基金项目:韩山师范学院青年科学基金项目,韩山师范学院扶持科研项目(FC200506).
作者简介:刘波(1977-),男,辽宁鞍山人,韩山师范学院数学与信息技术学院教师。
四元数矩阵广义逆的计算方法
韩山师范学院数学与信息技术学院 刘 波
[摘 要]由于四元数的乘法不满足交换律,阻碍了对四元数矩阵的研究。将复数域上矩阵的广义逆的计算方法推广到四元数体上,得到了在四元数体上计算矩阵广义逆的两种计算方法,分别是利用行左初等变换计算四元数矩阵的{1}-逆和{1,2}-逆,利用四元数矩阵的满秩分解求广义逆矩阵,并且给出了计算的实例。
[关键词]四元数矩阵 行左初等变换 广义逆
计算方法
线性代数 第二节逆矩阵及其运算 一、逆矩阵的概念和性质五、初等变换求逆矩阵 四、矩阵的初等变换和初等矩阵二、矩阵可逆的条件三、用伴随矩阵法求逆矩阵
线性代数 （或称的逆）；其中为的倒数， a 1 1 a a -=a , 1 1 1aa a a --==在数的运算中，对于数，有 是否存在一个矩阵,. 1 1 AA A A E --==在矩阵的运算中,单位矩阵E 相当于数的乘法运算中 的1， 那么，对于矩阵A ，1 A -使得一、逆矩阵的概念和性质 0a ≠
线性代数 对于n 阶矩阵A ，如果有一个n 阶矩阵B ,使得 则说矩阵A 是可逆矩阵或非奇异矩阵，并把矩阵B 称为A 的逆矩阵，否则称A 是不可逆矩阵或奇异矩阵。 , AB BA E ==例1设,01011010A B -????== ? ?-???? ,AB BA E ==∴B 是A 的一个逆矩阵。 定义1（可逆矩阵）
线性代数 例1 设,2110A ?? = ? -?? 解 设是A 的逆矩阵,a b B c d ?? = ? ??则2110a b AB c d ????= ???-????1001?? = ? ?? 221001a c b d a b ++?????= ? ?--????求A 的逆矩阵
线性代数 ,,,, 212001a c b d a b +=??+=??? -=??-=?, ,,. 0112a b c d =??=-??? =??=?又因为 ??? ??-01120112-?? ?????? ??-0112=0112-?? ???,1001?? = ??? 所以 .1 0112A --?? = ? ?? A B A B (待定系数法)
广义逆矩阵
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浅谈广义逆矩阵 摘要：文章介绍莫尔-潘鲁斯(moore-penrose)广义逆矩阵的概念及其与实际背景的联系。文章中定理1和定理2说明条件i与相容线性方程组的基本解的广义逆矩阵的联系，定理3说明条件i和iv与相容线性方程组的最小模解的广义逆矩阵的联系。abstract: the article introduces the concept of moore-penrose’s generalized inverse matrix and its relation with the actual background. theorem 1 and theorem 2 in this article illustrate the relation between conditions 1 and generalized inverse matrix of the fundamental solution of compatible linear equation.theorem 3 illustrates condition i and condition iv’s relation with generalized inverse matrix of the minimal model solution of compatible linear equation. 关键词：广义逆矩阵；相容线性方程组；最小模解 key words: generalized inverse matrix；compatible linear equation；minimal model solution 0 引言 在科技、工程、医学、经济、以及气象学的不同领域，经常会遇到求线性方程组 a■ξ■+a■ξ■+……+a■ξ■=β■a■ξ■+a■ξ■+…… +a■ξ■=β■……………………………a■ξ■+a■ξ■+……
第六章 广义逆 广义逆矩阵的概念是方阵逆矩阵概念的推广，广义逆矩阵的基本知识是矩阵理论的重要组成部分，其在数理统计、数值分析、博弈论、控制论、计量经济、电网理论等中有重要的应用。本章首先给出各种广义逆矩阵的概念，重点介绍矩阵{}1-逆及矩阵Moore-Penrose 逆的性质、计算方法及这两种广义逆矩阵在线性方程组求解中的应用，最后给出方阵的群逆与Drazin 逆的基本性质。 §6.1 广义逆矩阵的概述 广义逆矩阵的概念渊源于线性方程组的求解问题。设n C 为复n 维向量空间， m n C ?为复m n ?矩阵全体。设矩阵m n A C ?∈，考虑线性方程组 Ax b = （6-1） 其中，m b C ∈为给定的m 维向量，n x C ∈为待定的n 维向量。 定义1 若存在向量n x C ∈满足线性方程组（6-1），则称线性方程组（6-1）是相容的；否则称线性方程组（6-1）是不相容的。 众所周知，当A 为可逆矩阵时，线性方程组（6-1）有唯一解1x A b -=，其中 1A -是A 的逆矩阵。当A 为不可逆矩阵或长方矩阵时，相容线性方程组（6-1）有 无数解；不相容线性方程组（6-1）无解，但它有最小二乘解，即求n x C ∈，使得 () min y R A Ax b y b ∈-=- （6-2） 成立，其中 代表任意一种向量范数，{} (),m n R A y C y Ax x C =∈=?∈。上述两 种情况的解是否也能表示成一种紧凑的形式x Gb =，其中， G 是某个n m ?矩阵？ 这个矩阵G 是通常逆矩阵的推广。 1920年，E.H. Moore 首先提出广义逆矩阵的概念，由于Moore 的方程过于抽象，并未引起人们的重视。1955年，R. Penrose 给出如下比较直观和实用的广义逆矩阵的概念。 定义2 设矩阵m n A C ?∈，若存在矩阵n m X C ?∈满足下列Penrose 方程 （1）AXA A =； （2）XAX X =； （3）()H AX AX =；
逆矩阵的几种常见求法 潘风岭 摘 要 本文给出了在矩阵可逆的条件下求逆矩阵的几种常见方法，并对每种方法做了具体的分析和评价,最后对几种方法进行了综合分析和比较. 关键词 初等矩阵； 可逆矩阵 ； 矩阵的秩； 伴随矩阵； 初等变换． 1． 相关知识 1.1 定义1 设A 是数域P 上的一个n 级方阵，如果存在P 上的一个n 级方阵B ，使得AB=BA=E,则称A 是可逆的，又称A 是B 的逆矩阵．当矩阵A 可逆时，逆矩阵由A 唯一确定，记为1-A ． 定义2 设()ij n n A a ?=,由元素ij a 的代数余子式ij A 构成的矩阵 11 2111222212n n n n nn A A A A A A A A A ?? ? ? ? ??? 称为A 的伴随矩阵，记为A *. 伴随矩阵有以下重要性质 AA *= A *A=A E. 注:注意伴随矩阵中的元素ij A 的排列顺序. 1．2 哈密尔顿-凯莱定理
设A 是数域P 上的一个n n ?矩阵，f A λλ=E-（）是A 的特征多项式， 则 11122()10n n n nn f A A a a a A A E -=-++ ++ +-=（）（） (证明参见[1]） ． 1.3 矩阵A 可逆的充要条件 1.3.1 n 级矩阵A 可逆的充分必要条件是A 0≠（也即()rank A n =）; 1.3.2 n 级矩阵A 可逆的充分必要条件是A 可写成一些初等矩阵的乘积（证明参见[1]）； 1.3.3 n 级矩阵A 可逆的充分必要条件是A 可以通过初等变换（特别只通过初等行或列变换）化为n 级单位阵（证明参见[1]）； 1.3.4 n 级矩阵A 可逆的充分必要条件是存在一个n 级方阵B ，使得AB=E （或BA=E ）； 1.3.5 n 级矩阵A 可逆的充分必要条件是A 的n 个特征值全不为0；（证明参见[2]）； 1.3.6 定理 对一个s n ?矩阵A 作一初等行变换就相当于在A 的左边乘上相应的s s ?初等矩阵；对A 作一初等列变换就相当于在A 的右边乘上相应的n n ?初等矩阵.（证明参见[1]） 2．矩阵的求逆 2.1 利用定义求逆矩阵 对于n 级方阵A ，若存在n 级方阵B ，使AB=BA=E ，则1B A -=.
题目广义逆矩阵及其应用学院 专业通信与信息系统学生 学号
目录 第一章前言 (1) 第二章广义逆矩阵 (2) §2.1 广义逆矩阵的定义 (2) §2.2 广义逆矩阵的性质 (3) 第三章广义逆矩阵的计算 (12) §3.1 一般广义逆求解 (12) §3.2 Moore-Penrose 广义逆 (16) 结论 (19)
第一章前言 线性方程组的逆矩阵求解方法只适用于系数矩阵为可逆方阵,但是对于一般线性方程组，其系数矩阵可能不是方阵或是不可逆的方阵，这种利用逆矩阵求解线性方程组的方法将不适用。为解决这种系数矩阵不是可逆矩阵或不是方阵的线性方程组，我们对逆矩阵进行推广，研究广义逆矩阵，利用广义逆矩阵求解线性方程组。 广义逆矩阵在数据分析、多元分析、信号处理、系统理论、现代控制理论、网络理论等许多领域中有着重要的应用，本文针对广义逆矩阵的定义、性质、计算及其在线性方程组中的应用进行研究，利用广义逆矩阵求解线性方程组的通解及极小数解。 逆矩阵的概念只对非奇异矩阵才有意义，但在实际问题中，遇到的矩阵不一定是方阵，即使是方阵也不一定非奇异，这就需要将逆矩阵的概念进行推广。为此，人们提出了下述关于逆矩阵的推广： （1）该矩阵对于奇异矩阵甚至长方矩阵都存在； （2）它具有通常逆矩阵的一些性质； （3）当矩阵非奇异时，它即为原来的逆矩阵。 满足上面三点的矩阵称之为广义逆矩阵。 1903年，瑞典数学家弗雷德霍姆开始了对广义逆矩阵的研究，他讨论了关于积分算子的一种广义逆。1904年，德国数学家希尔伯特在广义格林函数的讨论中，含蓄地提出了微分算子的广义逆。美国芝加哥的穆尔(Moore)教授在1920年提出了任意矩阵广义逆的定义，他以抽象的形式发表在美国数学会会刊上。我国数学家曾远荣和美籍匈牙利数学家·诺伊曼及其弟子默里分别在1933年和1936年对希尔伯特空间中线性算子的广义逆也作过讨论和研究。1951年瑞典人布耶尔哈梅尔重新给出了穆尔(Moore)广义逆矩阵的定义，并注意到广义逆矩阵与线性方程组的关系。1955年，英国数学物理学家罗斯(Penrose)以更明确的形式给出了与穆尔(Moore)等价的广义逆矩阵定义，因此通称为Moore-Penrose广义逆矩阵，从此广义逆矩阵的研究进入了一个新阶段。现如今，Moore-Penrose广义逆矩阵在数据分析、多元分析、信号处理、系统理论、现代控制理论、网络理论等许多领域中有着重要的应用，使这一学科得到迅速发展，并成为矩阵论的一个重要分支。 第二章广义逆矩阵
§2 矩阵的广义逆 一、广义逆矩阵的概念 定义1 设任意一个矩阵n m R A ?∈，若存在矩阵m n R X ?∈，满足 AXA =A （1） XAX =X （2） (AX )T =AX （3） (XA )T =XA （4） 这四个方程中的一个、两个、三个或全部，则称X 为A 的广义逆矩阵。 由上面的定义可知，广义逆矩阵有15C C C C 44342414=+++中 之多。本节介绍应用广泛的减号广义逆和加号广义逆。 定义2 对矩阵n m R A ?∈，一切满足方程组 A AXA = 的矩阵X ，称为矩阵A 的减号逆或g-逆。记为-A 。 例如，??? ??=010001B ，??? ??=100001C 都是??? ? ??=010101A 的减号逆。 下面的定理解决了-A 的存在性和构造性问题。 定理1(秩分解) 设A 为n m ?矩阵，()rank A r =，若 Q O O O I P A r ??? ? ?=， 或??? ? ??=--O O O I AQ P r 11
这里P ,Q 分别为n n m m ??,的可逆阵，则 12221 121---??? ??=P G G G I Q A r (5) 其中222112,,G G G 是相应阶数的任意矩阵。 证明 设X 为A 的广义逆，则有 Q O O O I P Q O O O I QXP O O O I P A AXA r r r ??? ? ??=???? ?????? ???= ??? ? ??=???? ?????? ???O O O I O O O I QXP O O O I r r r 若记 ???? ??=2221 1211G G G G QXP 则上式， ??? ? ??=???? ???00 000011r I G r I G =?11 于是， 12221121--??? ? ??=?=P G G G I Q X A AXA r 其中222112,,G G G 任意. 证毕. 定理1不但表明矩阵的减号逆总是存在的，通常也是不唯一的，而且还给出了计算减号逆的方法。
求逆矩阵的方法与矩阵的秩 一、矩阵的初等行变换 （由定理2.4给出的求逆矩阵的伴随矩阵法，要求计算矩阵A 的行列式A 值和它的伴随矩阵*A .当A 的阶数较高时，它的计算量是很大的，因此用伴随矩阵法求逆矩阵是不方便的.下面介绍利用矩阵初等行变换求逆矩阵的方法.在介绍这种方法之前，先给出矩阵初等行变换的定义.） 定义2.13 矩阵的初等行变换是指对矩阵进行下列三种变换： (1) 将矩阵中某两行对换位置； (2) 将某一行遍乘一个非零常数k ； (3) 将矩阵的某一行遍乘一个常数k 加至另一行. 并称(1)为对换变换，称(2)为倍乘变换，称(3)为倍加变换. 矩阵A 经过初等行变换后变为B ，用 A →B 表示，并称矩阵B 与A 是等价的. （下面我们把）第i 行和第j ， ”；把第i 行遍乘k k ”；第j 行的k 倍加至第i 为“ + k ”. 例如，矩阵 A = ????? ?????321321321c c c b b b a a a ???? ? ?????321 3 21321 c c c a a a b b b ???? ??????32 1 321321c c c b b b a a a ???? ? ?????32 1321321 kc kc kc b b b a a a ???? ? ?????32 1 321321 c c c b b b a a a ??? ? ? ??? ??+++32 1 332 2113 21 c c c ka b ka b ka b a a a （关于初等矩阵内容请大家自己阅读教材） 二、运用初等行变换求逆矩阵 由定理2.7的推论“任何非奇异矩阵均能经过初等行变换化为单位阵”可知，对于任意一个n 阶可逆矩阵A ，经过一系列的初等行变换可以化为单位阵I ，那么用一系列同样的初等行变换作用到单位阵I 上，就可以把I 化成A -1.因此，我们得到用初等行变换求逆矩阵的方法：在矩阵A 的右边写上一个同阶的单位矩阵I ，构成一个n ?2n 矩阵 ( A , I )，用初等行变换将左半部分的A 化成单位矩阵I ，与此同时，右半部分的I 就被化成了1-A .即 ( A , I )初等行变换 ?→???( I , A -1 ) 例1 设矩阵 A = ???? ? ?????--23 2 311111 ③k ①，② ②+①k
第五章 广义逆矩阵 广义逆矩阵是E. H. More 于1920年首次提出的，1995年R. Penrose 利用矩阵方程组给出它更为明确简便的定义。其后，广义逆矩阵在理论和应用方面都得到了迅速发展。它在微分积分方程、数理统计、最优化、测量学等应用科学中发挥了重要作用，更是研究最小二乘等问题不可缺少的工具。广义逆矩阵是矩阵论的一个重要分支。 第一节 广义逆矩阵的概念 对于线性方程组Ax =b ，当方阵A 可逆时，其有唯一解x =A -1b 。但是，在许多实际应用中更多涉及到的是系数矩阵A 是奇异方阵或长方阵的情形。这就从客观上要求人们去探索把通常逆矩阵进行推广的问题。 若A 是可逆的，即有逆矩阵A －1，则A －1必满足下面四个等式 AA －1A =A A －1AA －1=A －1 (AA －1)H =AA －1 (A －1A )H =A －1A 若A 是一个一般的矩阵，是否有矩阵X 存在，满足 AXA =A （1） XAX =X （2） (AX )H =AX （3） (XA )H =XA （4） 这四个方程中的一个、二个、三个或全部呢？这就引出了广义逆矩阵的定义。 定义1 设A ∈C m ×n ，如果X ∈C n ×m 满足（1）—（4）式中的一个、二个、三个或全部，则称X 为A 的广义逆阵。 由上定义可知，广义逆阵有154 4342414=+++C C C C 种之多。为了方便，引进一些记 号：A (i )为满足第i 个方程的广义逆矩阵，即第i 个方程的解矩阵，A {i }为第i 个方程的解集，即A （i ）的全体。同样有记号A (i ，j )，A (i ，j ，k )，A (1，2，3)，A {i ，j }，A {i ，j ，k }，A {1，2，3，4}。 如，A (1，3)为满足第1、第3个方程的广义逆矩阵，A {1，3}为所有A (1，3)的全体构成的集合。 在这15种广义逆矩阵中，常用的有A {1}，A {1，3}，A {1，4}，A {1，2，3，4}。我们将结合线性方程组的解的不同情况，在本章后面各节中进行讨论。为此先了解一下线性方程组的解的问题。
逆矩阵的几种求法与解析 矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法. 1.利用定义求逆矩阵 定义: 设A 、B 都是n 阶方阵, 如果存在n 阶方阵B 使得AB= BA = E, 则称A 为可逆矩阵, 而称B 为A 的逆矩阵.下面举例说明这种方法的应用. 例1 求证: 如果方阵A 满足A k= 0, 那么EA 是可逆矩阵, 且 （E-A ）1-= E + A + A 2+…+A 1-K 证明 因为E 与A 可以交换, 所以 (E- A )(E+A + A 2+…+ A 1-K )= E-A K , 因A K = 0 ,于是得 (E-A)（E+A+A 2+…+A 1-K ）=E ， 同理可得（E + A + A 2+…+A 1-K ）(E-A)=E ， 因此E-A 是可逆矩阵,且 (E-A)1-= E + A + A 2+…+A 1-K . 同理可以证明(E+ A)也可逆,且 (E+ A)1-= E -A + A 2+…+（-1）1-K A 1-K . 由此可知, 只要满足A K =0，就可以利用此题求出一类矩阵E ±A 的逆矩阵. 例2 设 A =? ? ?? ? ???? ???0000 30000020 0010,求 E-A 的逆矩阵. 分析 由于A 中有许多元素为零, 考虑A K 是否为零矩阵, 若为零矩阵, 则可以采用例2 的方法求E-A 的逆矩阵. 解 容易验证
A 2 =????????? ???0000000060000200， A 3=? ? ?? ? ? ? ?? ???00000000 00006000 ， A 4=0 而 (E-A)(E+A+ A 2+ A 3)=E,所以 (E-A)1-= E+A+ A 2+ A 3= ? ? ?? ? ???????1000 31006210 6211. 2.初等变换法 求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，常用初等变换法.如果A 可逆，则A 可通过初等变换，化为单位矩阵I ，即存在初等矩阵S P P P ,,21Λ使 （1）s p p p Λ21A=I ，用A 1-右乘上式两端，得： （2） s p p p Λ21I= A 1- 比较（1）（2）两式，可以看到当A 通过初等变换化为单位矩阵的同时，对单位矩阵I 作同样的初等变换，就化为A 的逆矩阵A 1-. 用矩阵表示（A I ）??? →?初等行变换 为（I A 1-），就是求逆矩阵的初等行变换法，它是实际应用中比较简单的一种方法.需要注意的是，在作初等变换时只允许作行初等变换.同样，只用列初等变换也可以求逆矩阵. 例1 求矩阵A 的逆矩阵.已知A=???? ? ?????521310132. 解 [A I]→??????????100521010310001132→???? ? ?????001132010310100521 → ??????????--3/16/16/1100010310100521→???? ??????-----3/16/16/110012/32/10103/46/136/1001
所以按照以上介绍的方法，用C语言实现过程如下： #include
float t = getA(temp,n-1); if(i%2==0) { ans += arcs[0][i]*t; } else { ans -= arcs[0][i]*t; } } return ans; } void getAStart(float **arcs,int n,float **ans) { if(n==1) { ans[0][0] = 1; return; } int i,j,k,t; float num = getA(arcs,n); float **temp = (float **)malloc(sizeof(float *) * n); for(i = 0; i < n; i++){ temp[i] = (float *)malloc(sizeof(float *) * n); } for(i=0;i
价值工程 0引言在科技、工程、医学、经济、以及气象学的不同领域，经常会遇到求线性方程组 a 11ξ1 +a 12ξ2+……+a 1n ξn =β1a 21ξ1+a 22ξ2+……+a 2n ξn =β2……………………………a s1ξ1+a s2ξ2+……+a sn ξn =βs （1）或矩阵方程A ξ=β（1）’的求解问题。通过线性代数的学习，我们知道方程组（1）有解的充分必要条件是A 与其增广矩阵有相同的秩。而方程组（1）存在唯一解，必须方程组未知数的个数与系数矩阵的秩相等，若A 是方阵，且A 非退化（即A 满秩|A|≠0），则A 存在逆矩阵，为A -1 =A*/|A|，其中A*是A 的伴随矩阵，则方程组有唯一解，可表为ξ=A -1β，唯一性在线性代数讲过，在这不再赘述。上面要求在一些实际问题中是不容易满足，那是因为：①实际问题中，方程个数与未知量个数不等s ≠n ，A 不是方阵，不存在逆阵A -1 ，但方程组（1）却又是可解的（即相容的）。 ②还有可能是，希望在无解方程组中找到既使模|ξ|最 小，又使A ξ軃-β2 最小的解。总之，根据问题的需要，我们光用逆矩阵的概念解决不了这样的问题，所以有必要推广逆矩阵，下面先介绍广义逆矩阵的定义。先来看设A 是n ×n 可逆阵，β是任意一个n ×1矩阵，则方程A ξ=β总有解，且解可表示为ξ=A -1β，现在设A 是任意m ×n 阵，b 是一个m ×1矩阵，是否存在n ×m 矩阵X ，使得只要方程A ξ=β有解，ξ=A -1β就是解？这样的矩阵就是广义逆矩阵，在未给出概念前，先看看X 满足条件。引理：设A 为m ×n 阵，某个n ×m 阵X ，对任意n 维列 向量X 0及β=AX 0 满足A ×β=β的充分条件是AXA=A 1定义设A 为m ×n 矩阵，如果n ×m 矩阵X 满足AXA=A ，则 称X 为A 的一个广义逆矩阵，且广义逆矩阵具有下面四个性质： I AXA=A II XAX=X III （AX ）T =AX IV （XA ）T =XA 其中（·）T 表示转置，A 的广义逆记为A +；广义逆矩阵的四个性质与引言中的实际问题之间有什么联系，我们做如下的论证。 2论证以上定义中的广义逆矩阵X ，如果在s=n 且|A|≠0的—————————————————————— —基金项目：金肯职业技术学院高等数学教学改革的研究资助 （JG0907）。 作者简介：周海青（1974-），女，藏族，青海互助人，南京市金肯职业技术学院数学教研室，讲师，主要从事数学教育方 向的研究工作。浅谈广义逆矩阵 On the Generalized Inverse Matrix 周海青ZHOU Hai-qing （金肯职业技术学院，南京211156） （Jinken College of Technology ， Nanjing 211156，China ）摘要：文章介绍莫尔-潘鲁斯(Moore-Penrose)广义逆矩阵的概念及其与实际背景的联系。文章中定理1和定理2说明条件I 与相 容线性方程组的基本解的广义逆矩阵的联系，定理3说明条件I 和IV 与相容线性方程组的最小模解的广义逆矩阵的联系。 Abstract:The article introduces the concept of Moore-Penrose's generalized inverse matrix and its relation with the actual background.Theorem 1and Theorem 2in this article illustrate the relation between Conditions 1and generalized inverse matrix of the fundamental solution of compatible linear equation.Theorem 3illustrates Condition I and Condition IV's relation with generalized inverse matrix of the minimal model solution of compatible linear equation. 关键词：广义逆矩阵；相容线性方程组；最小模解Key words:generalized inverse matrix ；compatible linear equation ；minimal model solution 中图分类号：G642文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2012）25-0236-02 统改造的方法对学科知识的处理有着天然的优势，尤其是 分类中易混淆的知识，能有效的促进新学科及交叉学科间的知识交流与区分。另外，由于机读目录格式进行的知识资源组织实际上是属于受控编目，编目知识具有质量高、数据规范、系统稳定、经济实用的优点。 但由于MARC 是处理书目信息的，是根据书目信息的特点编制的，用于管理高校学术知识则有冗余字段多、卡片显示不够理想、查找功能受限等缺点。 4结语 利用图书编目系统构建学术知识共享系统虽有一定 的缺点，但对无条件引进或开发高校学术知识共享系统的高校是一个不错的选择。 参考文献： [1]张晓林.数字化信息组织的结构与技术[J].大学图书馆学报,2001(4):9-14. [2]胡敏．机读目录与都柏林核心元数据的格式研究[J]．图书馆学刊，2005(2)：65-66,98. [3]胡敏．网络信息资源的MARC 格式编目[J]．情报杂志，2005(10)：127-129. [4]知识管理系统.百度百科[EB].https://www.doczj.com/doc/ce10898311.html,/view/858842.htm.2012-04-02/2012-05-28. ·236·
求逆矩阵的若干方法和举例 苏红杏 广西民院计信学院00数本（二）班 [摘 要] 本文详细给出了求逆矩阵的若干方法并给出相应的例子，以供学习有关矩阵方面 的读者参考。 [关键词] 逆矩阵 初等矩阵 伴随矩阵 对角矩阵 矩阵分块 多项式等 引 言 在我们学习《高等代数》时，求一个矩阵的逆矩阵是一个令人十分头痛的问题。但是，在研究矩阵及在以后学习有关数学知识时，求逆矩阵又是一个必不可缺少的知识点。为此，我介绍下面几种求逆矩阵的方法，供大家参考。 定义: n 阶矩阵A 为可逆，如果存在n 阶矩阵B ，使得E BA AB ==，这里E 是n 阶单位矩阵，此时，B 就称为A 的逆矩阵，记为1-A ，即：1-=A B 方法 一. 初等变换法（加边法） 我们知道，n 阶矩阵A 为可逆的充分必要条件是它能表示成一系列初等矩阵的乘积A=m Q Q Q 21， 从而推出可逆矩阵可以经过一系列初等行变换化成单位矩阵。即，必有一系列初等矩阵 m Q Q Q 21使 E A Q Q Q m m =-11 （1） 则1-A =E A Q Q Q m m =-11 （2） 把A ，E 这两个n 阶矩阵凑在一起，做成一个n*2n 阶矩阵（A ，E ），按矩阵的分块乘法，（1）（2）可以合并写成 11Q Q Q m m -（A ，E ）=（11Q Q Q m m -，A ，E Q Q Q m m 11 -）=（E ，1-A ） （3） 这样就可以求出矩阵A 的逆矩阵1-A 。 例 1 . 设A= ???? ? ??-012411210 求1-A 。 解：由（3）式初等行变换逐步得到： ????? ??-100012010411001210→ ????? ??-100012001210010411 →???? ? ??----123200124010112001→
.矩阵求逆的并行算法： #include "stdio.h" #include "stdlib.h" #include "mpi.h" #define intsize sizeof(int) #define floatsize sizeof(float) #define A(x,y) A[x*N+y] #define Q(x,y) Q[x*N+y] #define a(x,y) a[x*N+y] #define f(x) f[x] float *A,*Q; float *a,*f; int N,v,m; int p; int myid; MPI_Status status; FILE *dataFile; double starttime,endtime,time1; void readData() { int i,j; starttime = MPI_Wtime(); dataFile = fopen("dataIn.txt","r"); fscanf(dataFile,"%d",&N); A = (float *)malloc(floatsize*N*N); for(i = 0; i < N; i++) { for(j = 0; j < N; j++) { fscanf(dataFile,"%f",&A(i,j)); } } fclose(dataFile); printf("Input of file \"dataIn.txt\"\n"); printf("%d\n",N); for(i = 0; i < N; i++) { for(j = 0; j < N; j++) { printf("%f\t",A(i,j)); } printf("\n");
第六章 广义逆矩阵 当A 是n 阶方阵，且det A ≠0时，A 的逆矩阵1A -才存在，此时线性方程组Ax =b 的解可以简洁地表示为x =1 A b -．近几十年来，由于解决各种问题的需要，人们把逆矩阵的概念推广到不可逆方阵或长方矩阵上，从而产生了所谓的广义逆矩阵．这种广义逆矩阵具有通常逆矩阵的部分性质，并且在方阵可逆时，它与通常的逆矩阵相一致；而且这种广义逆矩阵可以给出线性方程组(包括相容的和矛盾的方程组)各种“解”的统一描述． 1920年，，由于不知道它的应用，所以一直未受到重视．直到1955年R.Penrose 利用四个矩阵方程给出广义逆矩阵的更简便实用的定义后，它才引起普遍关注，并得到迅速发展．目前，广义逆矩阵已形成了一套既系统又完整的理论，并在许多学科得到广泛的应用．§6.1 广义逆矩阵的概念 定义6.1 设A ∈C m n ?，如果X ∈C n m ?满足下列四个Penrose 方程 (1)AXA =A ； (2)XAX =X ； (3)()AX AX =H ； (4)H ()=XA XA 的某几个或全部，则称X 为A 的广义逆矩阵，满足全部四个方程的广义逆矩阵X 称为A 的Moore-Penrose 逆． 显然，如果A 是可逆矩阵，则1 X A -=满足四个Penrose 方程． 按照这一定义，可以分为满足一个、二个、三个或四个Penrose 方程的广义逆矩阵，一 共有1234 4444C C C C 15+++=类． 以下定理表明，Moore-Penrose 逆是存在并且惟一的，从而上述的15类广义逆矩阵都是存在的． 定理6.1 设C m n A ?∈，则A 的Moore-Penrose 逆存在且惟一． 证 设rank A ＝r ．若r ＝0，则A 是m ×n 零矩阵，可以验证n ×m 零矩阵满足四个Penrose 方程．若r >0，由定理4．19知，存在m 阶酉矩阵U 和n 阶酉矩阵V 使得其中∑=diag ()12r σ，σ，…，σ，而()12r i i =σ，，…，是A 的非零奇异值．记 则易验证X 满足四个Penrose 方程，故A 的Moore-Penrose 逆存在． 再证惟一性．设X ，Y 都满足四个Penrose 方程，则(为了叙述简明，在等号上注明了推演时所依据的方程号)从而A 的Moore-Penrose 逆是惟一的． 证毕 需要指出的是只要A 不不可逆矩阵，则除Moore-Penrose 逆以外的其他14类广义逆矩阵都不是惟一的．
陕西科技大学 教育实习教案 课题：逆矩阵 学院：职业技术学院 学号： 8070614118 班级：信工 071 姓名：赵进彪
逆矩阵 Ⅱ.教学目的与要求 熟练掌握逆矩阵存在的条件与矩阵求逆的方法 Ⅲ.重点与难点 重点：矩阵的逆 难点：矩阵的逆的概念 Ⅳ.教学内容 定义 1 对于n 阶矩阵A ，如果有一个n 阶矩阵B ，使 E BA AB ==，则说矩阵A 是可逆的，并把B 称为A 的逆矩阵。 A 的逆矩阵记为1-A .,, 的逆阵也一定是的逆阵时为当由定义知B A A B . ,, 212211B B I A B AB I A B AB =====?则设唯一性
.. 111I A A AA A A ==---有的唯一的逆阵记为可逆阵 定理1 若矩阵A 可逆，则0≠A 证 A 可逆，即有1-A ，使E AA =-1 ，故11 ==-E A A 所以 0≠A 定理2 若0≠A ，则矩阵A 可逆，且* 1 1A A A =- 其中*A 为矩阵A 的伴随矩阵 证 由例1知： E A A A AA ==* * 因0≠A ，故有E A A A A A A ==**11 所以有逆矩阵的定义，既有* 1 1A A A =- 当A =0时，，A 称为奇异矩阵，否则称为非奇异矩阵，由上面两定理可知：A 是可逆矩阵的充分必要条件是0≠A ，即可逆矩 阵就是非奇异矩阵。 推论：若E AB =（或E BA =），则1 -=A B 证 1==E B A ，故0≠A ，因而1-A 存在，于是
111*)()(---=====A E A AB A B A A EB B 方程的逆 矩阵满足下述运算规律 ①若A 可逆，则1 -A 也可逆，且 A A =--11)( ②若A 可逆，数0≠λ，则A λ可逆，且11 1 ) (--= A A λ λ ③若B A .为同阶矩阵且均可逆，则B A .也可逆，且111)(---A B AB 证明 ()()() 1111----=A BB A A B AB 1 -=AEA ,1E AA ==- ().111 ---=∴A B AB 例2 求方程 ??? ? ? ??=343122321.A 的逆矩阵 解 023********≠=?+?+?=A A A A ，知1-A 存在 2.11=A 6.21 =A 4.31-=A 3.12-=A 6.22-=A 532 =A 2.13=A 2.23=A 2.33-=A 于是.A 的伴随矩阵为 ?? ??? ? ?----=222563462 .* A
矩阵求逆标准算法（VB）源码 2006-11-29 13:49 类别：默认 本程序依据矩阵初等变换的基本原理编写，算法较为繁琐，但易于理解适合VB初学者。 本程序适合任何（n*n）的矩阵求逆，对于不可逆矩阵有提示信息，并结束程序 本程序在XP，VB6.0下调试通过 本程序由本人原创，请慎用。如有疑问，或调试有误，请联系本人QQ 30360126 本程序可在VB6.0内任何地方用call jzqn(qa(),na()))语句调用其中qa()是输入的矩阵数组，调用此函数后 na()为返回的逆矩阵数组 注意：调用本程序前不要声明na()的维数，仅用dim na()即可。 请不要试图对一个病态矩阵求逆、否则计算结果未必是你想要的病态矩阵是指行列式计算结果极其接近于零的矩阵 Public Sub jzqn(qa(), na()) Dim a() n = UBound(qa, 1) ReDim na(n, n) ReDim a(n, 2 * n) For i = 1 To n For j = 1 To n a(i, j) = qa(i, j)
Next j Next i For i = 1 To n For j = n + 1 To 2 * n If j - i = n Then a(i, j) = 1 Else a(i, j) = 0 End If Next j Next i For i = 1 To n If a(i, i) = 0 Then For q = i To n If a(q, i) <> 0 Then For w = i To 2 * n zj = a(i, w) a(i, w) = a(q, w) a(q, w) = zj Next w Exit For End If Next q If q > n Then MsgBox "此矩阵不可逆": Exit Sub End If
11.5逆矩阵 11.5.1逆矩阵的概念 在前面，我们看到矩阵的运算性形式上有些类似于数的地方。比如零矩阵n m O ?在矩阵的加法中与数0在数的加法中有类似的性质：n m n m n m A O A ???=+；单位矩阵n I 在矩阵的乘法中与数1在数的乘法中有类似的性质：n m n n m A I A ??=，n m n m m A A I ??=。 而在数的乘法中，对于任何一个数0≠a 有所谓它的倒数1 -a 存在，适合 111==--a a aa 。下面我们在矩阵的范围中引进起到类似作用的所谓逆矩阵的概念。 定义11.17 对于n 阶矩阵A ，如果存在n 阶矩阵B ，使得 I BA AB == 则称矩阵A 为可逆矩阵，而称矩阵B 为A 的逆矩阵。 如果A 可逆，则A 的逆矩阵是唯一的。事实上，如果B 和C 都是A 的逆矩阵，则有 I BA AB ==，I CA AC == 那么 C IC C BA AC B BI B =====)()( 即 C B =。 我们把矩阵A 唯一的逆矩阵记作1 -A ，读作A 的逆。注意，1 -A 不能读作A 的负一次方，同时由于我们没有定义过矩阵的除法，1 -A 也不能看作 A 1。 1．伴随矩阵求逆法 定义11.18 若n 阶矩阵A 的行列式0≠A ，则称矩阵A 为非奇异的或非退化的。 定理11.11 n 阶矩阵() ij a A =为可逆的充分必要条件是A 为非奇异的，而且 * -= A A A 11 （11.17） 其中 ?? ?? ? ?? ??=*nn n n n n A A A A A A A A A A 2122212 12111 （11.18）
逆矩阵的几种求法与解析 矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法. 1.利用定义求逆矩阵 定义: 设A、B 都是n 阶方阵, 如果存在n 阶方阵B 使得AB= BA = E, 则称A 为可逆矩阵, 而称B为A 的逆矩阵.下面举例说明这种方法的应用. 例1 求证: 如果方阵A 满足A k= 0, 那么EA是可逆矩阵, 且 （E-A）1-= E + A + A2+…+A1-K 证明因为E 与A 可以交换, 所以 (E- A )(E+A + A2+…+ A1-K)= E-A K, 因A K= 0 ,于是得 (E-A)（E+A+A2+…+A1-K）=E， 同理可得（E + A + A2+…+A1-K）(E-A)=E， 因此E-A是可逆矩阵,且 (E-A)1-= E + A + A2+…+A1-K. 同理可以证明(E+ A)也可逆,且 (E+ A)1-= E -A + A2+…+（-1）1-K A1-K. 由此可知, 只要满足A K=0，就可以利用此题求出一类矩阵E±A的逆矩阵.
例2 设 A =? ? ?? ? ???? ???000030000020 0010,求 E-A 的逆矩阵. 分析 由于A 中有许多元素为零, 考虑A K 是否为零矩阵, 若为零矩阵, 则可以采用例2 的方法求E-A 的逆矩阵. 解 容易验证 A 2=???? ????? ???0000 000060000200， A 3=? ? ?? ? ? ? ?? ???0000 0000 00006000 ， A 4=0 而 (E-A)(E+A+ A 2+ A 3)=E,所以 (E-A)1-= E+A+ A 2+ A 3 =? ? ?? ? ???? ???1000 31006210 6211. 2.初等变换法 求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，常用初等变换法.如果A 可逆，则A 可通过初等变换，化为单位矩阵I ，即存在初等矩阵S P P P ,,21Λ使 （1）s p p p Λ21A=I ，用A 1-右乘上式两端，得： （2） s p p p Λ21I= A 1- 比较（1）（2）两式，可以看到当A 通过初等变换化为单位矩阵的同时，对单位矩阵I 作同样的初等变换，就化为A 的逆矩阵A 1-. 用矩阵表示（A I ）??? →?初等行变换 为（I A 1-），就是求逆矩阵的初等行变换法，它是实际应用中比较简单的一种方法.需要注意的是，在作初等变换时只允许作行初等变换.同样，只用列初等变换也可以求逆矩阵.