线性差分方程
在数学大家庭中，线性差分方程是重要的一员。如离散状态下的数学建模一般会产生差分方程，将微分方程离散化仍然会产生差分方程。线性差分方程与线性方程组及线性常微分方程有许多相似的性质，下面让我们讨论其解性质。
考虑如下一般的线性差分方程 （1） ()()()110k m k k m k m m a m u a m u a m u b +-+-+++= 0,1,2,m =
称为k 阶线性差分方程，其中(),j m a m b 为给定的关于m 的函数，并且()()00k a m a m ≠。当0m b =时方程
（2） ()()()1100k m k k m k m a m u a m u a m u +-+-+++= 0,1,2,m =
称为齐次差分方程。如果整变量j 的函数j u 使（1）和（2）成为等式，则称j u 为相应方程的解。容易看出，如果021,,k u u u - （称为初始值）已给定，则由（1）或（2）可以逐次地定出(),1,j u j k k =+ 。
与线性方程组及线性常微分方程类似，对上述差分方程有
命题1 如果()
()
()
12,,,k m m m u u u 是齐次差分方程（2）的解，则它们的任意组合 （3） ()
()
()
1212k m m m k m v c u c u c u =+++ 也是（2）的解，其中()1,2,,j c j k = 为常数。
命题2 设()
()
()
12,,,k m m m u u u 是k 阶齐次差分方程（2）的解，且行列式
（4）
()
()()
()()()()()()12111122
22
120k k k k
k k
u u u u u u u u u ≠
则齐次差分方程（2）的任何解均可表成（3）的形式，此时称（3）为（2）的通解。
如果()
()
()
12,,,k m m m u u u 满足条件（4），则称()
()
()
12,,,k m m m u u u 线性无关，故命题2可叙述
成下列形式：k 阶齐次线性差分方程的通解可以表为它的任意k 个线性无关解的线性组合。
k 阶齐次线性差分方程线性无关解的个数不超过k ，而且必存在k 个线性无关解。 命题3 非齐此方程（1）的通解可以表成为它的任一解与齐次方程（2）的通解之和。
证明：对0,1,2,n = ，考虑下列齐次差分方程
（5） ()()()1100k m k k m k m a m u a m u a m u +-+-+++= 当m n >， 其初始条件为
（6） ()1k n k a n u +=，1210n k n k n u u u +-+-+====
这个问题的解显然与n 有关，记为,m n g ，1,2,m n n =++ ，为了形式统一，对
0,1,,m n = ，我们补充定义,0m n g =，从而有
,0m n g =，当m n k <+ 由此，特别得到 ()()(),11,0,10
1k n k n
k n k n n n
a n g a n g a g +
-+-+-++= 综合上述讨论得出，对0,1,2,n = ，,m n g 为下列差分方程的解：
（7） (),,,,0,1,2,0,,0,1,2,j m j n m n l n
a m g m g l n k n δ+?
==???=<+=?∑
当时
容易证明，
（8） ,0
m k
m m n n
n u g
b -==
∑
是非齐次方程（1）的解。事实上，利用（8）和（7）式，有
()()
,0
00n j k k
k j m j
j m j n n
j j n a m u
a m g
b +-++====∑∑∑
(),00
k
m
j m j n n
j n a m g
b +===
∑∑
(),00m
k j m j n n n j a m g b +==??
= ???
∑∑
,0
m
m n n
n b δ
==
∑
m b =
即（8）满足方程（1）。
这样一来，利用命题3得到
命题4 如果()
()
()
12,,,k m m m u u u 为齐次方程（2）的线性无关解，则（1）的通解可以表为 （9） ()
,1
k
m k
j m j m
m n n j n u c u
g b -===
+∑∑
其中,m n g 为（5）的解。
命题4把求非齐次方程解的问题化成求齐次方程的解。
当差分方程的初始值011,,,k u u u - 已经给定，则利用通解表达式（9）我们有
()1,0,1,2,,1k
j j m m j c u u m k ===-∑
因为当m k <时（9）式中第二个和为零。由于()()()
12,,,k m m m u u u 线性无关，从上式可以唯一地解出12,,k c c c ，它们是011,,,k u u u - 的线性组合。将求得的12,,k c c c 代入（9）即求得满足给定初始条件的解。
对常系数线性差分方程，即当()j j a m a =与m 无关时，其次方程的通解可以利用特征方程的根求得。
设（2）的系数与m 无关。考虑形如 （10） m m u ξ= 的解。将其代入（2）得到
11100k k k k a a a a ξξξ--++++= 即ξ为代数方程
（11） 11100k k k k a a a a λλλ--++++=
的根。反之，容易验证，如果ξ为（11）的根，则m m u ξ=必为（2）的解。方程式（11）叫做（1）或（2）的特征方程。
设12,,,k ξξξ 为（11）的k 个互异的根，则12,,,m m
m k ξξξ 为（2）的线性无关解，因
为
()12222
121
1
2
0k
k
k j j l j j l
k k k k
ξξξξξξξξξξ
ξ
ξ
=>=-≠∏∏
在这种情形下，（2）的通解可以表为 （12） 1
k
m
m j j
j u c ξ
==
∑
如果有某一j ξ为（11）的j r 重根，容易验证， （13）
1
,,,j r m m m j j j m m ξξξ-
为（2）的j r 个线性无关解。这样一来，在特征多项式（11）有重根的情形，（2）的通解可表为
（14） 0
111
j
r k l m m jl
j j l u c
m ξ-===
∑∑
0k 为（11）互异根的个数。
若（11）有复根j ξ，因为他的系数是实数，故j ξ也是它的根。令 ()cos sin i j e i θξρρθθ==+ ()cos sin i j e i θξρρθθ-==- 此时可取
cos ,sin m m ρθρθ
为相应二线性无关解。
例 求下列二阶常系数差分方程的通解：
11
2
220m m m m u u u qu h +--+-=
其中,h q 均为常数，且0h >。上述方程是微分方程''
20u qu -=的差分近似。
解：将上式改写成为
()
2
11210m m m u h q u u +--++=
它的特征方程为
()
22
2110h q λλ-++=
它的根为
21h q λ=+±1） 当0q =时，特征方程二根相等：121ξξ==， 此时通解为
12m u c c m =+
2） 当0q >时，特征方程有相异二实根：
212
211h q h q ξξ=++=+-
并且当h 充分小时121,1ξξ><，此时通解为
1122
m m
m u c c ξξ=+ 3） 当0q <时，有二共轭复根，其模为1，幅角θ由关系式 2cos 1,02h q θθπ=+≤<
确定，通解为
12cos sin m u c m c m θθ=+
第三节 差分方程常用解法与性质分析 1、常系数线性差分方程的解 方程)(...110n b x a x a x a n k k n k n =+++-++ （ 8） 其中k a a a ,...,,10为常数，称方程（8）为常系数线性方程。 又称方程0...110=+++-++n k k n k n x a x a x a （9） 为方程（8）对应的齐次方程。 如果（9）有形如 n n x λ=的解，带入方程中可得： 0 ...1110=++++--k k k k a a a a λλλ （10） 称方程（10）为方程（8）、（9）的特征方程。 显然，如果能求出（10）的根，则可以得到（9）的解。 基本结果如下： （1） 若（10）有k 个不同的实根，则（9）有通解： n k k n n n c c c x λλλ+++=...2211， （2） 若（10）有m 重根λ，则通解中有构成项： n m m n c n c c λ)...(121----+++
（3）若（10）有一对单复根 βαλi ±=，令：?ρλi e ±=， αβ?βαρarctan ,22=+=，则（9）的通解中有构成项： n c n c n n ?ρ?ρsin cos 21--+ （4） 若有m 重复根：βαλi ±=，φρλi e ±=，则（9）的通项中有成 项： n n c n c c n n c n c c n m m m m n m m ?ρ?ρsin )...(cos )...(1221121---++---+++++++ 综上所述，由于方程（10）恰有k 个根，从而构成方程 （9）的通解中必有k 个独立的任意常数。通解可记为：-n x 如果能得到方程（8）的一个特解：*n x ，则（8）必有通解： =n x -n x +* n x （11） （1） 的特解可通过待定系数法来确定。 例如：如果)(),()(n p n p b n b m m n =为n 的多项式，则当b 不是特征 根时，可设成形如)(n q b m n 形式的特解，其中)(n q m 为m 次多项式；如 果b 是r 重根时，可设特解：r n n b )(n q m ，将其代入（8）中确定出系 数即可。
1、常系数线性差分方程的解 方程 a 0x n k a 1x n k 1 ... a k x n b(n) 其中 a 0 , a 1,..., a k 为常数，称方程（ 8）为常系数线性方程。 又称方程 a 0x n k a 1x n k 1 ... a k x n 为方程（ 8）对应的齐次方程。 第三节 差分方程常用解法与性质分析 9） n 如果（ 9）有形如 x n 的解， 带入方程中可得： k k 1 a 0 a 1 ... a k 1 a k 0 10) 称方程（ 10）为方程（ 8）、 9）的特征方程。
n n n c 1 1 c 2 2 ... c k k ， 若（10） 有 m 重根 ，则通解中有构成项： (c 1 m 1 n c 2 n ... c m n ) 显然， 如果能求出（ 10）的根，则可以得到（ 9）的解。 基本结果如下： 1） 若（10） 有 k 个不同的实根，则（ 9）有通解：
（3）若（10）有一对单复根 综上所述，由于方程（10）恰有k 个根，从而构成方程 （9）的通解中必有k 个独立的任意常数。通解可记为：X n 如果能得到方程（8）的一个特解：X n ，则（8）必有通解: * X n X n + 焉 （11） （1）的特解可通过待定系数法来确定。 例如：如果b （n ）bk m （n ）, pMn ）为门的多项式，则当b 不是特征 根 时，可设成形如 bq m （n ） 形式的特解，其中 q m （n ） 为m 次多项式；如 果b 是 r 重根时，可设特解：b n n r q m （n ） ，将其代入（8）中确定出系 数即可。 arcta n — ，则(9) 的通解中有构成项: C l n . cos n C 2 sin （4）若有 m 重复根: i e ，则 （9）的通项中有成 项: cos n (C m 1 C m 2 n m 1 、 n ? c 2m n ) sin n
z 二阶线性齐次差分方程012=++++n n n cx bx ax 的特征根法求解： 令形式解 ,代入方程得特征方程: , 根: n n x λ=02=++c b a λλ(1) βα,为实根, 对应有解： 和 ; n n x α=)1(n n x β=)2((2) αα,为重根, 对应有解： 和n n x α=) 1(1) 2(lim ?→=??=n n n n n x αα βαβαβ ，或者 n n n x α=)2((3) , ?βαλi e r i ±?=±=()()??λ?λn i n e e e x r n i r n n n n sin cos ln ln ln ±====±?, 对应有解： 和. ?n e x r n n cos ln )1(=?n e x r n n sin ln )2(=(4) 关于解的结构理论与线性微分方程类似，由此得一般解: )2(2)1(1n n n x c x c x +=1. (98) 求差分方程的一般解。 (n y y n n 51021=++()72 51255?+?=n C y n n ) 解：齐次方程的通解为，设非齐次方程的特解为：()n n C y 5?=b an y n +=~，代入求。 b a ,2. 斐波拉契数( ???==+=++11012x x x x x n n n ??? ???????????????????????+=++1125125151n n n x ) 3． 银行实行贷款购房业务，A 贷元，月利r ，n 个月本利还清，在这个月内按复利计息，每月连本带息还n x 元。 (1) 求的关系； (2) 记个月的平均利息(r n A f x ,,=)n n A x n v ?=，求r v n ∞→lim . 设第i 个月欠元，则 i A (),101???=?+=?A A x r A A i i 齐次方程的通解为 ();1n n r C A +=非齐次方程的特解为r x A n =~； 非齐次方程的通解为：();1r x r C A n n ++= 代入初始条件得非齐次方程的特解为()();111r r x r A A n n n ?+?+= 0=n A 得x 值。。。。。
差分方程常用解法 1、 常系数线性差分方程的解 方程)(...110n b x a x a x a n k k n k n =+++-++ （1） 其中k a a a ,...,,10为常数，称方程（1）为常系数线性方程。 又称方程0...110=+++-++n k k n k n x a x a x a （2） 为方程（1）对应的齐次方程。 如果（2）有形如n n x λ=的解，代入方程中可得： 0...1110=++++--k k k k a a a a λλλ （3） 称方程（3）为方程（1）、（2）的特征方程。 显然，如果能求出方程（3）的根，则可以得到方程（2）的解。 基本结果如下： （1） 若（3）有k 个不同的实根，则（2）有通解： n k k n n n c c c x λλλ+++=...2211， （2） 若（3）有m 重根λ(即m 个根均为λ)，则通解中有构成项： n m m n c n c c λ)...(121----+++
（3）若（3）有一对单复根 βαλi ±=，令：?ρλi e ±=， αβ ?βαρarctan ,22=+=，则（2）的通解中有构成项： n c n c n n ?ρ?ρsin cos 21- -+ （4） 若有m 重复根：βαλi ±=，φρλi e ±=，则（2）的通项中有构 成项: n n c n c c n n c n c c n m m m m n m m ?ρ?ρsin )...(cos )...(1221121---++---+++++++ 综上所述，由于方程（3）恰有k 个根，从而构成方程（2）的通解中必有k 个独立的任意常数。通解可记为：-n x 如果能得到方程（1）的一个特解：*n x ，则（1）必有通解： =n x -n x +* n x （4） 方程（4） 的特解可通过待定系数法来确定。 例如：如果)(),()(n p n p b n b m m n =为n 的m 次多项式，则当b 不是特征根时，可设成形如)(n q b m n 形式的特解，其中)(n q m 为n 的m 次多 项式；如果b 是r 重特征根时，可设特解：r n n b )(n q m ，将其代入（1） 中确定出系数即可。
差分方程的解法 Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】
第三节 差分方程常用解法与性质分析 1、常系数线性差分方程的解 方程)(...110n b x a x a x a n k k n k n =+++-++ （ 8） 其中k a a a ,...,,10为常数，称方程（8）为常系数线性方程。 又称方程0...110=+++-++n k k n k n x a x a x a （9） 为方程（8）对应的齐次方程。 如果（9）有形如 n n x λ=的解，带入方程中可得： 0 ...1110=++++--k k k k a a a a λλλ（10） 称方程（10）为方程（8）、（9）的特征方程。 显然，如果能求出（10）的根，则可以得到（9）的解。 基本结果如下： （1） 若（10）有k 个不同的实根，则（9）有通解： n k k n n n c c c x λλλ+++=...2211， （2） 若（10）有m 重根λ，则通解中有构成项：
（3）若（10）有一对单复根 βαλi ±=，令：?ρλi e ±=， αβ ?βαρarctan ,22=+=，则（9）的通解中有构成项： （4） 若有m 重复根：βαλi ±=，φρλi e ±=，则（9）的通项中有成项： n n c n c c n n c n c c n m m m m n m m ?ρ?ρsin )...(cos )...(1221121-- -++---+++++++ 综上所述，由于方程（10）恰有k 个根，从而构成方程 （9）的通解中必有k 个独立的任意常数。通解可记为：-n x 如果能得到方程（8）的一个特解：*n x ，则（8）必有通解： =n x -n x +* n x （11） （1） 的特解可通过待定系数法来确定。 例如：如果 )(),()(n p n p b n b m m n =为n 的多项式，则当b 不是特征根时，可设成形如)(n q b m n 形式的特解，其中)(n q m 为m 次多项式；如果b 是r 重根时， 可设特解：r n n b )(n q m ，将其代入（8）中确定出系数即可。 2、差分方程的z 变换解法
第4章 一阶线性微分方程组 一 内容提要 1． 基本概念 一阶微分方程组：形如 ??? ????? ???===) ,,,,( ),,,,(),,,,(2121222111 n n n n n y y y x f dx dy y y y x f dx dy y y y x f dx dy ΛΛΛΛΛ （3.1） 的方程组，（其中n y y y ,,,21Λ是关于x 的未知函数）叫做一阶微分方程组。 若存在一组函数)(,),(),(21x y x y x y n Λ使得在[a,b]上有恒等式 ),,2,1))((,),(),(,() (21n i x y x y x y x f dx x dy n i i ΛΛ==成立，则 )(,),(),(21x y x y x y n Λ称为一阶微分方程组(3.1)的一个解 含有n 任意常数n C C C ,,,21Λ的解 ?????? ?===) ,,,,( ),,,,(),,,,(21321222111n n n n C C C x y C C C x y C C C x y ΛΛΛΛΛ??? 称为(3.1)通解。如果通解满方程组 ???????=Φ=Φ=Φ0 ),,,,,,,,( 0),,,,,,,,(0),,,,,,,,(21212121221211n n n n n n n C C C y y y x C C C y y y x C C C y y y x ΛΛΛΛΛΛΛΛ 则称这个方程组为（3.1）的通积分。 满足初始条件,)(,,)(,)(0020021001n n y x y y x y y x y ===Λ的解，叫做初值问题的解。
常系数线性微分方程的解法 摘要：本文对常系数线性方程的各种解法进行分析和综合，举出了每个方法的例题，以便更好的掌握对常系数线性微分方程的求解. 关键词：特征根法；常数变易法；待定系数法 Method for solving the system of differential equation with Constant Coefficients Linear Abstract: Based on the linear equations with constant coefficients of analysis and synthesis method, the method of each sample name, in order to better grasp of the linear differential equation with constant coefficients of the solution. Key Words: Characteristic root ；Variation law ；The undetermined coefficient method 前言：常系数性微分方程因形式简单，应用广泛，解的性质及结构已研究的十分清楚，在常微分方程中占有十分突出的地位。它的求解是我们必须掌握的重要内容之一，只是由于各种教材涉及的解法较多，较杂，我们一般不易掌握，即使掌握了各种解法，在具体应用时应采用哪种方法比较适宜，我们往往感到困难。本文通过对一般教材中涉及的常系数线性微分方程的主要解法进行分析和比较，让我们能更好的解常系数线性微分方程。 1．预备知识 复值函数与复值解 如果对于区间a t b ≤≤中的每一实数t ，有复值()()()z t t i t ?ψ=+与它对应，其中()t ?和()t ψ是在区间a t b ≤≤上定义的实函数，1i =-是虚数单位，我们就说在区间a t b ≤≤上给定了一个复值函数()z t .如果实函数()t ?，()t ψ当t 趋于 0t 时有极限，我们就称复值函数()z t 当t 趋于0t 时有极限，并且定义
数字信号处理课程设计 题目：试实现线性常系数差分方程的求解 学院： 专业： 班级： 学号： 组员： 指导教师：
题目：用Matlab 实现线性常系数差分方程求解 一． 设计要求 1． 掌握线性常系数差分方程的求解 2． 熟练掌握Matlab 基本操作和各类函数调用 3． 结合Matlab 实现线性常系数差分方程的求解 二．设计原理 1．差分与差分方程 与连续时间信号的微分及积分运算相对应，离散时间信号有差分及序列求和运算。设有序列f(k),则称…,f(k+2),f(k+1),…,f(k －1),f(k －2),…为f(k)的移位序列。序列的差分可以分为前向差分和后向差分。一阶前向差分定义为 ()(1)()f k f k f k ?=+- （3.1—1） 一阶后向差分定义为 ()()(1)f k f k f k ?=-- （3.1—2） 式中Δ和Δ称为差分算子。由式（3.1—1）和式（3.1—2）可见，前向差分与后向差分的关系为 ()(1)f k f k ?=?- （3.1—3） 二者仅移位不同，没有原则上的差别，因而它们的性质也相同。此处主要采用后向差分，并简称其为差分。 由查分的定义，若有序列1()f k 、2()f k 和常数1a ，2a 则 1122112211221112221122[()()][()()][(1)(1)][()(1)][()(1)]()() a f k a f k a f k a f k a f k a f k a f k f k a f k f k a f k a f k ?+=+--+-=--+--=?+? （3.1—4） 这表明差分运算具有线性性质。 二阶差分可定义为 2()[()][()(1)]()(1) ()2(1)(2) f k f k f k f k f k f k f k f k f k ?=??=?--=?-?-=--+- （3.1—5） 类似的，可定义三阶、四阶、…、n 阶差分。一般地，n 阶差分
什么叫差分方程？给我举几个例子呗 §1 基本理论 1. 差分 2. 任意数列{xn },定义差分算子Δ如下： Δxn=xn+1-xn 对新数列再应用差分算子，有 Δ2xn=Δ(Δkxn). 性质 性质1 Δk(xn+yn)=Δkxn+Δkyn 性质2 Δk(cxn)=cΔkxn 性质3 Δkxn=∑(-1)jCjkXn+k-j 性质4 数列的通项为n的无限次可导函数，对任意k>=1,存在η，有Δkxn=f(k)(η) 差分方程 定义8。1 方程关于数列的k阶差分方程： xn-a1xn-1-a2xn-2-……aBxn-k=b(n=k,k+1,……) 其中a1,a2,------ak 为常数，ak≠0. 若b=0,则该方程是齐次方程 关于λ 的代数方程 λk-a1λk-1-------ak-1λ-ak=0 为对应的特征方程，根为特征值。 1．实验内容与练习 2．1 插分 例1 Xn={n3},求各阶差分数列： xn △xn △2xn △3xn △4xn 1 7 1 2 6 0 8 19 18 6 0 27 37 24 6 0 64 61 30 6 125 91 36 216 127 343 可见，{n3},三阶差分数列为常数数列，四阶为0。 练习1 对{1}，{n},{n2},{n4},{n5}, 分别求各阶差分数列。 练习2 {C0n-1}{C1n-1}{C2n-1},{C4n-1},分别求各阶差分数列. {Xn}的通项为n的三次函数， Xn=a3n3+a2n2+a1n+a0 证明它为常数数列。
证明由Xn=a3n3+a2n2+a1n+a0可直接计算。 定理8。1 若数列的通项是关于n 的k次多项式，则k 阶差分数列为非零数列，k+1阶差分数列为0。 练习3 证明定理8。1 。 定理8。2 若{Xn}的k 阶插分为非零常数列，则{Xn}是n的k次多项式， 练习4 根据插分的性质证明定理8。2 例2。求∑i3 例3 例4 解设Sn=∑i3 表 Sn △Sn △2Sn △3Sn △4Sn △5Sn 1 8 19 18 6 0 9 27 37 24 6 0 36 64 61 30 6 0 100 125 91 36 6 0 225 216 127 42 441 343 169 784 512 1296 设Sn=a4n4+a3n3+a2n2+a1n+a0, s1=1,s2=9,s3=36,s4=100,s5=225,得 a0=0, a1=0, a2=1/4, a3=1/2, a4=1/4. 所以， Sn=(1/4)n4+(1/2)n3+(1/4)n2. 练习{Xn}的通项Xn为n的k次多项式，证明∑xi为n的k+1次多项式；求 ∑i4. 由练习2 {Crn-1}可得。 2.2差分方程 对于一个差分方程，如果能找出这样的数列通项，将它带入差分方程后，该方程成为恒等式，这个通项叫做差分方程的解。 例3 对差分方程xn-5xn-1+6xn-2=0,可直接验证xn=c13n+c22n是该方程的解。 例3中的解中含有任意常数，且任意常数的个数与差分方程的阶数相同。这样的解叫做差分方程的通解。 若k阶差分方程给定了数列前k项的取值，则可以确定通解的任意常数，得到差分 的特解。 例4对差分方程xn-5xn-1+6xn-2=0,若已知x1=1,x2=5,则可以得到该差分方程的特解为 xn=3n-2n.
常系数线性微分方程的解法 摘 要：本文主要介绍了常系数线性微分方程的解法.着重讨论利用代数运算和微分运算来求常系数齐次线性微分方程和非齐次线性微分方程的通解. 关键词：复值函数与复值解；欧拉方程；比较系数法；拉普拉斯变换法 The Solution of Linear Differential Equation with Constant Coefficients Abstract ：The solutions of linear differential equation with constant coefficients are introduced in this article. And using the algebraic operation and differential operation to solv the general solution of homogeneous linear differential equation and nonhomogeneous linear differential equation are discussed emphatically. Key Words ：complex flnction and complex answer; euler equation;the method of coefficients comparison; the method of laplace transformation. 前言 为了让我们更多的认识和计算常系数线性微分方程，本文通过对复值函数和复值解以及常系数线性微分方程和欧拉函数的简单介绍，进而简单讨论了常系数线性微分方程的解法,以此来帮助我们解决常系数线性微分方程的解. 1. 预备知识 1.1复值函数与复值解 如果对于区间a t b ≤≤中的每一个实数t ,有复数()()()z t t i t ?ψ=+与它对应,其中 ()t ?和()t ψ是在区间a t b ≤≤上定义的实函数,i =是虚数单位,我们就说在区间 a t b ≤≤上给定了一个复值函数()z t .如果实函数()t ?,()t ψ当t 趋于0t 时有极限,我们 就称复值函数()z t 当t 趋于0t 时有极限,并且定义 lim ()lim ()lim ()t t t t t t z t t t ?ψ→→→=+. 如果0 0lim ()()t t z t z t →=,我们就称()z t 在0t 连续.显然,()z t 在0t 连续相当于()t ?,()t ψ在0 t 连续.当()z t 在区间a t b ≤≤上每点都连续时,就称()z t 在区间a t b ≤≤上连续.如果极
第四讲 常系数线性微分方程组的解法（4课时） 一、目的与要求: 理解常系数线性微分方程组的特征方程式, 特征根, 特征向量的概念, 掌 握常系数线性微分方程组的基本解组的求法. 二、重点：常系数线性微分方程组的基本解组的求法. 三、难点：常系数线性微分方程组的特征方程式, 特征根, 特征向量的概念. 四、教学方法：讲练结合法、启发式与提问式相结合教学法. 五、教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合. 六、教学过程： 1 新课引入 由定理3.6我们已知道，求线性齐次方程组(3.8)的通解问题，归结到求其基本解组. 但是对于一般的方程组(3.8)，如何求出基本解组，至今尚无一般方法. 然而对于常系数线性齐次方程组 dY AY dx = (3.20) 其中A 是n n ?实常数矩阵，借助于线性代数中的约当(Jordan)标准型理论或矩阵指数，可以使这一问题得到彻底解决. 本节将介绍前一种方法，因为它比较直观. 由线性代数知识可知，对于任一n n ?矩阵A ，恒存在非奇异的n n ?矩阵T ，使矩阵 1T AT -成为约当标准型. 为此，对方程组(3.20)引入非奇异线性变换 Y TZ = (3.21) 其中()(,1,2,,),ij T t i j n == det 0T ≠,将方程组(3.20)化为 1dZ T ATZ dx -= (3.22) 我们知道，约当标准型1 T AT -的形式与矩阵A 的特征方程 11121212221 2 det()0n n n n nn a a a a a a A E a a a λ λλλ ---= =-
的根的情况有关. 上述方程也称为常系数齐次方程组(3.20)的特征方程式.它的根称为矩阵 A 的特征根. 下面分两种情况讨论. (一) 矩阵A 的特征根均是单根的情形. 设特征根为12,,,,n λλλ 这时 12 1 00 n T AT λλλ-????? ?=?????? 方程组(3.20)变为 11122 200n n n dz dx z dz z dx z dz dx λλλ?????????????? ????????= ???????????????? ?????? (3.23) 易见方程组(3.23)有n 个解 1110(),00x Z x e λ????????=???????? 220010(),,()0001n x x n Z x e Z x e λλ???????????? ????==???????????????? 把这n 个解代回变换(3.21)之中，便得到方程组(3.20)的n 个解 12()i i i i x x i i ni t t Y x e e T t λλ?? ????==?????? (1,2,,)i n =
一阶常系数线性差分方程 一阶常系数线性差分方程的一般形式为 y t+1+ay t=f(t) (11-2-1) 和 y t+1+ay t=0，(11-2-2) 其中f(t)为t的已知函数，a≠0为常数． 我们称方程(11-2-1)为一阶常系数非齐次线性差分方程，(11-2-2)称为其对应的齐次差分方程． 一、齐次差分方程的通解 将方程(11-2-2)改写为： y t+1=-ay t, t=0,1,2,…． 假定在初始时刻(即t=0)时，函数y t取任意值A，那么由上式逐次迭代，算得 y1=-ay0=-aA, y2=-ay1=(-a)2A, ……………… 由数学归纳法易知，方程(11-2-2)的通解为 y t =A(-a)t, t=0,1,2,…． 如果给定初始条件t=0时y t=y0,则A=y0,此时特解为： y t =y0(-a)t．（11-2-3） 二、非齐次方程的通解与特解 求非齐次方程(11-2-1)的通解的常用方法有迭代法、常数变易法，求非齐次方程(11-2-1)的特解的常用方法为待定系数法． １．迭代法求通解 将方程(11-2-1)改写为 y t+1=(-a)y t+f(t), t=0,1,2,…． 逐步迭代，则有 y1=(-a)y0+f(0), y2=(-a)2y0+(-a)f(0)+f(1), y3=(-a)3y0+(-a)2f(0)+(-a)f(1)+f(2), ……………… 由数学归纳法，可得 y t=(-a)t y0+(-a)t-1f(0)+(-a)t-2f(1)+…+f(t-1)=(-a)t y0+ t y, (t=0,1,2,…)，（11-2-4） 其中 t y=(-a)t-1f(0)+(-a)t-2f(1)+…+f(t-1)=∑- =- 1 ) ( t i i a·f(t-i-1) （11-2-5） 为方程(11-2-1)的特解．而y A(t)=(-a)t y0为(11-2-1)对应的齐次方程(11-2-2)的通解．这里y0=A 为任意常数．因此，(11-2-4)式为非齐次方程(11-2-1)的通解． 与一阶非齐次线性微分方程相类似，方程(11-2-1)的通解(11-24-)也可以由齐次方程(11-2-2)的通解(11-2-3)经由常数变易法求得，这里不予赘述．
常系数线性微分方程的解的结构分析 【 摘要】在参考和总结了许多场系数线性微分方程的解法的基础上，本文总结了一些常系数微分方程的解的解法，并针对一类常系数线性微分方程的已有结论给予证明，以解给予一些结论证明思路，以及一些实例，并向高阶推广。 【关键词 】常系数 线性 微分方程 结构 一阶常系数齐次线性微分方程 0=+ax dt dx ， （1.1） 的求解 上式可以改写为 adt x dx -= ， （1.2） 于是变量x 和t 被分离，再将两边积分得 c at x +-=ln ， （1.3） 这里的c 为常数。又由对数的定义，上式可以变为 at ce x -= ， （1.4） 其中c= , 因为x=0也是方程的解，因此c 可以是任意常数。 这里首先是将变量分离，然后再两边积分，从而求出方程的解。这便要方程式可以分离变量的，也就是变量分离方程。 一阶常系数微分方程 )()(x Q y x P dx dy += ， （2.1） 其中P （x ），Q(x)在考虑的区间上式连续函数，若Q （x ）=0 ,上式就变为 y x P dx dy )(= ， （2.2） 上式为一阶齐次线性微分方程。还是变量分离方程我们可以参考上面变量分离方程的解法，先进行变量分离得到 dx x P y dy )(= ， （2.3） 两边同时积分，得到 ? =dx x p ce y )( ， （2.4） 这里c 是常数。 若Q （x ）≠ 0 , 那么上式就变成了 一阶非齐次线性微分方程。 我们知道一阶齐次线性微分方程是一阶常微分方程的一种特殊情况，那么可以设想将一阶
齐次线性微分方程的解 ? =dx x p ce y )( ， （2.5） 中的常数c 变易成为待定的函数c （x ）,令 ?=dx x p e x c y )()( ， （2.6） 微分之，就可以得到 ?+?=dx x p dx x p e x P x c e dx x dc dx dy )()()()()( ， （2.7） 以（2.7），（2.6）代入2.1，得到 )()()()()()()()()(x Q e x c x p e x P x c e dx x dc dx x p dx x p dx x p +?=?+?，（2.8） 即 ?=-dx x p e x Q dx x dc )()() (， 积分后得到 c （x ）=c dx e x Q dx x p +?? -)()( , (2.9) 这里c 是任意常数，将上式代入（2.6）得到方程（2.1）的通解 ))(()()(c dx e x Q e y dx x p dx x p +? ? =?- (2.91) 在上面的一阶线性微分方程中，是将一阶齐次线性微分方程中的通解中的常数c 变成c(x) ,常数变易法一阶非齐次线性微分方程的解, 感觉这个方法之所以用x 的未知函数u(x)替换任意常数C,是因为C 是任意的，C 与x 形成函数关系，要确定C,需要由初始条件确定，一个x,确定一个C,也就形成一对一或多对多的映射，也就是函数关系，而这里的C 是任意的，也就可以用一个未知的，也就是任意的函数u(x)来代替，进而求得非齐次线性微分方程的解。这种将常数变异为待定函数的方法，我们通常称为常数变易法。常数变易法实质也是一种变量变换的方法，通过变换（2.6可将方程（2.1）化为变量分离方程。 二阶常系数线性微分方程 （1）二阶常系数线性齐次方程 022=++qy dx dy p dx y d （3.1） 其中p 、q 是常数，我们知道，要求方程（3.1)的通解，只要求出其任意两个线性无关的特 解y 1,y ２就可以了，下面讨论这样两个特解的求法。 我们先分析方程(3.1)可能具有什么形式的特解，从方程的形式上来看，它的特点是22dx y d ，
常系数线性方程组基解矩阵的计算
常系数线性方程组基解矩阵的计算 董治军 （巢湖学院数学系，安徽巢湖238000） 摘要：微分方程组在工程技术中的应用时非常广泛的，不少问题都归结于它的求解问题，基解矩阵的存在和具体寻求是不同的两回事，一般齐次线性微分方程组的基解矩阵是无法通过积分得到的，但当系数矩阵是常数矩阵时，可以通过方法求出基解矩阵，这时可利用矩阵指数exp A t，给出基解矩阵的一般形式，本文针对应用最广泛的常系数线性微分方程组，结合微分方程，线性代数等知识，讨论常系数齐次线性微分方程的基解矩阵的几个一般的计算方法. 关键词；常系数奇次线性微分方程组；基解矩阵；矩阵指数 Calculation of Basic solution Matrix of
Linear Homogeneous System with Constant Coefficients Zhijun Dong (Department of Mathematics, Chaohu College Anhui, Chaohu) Abstract: Differential equations application in engineering technology is very extensive, when many problems are attributable to its solving problem, base solution matrix existence and specific seek is different things, general homogeneous linear differential equations is not the base solution matrix by integral get, but when coefficient matrix is constant matrix, can pass out the base solution matrix method, then are available matrix exponential t, the general form base solution matrix, the paper discusses the most widely used differential equations with constant coefficients, combined with differential equations, linear algebra, discuss knowledge of homogeneous linear differential equation with constant coefficients of base solution matrix several general calculation method. Keyword: linear homogeneous system with constant coefficients; matrix of basic solutions; matrix exponent 引言: 线性微分方程组的求解历来是常微分方程的重点，根据线性微分方程组的解的结构理论，求解线性微分方程组的关键在于求出对应齐次线性微分方程组的基解矩阵，本文主要讨论齐次线性微分方程组 X ’＝AX ★ 的基解矩阵的计算问题，这里A 是n n ?常数矩阵. 一．矩阵指数exp A 的定义和性质： 1.矩阵范数的定义和性质 定义：对于n n ?矩阵A ＝ij a ???? n ×n 和n 维向量X ＝()1,...,T n X X 定义A 的范数为A ＝,1 n ij i j a =∑ ，X =1 n i i x =∑ 设A ，B 是n ×n 矩阵，x ，y 是n 维向量，易得下面两个性质：
第八章 8.4讲 第四节 二阶常系数线性微分方程 一、二阶常系数线形微分方程的概念 形如 )(x f qy y p y =+'+'' (1) 的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中p 、q 均为实数,)(x f 为已知的连续函数. 如果0)(≡x f ,则方程式 (1)变成 0=+'+''qy y p y (2) 我们把方程(2)叫做二阶常系数齐次线性方程,把方程式(1)叫做二阶常系数非齐次线性方程. 本节我们将讨论其解法. 二、二阶常系数齐次线性微分方程 1．解的叠加性 定理1 如果函数1y 与2y 是式(2)的两个解, 则2211y C y C y +=也是式(2)的解,其中21,C C 是任意常数. 证明 因为1y 与2y 是方程(2)的解,所以有 0111 =+'+''qy y p y 0222 =+'+''qy y p y 将2211y C y C y +=代入方程(2)的左边,得 )()()(22112211221 1y C y C q y C y C p y C y C ++'+'+''+'' =0)()(2222111 1=+'+''++'+''qy y p y C qy y p y C 所以2211y C y C y +=是方程(2)的解. 定理1说明齐次线性方程的解具有叠加性. 叠加起来的解从形式看含有21,C C 两个任意常数,但它不一定是方程式(2)
的通解. 2.线性相关、线性无关的概念 设,,,,21n y y y 为定义在区间I 内的n 个函数,若存在不全为零的常数 ,,,,21n k k k 使得当在该区间内有02211≡+++n n y k y k y k , 则称这n 个函数在区间I 内线性相关,否则称线性无关. 例如 x x 2 2 sin ,cos ,1在实数范围内是线性相关的,因为 0sin cos 12 2≡--x x 又如2,,1x x 在任何区间(a,b)内是线性无关的,因为在该区间内要使 02321≡++x k x k k 必须0321===k k k . 对两个函数的情形,若 =21y y 常数, 则1y ,2y 线性相关,若≠2 1y y 常数, 则1y ,2y 线性无关. 3.二阶常系数齐次微分方程的解法 定理 2 如果1y 与2y 是方程式(2)的两个线性无关的特解,则 212211,(C C y C y C y +=为任意常数)是方程式(2)的通解. 例如, 0=+''y y 是二阶齐次线性方程,x y x y cos ,sin 21==是它的两个解,且 ≠=x y y tan 2 1 常数,即1y ,2y 线性无关, 所以 x C x C y C y C y cos sin 212211+=+= ( 21,C C 是任意常数)是方程0=+''y y 的通解. 由于指数函数rx e y =(r 为常数)和它的各阶导数都只差一个常数因子,
线性差分方程 在数学大家庭中，线性差分方程是重要的一员。如离散状态下的数学建模一般会产生差分方程，将微分方程离散化仍然会产生差分方程。线性差分方程与线性方程组及线性常微分方程有许多相似的性质，下面让我们讨论其解性质。 考虑如下一般的线性差分方程 （1） ()()()110k m k k m k m m a m u a m u a m u b +-+-+++= 0,1,2,m = 称为k 阶线性差分方程，其中(),j m a m b 为给定的关于m 的函数，并且()()00k a m a m ≠。当0m b =时方程 （2） ()()()1100k m k k m k m a m u a m u a m u +-+-+++= 0,1,2,m = 称为齐次差分方程。如果整变量j 的函数j u 使（1）和（2）成为等式，则称j u 为相应方程的解。容易看出，如果021,,k u u u - （称为初始值）已给定，则由（1）或（2）可以逐次地定出(),1,j u j k k =+ 。 与线性方程组及线性常微分方程类似，对上述差分方程有 命题1 如果() () () 12,,,k m m m u u u 是齐次差分方程（2）的解，则它们的任意组合 （3） () () () 1212k m m m k m v c u c u c u =+++ 也是（2）的解，其中()1,2,,j c j k = 为常数。 命题2 设() () () 12,,,k m m m u u u 是k 阶齐次差分方程（2）的解，且行列式 （4） () ()() ()()()()()()12111122 22 120k k k k k k u u u u u u u u u ≠ 则齐次差分方程（2）的任何解均可表成（3）的形式，此时称（3）为（2）的通解。 如果() () () 12,,,k m m m u u u 满足条件（4），则称() () () 12,,,k m m m u u u 线性无关，故命题2可叙述
第二节一阶常系数线性差分方程 一阶常系数线性差分方程的一般形式为 y t+i+ay t f(t) (11 2 1) 和 y t+i+ay t 0, (11 2 2) 其中f(t)为t的已知函数，a丰0为常数. 我们称方程(11 2 1)为一阶常系数非齐次线性差分方程，(11 2 2)称为其对应的齐次差分方程. 一、齐次差分方程的通解 将方程(11 2 2)改写为： y t+1 ay t, t 0,1,2,…. 假定在初始时刻(即t 0)时，函数y t取任意值A,那么由上式逐次迭代，算得 y1 ay o aA, y2 ay1 ( a)2A, 由数学归纳法易知，方程(11 2 2)的通解为 y t A( a)t, t 0,1,2,…. 如果给定初始条件t 0时y t y o,则A y o,此时特解为： y t y0( a)t. (112 3) 二、非齐次方程的通解与特解 求非齐次方程(11 2 1)的通解的常用方法有迭代法、常数变易法，求非齐次方程(11 2 1) 的特解的常用方法为待定系数法. 1.迭代法求通解 将方程(11 2 1)改写为 y t+1 ( a)y t+f(t), t 0,1,2,…. 逐步迭代，则有 y1 ( a)y o+f(0), y2 ( a)2y0+( a)f(0)+f(1), y3 ( a)3y0+( a)2f(0)+( a)f(1)+f(2), 由数学归纳法，可得 y t ( a)t y0+( a)t1f(0)+( a)t 2f(1)+ …+f(t 1) ( a)t y0+ y t, (t 0,1,2,…)，(11 2 4) 其中 t 1 y t( a)t 1f(0)+( a)t2f(1)+...+f(t 1) ( a)i? f(t i 1) (11 2 5) i 0 为方程(11 2 1)的特解.而y A(t) ( a)t y0为(11 2 1)对应的齐次方程(11 2 2)的通解.这里y A 为任意常数.因此，(11 2 4)式为非齐次方程(11 2 1)的通解. 与一阶非齐次线性微分方程相类似，方程(112 1)的通解(11 24 )也可以由齐次方程(11 2 2)的通解(11 2 3)经由常数变易法求得，这里不予赘述.