教材习题解答
第一章 集合及其运算
8P 习题
3. 写出方程2210x x ++=的根所构成的集合。
解：2210x x ++=的根为1x =-，故所求集合为{1}-
4.下列命题中哪些是真的，哪些为假
a)对每个集A ，A φ∈；b)对每个集A ，A φ?；
c)对每个集A ，{}A A ∈；d)对每个集A ，A A ∈；
e)对每个集A ，A A ?；f)对每个集A ，{}A A ?；
g)对每个集A ，2A A ∈；h)对每个集A ，2A A ?；
i)对每个集A ，{}2A A ?；j)对每个集A ，{}2A A ∈；
k)对每个集A ，2A φ∈；l)对每个集A ，2A φ?；
m)对每个集A ，{}A A =；n){}φφ=；
o){}φ中没有任何元素；p)若A B ?，则22A B ?
q)对任何集A ，{|}A x x A =∈；r)对任何集A ，{|}{|}x x A y y A ∈=∈； s)对任何集A ，{|}y A y x x A ∈?∈∈；t)对任何集A ，{|}{|}x x A A A A ∈≠∈； 答案：假真真假真假真假真假真真假假假真真真真真
5.设有n 个集合12,,,n A A A L 且121n A A A A ????L ，试证：
12n A A A ===L
证明：由1241n A A A A A ?????L ，可得12A A ?且21A A ?，故12A A =。 同理可得：134n A A A A ====L
因此123n A A A A ====L
6.设{,{}}S φφ=，试求2S ？
解：2{,{},{{}},{,{}}}S φφφφφ=
7.设S 恰有n 个元素，证明2S 有2n 个元素。
证明：（1）当n ＝0时，0,2{},212S S S φφ====，命题成立。
（2）假设当(0,)n k k k N =≥∈时命题成立，即22S k =（S k =时）。那么对于1S ?（11S k =+），12S 中的元素可分为两类，一类为不包含1S 中某一元素x 的集合，另一类为包含x 的集合。显然，这两类元素个数均为2k 。因而1122S k +=，亦即命题在1n k =+时也成立。
由（1）、（2），可证得命题在n N ∈时均成立。
16P 习题
1.设A 、B 是集合，证明:
(\)()\A B B A B B B φ=?=U U
证：?当B φ=时，显然(\)()\A B B A B B =U U ，得证。
?假设B φ≠，则必存在x B ∈，使得(\)x A B B ∈U 但()\x A B B ∈U ，故(\)()\A B B A B B ≠U U 与题设矛盾。所以假设不成立，故B φ=。
2.设A 、B 是集合，试证A B A B φ=?=?
证：?显然。
?反证法：假设A φ≠，则0x A ?∈，若0x B ∈，则0x ∈左，但0x ?右，矛盾。
若0x B ∈，则0x ∈左，但0x ∈右，矛盾。故假设不成立，即A φ=。
3. 设A ，B ，C 是集合，证明：
()()A B C A B C ??=??
证：()[(\)(\)][()()]C C A B C A B B A C A B B A C ??=?=?U I U I
[()()\](\(()()))
()()((()()))C C C C C C C C C C A B B A C C A B B A A B C B A C C A B B A ==I U I U I U I I I U I I U I I I I
()()((()()))C C C C C C A B C B A C C A B A B =I I U I I U I I I I
()()()()C C C C C C A B C A B C A B C A B C =I I U I I U I I U I I
由上式可以看出此展开式与A 、B 、C 的运算顺序无关，因此，()()A B C A B C ??=??
4.设A ，B ，C 为集合，证明\()(\)\A B C A B C =U
证：因为\()()C C C A B C A B C A B C ==U I U I I = ()\C A B C I = (\)\A B C 。
5.设A ，B ，C 为集合，证明：
()\(\)(\)A B C A C B C =U U
证：()\()()()C C C A B C A B C A C B C ==U U I I U I ＝(\)(\)A C B C U 。
6.设A ，B ，C 为集合，证明：
()\(\)(\)A B C A C B C =I I
证明：()\()C C A B C A B C A B C ==I I I I I =()()C C A C B C I I I
=(\)(\)A C B C I
7.设A ，B ，C 都是集合，若A B A C =U U 且A B B C =I I ，试证B=C 。
证：证1： x B ?∈，则
若x A ∈，则()x A B ∈I 。由于A B A C =I I ，故()x A C ∈I ，即x C ∈； 若x A ∈，则()x A B ∈U ，由于A B A C =U U ，故x A C ∈U 。又x A ∈，只能有x C ∈。因此，x B ?∈，总有x C ∈，故B C ?。
同理可证，C B ?。
因此B C =。
证2： ()()()()B B A B B A C B A B C ===I U I U I U I
()()()()C A B C C A B C A C C ====I U I I U I U
8.设A ，B ，C 为集合，试证：
(\)\(\)\(\)A B C A B C B =
证：证Ⅰ(\)\x A B C ?∈，有,,x A x B x C ∈∈∈，因此，(\)x A B ∈，(\)x C B ∈。故(\)\(\)x A B C B ∈，即(\)\A B C ?(\)\(\)A B C B 。
反之，(\)\(\)x A B C B ?∈，有(\)x A B ∈，(\)x C B ∈。因此,,x A x B x C ∈∈∈。故(\)\x A B C ∈，即(\)\(\)A B C B ?(\)\A B C 。
所以 (\)\A B C ＝(\)\(\)A B C B 。
证Ⅱ：(\)\(\)()()()()C C C C C A B C B A B C B A B C B ==I I I I I U
()(\)\C C A B C A B C ==I I
9.设X Y Z ??，证明\(\)(\)Z Y X X Z Y =U
证：证1：\(\)x Z Y X ?∈)()(X Y Z X Y Z C C C Y I I I ==，有x Z ∈且x Y ∈ 或x X ∈。则
若x Z ∈且x Y ∈，则\x Z Y ∈，于是(\)x X Z Y ∈U 。
若x Z ∈且x X ∈，则(\)x X Z Y ∈U ，从而
\(\)(\)Z Y X X Z Y ?U 。
反之，(\)x X Z Y ?∈U ，则x X ∈或\x Z Y ∈。
若x X ∈，则由X Y Z ??有,x Y x Z ∈∈，故\x Y X ∈，因此\(\)x Z Y X ∈。 若\x Z Y ∈，则x Z ∈但x Y ∈，故\x Y X ∈，因此\(\)x Z Y X ∈。从而
(\)\(\)X Z Y Z Y X ?U 。
由集合相等的定义，\(\)(\)Z Y X X Z Y =U 。
证2：\(\)()()()()C C C Z Y X Z Y X Z Y X Z Y Z X ===I I I U I U I ，
因为X Z ?，所以\(\)()(\)C Z Y X Z Y X X Z Y ==I U U 。
10.下列命题是否成立？
(1)(\)\(\)A B C A B C =U ；(2)(\)()\A B C A B C =U U ；
(3)\()()\A B C A B B =U U 。
解：（1），（2），（3）都不成立。反例如下：
（1）B C A },1{,==φ任意，则(\){1};\(\)A B C C A B C φ===U 。
（2）{1},,{1}A B C φ===，则(\){1};()\A B C A B C φ==U U 。
（3）,{1},{1,2}A B C φ===，则\();()\{2}A B C A C B φ==U U 。
11．下列命题哪个为真？
a)对任何集合A,B,C ，若A B B C =I I ，则A=C 。
b)设A,B,C 为任何集合，若A B A C =U U ，则B=C 。
c)对任何集合A,B ，222A B A B =U U 。
d)对任何集合A,B ，222A B A B =I I 。
e)对任何集合A,B ，\22\2A B A B =。
f)对任何集合A,B ，222A B A B ?=?。
答案：d 是真命题。
12．设R,S,T 是任何三个集合，试证：
（1）()()S T S T S T ?=?U I ；
（2）()()()R S T R S R T ????I I ；
（3）()()()()()R S R T R S T R S R T ???????I U U ；
（4）()()()R S T R S R T ???U U U
证：（1）x S T ?∈?)\()\(S T T S Y =，则
若x S ∈，则x T ∈。因而()x S T ∈U 且()x S T ∈I ，故()()x S T S T ∈?U I ； 若x S ∈，则x T ∈，同理可得()()x S T S T ∈?U I 。故
S T ??()()S T S T ?U I 。
反之，因为()()S T S T ?I U ，故
()()S T S T ?U I ＝()\()S T S T U I ])(\)([φ=S T T S Y I Y 。
()()x S T S T ?∈?U I ()\()S T S T =U I ，有(),()x S T x S T ∈∈U I 。 若x S ∈，则x T ∈，故x ∈S T ?； 若x S ∈，则x T ∈，故x ∈S T ?。因此
()()S T S T ?U I ?S T ?。
所以 S T ?＝()()S T S T ?U I 。
（2）证：x ?∈()()R S R T ??I ，有()x R S ∈?且()x R T ∈?。则
若x R ∈，则x S ∈且x T ∈，故()x S T ∈I ，x ∈()R S T ?I 。 若x R ∈，则x S ∈且x T ∈。故()x S T ∈I ，因此x ∈()R S T ?I 。于是
()()R S R T ??I ?()R S T ?I 。
（3）证：()()x R S R T ?∈??I ，有()x R S ∈?且()x R T ∈?。则
若x R ∈，则,x S x T ∈∈，故()x S T ∈U ，因此()x R S T ∈?U ； 若x R ∈，则,x S x T ∈∈，故()x S T ∈U ，()x R S T ∈?U 。于是
()()()R S R T R S T ????I U
反之，()x R S T ?∈?U ，则
若x R ∈，则()x S T ∈U ，故,x S x T ∈∈，因而(),()x R S x R T ∈?∈?。即 ()()x R S R T ∈??U ； 若x R ∈，则()x S T ∈U ，故x S ∈或x T ∈。因此()x R S ∈?或()x R T ∈?，从而()()x R S R T ∈??U 。
综上可得：()()()R S T R S R T ????U U 。于是
()()()R S R T R S T ????I U ()()R S R T ???U
证：()()x R S R T ?∈?U U ，则
若()x R S ∈U ，则()x R T ∈U ，因而,,x R x T x S ∈∈∈。故x S T ∈?，于是()x R S T ∈?U ； 若()x R S ∈U ，则()y R T ∈U ，与上同理可得()x R S T ∈?U 。
综上可得：()()()R S T R S R T ???U U U 。
14．设A 为任一集，{}I B ξξ∈为任一集族（I φ≠），证明：
()()I I
A B A B ξξξξ∈∈=U U I I
证：x ?∈()I
A B ξξ∈U I ，则
若x A ∈，则()x A B I ξξ∈∈U ，因而x ∈()I
A B ξξ∈U I ； 若x A ∈，则,I x B ξξ?∈∈，因而,I x A B ξξ?∈∈U ，故x ∈()I
A B ξξ∈U I 。于
是
()I A B ξξ∈U I ?()I
A B ξξ∈U I 。
反之，设x ∈()I
A B ξξ∈U I ，则,I x A B ξξ?∈∈U 。
若x A ∈，显然x ∈()I
A B ξξ∈U I ； 若x A ∈，则,I x B ξξ?∈∈，因而I x B ξξ∈∈I ，即x ∈()I
A B ξξ∈U I 。所以，
()I A B ξξ
∈U I ?()I A B ξξ∈U I 。 综上可得，()I A B ξξ∈U I ＝()I
A B ξξ∈U I 。 15．填空：设A,B 是两个集合。 (a)x A B ∈?U __________________； (b)x A B ∈?I __________________； (c)\x A B ∈?___________________； (d)x A B ∈??___________________；
解：(a) x A ∈且x B ∈； (b) x A ∈或x B ∈ (c) x A ∈或x B ∈； (d) （x A ∈且x B ∈）或（x A ∈且x B ∈）
16．设A ，B ，C 为三个集合，下列集合表达式哪一个等于\()A B C I ？
（a ）(\)(\)A B A C I ；（b ）()\()A B A C I I
（c ）(\)(\)A B A C U ；（d ）()\()A B A C U U
（e ）()()A B A C U I U
答案：c 。
(\)(\)()()()
()\()
C C C C C A B A C A B A C A B C A B C A B C ====U I U I I U I I I
20P 习题 1．设A,B,C 为集合，并且A B A C =U U ，则下列断言哪个成立？
(1)B C =；(2)A B A C =I I ；(3)C C A B A C =I I ；(4)C C A B A C =I I 。 答案：d 。
在C C A B A C =I I 两边同时并上A 即得A B A C =U U 。
2．设A,B,C 为任意集合，化简
()()()()()()()C C C C C C C C C A B C A B C A B C A B C A B C A B C A B C I I U I I U I I U I I U
I I U I I U I I
证：证1：原式＝()()()()C C C C B C A B B C A B C I U I U I U I I
()()()()
()(())C C C C C C B A B A B C A B A B C A B A B C A B C
====U I U I I U U I I U U U I U U
证2：令原式＝T ，全集为S ，则 ()C C C S T A B C =U I I 且()C C C T A B C φ=I I I ，
故 ()C C C C T A B C A B C ==I I U U 。
3．证明：（1）()()C C A B A B A B ?=U I U ；（2）()()()C C C A B A B A B ?=I U I ；
（3）()()()C C C A B A B A B ?=U I U
证：（1）()()(())(())C C C C A B A B A B A A B B =U I U U I U U I
()()C C B A A B =I U I (\)(\)()A B B A A B ==?U
（2）证：()C A B ?(()())C C C A B A B =U I U 〔根据（1）〕
()()()()C C C C C C A B A B A B A B ==U U U I U I
（3）证：()()C C A B A B =U I U (())(())C C C A B A A B B U I U U I
()()C C A B A B =I U I ()C A B =? 〔根据（2）〕
4．设12,,M M L 和12,,N N L 是集合S 的子集的两个序列，对,,1,2,i j i j ≠=L ，有i j N N φ=I 。令1
111,(),2,3,n C n n k k Q M Q M M n -====I U L 。试证： 1()n
n n i i i N Q N M =???U 。
证：(\)(\)n n n n n n x N Q N Q Q N ?∈?=U
当n ＝1时，11111()n i i i x N Q N M N M =∈?=???U ，故1()n
n n i i i N Q N M =???U
当n≥2时，设(\)(\)n n n n n n x N Q N Q Q N ∈?=U 有(\)n n x N Q ∈或(\)n n x Q N ∈。则
1.若(\)n n x N Q ∈，则n x N ∈但11
11(),n n c
n n k n k i i x Q M M x M x M --==∈=∈∈I U U 即或，因此有(1)n i x M x M i n ∈∈≤-或。于是
（1）若n x N ∈且n x M ∈，有1\()n
n n n n i i i x N M N M N M =∈????U ；
（2）若n x N ∈且(1)i x M i n ∈≤-，由()i j N N i j φ=≠I ，有(1)i x N i n ∈≤-且i x M ∈，于是1\()n
i i i i i i i x M N M N N M =∈????U 。
2.若\n n x Q N ∈，则1
1()n c n n k n i x Q M M x M -=∈=∈I U ，即但n x N ∈。于是
1\()n
n n n n i i i x M N M N N M =∈????U 。
综上可得：1()n
n n i i i N Q N M =???U
5．设X 是一个非空集合，1,,1,2,3,n n n A X A A n +??=L 试证：n ?，有
1()c n m m m m n m n A A A
A ∞∞
+===I U U I 。 证明：由于1m m A A +?，故 11\c m m m m A A A A ++=I 。因为m n ≥，故m n A A ?，显
然有 1()c m m m n m n m n A A
A A ∞∞
+==?I U U I 。 对于n x A ?∈，假设存在()p p n ≥，使得p x A ∈，必可找到其中最小的值0p ，使得001\p p x A A +∈，故x ∈
1()c m m m m n m n A A A ∞∞
+==I U U I ；
假如不存在p ，则m m n x A ∞=∈I ，故x ∈
1()c m m m m n m n A A A ∞∞
+==I U U I 。 综上可得：n A ?
1()c m m m m n m n A A A ∞∞
+==I U U I 。 所以n A ＝ 1()c m m m m n m n A A
A ∞∞
+==I U U I 。 6．设V 是任一集合，证明：
,,2V S T W ?∈有S T W ??当且仅且S T S W ???且S W ?。
证：?因为S T W ??，故\\S T T S W S S W ?=???。
?先证S T ?。设x S ∈，则
若x T ?，则\\x S T S T S W W S ∈????=，故x W ∈且x S ?，矛盾。 所以x T ∈，即S T ?。
其次，证明T W ?。设x T ∈，则有两种情况：
若x S ?。则\\x T S S T S W W S ∈????=，故x W ∈。
若x S ∈。由S W ?，知x W ∈。
总之，x T ?∈，有x W ∈，故T W ?。
7．设12,,A A L 为一集序列，记A 为这样的元素的全体形成的集合：x A ∈当且仅当在序列12,,A A L 中有无穷多项n A 含有x 。集合A 称为集序列12,,A A L 的上极限，记为lim n n A →∞，即lim n n A A →∞
=。又记A 为这样的元素全体形成的集合；序列12,,A A L 中只有有限项不含有这样的元素。称A 为序列12,,A A L 的下极限，并记lim n n A A →∞
=。证明；
（1）1lim n k n k n n A A ∞∞==→∞=U I ；（2）1lim n k n n k n
A A ∞∞→∞===I U 。
证： （1）x ?∈lim n n A →∞
，在序列12,,A A L 中只有有限项不含x ，在不含x 的
项中必可找到下标最大的一项1p A -（若各项均含x ，则令p ＝0），有k k p x A ∞
=∈I ，
故x ∈1k n k n A ∞∞
==U I ，即 lim n n A →∞?1k n k n
A ∞∞==U I 。 反之，x ?∈1k n k n A ∞∞==U I ，必p ?使得k k p
x A ∞=∈I ，即k p ?≥时，k x A ∈。而集合121,,,P A A A -L 中即使都不含有x ，但也仅有有限项不含x ，故x ∈lim n n A →∞
。因此
1k n k n A ∞∞
==?U I lim n n A →∞。 综上可得：lim n n A →∞＝1k n k n
A ∞∞==U I 。 （2）lim n n x A →∞
?∈，因为12,,A A L 中有无穷多项含有x ，故N ?，当n N ≥时，n x A ∈，因此k k n x A ∞
=∈U ，从而1k n k n
x A ∞∞==∈I U ，即
1lim n k n n k n A A ∞∞
→∞==?I U 反之，1k n k n x A ∞∞==?∈I U ，则1,k k n n x A ∞
=?≥∈U ，即12,,A A L 中有无穷多项多含x ，所以lim n n x A →∞
∈，即 1lim k n n n k n A A ∞∞
→∞==?U I 综上可得：1lim n k n n k n A A ∞∞
→∞===U I 。 8．证明：lim lim n n n n A A →∞
→∞? 证：lim n n x A →∞?∈，由lim n n A →∞
定义可知：序列12,,A A L 中只有有限项不含x ，故
必可找
到不含x 的下标最大的一项P A ，可见此时12,,P P A A ++L 均含x ，即有无限项含x ，故lim n n x A →∞
∈。因此 lim lim n n n n A A →∞
→∞?。
25P 习题
1．设{,,},{,,,},{,,}A a b c B e f g h C x y z ===。求2,,,A B B A A C A B ????。
解：
{(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)}{(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)}{(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)A B a e a f a g a h b e b f b g b h c e c f c g c h B A e a e b e c f a f b f c g a g b g c h a h b h c A C a x a y a z b x b y b z c x ?=?=?=,(,),(,)}
c y c z 2{((,),),((,),),((,),),A B a a e a a f a a g ?=
((,),),((,),),((,),),((,),),((,),),((,),),
((,),),((,),),((,),),((,),),((,),),((,),),
((,),),((,),),((,),),((,),),((,),),((,),),((,),),((,),),a a h a b e a b f a b g a b h a c e a c f a c g a c h b a e b a f b a g b a h b b e b b f b b g b b h b c e b c f b c g ((,),),((,),),((,),),((,),),
((,),),((,),),((,),),((,),),((,),),((,),),
((,),),((,),),((,),)}
b c h c a e c a f c a g c a h c b e c b f c b g c b h c c e c c f c c g c c h 2．设A,B 为集合，试证：A×B＝B×A 的充要条件是下列三个条件至少一个成立：
（1）A φ=；（2）B φ=；（3）A B =。
证：?若（1）成立，A B B A φ?==?。
若（2）成立，同上。
若（3）成立，A×B=B×B=B×A。
?假设必要性不成立，即,,A B A B φφ≠≠≠。故不妨设x ?使得,x A x B ∈∈。
设y B ∈，则(,),(,)x y A B x y B A ∈?∈?，矛盾。
于是，假设不成立。因而必要性成立。
必要性也可以如下证明：
1.若A B B A φ?=?=，则A φ=或B φ=。
2.若A B B A φ?=?≠，则,x A y B ?∈∈，有(,)x y A B B A ∈?=?。于是,x B y A ∈∈，因此A B ?且B A ?，故A=B 。
3．设A,B,C,D 为任四个集合，证明：
()()()()A B C D A C B D ?=??I I I
证：(,)x y ?∈()()A B C D ?I I ，有,x A B y C D ∈∈I I ，即
,,,x A x B y C y D ∈∈∈∈。所以(,),(,)x y A C x y B D ∈?∈?，因此
(,)()()x y A C B D ∈??I ，从而
()()A B C D ?I I ?()()A C B D ??I 。
反之，(,)x y ?∈()()A C B D ??I ，有,,,x A x B y C y D ∈∈∈∈。即
(,)x y ∈()()A B C D ?I I ，从而
()()A C B D ??I ?()()A B C D ?I I 。
因此，()()A B C D ?I I ＝()()A C B D ??I 。
4．设1234,,,E E E E 为任意集合，试证：
1234132124()\()((\))((\))E E E E E E E E E E ??=??U
证：(,)x y ?∈1234()\()E E E E ??，有12,x E y E ∈∈且3x E ∈或4y E ∈。则 若3x E ∈，则13\)x E E ∈，故132(,)(\))x y E E E ∈?，即
(,)x y ∈132124((\))((\))E E E E E E ??U 。 若4y E ∈，同理可证(,)x y ∈132124((\))((\))E E E E E E ??U 。从而
1234()\()E E E E ???132124((\))((\))E E E E E E ??U 。
反之，(,)x y ?∈132124((\))((\))E E E E E E ??U ，则132(,)(\))x y E E E ∈?或124(,)(\)x y E E E ∈?，即1x E ∈，2y E ∈但3x E ∈或1x E ∈，2y E ∈但4y E ∈。从而有12(,)x y E E ∈?，但34(,)x y E E ∈?，即1234(,)()\()x y E E E E ∈??，从而
132124((\))((\))E E E E E E ???U 1234()\()E E E E ??。
综上可得：1234()\()E E E E ??＝132124((\))((\))E E E E E E ??U 。
5．设,A X B Y ??，试证：()()()()C C C C C A B A B A B A B ?=???U U
证：(,)()C x y A B ?∈?，则(,)()x y A B ∈?，故x A ∈或y B ∈。于是
1. 若x A ∈，则C x A ∈。因此
(1)若y B ∈，则(,)()()()C C C C C x y A B A B A B A B ∈?????U U 。
(2) 若y B ∈，则C y B ∈，即(,)()()()C C C C C C x y A B A B A B A B ∈?????U U 。
2.若x A ∈，则必有y B ∈，故(,)()()()C C C C C x y A B A B A B A B ∈?????U U 。 综上可得：()()()()C C C C C A B A B A B A B ?????U U 。
反之，(,)()()()C C C C x y A B A B A B ?∈???U U ，则
(,)C x y A B ∈?或(,)C x y A B ∈?或(,)C C x y A B ∈?，于是，
(1)若(,)C x y A B ∈?，则x A ∈且x B ∈，即(,)x y A B ∈?，于是(,)()C x y A B ∈?。
(2)若(,)C x y A B ∈?，则x A ∈且x B ∈，即(,)x y A B ∈?，于是(,)()C x y A B ∈?。
(3)若(,)C C x y A B ∈?，则x A ∈且x B ∈，即(,)x y A B ∈?，于是(,)()C x y A B ∈?。综上可得：()()()()C C C C C A B A B A B A B ?????U U 。
于是()()()()C C C C C A B A B A B A B ?=???U U 。
7．设,,A B C 是三个任意集合，证明：
()()()A B C A B A C ??=???
证：()((\)(\))(\)(\)A B C A B C C B A B C A C B ??=?=??U U
(()\())(()\())()()A B A C A C A B A B A C =????=???U
8．设A,B 为集合，下列命题哪些为真？
（1）(,)x y A B x A ∈??∈且y B ∈
（2）(,)x y A B x A ∈??∈或y B ∈
（3）222A B A B ?=?
（4）若A C B C ?=?，则A B =。
（5）若,A C B C C ?=?≠?，则A B =。
答案：（2），（5）为真。
9．设A 有m 个元素，B 有n 个元素，则A×B 是多少个序对组成的？A×B 有多少个不同的子集？
答：A×B 有mn 个序对；A×B 有2mn 个不同子集。
10．设,A B 是两个集合，B ≠?，试证：若A B B A ?=?，则A B =。
证：x A ?∈，因为B ≠?，故在B 中任取一元素y ，必有(,)x y A B ∈?，因而 (,)x y B B ∈?，故x B ∈。从而A B ?。
反之，x B ?∈，因为B ≠?，故在B 中任取一元素y ，必有(,)x y B B ∈?，因而(,)x y A B ∈?，故x A ∈。从而B A ?。
于是A B =。
33P 习题
1.某班学生中有45％正在学德文，65％正在学法文。问此班中至少有百分之几的学生正同时学德文和法文？
解：设A,B 分别为正在学德文和法文的学生的集合，班级总人数为n ，则 45%,65%A n B n ==g g ，于是同时学习德文和法文的人数为A B I ，故 10%A B A B n n ≥+-=I g 。
于是全班至少百分之十的学生同时学德文和法文。
2．求1到250之间不能被2，3，5，7中任一数整除的数的个数。
解：设{1,2,,250}S =L ，在S 上的定义性质1234,,,,P P P P n S ?∈，
n 具有性质1P （相应地234,,P P P ）当且仅当2|(3|,5|,7|)n n n n 。
令i A 为S 中具有性质i P 之集，1,2,3,4i =，则
12342502|1,2,,22503|1,2,,32505|1,2,,52507|1,2,,7A k k A k k A k k A k k ????==???????
?????==???????
?????==???????
?????==????????L L L L
所求为：
1234
250((125835035)(41251716117)(8532)1)250(293117181)57
S A A A A -=-+++-+++++++++-=--+-=U U U
3．设A,B 是两个有限集，试求2
2?A B ?= 解：22A B ?=222222A B A B A B ??==g
4．马大哈写n 封信，n 个信封，把n 封信放入到n 个信封中，求全部装错的概率是多少？ 解：!n S n =，令A 表示所有信都装错的集合，即
1212{,,,|1,2,,}n n A i i i i i i n =≠≠≠L L 。
令i A 表示第i 个信封恰好装对的集合，则C i A A ?。所以全部装错的集合为：
12C C C n A A A A =I I L I 。
于是，易得
j i n A A n A j i i ≠-=-=,)!2(,)!1(I 。
对于n i i i k ≤<<<≤Λ211，有 )!(21k n A A A ik i i -=I ΛI I 。又
121111211!(1)
!(1)!(2)!(1)(0)!1111!(1(1))1!2!3!!
11111(1)0.3678!1!2!3!!n n C
C C n
i i i j
i i j n i n n n n i n n n i n n n A A A A S A n A A A A n C n C n C n n A A P e S n n =≤<≤==-==-=-+-+-=--+--+-=-+-++-??===-+-++-≈= ???∑∑I I L I I L L L L U I ，故
〔答案：0.3679，当n ≥10时，概率都近似等于0.3679〕。
5．毕业舞会上，小伙子与姑娘跳舞，已知每个小伙子至少与一个姑娘跳过舞，但未能与所有姑娘跳过。同样地，每个姑娘也至少与一个小伙子跳舞，但也未能与所有的小伙子跳过舞。证明：在所有参加舞会的小伙与姑娘中，必可找到两个小伙子和两个姑娘，这两个小伙子中的每一个只与这两个姑娘中的一个跳过舞，而这两个姑娘中的每一个也只与这两个小伙中的一个跳过舞。
证：设12,{,,}n F f f f =L 是小伙的集合，12{,,,}m G g g g =L 是姑娘的集合。 与1f 跳舞的姑娘的集合用1f G 表示；
与2f 跳舞的姑娘的集合用2f G 表示；
M
M M 与n f 跳舞的姑娘的集合用n f G 表示；
于是，由题意：12n f f f G G G G =U UL U 且i f G φ≠且i f G G ≠，1,2,3,,i n =L 。
若存在,()i j f f G G i j ≠，使得i j f f G G ?且j i f f G G ?，则结论成立。
反证法：假设不存在i f G 和j f G 满足i j f f G G ?且j i f f G G ?。于是
,(),i j f f i j i j G G ?≠与应满足：i j f f G G ?或j i f f G G ?必有一个成立。
因此把12n f f f G G G L ，，
，重新排列有： 12i i in f f f G G G ???L 。从而in f 与所有的姑娘都跳过舞，矛盾。
因此假设不成立，本题得证。
第二章 映 射
39P 习题
1. 设A ，B 是有穷集，,A m B n ==
（1）计算B A ；（2）从A 到A 有多少个双射？
解：（1）B n A m =；（2）从A 到A 共有m!个双射。
2. 设X 是一个有穷集合，证明：从X 到X 的部分映射共有(1)X X +个。
证：设:,f A X A X →?，则f 是X 到X 的一个部分映射。 设X n =
当A =?时，f 的个数为001n
C n = 当A 是单元素集时，f 的个数为11n
C n n = 当A 中有2个元素时，f 的个数为22n
C n M
当A 中有k 个元素时，f 的个数为k k n
C n M
当A 中有n 个元素时，f 的个数为n n n
C n 因此f 的总个数为00n
C n +11n C n +L +k k n C n +L +n n n C n ＝(1)n n + ＝(1)X X +
即从X 到X 的部分映射共有(1)X X +个。
4.设121,,,mn u u u +L 是一个两两不相交的整数构成的数列，则必有长至少为1n +的递增子序列或有长至少为1m +的递减子序列。
证：令121{,,}mn A u u u +=L ，则1A mn =+。
设以i u 为首项的最长递增子序列的长度为i +
l ，
设以i u 为首项的最长递减子序列的长度为i -
l 。
反证法：假设题中结论不成立，则,,1,2,3,,1i i n m i mn +
≤≤=+l l L 。
令:{1,2,,}{1,2,,},i A n m u A ?→??∈L L ，()(,)i i i u ?+
-=l l ，则?是单射。
实际上，,i j u u A ?∈且()i j u u i j ≠＜，则
若i j u u ＞，则i j -
-l l ＞，所以(,)(,)i i j j +-+-≠l l l l ；
即()i u ??≠()j u 。
若i j u u ＜，则i j +
+l l ＞，所以(,)(,)i i j j +-+-≠l l l l ；
即()()i j u u ??≠。
故?为单射，从而就有1mn mn +≤矛盾。
43P 习题
1. 证明：从一个边长为1的等边三角形中任意选5个点，那么这5个点中必有2个点，它们之间的距离至多为1/2，而任意10个点中必有2个点其距离至多是1/3。
证：(1) 将边长为1的等边三角形4等分，得到4个边长为1/2的小等边三角形。
任给5个点，由鸽巢原理可知必有一个小等边三角形里面至少有2个点，又因为小等边三角形中任意两个点之间的距离至多为1/2，因此5个点中必有2个点，它们之间的距离至多为1/2。
(2) 连接各边的三等分点，则可得到9个边长都为1/3的小等边小角形，每个小等边三角形中任意两个点之间的距离至多为1/3。将10个点放入该大等边三角形中，则由鸽洞原理，必有一个小等边三角形中至少有2个点，因此任意10个点中必有2个点其距离至多为1/3。
2.已知m 个整数12,,m a a a L ，试证：存在两个整数,,0k k m ≤≤l l ＜，使得12k k a a a +++++l L 能被m 整除。
证：考察下式：
1
12
123
12m
a a a a a a a a a ++++++M
L 若第i 式能被m 整除，则显然成立，此时0,k i ==l ；
若任一式都不能被m 整除，则考察各式被m 整除后的余数，如下式： 111
1222
12333
12m m m
a q m r a a q m r a a a q m r a a a q m r =++=+++=++++=+M
L
由于每一个都不能被m 整除，故共有m 个余数—相当于m 个物体。而任意整数被m 除后，只有m －1个余数——相当于m －1抽屉，于是由鸽巢原理可知必有两个余数相等。设这两个余数为,,()i j r r i j i j ≠＜，对应两式相减便有： 12i i j a a a +++++L 可被m 整除，此时,k i j ==l 。 3. 证明在52个整数中，必有两个整数，使这两个整数之和或差能被100整除。
证：设1252,,,a a a L 是52个整数，令i γ为i a 被100除后所得的余数，即100,099,1,2,,52i i i i a q i γγ=+≤≤=L [相当于52个物体]。
任意一个整数被100除以后的余数为0，1，2，…，99，把它们分成51个类，即{0},{1,99},{2,98},…{49,51},{50}[相当于51个盒子]。
把52个余数,1,2,,52i i γ=L 放入到51个类中，必在两个余数放在一个类里。 设在一个类中的两个余数分别为i γ与j γ，i j ≠。则有
（1） 若i j γγ≠，则0i j γγ+=，即i j a a +能被100整除。
（2） i j γγ=，则0i j γγ-=，即i j a a -能被100整除。
5.设12,,,n a a a L 为1,2,3,,n L 的任一排列，若n 是奇数且
12(1)(2)()0n a a a n ---≠L ，
则乘积为偶数。
解：反证法：若12(1)(2)()n a a a n ---L 为奇数，则()i a i -中的i a 与i 必是一
《离散数学》题库答案 一、选择或填空 (数理逻辑部分) 1、下列哪些公式为永真蕴含式？( ) (1)?Q=>Q →P (2)?Q=>P →Q (3)P=>P →Q (4)?P ∧(P ∨Q)=>?P 答:(1),(4) 2、下列公式中哪些就是永真式？( ) (1)(┐P ∧Q)→(Q →?R) (2)P →(Q →Q) (3)(P ∧Q)→P (4)P →(P ∨Q) 答:(2),(3),(4) 3、设有下列公式,请问哪几个就是永真蕴涵式?( ) (1)P=>P ∧Q (2) P ∧Q=>P (3) P ∧Q=>P ∨Q (4)P ∧(P →Q)=>Q (5) ?(P →Q)=>P (6) ?P ∧(P ∨Q)=>?P 答:(2),(3),(4),(5),(6) 4、公式?x((A(x)→B(y,x))∧ ?z C(y,z))→D(x)中,自由变元就是( ),约束变元就是( )。 答:x,y, x,z 5、判断下列语句就是不就是命题。若就是,给出命题的真值。( ) (1) 北京就是中华人民共与国的首都。 (2) 陕西师大就是一座工厂。 (3) 您喜欢唱歌不？ (4) 若7+8＞18,则三角形有4条边。 (5) 前进！ (6) 给我一杯水吧！ 答:(1) 就是,T (2) 就是,F (3) 不就是 (4) 就是,T (5) 不就是 (6) 不就是 6、命题“存在一些人就是大学生”的否定就是( ),而命题“所有的人都就是要死的”的否定就是( )。 答:所有人都不就是大学生,有些人不会死 7、设P:我生病,Q:我去学校,则下列命题可符号化为( )。 (1) 只有在生病时,我才不去学校 (2) 若我生病,则我不去学校 (3) 当且仅当我生病时,我才不去学校(4) 若我不生病,则我一定去学校 答:(1) P Q →? (2) Q P ?→ (3) Q P ?? (4)Q P →? 8、设个体域为整数集,则下列公式的意义就是( )。 (1) ?x ?y(x+y=0) (2) ?y ?x(x+y=0) 答:(1)对任一整数x 存在整数 y 满足x+y=0(2)存在整数y 对任一整数x 满足x+y=0 9、设全体域D 就是正整数集合,确定下列命题的真值: (1) ?x ?y (xy=y) ( ) (2) ?x ?y(x+y=y) ( ) (3) ?x ?y(x+y=x) ( ) (4) ?x ?y(y=2x) ( ) 答:(1) F (2) F (3)F (4)T 10、设谓词P(x):x 就是奇数,Q(x):x 就是偶数,谓词公式 ?x(P(x)∨Q(x))在哪个个体域中为真?( ) (1) 自然数 (2) 实数 (3) 复数 (4) (1)--(3)均成立 答:(1) 11、命题“2就是偶数或-3就是负数”的否定就是( )。 答:2不就是偶数且-3不就是负数。 12、永真式的否定就是( ) (1) 永真式 (2) 永假式 (3) 可满足式 (4) (1)--(3)均有可能
第2章 电力电子器件概述 习题 第1部分：填空题 1. 电力电子器件是直接用于（主）电路中，实现电能的变换或控制的电子器件。 2. 主电路是在电气设备或电力系统中，直接承担（电能的变换或控制任务） 的电路。 3.处理信息的电子器件一般工作于放大状态，而电力电子器件一般工作在（开关）状态。 4. 电力电子器件组成的系统，一般由（控制电路）、（驱动电路）、（保护电路）、（主电路）四部分组成。 5. 按照器件能够被控制的程度，电力电子器件可分为以下三类：（半控型）、（全控型） 和（不控型）。 6．按照驱动电路信号的性质，电力电子器件可分为以下分为两类：（电流驱动型） 和（电压驱动型） 7. 电力二极管的主要类型有（普通二极管）、（ 快恢复二极管）、（肖特基二极管）。 8. 普通二极管又称整流二极管多用于开关频率不高,一般为（1K ）Hz 以下的整流电路。其反向恢复时间较长，一般在(5us)以上。 9.快恢复二极管简称快速二极管，其反向恢复时间较短，一般在(5us)以下。 10.晶闸管的基本工作特性可概括为：承受反向电压时，不论（门极是否有触发电流），晶闸管都不会导通；承受正向电压时，仅在（门极有触发电流）情况下，晶闸管才能导通；晶闸管一旦导通，（门极）就失去控制作用。要使晶闸管关断，只能使晶闸管的电流（降到接近于零的某一数值以下）。 11.晶闸管的派生器件有：（快速晶闸管）、（双向晶闸管）、（逆导晶闸管）、（光控晶闸管）。 12. 普通晶闸管关断时间（一般为数百微秒），快速晶闸管（一般为数十微秒），高频晶闸管（10us ）左右。高频晶闸管的不足在于其（电压和电流定额）不易提高。 13.（双向晶闸管）可认为是一对反并联联接的普通晶闸管的集成。 14.逆导晶闸管是将（晶闸管）反并联一个（二极管）制作在同一管芯上的功率集成器件。 15. 光控晶闸管又称光触发晶闸管，是利用（一定波长的光照信号）触发导通的晶闸管。光触发保证了主电路与控制电路之间的（绝缘），且可避免电磁干扰的影响。常应用在（高压大功率）的场合。 16. GTO 的开通控制方式与晶闸管相似，但是可以通过在门极（施加负的脉冲电流）使其关断。 17. GTR 导通的条件是：（0CE u >） 且（ 0B i > ）。
数理逻辑部分 选择、填空及判断 ?下列语句不就是命题的( A )。 (A) 您打算考硕士研究生不？ (B) 太阳系以外的星球上有生物。 (C) 离散数学就是计算机系的一门必修课。 (D) 雪就是黑色的。 ?命题公式P→(P∨?P)的类型就是( A ) (A) 永真式(B) 矛盾式 (C) 非永真式的可满足式(D) 析取范式 ?A就是重言式,那么A的否定式就是( A ) A、矛盾式 B、重言式 C、可满足式 D、不能确定 ?以下命题公式中,为永假式的就是( C ) A、p→(p∨q∨r) B、(p→┐p)→┐p C、┐(q→q)∧p D、┐(q∨┐p)→(p∧┐p) ?命题公式P→Q的成假赋值就是( D ) A、 00,11 B、 00,01,11 C、10,11 D、 10 ?谓词公式) x xP∧ ?中,变元x就是 ( B ) R , ( x ) (y A、自由变元 B、既就是自由变元也就是约束变元 C、约束变元 D、既不就是自由变元也不就是约束变元 ?命题公式P→(Q∨?Q)的类型就是( A )。 (A) 永真式 (B) 矛盾式 (C) 非永真式的可满足式 (D) 析取范式 ?设B不含变元x,) x x→ ?等值于( A ) A ) ( (B A、B (D、B x xA→ x ?) ( ( ?C、B x∧ A ?) (B、) ?) xA→ x ) ( A x (B x∨ ?下列语句中就是真命题的就是( D )。 A.您就是杰克不？ B.凡石头都可练成金。 C.如果2+2=4,那么雪就是黑的。 D.如果1+2=4,那么雪就是黑的。 ?从集合分类的角度瞧,命题公式可分为( B ) A、永真式、矛盾式 B、永真式、可满足式、矛盾式 C、可满足式、矛盾式 D、永真式、可满足式 ?命题公式﹁p∨﹁q等价于( D )。 A、﹁p∨q B、﹁(p∨q) C、﹁p∧q D、 p→﹁q ?一个公式在等价意义下,下面写法唯一的就是( D )。 (A) 范式 (B) 析取范式 (C) 合取范式 (D) 主析取范式 ?下列含有命题p,q,r的公式中,就是主析取范式的就是( D )。
《离散数学》题库与答案 一、选择或填空 （数理逻辑部分） 1、下列哪些公式为永真蕴含式？( A ) (1)?Q=>Q→P (2)?Q=>P→Q (3)P=>P→Q (4)?P∧(P∨Q)=>?P 答：在第三章里面有公式（1）是附加律，（4）可以由第二章的蕴含等值式求出（注意与吸收律区别） 2、下列公式中哪些是永真式？( ) (1)(┐P∧Q)→(Q→?R) (2)P→(Q→Q) (3)(P∧Q)→P (4)P→(P∨Q) 答：（2），（3），（4）可用蕴含等值式证明 3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式?( ) (1)P=>P∧Q (2) P∧Q=>P (3) P∧Q=>P∨Q (4)P∧(P→Q)=>Q (5) ?(P→Q)=>P (6) ?P∧(P∨Q)=>?P 答：（2）是第三章的化简律，（3）类似附加律，（4）是假言推理，（3），（5），（6）都可以用蕴含等值式来证明出是永真蕴含式 4、公式x((A(x)B(y，x))z C(y，z))D(x)中，自由变元是( )，约束变元是( )。 答：x,y, x,z（考察定义在公式x A和x A中，称x为指导变元，A为量词的辖域。在x A和x A的辖域中，x的所有出现都称为约束出现，即称x为约束变元，A中不是约束出现的其他变项则称为自由变元。于是A(x)、B(y，x)和z C(y，z)中y为自由变元，x和z为约束变元，在D(x)中x为自由变元） 5、判断下列语句是不是命题。若是，给出命题的真值。( )
(1)北京是中华人民共和国的首都。(2) 陕西师大是一座工厂。 (3) 你喜欢唱歌吗？(4) 若7+8＞18，则三角形有4条边。 (5) 前进！(6) 给我一杯水吧！ 答：（1）是，T （2）是，F （3）不是（4）是，T （5）不是（6）不是（命题必须满足是陈述句，不能是疑问句或者祈使句。） 6、命题“存在一些人是大学生”的否定是( )，而命题“所有的人都是要死的”的否定是( )。 答：所有人都不是大学生，有些人不会死（命题的否定就是把命题前提中的量词“换成存在，换成”，然后将命题的结论否定，“且变或或变且”） 7、设P：我生病，Q：我去学校，则下列命题可符号化为( )。 (1) 只有在生病时，我才不去学校(2) 若我生病，则我不去学校 (3) 当且仅当我生病时，我才不去学校(4) 若我不生病，则我一定去学校答：（1）P ?（注意“只有……才……”和“除非……就……”两者都是一个 Q→ 形式的）（2）Q P→ ? P? ?（4）Q P? →（3）Q 8、设个体域为整数集，则下列公式的意义是( )。 (1) x y(x+y=0) (2) y x(x+y=0) 答：（1）对任一整数x存在整数y满足x+y=0 （2）存在整数y对任一整数x满足x+y=0 9、设全体域D是正整数集合，确定下列命题的真值： (1) x y (xy=y) ( ) (2) x y(x+y=y) ( ) (3) x y(x+y=x) ( ) (4) x y(y=2x) ( ) 答：（1）F (反证法：假若存在，则（x- 1）*y=0 对所有的x都成立，显然这个与前提条件相矛盾) （2）F （同理）（3）F （同理）（4）T（对任一整数x存在整数y满足条件y=2x 很明显是正确的）
试卷二试题与参考答案 一、填空 1、 P:您努力,Q:您失败。 2、 “除非您努力,否则您将失败”符号化为 ; “虽然您努力了,但还就是失败了”符号化为 。 2、论域D={1,2},指定谓词P P (1,1) P (1,2) P (2,1) P (2,2) T T F F 则公式x ??真值为 。 3设A={2,3,4,5,6}上的二元关系}|,{是质数x y x y x R ∨<><=,则 R= (列举法)。 R 的关系矩阵M R = 。 4、设A={1,2,3},则A 上既不就是对称的又不就是反对称的关系 R= ;A 上既就是对称的又就是反对称的关系R= 。 5、设代数系统
二、选择 1、在下述公式中就是重言式为( ) A.)()(Q P Q P ∨→∧; B.))()(()(P Q Q P Q P →∧→??; C.Q Q P ∧→?)(; D.)(Q P P ∨→。 2、命题公式 )()(P Q Q P ∨?→→? 中极小项的个数为( ),成真赋值的个数为 ( )。 A.0; B.1; C.2; D.3 。 3、设}}2,1{},1{,{Φ=S ,则 S 2 有( )个元素。 A.3; B.6; C.7; D.8 。 4、设} 3 ,2 ,1 {=S ,定义S S ?上的等价关系 },,,, | ,,,{c b d a S S d c S S b a d c b a R +=+?>∈∈<><><<=则由 R 产 生的S S ?上一个划分共有( )个分块。 A.4; B.5; C.6; D.9 。 5、设} 3 ,2 ,1 {=S ,S 上关系R 的关系图为 则R 具有( )性质。 A.自反性、对称性、传递性; B.反自反性、反对称性; C.反自反性、反对称性、传递性; D.自反性 。 6、设 ο,+ 为普通加法与乘法,则( )>+<ο,,S 就是域。 A.},,3|{Q b a b a x x S ∈+== B.},,2|{Z b a n x x S ∈== C.},12|{Z n n x x S ∈+== D.}0|{≥∧∈=x Z x x S = N 。 7、下面偏序集( )能构成格。
本科高等数学离散数学试题及答案 一、填空题 1设集合A,B，其中A＝{1,2,3}, B= {1,2}, 则A - B＝____________________; ρ(A) - ρ(B)＝__________________________ . 2. 设有限集合A, |A| = n, 则|ρ(A×A)| = __________________________. 3.设集合A = {a, b}, B = {1, 2}, 则从A到B的所有映射是__________________________ _____________, 其中双射的是__________________________. 4. 已知命题公式G＝?(P→Q)∧R，则G的主析取范式是_______________________________ __________________________________________________________. 5.设G是完全二叉树，G有7个点，其中4个叶点，则G的总度数为__________，分枝点数为________________. 6设A、B为两个集合, A= {1,2,4}, B = {3,4}, 则从A?B＝_________________________; A?B＝_________________________;A－B＝_____________________ . 7. 设R是集合A上的等价关系，则R所具有的关系的三个特性是______________________, ________________________, _______________________________. 8. 设命题公式G＝?(P→(Q∧R))，则使公式G为真的解释有__________________________，_____________________________, __________________________. 9. 设集合A＝{1,2,3,4}, A上的关系R1 = {(1,4),(2,3),(3,2)}, R1 = {(2,1),(3,2),(4,3)}, 则 R1?R2 = ________________________,R2?R1 =____________________________, R12 =________________________. 10. 设有限集A, B，|A| = m, |B| = n, 则| |ρ(A?B)| = _____________________________. 11设A,B,R是三个集合，其中R是实数集，A = {x | -1≤x≤1, x∈R}, B = {x | 0≤x < 2, x∈R},则A-B = __________________________ , B-A = __________________________ , A∩B = __________________________ , . 13.设集合A＝{2, 3, 4, 5, 6}，R是A上的整除，则R以集合形式(列举法)记为___________ _______________________________________________________. 14. 设一阶逻辑公式G = ?xP(x)→?xQ(x)，则G的前束范式是__________________________ _____. 15.设G是具有8个顶点的树，则G中增加_________条边才能把G变成完全图。
电气工程及其自动化专业本科生培养方案 一、培养目标 本专业培养具备电气工程领域相关的基础理论、专业技术和实践能力，具有宽广的自然科学基础和良好的人文素养，富于创新精神，能在电机与电器、电力系统、工业自动化以及电气装备制造等领域从事科学研究、工程设计、系统运行、试验分析、管理等工作的宽口径、复合型高级工程技术人才，以及具有国际竞争力的高水平研究型精英人才或工程领军人才。 二、培养要求 本专业学生主要学习电路、电磁场、电子技术基础、计算机技术、信号分析与处理、通信与网络技术、电机学、自动控制理论和电力电子技术等方面基础理论和专业知识，接受电工、电子、信息、控制及计算机技术方面的基本训练，掌握解决电气工程领域中的装备设计与制造、系统分析与运行及控制的基本能力。 毕业生应当具备以下几方面的知识和能力： 1.掌握较扎实的高等数学和大学物理等自然科学基础知识，具有较好的人文社会科学和管理科学基础，具有一定的外语国际交流和运用能力； 2.系统地掌握电气工程学科的基础理论和基本知识，主要包括电工理论、电子技术、信息处理、控制理论、计算机软硬件基本原理与应用等； 3.掌握电气工程相关的系统分析方法、设计方法和实验技术； 4.具有本专业领域内至少一个专业方向（电机、电力系统、工业自动化和电器）的专业知识和技能，了解本专业学科前沿的发展趋势； 5.具有较强的适应能力，具备一定的科学研究、技术开发和组织管理能力； 6.具有较好的工程实践动手能力和计算机应用能力，能综合运用所学知识分析和解决本领域工程问题； 7.掌握其他的一些技能，如信息技术获取，组织管理，团队合作，持续的知识学习等。 三、主干学科 电气工程。 四、专业主干课程 C语言程序设计、机械学基础、电路、模拟电子技术基础、数字电子技术基础、电磁场、电机学、自动控制理论、嵌入式系统原理及应用、仿真技术与应用、电力电子技术、信号与系统、工业通信与网络技术。 五、修业年限、授予学位及毕业学分要求 修业年限：四年。 授予学位：工学学士。 毕业学分要求：本专业学生应达到学校对本科毕业生提出的德、智、体、美等方面的要求，完成教学计划规定的全部课程的学习及实践环节训练，修满167.5学分，其中通识教育类课程 62.5学分，专业教育类课程68.0学分，实践环节37.0学分，毕业设计（论文）答辩合格，方可准予毕业。
1.沿程阻力， 2.时间平均压强， 3.水力短管，5.翼弦 6.点汇， 7.旋涡强度， 8.速度势函数， 9.水力粗糙管，10.紊流 1.局部阻力， 2.时间平均流速， 3.水力长管，，5.翼弦 1．6.点源，7.涡线，8.流函数，9.水力光滑管，10.层流 2．水击现象、边界层 3．入口起始段、攻角、空气动力翼弦 1.简述边界层的特点 2.何谓述叶栅理论中的正问题和反问题 二、简答题（10分） 1. 在机翼理论中，如何利用保角变换法解决机翼绕流问题的 2.试推求有压管路产生水击时压强最大升高值的计算公式， 并说明减小水击的措施。（10分） 二、简答题 1．试分析流体流经弯管时局部阻力产生的具体原因是什么？（8分） 2．结合流体对圆柱体的有环量绕流，分析升力是如何产生的？（7分） 3．简述粘性流体绕物体流动时压差阻力产生的原因。 4．简述水击现象的物理过程，并说明减少水击现象的措施。 5．简述曲面边界层的分离现象 三、推求边界层的动量积分关系式（15分） 四、推求边界层的微分方程（普朗特边界层方程）
四、试推导说明圆柱外伸管嘴出流流量大于同直径薄壁小孔口的出流流量（10分） 三．推导理想流体平面有势流动中偶极流的速度势函数和流函数。（15分） 说明速度势函数的存在条件，并证明速度势函数的特性 说明流函数的存在条件，并证明流函数的特性 四．流体在长为l 的水平放置的等直径圆管中作定常流动，若已知沿程损失因数为λ，管壁切应力为τ，断面平均流速为V ； 试证明：28 V λ τρ= 。 （15分） 试推导二元旋涡的速度和压强分布 试证明旋涡理论中的斯托克斯定理 试证明速度环量保持不变的汤姆逊定理 三、推导、证明题 1.试推导圆管层流流动的速度分布规律，并求： （1）断面平均流速 （2）动能修正因数 (15分) 五、用突然扩大使管道的平均流速从1V 减到2V ，如图所示，如果 cm d 51=及1V 一定，试求使测压管液柱差h 成为最大值的2V 及2d 为若 干？并求m ax h 是多少？（10分）
《离散数学》期末复习题 一、填空题（每空2分，共20分） 1、集合A上的偏序关系的三个性质是、 和。 2、一个集合的幂集是指。 3、集合A={b,c}，B={a,b,c,d,e}，则A?B= 。 4、集合A={1,2,3,4}，B={1,3,5,7,9}，则A?B= 。 5、若A是2元集合, 则2A有个元素。 6、集合A={1,2,3｝，A上的二元运算定义为：a* b = a和b两者的最大值，则 2*3= 。 7、设A={a, b,c,d }, 则∣A∣= 。 8、对实数的普通加法和乘法，是加法的幂等元， 是乘法的幂等元。 9、设a,b,c是阿贝尔群
19、代数系统是指由及其上的或 组成的系统。 20、设
离散数学试题及答案 一、填空题 1设集合A,B，其中A＝{1,2,3}, B= {1,2}, 则A - B＝____________________; ρ(A) - ρ(B)＝__________________________ . 2. 设有限集合A, |A| = n, 则|ρ(A×A)| = __________________________. 3.设集合A = {a, b}, B = {1, 2}, 则从A到B的所有映射是__________________________ _____________, 其中双射的是__________________________. 4. 已知命题公式G＝?(P→Q)∧R，则G的主析取范式是_______________________________ __________________________________________________________. 5.设G是完全二叉树，G有7个点，其中4个叶点，则G的总度数为__________，分枝点数为________________. 6设A、B为两个集合, A= {1,2,4}, B = {3,4}, 则从A?B＝_________________________; A?B ＝_________________________;A－B＝_____________________ . 7. 设R是集合A上的等价关系，则R所具有的关系的三个特性是______________________, ________________________, _______________________________. 8. 设命题公式G＝?(P→(Q∧R))，则使公式G为真的解释有__________________________， _____________________________, __________________________. 9. 设集合A＝{1,2,3,4}, A上的关系R1 = {(1,4),(2,3),(3,2)}, R1 = {(2,1),(3,2),(4,3)}, 则 R1?R2 = ________________________,R2?R1 =____________________________, R12 =________________________. 10. 设有限集A, B，|A| = m, |B| = n, 则| |ρ(A?B)| = _____________________________. 11设A,B,R是三个集合，其中R是实数集，A = {x | -1≤x≤1, x∈R}, B = {x | 0≤x < 2, x∈R},则A-B = __________________________ , B-A = __________________________ , A∩B = __________________________ , . 13.设集合A＝{2, 3, 4, 5, 6}，R是A上的整除，则R以集合形式(列举法)记为___________ _______________________________________________________. 14. 设一阶逻辑公式G = ?xP(x)→?xQ(x)，则G的前束范式是__________________________ _____. 15.设G是具有8个顶点的树，则G中增加_________条边才能把G变成完全图。
《离散数学》题库答案 一、选择或填空 （数理逻辑部分） 1、下列哪些公式为永真蕴含式？( ) (1)?Q=>Q →P (2)?Q=>P →Q (3)P=>P →Q (4)?P ∧(P ∨Q)=>?P 答：（1），（4） 2、下列公式中哪些是永真式？( ) (1)(┐P ∧Q)→(Q →?R) (2)P →(Q →Q) (3)(P ∧Q)→P (4)P →(P ∨Q) 答：（2），（3），（4） 3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式?( ) (1)P=>P ∧Q (2) P ∧Q=>P (3) P ∧Q=>P ∨Q (4)P ∧(P →Q)=>Q (5) ?(P →Q)=>P (6) ?P ∧(P ∨Q)=>?P 答：（2），（3），（4），（5），（6） 4、公式 x((A(x) B(y ，x)) z C(y ，z))D(x)中，自由变元是( )，约束变元是( )。 答：x,y, x,z 5、判断下列语句是不是命题。若是，给出命题的真值。( ) (1) 北京是中华人民共和国的首都。 (2) 陕西师大是一座工厂。 (3) 你喜欢唱歌吗？ (4) 若7+8＞18，则三角形有4条边。 (5) 前进！ (6) 给我一杯水吧！ 答：（1） 是，T （2） 是，F （3） 不是 （4） 是，T （5） 不是 （6） 不是 6、命题“存在一些人是大学生”的否定是( )，而命题“所有的人都是要死的”的否定是( )。 答：所有人都不是大学生，有些人不会死 7、设P ：我生病，Q ：我去学校，则下列命题可符号化为( )。 (1) 只有在生病时，我才不去学校 (2) 若我生病，则我不去学校 (3) 当且仅当我生病时，我才不去学校(4) 若我不生病，则我一定去学校 答：（1） P Q →? （2） Q P ?→ （3） Q P ?? （4）Q P →? 8、设个体域为整数集，则下列公式的意义是( )。 (1) x y(x+y=0) (2) y x(x+y=0) 答：（1）对任一整数x 存在整数 y 满足x+y=0（2）存在整数y 对任一整数x 满足x+y=0 9、设全体域D 是正整数集合，确定下列命题的真值： (1) x y (xy=y) ( ) (2) x y(x+y=y) ( ) (3) x y(x+y=x) ( ) (4) x y(y=2x) ( ) 答：（1） F （2） F （3）F （4）T 10、设谓词P(x)：x 是奇数，Q(x)：x 是偶数，谓词公式 x(P(x)Q(x))在哪个个体域中为真?( ) (1) 自然数 (2) 实数 (3) 复数 (4) (1)--(3)均成立 答：（1） 11、命题“2是偶数或-3是负数”的否定是（ ）。 答：2不是偶数且-3不是负数。 12、永真式的否定是（ ） (1) 永真式 (2) 永假式 (3) 可满足式 (4) (1)--(3)均有可能 答：（2） 13、公式(?P ∧Q)∨(?P ∧?Q)化简为（ ），公式 Q →(P ∨(P ∧Q))可化简为（ ）。 答：?P ，Q →P
离散数学练习题 第一章 一．填空 1.公式) ∨ ? ∧的成真赋值为 01；10 ? p∧ ( (q ) p q 2.设p, r为真命题，q, s 为假命题，则复合命题) ? ? →的真值为 0 p→ ( q (s ) r 3.公式) ∨ ? p∧ q ?与共同的成真赋值为 01；10 ? ∧ p ( ) ) (q q p ( 4.设A为任意的公式，B为重言式，则B A∨的类型为重言式 5．设p, q均为命题，在不能同时为真条件下，p与q的排斥也可以写成p与q的相容或。 二．将下列命题符合化 1. 7不是无理数是不对的。 解：) ? ?，其中p: 7是无理数；或p，其中p: 7是无理数。 (p 2.小刘既不怕吃苦，又很爱钻研。 解：其中 ?p: 小刘怕吃苦，q：小刘很爱钻研 p∧ ,q 3.只有不怕困难，才能战胜困难。 解：p →，其中p: 怕困难，q: 战胜困难 q? 或q →，其中p: 怕困难， q: 战胜困难 p? 4.只要别人有困难，老王就帮助别人，除非困难解决了。 解：) → ?，其中p: 别人有困难，q:老王帮助别人，r: 困难解决了 p (q r→ 或：q ?) (，其中p:别人有困难，q: 老王帮助别人，r: 困难解决了r→ ∧ p 5.整数n是整数当且仅当n能被2整除。 解：q p?，其中p: 整数n是偶数，q: 整数n能被2整除 三、求复合命题的真值 P：2能整除5， q：旧金山是美国的首都， r：在中国一年分四季 1. )) p∧ → q ∨ r → ∧ ((q r ( ) ( ) p 2.r ?) → (( → (( ∨ ) ( )) p r p ∨ p q ? ∧ ? q∧ 解：p, q 为假命题，r为真命题 1.)) p∧ → q ∨的真值为0 r → ∧ ( ) ( ) ((q p r
《工程流体力学》综合复习资料 一、判断题 1、根据牛顿内摩擦定律, 当流体流动时, 流体内部内摩擦力大小与该处的流 速大小成正比。 2、一个接触液体的平面壁上形心处的水静压强正好等于整个受压壁面上所有 各点水静压强的平均值。 3、流体流动时, 只有当流速大小发生改变的情况下才有动量的变化。 4、在相同条件下, 管嘴出流流量系数大于孔口出流流量系数。 5、稳定( 定常) 流一定是缓变流动。 6、水击产生的根本原因是液体具有粘性。 7、长管是指运算过程中流速水头不能略去的流动管路。 8、所谓水力光滑管是指内壁面粗糙度很小的管道。 9、外径为D, 内径为d的环形过流有效断面, 其水力半径为 4d D- 。 10、凡是满管流流动, 任何断面上的压强均大于大气的压强。 二、填空题 1、某输水安装的文丘利管流量计, 当其汞-水压差计上读数cm h4 = ?, 经过的流量为s L/ 2, 分析当汞水压差计读数cm h9 = ?, 经过流量为L/s。 2、运动粘度与动力粘度的关系是v=u/p , 其国际单位是厘斯(mm2/s) 。 3、因次分析的基本原理是: 因次和谐的原理 ; 具体计算方法分为两 种。 4、断面平均流速V与实际流速u的区别是。 5、实际流体总流的伯诺利方程表示式为 , 其适用条件是。 6、泵的扬程H是指扬程, m。 7、稳定流的动量方程表示式为。
8、计算水头损失的公式为与。 9、牛顿内摩擦定律的表示式τ=μγ , 其适用范围是是指在温度不变 的条件下, 随着流速梯度的变化, μ值始终保持一常数。 10、压力中心是指作用在物体上的空气动力合力的作用点。 三、简答题 1、稳定流动与不稳定流动。---流体在管道内或在窑炉系统中流动时, 如果任 一截面上的流动状况(流速、压强、重度、成分等)都不随时间而改变, 这种流动就称为稳定流动; 反之, 流动各量随着时间而改变, 就称为不稳定流动。实际上流体(如气体, 重油等)在管道内或窑炉系统中流动时, 只要波动不太大, 都能够视为稳定流动。 2、 产生流动阻力的原因。---直管阻力: 流体流经直管段时, 由于克服流体的粘滞性及与管内壁间的磨擦所产生的阻力。有粘管壁, 其壁面的流动速度降为0. 局部阻力: 流体流经异形管或管件时, 由于流动发生骤然变化引起涡流所产生的能量损失。 3、串联管路的水力特性。---串联管路无中途分流和合流时, 流量相等, 阻力 叠加。串联管路总水头损失等于串联各管段的水头损失之和, 后一管段的流量等于前一管段流量减去前管段末端泄出的流量。 4、如何区分水力光滑管和水力粗糙管, 两者是否固定不变? ---在紊流中存在 层流底层, 当层流底层厚度δl＞5Δ时, 粗糙高度几乎全被层流底层淹没, 管壁对紊流区流体的影响很小, 这与流体在完全光滑的管道中流动类似, 这种情况的管子叫做水力光滑管。当层流底层厚度δl＜0.3Δ时, 管壁上几乎所有的凸峰都暴露在紊流中, 紊流去的流体质点与凸峰相互碰撞, 阻力增加, 此时的管子叫做水利粗糙管。 5、静压强的两个特性。---1.静压强的方向是垂直受压面, 并指向受压面。2. 任一点静压强的大小和受压面方向无关, 或者说任一点各方向的静压强均相等。
哈工大电气学院 生产实习报告 姓名： 学号： 班级： 专业：电气工程及其自动化 实习时间：2014年夏季学期 2014.7.20
目录 一、前言 (2) 二、实习流程 (2) 三、实习概况 (2) 1、哈尔滨热电厂 (2) 2、哈尔滨同为电气 (3) 3、哈尔滨电机厂 (3) 4、固泰电子 (4) 5、长春第一汽车制造厂 (5) 6、一汽解放汽车有限公司卡车厂薄板车间 (6) 7、一汽兴业公司会议室听安全教育讲座 (6) 四、主要理论技术与生产工艺介绍 (7) 1、锻造工艺 (7) 2、冲压工艺 (7) 3、焊接工艺 (7) 4、烟气脱硫技术 (7) 5、数控编程 (8) 6、发电机 (8) 7、汽车喇叭 (8) 五、思考题 (8) 六、实习感想 (11)
一、前言 生产实习是电气工程及其自动化专业教学计划的重要组成部分，是我们在校期间理论联系实际，增长实践知识的重要手段和方法之一。通过实习，使我们在学校所学到的理论知识与生产实践相结合，综合运用所学到的知识解决生产实践中遇到的问题。通过实践，我们可以验证、巩固和深化所学的理论知识，培养了我们分析问题和解决问题的能力，使我们系统了解专业情况，加深对专业理论知识的全面理解。参加专业劳动，学习生产技能，培养优良作风，提高思想觉悟，扩大视野，为以后的工作实践增强感性认识。 实践是大学生活的第二课堂，是知识常新和发展的源泉，是检验真理的试金石，也是大学生锻炼成长的有效途径。一个人的知识和能力只有在实践中才能发挥作用，才能得到丰富、完善和发展。大学生成长，就要勤于实践，将所学的理论知识与实践相结合一起，在实践中继续学习，不断总结，逐步完善，有所创新，并在实践中提高自己由知识、能力、智慧等因素融合成的综合素质和能力，为自己事业的成功打下良好的基础，在这样的实际条件下，我们十分有必要去进行一次生产实习。 二、实习流程 2014年7月7日实习动员大会 2014年7月8日哈尔滨热电厂 2014年7月9日哈尔滨同为电 2014年7月10日下午哈尔滨电机厂 2014年7月10日上午固泰电子 2014年7月16日-18日长春第一汽车制造厂 2014年7月23日生产实习讲座 三、实习概况 1、哈尔滨热电厂
1 / 15 离散数学（2）复习题 一、单项选择题 1、由集合运算定义，下列各式正确的有（ A ）。 A.X ?X ?Y B.X ?X ?Y C.X ?X ?Y D.Y ?X ?Y 2、设A B -=?，则有（ C ）。 A.B =? B.B ≠? C.A B ? D.A B ? 3、对任意的集合A 、全集U ，下列命题为假的是（ D ）。 A.A ?? ＝A ， B.A ?U = U C.A ?? = ?， D.A ?U = U 4、集合A={1，2，…，10}上的关系R={
后面有些2009及2010年的复试题，很有参考价值哦。 本人电气工程专业，亲历2011年哈工大复试，总的来说还是很公正公平的。要把握住笔试环节，考取高分很重要，其实好好复习也不难。2011年的复试中的笔试，自控部分基本和2009年题型一样，甚至重复的很多。只要复习好书本划定的范围，就没问题。而电力电子部分的变化较大，主要改动有抽取电力电子教材（指定的那本）大概20左右的（记得不是很准）原理图以及打乱的产生的波形及PWM 那一章的图几乎都有哦，让你们将其对应起来（也就是多选题，选错就没分，少选还扣分）。我觉得主要变化就是更加侧重分析理解书本的图形原理。当然一定要抓住划定的考试范围，这点很重要，不能盲目。对于划定范围内的一定要复习理解透彻。做好这些，相信没问题。至于面试环节，就是尽量有自己的实践或者擅长的东西给老师说说，不要基本的都没有搞懂就说自己做过这做过那，不然被识破很难看的。也就是宁缺毋滥，还要有闪光点，对自己做的课题或者项目有很好的表述。面试抽题时候，有个计算机控制还是什么，反正我没学过，要提前准备下，总共应该有电机学、单片机、计算机控制等等吧。我当年是抽的单片机的中断源有那几个，还很简单。总之，也要准备下这一块。实在不行，等面试的时候，遇见工大一块面试的，就从他们那借下资料，复印下，面试前看看，也行。工大的学生，有些会愿意給借的，不过我那年没遇到这么好的，你们试试吧，予人玫瑰，手有余香嘛，借给别人也不会给你多大的损失。还有就是算好自己的笔试复试成绩，当录取结果出来的时候以免老师把你算掉了，因为人数很多
还有查清每个人的调剂自愿，出错误也难免，做到自己心里有数，出了问题找那里的老师，一般还算公平。 最后提醒大家，工大的复印店有很多复试的资料哦。舍得花钱买，才行。主楼里面也有复印店，里面有很多面试问题，可以看看。分数出来了，只要感觉能进复试，就早点去工大吧，住他们宿舍，还是很方便的，晚了就没有了。 预测，2012年的复试题怎么变化我真不知道，上面是2011年的回忆。我觉得2012的自控应该和2010年像，电力电子题型可能还是和2010一样吧。只要好好复习那两本书，自信去考，肯定没问题。祝大家考出好成绩。有错误多多包涵，时间长了，记不住了。
黑龙江省精品课程 电力电子技术基础 作业（3章） 2014年 2月
第3章整流电路习题 第1部分：简答题 1.什么是半波整流器？什么是全波整流器？举例说明其拓扑结构有什么不同？ 2. 针对晶闸管变流器，给出下列名词的定义：自然换流点，触发延迟角，导通角和移相控制范围。 3.什么是变流器的相位控制方式？ 4.什么是有源逆变？简述有源逆变产生的条件，并比较晶闸管变流器整流工作模式与逆变工作模式的差别。 5.逆变角是如何定义的？简述当晶闸管变流器工作于逆变状态时，应如何限制逆变角才能保证正常换流？简述逆变失败的原因及逆变失败所产生的后果。 6.晶闸管三相桥式变流电路，在设计触发电路时，为什么要采用“双窄脉冲”触发方式？晶闸管单相桥式变流电路，是否也需要采用这种双窄脉冲触发方式，为什么？ 7.为什么随着触发角α的增加，晶闸管整流器的功率因数会变降低？ 8.二极管桥式整流电路，负载侧并联大电容时，为什么在启动时会产生突入电流，突入电流有何危害，如何抑制突入电流？ 第2部分：画图及计算题 1.当要求设备即可以在115V，又可以在230V交流输入电压下工作时，可采用如图3－1所 示倍压整流电路为设备提供直流电源。当输入电压为230V时，电压选择开关断开；当输入电压为115V时，电压选择开关闭合。试说明在这两种情况下整流输出电压是相同的。 图 3－1
2. 图3－2所示单相桥式半控整流电路（半控指将变流器中的一半晶闸管换成二极管，所以只有一半器件是可控的），大电感负载（近似认为负载电流恒定为Id ），回答下列问题： 1)画出在α＝0o，α＝90o时直流输出电压vd ，电源电流is ，S1中电流is1，D1中电流iD1的波形（规定：器件的正向导电方向为电流的正方向）。 2)推导直流输出电压Vd 的解析表达式（即Vd 与相电压有效值Vs,触发角α的关系表达式）。 3)说明该电路能否工作于有源逆变状态。试说明单相桥式半控整流电路与全控变流电路（全部器件都是晶闸管）相比，有那些优缺点？ 图3－2 3. 单相桥式晶闸管变流电路如图3－3所示，交流电源电压有效值Vs=100V ，负载中rd =2Ω，Ld 值极大，反电势Ed=60V ，假定Ls ＝0。回答下列问题： 1）计算使晶闸管能触发导通的最小触发角； 2）当 时，求整流输出平均电压Vd 、平均电流Id ，输入电流有效值Is ，输入电流畸 变率THD ，功率因数PF 。 提示： 图3－ 3 ) ]