多边形
一、多边形
1、多边形：由一些线段首尾顺次连结组成的图形，叫做多边形。
2、多边形的边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边。
3、多边形的顶点：多边形每相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点。
4、多边形的对角线：连结多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线。
5、多边形的周长：多边形各边的长度和叫做多边形的周长。
6、凸多边形：把多边形的任何一条边向两方延长，如果多边形的其他各边都在延长线所得直线的问旁，这样的多边形叫凸多边形。
说明：一个多边形至少要有三条边，有三条边的叫做三角形；有四条边的叫做四边形；有几条边的叫做几边形。今后所说的多边形，如果不特别声明，都是指凸多边形。
7、多边形的角：多边形相邻两边所组成的角叫做多边形的内角，简称多边形的角。
8、多边形的外角：多边形的角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做多边形的外角。
注意：多边形的外角也就是与它有公共顶点的内角的邻补角。
二、平行四边形
1、平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
2、平行四边形性质定理1：平行四边形的对角相等。
3、平行四边形性质定理2：平行四边形的对边相等。
4、平行四边形性质定理2推论：夹在平行线间的平行线段相等。
5、平行四边形性质定理3：平行四边形的对角线互相平分。
6、平行四边形判定定理1：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
7、平行四边形判定定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
8、平行四边形判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形。
9、平行四边形判定定理4：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
说明：（1）平行四边形的定义、性质和判定是研究特殊平行四边形的基础。同时又是证明线段相等，角相等或两条直线互相平行的重要方法。
（2）平行四边形的定义即是平行四边形的一个性质，又是平行四边形的一个判定方法。
三、矩形
矩形是特殊的平行四边形，从运动变化的观点来看，当平行四边形的一个内角变为90°时，其它的边、角位置也都随之变化。因此矩形的性质是在平行四边形的基础上扩充的。
1、矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做短形（通常也叫做长方形）
2、矩形性质定理1：矩形的四个角都是直角。
3．矩形性质定理2：矩形的对角线相等。
4、矩形判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形。
说明：因为四边形的内角和等于360度，已知有三个角都是直角，那么第四个角必定是直角。
5、矩形判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形。
说明：要判定四边形是矩形的方法是：
法一：先证明出是平行四边形，再证出有一个直角（这是用定义证明）
法二：先证明出是平行四边形，再证出对角线相等（这是判定定理1）
法三：只需证出三个角都是直角。（这是判定定理2）
四、菱形
菱形也是特殊的平行四边形，当平行四边形的两个邻边发生变化时，即当两个邻边相等时，平行四边形变成了菱形。
1、菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
2、菱形的性质1：菱形的四条边相等。
3、菱形的性质2：菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
4、菱形判定定理1：四边都相等的四边形是菱形。
5、菱形判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
说明：要判定四边形是菱形的方法是：
法一：先证出四边形是平行四边形，再证出有一组邻边相等。（这就是定义证明）。
法二：先证出四边形是平行四边形，再证出对角线互相垂直。（这是判定定理2）
法三：只需证出四边都相等。（这是判定定理1）
五、正方形
正方形是特殊的平行四边形，当邻边和内角同时运动时，又能使平行四边形的一个内角为直角且邻边相等，这样就形成了正方形。
1、正方形：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
2、正方形性质定理1：正方形的四个角都是直角，四条边都相等。
3、正方形性质定理2：正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。
4、正方形判定定理互：两条对角线互相垂直的矩形是正方形。
5、正方形判定定理2：两条对角线相等的菱形是正方形。
注意：要判定四边形是正方形的方法有
方法一：第一步证出有一组邻边相等；第二步证出有一个角是直角；第三步证出是平行四边形。（这是用定义证明）
方法二：第一步证出对角线互相垂直；第二步证出是矩形。（这是判定定理1）
方法三：第一步证出对角线相等；第二步证出是菱形。（这是判定定理2）
六、梯形
1、梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。
2、梯形的底：梯形中平行的两边叫做梯形的底（通常把较短的底叫做上底，较长的边叫做下底）
3、梯形的腰：梯形中不平行的两边叫做梯形的腰。
4、梯形的高：梯形有两底的距离叫做梯形的高。
5、直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。
6、等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形。
7、等腰梯形性质定理1：等腰梯形在同一底上的两个角相等。
8、等腰梯形性质定理2：等腰梯形的两条对角线相等。
9、等腰梯形的判定定理l。：在同一个底上钩两个角相等的梯形是等腰梯形。
10、等腰梯形的判定定理2：对角线相等的梯形是等腰梯形。
研究等腰梯形常用的方法有：化为一个等腰三角形和一个平行四边形；或两个全等的直角三角形和一矩形；或作对角线的平行线交下底的延长线于一点；或延长两腰交于一点。
七、中位线
1、三角形的中位线连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
说明：三角形的中位线与三角形的中线不同。
2、梯形的中位线：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形中位线。
3、三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
4、梯形中位线定理：梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。
八、多边形的面积
说明：多边形的面积常用的求法有：
（1）将任意一个平面图形划分为若干部分再通过求部分的面积的和，求出原来图形的面积这种方法叫做分割法。如图3－l，作六边形的最长的一条对角线，从其它各顶点向这条对角线引垂线，把六边形分成四个直角三角形和两个直角梯形，计算它们的面积再相加。
（2）将一个平面图形的某一部分割下来移放在另一个适当的位置上，从而改变原来图形的形状。利用计算变形后的图形的面积来求原图形的面积的这种方法。叫做割补法。
（3）将一个平面图形通过拼补某一图形，使它变为另一个图形，利用新的图形减去所补充图形的面积，来求出原来图形面积的这种方法叫做拼凑法。
注意：两个图形全等，它们的面积相等。等底等高的三角面积相等。一个图形的面积等于它的各部分面积的和。
6．4多边形的内角和与外角和 1．理解多边形内角和公式的推导过程，并掌握多边形的内角和与外角和公式；(重点) 2．灵活运用多边形的内角和与外角和定理解决有关问题．(难点) 一、情境导入 多媒体演示：清晨，小明沿一个多边形广场周围的小路按逆时针方向跑步． 提出问题： (1)小明是沿着几边形的广场在跑步？ (2)你知道这个多边形的各部分的名称吗？ (3)你会求这个多边形的内角和吗？ 导入：小明每从一条小路转到下一条小路时，身体总要转过一个角，你知道是哪些角吗？ 你知道它们的和吗？就让我们带着这些问题同小明一起走进今天的课堂． 二、合作探究 探究点一：多边形的内角和定理 【类型一】利用内角和求边数 一个多边形的内角和为540°，则它是() A．四边形B．五边形 C．六边形D．七边形 解析：熟记多边形的内角和公式(n－2)·180°.设它是n边形，根据题意得(n－2)·180＝540，解得n＝5.故选B. 方法总结：熟记多边形的内角和公式是解题的关键． 【类型二】求多边形的内角和 一个多边形的内角和为1800°，截去一个角后，得到的多边形的内角和为() A．1620°B．1800° C．1980°D．以上答案都有可能 解析：1800÷180＝10，∴原多边形边数为10＋2＝12.∵一个多边形截去一个内角后，边数可能减1，可能不变，也可能加1，∴新多边形的边数可能是11，12，13，∴新多边形的内角和可能是1620°，1800°，1980°.故选D. 方法总结：一个多边形截去一个内角后，边数可能减1，可能不变，也可能加1.根据多
边形的内角和公式求出原多边形的边数是解题的关键． 【类型三】复杂图形中的角度计算 如图，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝() A．450°B．540° C．630°D．720° 解析：如图，∵∠3＋∠4＝∠8＋∠9，∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝∠1＋∠2＋∠8＋∠9＋∠5＋∠6＋∠7＝540°，故选B. 方法总结：本题考查了灵活运用五边形的内角和定理和三角形内外角关系．根据图形特点，将问题转化为熟知的问题，体现了转化思想的优越性． 【类型四】利用方程和不等式确定多边形的边数 一个同学在进行多边形的内角和计算时，求得内角和为1125°，当他发现错了以 后，重新检查，发现少算了一个内角，问这个内角是多少度？他求的是几边形的内角和？ 解析：本题首先由题意找出不等关系列出不等式，进而求出这一内角的取值范围；然后可确定这一内角的度数，进一步得出这个多边形的边数． 解：设此多边形的内角和为x，则有1125°＜x＜1125°＋180°，即180°×6＋45°＜x ＜180°×7＋45°，因为x为多边形的内角和，所以它是180°的倍数，所以x＝180°×7＝1260°.所以7＋2＝9，1260°－1125°＝135°.因此，漏加的这个内角是135°，这个多边形是九边形． 方法总结：解题的关键是由题意列出不等式求出这个少算的内角的取值范围． 探究点二：多边形的外角和定理 【类型一】已知各相等外角的度数，求多边形的边数 正多边形的一个外角等于36°，则该多边形是正() A．八边形B．九边形 C．十边形D．十一边形 解析：正多边形的边数为360°÷36°＝10，则这个多边形是正十边形．故选C. 方法总结：如果已知正多边形的一个外角，求边数可直接利用外角和除以这个角即可． 【类型二】多边形内角和与外角和的综合运用 一个多边形的内角和与外角和的和为540°，则它是() A．五边形B．四边形 C．三角形D．不能确定 解析：设这个多边形的边数为n，则依题意可得(n－2)×180°＋360°＝540°，解得n＝3，∴这个多边形是三角形．故选C. 方法总结：熟练掌握多边形的内角和定理及外角和定理，解题的关键是由已知等量关系
第二十四讲 多边形的内角和与外角和 【要点梳理】 知识点一、多边形的概念 1．定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形． 2．相关概念： 边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边． 顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点． 内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n 边形有n 个内角. 外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角. 对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． 3. 多边形的分类:画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形．如图： 要点诠释： (1)正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可； (2)过n 边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，n 边形对角线的条数为(3)2 n n -； (3)过n 边形的一个顶点的对角线可以把n 边形分成(n-2)个三角形． 知识点二、多边形内角和 n 边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3)． 要点诠释： (1)内角和公式的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；(2)正多边形的每个内角都相等，都等于(2)180n n -g °； 知识点三、多边形的外角和 多边形的外角和为360°． 要点诠释： (1)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n 边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关； (2)正n 边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于360n °； (3)多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数求各相等外角的度数． 凸多边形 凹多边 形
探索多边形的内角和与外角和 一、内容综述： 多边形（n边形）：由n条不在同一直线上的线段首尾顺次连接组成的平面图形。 凸多边形：如果沿着多边形任何一条边作直线，多边形均在直线的同侧。 凹多边型：多边形存在若干这样的边，如果沿着这条边作直线，多边形在直线的两侧。 正多边形：多边形的各边都相等且各角都相等。 对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段。 n边形的内角和=(n-2)·180°。 任意多边形的外角和都为360°（外角和是指：每个顶点取且只取一个外角）。 注意：(1)多边形的内角和仅与边数有关，与多边形的大小、形状无关； (2)凸多边形的内角α的范围：0°＜α＜180°。 二、例题分析： 例1．(1)22边形的内角和是多少度？若它的每一个内角都相等，那么它的每个外角度数是多少？ (2)几边形的内角和是八边形内角和的2倍？ (3)几边形的内角和是2160°？是否存在一个多边形内角和为1000°？ (4)已知一个多边形，它的内角和等于外角和的2倍，求边数． 分析：以上基础知识的掌握是解决下列问题的关键，通常利用方程的思想解决。 解：（1）（22-2）×180°=3600° 3600°÷22=（）° 180°-（）°=（）° （2）设n边形的内角和是八边形内角和的2倍 则（n-2）×180°=2×（8-2）×180° n=14 （3）设n边形的内角和是2160° 则（n-2）×180°=2160°
n=14 设n边形内角和为1000°，则（n-2）×180°=1000° 因为n不是整数，不符合题意。 所以假设不成立，故不存在一个多边形内角和为1000° (4)因为一个多边形内角和等于外角和的2倍，所以：设边数为n。 根据题意得：（n-2）×180°=2×360°，n=6 例2．(1)已知多边形的每个内角都是135°，求这个多边形的边数； (2)每个外角都相等的多边形，如果它的一个内角等于一个外角的9倍，求这个多边形的边数 分析：利用每一个内角和它的外角互补的关系 解：（1）因为多边形的每个内角都是135°， 所以它的每一个外角都是45°， 360°÷45°=8，这个多边形是8边形。 （2）因为每个外角都相等，则每一个内角也都相等。 设外角为x则内角为9x，因为每一个内角与它的外角互为邻补角， 所以：x+ 9x=180° x=18° 因为多边形的外角和为360°， 所以360°÷18°=20，此多边形为20边形。 例3．(1)某多边形除一个内角α外，其余内角的和是2750°．求这个多边形的边数． (2)已知n边形恰有四个内角是钝角．这种多边形共有多少个？其中边数最少的是几边形？边数最多的是 几边形？ 解：（1）因为凸多边形的每一个内角α的范围是：0°＜α＜180°， 所以设这个多边形的边数为n， 2750°+0°＜(n-2)×180°＜2750°+180° 因为n为整数，所以n=18。 （2）解：因为n边形恰有四个内角是钝角，所以n边形恰有四个外角是锐角， 由于n边形个外角和是360°，所以外角中最多有3个钝角， ①若n边形恰有四个外角是锐角和一个钝角，则是五边形；
多边形内角和与外角和（提高）知识讲解 【学习目标】 1.理解多边形的概念； 2.掌握多边形内角和与外角和公式； 3.灵活运用多边形内角和与外角和公式解决有关问题，体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法，进一步培养说理和进行简单推理的能力. 【要点梳理】 知识点一、多边形的概念 1．定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次联接结所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形． 2．相关概念： 边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边． 顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点． 内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n 边形有n 个内角。 外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。 对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． 3. 多边形的分类:画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形。如图： 要点诠释： (1)正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可； (2)过n 边形的一个顶点可以引(n -3)条对角线，n 边形对角线的条数为(3)2 n n ； (3)过n 边形的一个顶点的对角线可以把n 边形分成(n -2)个三角形． 知识点二、多边形内角和定理 n 边形的内角和为(n-2)·180°(n ≥3)． 要点诠释： (1)内角和定理的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数； 凸多边形 凹多边形
(2)正多边形的每个内角都相等，都等于(2)180 n n ° ； 知识点三、多边形的外角和 多边形的外角和为360°． 要点诠释： (1)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关； (2)正n边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于360 n ° ； (3)多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数求各相等外角的度数． 【典型例题】 类型一、多边形的概念 1．同学们在平时的数学活动中会遇到这样一个问题：把正方形纸片截去一个角后，还剩多少角，余下的图形是几边形，亲爱的同学们，你知道吗? 【答案与解析】 解：这个问题，我们可以用图来说明． 按图(1)所示方式去截，不经过点B和D，还剩五个角，即得到一个五边形． 按图(2)所示方式去截，经过点D(或点B)．不经过点B(或点D)，还剩4个角，即得到一个四边形． 按图(3)所示方式去截，经过点D、点B，则剩下3个角，即得到三角形． 答：余下的图形是五边形或四边形或三角形． 【总结升华】一个n边形剪去一个角后，可能是(n+1)边形，也可能是n边形，也可能是(n-1)边形，利用它我们可以解决一些具体问题． 举一反三： 【变式1】如图，四边形ABCD中，∠B＝40°，沿直线MN剪去∠B，则所得五边形AEFCD中，∠1+∠2＝。 【答案】220° 【变式2】一个多边形共有20条对角线，则多边形的边数是（）. A.6 B.7 C.8 D.9 【答案】C.
《多边形的内角和与外角和》教案 第1课时 教学目标 (一)教学知识点： 1．理解多边形的定义． 2．掌握多边形的内角和公式． (二)能力训练要求 1．经历探索多边形内角和公式的过程，进一步发展学生的合情推理意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系． 2．探索并了解多边形的内角和公式，进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力． (三)情感与价值观要求 经历探索多边形内角和的过程，进一步发展学生合情推理意识、主动探究习惯，进一步体会数学与现时生活的紧密联系． 教学重难点 教学重点：多边形的内角和． 教学难点：探索多边形的内角和公式过程． 教学过程： 一．巧设情景问题，引入课题： 引导学生回忆已经学过哪些图形？书桌面是什么形状？作业本的每一张是什么形状？ 提问：若把长方形的一张纸剪去一角，会出现什么形状的图形，并指导．(学生讨论并得出结论：三角形，四边形，五边形) 二．讲授新课 1．多边形的定义：在平面内，由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做多边形．在定义中应注意：①若干条；②首尾顺次相连，二者缺一不可．多边形有凸多边形和凹多边形之分，如图． 把多边形的任何一边向两方延长，如果其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的多边形叫做凸多边形(如图(2))，图(1)的多边形是凹多边形，我们探讨的一般都是凸多边形．
多边形的边、内角、顶点、对角线、内角和的含义与三角形相同，即： 边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边． 顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点． 对角线：在多边形中，连结不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线． 内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角． 如图(3) 多边形通常以边数命名，多边形有n条边就叫做n边形．三角形、四边形都属于多边形，其中三角形是边数最少的多边形．多边形的表示方法与三角形、四边形类似．可以用表示它的顶点的字母来表示，如可顺时针方向表示，也可逆时针方向表示，如图(3)，可表示为五边形ABCDE，也可表示为五形EDCBA． 好，我们了解了多边形的有关概念后，看一幅图及问题． (1)一个五边形，你能设法求出它的五个内角的和吗？与同伴交流． (2)小明、小亮分别利用下面的图形求出了该五边形的五个内角的和．你知道他们是怎么做的吗？ (3)还有其他的方法吗？ (学生讨论、画图、归纳自己的方法) 在求五边形的内角和时，先把五边形转化成三角形．进而求出内角和，这种由未知转化为已知的思想在数学中经常用到． (从n边形的一个顶点出发，向自身和相邻的两个顶点无法引对角线，向其他顶点共引(n －3)条对角线，这时n边形被分割成(n－2)个三角形，因为每个三角形的内角和是180°，所以n边形的内角和为(n－2)·180°)
9.2多边形的内角和与外角和(1)(学案) 学习目标: 1.理解多边形及正多边形的定义. 2.掌握多边形的内角和公式. 课堂研讨： （一）认识多边形 1、多边形的定义：在平面内，由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做多边形.在定义中应注意：①不在同一条直线上；②首尾顺次相连，二者缺一不可. 多边形有凸多边形和凹多边形之分，如图. 把多边形的任何一边向两方延长，如果其 他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的多边形叫做凸多边形(如图(2))图(1)的多边形是凹多边形我们探讨的一般都是凸多边形. 2、认识多边形的边、内角、顶点、对角；如线图（3）。 3、五边形、六边形分别有多少个内角？多少个外角？n 边形呢？ （二）探索多边形的内角和 活动1：从多边形的一个顶点引对角线来探索多边形的内角和 边数 图形 从某顶点出发的对角线条数 划分成的三角形个数 多边形的内角和 3 0 1 1×180° 4 1 2 2×180° 5 6 … … … … … n
总结：多边形的内角和公式（n≥3） 巩固练习 1、求一个八边形的内角和？ 2、已知一个多边形的内角和为1800°，那么这是个几边形？ （三）正多边形 定义：在平面内，各内角都、各边也都的多边形叫做正多边形。议一议： （1）一个多边形的边都相等，它的内角一定都相等吗？ （2）一个多边形的内角都相等，它的边一定都相等吗？ 结论：、两者缺一不可。 （四）随堂练习 1、n边形的内角和等于__________，九边形的内角和等于___________。 2、如果一个多边形的内角和是1440度，那么这是边形。 3、已知多边形的每个内角都等于150°，求这个多边形的边数？ 4、一个多边形从一个顶点可引对角线3条，这个多边形内角和等于（）A:360° B:540° C:720° D:900° 5.一个正多边形其周长为96，且内角和为1800°则这个多边形的边长 为。 （五）小结： 本节课你有哪些收获？ 你能确定多边形的对角线的条数吗？ 教学反思：
多边形的内角和与外角和 基础巩固题 一、填空题 1.若一凸多边形的内角和等于它的外角和,则它的边数是______. 2.五边形的内角和等于______度. 3.十边形的对角线有_____条. 4.正十五边形的每一个内角等于_______度. 5.内角和是1620°的多边形的边数是________. 6.用正n边形拼地板,则n的值可能是_______. 二、选择题 7.一个多边形的内角和是720°,则这个多边形是( ) A.四边形 B.五边形 C.六边形 D.七边形 8.一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°,这个多边形的边数是( ) A.5 B.6 C.7 D.8 9.若正n边形的一个外角为60°,则n的值是( ) A.4 B.5 C.6 D.8 10.下列角度中,不能成为多边形内角和的是( ) A.600° B.720° C.900° D.1080° 11.若一个多边形的内角和与外角和之和是1800°,则此多边形是( ) A.八边形 B.十边形 C.十二边形 D.十四边形 12.用下列两种正多边形能拼地板的是( ) A.正三角形和正八边形 B.正方形和正八边形 C.正六边形和正八边形 D.正十边形和正八边形 三、解答题 13.一个多边形的每一个外角都等于45°,求这个多边形的内角和.
14.已知一个多边形的内角和是1440°,求这个多边形的对角线的条数. 15.一个多边形,除一个内角外,其余各内角之和等于1000°,求这个内角及多边形的边数. 强化提高题 16.一个多边形中,每个内角都相等,并且每个外角等于它的相邻内角的2 3 , 求这个多边形 的边数及内角和. 17.如图,一个六边形的六个内角都是120°,AB=1,BC=CD=3,DE=2,求该六边形的周长.
多边形的内角和与外角和 ?基础巩固题 一、填空题 1.若一凸多边形的内角和等于它的外角和,则它的边数是______. 2.五边形的内角和等于______度. 3.十边形的对角线有_____条. 4.正十五边形的每一个内角等于_______度. 5.内角和是1620°的多边形的边数是________. 6.用正n边形拼地板,则n的值可能是_______. 二、选择题 7.一个多边形的内角和是720°,则这个多边形是( ) A.四边形 B.五边形 C.六边形 D.七边形 8.一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°,这个多边形的边数是( ) A.5 B.6 C.7 D.8 9.若正n边形的一个外角为60°,则n的值是( ) A.4 B.5 C.6 D.8 10.下列角度中,不能成为多边形内角和的是( ) A.600° B.720° C.900° D.1080° 11.若一个多边形的内角和与外角和之和是1800°,则此多边形是( ) A.八边形 B.十边形 C.十二边形 D.十四边形 12.用下列两种正多边形能拼地板的是( ) A.正三角形和正八边形 B.正方形和正八边形 C.正六边形和正八边形 D.正十边形和正八边形 三、解答题 13.一个多边形的每一个外角都等于45°,求这个多边形的内角和. 14.已知一个多边形的内角和是1440°,求这个多边形的对角线的条数.
15.一个多边形,除一个内角外,其余各内角之和等于1000°,求这个内角及多边形的边数. ? 强化提高题 16.一个多边形中,每个内角都相等,并且每个外角等于它的相邻内角的 23 , 求这个多边形的边数及内角和. 17.如图,一个六边形的六个内角都是120°,AB=1,BC=CD=3,DE=2,求该六边形的周长. E F D B C A
22.8多边形的内角和与外角和 滦县第五中学王丽娟
22.8多边形的内角和与外角和 课题：多边形的内角和与外角和 一．教学目标 1.理解多边形的定义. 2.掌握多边形的内角和与外角和 3.经历探索多边形内角和与外角和公式的过程，进一步发展学生说理能力和简单的推理能力 4.通过师生共同活动，训练学生的发散性思维，培养学生的创新精神. 二．教学重点 多边形的内角和与外角和. 三．教学难点 多边形的内角和的公式推导. 四．教学方法 启发、讨论式. 六．教学过程 （一）巧设情景问题，引入课题 ［师］前面我们学习了三角形、平行四边形，今天我们要学习什么内容呢？请看大屏幕(出示投影片) ［师］刚才大家看到许多实物图片，它与数学图形联系起来，你知道它们各是什么图形？ ［生］三角形、四边形、五边形、六边形、八边形. （二）新课讲解 1、介绍概念 ［师］对，这些在日常生活中经常看到的图形，就是我们这节课要研究的内容——多边形 ［师］请看大屏幕，什么叫多边形呢？多边形是由一些不在同一直线上的线段依次首尾相连组成的封闭图形. 我们在初中阶段主要探讨的平面几何.所以现在定义的多边形应在同一平面内，即： 在平面内，由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做多边形. 在定义中应注意：①若干条；②首尾顺次相连，二者缺一不可. 多边形的边、内角、顶点、对角线、内角和的含义与三角形相同，即： 边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边. 顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点. 对角线：在多边形中，连结不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线. 内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角. 如图
多边形内角和与外角和的几个应用 1．已知边数求内角和与内角度数． 例1．(1)22边形的内角和是多少度？若它的每一个内角都相等，那么它的每个外角度数是多少？(2)几边形的内角和是八边形内角和的2倍？ 分析： ①引导学生利用方程的思想，要根据多边形的内角和、外角和的性质及题目中 提供的等量关系得出关于未知数的方程去求解． ②灵活运用“多边形的外角和与边数无关的性质”简化计算． 解:⑴根据n边形的内角和度数(n-2)·180°，得 (22-2)·180°=3600° 由于多边形的外角和度数为360°，所以360180 2211 = o o ． ⑵设n边形的内角和是八边形内角和的2倍，得 (n-2)·180°=2×(8-2)×180° ∴n=14 答: 14边形的内角和是八边形内角和的2倍． 2．已知内角和求边数． 例2．⑴几边形的内角和是2160?？是否存在一个多边形的内角和为1000?？⑵已知一个多边形，它的内角等于外角的2倍，求边数． 分析: ①对于利用多边形内角和公式反求边数的题目，需注意：只有求出的边数n是大于2的正整数时，问题才有解； ③灵活运用“多边形的外角和与边数无关的性质”简化计算． 解: 设该多边形为n边形，依题意得 (n-2)·180°=2160° ∴n=14 不存在这样的多边形，理由如下: 假设存在这样的n边形，依题意得 (n-2)·180°=1000°
∴ n =689 ∵ 多边形的边数为正整数 ∴不存在这样的多边形． 3． 已知各相等内角与外角度数求多边形边数 例3． ⑴ 已知多边形的每个内角都是135?，求这个多边形的边数； ⑵ 每个外角都相等的多边形，如果它的一个内角等于一个外角的9倍，求这个多边形的边数． 分析： ① 每个内角或外角都相等的多边形，它的每个内角为(2)180n n -?o ，每个外角为360n o ，利用这两点就可以列出关于边数n 的方程，其中第二种方法较为简单． ② 对于第(1)题，可将“每个内角都135?”转化为“每个外角都是45?”，从而利用360n o =45?，得出n 的值为8． ③ 若设边数为n ，则方程为(2)180n n -?o =9?n ο 360，得出n =20． 解: ⑴ ∵ 多边形的每个内角都是135?， ∴ 它的每个外角度数为45?． 根据多边形外角度数为360? ∴ n =36045 o o =8 ∴ 这个多边形的边数为8． ⑵ 设该多边形的边树为n ，依题意得 (2)180n n -?o =9?n ο 360，∴ n =20．
龙文教育一对一讲义 教师:学生：日期:星期:时段:课题多边形的内角和与外角和 学习目标与分析目标:会求多边形的内角和,会根据多边形的外交和求相应的边角关系。 考点:1)多年形内角和公式：(n-2）*18０0 2)多年形外角和为36０0 学习重点重点：会运用多边形的内角和公式进行相关的计算。 难点：运用外角和定理,内角和公式求多边形的边角关系。 学习方法讲授与练习，归纳与总结 学习内容与过程教师分析与批改1.12边形内角和是_＿_____ 2．已知一个多边形的每个内角为1４0度则这个多边形是—————边形 3.若这多边形边数加1则这多边形的内角和增加—— 4．在四边形ABＣD中四个内角度数比为2:3:4：3则每个内角————— 5.下列角中能成为一个多边形内角和的是———— A 270度 B ５6０度 C 18０0度Ｄ1９0０度 6. 如果一个多边形的每个外角都等于40°，则这个多边形的内角和是多少？ 7.如果一个多边形的每一个内角都等于150°,则这个多边形的边数是多少？ ８.如图：求正五边形的每一个外角以及每一个内角的度数 各是多少度? 学习内容与过程教师分析与批改
９.如图，Ｄ是△ＡBＣ的BC边上一点， ∠Ｂ=∠BＡＤ，∠ADC＝80°， ∠BＡC＝７0°. 求:（1）∠B的度数； （２）∠C的度数． 10、一个零件的形状如图所示,按规定∠A应等于9０0, ∠Ｂ和∠Ｃ应分别是21０和3２０,检验工人量得∠BDＣ＝1480,就断定这个零件不合格．运用你学过的三角形的有关知识说明零件不合格的理由. １1. (1）如图(甲）,在五角星图形中,求∠A+∠B+ ∠Ｃ+ ∠D+ ∠E的度数。 (2）把图(乙)、（丙)叫蜕 化的五角星,问它们的五 角之和与五角星图形的五 角之和仍相等吗?为什么?
6．4 多边形的内角和与外角和 1．理解多边形内角和公式的推导过程，并掌握多边形的内角和与外角和公式；(重点) 2．灵活运用多边形的内角和与外角和定理解决有关问题．(难点 ) 一、情境导入 多媒体演示：清晨，小明沿一个多边形广场周围的小路按逆时针方向跑步． 提出问题： (1)小明是沿着几边形的广场在跑步？ (2)你知道这个多边形的各部分的名称吗？ (3)你会求这个多边形的内角和吗？ 导入：小明每从一条小路转到下一条小路时，身体总要转过一个角，你知道是哪些角吗？ 你知道它们的和吗？就让我们带着这些问题同小明一起走进今天的课堂． 二、合作探究 探究点一：多边形的内角和定理 【类型一】 利用内角和求边数 一个多边形的内角和为540°，则 它是( ) A ．四边形 B ．五边形 C ．六边形 D ．七边形 解析：熟记多边形的内角和公式(n －2)·180°.设它是n 边形，根据题意得(n －2)·180＝540，解得n ＝5.故选B. 方法总结：熟记多边形的内角和公式是解题的关键． 【类型二】 求多边形的内角和 一个多边形的内角和为1800°， 截去一个角后，得到的多边形的内角和为( ) A ．1620° B ．1800° C ．1980° D ．以上答案都有可能 解析：1800÷180＝10，∴原多边形边数为10＋2＝12.∵一个多边形截去一个内角后，边数可能减1，可能不变，也可能加1，∴新多边形的边数可能是11，12，13，∴新多边形的内角和可能是1620°，1800°，1980°.故选D. 方法总结：一个多边形截去一个内角后，边数可能减1，可能不变，也可能加1.根据多边形的内角和公式求出原多边形的边数是解题的关键． 【类型三】 复杂图形中的角度计算 如图，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5 ＋∠6＋∠7＝( ) A ．450° B ．540° C ．630° D ．720° 解析：如图，∵∠3＋∠4＝∠8＋∠9，∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝∠1＋∠2＋∠8＋∠9＋∠5＋∠6＋∠7＝540°，故选B. 方法总结：本题考查了灵活运用五边形的内角和定理和三角形内外角关系．根据图形特点，将问题转化为熟知的问题，体现了转化思想的优越性． 【类型四】 利用方程和不等式确定多边形的边数 一个同学在进行多边形的内角和 计算时，求得内角和为1125°，当他发现错了以后，重新检查，发现少算了一个内角，
多边形的内角与外角和 一．选择题（共13小题） 1．（2006?柳州）把一张形状是多边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分是一个四边形，则这张纸片原来的形状不可能是（） A．六边形B．五边形C．四边形D．三角形 2．如图，四边形ABCD的对角线AC⊥BD，垂足为O，且AC=12，BD=9，则四边形ABCD的面积是（） A．60 B．54 C．30 D．27 3．以线段a=7，b=8，c=9，d=11为边作四边形，可作（） A．一个B．2个C．3个D．无数个 4．如图所示，一个大长方形被两条线段AB、CD分成四个小长方形．如果其中图形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的面积分别为8、6、5，那么阴影部分的面积为（） A．B．C．D． 5．若n边形恰好有n条对角线，则n为（） A．4B．5C．6D．7 6．过一个多边形的顶点可作5条对角线，则这个多边形是（） A．六边形B．七边形C．八边形D．九边形 7．（2012?深圳）如图所示，一个60°角的三角形纸片，剪去这个60°角后，得到一个四边形，则∠1+∠2的度数为（） A．120°B．180°C．240°D．300° 8．（2010?房山区一模）如果正n边形的一个外角与和它相邻的内角之比是1：3，那么n的值是（）A．5B．6C．7D．8 9．内角的度数为整数的正n边形的个数是（）
10．如图，△ABC中，∠A=45°，点D、E分别在AB、AC上，则∠1+∠2的大小为（） A．225°B．135°C．180°D．315° 11．若一个多边形的内角和与外角和的度数比为4：1，则此多边形共有对角线（） A．35条B．40条C．10条D．50条 12．一个多边形的内角和是900°，这个多边形的边数是（） A．4B．5C．6D．7 13．若一个多边形除了一个内角外，其余各内角之和是2 570°，则这个角是（） A．90°B．15°C．120°D．130° 二．填空题（共11小题） 14．（1）若将n边形内部任意取一点P，将P与各顶点连接起来，则可将多边形分割成_________个三角形．（2）若点P取在多边形的一条边上（不是顶点），在将P与n边形各顶点连接起来，则可将多边形分割成_________个三角形． 15．若多边形不相邻顶点连线称为多边形的对角线，则五边形共有_________条对角线． 16．过m边形的一个顶点有4条对角线，n边形没有对角线，p边形有p条对角线，则（m﹣p）n=_________． 17．（2009?浔阳区模拟）如图，在△ABC中，E、F分别是AB、AC上的两点，∠1+∠2=225°，则∠A=_________度． 18．（2004?连云港）某科技小组制作了一个机器人，它能根据指令要求进行行走和旋转．某一指令规定：机器人先向前行走1米，然后左转45°，若机器人反复执行这一指令，则从出发到第一次回到原处，机器人共走了_________米．
多边形的内角和与外角和教学设计 作者：都小娟( ) 评论数/浏览数：17 / 373 发表日期：2010-12-18 09:43:36 《多边形》探索的是三角形和多边形的有关概念和性质，是学生在上学期初步认识和感受空间图形之后的延伸，也为今后进一步学习各种多边形打好基础。 一、教材分析 1、教学内容 “多边形的内角和与外角和”一节包括的内容主要有多边形的有关概念以及多边形内角和公式的推导和运用。 2、本章及本节的地位与作用 本章《多边形》探索的是三角形和多边形的有关概念和性质，是学生在上学期初步认识和感受空间图形之后的延伸，也为今后进一步学习各种多边形打好基础。 二、学生分析 学生刚刚学了三角形的有关知识，对“三角形的内角和为180°、外角和为360°”的知识有了较好的认识，加上七年级的学生好奇心、求知欲强、互相评价互相提问的积极性高。 三、教学目标及重点、难点 1、教学目标 【知识与技能】掌握多边形内角和与外角和定理，进一步了解转化的数学思想 【过程与方法】经历质疑、猜想、归纳等活动，发展学生的合情推理能力，积累数学活动的经验，在探索中学会与人合作，学会交流自己的思想和方法。 【情感态度与价值观】让学生体验猜想得到证实的成功喜悦和成就感，通过体会数学图形的美感，提高审美能力, 树立数学来源于生活，又服务于实践的观点 2、重点、难点的确定 【教学重点】多边形内角和及外角和的公式及公式的推导和运用 【教学难点】如何引导学生通过自主学习, 探索多边形内角和的公式。 四、教法和学法 【课堂组织策略】利用学生的好奇心,设疑、解疑，组织活泼互动、有效的教学活动，鼓励学生积极参与、大胆猜想、积极思考，使学生在自主探索和合作交流中理解和掌握本节课的有关内容。 【学生学习策略】明确学习目标，在教师的组织、引导、点拨下进行主动探索、实践、交流等活动。 【辅助策略】利用多媒体课件展示三角形内角和向多边形内角和转化，突破这一教学难点，另外利用演示法、归纳法、讨论法、分组竟赛法，使不同学生的知识水平得到恰当的发展和提高。 五、教学过程设计 1、创设情景、引入新课 从三角形的概念推出多边形的概念。讲清多边形分凸多边形和凹多边形，今天研究的是凸多边形。学习正多边形的概念、多边形的对角线的概念。 2、合作交流，探索新知 给出三角形和四边形内角和，让同学们自己猜想五边形，六边形的内角和。 交给同学们探究方法。 3、归纳总结、建构体系 n边形内角和为（n－2）×1800 n边形外角和为180°n－（n－2）180°＝360°
6.4 多边形的内角和与外角和 一、选择题 1．如果一个多边形的每一个内角都是108°，那么这个多边形是 ( ) A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形 2．已知一个多边形的内角和是540°，则这个多边形是 ( ) A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形 3．如果一个多边形的边数增加1倍，它的内角和是2160°，那么原来的多边形的边数是( ) A．5 B．6 C．7 D．8 4．一个多边形最少可分割成五个三角形，则它是________边形（） A．8 B．7 C．6 D．5 5．一个多边形的外角和是内角和的一半，则它的边数为（） A．7 B．6 C．5 D．4 6．一个多边形的内角和与外角和共为540°，则它的边数为（） A．5 B．4 C．3 D．不确定 7．若等角n边形的一个外角不大于40°，则n的值为（） A．n＝8 B．n＝9 C．n＞9 D．n≥9 8．中华人民共和国国旗上的五角星，它的五个锐角的度数和是（） A．50°B．100° C．180° D．200° 9．用三块正多边形的木板铺地，拼在一起并相交于一点的各边完全吻合，其中两块木板的边数都是8，则第三块木板的边数应是（） A． 4 B．5 C．6 D．8 10．如果只用正三角形作平面镶嵌（要求镶嵌的正三角形的边与另一正三角形有边重合），则在它的每一个顶点周围的正三角形的个数为（） A． 3 B． 4 C． 5 D． 6 二、填空题 11．在四边形ABCD中，∠A＝∠D，∠A∶∠B∶∠C＝3∶2∶1，则∠A＝． 12．一个多边形的内角和与外角和的比是4：1，它的边数是，顶点的个数是，对角线的条数是．
8.3多边形的内角和与外角和 一、填空题 1． 五边形的各内角度数之比为6:5:4:3:2，这个五边形的最大角和最小角的度数分别为________________. 2． 一个多边形的内角和与外角和为0 2160,这多边形的边数为________________. 3． n 边形的内角中，锐角的个数最多有____________个. 4． 从十二边形的一个顶点出发可引_________条对角线，把十二边形分成_______个三角形. 二、选择题 5．若多边形限定最多有四个钝角，则这多边形的边数最多是 ( ) (A) 5； (B)6； (C)7； (D)8. 6．若正n 边形的一个内角与正n 2边形的一个内角的和等于0270(正多边形的各内角都相等)，则n 为 ( ) (A) 7； (B)6； (C)5； (D)4. 7．一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和是0 2520，则原多边形的 边数是 ( ) (A) 13； (B)14； (C)15； (D)15或17. 8．若四边形ABCD 中，5:4:2:1:::=∠∠∠∠D C B A ，则A ∠与D ∠的度数分别是（ ） (A)0075,15； (B)00100,20； (C)00120,30； (D)00150,30. 三、解答题 9．一个多边形共有27条对角线，求：(1)这个多边形的几边形？(2)这个多边形的内角和是多少？ 10．一个多边形除了一个内角外，其余各内角之和为01999，则这个多形是几边形？ 11．若过m 边形的一个顶点有条7对角线，n 边形没有对角线，k 边形有k 条对角线，求()n k m -的值. 12．如图，五边形ABCDE 中，,EA DE CD BC AB ==== ,DEA CDE BCD B BAE ∠=∠=∠=∠=∠对角线AD 、CE 相交于F ，
9.2 多边形的内角和与外角和 【知识与技能】 1.理解多边形的概念和正多边形的概念. 2.了解多边形的内角、外角、对角线等概念.3、在熟悉和掌握多边形内角和定理的基础上，推理并掌握多边形的外角和定理. 【过程与方法】 经历质疑、猜想、归纳等活动，发展学生的推理能力，积累数学活动的经验，在探索中学会与人合作，学会和别人交流自己的思想和方法. 【情感态度】 让学生体验猜想得到证实的喜悦和成就感，在解题中感受生活中数学的存在，体验数学中充满着探索和创造. 【教学重点】 多边形内角和定理的探索和应用. 【教学难点】 多边形的内角和，外角和定理的推导. 一、情境导入，初步认识 什么叫三角形？你能说出什么叫四边形、五边形吗？三角形如何表示？四边形和五边形又是怎样表示呢？ 【教学说明】把学生的注意力自然的引入研究方向，为课题的研究做铺垫. 二、思考探究，获取新知 探究1 多边形的概念 三角形是由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形.记作：△ABC.
四边形是由四条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形.记作：四边形ABCD. 五边形是由五条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形.记作：五边形ABCDE. 一般地，由n条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形称为n 边形，又称为多边形. 注意：①我们现在只研究多边形，如图(2)，(3)； ②图(4)也是多边形，但不是我们现在研究范围. ③与三角形类似，如图(5)所示，∠A、∠D、∠C、∠ABC是四边形ABCD 的四个内角，∠CBE和∠ABF都是与∠ABC相邻的外角，两者互为对顶角，称为一对外角. 探究2 正多边形 如果多边形的各边都相等，各内角也都相等，那么就称它为正多边形. 如：正三角形、正四边形（正方形）、正五边形等.
多边形内角和与外角和（基础）知识讲解 【学习目标】 1.理解多边形的概念； 2.掌握多边形内角和与外角和公式； 3.灵活运用多边形内角和与外角和公式解决有关问题，体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法，进一步培养说理和进行简单推理的能力. 【要点梳理】 知识点一、多边形的概念 1．定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次连接结所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形． 2．相关概念： 边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边． 顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点． 内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n 边形有n 个内角. 外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角. 对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． 3. 多边形的分类:画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形．如图： 要点诠释： (1)正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可； (2)过n 边形的一个顶点可以引(n -3)条对角线，n 边形对角线的条数为(3)2 n n ； (3)过n 边形的一个顶点的对角线可以把n 边形分成(n -2)个三角形． 知识点二、多边形内角和定理 n 边形的内角和为(n-2)·180°(n ≥3)． 要点诠释： (1)内角和定理的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；凸多边形 凹多边形
(2)正多边形的每个内角都相等，都等于(2)180 n n g° ； 知识点三、多边形的外角和 多边形的外角和为360°． 要点诠释： (1)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关； (2)正n边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于360 n ° ； (3)多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数求各相等外角的度数． 【典型例题】 类型一、多边形的概念 1．（2015?重庆校级模拟）如图，正四边形有2条对角线，正五边形有5条对角线，正六边形有9条对角线，则正十边形有（）条对角线． A．27 B．35 C．40 D．44 【答案】B． 【解析】 解：当n=10时， ==35， 即凸十边形的对角线有35条． 【总结升华】本题考查了多边形的边数与对角线的条数之间的关系，熟记多边形的边数与对角线的条数的关系式是解决此类问题的关键． 举一反三： 【变式】过正十二边形的一个顶点有条对角线，一个正十二边形共有条对角线【答案】9，54。 类型二、多边形内角和定理 2.证明：n边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3)． 【思路点拨】先写出已知、求证，再画图，然后证明． 【答案与解析】 已知：n边形A1A2……A n， 求证：∠A1+∠A2+……+∠A n=180°， 证法一：如图(1)所示，在n边形内任取一点O，连O与各顶点的线段把n边形分成了n个三角形，n个三角形内角和为n·180°，减去以O为公共顶点的n个角的和2×180°(即一个周角)得n边形内角和为n·180°-2×180°-(n-2)·180°．