一阶常系数线性差分方程
一阶常系数线性差分方程的一般形式为
y t+1+ay t=f(t) (11-2-1)
和
y t+1+ay t=0，(11-2-2)
其中f(t)为t的已知函数，a≠0为常数．
我们称方程(11-2-1)为一阶常系数非齐次线性差分方程，(11-2-2)称为其对应的齐次差分方程．
一、齐次差分方程的通解
将方程(11-2-2)改写为：
y t+1=-ay t, t=0,1,2,…．
假定在初始时刻(即t=0)时，函数y t取任意值A，那么由上式逐次迭代，算得
y1=-ay0=-aA,
y2=-ay1=(-a)2A,
………………
由数学归纳法易知，方程(11-2-2)的通解为
y t =A(-a)t, t=0,1,2,…．
如果给定初始条件t=0时y t=y0,则A=y0,此时特解为：
y t =y0(-a)t．（11-2-3）
二、非齐次方程的通解与特解
求非齐次方程(11-2-1)的通解的常用方法有迭代法、常数变易法，求非齐次方程(11-2-1)的特解的常用方法为待定系数法．
１．迭代法求通解
将方程(11-2-1)改写为
y t+1=(-a)y t+f(t), t=0,1,2,…．
逐步迭代，则有
y1=(-a)y0+f(0),
y2=(-a)2y0+(-a)f(0)+f(1),
y3=(-a)3y0+(-a)2f(0)+(-a)f(1)+f(2),
………………
由数学归纳法，可得
y t=(-a)t y0+(-a)t-1f(0)+(-a)t-2f(1)+…+f(t-1)=(-a)t y0+
t
y, (t=0,1,2,…)，（11-2-4）
其中
t
y=(-a)t-1f(0)+(-a)t-2f(1)+…+f(t-1)=∑-
=-
1
) (
t i
i
a·f(t-i-1) （11-2-5）
为方程(11-2-1)的特解．而y A(t)=(-a)t y0为(11-2-1)对应的齐次方程(11-2-2)的通解．这里y0=A 为任意常数．因此，(11-2-4)式为非齐次方程(11-2-1)的通解．
与一阶非齐次线性微分方程相类似，方程(11-2-1)的通解(11-24-)也可以由齐次方程(11-2-2)的通解(11-2-3)经由常数变易法求得，这里不予赘述．
例1 求差分方程y t +1-
2
1
y t =2t 的通解． 解 方程为一阶非齐次线性差分方程．其中a =-2
1
,f (t )=2t ．于是由非齐次方程的特解公式(11-2-5)有
∑∑-=-----=???
? ???=???? ??=1
01
11
02212221t i i i
t i t i
t i t y
=).12()21(314
11)41(124122111
01-=--?
=??? ??---=-∑t t t
t i
t i t 由(11-2-4)式，得所给方程的通解
y t =A ·(21
)t +
31(21)t -1(22t -1)= A (21)t +3
1
·2t +1, 这里A =A -
3
2
为任意常数． 2． 待定系数法求特解
迭代法虽然可直接推导出非齐次方程(11-2-1)的通解公式(11-2-4)，但是在实际应用中经常用公式(11-2-5)直接去求方程(11-1-1)的特解很不方便；因此，我们有必要去探寻求方程(11-2-1)的特解的别的方法．与常微分方程相类似，对于一些特殊类型的f(t)，常采用待定系数法去求方程(11-2-1)的特解，而不是直接利用公式(11-2-5)求特解．
下面介绍经济学中常见的几类特殊f(t)的形式及求其特解的待定系数法． 情形Ⅰ f (t )为常数． 这时，方程(11-2-1)变为
y t +1+ay t =b ， (11-2-6)
这里a ,b 均为非零常数．
试以t y =μ(μ为待定常数)形式的特解代入方程(11-2-6)，得
μ+a μ=(1+a )μ=b ．
当a ≠-1时，可求得特解
a
b
y t +=
1 (a ≠-1)， 当a =-1时，这时改设特解t y =μt (μ为待定系数)，将其代入方程(11-2-6)，得
μ(t +1)+aμt =(1+a )μt +μ=b ,
因a =-1,故求得特解
t y =bt (a =-1)．
综上所述，方程(11-2-6)的通解为
y t =y A (t )+t y =?????-=+-≠++-,1,
,
1,1)(a bt A a a
b a A t (11-2-7) 其中A 为任意常数．
例2 求差分方程y t +1-2y t =5的通解．
解 因a =-2≠-1,b =5,故由通解公式(11-2-7)，得原方程的通解为
y t =A ·2t -5, A 为任意常数．
例3 求差分方程y t +1-y t =-5满足初始条件y 0=1的通解． 解 因a =-1,b =-5,则由通解公式(11-2-7)，得原方程的通解为
y t =A -5t ,
以t =0,y 0=1代入通解之中，求得A =1．于是，所求方程的特解为
y t =1-5t ．
情形Ⅱ f (t )为t 的多项式．
为讨论简便起见，不妨设f (t )=b 0+b 1t (t 的一次多项式)，即考虑差分方程
y t +1+ay t =b 0+b 1t , t =1,2,…， (11-2-8)
其中a ,b 0,b 1均为常数，且a ≠0,b 1≠0．
试以特解t y =α+βt ,(α，β为待定系数)代入方程(11-2-8)，得
α+β (t +1)+a (α+βt )=b 0+b 1t ，
上式对一切t 值均成立，其充分必要条件是：
?
?
?=+=++.)1(,
110b a b a ββα )( 当1+a ≠0时，即a ≠-1时，
α =
2
10)
1(1a b a b +-+，β=a b +11, 于是，方程(11-2-8)的特解为
t a
b a b a b y +++-+=
1)1(11
210 (a ≠-1)； 当a =-1时，改设特解
t y =(α+βt )t =αt +βt 2，
将其代入方程(11-2-8)，并注意α=-1,可求得特解
t y =(b 0-21b 1)t +2
1
b 1t 2 (a =-1)．
综上所述，方程(11-2-10)的通解为
y t =???
????-=+-+≠+++-++-.1,21)21(,1,1)1(1)(21101210a t b t b b A a t a b a b a b a A t
(11-2-9)
例4 求差分方程y t +1-3y t =2t 满足y 0=
2
1
的特解． 解 因a =-3≠-1,b 0=0,b 1=2,故由通解公式(11-2-9)得 所给方程的通解为．
y t =A ·3t -
2
1
-t , A 为任意常数． 以t =0,y 0=
2
1
代入上式，求得A =1,于是所求方程的特解为 y t =3t -2
1
-t ．
例5 求差分方程y t +1-y t =3+2t 的通解．
解 因a =-1,b 0=3,b 1=2,故由通解公式(11-2-9)得所给方程的通解为
y t =A +2t +t 2,A 为任意常数．
情形Ⅲ f (t )为指数函数．
不妨设f (t )=b ·d t ，这里b ,d 均为非零常数，于是方程(11-2-1)变为
y t +1+ay t =b ·d t , t =0,1,2,…． （11-2-10）
当a +d ≠0时，设方程(11-2-10)有特解t y =μd t ，这里μ为待定系数．将其代入方程(11-2-10)，得
μd t +1+a μd t =b ·d t ,
求得特解
t y =
d
a b
+·d t (a +d ≠0)； 当a +d =0时，改设(11-2-10)的特解t y =μtd t ,μ为待定系数，将其代入方程(11-2-10)，注意a +d =0,可求得特解
t y =btd t (a +d =0)．
综合上述，方程(11-2-10)的通解为
y t =y A (t )+t y =?????
=++-≠+?++
-.0,
)(,0,)(d a btd a A d a d d
a b a A t
t t t （11-2-11） 例6 求差分方程y t +1-y t =2t 的通解．
解 因a =-1,b =1,d =2，故a +d =1≠0．由通解公式(11-2-11)得原方程的通解
y t =A +2t ，
A 为任意常数．
例7 求差分方程2y t +1-y t =3·(2
1)t
的通解． 解 因a =-
21,b =23,d =2
1
,故a +d =0.由通解公式(11-2-11)，得原方程的通解 y t =(A +3t )·(2
1
)t ,
A 为任意常数．
情形Ⅳ f (t )为正弦、余弦型三角函数．
设f (t )=b 1cos ωt +b 2sin ωt ,其中b 1,b 2,ω均为常数，且ω≠0，b 1与b 2不同时为零．于是非齐次方程(11-2-1)变为
y t +1+ay t =b 1cos ωt +b 2sin ωt ，a ≠0, t =0,1,2,…． (11-2-12)
设方程(11-2-12)有特解
t y =αcos ωt +βsin ωt ,
这里α,β均为待定系数．将其代入方程(11-2-12)得
αcos ω(t +1)+βsin ω(t +1)+aαcos ωt +aβsin ωt =b 1cos ωt +b 2sin ωt ,
利用三角恒等式，经整理得
(αcos ω+βsin ω+aα)cos ωt +(-αsin ω+βcos ω+aβ)sin ωt =b 1cos ωt +b 2sin ωt ,
上式对t =0,1,2,…恒成立的充分必要条件是
??
?=++?-=?++.
)cos (sin ,
sin )cos (21b a b a βωαωβωαω 这是关于α，β为未知量的线性方程组，其系数行列式
D =
ω
ωω
ωcos sin sin cos +-+a a =(a +cos ω)2+sin 2ω，
当D ≠0时，则可求得其解
[][]??
???
++=-+=;
sin )cos (1
,sin )cos (11221ωωβωωαb a b D b a b D (11-2-13) 当D =(a +cos ω)2＋sin 2ω=0时，则有
??
?-==.1,2a k πω或()???=+=.
1,12a k πω (k 为整数)． (11-2-13)′ 这时，我们改设特解
t y =t (αcos ωt +βsin ωt ),
α，β为待定系数．将其代入(11-2-12)，并利用条件(11-2-13)′，经整理可得
?
??==21,
b b βα 或 ?
?
?-=-=.,
21b b αα， 结合上述，方程(11-2-12)的通解为
t y =[]?????
??=+=+++---==++--≠++-.1,
)12(,)12sin()12cos()1(,1,2),
2sin 2cos (),
13211(,,0,sin cos )(2121a k t k b t k b t A a k t k b t k b t A D t t a A t
t ππππππωωβαωβωα见(11-2-14)
值得注意的是：若f (t )=b 1cos ωt 或f (t )=b 2sin ωt 时，方程(11-2-12)所应设的特解仍取为
t y =αcos ωt +βsin ωt 或t y =t (αcos ωt +βsin ωt )
的形式，不能省略其中任何一项．
例8 求差分方程y t +1-2y t =cos t 的通解． 解 对应齐次方程的通解为
y A (t )=A ·2t ．
设非齐次方程的特解为
t y =αcos t +βsin t ,
其中α,β为待定系数．将其代入原方程，并利用三角函数的和角公式，得
??
?=-+-=+-.
0)21(cos 1sin ,
11sin )21(cos βαβα 由此求得
1cos 4521cos --=
α,1cos 451
sin -=β．
于是，所给方程的通解为
y t =t t t A sin 1
cos 451
sin cos 1cos 451cos 22-+---
?,
其中A 为任意常数．
上述f (t )的四种类型，已基本包含了经济学应用中常见的函数类型．实际中,若遇到这几种类型的线性组合形式的f (t ),则可设试解函数为同类型特解的线性组合．例如，对于函数f (t)=t +3e t +2sin t 时，我们可设试解函数为
y =(B 0+B 1t )+B 2e t +B 3cos t +B 4sin t ，
这里B 0，B 1，B 2，B 3，B 4均为待定常数．
习题11-2
1． 验证y 1(t )＝1,y 2(t )=
1
1+t 是方程y t +2-232++t t y t +1+31++t t y t =0的解，并求该差分方程的通
解．
2． 已知y 1(t )=2t ,y 2(t )=2t -3t 是差分方程y t +1+a (t )y t =f (t )的两个特解，求a (t )及f (t )． 3． 设y 1(t ),y 2(t ),y 3(t )分别是差分方程：y t +1+ay t =f 1(t ); y t +1+ay t =f 2(t ); y t +1+ay t =f 3(t )的解， 求证：z (t )=y 1(t )+y 2(t )+y 3(t )是差分方程y t +1+ay t =f 1(t )+f 2(t )+f 3(t )的解． 4． 求下列差分方程的通解：
(1) 3y t +1+y t =4; (2) 2y t +1+y t =3+t ;
(3) y t +1+y t =2t ； (4) y t +1-y t =2t ·cos πt ．
［提示：设特解t y =2t (B 1cos πt +B 2sin πt ),B 1,B 2为待定系数］ 5． 求下列差分方程的特解：
(1) 16y t +1-6y t =1, y 0=0.2; (2) 2y t +1-y t =2+t , y 0=4;
(3) y t +1-y t =2t -1,y 0=5; (4) y t +1+4y t =3sin πt , y 0=1． 6． 设a ,b 为非零常数，且1+a ≠0．试证：通过变换u t =y t -
a
b
+1,可将非齐次方程y t +1+ay t =b 变换为u t 的齐次方程，并由此求出y t 的通解．
7． 已知差分方程(a +by t )y t +1=cy t ,t =0,1,2,…，其中a ,b ,c 为正常数，y 0为正的已知初始条件．
(1) 试证：y t ＞0,t =1,2,3,…；(提示：用迭代法证) (2) 试证：变换u t =
t
y 1
将原方程可化为u t 的线性方程，并由此求出y t 的通解； (3) 求方程(2+3y t )y t ＋1=4y t 满足初始条件y 0=2
1
的特解．
高阶线性微分方程常用解法简介 关键词：高阶线性微分方程 求解方法 在微分方程的理论中，线性微分方程是非常值得重视的一部分内容，这不仅 因为线性微分方程的一般理论已被研究的十分清楚，而且线性微分方程是研究非线性微分方程的基础，它在物理、力学和工程技术、自然科学中也有着广泛应用。下面对高阶线性微分方程解法做一些简单介绍. 讨论如下n 阶线性微分方程：1111()()()()n n n n n n d x d x dx a t a t a t x f t dt dt dt ---++++= （1），其中()i a t （i=1,2,3,,n ）及f(t)都是区间a t b ≤≤上的连续函数，如果 ()0f t ≡，则方程（1）变为 1111()()()0n n n n n n d x d x dx a t a t a t x dt dt dt ---++++= （2），称为n 阶齐次线性微分方程，而称一般方程（1）为n 阶非齐次线性微分方程，简称非齐次线性微分方程，并且把方程（2）叫做对应于方程（1）的齐次线性微分方程. 1.欧拉待定指数函数法 此方法又叫特征根法，用于求常系数齐次线性微分方程的基本解组。形如 111121[]0,(3),n n n n n n n d x d x dx L x a a a x dt dt dt ---≡++++=其中a a a 为常数，称为n 阶常系数齐次线性微分方程。 111111111111[]()()()n t n t t t t n n n n n n n t t n n n n n n n d e d e de L e a a a e dt dt dt a a a e F e F a a a n λλλλλλλλλλλλλλλλ---------≡++++=++++≡≡++++其中=0(4)是的次多项式. ()F λ为特征方程，它的根为特征根. 1.1特征根是单根的情形 设12,,,n λλλ是特征方程111()0n n n n F a a a λλλλ--≡++++=的n 个彼此不相等的根，则应相应地方程（3）有如下n 个解：12,,,.n t t t e e e λλλ（5）我们指出这n 个解在区间a t b ≤≤上线性无关，从而组成方程的基本解组. 如果(1,2,,)i i n λ=均为实数，则（5）是方程（3）的n 个线性无关的实值 解，而方程（3）的通解可表示为1212,n t t t n x c e c e c e λλλ=+++其中12,,,n c c c 为任意常数. 如果特征方程有复根，则因方程的系数是实常数，复根将称对共轭的出现.设1i λαβ=+是一特征根，则2i λαβ=-也是特征根，因而于这对共轭复根
第4章 一阶线性微分方程组 一 内容提要 1． 基本概念 一阶微分方程组：形如 ??? ????? ???===) ,,,,( ),,,,(),,,,(2121222111 n n n n n y y y x f dx dy y y y x f dx dy y y y x f dx dy ΛΛΛΛΛ （3.1） 的方程组，（其中n y y y ,,,21Λ是关于x 的未知函数）叫做一阶微分方程组。 若存在一组函数)(,),(),(21x y x y x y n Λ使得在[a,b]上有恒等式 ),,2,1))((,),(),(,() (21n i x y x y x y x f dx x dy n i i ΛΛ==成立，则 )(,),(),(21x y x y x y n Λ称为一阶微分方程组(3.1)的一个解 含有n 任意常数n C C C ,,,21Λ的解 ?????? ?===) ,,,,( ),,,,(),,,,(21321222111n n n n C C C x y C C C x y C C C x y ΛΛΛΛΛ??? 称为(3.1)通解。如果通解满方程组 ???????=Φ=Φ=Φ0 ),,,,,,,,( 0),,,,,,,,(0),,,,,,,,(21212121221211n n n n n n n C C C y y y x C C C y y y x C C C y y y x ΛΛΛΛΛΛΛΛ 则称这个方程组为（3.1）的通积分。 满足初始条件,)(,,)(,)(0020021001n n y x y y x y y x y ===Λ的解，叫做初值问题的解。
常系数线性微分方程的解法 摘要：本文对常系数线性方程的各种解法进行分析和综合，举出了每个方法的例题，以便更好的掌握对常系数线性微分方程的求解. 关键词：特征根法；常数变易法；待定系数法 Method for solving the system of differential equation with Constant Coefficients Linear Abstract: Based on the linear equations with constant coefficients of analysis and synthesis method, the method of each sample name, in order to better grasp of the linear differential equation with constant coefficients of the solution. Key Words: Characteristic root ；Variation law ；The undetermined coefficient method 前言：常系数性微分方程因形式简单，应用广泛，解的性质及结构已研究的十分清楚，在常微分方程中占有十分突出的地位。它的求解是我们必须掌握的重要内容之一，只是由于各种教材涉及的解法较多，较杂，我们一般不易掌握，即使掌握了各种解法，在具体应用时应采用哪种方法比较适宜，我们往往感到困难。本文通过对一般教材中涉及的常系数线性微分方程的主要解法进行分析和比较，让我们能更好的解常系数线性微分方程。 1．预备知识 复值函数与复值解 如果对于区间a t b ≤≤中的每一实数t ，有复值()()()z t t i t ?ψ=+与它对应，其中()t ?和()t ψ是在区间a t b ≤≤上定义的实函数，1i =-是虚数单位，我们就说在区间a t b ≤≤上给定了一个复值函数()z t .如果实函数()t ?，()t ψ当t 趋于 0t 时有极限，我们就称复值函数()z t 当t 趋于0t 时有极限，并且定义
第二讲§4.2 n 阶常系数线性齐次方程的解法(2学时) 教学目的: 本节主要讨论n 阶常系数线性齐次方程的解法。 教学要求: 掌握n 阶常系数线性齐次方程的一些解法，了解复值函数与复值解的有关结论。 教学重点: n 阶常系数齐次线性方程的特征根法和待定系数法 教学难点: 特征根法和待定系数法 教学方法: 讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。 教学手段: 传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。 上一节我们已详细地讨论线性方程通解的结构问题,但是如何求通解的方法还没有具体给出,事实上,对一般的线性方程是没通用的解法.本节介绍求解常系数齐次线性方程通解的方法,是在线性方程基本理论上化为解一个相应的代数方程,而不必进行积分运算.进而介绍可化为常系数齐次线性方程的解法. 讨论常系数线性方程的解法时,需要涉及到定变量的变值函数及复指数函数的问题.为此首先作一介绍. 一. 复值函数与复值解 1. 复值函数 若)()(t t ψ?和是区间b t a ≤≤上定义的实函数,我们称) 1(),()()(2 -=+=i t i t t z ψ?为区间b t a ≤≤上的复值函数. 若)(),(t t ψ?在b t a ≤≤上连续，则称z(t)在b t a ≤≤上连续. 若)(),(t t ψ?在b t a ≤≤上可微，则称z(t)在b t a ≤≤上可微. 且z(t)的导数为: ,dt d i dt d dt dz ψ?+= 复函数求导法则与实函数相同. 2．复指数函数 ()()(cos sin )i t t z t e e t i t αβαββ+==+， 欧拉公式:cos sin i e i θθθ=+ 3．复值解 定义 定义在区间a t b ≤≤上的实变量复值函数)(t z x =称为方程(4.5)的复值解，如果 ()(1)11()()()()n n n n z p t z p t z p t z f t --'++++= 对于a t b ≤≤恒成立。 对线性方程的复值解有下面的两个结论：
常系数线性微分方程的解法 摘 要：本文主要介绍了常系数线性微分方程的解法.着重讨论利用代数运算和微分运算来求常系数齐次线性微分方程和非齐次线性微分方程的通解. 关键词：复值函数与复值解；欧拉方程；比较系数法；拉普拉斯变换法 The Solution of Linear Differential Equation with Constant Coefficients Abstract ：The solutions of linear differential equation with constant coefficients are introduced in this article. And using the algebraic operation and differential operation to solv the general solution of homogeneous linear differential equation and nonhomogeneous linear differential equation are discussed emphatically. Key Words ：complex flnction and complex answer; euler equation;the method of coefficients comparison; the method of laplace transformation. 前言 为了让我们更多的认识和计算常系数线性微分方程，本文通过对复值函数和复值解以及常系数线性微分方程和欧拉函数的简单介绍，进而简单讨论了常系数线性微分方程的解法,以此来帮助我们解决常系数线性微分方程的解. 1. 预备知识 1.1复值函数与复值解 如果对于区间a t b ≤≤中的每一个实数t ,有复数()()()z t t i t ?ψ=+与它对应,其中 ()t ?和()t ψ是在区间a t b ≤≤上定义的实函数,i =是虚数单位,我们就说在区间 a t b ≤≤上给定了一个复值函数()z t .如果实函数()t ?,()t ψ当t 趋于0t 时有极限,我们 就称复值函数()z t 当t 趋于0t 时有极限,并且定义 lim ()lim ()lim ()t t t t t t z t t t ?ψ→→→=+. 如果0 0lim ()()t t z t z t →=,我们就称()z t 在0t 连续.显然,()z t 在0t 连续相当于()t ?,()t ψ在0 t 连续.当()z t 在区间a t b ≤≤上每点都连续时,就称()z t 在区间a t b ≤≤上连续.如果极
第四讲 常系数线性微分方程组的解法（4课时） 一、目的与要求: 理解常系数线性微分方程组的特征方程式, 特征根, 特征向量的概念, 掌 握常系数线性微分方程组的基本解组的求法. 二、重点：常系数线性微分方程组的基本解组的求法. 三、难点：常系数线性微分方程组的特征方程式, 特征根, 特征向量的概念. 四、教学方法：讲练结合法、启发式与提问式相结合教学法. 五、教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合. 六、教学过程： 1 新课引入 由定理3.6我们已知道，求线性齐次方程组(3.8)的通解问题，归结到求其基本解组. 但是对于一般的方程组(3.8)，如何求出基本解组，至今尚无一般方法. 然而对于常系数线性齐次方程组 dY AY dx = (3.20) 其中A 是n n ?实常数矩阵，借助于线性代数中的约当(Jordan)标准型理论或矩阵指数，可以使这一问题得到彻底解决. 本节将介绍前一种方法，因为它比较直观. 由线性代数知识可知，对于任一n n ?矩阵A ，恒存在非奇异的n n ?矩阵T ，使矩阵 1T AT -成为约当标准型. 为此，对方程组(3.20)引入非奇异线性变换 Y TZ = (3.21) 其中()(,1,2,,),ij T t i j n == det 0T ≠,将方程组(3.20)化为 1dZ T ATZ dx -= (3.22) 我们知道，约当标准型1 T AT -的形式与矩阵A 的特征方程 11121212221 2 det()0n n n n nn a a a a a a A E a a a λ λλλ ---= =-
的根的情况有关. 上述方程也称为常系数齐次方程组(3.20)的特征方程式.它的根称为矩阵 A 的特征根. 下面分两种情况讨论. (一) 矩阵A 的特征根均是单根的情形. 设特征根为12,,,,n λλλ 这时 12 1 00 n T AT λλλ-????? ?=?????? 方程组(3.20)变为 11122 200n n n dz dx z dz z dx z dz dx λλλ?????????????? ????????= ???????????????? ?????? (3.23) 易见方程组(3.23)有n 个解 1110(),00x Z x e λ????????=???????? 220010(),,()0001n x x n Z x e Z x e λλ???????????? ????==???????????????? 把这n 个解代回变换(3.21)之中，便得到方程组(3.20)的n 个解 12()i i i i x x i i ni t t Y x e e T t λλ?? ????==?????? (1,2,,)i n =
第八章 8.4讲 第四节 二阶常系数线性微分方程 一、二阶常系数线形微分方程的概念 形如 )(x f qy y p y =+'+'' (1) 的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中p 、q 均为实数,)(x f 为已知的连续函数. 如果0)(≡x f ,则方程式 (1)变成 0=+'+''qy y p y (2) 我们把方程(2)叫做二阶常系数齐次线性方程,把方程式(1)叫做二阶常系数非齐次线性方程. 本节我们将讨论其解法. 二、二阶常系数齐次线性微分方程 1．解的叠加性 定理1 如果函数1y 与2y 是式(2)的两个解, 则2211y C y C y +=也是式(2)的解,其中21,C C 是任意常数. 证明 因为1y 与2y 是方程(2)的解,所以有 0111 =+'+''qy y p y 0222 =+'+''qy y p y 将2211y C y C y +=代入方程(2)的左边,得 )()()(22112211221 1y C y C q y C y C p y C y C ++'+'+''+'' =0)()(2222111 1=+'+''++'+''qy y p y C qy y p y C 所以2211y C y C y +=是方程(2)的解. 定理1说明齐次线性方程的解具有叠加性. 叠加起来的解从形式看含有21,C C 两个任意常数,但它不一定是方程式(2)
的通解. 2.线性相关、线性无关的概念 设,,,,21n y y y 为定义在区间I 内的n 个函数,若存在不全为零的常数 ,,,,21n k k k 使得当在该区间内有02211≡+++n n y k y k y k , 则称这n 个函数在区间I 内线性相关,否则称线性无关. 例如 x x 2 2 sin ,cos ,1在实数范围内是线性相关的,因为 0sin cos 12 2≡--x x 又如2,,1x x 在任何区间(a,b)内是线性无关的,因为在该区间内要使 02321≡++x k x k k 必须0321===k k k . 对两个函数的情形,若 =21y y 常数, 则1y ,2y 线性相关,若≠2 1y y 常数, 则1y ,2y 线性无关. 3.二阶常系数齐次微分方程的解法 定理 2 如果1y 与2y 是方程式(2)的两个线性无关的特解,则 212211,(C C y C y C y +=为任意常数)是方程式(2)的通解. 例如, 0=+''y y 是二阶齐次线性方程,x y x y cos ,sin 21==是它的两个解,且 ≠=x y y tan 2 1 常数,即1y ,2y 线性无关, 所以 x C x C y C y C y cos sin 212211+=+= ( 21,C C 是任意常数)是方程0=+''y y 的通解. 由于指数函数rx e y =(r 为常数)和它的各阶导数都只差一个常数因子,
常系数线性微分方程的解的结构分析 【 摘要】在参考和总结了许多场系数线性微分方程的解法的基础上，本文总结了一些常系数微分方程的解的解法，并针对一类常系数线性微分方程的已有结论给予证明，以解给予一些结论证明思路，以及一些实例，并向高阶推广。 【关键词 】常系数 线性 微分方程 结构 一阶常系数齐次线性微分方程 0=+ax dt dx ， （1.1） 的求解 上式可以改写为 adt x dx -= ， （1.2） 于是变量x 和t 被分离，再将两边积分得 c at x +-=ln ， （1.3） 这里的c 为常数。又由对数的定义，上式可以变为 at ce x -= ， （1.4） 其中c= , 因为x=0也是方程的解，因此c 可以是任意常数。 这里首先是将变量分离，然后再两边积分，从而求出方程的解。这便要方程式可以分离变量的，也就是变量分离方程。 一阶常系数微分方程 )()(x Q y x P dx dy += ， （2.1） 其中P （x ），Q(x)在考虑的区间上式连续函数，若Q （x ）=0 ,上式就变为 y x P dx dy )(= ， （2.2） 上式为一阶齐次线性微分方程。还是变量分离方程我们可以参考上面变量分离方程的解法，先进行变量分离得到 dx x P y dy )(= ， （2.3） 两边同时积分，得到 ? =dx x p ce y )( ， （2.4） 这里c 是常数。 若Q （x ）≠ 0 , 那么上式就变成了 一阶非齐次线性微分方程。 我们知道一阶齐次线性微分方程是一阶常微分方程的一种特殊情况，那么可以设想将一阶
齐次线性微分方程的解 ? =dx x p ce y )( ， （2.5） 中的常数c 变易成为待定的函数c （x ）,令 ?=dx x p e x c y )()( ， （2.6） 微分之，就可以得到 ?+?=dx x p dx x p e x P x c e dx x dc dx dy )()()()()( ， （2.7） 以（2.7），（2.6）代入2.1，得到 )()()()()()()()()(x Q e x c x p e x P x c e dx x dc dx x p dx x p dx x p +?=?+?，（2.8） 即 ?=-dx x p e x Q dx x dc )()() (， 积分后得到 c （x ）=c dx e x Q dx x p +?? -)()( , (2.9) 这里c 是任意常数，将上式代入（2.6）得到方程（2.1）的通解 ))(()()(c dx e x Q e y dx x p dx x p +? ? =?- (2.91) 在上面的一阶线性微分方程中，是将一阶齐次线性微分方程中的通解中的常数c 变成c(x) ,常数变易法一阶非齐次线性微分方程的解, 感觉这个方法之所以用x 的未知函数u(x)替换任意常数C,是因为C 是任意的，C 与x 形成函数关系，要确定C,需要由初始条件确定，一个x,确定一个C,也就形成一对一或多对多的映射，也就是函数关系，而这里的C 是任意的，也就可以用一个未知的，也就是任意的函数u(x)来代替，进而求得非齐次线性微分方程的解。这种将常数变异为待定函数的方法，我们通常称为常数变易法。常数变易法实质也是一种变量变换的方法，通过变换（2.6可将方程（2.1）化为变量分离方程。 二阶常系数线性微分方程 （1）二阶常系数线性齐次方程 022=++qy dx dy p dx y d （3.1） 其中p 、q 是常数，我们知道，要求方程（3.1)的通解，只要求出其任意两个线性无关的特 解y 1,y ２就可以了，下面讨论这样两个特解的求法。 我们先分析方程(3.1)可能具有什么形式的特解，从方程的形式上来看，它的特点是22dx y d ，
常系数线性方程组基解矩阵的计算
常系数线性方程组基解矩阵的计算 董治军 （巢湖学院数学系，安徽巢湖238000） 摘要：微分方程组在工程技术中的应用时非常广泛的，不少问题都归结于它的求解问题，基解矩阵的存在和具体寻求是不同的两回事，一般齐次线性微分方程组的基解矩阵是无法通过积分得到的，但当系数矩阵是常数矩阵时，可以通过方法求出基解矩阵，这时可利用矩阵指数exp A t，给出基解矩阵的一般形式，本文针对应用最广泛的常系数线性微分方程组，结合微分方程，线性代数等知识，讨论常系数齐次线性微分方程的基解矩阵的几个一般的计算方法. 关键词；常系数奇次线性微分方程组；基解矩阵；矩阵指数 Calculation of Basic solution Matrix of
Linear Homogeneous System with Constant Coefficients Zhijun Dong (Department of Mathematics, Chaohu College Anhui, Chaohu) Abstract: Differential equations application in engineering technology is very extensive, when many problems are attributable to its solving problem, base solution matrix existence and specific seek is different things, general homogeneous linear differential equations is not the base solution matrix by integral get, but when coefficient matrix is constant matrix, can pass out the base solution matrix method, then are available matrix exponential t, the general form base solution matrix, the paper discusses the most widely used differential equations with constant coefficients, combined with differential equations, linear algebra, discuss knowledge of homogeneous linear differential equation with constant coefficients of base solution matrix several general calculation method. Keyword: linear homogeneous system with constant coefficients; matrix of basic solutions; matrix exponent 引言: 线性微分方程组的求解历来是常微分方程的重点，根据线性微分方程组的解的结构理论，求解线性微分方程组的关键在于求出对应齐次线性微分方程组的基解矩阵，本文主要讨论齐次线性微分方程组 X ’＝AX ★ 的基解矩阵的计算问题，这里A 是n n ?常数矩阵. 一．矩阵指数exp A 的定义和性质： 1.矩阵范数的定义和性质 定义：对于n n ?矩阵A ＝ij a ???? n ×n 和n 维向量X ＝()1,...,T n X X 定义A 的范数为A ＝,1 n ij i j a =∑ ，X =1 n i i x =∑ 设A ，B 是n ×n 矩阵，x ，y 是n 维向量，易得下面两个性质：
§4.2 常系数线性方程的解法 讨论常系数线性方程的解法时，需要涉及实变量的复值函数及复指数函数的问题，我们在4.2.1中预先给以介绍。 4.2.1 复值函数与复值解 如果对于区间a t b ≤≤中的每一实数t ，有复数()()()z t t i t ?ψ=+与它对应，其中()t ?和 ()t ψ是区间a t b ≤≤上定义的实函数，i 是虚数单位，我们就说在区间a t b ≤≤上给定了 一个复值函数()z t 。如果实函数()t ?，()t ψ当t 趋于0t 时有极限， 我们就称复值函数()z t 当t 趋于0t 时有极限，并且定义 lim ()lim ()lim ()t t t t t t z t t i t ?ψ→→→=+ 如果0 0lim ()()t t z t z t →=，我们就称()z t 在0t 连续。显然，()z t 在0t 连续相当于()t ?、()t ψ在 0t 连续。当()z t 在区间a t b ≤≤上每一点都连续时，就称()z t 在区间a t b ≤≤上连续。如 果极限0 00 ()() lim t t z t z t t t →--存在，就称()z t 在0t 有导数（可微）。且记此极限为0()dz t dt 或者 0()z t '。显然()z t 在0t 处有导数相当于()t ?、()t ψ在0t 处有导数，且 000()()() dz t d t d t i dt dt dt ?ψ=+ 如果()z t 在区间a t b ≤≤上每点都有导数，就称()z t 在区间a t b ≤≤上有导数。对于高阶导数可以类似地定义。 设12(),()z t z t 是定义在a t b ≤≤上的可微函数，c 是复值常数， 容易验证下列等式成立： []1212()()()()dz t dz t d z t z t dt dt dt +=+ []11()()dz t d cz t c dt dt = []121221()()()()()()dz t dz t d z t z t z t z t dt dt dt ?=?+? 在讨论常系数线性方程时，函数Kt e 将起着重要的作用，这里K 是复值常数，我们现在给出它的定义，并且讨论它的简单性质。 设K i αβ=+是任一复数，这里,αβ是实数，而t 为实变量，我们定义 ()(cos sin )Kt i t t e e e t i t αβαββ+==+
4-11-常系数高阶线性齐次方程的解法
精品资料 4.2 常系数高阶线性方程基本解组求法 (How to Solve higher order Linear ODE with constant coefficients) [教学内容] 1. 介绍常系数高阶齐次线性微分方程特征方程的概念; 2.介绍如何由常系数高阶齐次线性微分方程特征方程的根来获得原微分方程基本解组; 3. 介绍如何说明常系数齐次线性微分方程一组解能否构成基本解组;4. 介绍欧拉方程及其解法. [教学重难点] 重点是知道并会常系数高阶齐次线性微分方程（或欧拉方程）特征方程来获得原微分方程基本解组；难点是如何由特征方程的特征根来写出原微分方程的基本解组. [教学方法] 预习1、2；讲授3 [考核目标] 1. 能写出常系数高阶齐次线性微分方程或欧拉方程的特征方程的形式 2. 能由常系数高阶齐次线性微分方程或欧拉方程的特征方程的特征根写出原微分方程基本解组; 3. 知道试解法以及微分方程复函数解概念以及其与实函数解关系. 1.认识常系数高阶齐次线性微分方程的试解法. 例45. 考察微分方程?Skip Record If...?，由分离变量法可得其通解为?Skip Record If...?. 现考察常系数齐次线性微分方程?Skip Record If...?. 大胆假定方程具有形如?Skip Record If...?的解，将其代入原方程得到，?Skip Record If...?. 注意到?Skip Record If...?，因此?Skip Record If...?是方程的解?Skip Record If...??Skip Record If...?. 我们称代数方程?Skip Record If...?为微分方程?Skip Record If...?的特征方程. ( 如何由常系数齐次线性微分方程来写出其特征方程？) 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢2
二阶常系数非齐次微分方程典型例题 例1：y′′?5y′+6y=e?x 解：通过特征根方程可知，y′′?5y′+6y=0的通解为： y=C1e2x+C2e3x 观察通解特征，设特解y?=k e?x y?′=?k e?x ,y?′′=k e?x 代入原方程得：12ke?x=e?x, k=1 12 答案：y=C1e2x+C2e3x+1 12 e?x 例2：y′′?5y′+6y=2e3x 解：通过特征根方程可知，y′′?5y′+6y=0的通解为： y=C1e2x+C2e3x 观察通解特征，设特解y?=k xe3x y?′=k(1+3x)e3x ,y?′′=k(6+9x)e3x 代入原方程得：k e3x=2e3x ,k=2 答案：y=C1e2x+C2e3x+2xe?x 例3：y′′?5y′+6y=2x+4cos3x?e x 解：通过特征根方程可知，y′′?5y′+6y=0的通解为： y=C1e2x+C2e3x 观察通解特征，设特解y?=ax+b+ccos(3x)+dsin(3x)+ke x y?′=a?3csin3x+3dcos3x+ke x ,y?′′=?9ccos3x?9dsin3x+ke x 代入原方程得：a=1 3,b=5 18 ,c=?2 39 ,d=?10 39 ,k=?1 2 . 答案：y=C1e2x+C2e3x+1 3x+5 18 ?2 39 cos(3x)?10 39 sin(3x)?1 2 e x 例4：y′′?2y′+y=2e3x 解：通过特征根方程可知，y′′?2y′+y=0的通解为： y=C1e x+C2xe x 观察通解特征，设特解y?=k e3x y?′=3k e3x ,y?′′=9k e3x 代入原方程得：k=1 2 答案：y=C1e x+C2xe x+1 2 e x 例5：y′′?2y′+y=2e x 解：通过特征根方程可知，y′′?2y′+y=0的通解为： y=C1e x+C2xe x 观察通解特征，设特解y?=k x2e x