逆矩阵的几种常见求法
潘风岭
摘 要 本文给出了在矩阵可逆的条件下求逆矩阵的几种常见方法，并对每种方法做了具体的分析和评价,最后对几种方法进行了综合分析和比较.
关键词 初等矩阵； 可逆矩阵 ； 矩阵的秩； 伴随矩阵； 初等变换．
1． 相关知识
1.1 定义1 设A 是数域P 上的一个n 级方阵，如果存在P 上的一个n 级方阵B ，使得AB=BA=E,则称A 是可逆的，又称A 是B 的逆矩阵．当矩阵A 可逆时，逆矩阵由A 唯一确定，记为1-A ．
定义2 设()ij n n A a ?=,由元素ij a 的代数余子式ij A 构成的矩阵
11
2111222212n n n
n
nn A A A A A A A A A ?? ? ?
? ???
称为A 的伴随矩阵，记为A *.
伴随矩阵有以下重要性质
AA *= A *A=A E.
注:注意伴随矩阵中的元素ij A 的排列顺序. 1．2 哈密尔顿-凯莱定理
设A 是数域P 上的一个n n ?矩阵，f A λλ=E-（）是A 的特征多项式，
则
11122()10n n n
nn f A A a a a A A E -=-++
++
+-=（）（）
(证明参见[1]）
． 1.3 矩阵A 可逆的充要条件
1.3.1 n 级矩阵A 可逆的充分必要条件是A 0≠（也即()rank A n =）;
1.3.2 n 级矩阵A 可逆的充分必要条件是A 可写成一些初等矩阵的乘积（证明参见[1]）；
1.3.3 n 级矩阵A 可逆的充分必要条件是A 可以通过初等变换（特别只通过初等行或列变换）化为n 级单位阵（证明参见[1]）；
1.3.4 n 级矩阵A 可逆的充分必要条件是存在一个n 级方阵B ，使得AB=E （或BA=E ）；
1.3.5 n 级矩阵A 可逆的充分必要条件是A 的n 个特征值全不为0；（证明参见[2]）； 1.3.6 定理 对一个s n ?矩阵A 作一初等行变换就相当于在A 的左边乘上相应的s s ?初等矩阵；对A 作一初等列变换就相当于在A 的右边乘上相应的n n ?初等矩阵.（证明参见[1]）
2．矩阵的求逆
2.1 利用定义求逆矩阵
对于n 级方阵A ，若存在n 级方阵B ，使AB=BA=E ，则1B A -=.
事实上只需证AB E =或BA E =即可，若AB E =，则ABA A BA E =?=，同样可
由BA E =得到AB E =.
例1 设n 级矩阵A 满足方程220A A E --=，证明2A E +可逆.并求它的逆矩阵
()
1
2A E -+.
证明 由220A A E --=，得()()3240A E A E E -++=， 即
()()1324A E A E E ??
--+=????
或
()()1234
A E A E E ??
+--=????
由定义可知，
2A E +
可逆，且
()
()1
1
234
A E A E -+=-
-. 例2 设A ，B 是n 级方阵，若A+B 与A-B 可逆，试证明A B B A ??
???可逆，并求其
逆矩阵．
证明 令
A B D B A ??= ???
，
由假设知
0,0A B A B +≠-≠，
那么
00A B A B B A B
B
D A B A B B A B A A A B
++=
===+-≠+-， 即D 可逆. 再令
1
213
4D D D D D -??= ???
， 由
1DD E -=，
即
123
400D D A B E
D D B A
E ??????
= ? ? ?????
?? 可得
()13132424
10(2)0(3)(4)AD BD E BD AD AD BD BD AD E +=??
+=??
+=??+=?
由（1）+（2）和（1）-（2） 可解得
()1
131
13(5)()
(6)
D D A B D D A B --+=+-=-
由（5），（6）解得
()()()()1111
1311,22D A B A B D A B A B ----????=
++-=+--???
? 类似由（3），（4）可解得
2341,.D D D D ==
()()()()()()()()1111
1
111
12A B A B A B A B A B B A A B A B A B A B --------??
++-+--???
?∴= ???+--++-???
?
. 2.2 利用伴随矩阵*A 求逆矩阵
例3 已知1
12,.10A A -??= ???求
解 因为
*02211A A -??
==- ?-??
，
， 所以
*011
12
2A A ?? ?==
?-??
-1A
2．3 利用初等变换求逆矩阵
1A E E A -????→初等行变换
（，）（，），
（其中E 为单位阵） 有一系列初等矩阵12,,,m P P P ，使得
21,m
P P PA E = 12121m
m A P P P P P PE -∴==
把A ，E 这两个n n ?矩阵凑在一起，作成一个2n n ?矩阵（A ，E ），按矩阵分块的乘法
1
212121
(,)(,)(,)m m m
P P P A E P P PA P P PE E A -==. 所以我们在求1A -时，可将A 与E 写成一个n 行2n 列的矩阵只进行初等行变换，当A 化为E 时，E 化为1A -.
读者可类似的得出
1E A E A -??
??????
→ ? ?????
初等列变换． 例4 设A D C ，，分别是,,m m n n n m ???A D 矩阵，，均可逆，则
1
11100A A C D D CA D ----??
?? ? ?-????
-1
=． 证明
111111
1000000.00
m m
m
n n
n
A E E A E A C D E D C
E D E D CA D -------????
??→→ ? ?
?-??????
所以
1
111100.A A C D D CA
D -----??
??
= ? ?-????
2．4 利用等价标准形求逆矩阵
命题 设A 是n 级可逆矩阵，A 的秩等于n ，则存在可逆矩阵B C 与，使
11CAB E A C B --==，，
故
1A BC -=．
证明 首先构造矩阵220n n
A E D E ???
= ?
?? ，然后对D 进行有限次初等行变换或列变换后，D 可化为
00A E E C D E B ????=?????→ ? ?????
初等行或列变换，
则存在初等矩阵
121
2m t P P P Q Q Q ，，，，，， 使得
21122112m
t m t P P PAQQ Q E P P P C QQ Q B ===，，，
则
11CAB E A C B --==，，.
所以
1A BC -=.
例5 求可逆矩阵131251001A ?? ?
= ? ???
的逆矩阵.
解 构造矩阵得
1
311001001
002510100102110010010010
011000001310000100000100
000010000010
00????
?
?- ? ? ? ?
→ ?
?- ? ? ? ?
- ? ? ? ??
???
1131100532010211211.001001001A ---??????
??? ?
∴=--=-- ??? ? ??? ???????
2．5 利用哈密尔顿—凯莱定理求逆矩阵
设f E A λλ-（）=是A 的特征多项式，若A 可逆，则0A ≠,
由
11122()()(1)0n n n nn f A A a a a A A E -=-+++++-=
可得
1
112210n n
nn A A a a a E A
-??-++++
+-=??
n-2（）A （）， 进而可求1A -．
例6 设()f x 是x 的复系数多项式，n 级复矩阵A 的特征根都不是()f x 的零点，试证 ()f A 为满秩矩阵，且()f A 的逆矩阵可表示为A 的多项式．
证明 设A 的n 个特征根为1,,n λλ，所以()f A 的n 个特征根为1(),,()n f f λλ，
由假设可知
12()()()
()0,n f A f f f λλλ=≠
()f A ∴可逆.
112110()(())(())(())n n n n E f A f f f b b b λλλλλλλλλλ---=---=++
++
其中0(1)()0n b f A =-≠，由哈密尔顿—凯莱定理
[][]
1
110()()()0,
n n n f A b f A b f A b E --++
++=
[][]12
110
001()()()n n n b b f A f A f A E E b b b ---??
∴---
-=????
[][][]1
12
11
00
1()()()n n n b b f A f A f A E b b b ----∴=-
--- 令
1211
00
1
()[()][()]n n n b b g x f x f x b b b ---=-
---
即()f A 的逆矩阵可表为A 的多项式()g x .
例7 设224232111A -?? ?
= ? ?--??
，求1A -.
证明 A 的特征多项式为
32()4710f E A λλλλλ=-=-+-，
由哈密尔顿—凯莱定理知
32()47100f A A A A E =-+-=
因此可得
()125216114702410105010A A A E ---??
?=-+= ? ?
??
.
3．总结
第一种方法属于一种验证的方法，适用于抽象矩阵A （n 级）的求逆，首先证明存在一个n 级矩阵B 使得AB=E 或BA=E ，则A 可逆，且1A B -=，如例1，对于分块矩阵也可用此方法求逆，不过此时需首先把逆矩阵设出，然后通过解方程组得出B ，如例2.但对于有限级数字矩阵一般不用此方法因为此方法需要首先找到B ，再验证AB=E 或BA=E 是否成立，或首先用待定系数法把1A B -=设出通过解方程组求出B 的所有元素，这样很烦琐且易出错，一般不采用此方法.但对于一些特殊矩阵此方法
还是适用的，如求100020003A ?? ?
= ? ?
??
的逆矩阵，可令110
010
021003B -?
? ?
?
?= ? ? ??
?
，有AB=E ，则1A B -=．
第二种方法只对低级矩阵（特别是2级矩阵）利用伴随矩阵进行计算.对高级矩阵用此方法求逆矩阵，不仅计算量大而且易出错，一般不用此方法，而对于抽象矩阵的求逆一般也不用此方法，因为一般情况下伴随矩阵根本无法求出．
第三种方法简单易懂且容易计算，是一种常用方法，但要注意计算时只能进行初等行变换或初等列变换，不能二者同时进行.此方法多用于三级及三级以上的矩阵求逆，对于三级以下的矩阵虽可用此方法，但有时候用伴随矩阵的方法可能会更简单.对于分块矩阵求逆同样可用此方法，不过此时进行的是广义初等变换，如例4.当然也
可以先设出逆矩阵E F B G H ??
= ???，利用AB E =解方程组得出B ，显然这样有些麻烦，
但这种方法也不能解决所有问题，像例1此方法就不适用了．
第四种求逆方法在一般教材中很少提到，同时采用初等行和列变换，把已知可逆矩阵置于含单位矩阵的分块矩阵中，以此求逆矩阵，前面提到的第三种方法只是利用初等行变换或列变换，此方法是第三种方法的推广和延伸.用此方法求逆未必比第三种方法简单，但至少有理论上的意义.第三种方法和第四种方法都是从等价标准形的角度求逆矩阵的.
第五种方法对于不超过4级的数字可逆矩阵可用此方法求解，若级数较大则不易计算A 的方幂及前面的系数，故级数较大的一般不用此方法，分块矩阵的求逆一般不用此方法.如证明某一矩阵的逆矩阵可表示另一矩阵的多项式时，一般用此方法，如例6．
以上讨论了矩阵求逆的几种常用方法，具体用哪种方法视具体情况而定，对于低级数字矩阵和分块矩阵的求逆，我们首先想到的是利用初等行变换或列变换的方法，即第三种方法，第三种方法是求逆矩阵的最常用的方法.但对于2级数字矩阵用第二种方法较为简单.第一种方法中体现着一种验证的思想，它首先需要找到B ，然后验证AB=E ，才能得出1A B -=，此方法对于数字矩阵的求逆不太方便，但对于某些抽象矩阵的求逆是很方便的.第五种方法利用哈密尔顿—凯莱定理，对于某些特殊矩阵或低级数字矩阵还是可以的，但对于高级矩阵或抽象矩阵的求逆就显得麻烦或根本无法求出，此方法在抽象矩阵的证明中有着广泛的应用.一般情况下我们不采用第四种方
法求逆矩阵，其既涉及到了初等行变换又涉及到了初等列变换，最后还要计算两个矩阵的乘积，有些麻烦且易出错．
参考文献
[1] 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组编（第二版），高等代数，高等教育出版社，1998．
[2] 扬子胥编，高等代数习题解，山东技术出版社，2001．
[3] 钱吉林编，高等代数题解精粹，中国民族大学出版社，2002．
[4] 徐仲，陆全，张凯院编，高等代数导教导学导考，西北工业大学出版社，2004．
[5] 王萼芳编，高等代数教程，清华大学出版社，2002.
总结求矩阵的逆矩阵的方法 课程名称： 专业班级： 成员组成： 联系方式：
摘要：矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快 捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法. 关键词：矩阵逆矩阵方法 Method of finding inverse matrix Abstract: Matrix in linear algebra is the main content,many prictical problems with the matrix theory is simple and fast. The inverse matrix andmatrix theory the important content, the solution of inverse matrix nature has become one of the main research contents of linear algebra. The paper will give some method of finding inverse matrix. Key words: Matrix inversematrix method
正文： 1.引言:矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法. 2.求矩阵的逆矩阵的方法总结： 2.1 矩阵的基本概念 矩阵，是由个数组成的一个行列的矩形表格，通常用大写字母表示，组成矩阵的每一个数，均称为矩阵的元素，通常用小写字母其元素表示，其中下标都是正整数，他们表示该元素在矩 阵中的位置。比如，或表示一个矩阵，下标表示元素位于该矩阵的第行、第列。元素全为零的矩阵称为零矩阵。 特别地，一个矩阵，也称为一个维列向量；而一个矩阵，也称为一个维行向量。 当一个矩阵的行数与烈数相等时，该矩阵称为一个阶方阵。对于方阵，从左上角到右下角的连线，称为主对角线；而从左下角到右上角的连线称为付对 角线。若一个阶方阵的主对角线上的元素都是，而其余元素都是零，则称 为单位矩阵，记为，即：。如一个阶方阵的主对角线上（下）方的元素都是零，则称为下（上）三角矩阵，例如， 是一个阶下三角矩阵，而则是一个阶上三角矩阵。今后我们用表示数域上的矩阵构成
逆矩阵的几种常见求法 潘风岭 摘 要 本文给出了在矩阵可逆的条件下求逆矩阵的几种常见方法，并对每种方法做了具体的分析和评价,最后对几种方法进行了综合分析和比较. 关键词 初等矩阵； 可逆矩阵 ； 矩阵的秩； 伴随矩阵； 初等变换． 1． 相关知识 1.1 定义1 设A 是数域P 上的一个n 级方阵，如果存在P 上的一个n 级方阵B ，使得AB=BA=E,则称A 是可逆的，又称A 是B 的逆矩阵．当矩阵A 可逆时，逆矩阵由A 唯一确定，记为1-A ． 定义2 设()ij n n A a ?=,由元素ij a 的代数余子式ij A 构成的矩阵 11 2111222212n n n n nn A A A A A A A A A ?? ? ? ? ??? 称为A 的伴随矩阵，记为A *. 伴随矩阵有以下重要性质 AA *= A *A=A E. 注:注意伴随矩阵中的元素ij A 的排列顺序. 1．2 哈密尔顿-凯莱定理
设A 是数域P 上的一个n n ?矩阵，f A λλ=E-（）是A 的特征多项式， 则 11122()10n n n nn f A A a a a A A E -=-++ ++ +-=（）（） (证明参见[1]） ． 1.3 矩阵A 可逆的充要条件 1.3.1 n 级矩阵A 可逆的充分必要条件是A 0≠（也即()rank A n =）; 1.3.2 n 级矩阵A 可逆的充分必要条件是A 可写成一些初等矩阵的乘积（证明参见[1]）； 1.3.3 n 级矩阵A 可逆的充分必要条件是A 可以通过初等变换（特别只通过初等行或列变换）化为n 级单位阵（证明参见[1]）； 1.3.4 n 级矩阵A 可逆的充分必要条件是存在一个n 级方阵B ，使得AB=E （或BA=E ）； 1.3.5 n 级矩阵A 可逆的充分必要条件是A 的n 个特征值全不为0；（证明参见[2]）； 1.3.6 定理 对一个s n ?矩阵A 作一初等行变换就相当于在A 的左边乘上相应的s s ?初等矩阵；对A 作一初等列变换就相当于在A 的右边乘上相应的n n ?初等矩阵.（证明参见[1]） 2．矩阵的求逆 2.1 利用定义求逆矩阵 对于n 级方阵A ，若存在n 级方阵B ，使AB=BA=E ，则1B A -=.
总结求矩阵的逆矩阵的方法-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
总结求矩阵的逆矩阵的方法 课程名称： 专业班级： 成员组成： 联系方式：
摘要：矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数 研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法. 关键词：矩阵逆矩阵方法 Method of finding inverse matrix Abstract: Matrix in linear algebra is the main content,many prictical problems with the matrix theory is simple and fast. The inverse matrix andmatrix theory the important content, the solution of inverse matrix nature has become one of the main research contents of linear algebra. The paper will give some method of finding inverse matrix. Key words: Matrix inversematrix method
正文： 1.引言:矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法. 2.求矩阵的逆矩阵的方法总结： 2.1 矩阵的基本概念 矩阵，是由个数组成的一个行列的矩形表格，通常用大写字母表示，组成矩阵的每一个数，均称为矩阵的元素，通常用小写字母其元素表示，其中下标都是正整数，他们表示该元素 在矩阵中的位置。比如，或表示一个 矩阵，下标表示元素位于该矩阵的第行、第列。元素全为零的矩阵称为零矩阵。 特别地，一个矩阵，也称为一个维列向量；而一个矩阵，也称为一个维行向量。 当一个矩阵的行数与烈数相等时，该矩阵称为一个阶方阵。对于方阵，从左上角到右下角的连线，称为主对角线；而从左下角到右上角的连线称 为付对角线。若一个阶方阵的主对角线上的元素都是，而其余元素都是零，则称为单位矩阵，记为，即：。如一个阶
逆矩阵的几种求法与解析 矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法. 1.利用定义求逆矩阵 定义: 设A 、B 都是n 阶方阵, 如果存在n 阶方阵B 使得AB= BA = E, 则称A 为可逆矩阵, 而称B 为A 的逆矩阵.下面举例说明这种方法的应用. 例1 求证: 如果方阵A 满足A k= 0, 那么EA 是可逆矩阵, 且 （E-A ）1-= E + A + A 2+…+A 1-K 证明 因为E 与A 可以交换, 所以 (E- A )(E+A + A 2+…+ A 1-K )= E-A K , 因A K = 0 ,于是得 (E-A)（E+A+A 2+…+A 1-K ）=E ， 同理可得（E + A + A 2+…+A 1-K ）(E-A)=E ， 因此E-A 是可逆矩阵,且 (E-A)1-= E + A + A 2+…+A 1-K . 同理可以证明(E+ A)也可逆,且 (E+ A)1-= E -A + A 2+…+（-1）1-K A 1-K . 由此可知, 只要满足A K =0，就可以利用此题求出一类矩阵E ±A 的逆矩阵. 例2 设 A =? ? ?? ? ???? ???0000 30000020 0010,求 E-A 的逆矩阵. 分析 由于A 中有许多元素为零, 考虑A K 是否为零矩阵, 若为零矩阵, 则可以采用例2 的方法求E-A 的逆矩阵. 解 容易验证
A 2 =????????? ???0000000060000200， A 3=? ? ?? ? ? ? ?? ???00000000 00006000 ， A 4=0 而 (E-A)(E+A+ A 2+ A 3)=E,所以 (E-A)1-= E+A+ A 2+ A 3= ? ? ?? ? ???????1000 31006210 6211. 2.初等变换法 求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，常用初等变换法.如果A 可逆，则A 可通过初等变换，化为单位矩阵I ，即存在初等矩阵S P P P ,,21Λ使 （1）s p p p Λ21A=I ，用A 1-右乘上式两端，得： （2） s p p p Λ21I= A 1- 比较（1）（2）两式，可以看到当A 通过初等变换化为单位矩阵的同时，对单位矩阵I 作同样的初等变换，就化为A 的逆矩阵A 1-. 用矩阵表示（A I ）??? →?初等行变换 为（I A 1-），就是求逆矩阵的初等行变换法，它是实际应用中比较简单的一种方法.需要注意的是，在作初等变换时只允许作行初等变换.同样，只用列初等变换也可以求逆矩阵. 例1 求矩阵A 的逆矩阵.已知A=???? ? ?????521310132. 解 [A I]→??????????100521010310001132→???? ? ?????001132010310100521 → ??????????--3/16/16/1100010310100521→???? ??????-----3/16/16/110012/32/10103/46/136/1001
矩阵的可逆性与逆矩阵的求法 目录 摘要 (1) 第1章．矩阵 (2) 1.1矩阵的定义 (2) 1.2矩阵的运算 (2) 第2章．矩阵的可逆性及逆矩阵 (5) 2.1矩阵的基本概念 (5) 2.2矩阵可逆的判断方法 (6) 2.3矩阵可逆性的求法 (10) 第3章．逆矩阵的拓展 (17) 3.1广义逆矩阵的引入 (17) 3.2广义逆矩阵的定义及存在 (17) 第4章．总结 (21) 参考文献 (22) 致谢 (23) 附件：论文英文简介
矩阵的可逆性与逆矩阵的求法 [摘要]：矩阵理论是现代代数学的重要分支理论之一，它也为现代科技及现代经济理论研究提供不可或缺的数学支持。在线性代数研究中引入矩阵的目的之一就是为了研究线性方程组B AX 求解及更一般的矩阵方程求解提供数学工具，其中矩阵的可逆性及逆矩阵的求法是最主要的内容。本文从矩阵的基本概念及运算入手，主要探讨和归纳矩阵可逆性的四种判定方法和求逆矩阵的五种方法，并引进Matlab这一数学软件求逆矩阵的程序，同时关注广义逆矩阵意义及求法。 [关键词]：矩阵可逆性逆矩阵广义逆求法
矩阵可逆性的判断和可逆矩阵的求法是矩阵理论学习的重点与难点，也是研究矩阵性质及运算中必不可少的一部分。本文在分析和归纳判断矩阵的可逆性和逆矩阵的求法，给出了四种判断矩阵可逆的方法，其中有初等矩阵的应用，有行列式的应用，还有向量的线性无关和线性方程组的应用。逆矩阵的求法给出了五种方法：分别是行变换、列变换、伴随矩阵、分块矩阵法以及Matlab 软件的解法，同时也讨论了广义逆矩阵的求法。对矩阵可逆性的判断与逆矩阵的求法将会给矩阵的学习带来很大的帮助。 第1章 矩 阵 1.1矩阵的定义 定义1 由st 个数ij c 排成一个s 行t 列的表 ???? ?? ? ??st s s t t c c c c c c c c c 2 1 2222111211 叫作一个s 行t 列（或t s ?）矩阵，ij c 叫作这个矩阵的元素。 定义2 矩阵的行（列）初等变换指的是对一个矩阵施行的下列变换： )(i 交换矩阵的两行（列）； )(ii 用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列），即用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列）的元素； )(iii 用某一数乘矩阵的某一行（列）后加到另一行（列），即用某一数乘矩阵的某一行（列）的每一元素后加到另一行（列）的对应元素上。 矩阵的初等变换在线性方程组求解，求矩阵的秩及求矩阵的逆矩阵方面都有重要的作用。 1.2矩阵运算 定义1 数域F 的数a 与F 上一个n m ?矩阵)(ij a A =的乘积aA 指的是n m ?矩阵 )(ij aa ，求数与矩阵的乘积的运算叫作数与矩阵的乘法。 定义2 两个n m ?矩阵)(),(ij ij b B a A ==的和B A +指的是n m ?矩阵)(ij ij b a +，求两
逆矩阵的几种求法与解 析 -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
逆矩阵的几种求法与解析 矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法. 1.利用定义求逆矩阵 定义: 设A 、B 都是n 阶方阵, 如果存在n 阶方阵B 使得AB= BA = E, 则称A 为可逆矩阵, 而称B 为A 的逆矩阵.下面举例说明这种方法的应用. 例1 求证: 如果方阵A 满足A K = 0, 那么E-A 是可逆矩阵, 且 （E-A ）1-= E + A + A 2+…+A 1-K 证明 因为E 与A 可以交换, 所以 (E- A )(E+A + A 2+…+ A 1-K )= E-A K , 因A K = 0 ,于是得 (E-A)（E+A+A 2+…+A 1-K ）=E ， 同理可得（E + A + A 2+…+A 1-K ）(E-A)=E ， 因此E-A 是可逆矩阵,且 (E-A)1-= E + A + A 2+…+A 1-K . 同理可以证明(E+ A)也可逆,且 (E+ A)1-= E -A + A 2+…+（-1）1-K A 1-K . 由此可知, 只要满足A K =0，就可以利用此题求出一类矩阵E ±A 的逆矩阵. 例2 设 A =? ? ?? ? ???? ???0000 30000020 0010,求 E-A 的逆矩阵. 分析 由于A 中有许多元素为零, 考虑A K 是否为零矩阵, 若为零矩阵, 则可以采用例2 的方法求E-A 的逆矩阵. 解 容易验证
求逆矩阵的若干方法和举例 苏红杏 广西民院计信学院00数本（二）班 [摘 要] 本文详细给出了求逆矩阵的若干方法并给出相应的例子，以供学习有关矩阵方面 的读者参考。 [关键词] 逆矩阵 初等矩阵 伴随矩阵 对角矩阵 矩阵分块 多项式等 引 言 在我们学习《高等代数》时，求一个矩阵的逆矩阵是一个令人十分头痛的问题。但是，在研究矩阵及在以后学习有关数学知识时，求逆矩阵又是一个必不可缺少的知识点。为此，我介绍下面几种求逆矩阵的方法，供大家参考。 定义: n 阶矩阵A 为可逆，如果存在n 阶矩阵B ，使得E BA AB ==，这里E 是n 阶单位矩阵，此时，B 就称为A 的逆矩阵，记为1-A ，即：1-=A B 方法 一. 初等变换法（加边法） 我们知道，n 阶矩阵A 为可逆的充分必要条件是它能表示成一系列初等矩阵的乘积A=m Q Q Q 21， 从而推出可逆矩阵可以经过一系列初等行变换化成单位矩阵。即，必有一系列初等矩阵 m Q Q Q 21使 E A Q Q Q m m =-11 （1） 则1-A =E A Q Q Q m m =-11 （2） 把A ，E 这两个n 阶矩阵凑在一起，做成一个n*2n 阶矩阵（A ，E ），按矩阵的分块乘法，（1）（2）可以合并写成 11Q Q Q m m -（A ，E ）=（11Q Q Q m m -，A ，E Q Q Q m m 11 -）=（E ，1-A ） （3） 这样就可以求出矩阵A 的逆矩阵1-A 。 例 1 . 设A= ???? ? ??-012411210 求1-A 。 解：由（3）式初等行变换逐步得到： ????? ??-100012010411001210→ ????? ??-100012001210010411 →???? ? ??----123200124010112001→
逆矩阵的几种求法与解析 矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法. 1.利用定义求逆矩阵 定义: 设A、B 都是n 阶方阵, 如果存在n 阶方阵B 使得AB= BA = E, 则称A 为可逆矩阵, 而称B为A 的逆矩阵.下面举例说明这种方法的应用. 例1 求证: 如果方阵A 满足A k= 0, 那么EA是可逆矩阵, 且 （E-A）1-= E + A + A2+…+A1-K 证明因为E 与A 可以交换, 所以 (E- A )(E+A + A2+…+ A1-K)= E-A K, 因A K= 0 ,于是得 (E-A)（E+A+A2+…+A1-K）=E， 同理可得（E + A + A2+…+A1-K）(E-A)=E， 因此E-A是可逆矩阵,且 (E-A)1-= E + A + A2+…+A1-K. 同理可以证明(E+ A)也可逆,且 (E+ A)1-= E -A + A2+…+（-1）1-K A1-K. 由此可知, 只要满足A K=0，就可以利用此题求出一类矩阵E±A的逆矩阵.
例2 设 A =? ? ?? ? ???? ???000030000020 0010,求 E-A 的逆矩阵. 分析 由于A 中有许多元素为零, 考虑A K 是否为零矩阵, 若为零矩阵, 则可以采用例2 的方法求E-A 的逆矩阵. 解 容易验证 A 2=???? ????? ???0000 000060000200， A 3=? ? ?? ? ? ? ?? ???0000 0000 00006000 ， A 4=0 而 (E-A)(E+A+ A 2+ A 3)=E,所以 (E-A)1-= E+A+ A 2+ A 3 =? ? ?? ? ???? ???1000 31006210 6211. 2.初等变换法 求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，常用初等变换法.如果A 可逆，则A 可通过初等变换，化为单位矩阵I ，即存在初等矩阵S P P P ,,21Λ使 （1）s p p p Λ21A=I ，用A 1-右乘上式两端，得： （2） s p p p Λ21I= A 1- 比较（1）（2）两式，可以看到当A 通过初等变换化为单位矩阵的同时，对单位矩阵I 作同样的初等变换，就化为A 的逆矩阵A 1-. 用矩阵表示（A I ）??? →?初等行变换 为（I A 1-），就是求逆矩阵的初等行变换法，它是实际应用中比较简单的一种方法.需要注意的是，在作初等变换时只允许作行初等变换.同样，只用列初等变换也可以求逆矩阵.
E-A) 1= E + A + 2 K1 + … +A (E- A )(E+A + A 2+…+ A K 1)= E-A K (E-A) (E+A+A 2 + …+A K 1)=E， 逆矩阵的几种求法与解析 矩阵是线性代数的主要内容 ,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷 .逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容 , 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一 .本文将给出几种求逆矩阵的方法 . 1. 利用定义求逆矩阵 定义：设A、B都是n阶方阵,如果存在n阶方阵B使得AB= BA = E,则称A 为可逆矩阵，而称B为A的逆矩阵.下面举例说明这种方法的应用. 例1 求证：如果方阵A满足A k= 0,那么EA是可逆矩阵,且 证明因为E与A可以交换，所以 因A K= 0 ,于是得 同理可得( E + A + A 2 + … +A K 1 )(E-A)=E ， 因此E-A是可逆矩阵，且 (E-A) 1 = E + A + A 2 +…+A K 1 同理可以证明 (E+ A) 也可逆,且
E-A 的逆矩阵. (E+ A) 1 = E -A + A 2+…+ (-1 ) K1A K1 . 由此可知，只要满足A K =0，就可以利用此题求出一类矩阵E A 的逆矩阵. 例2 设 A = 00 20 00 03 ,求 0003 0000 分析 由于A 中有许多元素为零，考虑A K 是否为零矩阵，若为零矩阵，则可以 采用例2的方法求E-A 的逆矩阵. 解 容易验证 00 2 0 0 0 0 6 2 00 0 6 3 0 0 0 0 4 A 2 = ■ A 3= ， A 4 =0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 而 (E-A)(E+A+ A 2 + A 3 )=E , 所以 1 1 2 6 1 2 3 0 1 2 6 (E-A) E+A+ A 2 + A . 0 0 1 3 0 0 0 1 2. 初等变换法 求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，常用初等变换法 ?如果A 可逆，则A 可通过 初等变换，化为单位矩阵I ，即存在初等矩阵R,P 2 , P S 使 （1） p 1 p 2 p s A=I ，用 A 1 右乘上式两端，得： （2） p 1 p 2 p s I= A 1 比较（1）（2）两式，可以看到当A 通过初等变换化为单位矩阵的同时，对单 位矩阵I 作同样的初等变换，就化为A 的逆矩阵A 1. 用矩阵表示（ A I ） 为（ I A 1 ），就是求逆矩阵的初等行变换法， 它是实际应用中比较简单的一种方法 .需要注意的是，在作初等变换时只允许作行初 等
逆矩阵的几种求法与解析
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逆矩阵的几种求法与解析 矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法． 1．利用定义求逆矩阵 定义: 设A 、B 都是n 阶方阵, 如果存在n 阶方阵B 使得AB= BA ＝ Ｅ, 则称A 为可逆矩阵, 而称B 为A 的逆矩阵.下面举例说明这种方法的应用. 例1 求证: 如果方阵A 满足A K = 0, 那么Ｅ-A 是可逆矩阵, 且 （E-A ）1-= E + Ａ + A 2+…+Ａ1-K 证明 因为E 与A 可以交换， 所以 （E － A ）（Ｅ+A ＋ A 2＋…＋ Ａ1-K )＝ E-A K , 因ＡK = 0 ,于是得 （E-Ａ）(Ｅ+A+A 2＋…＋Ａ1-K ）＝Ｅ， 同理可得（E + A + Ａ2+…+A 1-K )(E －A)=Ｅ, 因此E-A 是可逆矩阵，且 (E-Ａ)1-＝ E ＋ A + A 2＋…+A 1-K . 同理可以证明（E ＋ A ）也可逆，且 (E+ A ）1-＝ E -A + A 2＋…+（-1)1-K Ａ1-K ． 由此可知, 只要满足A K ＝０，就可以利用此题求出一类矩阵E ±A 的逆矩阵. 例2 设 A ＝? ? ?? ? ???? ???0000 30000020 0010 ,求 E －A 的逆矩阵. 分析 由于A 中有许多元素为零, 考虑A K 是否为零矩阵, 若为零矩阵, 则可以采用例２ 的方法求E-A 的逆矩阵. 解 容易验证
逆矩阵的几种求法及逆矩阵的应用 摘要：在现代数学中，矩阵是一个非常有效而且应用广泛的工具，而逆矩阵则是矩阵理论中一个非常重要的概念。关于逆矩阵的求法及逆矩阵的应用的探讨具有非常重要的意义。目前，对于逆矩阵的求法及其应用领域的研究已比较成熟。本文将对逆矩阵的定义、性质、判定方法及求法进行总结，并初步探讨矩阵的逆在编码、解码等方面的应用。 关键词：矩阵逆矩阵逆矩阵的求法逆矩阵的应用 The methods for identifying inverse matrix and application of inverse matrix Abstract: In modern mathematics，matrix is an effective tool with extensive application，and inverse matrix is a significant concept in matrix theory. The disduss about the way to evaluating inverse matrix and its application is of an important meaning with mature development at present. This paper will summarize the definition and properties of inverse matrix and disscuss the methods evaluating inverse matrix.We will also talk about the application of inverse matrix, especially its application in encoding and decoding. Keywords: Matrix Inverse matrix The way to evaluating inverse matrix Application of inverse matrix