有理数培优题 基础训练题
一、填空：
1、在数轴上表示－ 2 的点到原点的距离等于（ ）。
2、若∣ a ∣=－a, 则 a （
） 0.
3、任何有理数的绝对值都是（
）。
4、如果 a+b=0,那么 a 、b 一定是（
）。
5、将 0.1 毫米的厚度的纸对折 20 次，列式表示厚度是（ ）。
6、已知 | a | 3,| b | 2,| a b | a b ，则 a b （ ）
7、 | x 2 | | x 3| 的最小值是（
）。
8、在数轴上，点 A 、 B 分别表示
1 1
）。 4
， ，则线段 AB 的中点所表示的数是（
2
a b 2010
9、若 a,b 互为相反数， m, n 互为倒数， P 的绝对值为 3，则
mn p 2
（
）。
p
10、若 abc ≠0，则
| a |
| b | | c |
的值是（ ） .
a b c
11、下列有规律排列的一列数： 1、3 、2 、5 、3
、 ，其中从左到右第 100 个数是（
）。
4 3 8 5
二、解答问题：
1、已知 x+3=0,|y+5|+4 的值是 4，z 对应的点到 -2 对应的点的距离是 7，求 x 、y 、 z 这三个 数两两之积的和。
3、若 2x | 4 5x |
|1 3x | 4 的值恒为常数，求 x 满足的条件及此时常数的值。
4、若 a,b,c 为整数，且 | a
b |2010
| c
a |2010 1，试求 |c a |
| a b | | b c | 的值。
5、计算：－ 1 ＋5－ 7 ＋ 9
－ 11＋13－15＋17
2 6 12 20 30 42 56 72
6、应用拓展：将七只杯子放在桌上，使三只口朝上，四只口朝下。现要求每次翻转其中任意四只，使它们杯口朝向相反，问能否经有限次翻转后，让所有杯子杯口朝下？
能力培训题
知识点一：数轴
例 1：已知有理数
a 在数轴上原点的右方，有理数
b 在原点的左方，那么（
）
A ． ab
b
B ． ab
b C
． a
b
0 D
． a
b
拓广训练：
1、如图a, b为数轴上的两点表示的有理数，在 a b, b 2a, a b , b a 中，负数的个数有
（）（“祖冲之杯”邀请赛试题）
a O b
A．1 B．2C．3D．4
3、把满足 2 a 5 中的整数a表示在数轴上，并用不等号连接。
2、利用数轴能直观地解释相反数；
例 2：如果数轴上点 A 到原点的距离为3，点 B 到原点的距离为5，那么 A、B 两点的距离
为。
拓广训练：
1、在数轴上表示数a的点到原点的距离为 3，则a 3 _________ .
2、已知数轴上有 A、 B 两点， A、 B 之间的距离为 1，点 A 与原点 O的距离为 3，那么所有满
足条件的点 B与原点 O的距离之和等于。（北京市“迎春杯”竞赛题）3、利用数轴比较有理数的大小；
例 3：已知a 0,b 0 且a b 0，那么有理数a,b, a, b 的大小关系是。（用“”号连接）（北京市“迎春杯”竞赛题）
拓广训练：
1、若m 0, n 0且m n，比较m, n, m n, m n, n m 的大小，并用“”号连接。
例 4：已知 a 5 比较 a 与 4 的大小
拓广训练：
1、已知 a 3 ，试讨论 a 与 3 的大小
2 、已知两数a, b，如果a比 b 大，试判断 a 与 b 的大小
4、利用数轴解决与绝对值相关的问题。
例 5：有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示，式子 a b a b b c 化简结果为（）A． 2a 3b c B ． 3b c C ． b c D ． c b
拓广训练：
1、有理数a, b,c在数轴上的位置如图所示，则化简 a b b 1 a c 1 c 的结果
为。 b a O c 1
2、已知 a b a b 2b ，在数轴上给出关于a, b的四种情况如图所示，则成立的
是。
a 0 ①
b b 0
②
0 a b
③
0 b a
④
a
3、已知有理数 a, b, c 在数轴上的对应的位置如下图：则 c 1 a c
a b 化简后的结果是
（
）
（湖北省初中数学竞赛选拨赛试题）
-1 c
O
a b
A ． b 1
B ． 2a b 1
C ． 1 2a b 2c
D ．1 2c b
三、培优训练
1、已知是有理数，且
2
2 y 1 2
0 ，那以 x
y 的值是（
）
x 1
A ．
1
B ．
3
C ．1
或
3 D ． 或 3
2 2
2
2
1 2
2、（ 07 乐山）如图，数轴上一动点 A 向左移动 2 个单位长度到达点 B ，再向右移动 5 个单
位长度到达点 C ．若点 C 表示的数为 1，则点 A 表示的数为（ ） 5
A C Ａ． 7 Ｂ． 3 Ｃ． 3 Ｄ． 2
B 2 0 1
3、如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距 1 个单位，点 A 、B 、C 、D 对应的数分别是
整数 a, b, c, d 且 d 2a
10，那么数轴的原点应是（
）
C
D
A B
A ．A 点
B ．B 点
C ．C 点
D ．D 点
4、数 a, b,c, d 所对应的点 A ，B ，C ，D 在数轴上的位置如图所示，那么 a c 与 b d 的大小关
系是（
）
A ． a c b d
B ． a c b d
C ． a c b d
D ．不确定的
5、不相等的有理数 a,b,c 在数轴上对应点分别为 A ，B ，C ，若 a b b c a
c ，那么点 B
（
）
A ．在 A 、C 点右边
B ．在 A 、
C 点左边 C ．在 A 、 C 点之间
D ．以上均有可能
6、设 y
x 1 x 1 ，则下面四个结论中正确的是（
）（全国初中数学联赛题）
A ． y 没有最小值
B
．只一个 x 使 y 取最小值
C ．有限个 x （不止一个）使 y 取最小值 D
．有无穷多个 x 使 y 取最小值
7、在数轴上，点 A ， B 分别表示
1
和 1
，则线段 AB 的中点所表示的数是
。
3 5
8、若 a 0,b 0 ，则使 x a x b a
b 成立的 x 的取值范围是
。
9、 x 是有理数，则 x 100
x
95 的最小值是
。
221
221
10、已知 a, b,c, d 为有理数，在数轴上的位置如图所示： d
b
O
a
c
且 6 a 6b 3c 4 d 6, 求 3a 2d 3b
2a 2b c 的值。
11、（南京市中考题） (1) 阅读下面材料：
点 A、B 在数轴上分别表示实数a, b，A、B 两点这间的距离表示为AB ，当 A、B 两点中有一
O (A) B 点在原点时，不妨设点 A 在原点，如图1， AB OB b a b ；当 A、B 两点都不在原点
o b 时，O A B
o a b
①如图 2，点 A、B 都在原点的右边 AB OB OA b a b a a b ；
B A O
②如图 3，点 A、B 都在原点的左边 AB OB OA b a b a a b ；
a o
b
③如图 4，点 A、B 在原点的两边 AB OA OB a b a b a B O A
b 。
b o a
综上，数轴上 A、 B 两点之间的距离 AB a b 。
（2）回答下列问题：
①数轴上表示 2 和 5 两点之间的距离是，数轴上表示 -2 和-5 的两点之间的距离
是，数轴上表示 1 和-3 的两点之间的距离是；
②数轴上表示 x 和-1的两点A和B之间的距离是，如果 AB 2 ，那么x
为；
③当代数式 x 1 x 2 取最小值时，相应的x的取值范围是；
④求 x 1 x 2 x 3 x 1997 的最小值。
聚焦绝对值
一、阅读与思考
绝对值是初中代数中的一个重要概念，引入绝对值概念之后，对有理数、相反数以及后续要
学习的算术根可以有进一步的理解；绝对值又是初中代数中一个基本概念，在求代数式的值、代数式的化简、解方程与解不等式时，常常遇到含有绝对值符号的问题，理解、掌握绝对值
概念应注意以下几个方面：
1、脱去绝值符号是解绝对值问题的切入点。
脱去绝对值符号常用到相关法则、分类讨论、数形结合等知识方法。
去绝对值符号法则：
2、恰当地运用绝对值的几何意义
从数轴上看 a 表示数a的点到原点的距离； a b 表示数a、数 b 的两点间的距离。
3、灵活运用绝对值的基本性质
① a 0 ② a2 2 ③ ab a b ④ a a
⑤ a b a b
a a2
b 0
b b
⑥ a b a b
二、知识点反馈
1、去绝对值符号法则
例 1：已知 a 5, b 3 且 a b b a 那么 a b。
拓广训练：
1、已知 a 1, b 2, c 3, 且 a b c ，那么a b c 2。（北京市“迎春杯”竞赛题）
2、若 a 8, b 5 ，且 a b 0 ，那么 a b 的值是（）
A．3 或 13 B ．13 或-13 C ．3 或-3 D ．-3 或-13 2、
恰当地运用绝对值的几何意义
例 2：x 1 x 1 的最小值是（）
A．2 B．0 C．1
解法 1、分类讨论
当 x1时， x 1 x 1 D．-1 x
1 x 1 2x 2；
当 1 x 1时， x 1 x1 x1 x 1 2 ；
当 x 1 时 x 1 x1 x1 x1 2x 2 。
比较可知，x 1 x 1 的最小值是 2，故选 A。
解法 2、由绝对值的几何意义知 x 1 表示数x所对应的点与数 1 所对应的点之间的距离； x 1 表示数 x 所对应的点与数-1所对应的点之间的距离；x 1 x 1 的最小值是指x点到 1 与-1 两点距离和的最小值。如图易知
x -1 x 1 x
当 1 x 1时， x 1 x 1 的值最小，最小值是2故选 A。
拓广训练：
1、已知 x 3 x 2 的最小值是a， x 3 x 2 的最大值为 b ，求 a b 的值。
三、培优训练
1、如图，有理数a, b在数轴上的位置如图所示：-2 a -1 0 b 1
则在 a b, b 2a, b a , a b , a 2, b 4 中，负数共有（）（湖北省荆州市竞赛题）A．3个 B ．1个 C ．4个 D ．2个
2、若m是有理数，则 m m 一定是（）
A．零 B ．非负数 C ．正数 D ．负数
3、如果x 2 x2 0，那么x 的取值范围是（）
A． x 2 B ．x 2 C ．x 2 D ．x 2
4、a, b 是有理数，如果 a b a b ，那么对于结论（1）a一定不是负数；（2） b 可能是负
数，其中（）（第15 届江苏省竞赛题）
A．只有（ 1）正确 B ．只有（ 2）正确 C ．（ 1）（2）都正确 D ．（ 1）（2）都不正确
5、已知 a a ，则化简 a 1 a 2 所得的结果为（）
A． 1 B ． 1 C．2a 3 D．32a
6、已知 0 a 4 ，那么 a 2 3 a 的最大值等于（）
A．1 B．5 C．8 D．9
7、已知a, b, c都不等于零，且x a b c abc
，根据 a,b, c 的不同取值， x 有（）
a b c abc
A．唯一确定的值 B ． 3 种不同的值 C ．4 种不同的值 D ．8 种不同的值8、满足 a b a b 成立的条件是（）（湖北省黄冈市竞赛题）
A． ab 0 B ． ab 1 C ． ab 0 D ． ab 1
9、若 2 x 5，则代数式x 5 x 2 x
的值为。x 5 2 x x
10、若 ab 0 ，则a
b
ab
的值等于。
a b ab
11、已知a,b,c是非零有理数，且 a b c 0, abc 0 ，求a
b c abc 的值。
a b c abc
12、已知a,b,c, d是有理数， a b 9, c d 16 ，且 a b c d 25 ，求 b a d c 的值。
13、阅读下列材料并解决有关问题：
x x 0
我们知道x 0 x 0 ，现在我们可以用这一个结论来化简含有绝对值的代数式，如化
x x 0
简代数式x 1 x 2 时，可令 x 1 0 和x 2 0 ，分别求得x 1, x 2 （称1,2分别为x 1 与x 2 的零点值）。在有理数范围内，零点值x 1和
x
2 可将全体有理数分成不重
复且不遗漏的如下 3 种情况：
（1）当 x1时，原式 =x 1x 22x 1;
（2）当 1 x 2 时，原式 = x 1 x 2 3 ；
（3）当 x 2时，原式 = x 1 x 2 2x 1。
2x 1 x 1
综上讨论，原式 =3 1 x 2
2x 1 x 2
通过以上阅读，请你解决以下问题：
（1）分别求出 x 2 和 x 4 的零点值；（ 2）化简代数式 x 2 x 4
14、（1）当x取何值时， x 3 有最小值？这个最小值是多少？（ 2）当x取何值时， 5 x 2 有最大值？这个最大值是多少？（3）求 x 4 x 5 的最小值。（ 4）求 x 7 x 8 x 9 的最小值。
15、某公共汽车运营线路 AB段上有 A、D、C、B 四个汽车站，如图，现在要在AB段上修建一个加油站 M，为了使加油站选址合理，要求A，B，C，D四个汽车站到加油站 M的路程总和最小，试分析加油站 M在何处选址最好？
C B
A D
16、先阅读下面的材料，然后解答问题：
在一条直线上有依次排列的n n 1 台机床在工作，我们要设置一个零件供应站P，使这n台机床到供应站 P 的距离总和最小，要解决这个问题，先“退”到比较简单的情形：
A1 ① A
2 A 1 A
2（P）
D A 3 ②
甲 P 乙甲乙丙
如图①，如果直线上有 2 台机床（甲、乙）时 , 很明显 P 设在A1和A2之间的任何地方都行 ,
因为甲和乙分别到P 的距离之和等于A1到 A2的距离.
如图② , 如果直线上有 3 台机床 ( 甲、乙、丙) 时，不难判断， P 设在中间一台机床A2处最合适，因为如果 P 放在A2处，甲和丙分别到 P 的距离之和恰好为A1到A3的距离；而如果 P 放在别处，例如 D处，那么甲和丙分别到 P 的距离之和仍是A1到A3的距离，可是乙还得走从A2到 D 近段距离，这是多出来的，因此 P 放在A2处是最佳选择。不难知道，如果直线上有 4 台机床，
P 应设在第 2 台与第 3 台之间的任何地方；有 5 台机床， P 应设在第 3 台位置。问
题（ 1）：有n机床时， P 应设在何处？
问题（ 2）根据问题（ 1）的结论，求x 1 x 2 x 3x617 的最小值。
有理数的运算
一、阅读与思考
在小学里我们已学会根据四则运算法则对整数和分数进行计算，当引进负数概念后，数集
扩大到了有理数范围，我们又学习了有理数的计算，有理数的计算与算术数的计算有很大
的不同：首先，有理数计算每一步要确定符号；其次，代数与算术不同的是“字母代数”，
所以有理数的计算很多是字母运算，也就是通常说的符号演算。
数学竞赛中的计算通常与推理相结合，这不但要求我们能正确地算出结果，而且要善于观察问
题的结构特点，将推理与计算相结合，灵活选用算法和技巧，提高计算的速成度，有理数
的计算常用的技巧与方法有：1、利用运算律； 2、以符代数； 3、裂项相消； 4、分解相约； 5、巧用公式等。
二、知识点反馈
1、利用运算律：加法运算律加法交换律 a b b a 乘法运算律乘法交换律 a b b a
乘法结合律 a b c a b c
加法结合律 a b c a b c
乘法分配律 a b c ab ac
例 1：计算：23
4 2 2.7
5 7 2
5 3 3
解：原式 = 4.6 4 2
2.75 7
2
4.6 2.75 3 4.6
5.75 1.15 3 3
拓广训练：
1、计算（1）0.6 0.08 2 27 0.92 2 5 （2）31
59 3 1 6 7 9 1 9
5 11 11 4 11 4 11 4 4 例 2：计算：9 24 50
25
解：原式 = 10 1
50 10
1
50 500 2 498 25
50
25
拓广训练：
1、计算： 2 3 4 5 1 1 1 1
2 3 4 5
2、裂项相消
（ 1）a b
1
1
；（2） 1 1
1
；（3）m 1 1 ab a b n n 1 n n 1 n n m n n m
（ 4） 2 1 1
n n 1 n 1 n 2
n n 1 n 2
例 3、计算 1 1 1 1
1 2 2 3 3 4 2009 2010
解：原式 = 1 1 1 1 1 1 1 1
2 2
3 3
4 2009 2010
=
1
1 1 1 1 1
1
1
2
2 3
3 4
2009
2010
=
1
1 2009
2010
2010
拓广训练：
1、计算：
1
1
1
1
1 3
3 5 5 7
2007 2009
3、以符代数
例 4：计算：
17
7
27 1
37
12
17
5
38
27 17 11 13
8
39
39 17 27
解：分析： 17
7
34 1
26 24 37
76
27
16 ,27
,11
10
27
17
17 39
39 令 A=13 12 8 17 5 38 ，则 17 7 27 1 11 37 16 34 26 24 10 76 2A
17
27
39
27
17
39
27
17
39
原式=2A A 2 拓广训练：
1、计算：
1 1
1
1
1 1
1
1
1 1
1 1 1 1
2 3
2006
2 3
2005
2 3
2006
2
3
2005
4、分解相约
1
2
4 2 4 8 n 2n
2
例 5：计算： 4n
1
3
9 2 6 18 n 3n 9n
2
2
解：原式 =
1
2 4 2 1 2 4 n 1 2 4 =
1
2 4 1 2
n 1392139
n 1 3 9
13912
n
1 2 4 2 64
=
1 3 9
729
三、培优训练
1、 a 是最大的负整数， b 是绝对值最小的有理数，则 a 2007
b 2009 =
。
2008
2、计算：（ 1） 1
1 1
1
=
；
3
5 5 7 7 9
1997
1999
（2）
4
8 3
2
4
6
1 =
0.25
2
3 2
。
3、若 a 与 b 互为相反数，则
1898a 2
99b 2 =
。
1997ab
4、计算：
1
1
3
1 3 5 1
3
97 =
。
2
4 4
6 6 6
98 98
98
5、计算： 2
22 23 24 25 26
27 28 29 210 =
。
6、 1997 , 97 , 1998 ,
98
这四个数由小到大的排列顺序
1998 98
1999
99
是
。
7、（ “五羊杯”）计算： 3.14 31.4 628
0.686 68.6 6.86 =（
）
A ． 3140
B ．628
C ． 1000
D ．1200
8、（ “希望杯”） 1 2 3 4
14 15 等于（ ）
2 4 6 8
28 30
A ．1
B ．
1 C ．1
D ． 1
4
4 2
2
9、（ “五羊杯”）计算：
5
6 4 2.5 3
2
=（ ）
2 9 8 1 4.5
4
A ．
5
B ．
10
C ．
20
D ．
40
2
3
9
9
10、（ 2009 鄂州中考）为了求 1 22 23
22008 的值，可令 S ＝ 1 22 23 2 2008 ，则
2S ＝ 2 2 2 3 2 4 2 2009 ，因此
＝ 2009 1 ，所以 1 2 2 3 2 2008 ＝ 2 2009
1 仿照 2S-S 2
2
以上推理计算出 1 52 53
52009 的值是（
）
A 、 52009 1
B 、 52010
1
C 、 52009
1
D 、 52010
1
4
4
11、 a 1 ,a 2 , a 3 , a 2004 都是正数，如果 M
a 1 a 2
a
2003
a 2 a 3
a
2004
，
N
a 1 a 2
a
2004
a 2 a 3
a
2003
，那么 M , N 的大小关系是（
）
A ． M
N B ． M
N C ． M
N D ．不确定
12、设三个互不相等的有理数，既可表示为
1, a b, a 的形式，又可表示为 0, b
,b 的形式，求
a
a 1999
b 2000 的值（“希望杯”邀请赛试题）
13、计算
（1） 5.7 0. 00036 0.19 0.006 5700 0.000000164 （ 2009 年第二十届“五羊杯”竞赛题）
2
4
1
（2） 0.25 4
3
1
4
6
（北京市“迎春杯”竞
8
3
13
6.52
3 2
3
赛题）
14、已知 m, n 互为相反数， a, b 互为负倒数， x 的绝对值等于 3 ，
求 x 3
1 m
n ab x 2
mn x 2001
ab 2003 的值
15、已知 ab 2
a 2 0 ，求
1
1 1 1
的值
ab
a 1
b 1 a 2 b 2
a 2006
b 2006
（香港竞赛）
16、（ 2007，无锡中考） 图 1 是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面一
层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了
n 层．将图 1 倒置后与原图 1 拼
成图 2 的形状，这样我们可以算出图 1 中所有圆圈的个数为 1 2 3 L
n
n(n 1) ．
2
第 1 层 图１
图 2 图 3
图 4
第 2 层
中的圆圈共有 12 层，（ 1）我们自上往下，在每个圆圈中都按图
3 的方式填上一串 如果图 1
第 n 层
；（ 2）我们自 连续的正整数 12，，3，4 ， ，则最底层最左边这个圆圈中的数是
L
上往下，在每个圆圈中都按图 4 的方式填上一串连续的整数 23， 22，
21， L ，求图 4
中所有圆圈中各数的绝对值之和．
【专题精讲】
【例 1】计算下列各题 ⑴
( 3 )3 0.75 0.52 ( 3)3
25 (112) ( 3)3
43
( 3)3
4 2
4
37
3
25
4
4
⑵
( 0.125)12 ( 1 )7 ( 8)13 ( )9
3 5
【例 2】计算： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 L
2005
2006 2007 2008 【例 3】计算： ⑴
1
1 1 1 1 L 1
⑵ 1
3 1 5 5 1 L 99 1 2 6 12 20 30 9900 1 3 7
101
反思说明： 一般地，多个分数相加减，如果分子相同，分母是两个整数的积，且每个分母中因数差相同，可以用裂项相消法求值。
①
1 1) 1 1
②
1
k) 1 ( 1 n 1 )
n(n n n 1
n(n k n k
③
1
1
1
1
]
④
1
1 ( 1 1
n(n 1)(n
2) [
n(n
1) ( n 1)(n 2)
1)(n
1) 2 1 n
)
2
(n n 1 【例 4】（第 18 届迎春杯）计算：
1
1 1 L
1
2
4 8 1024
【例 5】计算：
1
(
1
2) ( 1
2 3) (1
2 3 4) L
( 1
2 3 L 58 59 )
2 3 3 4 4 4 5
5 5 5
60 60 60
60 60
【例 6】（第 8 届“希望杯”）计算：
【例 7】请你从下表归纳出 13 23 33 43 L
n 3 的公式并计算出： 13
23 33
43 L 503的
值。
1
2
3 4 5
【实战演练】
2 4 6 8 10
3 6 9 12 15
4 8 12 16
20
5
10 15 20
25
1、用简便方法计算： 999 998998999 998 999999998
2、（第 10 届“希望杯”训练题） (
1 1) ( 1
1) L ( 1
1
1)
1
1)
2004
1)
(
(
2003
1002
1001 1000
、已知 a 1999 1999 1999
2000
2000 2000 ,c
2001 2001
2001 则 abc
3
1998 1998
,b 1999 1999 1999 2000 2000 2000
1998 、计算： 1 1 L 1
4 11 13 1
5 13 15 17
29 31 33
5、（“聪明杯”试题） (
1 2 4
2 4 8 L n 2n 4n )2
1 3 9
2 6 18 L n 3n 9n
6、 (1 1 )(1
1 )(1 3 1
)L (1 1 2000 )(1 1999 1 ) 的值得整数部分为（
）
1 3
2 4 5 1998 2001
A ． 1
B ． 2
C ． 3
D ．4
提示： (n 1)2 n 2 2n 1
7、
4
3 3 8
12 16
L
40 1 5
5 7 7 9
19 21
8、计算： S 1 2 22 23 L 22010
、计算 1 1 1
1
的值 .
9 1 2 1 2 3
1 2 3
100
1 1 1
1
10、计算： 2
3
4
L
2010
的值。
1 1 )(1 1) 1 )(1 1)(1 1) 1)(1 1
)L (1 1 1 (1 (1
(1 ) 2 2 3 2 3 4
2 3 2010
参考答案
基础训练题
一、填空。
1、2；
2、≤；
3、非负数；
4、互为相反数；
5、 0.1 220 毫米；
6、5 或 1；
7、5；
8、 1 ；
9、－ 8； 10、± 3，± 1； 11、
101
。
8
200
二、解答题。
1、－ 25 或 87；
3、当 1 x
4 时，常数值为 7； 4、 2；
5、
1
3
5
9
6、不可能，因为每次翻转其中任意 4 个，无论如何翻转，杯口朝上的个数
都是奇数个，所以不可能让杯口朝上的杯子个数为偶数零，故不可能。
能力培训题
知识点一：数轴
例 1、D
拓广训练： 1、B；
、因为 2 a 5, 5 a 2 ，所以 5 4 3 3 4 5
3
例 2、8或2
拓广训练： 1、0 或－ 6；2、12
例 3、 b a a b
拓广训练： 1、题目有误。
例 4、解：当4 a 5 时， a 4 ；当 4 a 4 时， a 4 ；当 a 4 时， a 4 . 拓广训练：略。
例 5、C
拓广训练： 1、－ 2；2、①③3、 D
三、培优训练
1、C
2、 D
3、B
4、A
5、 C
6、 D
7、 1 ；8、b x a ；9、 195
15 221
10、 5；11、① 3， 3， 4；②x 1， 1 或－ 3；③ 1 x 2 ；④997002
聚焦绝对值
例 1、―2 或―8.
拓广训练： 1、4 或 0；2、A
例 2、A
拓广训练： 1、通过零点值讨论得a=5,b=5;所以 a+b=10.
三、培优训练
1、A; 2
、B ； 3 、D; 4 、A; 5 、A; 6 、B ； 7 、B ； 8 、C
9、1； 10 、 1 或－ 3； 11 、0； 12 、－ 7；
13、⑴零点值分别为－ 2，4. ⑵略。 ( 分三种情况讨论 )
14、⑴、 3； ⑵、 -2 ；
⑶、1； ⑷、2
15、加油站应建在 D,C 两汽站之间 ( 包括 D,C 两汽车站 ) 16 、 95172
有理数的运算
例 1、拓广训练：⑴－ 1.2 ； ⑵ 162
11
例 2、拓广训练：⑴－ 34
例 3、拓广训练：⑴例 4、拓广训练：⑴三、培优训练
1004
2009 1
2006
1、－ 1； 2
、998，
－8； 3 、1； 4
、 1225 ； 5、6；
5997
2
6、 1998
1997 98 97 ；
7、 C ；
8 、D ；
9、 B ；
1999
1998 99
98
10、 5
2010
21
(原题无答案 )； 11、
A;
4
12、 0； 解析如下：
由题意： Q 1
a b a 且 0
b b
a
13、⑴ 1.8468 10 3 ，⑵－ 92
14、 28 或－ 26； 15 、
2007
； 16、 67，1209
2008
专题讲解
例1、 ⑴
例2、 0
例3、 ⑴
4096 ⑵ 72
27
25
49 ⑵ 50
100
101
例4、1023
1024
例5、 885 解析如下：例6、
1
2010
解析如下：
例 7、n n
1
2
， 1275 2 2
解析如下：Q 13 23 9 (1 2)2 实战演练13 23 33 36 (1 1、1997.解析如下
原式 =999××
13 23 33 +n3 2、 333
668
3、－ 1，
4、
20
分析如下：
a
1
2 13299 2 a a
5、
64
729
解析： Q 13 23 33+n3 (1 2 3
6、A解析如下
7、20
21
解析如下：23)2
2 (12
3 n) 2 n n 1
2
111 2
8 a 2 a 2 a
2
n)2 n n 1
2
8、22011 1
9、 200
101
解析如下10、 2010
2011
1 1 1 1
解析如下： Q
1 2 1 22010
1 2 31234
第2章《有理数》单元培优测试卷（含答案）姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间60分钟，试题共28题，选择8道、填空10道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2020?盐城）2020的相反数是（） A．﹣2020 B．2020 C．D．2．（2020?徐州模拟）据统计，徐州市2020年参加中考人数共有11.8万人，11.8万用科学记数法表示为（） A．11.8×103B．1.18×104C．1.18×105D．0.118×106 3．（2019秋?江苏省海安市校级月考）在﹣22、（﹣2）2、﹣（﹣2）、﹣|﹣2|中，负数的个数是（） A．4个B．3个C．2个D．1个 4．（2019秋?江苏省镇江期末）在数，1.010010001，，0，﹣2π，﹣2.6266266…，3.1415中，无理数的个数是（） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2019秋?江苏省泰兴市期末）数轴上标出若干个点，每相邻两点相距一个单位长度，点 A、B，C，D分别表示整数a，b，c，d，且a+b+c+d＝6，则点D表示的数为（） A．﹣2 B．0 C．3 D．5 6．（2019秋?江苏省镇江期末）能使等式|2x﹣3|+2|x﹣2|＝1成立的x的取值可以是（）A．0 B．1 C．2 D．3 7．（2020春?江苏省如皋市期末）将九个数分别填在3×3 （3行3列）的方格中，如果满足每个横行，每个竖列和每条对角线上的三个数之和都等于m，则将这样的图称为“和m幻方”．如图①为“和15幻方”，图②为“和0幻方”，图③为“和39幻方”，若图
有理数培优题基础训练题 一、填空： 1、在数轴上表示－2的点到原点的距离等于（ ）。 2、若∣a ∣=－a,则a （ ）0. 3、任何有理数的绝对值都是（ ）。 4、如果a+b=0,那么a 、b 一定是（ ）。 5、将0.1毫米的厚度的纸对折20次，列式表示厚度是（ ）。 6、已知||3,||2,||a b a b a b ==-=-，则a b +=（ ） 7、|2||3|x x -++的最小值是（ ）。 8、在数轴上，点A 、B 分别表示2 1 41，-，则线段AB 的中点所表示的数是（ ）。 9、若,a b 互为相反数，,m n 互为倒数，P 的绝对值为3，则 ()2010 2a b mn p ++-=（ ） 。 10、若abc ≠0，则 |||||| a b c a b c ++ 的值是（ ） . 11、下列有规律排列的一列数：1、43、32、85、5 3 、…，其中从左到右第100个数是（ ）。 二、解答问题： 1、已知x+3=0,|y+5|+4的值是4，z 对应的点到-2对应的点的距离是7，求x 、y 、 z 这三个数两两之积的和。 3、若2|45||13|4x x x +-+-+的值恒为常数，求x 满足的条件及此时常数的值。 4、若,,a b c 为整数，且20102010||||1a b c a -+-=，试求||||||c a a b b c -+-+-的值。 5、计算：－ 21 ＋65－127＋209－3011＋4213－56 15＋7217 6、应用拓展：将七只杯子放在桌上，使三只口朝上，四只口朝下。现要求每次翻转其中任意 四只，使它们杯口朝向相反，问能否经有限次翻转后，让所有杯子杯口朝下？ 能力培训题 知识点一：数轴 例1：已知有理数a 在数轴上原点的右方，有理数b 在原点的左方，那么（ ） A ．b ab < B ．b ab > C ．0>+b a D ．0>-b a 拓广训练： 1、如图b a ,为数轴上的两点表示的有理数，在a b b a a b b a ---+,,2,中，负数的个数有（ ）（“祖 冲之杯”邀请赛试题） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
苏科版七上第二章《有理数》解答题培优训练（一） 班级：___________姓名：___________得分：___________ 一、解答题 1.计算． (1)已知|a|=3，|b|=2，且|a+b|=?(a+b)，则a+b的值 (2)计算2?4+6?8+10?12+??2016+2018． 2.阅读：已知点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为 |AB|=|a?b|． 理解： (1)数轴上表示2和?3的两点之间的距离是______； (2)数轴上表示x和?5的两点A和B之间的距离是______； (3)当代数式|x?1|+|x+3|取最小值时，相应的x的取值范围是______；最小值 是______． 应用：某环形道路上顺次排列有四家快递公司：A、B、C、D，它们顺次有快递车16辆，8辆，4辆，12辆，为使各快递公司的车辆数相同，允许一些快递公司向相邻公司调出，问共有多少种调配方案，使调动的车辆数最少？并求出调出的最少车辆数．
3.阅读解答： (1)填空：21?20=2()，22?21=2()，23?22=2()，…… (2)探索(1)中式子的规律，试写出第n个等式，并说明第n个等式成立． (3)计算：20+21+22+23+?+21000 4.阅读理解，并解答问题： (1)观察下列各式：1 2=1 1×2 =1?1 2 ，1 6 =1 2×3 =1 2 ?1 3 ，1 12 =1 3×4 =1 3 ?1 4 ，… (2)请利用上述规律计算(要求写出计算过程)： ①1 2+1 6 +1 12 +1 30 +1 42 +1 56 ； ②1 1×3+1 3×5 +1 5×7 +1 7×9 +1 9×11 +1 11×13 +1 13×15 ． 5.数轴上有两点A，B，点C，D分别从原点O与点B出发，沿BA方向同时向左运 动． (1)如图，若点N为线段OB上一点，AB=16，ON=2，当点C，D分别运动到
第 1 页 共 2 页 2018—2019学年度 一．选择题（每题3分，共10小题） 1．下列说法正确的是（ ） A ．所有的整数都是正数 B ．不是正数的数一定是负数 C ．0不是最小的有理数 D ．正有理数包括整数和分数 2．全面贯彻落实“大气十条”，抓好大气污染防治，是今年环保工作的重中之重．其中推进燃煤电厂脱硫改造15000 000千瓦是《政府工作报告》中确定的重点任务之一．将数据15 000 000用科学记数法表示为（ ） A ．15×106 B ．1.5×107 C ．1.5×108 D ．0.15 ×108 3．下列各组数中，互为相反数的是（ ） A ．﹣1与（﹣1）2 B ．1与（﹣1）2 C ．2与 D ．2与|﹣2| 4．如图，的倒数在数轴上表示的点位于下列两个点之间（ ） A ．点E 和点F B ．点F 和点G C ．点G 和点H D ．点H 和点I 5．质检员抽查某种零件的质量，超过规定长度的记为正数，短于规定长度的记为负数，检查结果如下：第一个为0.13豪米，第二个为﹣0.12毫米，第三个为﹣0.15毫米，第四个为0.11毫米，则质量最差的零件是（ ） A ．第一个 B ．第二个 C ．第三个 D ．第四个 6．在﹣0.1428中用数字3替换其中的一个非0数码后，使所得的数最大，则被替换的字是（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 7．已知a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，化简|a+c|﹣|a ﹣2b|﹣|c+2b|的结果是（ ） A ．4b+2c B ．0 C ．2c D ．2a+2c 8．绝对值大于﹣2且小于5的所有的整数的和是（ ） A ．7 B ．﹣7 C ．0 D ．5 9．数轴上表示整数的点称为整点．某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为2020厘米的线段AB ，则线段AB 盖住的整点的个数是（ ） A ．2018或2019 B ．2019或2020 C ．2020或2021 D ．2021或2022 10．若ab ＜0，且a ＞b ，则a ，|a ﹣b|，b 的大小关系为（ ） A ．a ＞|a ﹣b|＞b B ．a ＞b ＞|a ﹣b| C ．|a ﹣b|＞a ＞b D ．|a ﹣b|＞b ＞a 二、填空题（每题3分，共30分） 11.一艘潜艇正在﹣50米处执行任务，其正上方10米处有一条鲨鱼在游弋，则 鲨鱼所处的高度为 米． 12.若()2 2120x y -++=，则2x y += . 13. 已知|a|=5，|-b|=-7，且ab ＜0，则a-b= ． 14. 设n 是正整数，则1﹣（﹣1）n 的值是 . 15. 绝对值小于2018的整数有 个，和为 ，积为 ．
新人教版七年级上册《第一章 有理数》资优生专题训练 一、相信自己，精心选一选，其中只有一个结论是正确的。 1.如果△+△=＊ ，○=□+□，△=○+○+○+○，则＊÷□= （ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 2.若a>0>b>c,a+b+c=1,M=a c b +,N=b c a +,P=c b a +,则M 、N 、P 之间的大小关系是( ) A 、M>N>P B 、N>P>M C 、P>M>N D 、M>P>N 3.若ab ≠0,则b a a b +的取值不可能是 （ ） A 0 B 1 C 2 D -2 4．503、404、305的大小关系为（ ） A.503＜404＜305 B.305＜503＜404； C.305＜404＜503 D.404＜305＜503； 二、希望你能填得又快又准 5．用“☆”定义新运算： 对于任意实数a 、b ， 都有a ☆b =b 2＋1． 例如1☆4=42＋1=17，那么1☆3= ；当m 为任意有理数时，m ☆(m ☆2)= ． 6．正整数按下图的规律排列．请写出第20行，第21列的数字 ． 7．一组有理数依次排列为：－2，－5，－9，－14，A ，－27，…，依此规律排列，则A ＝ 。 8．如果n 是正整数，那么(-1)4n-1＋（－1）4n+1=______． 9．一列数：－3，9，－27，81，…… ①则第5个数是 ，②第n 个数（n 为正整数）为 。 10．根据如图所示的程序计算，若输入x 的值为1，则输出y 的值为 . 11．已知a=25,b= -3,则a 99+b 100的末位数字是 。 12．有一种“二十四点”的游戏，其游戏规则是这样的：任取四个1至13之间的自然数将四个数（每个数用且只能用一次）进行加减乘除四则运算，使其结果等于24。例如对1，2，3，4，可作如下运算：(1+2+3)×4＝24（上述运算与4×(1＋2＋3)视为相同方法的运算）现有四个有理数3，4，－6，10，运用上述规则写出三种不同方法的运算式，可以使用括号，使其结果等于24。运算式如下：（1） ， （2） ， （3） 。 另有四个有理数3，－5，7，－13，可通过运算式 （4） 使其结果等于24。 三、解答题 13．阅读下面文字： 对于( －565) + ( －932) + 1743 + ( －32 1 ) 可以如下计算： 原式=[( －5) + ( － 6 5 )] + [ ( －9) + ( － 3 2)] + (17 + 4 3) + [ ( －3) + ( － 2 1)] = [ (一5) + ( －9) + 17 + (一3) ] + [( －6 5) + ( －3 2) + 43 + ( － 2 1) ] = 0 + ( －1 41 ) = －14 1 上面这种方法叫折项法，你看懂了吗? 仿照上面的方法，请你计算：( －200065) + ( －199932) + 400043 + ( －12 1 ) 第一行 第二行 第三行 第四行 第五行 第一列 第二列 第三列 第四列 第五列 1 2 5 10 17 ... 4 3 6 11 18 ... 9 8 7 12 19 ... 16 15 14 13 20 (25) 24 23 22 21 … ……
一、初一数学有理数解答题压轴题精选（难） 1．如图，已知数轴上有A、B两点(点A在点B的左侧)，且两点距离为8个单位长度，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t(t＞0)秒. （1）图中如果点A、B表示的数是互为相反数，那么点A表示的数是________； （2）当t＝3秒时，点A与点P之间的距离是________个长度单位； （3）当点A表示的数是－3时，用含t的代数式表示点P表示的数； （4）若点P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍，请直接写出t的值. 【答案】（1）-4 （2）6 （3）解：当点A为-3时，点P表示的数是-3+2t； （4）解：当点P在线段AB上时，AP＝2PB，即2t＝2（8?2t）， 解得，t＝， 当点P在线段AB的延长线上时，AP＝2PB，即2t＝2（2t?8）， 解得，t＝8， ∴当t＝或8秒时，点P到A的距离是点P到B的距离的2倍. 【解析】【解答】解：（1）设点A表示的数是a，点B表示的数是b， 则|a|＋|b|＝8，又|a|＝|b|， ∴|a|＝4， ∴a＝?4， 则点A表示的数是?4； （ 2 ）∵P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动， ∴当t＝3秒时，点A与点P之间的距离为6个单位长度； 【分析】（1）设点A表示的数是a，点B表示的数是b，两点间的距离是8及互为相反数的两个数分别位于原点的两侧，到原点的距离相等即可判断得出答案； （2）根据路程等于速度乘以时间即可得出答案； （3）由点A表示的数结合AP的长度，即可得出点P表示的数； （4）分当点P在线段AB上时，AP=2t，BP=（8-2t），根据AP＝2PB 列出方程，求解即可；当点P在线段AB的延长线上时，AP=2t，BP=（2t-8），根据 AP＝2PB 列出方程，求解即可，综上所述即可得出答案. 2．如图，已知数轴上点A表示的数为-3，B是数轴上位于点A右侧一点，且AB=12.动点P 从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向点B方向匀速运动，设运动时间为t秒.
有理数培优题 基础训练题 一、填空： 1、在数轴上表示－2的点到原点的距离等于（ ）。 2、若∣a ∣=－a,则a （ ）0. 3、任何有理数的绝对值都是（ ）。 4、如果a+b=0,那么a 、b 一定是（ ）。 5、将0.1毫米的厚度的纸对折20次，列式表示厚度是（ ）。 6、已知||3,||2,||a b a b a b ==-=-，则a b +=（ ） 7、|2||3|x x -++的最小值是（ ）。 8、在数轴上，点A 、B 分别表示2 1 41，-，则线段AB 的中点所表示的数是（ ）。 9、若,a b 互为相反数，,m n 互为倒数，P 的绝对值为3，则 ()2010 2a b mn p p ++-=（ ） 。 10、若abc ≠0，则 |||||| a b c a b c ++ 的值是（ ） . 11、下列有规律排列的一列数：1、43、32、85、53 、…，其中从左到右第100个数是（ ）。 二、解答问题： 1、已知x+3=0,|y+5|+4的值是4，z 对应的点到-2对应的点的距离是7，求x 、y 、 z 这三个数两两之积的和。 3、若2|45||13|4x x x +-+-+的值恒为常数，求x 满足的条件及此时常数的值。
4、若,,a b c 为整数，且20102010||||1a b c a -+-=，试求||||||c a a b b c -+-+-的值。 5、计算：－ 21 ＋65－127＋209－3011＋4213－5615＋72 17 6、应用拓展：将七只杯子放在桌上，使三只口朝上，四只口朝下。现要求每次翻转其中任意四只，使它们杯口朝向相反，问能否经有限次翻转后，让所有杯子杯口朝下？ 能力培训题 知识点一：数轴 例1：已知有理数a 在数轴上原点的右方，有理数b 在原点的左方，那么（ ） A ．b ab < B ．b ab > C ．0>+b a D ．0>-b a 拓广训练： 1、如图b a ,为数轴上的两点表示的有理数，在a b b a a b b a ---+,,2,中，负数的个数有（ ）（“祖冲之杯”邀请赛试题） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3、把满足52≤ 有理数培优题 一、填空题 1、如图b a ,为数轴上的两点表示的有理数，在a b b a a b b a ---+,,2,中，负数的个数有 个 2、如果数轴上点A 到原点的距离为3，点B 到原点的距离为5，那么A 、B 两点的距离为 。 3、已知数轴上有A 、B 两点，A 、B 之间的距离为1，点A 与原点O 的距离为3，那么所有满足条件的点B 与原点O 的距离之和等于 。 4、已知0,0<>b a 且0<+b a ，那么有理数b a b a ,,,-的大小关系是 。 5、有理数c b a ,,在数轴上的位置如图所示，式子c b b a b a -++++化简结果为 。 6、有理数c b a ,,在数轴上的位置如图所示，则化简c c a b b a ------+11的结果为 。 7、已知b b a b a 2=-++，在数轴上给出关于b a ,的四种情况如图所示，则成立的是 。 ① ② ③ ④ 8、已知是有理数，且()()012 122=++-y x ，那么y x +的值是 。 9、如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A 、B 、C 、D 对应的数分别是整数d c b a ,,,且102=-a d ，那么数轴的原点应是（ A ．A 点 B ．B 点 C ．C 点 D ．D 点 10、数d c b a ,,,所对应的点A ，B ，C ，D 在数轴上的位置如图所示，那么c a +与d b +的大小关系是（ ） A ．d b c a +<+ B ．d b c a +=+ C ．d b c a +>+ D ．不确定的 11、不相等的有理数c b a ,,在数轴上对应点分别为A ，B ，C ，若c a c b b a -=-+-，那么点B （ ） A ．在A 、C 点右边 B ．在A 、 C 点左边 C ．在A 、C 点之间 D ．以上均有可能 12、设11++-=x x y ，则下面四个结论中正确的是（ ）（全国初中数学联赛题） A ．y 没有最小值 B ．只一个x 使y 取最小值 C ．有限个x （不止一个）使y 取最小值 D ．有无穷多个x 使y 取最小值 有理数培优训练 一．选择题： 1. 已知数轴上的三点A 、B 、C 分别表示有理数,1,1a -，那么|1|a +表示（ ） A ． A 、B 两点的距离 B ．A 、 C 两点的距离 C ．A 、B 两点到原点的距离之和 D ．A 、C 两点到原点的距离之和 2. 定义运算符号“*”的意义为：ab b a b a +=*（其中a 、b 均不为0）。下面有两个结论（1） 运算“*”满足交换律；（2）运算“*”满足结合律。其中（ ） A ．只有（1）正确 B ．只有（2）正确 C ．（1）和（2）都正确 D ．（1）和（2）都不正确 3. 如果,,a b c 为非零有理数，则||||||a b c a b c ++的值有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 4. 设0a b c ++=，0abc >，则|||||| b c a c a b a b c +++++的值是（ ） A ．-3 B ．1 C ． 3或－1 D ．－３或１ 5. 若||1m m =+，则()201041m +=（ ） A ．－１ B ．１ C ．12- D ．1 2 6．若19a+98b=0，则ab 是（ ） A ． 正数 B ． 非正数 C ． 负数 D ． 非负数 7．有理数a 、b 、c 在数轴上的表示如图，则在 中（ ） A ． 最小 B ． |ac|最大 C ． 最大 D ． 最大 8．一杯盐水重21千克，浓度是7%，当再加入千克的纯盐后，这杯盐水的浓度是（ ） A ． % B ． 10% C ． % D ． 11% 9．a 、b 都是有理数，现有4个判断：①如果a+b ＜a ，则b ＜0；②如果ab ＜a ，则b ＜0；③如果a ﹣b ＜a ，则b ＞0；④如果a ＞b ，则，其中正确的判断是（ ） A ． ①② B ． ②③ C ． ①④ D ． ①③ 10．若，则的最大值为（ ） A ． 21 B ． 2 C ． 12 D ． 126 有理数基础训练题 一、填空： 1、在数轴上表示－2的点到原点的距离等于（ ）。 2、若∣a ∣=－a,则a （ ）0. 3、任何有理数的绝对值都是（ ）。 4、如果a+b=0,那么a 、b 一定是（ ）。 5、将0.1毫米的厚度的纸对折20次，列式表示厚度是（ ）。 6、已知||3,||2,||a b a b a b ==-=-，则a b +=（ ） 7、|2||3|x x -++的最小值是（ ）。 8、在数轴上，点A 、B 分别表示2 141，-，则线段AB 的中点所表示的数是（ ）。 9、若,a b 互为相反数，,m n 互为倒数，P 的绝对值为3，则 ()2010 2a b mn p p ++-= （ ）。 10、若abc ≠0，则|||||| a b c a b c ++ 的值是（ ） . 11、下列有规律排列的一列数：1、43、32、85、5 3 、…，其中从左到右第100 个数是（ ）。 二、解答问题： 1、已知x+3=0,|y+5|+4的值是4，z 对应的点到-2对应的点的距离是7，求x 、y 、 z 这三个数两两之积的和。 3、若2|45||13|4x x x +-+-+的值恒为常数，求x 满足的条件及此时常数的值。 4、若,,a b c 为整数，且20102010||||1a b c a -+-=，试求||||||c a a b b c -+-+-的值。 5、计算：－ 21 ＋65－127＋209－3011＋4213－5615＋72 17 能力培训题 知识点一：数轴 例1：已知有理数a 在数轴上原点的右方，有理数b 在原点的左方，那么（ ） A ．b ab < B ．b ab > C ．0>+b a D ．0>-b a 拓广训练： 1、如图b a ,为数轴上的两点表示的有理数，在a b b a a b b a ---+,,2,中，负数的个数有（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3、把满足52≤b a 且0<+b a ，那么有理数b a b a ,,,-的大小关系是 。（用“<”号连接） 拓广训练： 1、 若0,0> 有理数培优题 基础训练题 一、填空： 1、在数轴上表示－2的点到原点的距离等于（ ）。 2、若∣a ∣=－a,则a （ ）0. 3、任何有理数的绝对值都是（ ）。 4、如果a+b=0,那么a 、b 一定是（ ）。 5、将0.1毫米的厚度的纸对折20次，列式表示厚度是（ ）。 6、已知||3,||2,||a b a b a b ==-=-，则a b +=（ ） 7、|2||3|x x -++的最小值是（ ）。 8、在数轴上，点A 、B 分别表示2 141，-，则线段AB 的中点所表示的数是（ ）。 9、若,a b 互为相反数，,m n 互为倒数，P 的绝对值为3，则()20102a b mn p p ++-=（ ）。 10、若abc ≠0，则||||||a b c a b c ++的值是（ ） . 11、下列有规律排列的一列数：1、43、32、85、5 3、…，其中从左到右第100个数是（ ）。 二、解答问题： 1、已知x+3=0,|y+5|+4的值是4，z 对应的点到-2对应的点的距离是7，求x 、y 、 z 这三个数两两之积的和。 3、若2|45||13|4x x x +-+-+的值恒为常数，求x 满足的条件及此时常数的值。 4、若,,a b c 为整数，且20102010||||1a b c a -+-=，试求||||||c a a b b c -+-+-的值。 5、计算：－21 ＋65－127＋209－3011＋4213－5615＋72 17 6、应用拓展：将七只杯子放在桌上，使三只口朝上，四只口朝下。现要求每次翻转其中任意四只，使它们杯口朝向相反，问能否经有限次翻转后，让所有杯子杯口朝下？ 有理数及整式培优练习题 一、选择题 1.在数轴上，点x 表示到原点距离小于5的那些点，则│x+5│+│x-5│等于（? ） A.10 B.-2x C.-10 D.2x 2.若x=-2 π ，化简│x+1│-│x+2│+│x+3│-│x+4│+…-│x+10│得（ ） A.2x+7 B.2x-7 C.-2x-7 D.-2x+7 3.绝对值小于3π的所有整数的乘积为（ ） A.9π2 B.3π C.π D.0 4.如图b a ,为数轴上的两点表示的有理数，在a b b a a b b a ---+,,2,中，负数的个数有（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 5.有理数c b a ,,在数轴上的位置如图所示，c b b a b a -++++化简结果为（ ） A ．c b a -+32 B ．c b -3 C ．c b + D ．b c - 6.已知是有理数，且()()01212 2 =++-y x ，那以y x +的值是（ ） A ． 21 B ．23 C ．21或2 3 - D ．1-或23 7.如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A 、B 、C 、D 对应 的数分别是整数d c b a ,,,且102=-a d ，那么数轴的原点应是（ ） A ．A 点 B ．B 点 C ．C 点 D ．D 点 8.数d c b a ,,,所对应的点A ，B ，C ，D 在数轴上的位置如图所示，那么c a +与d b +的大小关系是（ ） A ．d b c a +<+ B ．d b c a +=+ C ．d b c a +>+ D ．不确定的9．)]([c b a ---去括号应得（） A.c b a -+-; B.c b a +--; C.c b a ---; D.c b a ++-. 10．不改变ab a b b a ++--2223的值，把二次项放在前面有“＋”号的括号里，一次项放在前面有“－”号的括号里，下列各式正确的是（） A.)()23(22a b ab b a +-+++.B.（B ）)()23(22a b ab b a -----+. C.)()23(22a b ab b a --+-+.D.)()23(22a b ab b a --+++. 11．两个5次多项式相加，结果一定是（） A.5次多项式.B.10次多项式. C.不超过5次的多项式. D.无法确定. 初一数学有理数难题与提高练习和培优综合题压轴题(含解析) 一．选择题（共12小题） 1．1纳米相当于1根头发丝直径的六万分之一．则利用科学记数法来表示，头发丝的半径是（） A．6万纳米B．6×104纳米C．3×10﹣6米D．3×10﹣5米 2．足球循环赛中，红队胜黄队4：1，黄队胜蓝队2：1，蓝队胜红队1：0，则下列关于三个队净胜球数的说法正确的是（） A．红队2，黄队﹣2，蓝队0 B．红队2，黄队﹣1，蓝队1 C．红队3，黄队﹣3，蓝队1 D．红队3，黄队﹣2，蓝队0 3．要使为整数，a只需为（） A．奇数B．偶数C．5的倍数D．个位是5的数 4．体育课上全班女生进行了百米测验，达标成绩为18秒，下面是第一小组8名女生的成绩记录，其中“+”表示成绩大于18秒，“﹣”表示成绩小于18秒，“0”表示刚好达标，这个小组的达标率是（） ﹣1+0.80﹣ 1.2﹣ 0.1 0+0.5﹣ 0.6 A．25% B．37.5% C．50% D．75% 5．有一列数a1，a2，a3，a4，…，a n，从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面那个数的倒数的差，若a1=2，则a2008值为（） A．2 B．﹣1 C ．D．2008 6．有理数a，b，c都不为零，且a+b+c=0，则++=（）A．1 B．±1 C．﹣1 D．0 7．计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A～F 共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表： 16进制0123456789A B C D E F 10进制0123456789101112131415例如，用十六进制表示5+A=F，3+F=12，E+D=1B，那么A+C=（） 第四节 有理数乘方 一、定义：求几个_______因数的_______的运算叫做乘方，乘方的结果叫做 _______；记作 ，在n a 中，a 叫做______，n 叫做________。 n a （a 的n 次幂）：n 个a 相乘， a 为底数，n ：指数 如： 在()3 2-中，底数是_______，指数是________，幂是_____ __。 在23-中，底数是________，指数是_______，表示的意义是_______________。 注意： 1、3)2(-与－32的区别： 3)2(-底数为—2，读作负2的3次幂 －32底数为2，读作2的3次幂的相反数 2、分数的乘方要加括号： 4)32(与324意义不同，4)32(以3 2为底，324以2为底。 二、运算 先定符号： 正数的任何次幂都是正数，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂为正数， 0的任何次幂都为0。 数学表示方式： 即：a ＞0时 n a ＞0. a ＜0时 n a 2_________0 12+n a _________0 （奇负偶正） 注： 1、负数的_________是负数，负数的_________是正数，正数的任何次幂都是 ________，0的任何非0次幂都是_______。 2、()=--121n ________，()=-n 21_________。 练习： 1、判断下列各运算结果的符号。 （1）13)3(-_________（2）24)2(-________（3）2007)7.1(-____________ (4) 5)3 4(_________（5）23)2(--________（6）200810____________ 有理数混合运算培优训练题 1.若m <0，则m m +=_____.若3210x y -+-=，则x y -= 2.m ，n 互为相反数，则以下结论中错误的序号是_____①2m +2n =0 ②mn =-m 2 ③ m n =④1m n =- 如果a >0，b <0，a 0，b <0，|a |<|b |，则a ，b ，-a ，-b 这4个数从小到大的顺序是_____________ 4.如果a <0，b >0，b >|-a |，则a ，b ，-a ，-b 这4个数从大到小的顺序是__________________． 5.如果-|a |=|a |，那么a =_____．已知|a |+|b |+|c |=0，则a =_______，b =_____，c =_____． 6.若|a -2|+|b +3|=0，则3a +2b =__________．若|m +n |+(m +2)2=0，则m n =_______ 7.一个两位数，个位上的数字是a ，十位上的数字比个位上的数字小3，这个两位数是_____；当a =5时，这个两位数是__________．若|x +3|+(y -2)2=0，则x -2y =___ 8.某品牌服装以a 元购进，加20%作为标价．由于服装销路不好，按标价的八五折出售，此时的售价是_______元，这时仍获利________元． 9.某市出租车收费标准为：起步价8元（包含2千米），2千米后每千米价格为1.5元，则乘坐出租车走x （x >2）千米应付______元 .若|x -2y |+(y -1)2=0，则3x +4y =__ 10.设有理数a ，b ，c 在数轴上的对应点如图所示，化简c a a c a b --+--= a b c 11.设有理数a ，b 在数轴上的位置如图所示，化简12a b a b a +--+++-． b 1 0a 12.若23x -=，21y +=，则x y +的值为____若()2230++-=a b ，则a b =____ 13.若2a =，13b +=，且a b b a -=-，则a +b 的值是___________ 14.最小的正整数是_____，最大的负整数是______，绝对值最小的有理数是_____，相反数等于它本身的数是________，绝对值等于它本身的数是_____________，倒数等于它本身的数是________，平方等于它本身的数是________．若30m n n -++=，则mn =__ 15.下列判断正确的是（ ） A ．-a 一定小于0 B ．a 一定大于0 C ．若a +b =0，则=a b D ．若=a b ，则a =b 16.下列说法正确的是（ ） A ．1是最小的正数，最大的负数是-1 B ．正数和负数统称有理数 C ．一个有理数不是整数就是分数 D ．小数3.14不是分数 17.下列说法正确的是（ ） A ．所有的有理数都可以用数轴上的点来表示 B ．绝对值等于它相反数的数是负数 C ．如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等 D ．正数的绝对值是正数 18.下列说法正确的是（ ） A ．绝对值等于它本身的数是正数 B ．符号不同的两个数互为相反数 C ．一个数的相反数一定是负数 D ．离原点越远的点，表示的数的绝对值越大 创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王* 有理数培优题 基础训练题 一、填空： 1、在数轴上表示－2的点到原点的距离等于（ ）。 2、若∣a ∣=－a,则a （ ）0. 3、任何有理数的绝对值都是（ ）。 4、如果a+b=0,那么a 、b 一定是（ ）。 5、将0.1毫米的厚度的纸对折20次，列式表示厚度是（ ）。 6、已知||3,||2,||a b a b a b ==-=-，则a b +=（ ） 7、|2||3|x x -++的最小值是（ ）。 8、在数轴上，点A 、B 分别表示2 1 41，-，则线段AB 的中点所表示的数是 （ ）。 9、若,a b 互为相反数，,m n 互为倒数，P 的绝对值为3，则 () 2010 2a b mn p p ++-=（ ） 。 10、若abc ≠0，则|||||| a b c a b c ++ 的值是（ ） . 11、下列有规律排列的一列数：1、43、32、85、5 3 、…，其中从左到右第 100个数是（ ）。 二、解答问题： 1、已知x+3=0,|y+5|+4的值是4，z 对应的点到-2对应的点的距离是7，求x 、y 、 z 这三个数两两之积的和。 3、若2|45||13|4x x x +-+-+的值恒为常数，求x 满足的条件及此时常数的值。 4、若,,a b c 为整数，且20102010||||1a b c a -+-=，试求||||||c a a b b c -+-+-的值。 5、计算：－21 ＋65－127＋209－3011＋4213－5615＋72 17 6、应用拓展：将七只杯子放在桌上，使三只口朝上，四只口朝下。现要求每次翻转其中任意四只，使它们杯口朝向相反，问能否经有限次翻转后，让所有杯子杯口朝下？ 能力培训题 知识点一：数轴 例1：已知有理数a 在数轴上原点的右方，有理数b 在原点的左方，那么（ ） A ．b ab < B ．b ab > C ．0>+b a D ．0>-b a 拓广训练： 1、如图b a ,为数轴上的两点表示的有理数，在a b b a a b b a ---+,,2,中，负数的个数有（ ）（“祖冲之杯”邀请赛试题） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3、把满足52≤ 第一讲有理数的巧算 有理数运算是中学数学中一切运算的基础．它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上，能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算．不仅如此，还要善于根据题目条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性． 1．括号的使用 在代数运算中，可以根据运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以此来改变运算的次序，使复杂的问题变得较简单． 例1计算： 分析中学数学中，由于负数的引入，符号“+”与“-”具有了双重涵义，它既是表示加法与减法的运算符号，也是表示正数与负数的性质符号．因此进行有理数运算时，一定要正确运用有理数的运算法则，尤其是要注意去括号时符号的变化． 注意在本例中的乘除运算中，常常把小数变成分数，把带分数变成假分数，这样便于计算． 例2计算下式的值： 211×555+445×789+555×789+211×445． 分析直接计算很麻烦，根据运算规则，添加括号改变运算次序，可使计算简单．本题可将第一、第四项和第二、第三项分别结合起来计算． 解原式=(211×555+211×445)+(445×789+555×789) =211×(555+445)+(445+555)×789 =211×1000+1000×789 =1000×(211+789) =1 000 000． 说明加括号的一般思想方法是“分组求和”，它是有理数巧算中的常用技巧． 例3计算：S=1-2+3-4+…+(-1)n+1·n． 分析不难看出这个算式的规律是任何相邻两项之和或为“1”或为“-1”．如果按照将第一、第二项，第三、第四项，…，分别配对的方式计算，就能得到一系列的“-1”，于是一改“去括号”的习惯，而取“添括号”之法． a 有理数及其运算加强版 一、认真选一选: 1.下列说法正确的是( ) A.所有的整数都是正数 B.不是正数的数一定是负数 C.0不是最小的有理数 D.正有理数包括整数和分数 2. 12的相反数的绝对值是( ) A.-12 B.2 C.-2 D.12 3.有理数a 、b 在数轴上的位置如图1-1所示,那么下列式子中成立的是( ) A.a>b B. a0 D.0a b > 4.在数轴上,原点及原点右边的点表示的数是( ) A.正数 B.负数 C.非正数 D.非负数 5.如果一个有理数的绝对值是正数,那么这个数必定是( ) A.是正数 B.不是0 C.是负数 D.以上都不对 （ ）现从中任意拿出两袋大米，这两袋大米的质量最多相差（ ） A.0.8kg B.0.6kg C.0.5kg D.0.4kg 7..若0 培优数学试题 1、设三个互不相等的有理数，既可表示为1，,a b a +的形式式，又可表示为0，b a ， b 的形式，求20062007a b +。 2、三个有理数,,a b c 的积为负数，和为正数，且|||| || ||||||a b c ab bc ac X a b c ab bc ac =+++++则32 1ax bx cx +++的值是多少？ 3、 若|||||| 0,a b ab ab a b ab +-则的值等于多少？ 4、如果m 是大于1的有理数，那么m 一定小于它的（ ） A.相反数 B.倒数 C.绝对值 D.平方 5、已知两数a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x 的绝对值是2，求 22006200()()()x a b c d x a b c d -+++++-的值。 6、若|1|a b ++与2(1)a b -+互为相反数，求321a b +-的值。 7、(1)123456-+-+-+…20012002+-的值是__________________。 (2)如果在数轴上表示a 、b 两上实数点的位置，如下图所 示，那么||||a b a b -++化简的结果等于（ ） A.2a B.2a - C.0 D.2b (3)已知2(3)|2|0a b -+-=，求b a 的值是（ ） A.2 B.3 C.9 D.6 8、若,,a b c 为整数，且20072007||||1a b c a -+-=，试求||||||c a a b b c -+-+-的值。 9、已知,a b 为非负整数，且满足||1a b ab -+=，求,a b 的所有可能值。 10、已知|a b －2|与|a －1|互为相互数，试求下式的值． ()()()()()()1111 112220072007ab a b a b a b ++++++++++有理数培优练习题
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