一、初一数学有理数解答题压轴题精选(难)
1.如图,在数轴上每相邻两点间的距离为一个单位长度,点、、、对应的数分别是,且 .
(1)那么 ________, ________:
(2)点以个单位/秒的速度沿着数轴的正方向运动,秒后点以个单位/秒的速度也沿着数轴的正方向运动,当点到达点处立刻返回,与点在数轴的某点处相遇,求这个点对应的数;
(3)如果、两点以(2)中的速度同时向数轴的负方向运动,点从图上的位置出发
也向数轴的负方向运动,且始终保持,当点运动到时,点对应的数是多少?
【答案】(1)-6;-8
(2)解:由(1)可知:,,,,
点运动到点所花的时间为,
设运动的时间为秒,
则对应的数为,
对应的数为: .
当、两点相遇时,,,
∴ .
答:这个点对应的数为;
(3)解:设运动的时间为
对应的数为:
对应的数为:
∴
∵
∴
∵对应的数为
∴
①当,;
②当,,不符合实际情况,
∴
∴
答:点对应的数为
【解析】【解答】解:(1)由图可知:,
∵,
∴,
解得,
则;
【分析】(1)由a、d在数轴上的位置可得d=a+8,代入已知的等式可求得a的值,再根据数轴可确定原点的位置;
(2)根据相遇问题可求得相遇时间,然后结合题意可求解;
(3)根据AB=AC列方程,解含绝对值的方程可求解.
2.如图1,A、B两点在数轴上对应的数分别为﹣12和4.
(1)直接写出A、B两点之间的距离;
(2)若在数轴上存在一点P,使得AP= PB,求点P表示的数.
(3)如图2,现有动点P、Q,若点P从点A出发,以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右运动,同时点Q从点B出发,以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动,当点Q到达原点O后立即以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动,求:当OP=4OQ时的运动时间t的值.
【答案】(1)解:A、B两点之间的距离是:4﹣(﹣12)=16
(2)解:设点P表示的数为x.分两种情况:
①当点P在线段AB上时,
∵AP= PB,
∴x+12=(4﹣x),
解得x=﹣8;
②当点P在线段BA的延长线上时,
∵AP= PB,
∴﹣12﹣x=(4﹣x),
解得x=﹣20.
综上所述,点P表示的数为﹣8或﹣20
(3)解:分两种情况:
①当t≤2时,点Q从点B出发,以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动,
此时Q点表示的数为4﹣2t,P点表示的数为﹣12+5t,
∵OP=4OQ,
∴12﹣5t=4(4﹣2t),
解得t=,符合题意;
②当t>2时,点Q从原点O开始以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动,
此时Q点表示的数为3(t﹣2),P点表示的数为﹣12+5t,
∵OP=4OQ,
∴|12﹣5t|=4×3(t﹣2),
∴12﹣5t=12t﹣24,或5t﹣12=12t﹣24,
解得t=,符合题意;或t=,不符合题意舍去.
综上所述,当OP=4OQ时的运动时间t的值为或秒
【解析】【分析】(1)根据两点间的距离公式即可求出A、B两点之间的距离;(2)设点P表示的数为x.分两种情况:①点P在线段AB上;②点P在线段BA的延长线上.根据
AP= PB列出关于x的方程,求解即可;(3)根据点Q的运动方向分两种情况:①当t≤2时,点Q从点B出发,以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动;②当t>2时,点Q从原点O开始以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动,根据OP=4OQ列出关于t的方程,解方程即可.
3.若点A、B、C在数轴上对应的数分别为a、b、c满足|a+5|+|b﹣2|+|c﹣3|=0.
(1)在数轴上是否存在点P,使得PA+PB=PC?若存在,求出点P对应的数;若不存在,请说明理由;
(2)若点A,B,C同时开始在数轴上分别以每秒1个单位长度,每秒3个单位长度,每秒5个单位长度沿着数轴正方向运动经过t秒后,试问AB﹣BC的值是否会随着时间t的变化而变化?请说明理由.
【答案】(1)解:∵a,b,c满足|a+5|+|b﹣2|+|c﹣3|=0,∴a=﹣5,b=2,c=3.
设点P对应的数为x.
当x<﹣5时,﹣5﹣x+2﹣x=3﹣x,解得:x=﹣6;
当﹣5≤x<2时,x﹣(﹣5)+2﹣x=3﹣x,解得:x=﹣4;
当2≤x<3时,x﹣(﹣5)+x﹣2=3﹣x,解得:x=0(舍去);
当x≥3时,x﹣(﹣5)+x﹣2=x﹣3,解得:x=﹣6(舍去).
综上所述:在数轴上存在点P,使得PA+PB=PC,点P对应的数为﹣6或﹣4.
(2)解:AB﹣BC的值不变,理由如下:
当运动时间为t秒时,点A对应的数为t﹣5,点B对应的数为3t+2,点C对应的数为5t+3,∴AB﹣BC=3t+2﹣(t﹣5)﹣[5t+3﹣(3t+2)]=6.
∴AB﹣BC的值不变.
【解析】【分析】由绝对值的非负性可求出a,b,c的值.(1)设点P对应的数为x,分x <﹣5,﹣5≤x<2,2≤x<3及x≥3四种情况考虑,由PA+PB=PC利用两点间的距离公式,即可得出关于x的一元一次方程,解之即可得出结论;(2)找出当运动时间为t秒时点A,B,C对应的数,进而可求出AB﹣BC=6,此题得解.
4.同学们,我们都知道:|5-2|表示5与2的差的绝对值,实际上也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离;|5+2|表示5与-2的差的绝对值,实际上也可理解为5与-2两数在数轴上所对应的两点之间的距离,试探索:
(1)|﹣4+6|=________;|﹣2﹣4|=________;
(2)找出所有符合条件的整数x,使|x+2|+|x-1|=3成立;
(3)若数轴上表示数a的点位于﹣4与6之间,求|a+4|+|a﹣6|的值;
(4)当a=________时,|a﹣1|+|a+5|+|a﹣4|的值最小,最小值是________;
(5)当a=________时,|a﹣1|+|a+2|+|a﹣3|+|a+4|+|a﹣5|+…+|a+2n|+|a﹣(2n+1)|的值最小,最小值是________.
【答案】(1)2;6
(2)解:此题可以理解为数轴上一点到-2,1的距离的和是3,由于1到-2 的距离就是3,,故当-2≤x≤1的时候即可满足条件,又因为x是整数,所以x的值可以为:-2,-1,0,1.
(3)解:∵数轴上表示数a的点位于﹣4与6之间,∴a+4>0,a﹣6<0,∴|a+4|+|a﹣6|=a+4-a+6=10;
(4)1;9
(5)1;2n2+3n
【解析】【解答】(1)|﹣4+6|=|2|=2,|﹣2﹣4|=|-6|=6;
(4)此题可以理解为数轴上一点到1,-5,4的距离的和最小,根据两点之间线段最短,故当a表示的数是1的时候,|a﹣1|+|a+5|+|a﹣4|的值最小,当a=1的时候,|a﹣1|+|a+5|+|a﹣4|=|1﹣1|+|1+5|+|1﹣4|=9;
(5)|a-1|+|a+2|+|a-3|+|a+4|+|a-5|+…+|a+2n|+|a-(2n+1)|的值最小,则a=1
当a=1时
原式=3+2+5+4+……+(2n+1)+2n
=2+3+4+5+……+2n+(2n+1)
=
= 2n2+3n
故:答案为1, 2n2+3n .
【分析】(1)由于绝对值符号具有括号的作用,先按有理数的加减法法则算出绝对值符号里面的,再根据绝对值的意义去掉绝对值符号即可;
(2)此题可以理解为数轴上一点到-2,1的距离的和是3,由于1到-2 的距离就是3,,从而找出1到-2 的整数即可;
(3)根据有理数的加减法法则,首先判断出a+4>0,a﹣6<0,再根据绝对值的意义去掉绝对值符号合并同类项即可;
(4)此题可以理解为数轴上一点到1,-5,4的距离的和最小,根据两点之间线段最短,故当a表示的数是介于4和-5之间的数1的时候,即可使其值最小,然后将a=1代入再根据绝对值的意义化简即可;
(5)|a-1|+|a+2|+|a-3|+|a+4|+|a-5|+…+|a+2n|+|a-(2n+1)| 表示的是a到1,-2,3,-4,5,……-2n,2n+1的距离和,故要使,|a-1|+|a+2|+|a-3|+|a+4|+|a-5|+…+|a+2n|+|a-(2n+1)|的值最小,则a=1,把a=1代入根据绝对值的意义即可求出答案。
5.已知多项式,次数是b,3a与b互为相反数,在数轴上,点A 表示数a,点B表示数b.
(1)数轴上A、B之间的距离记作,定义:设点C在数轴上对应的数为x,当时,直接写出x的值.
(2)有一动点P从点A出发第一次向左运动1个单位长度,然后在新的位置第二次运动,向右运动2个单位长度,在此位置第三次运动,向左运动3个单位长度按照如此规律不断地左右运动,当运动了2019次时,求点P所对应的有理数.
(3)若小蚂蚁甲从点A处以1个单位长度秒的速度向左运动,同时小蚂蚁乙从点B处以2单位长度秒的速度也向左运动,一同学观察两只小蚂蚁运动,在它们刚开始运动时,在原点O处放置一颗饭粒,乙在碰到饭粒后立即背着饭粒以原来的速度向相反的方向运动,设运动的时间为t秒,求甲、乙两只小蚂蚁到原点的距离相等时所对应的时间t. 【答案】(1)解:由多项式的次数是6可知,又3a和b互为相反数,故 .
当C在A左侧时,,
,;
在A和B之间时,,
点C不存在;
点C在B点右侧时,,
,
;
故答案为:或8.
(2)解:依题意得:
.
点P对应的有理数为 .
(3)解:甲、乙两小蚂蚁均向左运动,即时,此时,,
,
解得,;
甲向左运动,乙向右运动时,即时,
此时,,
依题意得,,
解得, .
答:甲、乙两小蚂蚁到原点的距离相等时经历的时间是秒或8秒
【解析】【分析】(1)根据题意可得a=?2,b=6;然后分当C在A左侧时,在A和B之间时,点C在B点右侧时,三种情况用x表示出|CA|和|CB|的长度,利用“|CA|+|CB|=12”列出方程即可求出答案;
(2)向左运动记为负,向右运动记为正,由点P所表示的数依次加上每次运动的距离列出算式,进而根据有理数加减法法则算出答案;
(3)分甲、乙两小蚂蚁均向左运动,即时,甲向左运动,乙向右运动时,即时两种情况,根据到原点距离相等列出方程求解即可.
6.阅读材料:
在数轴上,点 A 在原点 0 的左边,距离原点 4 个单位长度,点 B 在原点的右边,点 A 和点B 之间的距离为 14个单位长度.
(1)点 A 表示的数是________,点 B 表示的数是________;
(2)点 A、B 同时出发沿数轴向左移动,速度分别为 1 个单位长度/秒,3 个单位长度/秒,经过多少秒,点 A 与点 B重合?
(3)点 M、N 分别从点 A、B 出发沿数轴向右移动,速度分别为 1 个单位长度/秒、2 个单位长度/秒,点 P 为 ON 的中点,设 OP-AM 的值为 y,在移动过程中,y 值是否发生变化?若不变,求出 y 值;若变化,说明理由.
【答案】(1)-4;10
(2)解:由题意知,此时为速度问题里面的追击问题,则由速度差×相遇时间=相距距离可知:
设经过x秒后重合,即x秒后AB相遇.
则(3-1)x=14
解得:x=7
故7秒后点A,B重合.
(3)解:y不发生变化,理由如下:
设运动时间为x秒,则AM=x
而OP=
则y=OP-AM=
故y为定值,不发生变化.
【解析】【解答】解:(1)由A在原点左边4个单位长度可知A点表示的数是-4,由B 在原点右边且与点A距离14个单位长度可知,-4+14=10,则B点表示的数是10.
【分析】(1)由A在原点左边4个单位长度可知A点表示的数是-4,再根据B 在原点右边且与点A距离14个单位长度,可由-4+14=10可得B点表示的数.(2)把A,B看成距离为14个单位长度的追击问题,由速度差×相遇时间=相距距离列出等式求解.(3)设移动时间为x秒,用含有x的代数式表示出OP与AM的长度,然后根据y= OP-AM列出关系式判断,若式中不含x项则不发生变化,含x项则发生变化.
7.我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观,形少数时难入微”;数形结合是解决数学问题的重要思想方法.例如,代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离;因为,所以的几何意义就是数轴上x 所对应的点与-1所对应的点之间的距离.
⑴发现问题:代数式的最小值是多少?
⑵探究问题:如图,点分别表示的是,.
∵的几何意义是线段与的长度之和
∴当点在线段上时, ;当点点在点的左侧或点的右侧时
∴的最小值是3.
⑶解决问题:
①. 的最小值是 ________ ;
②.利用上述思想方法解不等式:
________
③.当为何值时,代数式的最小值是2________.
【答案】6;设A表示-3,B表示1,P表示x,∴线段AB的长度为4,则,的几何意义表示为PA+PB,∴不等式的几何意义是PA+PB>AB,∴P 不能在线段AB上,应该在A的左侧或者B的右侧,即不等式的解集为或.故答案为:或.;设A表示-a,B表示3,P表示x,则线段AB 的长度为,的几何意义表示为PA+PB,当P在线段AB上时PA+PB取得最小值,∴∴或,即
或;故答案为:或 .
【解析】【解答】解:(3)①设A表示的数为4,B表示的数为-2,P表示的数为x ,
∴表示数轴上的点P到4的距离,用线段PA表示,
表示数轴上的点P到-2的距离,用线段PB表示,
∴的几何意义表示为PA+PB,当P在线段AB上时取得最小值为AB,且线段AB的长度为6,
∴的最小值为6.
故答案为:6.
【分析】(3)①根据绝对值的几何意义可知,变成数轴上的点到-2的距离和到4的距离之和的最小值;②根据题意画出相应的图形,确定出所求不等式的解集即可;③根据原式的最小值为2,得到3左边和右边,且到3距离为2的点即可.
8.阅读理解:
若A,B,C为数轴上的三点,且点C到点A的距离是点C到点B的距离的2倍,我们就称点C是【A,B】的好点。
例如,如图1,点A表示的数为-1,点B表示的数为2,表示1的点C到点A的距离是2,到点B的距离是1,那么点C是【A,B】的好点,又如,表示0的点D到点A的距离是1,到点B的距离是2,那么点D就不是【A,B】的好点,但点D是【B,A】的好点。
知识运用:
(1)如图2,M,N为数轴上的两点,点M所表示的数为-2,点N所表示的数为4.
①在点M和点N中间,数________所表示的点是【M,N】的好点;
②在数轴上,数________和数________所表示的点都是【N,M】的好点。
(2)如图3,A,B为数轴上的两点,点A所表示的数为-20,点B所表示的数为40.现有一只电子蚂蚁P从点B出发,以每秒4个单位长度的速度向左运动,到达点A时停止,则经过几秒后,P,A和B中恰有一个点为其余两点的好点?
【答案】(1)2;0;-8
(2)解:由题意设PB=4t,AB=40+20=60,则PA=60-4t,
点P走完所用的时间为60÷4=15(秒)
分四种情况:
①当PA=2PB时,即2×4t=60-4t,t=5,P是【A,B】的好点;
②当PB=2PA时,即4t=2(60-4t),t=10,P是【B,A】的好点;
③当AB=2PB时,即60=2×4t,t=7.5,B是【A,P】的好点;
④当AB=2AP时,即60=2(60-4t),t=7.5,A是【B,P】的好点,
即当经过5秒或7.5秒或10秒时,点P,A和B中恰有一个点为其余两点的好点。
【解析】【解答】解:(1)①设设所求的数为x,由题意得:
x-(-2)=2(4-x)
解之:x=2;
②在数轴上,数0和数-8所表示的点都是【N,M】的好点。
故答案为:2,0,-8
【分析】(1)①设所求的数为x,再根据好点定义,列出关于x的方程,解方程求出x 的值;②根据好点的定义可以得到结论。
(2)由已知条件用含t的代数式表示出PB,AB,PA的长,再求出点P走完所用的时间,然后分情况讨论:①当PA=2PB时;②当PB=2PA时;③当AB=2PB时;④当AB=2AP 时,由此分别建立关于t的方程,解方程求出t的值即可。
9.如图,点A从原点出发沿数轴向左运动,同时点B也从原点出发沿数轴向右运动,3秒后,两点相距15个单位长度.已知点B的速度是点A的速度的4倍(速度单位:单位长度/秒)
(1)求出点A、点B运动的速度,并在数轴上标出A、B两点从原点出发运动3秒时的位置;
(2)若A、B两点从(1)中的位置开始,仍以原来的速度同时沿数轴向左运动,几秒时,原点恰好处在点A、点B的正中间?
(3)若A、B两点从(1)中的位置开始,仍以原来的速度同时沿数轴向左运动时,另一点C 同时从B点位置出发向A点运动,当遇到A点后,立即返回向B点运动,遇到B点后又立即返回向A点运动,如此往返,直到B点追上点A时,C点立即停止运动,若C点一直以20单位长度/秒的速度匀速运动,那么点C从开始运动到停止运动,行驶的路程是多少个单位长度?
【答案】(1)解:设点A的速度为每秒x个单位长度,则点B的速度为每秒4x单位长度依题意得3x+3×4x=15
解之得x=1
所以点A的速度为每秒1个单位长度,点B的速度为每秒4单位长度
如图,
(2)解:设y秒时原点恰好在A、B两点的中间,依题意得
3+y=12-4y
解之得y=1.8
所以A、B两点运动1.8秒时,原点就在点A、点B的中间
(3)解:设点B追上点A的时间为z秒,依题意得
4z=15+z
解之得z=5
所以C行驶的路程为:5×20=100单位长度。
【解析】【分析】(1)根据两点的运动速度,设点A的速度为每秒x个单位长度,则点B 的速度为每秒4x单位长度,再根据两点之间相距15个单位长度,建立关于x的方程,解
方程求出x的值即可。
(2)由题意设y秒时原点恰好在A、B两点的中间,由此建立关于y的方程,解方程求出y的值。
(3)设点B追上点A的时间为z秒,根据已知条件建立关于z的方程,解方程求出z的值,然后求出C行驶的路程即可。
10.如图,已知数轴上点A表示的数为8,B是数轴上位于点A左侧一点,且AB=22,动点P从A点出发,以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动,设运动时间为t(t>0)秒
(1)数轴上点B表示的数是________;点P表示的数是________(用含t的代数式表示) (2)动点Q从点B出发,以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动,若点P、Q同时出发,问多少秒时P、Q之间的距离恰好等于2?
(3)若M为AP的中点,N为BP的中点,在点P运动的过程中,线段MN的长度是否发生变化?若变化,请说明理由,若不变,请你画出图形,并求出线段MN的长。
【答案】(1)﹣14;8﹣5t
(2)解:分两种情况:
①点P、Q相遇之前,
由题意得3t+2+5t=22,解得t=2.5;
②点P、Q相遇之后,
由题意得3t﹣2+5t=22,解得t=3.
答:若点P、Q同时出发,2.5或3秒时P、Q之间的距离恰好等于2
(3)解:线段MN的长度不发生变化,其值为11,
理由如下:
①当点P在点A、B两点之间运动时:
MN=MP+NP= AP+ BP= (AP+BP)= AB= ×22=11;
②当点P运动到点B的左侧时:
MN=MP﹣NP= AP﹣ BP= (AP﹣BP)= AB=11
∴线段MN的长度不发生变化,其值为11.
【解析】【解答】解:(1)∵点A表示的数为8,B在A点左边,AB=22,
∴点B表示的数是8?22=?14,
∵动点P从点A出发,以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动,设运动时间为t (t>0)秒,
∴点P表示的数是8?5t.
故答案为:-14、8-5t;
【分析】(1)根据已知可得B点表示的数为8?22;点P表示的数为8?5t;
(2)分①点P、Q相遇之前,②点P、Q相遇之后两种情况,根据P、Q之间的距离恰好等于2列出方程求解即可;
(3)线段MN的长度不发生变化,其值为11,理由如下:分①当点P在点A、B两点之间运动时,②当点P运动到点B的左侧时,利用中点的定义和线段的和差求出MN的长即可.
11.如图,已知数轴上点A表示的数为﹣3,B是数轴上位于点A右侧一点,且AB=12.动
点P从点A出发,以每秒2个单位长度的速度沿数轴向点B方向匀速运动,设运动时间为
t秒.
(1)数轴上点B表示的数为________;点P表示的数为________(用含t的代数式表示). (2)动点Q从点B出发,以每秒1个单位长度的速度沿数轴向点A方向匀速运动;点P、点Q同时出发,当点P与点Q重合后,点P马上改变方向,与点Q继续向点A方向匀
速运动(点P、点Q在运动过程中,速度始终保持不变);当点P返回到达A点时,P、Q 停止运动.设运动时间为t秒.
①当点P返回到达A点时,求t的值,并求出此时点Q表示的数.
②当点P是线段AQ的三等分点时,求t的值.
【答案】(1)9;
(2)解:①根据题意,得:(1+2)t=12,
解得:t=4,
∴P回到A需8s,当t=8时,点P与点A重合,此时点Q表示的数为1;
②P与Q重合前(即t<4):
当2AP=PQ时,有2t+4t+t=12,解得t=;
当AP=2PQ时,有2t+t+t=12,解得t=3;
P与Q重合后(即4 当AP=2PQ时,有2(8﹣t)=2(t﹣4),解得t=6; 当2AP=PQ时,有4(8﹣t)=t﹣4,解得t=; 综上所述,当t=秒或3秒或6秒或秒时,点P是线段AQ的三等分点. 【解析】【解答】解:(1)由题意知,点B表示的数是﹣3+12=9,点P表示的数是﹣3+2t, 故答案为:9,﹣3+2t; 【分析】(1)根据两点间的距离求解可得;(2)①根据重合前两者的路程和等于AB的长度列方程求解可得;②分点P与点Q重合前和重合后,依据点P是线段AQ的三等分点线段间的数量关系,并据此列出方程求解可得. 12.同学们都知道,|5-(-2)|表示5与-2之差的绝对值,实际上也可理解为5与-2两数在数轴上所对的两点之间的距离.试探索: (1)求|5-(-2)|=________. (2)找出所有符合条件的整数x,使得|x+5|+|x-2|=7这样的整数是________. (3)由以上探索猜想对于任何有理数x,|x-3|+|x-6|是否有最小值?如果有写出最小值,如果没有说明理由. 【答案】(1)7 (2)-5,-4,-3,-2,-1, 0, 1, 2 (3)解:|x﹣3|+|x﹣6|有最小值,最小值是3.理由如下: 当x>6时,|x﹣3|+|x﹣6|=x﹣3+x﹣6=2x﹣9>3; 当3≤x≤6时,|x﹣3|+|x﹣6|=x﹣3+6﹣x=3; 当x<3时,|x﹣3|+|x﹣6|=3﹣x+6﹣x=9﹣2x>3. 故|x﹣3|+|x﹣6|有最小值,最小值是3 【解析】【解答】(1)|5﹣(﹣2)|=|5+2|=7. 故答案为:7;(2)当x>2时,|x+5|+|x﹣2|=x+5+x﹣2=7,解得:x=2与x>2矛盾,故此种情况不存在; 当﹣5≤x≤2时,|x+5|+|x﹣2|=x+5+2﹣x=7,故﹣5≤x≤2时,使得|x+5|+|x﹣2|=7,故使得|x+5|+|x﹣2|=7的整数是﹣5、﹣4、﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2; 当x<﹣5时,|x+5|+|x﹣2|=﹣x﹣5+2﹣x=﹣2x+3=7,得x=﹣5与x<﹣5矛盾,故此种情况不存在. 故答案为:﹣5、﹣4、﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2; 【分析】(1)根据题目中的式子和绝对值可以解答本题;(2)利用分类讨论的数学思想可以解答本题;(3)根据题意,利用分类讨论的数学思想可以解答本题.