4.1 多边形
教学目标
知识与技能
1．了解多边形的概念.
2．掌握多边形的外角和及内角和公式.
3．通过把多边形转化为三角形，体会转化思想在几何中的运用，让学生体会从特殊到一般的认识问题的方法．
过程与方法
1．让学生经历猜想、探索、推理、归纳等过程发展学生的合情推理能力和语言表达能力，掌握复杂问题化为简单问题，化未知为已知的思想方法．
2．通过探索多边形的内角和与外角和，让学生尝试从不同的角度寻求解决问题的方法，并能有效地解决问题．
情感、态度与价值观
通过学生间交流、探索、进一步激发学生的学习热情和求知欲望，养成良好的数学思维品质．
重点难点
重点
探索多边形的内角和公式及外角和．
难点
如何把多边形转化成三角形，用分割多边形方法推导多边形的外角和与内角和．
教学设计
一、复习
1．三角形的定义．
2．三角形的内角和与外角和．
学生回忆后思考回答．
二、探究
1．多边形的有关概念
(1)我们已经知道三角形的定义，那么能否模仿三角形的定义来给四边形、五边形下定义？
学生思考、讨论、交流，得出答案．
教师活动：鼓励、点评．
(2)教师引导、归纳得出：
一般地，由n条(n≥3)不在同一直线上的线段首尾顺次相接形成的图形称为n边形，又称多边形．
(3)活动：根据多边形的定义，自画一些多边形，同桌相互识别，判断是几边形．
学生画图，同桌互相交流．
注意：—般以顺时针或逆时针方向按顺序确定顶点字母．
(4)多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角，多边形一边的延长线与相邻的另一边所组成的角叫做多边形的外角.多边形每一个内角的顶点叫做多边形的顶点.连接多边形不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线.
(5)四边形的定理：四边形的内角和等于360°.
(6)课堂讨论，完成下表．
学生思考填表，讨论交流．
例1 如课本，四边形风筝的四个内角∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比为1:1:0.6:1.求它的四个内角的度数.
2．多边形的内角和与外角和.
(1)问题导引：三角形的内角和随三角形的形状大小而变化吗？
(2)类比猜想：四边形的内角和随四边形的形状大小而变化吗？
怎样把四边形转化为三角形来计算呢？
(3)思考：通过作对角线可以把四边形转化为三角形吗？
(4)类比的办法观察，过多边形的一个顶点能作多少条对角线？
把多边形分成多少个三角形？填表
归纳得出：n边形的内角和为(n-2)·180°．
(5)多边形的每一个外角与它相邻的内角之间是什么关系？
学生思考后回答．
(6)同三角形一样，多边形的几个外角与相对应的内角之和为多少？
学生分组讨论交流．
学生代表口答．
教师点评并总结：任何多边形的外角和为360°．
例2 一个六边形如图,已知AB∥DE，BC∥EF，CD∥AF.求∠A+∠C+∠E的度数.
三、小结
1．多边形的有关概念．
2．多边形的内角和公式：(n-2)·180°．
3．任何多边形的外角和为360°．
4．类比、化归的数学思想方法．
学生回忆、思考、归纳．
四、布置作业
教材P80作业题第1，2题．
八年级下册数学教学计划 一、学生分析： 从八年级上册数学期末考试成绩来看，本班优秀率有突破15人，算是达到预期目 标，但及格率只达到43% 多，与预期尚有一定的差距。总体上来看，仅管绝大多数学生学习很努力，也掌握了一定的学习数学的方法和技巧，但基础知识的不扎实成为制约他们学习的瓶颈，造成班级发展不平衡，两极分化现象严重 二、教材分析： 第1章二次根式 二次根式属于“数与代数”领域的内容，它是在学生学习了平方根、立方根等内容的基础上进行的，是对七年级上册“实数”、“代数式”等内容的延伸和补充。二次根式的运算以整式的运算为基础，在进行二次根式的有关运算时，所使用的运算法则与整式、分式的相关法则类似；在进行二次根式的加减时，所采用的方法与合并同类项类似；在进行二次根式的乘除时，所使用的法则和公式与整式的乘法运算法则及乘法公式类似。这些都说明了前后知识之间的内在联系。 本章的主要内容有二次根式，二次根式的性质，二次根式的运算（根号内不含字母、不含分母有理化）。 第2章一元二次方程 方程教学在中学数学教学中占有很大的比例，一元二次方程在初中代数中占有重要地位。一方面，一元二次方程可以看成是前面所学过的有关知识的综合运用，如有理数、实数的概念和整式、分式、开平方等的运算，一元一次方程、二元一次方程组解法等知识，在本章都有应用。从数学角度看，这一章的学习有一定难度，如果前面某个环节薄弱或知识点有问题，就会给本章的学习带来困难，因此，这一章的教学是对以前所学的有关知识的检验，又是一次复习与巩固。当然，一元二次方程知识也是前面所学知识的继续和发展，尤其是方程方面知识的深入和发展。 本章的主要内容是一元二次方程的解法和应用，课本首先引入一元二次方程的概念，从实数的性质，将分解成为两个一次因式相乘积为零的一元二次方程转化为两个一元一次方程入手，介绍了利用因式分解法解一元二次方程的方法，体现了数学的转化思想。接着课本首先从数的开平方的知识出发，直接讲开平方法，然后依次介绍了配方法和公式法。在讲述公式法的同时，课本特别给出了利用计算器解一元二次方程的解法示例，以揭示技术发展给数学学习带来的影响，这也是一种新的尝试。同时，以建立数学模型为主要着力点介绍了一元二次方程的应用，并在例题的设置上充分考虑了图表、立体图形、物体运动和经济活动中的问题背景，力图使学生在现实的环境中学习数学。这一章是全书乃至整个初中代数的一个重点内容。因为这一部分内容既是对以前所学内容的总结、巩固和提高，又是以后学习的知识基础。因此这一章可以说是起到了承上启下的作用。高中阶段的指数方程、对数方程及三角方程，无非就是指数、对数、三角函数的有关知识与一元一次方程、一元二次方程的综合
课题 2.1 一元二次方程（ 1） 课时1、经历一元二次方程概念的发生过程 . 教学2、理解一元二次方程的概念 . 目标3、了解一元二次方程的一般形式，会辨认一元二次方程的二次 项系数、一次项系数和常数项 . 本节教学重点是一元二次方程的概念，包括它的一般形式. 教学 例 1 第（ 4）题包含了代数式的变形和等式变形两个方面，计算设想 容易产生差错，是本节教学的难点 . 教学程序与策略 一、合作学习，探究新知 1、列出下列问题中关于未知数x 的方程： （1）把面积为4 平方米的一张纸分割成如图所示的正方形和长方形两个部分，求正方形的边长。 设正方形的边长为x, 可列出方程 ______________; (2)据国家统计局公布的数据，浙江省 2001 年全省实现生产总值 6 万亿元，2003年生产总值达 9200 亿元，求浙江省这两年实现生产总值的年平均增长率。设年平均增长率为 x，可列出方程 ______________； （3）从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框 宽4 尺，竖着比门框高 2 尺. 另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这 个醉汉一试，不多不少刚好进去了 . 你知道竹竿有多长吗？ 设竹竿为 x 尺，可列出方程 ______________。 学生自主探索，并互相交流，自己列出方程。 2、观察上面所列方程，说出这些方程与一元一次方程的共同和不同之处 . 学 生各抒己见，发表自己的发现：共同点：①它的左右两边都是整式，②只含 一个未知数；不同点：未知数的最高次数是2。 二、得出新知，运用强化 1、教师指出符合上述特征的方程叫做一元二次方程．板书课题及一元二次方 程的定义并指出：能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次方程的 解（或根）。 2、判断下列方程是否是一元二次方程： (1) 10x29;(2) 2(x-1)=3x; (3) 2x2 1 10. 3x 1 0; (4) 2 x x 3、判断未知数的值x=-1,x=0,x=2是不是方程x22x 的根。 通过此题的求解向学生说明：一元二次方程的解（或根）的概念与一元一次方程的解（或根）的概念类似，但解的个数不同。 4.一元二次方程概念的延伸
多边形的内角和与外角和 教学目标 1 了解多边形的外角和的概念、掌握多边形的外角和公式。 2了解正多边形的概念。 3 了解四边形的不稳定性及生活中的运用。 4 通过多边形内角和的探索，让学生体验从特殊到一般的思考方法。 重点、难点 重点：多边形的外角的概念、多边形的外角和公式。 难点：多边形外角和公式的推导过程。 教学过程 一 创设情境，导入新课 1 如图，AB ∥DE,AC ∥DF,那么∠A 与∠D 有什么关系？为什么？你能有一句话表达这个结论吗？ 解：∠A=∠D ，理由是：设AC 与DE 交于C ， ∵AB ∥DE,AC ∥DF ∴∠A=∠ACD=∠D 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，而且开口方向一致，那么这两个角相等。 2 四边形的内角和=_____,n 边形的内角和=______. 3 什么叫三角形的外角？什么叫三角形的外角和？三角形的外角和等于______. 三角形的一边和另一边的延长线组成的角叫三角形的外角，三角形的每一个内角的外角（共三个）的和叫三角形的外交和，三角形的外角和等于180o 4 类似地，多边形一边和另一边的反向延长线组成的角叫多边形的外角，在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫多边形的外交和。 5 我们知道多边形每多一条边，多边形的内角和就多180o，外角和多多少度呢？你猜猜看. 你的猜想对吗？下面我们来学习———多边形的内角和与外角和（2） 二 合作交流，探究新知 1 特殊外边形的外角和 （1）等边三角形的每一个内角等于_____,每一个外角等于____,外角和等于______, (2) 正方形的每一个内角 等于____,每一个外角等于____,外交和等于_____, (3) 如果无边的每个内角是相等的，这个五边形的每一个内角等于____,每一个外角等于____,外交和等于_____。 （3）如果六边形的每个内角是相等的，这个六边形的每一个内角等于____,每一个外角等于____,外交和等于_____。 从上面的多边形看到，边数增加，外角和并没有增加，都是360 o，但这些多边形的是特殊的，是否任意的多边形内角和都等于等于 360 o呢？ 2 普通多边形的外角和 F E D C B A 32 1F E D C B A 32 1F E D C B A 4 3 2 1 D C B A 5 43 21 E D C B A 6543 21 F E D C B A 4 1D A
(浙教版)八年级数学下册最新必考知识点汇总
第一章 二次根式 1．二次根式：一般地，式子)0a (,a ≥叫做二次根式.注意：（1）若0a ≥这个条件不成立， 则 a 不是二次根式；（2）a 是一个重要的非负数，即；a ≥0. 2．重要公式：（1）)0a (a )a (2≥=,（2） ? ??<-≥==)0a (a )0a (a a a 2 ；注意使用)0a ()a (a 2≥=. 3．积的算术平方根：)0b ,0a (b a ab ≥≥?=，积的算术平方根等于积中各因式的算术 平方根的积；注意：本章中的公式，对字母的取值范围一般都有要求. 4．二次根式的乘法法则： )0b ,0a (ab b a ≥≥=?. 5．二次根式比较大小的方法： （1）利用近似值比大小； （2）把二次根式的系数移入二次根号内，然后比大小； （3）分别平方，然后比大小. 6．商的算术平方根： )0b ,0a (b a b a >≥=，商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根. 7．二次根式的除法法则： （1）)0b ,0a (b a b a >≥= ； （2）)0b ,0a (b a b a >≥÷=÷； （3）分母有理化：化去分母中的根号叫做分母有理化；具体方法是：分式的分子与分母同 乘分母的有理化因式，使分母变为整式. 8．常用分母有理化因式： a a 与，b a b a +-与， b n a m b n a m -+与，
它们也叫互为有理化因式. 9．最简二次根式： （1）满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，① 被开方数的因数是整数，因 式是整式，② 被开方数中不含能开的尽的因数或因式； （2）最简二次根式中，被开方数不能含有小数、分数，字母因式次数低于2，且不含分母； （3）化简二次根式时，往往需要把被开方数先分解因数或分解因式； （4）二次根式计算的最后结果必须化为最简二次根式. 10．二次根式化简题的几种类型：（1）明显条件题；（2）隐含条件题；（3）讨论条件题. 11．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次 根式叫做同类二次根式. 12．二次根式的混合运算： （1）二次根式的混合运算包括加、减、乘、除、乘方、开方六种代数运算，以前学过的， 在有理数范围内的一切公式和运算律在二次根式的混合运算中都适用； （2）二次根式的运算一般要先把二次根式进行适当化简，例如：化为同类二次根式才能合 并；除法运算有时转化为分母有理化或约分更为简便；使用乘法公式等. 第二章 一元二次方程 1. 认识一元二次方程： 概念：只含有一个未知数，并且可以化为20ax bx c ++= (,,a b c 为常数，0a ≠) 的整式方程叫一元二次方程。 构成一元二次方程的三个重要条件： ①、方程必须是整式方程(分母不含未知数的方程)。 如：2230x x --=是分式方程，所以2230x x --=不是一元二次方程。
最新修正版 C B A C B A D C B A c b a C B A 八年级下册数学复习资料 姓名 第一章 直角三角形 1、直角三角形的性质： ①直角三角形的两锐角互余 ②直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半。 如图，在Rt ?ABC 中，∵CD 是斜边AB 的中线，∴1 2 CD AB = 。 例·直角三角形斜边长20cm,则此斜边上的中线为 . ③在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角 边等于斜边的一半。 如图，在Rt ?ABC 中，∵∠A=30°，∴1 2 BC AB = 。 例·在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，则下列结论中正确的是（ ）。 A ．AB=2BC B ．AB=2AC C ．AC 2+AB 2=BC 2 D ．AC 2+BC 2=AB 2 ④在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么 这条直角边所对的角等于30°。 如图，在Rt ?ABC 中，∵1 2 BC AB = ，∴∠A=30°。 例·等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则顶角的度数是 。 ⑤勾股定理及其逆定理 （1）勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等 于斜边c 的平方，即2 2 2 a b c +=。 求斜边，则22c a b =+；求直角边，则22a c b =-或22 b c a =-。 例·如图是拉线电线杆的示意图。已知CD ⊥AB ，，∠CAD=60°， 则拉线AC 的长是________m 。 例·若一个直角三角形的两边长分别为6和10，那么这个三角形的第三条边长是______。 （2）逆定理 如果三角形的三边长a 、b 、c 有关系222 a b c +=，那么这个三角形是直角三角形 。 分别计算“2 2 a b +”和“2 c ”，相等就是Rt ?，不相等就不是Rt ?。 例·在Rt △ABC 中，若AC=2，BC=7，AB=3，则下列结论中正确的是（ ）。 A ．∠C=90° B ．∠B=90° C ．△ABC 是锐角三角形 D ．△ABC 是钝角三角形
八年级（下册） 1. 二次根式 1.1. 二次根式 像3,4a 2++b 这样表示算术平方根的代数式叫做二次根式，二次根号内字母的取值范围必须满足被开方数大于或等于零。 1.2. 二次根式的性质 ()()0a 2≥=a a ()() ???<-≥==00a 2a a a a a ()0,0a ab ≥≥?=b a b @ ()0,0a >≥=b a b a b 像57，这样，在根号内不含字母，不含开得尽方的因数或因式，这样的二次根式称为最简二次根式。 1.3. 二次根式的运算 ()0,0ab a ≥≥=?b a b ()0,0a >≥=b a b b a 2. 一元二次方程 2.1. 一元二次方程 像方程x 2 +3x=4的两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次，这样的方程叫做一元二次方程。能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解(或根)。 · 任何一个关于x 的一元二次方程都可以化为ax 2 +bx+c=0的形式。 ax 2+bx+c=0(a,b,c 为已知数，a ≠0)称为一元二次方程的一般形式，其中ax 2，bx ，c 分别称为二次项、一次项和常数项，a,b 分别称为二次项系数和一次项系数。 2.2. 一元二次方程的解法 利用因式分解解一元二次方程的方法叫做因式分解法，这种方法把解一个一元二次方程转化为解两个一元一次方程。 形如x 2 =a(a ≥0)的方程，根据平方根的定义，可得x 1=a ，x 2=-a ，这种解一元二次方程的方法叫做开平方法。 把一元二次方程的左边配成一个完全平方式，右边为一个非负数，然后用开方法求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法。 一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的根的情况由代数式b 2-4ac 的值来决定，因此b 2-4ac 叫做一元二次方程的根的判别式，它的值与一元二次方程的根的关系是：
第一章《二次根式》复习 二次根式为了方便，我们把一个数的算术平方根（如）也叫做二次根式。 二、二次根式被开方数不小于0 1、下列各式中不是二次根式的是 （ ） （A ）12+x （B ）4- （C ）0 （D ） ()2b a - 2、判断下列代数式中哪些是二次根式？ ⑴21， ⑵16-， ⑶9+a ， ⑷12+x ， ⑸222++a a ， ⑹x -（0≤x ）， ⑺()23-m 。 答：_____________________ 3、下列各式是二次根式的是（ ） A B 4、下列各式中，不是二次根式的是（ ） A ． B D ． 5、下列各式中，是二次根式是（ ）. （A ）（B （C ） （D ）6、若01=++-y x x ，则20052006y x +的值为： （ ） A 、0 B 、1 C 、 -1 D 、 2 7、已知1y =，则y x = 。 8、若x 、y 都为实数，且152********+-+-=x x y ，则y x +2=________。 三、含二次根式的代数式有意义（1）二次根式被开方数不小于0 （2）分母含有字母的，分母不等于0 1、x （ ）