 1825 年,柯西(Cauchy) 在其《关于积分限为虚数的定积分的报告》中,基于与计算实积分问题的情形的类比,处理了复积分的相关问题,并给出了关于留数的定义[2 ] . 随后,柯西进一步发展和完善留数的概念,形成了如下定义[3], 若函数f(z)在D（a，r）\｛a｝上全纯，其中r＞0.a为f （z）的孤立奇点，f（z）在a的留数定义为Res（f，a） = 柯西所给的这一定义一直沿用到了现在,推广到了微分方程,级数理论及其他一些学科, 并在相关学科中产生了深远影响, 成为一个极其重要的概念. 因而很自然地产生了这样一个问题:柯西为什么要定义这一概念或者说,什么因素促使柯西提出了留数的定义显然这一问题对于全面再现柯西的数学思想,揭示柯西积分理论乃至整个复分析研究的深层动机等具有极为重要的理论意义和历史意义.

二留数定理 2.1 留数的定义 如果函数f（z）在点a的邻域K：|z-a|＜R内解析，围线C全含于K（包围a或不包围a），则 但如果a是f（z）的孤立奇点，即f（z）在点a的去心邻域K-｛a｝：0<|z-a|

留数定理求积分的另外解法

求解积分：3 11dx x ∞+? 解：令 x z = 则：3 11dz z ∞+? 23310i Z Z e πκπ+?? ???+=?== 所以上半平面存在极点：3i e π?? ??? ，i e π 建立如图所示的维道： 3 3 33 1111 1111x R L dz dx dz z x z z =++++++???? 3 2/3 112Re ()21333 i dz i sf z i i z e π πππ===-+? 因为：Re i z φ= () 002/32/3 3332/3111111Re i i i L dz e dR e dR z R πππ∞∞==+++??? 根据留数定理可知：在包含相同的极点情况下， 31 1L dz z +? 沿各个方向的积分相同，可求出此时沿各个方向上的积分求模相等，即 在20, 3π??????范围内311L dz C z =+? 设： 31 1L dz u iv z =++?，311x dx t x =+? 则根据条件有：222u v t += t u -= 3 v π=

9 t = 311x dx t x ==+? 这样就可以将求解积分转换为一次留数和二元一次方程的求解，在一定程度上我认为减少了 计算量，而且更重要的是，这种方法不必在意维道的建立，当然被积函数必须得满足一定的条件，沿各个方向的积分取模才能相等。 方法推广：当被积函数满足一定条件时，在所做维道包含相同极点情况下，各个方向包含的积分值的模相等。从而只需要求解一个留数和一个二元一次方程组 被积函数的条件：设被积函数为：() F x ，求 ()0 F x ∞ ? ⑴ 类型一：若 ()() 11....,0n n F x c x c x n ----=++>，则显然满足 ()()()110 lim lim (....)0n n n n n z x z F z z c z c z c -----→→=++=≠ 证明：此时z=0是() F x 的n 阶极点，根据极点在实轴上的运用情形可知，在1n >的情 形下， () F x 将无法计算 当1n =时， ()1 1F x c x --=，存在1阶极点，可以计算 ()1110 Re 0lim()z sF zc z c ---→== ()1111i F z c z c R e φ -----== ()()1 111110 i i L L x F z dz c z dz c R e e dR c R dR F x φφ∞ ∞ -------=== =??? ? ? 所以命题成立 所以 ：根据留数 定理： () ()()()() 0R e 0i x L x F z d z F x d x F z d φ ∞ =+ = +=????? ()()()x L L F x dx F z dz C F z dz A --==?=???（A ，C 为常数） 命题成立 ⑵ 类型二： ()() ()() 1010011...m m d d dx n n nx n n n n nx nx a x F x c b x c b x c b x = +++