最新修正版
C B
A
C B
A
D
C
B
A
c
b a C
B
A
八年级下册数学复习资料 姓名
第一章 直角三角形
1、直角三角形的性质：
①直角三角形的两锐角互余
②直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半。
如图，在Rt ?ABC 中，∵CD 是斜边AB 的中线，∴1
2
CD AB =
。 例·直角三角形斜边长20cm,则此斜边上的中线为 .
③在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角
边等于斜边的一半。
如图，在Rt ?ABC 中，∵∠A=30°，∴1
2
BC AB =
。 例·在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，则下列结论中正确的是（ ）。 A ．AB=2BC B ．AB=2AC C ．AC 2+AB 2=BC 2 D ．AC 2+BC 2=AB 2
④在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么
这条直角边所对的角等于30°。
如图，在Rt ?ABC 中，∵1
2
BC AB =
，∴∠A=30°。 例·等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则顶角的度数是 。
⑤勾股定理及其逆定理
（1）勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等 于斜边c 的平方，即2
2
2
a b c +=。
求斜边，则22c a b =+；求直角边，则22a c b =-或22
b c a =-。
例·如图是拉线电线杆的示意图。已知CD ⊥AB ，，∠CAD=60°，
则拉线AC 的长是________m 。
例·若一个直角三角形的两边长分别为6和10，那么这个三角形的第三条边长是______。
（2）逆定理 如果三角形的三边长a 、b 、c 有关系222
a b c +=，那么这个三角形是直角三角形 。
分别计算“2
2
a b +”和“2
c ”，相等就是Rt ?，不相等就不是Rt ?。
例·在Rt △ABC 中，若AC=2，BC=7，AB=3，则下列结论中正确的是（ ）。
A ．∠C=90°
B ．∠B=90°
C ．△ABC 是锐角三角形
D ．△ABC 是钝角三角形
最新修正版
A D
B
C
例·一块木板如右图所示，已知AB =4，BC =3，DC =12，AD =13，90B ∠=?，木板的面积为 。
例·某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，如图所示，∠ACB=90°，AC=80米，BC=60米，若线段CD 是一条小渠，且D
点在边AB 上，?已知水渠的造价为10元/米，问D 点在距A 点多远处时，水渠的造价最低？最低造价是多少？
⑥直角三角形性质与勾股定理运用的常见图形
例·如图，梯子AB 靠在墙上，梯子的底端A 到墙根O 的距离为7m ， 梯子的顶端B 到地面的距离为24m ，现将梯子的底端A 向外移动到A ′， 使梯子的底端A ′到墙根O 的距离等于15m ．同时梯子的顶端B 下降 至B ′，那么
BB ′的长度是多少？
G
F E
D C B
A 例·如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂A
B 长为40cm ，灯罩B
C 长为30cm ，底座厚度为2cm ，灯臂与底座构成的∠BAD=60°，使用发现，光线最佳时灯罩BC 与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C 到桌面的高度CE 是多少cm ？（结果精确到0.1cm ，参考数据：
≈1.732）
2、直角三角形的判定
①有两个角互余的三角形是直角三角形
②在三角形中，如果一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 ③如果三角形的三边长a 、b 、c 有关系2
2
2
a b c +=，那么这个三角形是直角三角形 。
例·若一个三角形三边满足ab c b a 2)(22=-+，则这个三角形是 三角形.
例·若∠A ：∠B:∠C=2:3:5,则△ABC 是_________三角形
例·已知a,b,c 是三角形的三边长，如果满足2a 2
+2b 2
+2c 2
-2ab -2bc -2ac =0，则三角形的形状是（ ）
A 、底与边不相等的等腰三角形
B 、等边三角形
C 、钝角三角形
D 、直角三角形 3、直角三角形全等
方法：SAS 、ASA 、SSS 、AAS 、HL 。
例·如图，在ΔABC 中，D 为BC 的中点，DE ⊥BC 交∠BAC 的平分线AE 于点E ，EF ⊥AB 于点F ，EG ⊥AC 的延长线于点G 。 求证：BF=CG 。
P
E D
C B
A
E
D
C
B
A
P F E
D
C B
2
1
A 4、角平分线的性质
角平分线的性质定理： 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 如图，∵AD 是∠BAC 的平分线（或∠1=∠2），PE ⊥AC ，PF ⊥AB ∴PE=PF
角平分线判定定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。 例·如图，在ΔABC 中，∠C=90°∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D, 若BD=10厘米，BC=8厘米，DC=6厘米，则点D 到直线AB 的距 离是________厘米。
例·如图：在△ABC 中，O 是∠ABC 与∠ACB 的平分线的交点。 求证：点O 在∠A 的平分线上。
例·如图，在△ABC 中，∠B =90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，BC =10cm ，CD =6cm ，则点D 到AC 的距离是： 。
例·如图，在Rt △ABC 中，AC =4，BC =3，AB =5，点P 是三角形内桑内角平分线的交点，则点P 到AB 的距离是： 。
5
、线段垂直平分线
线段垂直平分线：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 。 如图，∵CD 是线段AB 的垂直平分线，
∴PA=PB
例·如图，△ABC 中，DE 是AB 的垂直平分线，AE=4cm ，△ABC 的周长是18 cm ，则△BDC 的周长是＿＿。
例·已知：如图，求作点P ，使点P 到A 、B 两点的距离相等，
且P 到∠MON 两边的距离也相等．
O
C B
A
O
N
M · · A B 第1题
B
C
A
A
B
C
D D
E 第2题
第二章 四边形
1、多边形内角和公式：n 边形的内角和=(n －2)·180o
n 2180n =
+?
内角和
求边形的方法：
任意多边形外角和等于360o
四边形具有不稳定性，三角形具有稳定性。
例·一个多边形的内角和为12600，它是 边形。 例·已知一个多边形的内角和是外角和的5倍，它是 边形。
2、中心对称：（在直角坐标系中即关于原点对称，其横、纵坐标都互为相反数） 成中心对称的两个图形中，对应点得连线经过对称中心，且被对称中心平分 会画与某某图形成中心对称图形
会辨别图形、实物、汉字、英文字母、扑克等是否中心对称图形 例·下列几张扑克牌中，中心对称图形的有________张
例· 在字母C 、H 、V 、M 、S 中是中心对称图形的是 例·下列既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A: 等边三角形 B : 平行四边形 C: 等腰梯形 D : 矩形 例·下列图案是中心对称图形，不是轴对称图形的是（ ）．
例·如图，在边长为1个单位长度的小正
方形组成的网格中，给出了格点△ABC （顶点是网格线的交点）和点A 1. 画出△ABC 关于点1A 的中心对称图形.
o
B A D
C
B A D
C F
E
C
B
A 3、三角形的中位线
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。 如图，在⊿ABC 中，∵E 是AB 的中点，F 是AC 的中点， ∴EF 是⊿ABC 的中位线 ∴EF ‖BC ，
1
2EF BC
例·如图，□ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，点E 是BC
的中点．若OE=3 cm ，则AB 的长为
例·已知△ABC 三边的长分别为10、12、16，那么这个三角形的三条中位线所围成的三角形的周长等于（ ）
A 、 38
B 、19
C 、17
D 、21 4、特殊四边形的性质与判定
平行四边形的性质： 边（对边相等且平行） 角（对角相等，邻角互补）
对角线（对角线互相平分） 不是轴对称图形，是中心对称图形
平行四边形判定：
定义判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形
如图，∵ AB ‖CD ，AD ‖BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形 方法1 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
如图，∵ AB=CD ，AD=BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形 方法2 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
如图，∵∠A=∠C ，∠B=∠D ，∴四边形ABCD 是平行四边形
方法3 一组对边平行相等的四边形是平行四边形 如图，∵ AB ‖CD ，AB=CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形
或∵AD ‖BC ，AD=BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形
方法4 对角线互相平分的四边形是平行四边形
如图，∵ OA=OC ，OB=OD ，∴四边形ABCD 是平行四边形
例·如图，在□ABCD 中，点E 是AD 的中点，BE 的延长线与CD 的延长线交于点F 。试连结BD 、AF ，判断四边形ABDF 的形状，并证明你的结论．
例·如图，已知BE ∥DF ，∠ADF=∠CBE ，AF=CE ，求证：四边形DEBF 是平行四边形．
E
A N M F C B
O
矩形的性质：边（对边相等且平行） 角（四个角都是直角）
对角线（对角线互相平分且相等） 是轴对称图形，也是中心对称图形
矩形的判定： 定义判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形 方法1 有三个角是直角的四边形是矩形 方法2 对角线相等的平行四边形是矩形
例·如图，△ABC 中，点O 为AC 边上的一个动点，过点O 作
直线MN ∥BC ，设MN 交∠BCA 的外角平分线CF 于点F ，交∠ACB 内角平分线CE 于E ． （1）当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？并证明你的结论；
（2）猜想△ABC 是何形状三角形时，矩形AECF 会是正方形？并证明你的结论。
例·如图16，矩形ABCD 沿着直线BD 折叠，使点C 落在C ′处，BC ′交AD 于点E ，AD=8，AB=4，则DE 的长为 。
例·如图所示，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，∠AOB=60°，AB=2，则矩形的对角线AC 的长是 ．
菱形的性质：边（四条边相等） 角（对角相等，邻角互补）
对角线（对角线互相平分且垂直） 是轴对称图形，也是中心对称图形 菱形的面积等于两条对角线的长度乘积的一半
菱形的判定：
定义判定： 一组邻边相等的平行四边形是菱形 方法1 四边都相等的四边形是菱形
方法2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
例·已知矩形ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD 、BC 分别相交于E 、F. 求证:四边形AFCE 为菱形
例·矩形ABCD 的对角线相交于O ，AB=6，AC=10，则面积为 例·菱形的周长为20，一条对角线长为6，则其面积为
正主形的性质：边（四条边相等） 角（四个角都是直角）
对角线（对角线互相平分且垂直相等） 是轴对称图形，也是中心对称图形
正方形的判定：
定义判定： 一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形 方法1 有一个角是直角的菱形是正方形 方法2 有一组邻边相等的矩形是正方形
例·正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
A: 对角线互相平分 B 对角线相等 C:对角线平分一组对角 D:对角线互相垂直 例·顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得的四边形是
例·如图，把一个长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个正方形，剪刀与
折痕所成的角的度数应为( ) A.60°B.30° C.45° D.90°
例·下列说法错误的是（ ）
A 对角线互相垂直平分的四边形是菱形
B 对角线平分且相等的四边形是矩形
C:对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 D 对角线互相平分的四边形是平行四边形。
例·如图，在正方形ABCD 的外侧，作等边△ADE ， 则∠AEB=_______．
例·如图为四边形、平行四边形、矩形、正方形菱形、梯形集合示意图，请将字母所代表的图形分别填入下表：
A B C D E
F
A B C D F
E O
5、平面图形的镶嵌
关键：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角。
例·只用下列正多边形地砖中的一种，能够铺满地面的是（）
A.正十边形
B.正八边形
C.正六边形
D.正五边形
例·在下列四种边长均为a的正多边形中：正方形、正五边形、正六边形、正八边形。能与边长为a的正三边形作平面镶嵌的是.
第三章图形与坐标
1、有序实数对（4，2）4－横坐标2－纵坐标
2、平面直角坐标系（横轴X轴）（纵轴Y轴）（原点O）（方向）（单位长度）
第一象限（+，+）第二象限（—，+）第三象限（—，—）第四象限（+，—）例·在平面直角坐标系中，点P（-2，3）在（）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
例·若点P（a，b）在第四象限，则点Q（-a，b-1）在（）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3、方位角：北偏西60°南偏东30°
4、点的对称性：
关于x轴对称的点，横坐标相反，纵坐标相等；
关于y轴对称的点，横坐标相等，纵坐标相反；
关于原点对称的点，横、纵坐标都相反。
若直角坐标系内一点P（a，b），则P关于x轴对称的点为P1（a，－b），
P关于y轴对称的点为P2（－a，b），关于原点对称的点为P3（－a，－b）。
解题方法：相等时用“=”连结，相反时两式相加=0。
例·点M（2，-3）关于y轴的对称点N的坐标是（）
A．（-2，-3） B．（-2，3） C．（2，3） D．（-3，2）
例·如果点P(m + 3，m + 1)在x轴上，则点P坐标为( )
A．(0，－2) B．(2，0) C．(4，0) D．(0，－4)
例·已知A、B两点的坐标分别是（-2,3）和（2,3），则下面四个结论：①A、B关于x轴对称；②A、B关于y轴对称；③A、B关于原点对称；④A、B之间的距离为4。其中正确的有个。
例·已知点A（m-1，3）与点B（2，n-1）关于x轴对称，则m= ，n= 。例·已知点P（3，-1）关于y轴对称点Q的坐标是（a+b，1-b），则b a的值是。
5、坐标平移：左右平移：横坐标右加左减，纵坐标不变；
上下平移：横坐标不变，纵坐标上加下减。
图3相
帅炮
例如：若直角坐标系内一点P （a ，b ）向左平移h 个单位，坐标变为P （a －h ，b ），向右平移h 个单位，坐标变为P （a ＋h ，b ）；向上平移h 个单位，坐标变为P （a ，b ＋h ），向下平移h 个单位，坐标变为P （a ，b －h ）.如：点A （2，
－1）向上平移2个单位，再向右平移5个单位，则坐标变为A （7，1）.
例·将四边形ABCD 先向左平移3个单位，再想上平移2
个单位，那么点A （3，-2）的对应点A 的坐标是＿＿＿
＿＿.
例·已知点A （m ，n ），把它向左平移3个单位后与点B(4,-3)关于y 轴对称，则m= ,n=＿＿.
例·将点A(－3，5)先向下平移3个单位，再向左平移2个单位，所得的点的坐标是_______。
6、会建平面直角坐标系，用坐标表示相关位置
例·如图所示的象棋盘上，若○帅位于点（1，－2）上，○相位于点（3，－2）上，则○炮的坐标是 .
7、平面上的点与 是一 一对应的。
例·若点P 到X 轴的距离为5，到Y 轴的距离为3，且点P 在第四象限，则点P 的坐标为
例·如图，在平面直角坐标系中，□ABCD 的顶点A 、B 、D 的坐标分别是（0，0），（5，0）（2，3），则顶点C 的坐标是
8、在平面直角坐标系中会画轴对称、平移后的图形，并写出图形顶点的坐
标。
例·在平面直角坐标系中描出点A （3,5）、B （1,1）、C （5,3）的位置，连成△ABC.
①作出△ABC 关于x 轴对称的111ΔA B C ， 并写出三个顶点的坐标；
②作出△ABC 关于原点O 成中心对称 的222ΔA B C ，并写出三个顶点的坐标； ③将△ABC 向左平移6个单位长度，画出平 移后的333ΔA B C ，并写出三个顶点的坐标；
O （A ）
B
C D
例·如图，第一个正方形的顶点A 1(-1，1)，B 1（1，1）；
第二个正方形的顶点A 2(-3，3)，B 2(3，3)；第三个正 方形的顶点A 3(-6，6)，B 3(6，6)；…．按顺序取点A 1， B 2，A 3，B 4，A 5，B 6，…，则第10个点应取点B 10， 其坐标为 ；第12-n （n 为正整数）个点应取点
， 其坐标为 ．
第四章 一次函数
1、函数自变量的取值：
整式取全体实数，分式则分母不为0，二次根式则根号下的数≥0. ·函数1
1
y x =
+的自变量x 的取值范围是 函数21y x =-的自变量x 的取值范围是 ·函数35y x =-+的自变量x 的取值范围是
函数
21
1
x y x +=
-的自变量x 的取值范围是
·下列不表示函数图象的是 （ ）
2、一次函数y ＝kx ＋b(k ≠0)的图象是一条直线(含正比例函数y ＝kx)． ·下列函数解析式2c r p =，21y x =-，3y x =-，2
1y x =+中是一次函数的
有
①求k 的取值： y 随x 增大而增大则k ＞0；y 随x 增大而减小则k ＜0．再解出不等式。 ·若函数1
(5)a y k x -=+是正比例函数，k ，a= 。
-7
77
-5A 3
B 3
A 2
B 2
A 1
B 1
x
y
642O -2-4-6245-2
-4
-7
·若正比例函数2
3
(1)m y m x -=-中，y 随x 的增大而减小，则m 的值是 。
·若函数32
(21)3m y m x
-=-+是一次函数，则m = 且y 随x 的增大而
②求函数图像经过的象限：在y ＝kx ＋b 中，k ＞0过一、三象限；k ＜0过二、四象限。b ＞0向上移；b ＜0向下移。可得出。
·一次函数57y x =-+的图象经过第 象限
·若一次函数2y x b =+的图象不经过第二象限则b 的取值范围是
·一次函数22y mx m =+-的图象经过原点，则m 的值为
③一次函数y ＝kx ＋b(k ≠0)的图象平移的方法： b 的值加减即可（加是向上移，减则下移）。 ·直线2
23
y x =-+是由 向 平移2个单位得到的。
·将直线31y x =+向下平移3个单位得到的函数解析式是
④同一平面内两直线的位置关系：（例如1l
：11
y k x b =+
2
l ：
22
y k x b =+ ）
若
12
k k =且
12
b b ≠，则
12
//l l ； 若
121
k k ?=-，则
12
l l ⊥。
·直线1
82
y x =-+和(1)5y k x =-+平行，则k=
·直线21y x =-+与1
52
y x =
+的位置关系式 。
⑤坐标轴上点的特征：
x 轴上的点纵坐标为0即（a ，0）；y 轴上的点横坐标为0.即（0，b ）。 ·直线1
32
y x =-+
与x 轴的交点坐标为 ，与y 轴的交点坐标为 。
⑥面积公式： 当0b ≠时，一次函数y kx b =+的图象与两条坐标轴围成的直角三角形的
面积 2
2b s k
=
·直线32y x =-+ 经过第 象限，它与两坐标轴围成的三角形面积是 。
·已知一次函数3y x b =+的图象与坐标轴围成的三角形面积等于4，则一次函数的解析式为 。
⑦用待定系数法求一次函数的解析式：
先设一次函数的表达式为y ＝kx ＋b ，再将已知的两组x 、y 值代人列出二元一次方程组，求出k 、b 的值，再代回即可。
·已知正比例函数的图象经过点P （2,5），求它的表达式。
·已知一次函数的图象经过点（0,2）和（1，—1），求这个一次函数的表达式。
·已知直线1l 经过点A （—1,0）与点B （2,3），另一条直线2l 经过点B ，且与x 轴交于点P （m,0）。 ① 求直线1l 的表达式； ②若ΔAPB 的面积为3，求m 的值。
3、一次函数与方程的关系
任何一个一元一次方程kx ＋b=0的解，就是一次函数y ＝kx ＋b 的图像与轴交点的横坐标；一次函数y ＝kx ＋b 的图像上任意一点的坐标都是二元一次方程kx-y ＋b=0的一个解. ·已知一次函数(0y ax b a b a =+?、为常数，），x 与y 的部分对应值如下表：
x
—2 —1 0 1 2 3 y
6
4
2
—2
—4
那么方程0ax b +=的解是
·把方程23x y +=-化成一次函数的形式是________________。
·已知二元一次方程31x y -=的一个解是x a
y b
=??
=?，那么点(a,b)P 一定不在（ ）。
A ．第一、三象限
B ．第二、四象限
C ．第二象限
D ．坐标轴上
·二元一次方程组24
2312
x y x y +=??-=?的解，即为函数__________和函数__________的图象交点
的坐标。
五、数据的频数分布
1、频数与频率：频率=总数频数
，各小组的频数之和等于总数，各小组的频率之和等于1。
·某中学八年级有500名学生参加生物、地理会考考试成绩在80分至100分之间的共有180人，则这个分数段的频率是_______。
·对150个数据进行整理得到频数分布直方图，测得所有表示频数的长方形的高之和为33cm ，其中最大的长方形的为11cm ，则这个最大的长方形的高所表示的频数为 . 2、频数分布直方图：会读图，计算并将直方图补充完整。
某学校为丰富课间自由活动的内容，随机选取本校100名学生进行调查，
调查内容是“你最喜欢的自由活动项目是什么”，整理收集到的数据，?绘制成直方图，如图所示．
①喜欢“踢毽子”的学生有 人， 并在图中将“踢毽子”部分的条图形 补充完整.
②喜欢“跳绳”的频率是
③该校共有800名学生，估计喜
欢“跳绳”的学生有人．
六、辅助线作法
几何难在辅助线，虚线画图勿改变。如何添加辅助线？把握定理和概念。
图中有角平分线，可向两边作垂线。线段垂直平分线，常向两端把线连。
角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。
三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。
平行四边形出现，对称中心等分点。要证线段倍与半，延长缩短可试验。