E-A) 1= E + A + 2 K1 + … +A
(E- A )(E+A + A 2+…+ A
K 1)= E-A K
(E-A) (E+A+A 2 + …+A K 1)=E，
逆矩阵的几种求法与解析
矩阵是线性代数的主要内容 ,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷 .逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容 , 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一 .本文将给出几种求逆矩阵的方法 .
1. 利用定义求逆矩阵
定义：设A、B都是n阶方阵,如果存在n阶方阵B使得AB= BA = E,则称A
为可逆矩阵，而称B为A的逆矩阵.下面举例说明这种方法的应用.
例1 求证：如果方阵A满足A k= 0,那么EA是可逆矩阵,且
证明因为E与A可以交换，所以
因A K= 0 ,于是得
同理可得( E + A + A 2 + … +A K 1 )(E-A)=E ，
因此E-A是可逆矩阵，且
(E-A) 1 = E + A + A 2 +…+A K 1
同理可以证明 (E+ A) 也可逆,且
E-A 的逆矩阵.
(E+ A) 1 = E -A + A 2+…+ (-1 ) K1A K1
.
由此可知，只要满足A K
=0，就可以利用此题求出一类矩阵E A 的逆矩阵.
例2 设 A =
00 20 00 03
,求
0003 0000
分析 由于A 中有许多元素为零，考虑A K
是否为零矩阵，若为零矩阵，则可以 采用例2的方法求E-A 的逆矩阵.
解 容易验证
00 2 0
0 0 0 6
2
00 0 6
3
0 0 0 0
4
A 2
=
■
A 3=
， A 4 =0
00 0 0
0 0
0 0
00
0 0
0 0 0 0
而 (E-A)(E+A+ A
2
+ A 3 )=E , 所以
1 1
2 6
1
2
3
0 1
2 6 (E-A)
E+A+ A
2
+ A
.
0 0 1 3
0 0
0 1
2. 初等变换法
求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，常用初等变换法 ?如果A 可逆，则A 可通过 初等变换，化为单位矩阵I ，即存在初等矩阵R,P 2 , P S 使
（1） p 1 p 2 p s A=I ，用 A 1
右乘上式两端，得：
（2） p 1 p 2 p s I= A 1
比较（1）（2）两式，可以看到当A 通过初等变换化为单位矩阵的同时，对单 位矩阵I 作同样的初等变换，就化为A 的逆矩阵A 1.
用矩阵表示（ A I ）
为（ I A 1 ），就是求逆矩阵的初等行变换法，
它是实际应用中比较简单的一种方法 .需要注意的是，在作初等变换时只允许作行初 等