递归方程的求解

算法设计与分析知到章节测试答案智慧树2023年最新天津大学第一章测试1.下列关于效率的说法正确的是（）。

参考答案:提高程序效率的根本途径在于选择良好的设计方法，数据结构与算法;效率主要指处理机时间和存储器容量两个方面;效率是一个性能要求，其目标应该在需求分析时给出2.算法的时间复杂度取决于（）。

参考答案:问题的规模;待处理数据的初态3.计算机算法指的是（）。

参考答案:解决问题的有限运算序列4.归并排序法的时间复杂度和空间复杂度分别是（）。

参考答案:O(nlog2n);O(n)5.将长度分别为m,n的两个单链表合并为一个单链表的时间复杂度为O(m+n)。

（）参考答案:错6.用渐进表示法分析算法复杂度的增长趋势。

（）参考答案:对7.算法分析的两个主要方面是时间复杂度和空间复杂度的分析。

（）参考答案:对8.某算法所需时间由以下方程表示，求出该算法时间复杂度（）。

参考答案:O(nlog2n)9.下列代码的时间复杂度是（）。

参考答案:O(log2N)10.下列算法为在数组A[0,...,n-1]中找出最大值和最小值的元素，其平均比较次数为（）。

参考答案:3n/2-3/2第二章测试1.可用Master方法求解的递归方程的形式为（）。

参考答案:T(n)=aT(n/b)+f(n) , a≥1, b＞1, 为整数, f(n)＞0.2.参考答案:对3.假定，, 递归方程的解是. ( )参考答案:对4.假设数组A包含n个不同的元素，需要从数组A中找出n/2个元素，要求所找的n/2个元素的中点元素也是数组A的中点元素。

针对该问题的任何算法需要的时间复杂度的下限必为。

( )参考答案:错5.使用Master方法求解递归方程的解为（）.参考答案:6.考虑包含n个二维坐标点的集合S，其中n为偶数，且所有坐标点中的均不相同。

一条竖直的直线若能把S集合分成左右两部分坐标点个数相同的子集合，则称直线L为集合S的一条分界线。

若给定集合S，则可在时间内找到这条分界线L。

数列求通项的十种方法
数列是数学中的一个重要概念，对于求数列通项的问题，有许多不
同的解法。

下面将介绍十种求解数列通项的方法。

1. 暴力求解法：将数列中的前几项写出来，然后根据已知项之间的规
律来推出通项公式。

2. 公式推导法：利用一些已知的数列通项公式，结合这个数列的特点，在此基础上推导出此数列的通项公式。

3. 通项公式分解法：将数列的通项公式分解为元素之和的形式，从而
得到每一项的通项公式。

4. 递推公式求解法：根据数列中一些指定的通项公式，推导出递推公式，并使用递推公式依次求出数列中每一项的通项公式。

5. 差分法：通过对数列求差（即相邻项之差），得到一个新数列，然
后对新数列再次求差，直到差分后的数列为常数列，最后通过累加得
到原数列的通项公式。

6. 微积分法：对数列进行微积分操作，得到导数，然后再对导数积分，通过积分得到原数列的通项公式。

7. 特征方程法：将递推公式转化为特征方程，并求解特征根，然后根
据特征根求得通项公式。

8. 奇怪公式法：有些数列的通项公式看起来十分奇怪，但通过反复验证，发现确实有效。

9. 递归法：通过一个递归的函数，根据某一项的值递归计算其他项的值，最终得到整个数列的通项公式。

10. 牛顿插值法：利用牛顿插值法，通过已知的数列中一部分数值，反
推出整个数列的通项公式。

以上是十种求解数列通项的方法，每种方法都有其适用范围和局限性。

对于不同的数列，选择不同的方法求解，可以得到更加准确和简便的
结果。

递归算法得优缺点：3优点：结构清晰，可读性强，而且容易用数学归纳法来证明算法得正确性，因此它为设计算法、调试程序带来很大方便。

3缺点：递归算法得运行效率较低，无论就是耗费得计算时间还就是占用得存储空间都比非递归算法要多。

边界条件与递归方程就是递归函数得二个要素应用分治法得两个前提就是问题得可分性与解得可归并性以比较为基础得排序算法得最坏倩况时间复杂性下界为0(n I o g2n)。

回溯法以深度优先得方式搜索解空间树T,而分支限界法则以广度优先或以最小耗费优先得方式搜索解空间树T。

舍伍德算法设计得基本思想：设A就是一个确定性算法，当它得输入实例为x时所需得计算时间记为tA(x)。

设Xn就是算法A得输入规模为n得实例得全体，则当问题得输入规模为n时，算法A所需得平均时间为这显然不能排除存在x€Xn使得得可能性。

希望获得一个随机化算法B，使得对问题得输入规模为n得每一个实例均有拉斯维加斯(Las Vegas )算法得基本思想：设p(x)就是对输入x调用拉斯维加斯算法获得问题得一个解得概率。

一个正确得拉斯维加斯算法应该对所有输入x均有p(x)>0。

设t(x)就是算法obst in ate找到具体实例x得一个解所需得平均时间，s(x)与e(x)分别就是算法对于具体实例x求解成功或求解失败所需得平均时间，则有：解此方程可得：蒙特卡罗(Monte Carlo)算法得基本思想：设p就是一个实数，且1/2<p<1。

如果一个蒙特卡罗算法对于问题得任一实例得到正确解得概率不小于p,则称该蒙特卡罗算法就是p正确得，且称p1/2就是该算法得优势。

如果对于同一实例，蒙特卡罗算法不会给出2个不同得正确解答，则称该蒙特卡罗算法就是一致得。

线性规划基本定理：如果线性规划问题有最优解，则必有一基本可行最优解。

单纯形算法得特点就是：(1) 只对约束条件得若干组合进行测试，测试得每一步都使目标函数得值增加；(2) 一般经过不大于m或n次迭代就可求得最优解。

conditions ( 初始条件 ) : d y (t 0 ) , , dt d
N 1
y (t 0 )
N 1
dt
完全解:
y(t)=yh(t)+yp(t)
齐次解 特解
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当N=0时,即 ak 0, k 0 ,差分方程为：
M
a 0 y[ n ]
M
b
j0
j
x[ n j ]
y[ n ]
a
j 0
M
bj
0
x[ n j ]
h[ n]
j 0
bj a0
[n j ]
0nM
bn h[ n ] , a0
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w(n) bk x(n k ) b0 x(n) b1x(n 1) ... bM x(n M )
方框图为：
x n )) x(( n

D D
b0 1 / a 0
b1 a1


1/ a0y ( n ) y ( n) w(v n( )n ) w(n) b0
D D
D D
N k k 0
M k k 0
a y ( n k ) b x( n k )
N 1 M y(n) bk x(n k ) ak y(n k ) a0 k 0 k 1
令 w(n)
M
b x(n k )

《算法设计与分析》习题第一章引论习题1-1 写一个通用方法用于判定给定数组是否已排好序。

解答：Algorithm compare(a,n)BeginJ=1;While (j<n and a[j]<=a[j+1]) do j=j+1;If j=n then return trueElseWhile (j<n and a[j]>=a[j+1]) do j=j+1;If j=n then return true else return false end ifEnd ifend习题1-2 写一个算法交换两个变量的值不使用第三个变量。

解答：x=x+y; y=x-y; x=x-y;习题1-3 已知m,n为自然数，其上限为k（由键盘输入，1<=k<=109）,找出满足条件(n2-mn-m2)2=1 且使n2+m2达到最大的m、n。

解答：m:=k; flag:=0;repeatn:=m;repeatl:=n*n-m*n-m*n;if (l*l=1) then flag:=1 else n:=n-1;until (flag=1) or (n=0)if n=0 then m:=m-1until (flag=1) or (m=0);第二章基础知识习题2-1 求下列函数的渐进表达式：3n 2+10n ; n 2/10+2n ; 21+1/n ; log n 3; 10 log3n 。

解答： 3n 2+10n=O （n 2）， n 2/10+2n =O （2n ）， 21+1/n=O （1）， log n 3=O （log n ），10 log3n =O （n ）。

习题2-2 说明O (1)和 O (2)的区别。

习题2-3 照渐进阶从低到高的顺序排列以下表达式：!n ，3/22,2,20,3,log ,4n n n n n 。

解答：照渐进阶从低到高的顺序为：!n 、 3n、 24n 、23n 、20n 、log n 、2习题2-4（1） 假设某算法在输入规模为n 时的计算时间为n n T 23)(⨯=。

2 3
n
）
圯 由a1=1，a2=
5 3
得
圯圯 a1=α+β·
2 3
=1
：圯 圯圯 a2=α+β·（
2 3
2
）=
5 3
圯
αβ==3-3，
∴an=3-3（
2 3
n
）。
知识链接： 形式幂级数又称作母函数。 其一般的形式如
∞
∞
∑ ∑ n
∞
n
下：G（x）= anx ，我们给定数列{an}n=0，它所造出的G（x）= anx
参考文献汪晓梦极限思想的形成发展及其哲学意义中共合肥市委党校学报陈纪修于崇华金路数学分析北京高等教育出版社同济大学数学系高等数学第六版北京高等教育出版社本文得到江西省高等教育教学改革课题项目编号一资助
○ 数学教学与研究 2009年第33期（上卷）
周刊
二阶常系数线性齐次递归数列通项的求解
尤田
（泗阳致远中学，江苏 泗阳 223700）
n=0
n=0
则称为数列的母函数。 关于母函数的运算我们要先记住：
（1）
1
23
=1+x+x +x +…
1-x
（2）
1
2
=1+2x+3x +…
2
（1-x）
（3）
1
=1+nx+
n（n+1）
2
x+
n（n+1）（n+2）
3
x +…
n
（1-x）
2！
3！
r
（4）（1+x） =1+rx+

2.1
递归的概念
例4 排列问题 设计一个递归算法生成n个元素{r1,r2,…,rn}的全排列。 设R={r1,r2,…,rn}是要进行排列的n个元素，Ri=R-{ri}。 集合X中元素的全排列记为perm(X)。 (ri)perm(X)表示在全排列perm(X)的每一个排列前加上前 缀得到的排列。R的全排列可归纳定义如下： 当n=1时，perm(R)=(r)，其中r是集合R中唯一的元素； 当n>1时，perm(R)由(r1)perm(R1)，(r2)perm(R2)，…， (rn)perm(Rn)构成。
分治法的基本步骤
divide-and-conquer(P) { if ( | P | <= n0) adhoc(P); //解决小规模的问题 divide P into smaller subinstances P1,P2,...,Pk；//分解问题 for (i=1,i<=k,i++) yi=divide-and-conquer(Pi); //递归的解各子问题 return merge(y1,...,yk); //将各子问题的解合并为原问题的解 } 人们从大量实践中发现，在用分治法设计算法时，最好使 子问题的规模大致相同。即将一个问题分成大小相等的k个子问 题的处理方法是行之有效的。这种使子问题规模大致相等的做 法是出自一种平衡(balancing)子问题的思想，它几乎总是比子 问题规模不等的做法要好。
1 5 n1 1 5 n1 1 F (n) 2 5 2
但本例中的Ackerman函数却无法找到非递归的定义。
2.1
例3 Ackerman函数
递归的概念
• A(n，m)的自变量m的每一个值都定义了一个单变量函数： • M=0时，A(n,0)=n+2 • M=1时，A(n,1)=A(A(n-1,1),0)=A(n-1,1)+2，和A(1,1)=2故 A(n,1)=2*n • M=2时，A(n,2)=A(A(n-1,2),1)=2A(n-1,2)，和 A(1,2)=A(A(0,2),1)=A(1,1)=2，故A(n,2)= 2^n 。

一
但 Ｃ ２… ， 是 此 方 程 组 的 解 ， １Ｃ ， Ｃ
・
．
２ 主要结果及证明
．
以下定理分别是上面三个定理的逆 定理．
七
Ｃ－ ｉ １， 七， ． ， Ｃ ，…，） ＝ （ ２ ｂ
定’ ５ 若 数 歹 ｛ ）的 通 项 公 式 为 理 Ｉ Ｊ ＝（１ ２ ＋… ＋ｃ ， 一） （ ｃ ＋ｃ ， ｚ 七ｚ ≠Ｏ ，贝 七 ） ＿０
维普资讯
２０ ０ ８年 第 ３期
重 庆 三 峡 掌 院 掌 报
Ｎｏ３２ Ｄ ． ．Ｄ ８
第２ ４卷 （ １ ） １０期
Ｊ
ＡＬ ０Ｆ ＣＨ０ＮＧＯＩ ＴＨＲＥ ＮＧ Ｅ ＧＯＲＧＥ Ｓ ＵＮＩ ＶＥＲ Ｉ Ｓ ＴＹ
Ｖ＿ ．４ Ｎｏ １ ０ ０ ２ ．ｌ １
由通项公式构造齐 次线性递 归数列 的递 归方程
游 顺 利 ’ 张 隆辉
（． １广安中学，四川广安 ６８０ ） ３００
（ ．￣ｌ ２Ｉ）职业技术学院应 用数 学与经济 系，四川遂 宁 ６９ ０ ） Ｚ ｌ ２ ００
摘 要 ：给 出并证明 了由数列 的通项公式判定其是齐次线性递 归数列 的充分条件 ， 以及其递 归方程 的构造．
定理 ３若 （ Ⅱ）有
｛ ） 的特征根 Ｘ ２… ， 互不相等，由 １ ，
七重 根 ，２ 根 ， ，ｓ 枇 １ ｋ重 ２… ｋ重
（ ｌ ２＋… ＋ｋ ｋ ＋ｋ ＝ｋ） ，则 （）所 确定的递 归 Ｉ
数列的通项公式为
口 ＝
定理 １ ｂ ） ，｛ｎ 的通项公式为
ｂ ｎ＝ｃ ＋ ｃ ２ ２ ｎ＋… ＋ ｃ 七， Ｐ 七 ｎ Ｐ
作者才写作本文的．
１ 预备知识

§6.4一种特殊的联立方程模型—递归系统模型在介绍联立方程计量经济学模型的估计方法之前，首先介绍一种在形式是属于联立方程模型但仍然可以采用单方程模型的估计方法估计每个方程的特殊情况，即递归系统模型。

一、递归系统模型联立方程模型BΓNY X+=如果B=------⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥1000100101 213132123ββββββg g gΓ=---------⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥γγγγγγγγγ111212122212kkg g gk即在第1个方程中被解释变量为Y1，解释变量全部为先决变量；在第2个方程中被解释变量为Y2，解释变量中除了作为第1个方程被解释变量的内生变量Y1外，全部为先决变量；第3个方程…，依次类推。

这类模型称为递归系统模型。

递推系统模型在实际经济系统中是确实存在的。

递归系统的倡导者Wold Jureen于1953年指出，经济理论通常定义经济关系中最重要的解释变量，在这种情况下，经济关系式可以用递归系统模型充分地表达。

例如，在供给导向的宏观经济系统中，总产值由前期资本存量和劳动力数量决定，它们是先决变量；国民收入由总产值决定；居民收入、财政收入由国民收入决定；消费与投资又由居民收入、财政收入决定；…如果将这些关系用一个宏观经济模型来描述，这个模型就是典型的递归系统模型。

大多数情况下，模型并不是严格递归的，而是一种近似递归系统。

但可以采用递归系统模型的方法去研究。

二、递归系统模型的估计由于递归系统模型中的第1个方程的解释变量全部为先决变量，那么可以用单方程模型的估计方法直接估计第1个方程的参数，并得到关于被解释变量的估计值 ( , , )Y y y yn111121= 。

在第2个方程的解释变量中，除了在第1个方程中作为被解释变量的Y1之外，全部为先决变量。

于是有两种可以用于该方程参数估计的方法，一是以 Y1取代方程中的Y1作为解释变量，然后用普通最小二乘法等方法估计其参数；二是以 Y1作为方程中Y1的工具变量，采用工具变量方法估计方程参数。

参考答案第1章一、选择题1. C2. A3. C4. C A D B5. B6. B7. D 8. B 9. B 10. B 11. D 12. B二、填空题1. 输入；输出；确定性；可行性；有穷性2. 程序；有穷性3. 算法复杂度4. 时间复杂度；空间复杂度5. 正确性；简明性；高效性；最优性6. 精确算法；启发式算法7. 复杂性尽可能低的算法；其中复杂性最低者8. 最好性态；最坏性态；平均性态9. 基本运算10. 原地工作三、简答题1. 高级程序设计语言的主要好处是：（l）高级语言更接近算法语言，易学、易掌握，一般工程技术人员只需要几周时间的培训就可以胜任程序员的工作；（2）高级语言为程序员提供了结构化程序设计的环境和工具，使得设计出来的程序可读性好，可维护性强，可靠性高；（3）高级语言不依赖于机器语言，与具体的计算机硬件关系不大，因而所写出来的程序可移植性好、重用率高；（4）把复杂琐碎的事务交给编译程序，所以自动化程度高，发用周期短，程序员可以集中集中时间和精力从事更重要的创造性劳动，提高程序质量。

2. 使用抽象数据类型带给算法设计的好处主要有：（1）算法顶层设计与底层实现分离，使得在进行顶层设计时不考虑它所用到的数据，运算表示和实现；反过来，在表示数据和实现底层运算时，只要定义清楚抽象数据类型而不必考虑在什么场合引用它。

这样做使算法设计的复杂性降低了，条理性增强了，既有助于迅速开发出程序原型，又使开发过程少出差错，程序可靠性高。

（2）算法设计与数据结构设计隔开，允许数据结构自由选择，从中比较，优化算法效率。

（3）数据模型和该模型上的运算统一在抽象数据类型中，反映它们之间内在的互相依赖和互相制约的关系，便于空间和时间耗费的折衷，灵活地满足用户要求。

（4）由于顶层设计和底层实现局部化，在设计中出现的差错也是局部的，因而容易查找也容易纠正，在设计中常常要做的增、删、改也都是局部的，因而也都容易进行。

数字信号处理的差分方程求解技巧数字信号处理中，差分方程是一种重要的数学工具，用于描述离散时间系统的行为。

差分方程是离散时间系统输入和输出之间的关系，通常表示为递推关系式。

求解差分方程是数字信号处理中的一个关键步骤，下面将介绍一些常见的差分方程求解技巧。

1. 齐次差分方程的求解：齐次差分方程是指其右侧没有任何输入项的差分方程。

求解齐次差分方程的一种常用方法是假设解为指数函数形式，然后将其代入原方程，解出未知常数。

例如，对于差分方程y[n] - y[n-1] = 0，假设y[n] = A^k，代入方程得到A^k - A^(k-1) = 0，解得A = 1，即解为y[n] = A^n = 1^n = 1。

2. 非齐次差分方程的求解：非齐次差分方程是指其右侧包含输入项的差分方程。

求解非齐次差分方程的一种常用方法是将其分解为齐次解和非齐次解的和。

首先求解对应的齐次方程，得到其解y_h[n]，然后考虑对应的非齐次方程，假设其解为y_p[n]，代入原方程求解非齐次解。

最终的解为y[n] = y_h[n] + y_p[n]。

例如，对于差分方程y[n] - y[n-1] = x[n]，假设齐次解为y_h[n] = A^n，代入方程得到A^n - A^(n-1) = 0，解得A = 1。

然后假设非齐次解为y_p[n] = B，代入方程得到B - B = x[n]，解得B = x[n]。

因此，原方程的解为y[n] = y_h[n] + y_p[n] = A^n + x[n]。

3. 递推关系的求解：递推关系是差分方程的一种表示形式，用于描述当前时刻的输出与之前时刻的输入和输出之间的关系。

求解递推关系的一种常用方法是使用Z变换。

Z变换是一种用于分析离散时间信号和系统的数学工具，通过将差分方程转换为代数方程来求解。

首先对差分方程进行Z变换，将差分方程转换为代数方程，然后通过求解代数方程得到系统的频率响应或系统函数。

最后，对代数方程求逆Z变换，得到系统的脉冲响应或差分方程的解析解。

利用皮卡尔迭代法求解里卡蒂方程皮卡尔迭代法是一种数值计算方法，可用于求解非线性方程。

在本文中，我们将应用皮卡尔迭代法来解决里卡蒂方程。

里卡蒂方程是一个特殊的非线性方程，其形式为x = cos(x)。

这个方程的解x可以是任意实数。

为了求解该方程，我们将使用皮卡尔迭代法的基本原理。

皮卡尔迭代法的基本思想是从一个初始近似解开始，通过迭代计算逐步逼近方程的解。

具体步骤如下：1.选择一个初始近似解x₀，并设定一个迭代精度ε。

2.使用递归公式xᵢ₊₁ = cos(xᵢ)进行迭代计算，直到满足终止条件：|xᵢ₊₁ - xᵢ| < ε。

3.当满足终止条件时，得到方程的近似解xᵢ₊₁。

现在让我们具体运用皮卡尔迭代法来解决里卡蒂方程。

首先，选择一个初始近似解x₀。

例如，我们可以取x₀ = 0。

然后，设置迭代精度ε，这个值可以根据需要进行调整。

在这里，我们选择ε = 0.0001。

接下来，我们开始迭代计算。

根据递归公式xᵢ₊₁ = cos(xᵢ)，我们可以得到以下计算过程：迭代1：x₁ = cos(x₀) ≈ 1.0迭代2：x₂ = cos(x₁) ≈ 0.5403迭代3：x₃ = cos(x₂) ≈ 0.8576迭代4：x₄ = cos(x₃) ≈ 0.6543迭代5：x₅ = cos(x₄) ≈ 0.7935迭代6：x₆ = cos(x₅) ≈ 0.7014...迭代n：xₙ = cos(xₙ₋₁)我们不断进行迭代计算，直到满足终止条件：|xₙ - xₙ₋₁| < ε。

假设在第k次迭代后，满足终止条件，即|xₙ - xₙ₋₁| < ε，则我们可以得到近似解为xₙ。

在这个示例中，我进行了多次迭代计算，并得到了解x≈0.7390851332。

需要注意的是，皮卡尔迭代法在某些情况下可能会出现不收敛的情况。

此时，我们需要调整迭代初始近似解或迭代精度，或者考虑其他数值方法。

总结起来，利用皮卡尔迭代法求解里卡蒂方程可以通过选择初始近似解和设定迭代精度来逼近方程的解。

第三讲 (4学时)主要参考书2-第1章-1.2.1,1.2.3,1.2.6,1.2.8,1.2.9算法分析所会用到许多数学知识,高老师在1.2中给出了一些介绍.为了简洁我们引用这里的内容.更好的选择是主要参考书4这里涉及到许多内容,不过总归起来只有一点,那就是了解各种变换的手法.熟能生巧,多能生熟.另外我们把这里所讨论的内容都局限在正整数的范围内,这样可以减少边界对学习的影响.高老师探讨了正整数之外的边界,所以如果你有这样的需要,就请做进一步的学习.一.递归方程(1学时)(主要参考书4-第一章-1.1,网络上有该书中文版的扫描版下载)1.递归方程是算法分析过程中的重要形式.通过这种形式可以把算法逐步得到的行为一方程的形式表达出来,从而可以得到对算法计算强度的一个度量.这样的度量会给出精确的结果.算法分析的很重要的一个部分就是求解递归方程的解.主要涉及到如下的3个方面.(1)看看小的情况,这使得我们深入了解问题(2)求出和证明关心的量的一个数学表达式,用归纳法证明.(3)求出和证明该数学表达式的一个闭形式2.该章的内容容易看,建议继续看下去.二.求和(1学时)主要参考书2-1.2.31.求和的作用和表示(1)对于和数之积的分配律(2)改变变量:第1种:改变下标变量的名称.第2种:在范围不便的前提下改变排列.(3)交换求和的顺序(4)处理作用域2.四个简单的代数运算3.基本技术的运用附注:高老师说的好清楚,我实在没有什么需要写的了.照着说就行三.二项式系数(1学时)1.二项式系数的定义以及形式2.对二项式系数进行运算的基本技术(A)用阶乘来表示: 公式(5)直接来自于定义(B)对称条件: 公式(6)(C)移进和移出括弧: 公式(7)(D)加法公式: 公式(9)(E)求和公式: 公式(10),公式(11)(F)二项式定理:主要是了解二项式的形式(G)把上标取负: 公式(17)(H)简化乘积公式(20)(I)乘积的和: 公式(21)3.例问题1:附注:斯特林公式会在第四讲中用到的时候再介绍四.生成函数(1学时) 参见主要参考书2-第1章1.2.91.生成函数的定义有序列a0, a1, a2,... 则可以形成如下的无穷和G(z) = a0 + a1z^1 + a2z^2 + ...2.生成函数的定义以及意义在分析的过程中会经常遇到递归方程.由此产生了一系列的数值,这些数值在某种规则的作用下形成了一个序列.尽管是针对同一个递归方程产生的数值,但是因为不同的层次导致相互之间好象没有关系.这对我们利用递归方程是很不利的.生成函数很好的解决了这一个问题.(1)用生成函数来表示一个序列的完整信息.这样拥有许多值的一个序列就变成了一个单一的变量.另外在需要的时候还可以回收获得的序列.我们可以这样来理解.算法分析->递归方程->递归方程的解序列(可以用递归方程以及初始条件来描述)->形成对应的生成函数->施加需要的分析导致的运算->形成新的生成函数->回收获得的新序列(在该新序列中包含我们需要的特征).(2)不必关心收敛的问题.就像是2个多项式的运算并不需要知道多项式的值一样.2.使用生成函数的主要技术(1)加法(2)移位:Fn表示该序列是a0 a1 a2 ... an,Fn-1表示该序列是0 a0 a1 ... an-1例:斐波那契序列还可参见主要参考书2-第1章-1.2.8(3)乘法(4)微分与积分例:求解序列1,2,3,...的前n项和(5)回收:一般采用查表的方法.当然也可以自己推导.(这是我说的)。

这是一个不定方程组，我们用isolve来得到它的整数解：
整数解中以下滑线开始的变量可以取任意整数。然后，我们将结果在代入到我们所需要的无量纲量中去：
Maple对于幂的连乘积的化简规则是把相同底数的项合并起来，而在这里，为了得到相互无关的无量纲量，需要将相同指数的项合并起来（因为_N1，_N2，_N3是相互独立的整数）。可以编写一小段程序实现这个功能。我们知道，对连乘积求对数后，原来的指数都变成了对数项的系数，然后，我们就可以用函数collect将相同系数的项合并。最后，再用exp函数获得我们所需要的形式。
在这一章中，我们将学习在Maple中实现的各种求解方程和方程组的方法。再学习方程的精确解法的同时，也将介绍各种数值解法，并通过例子使读者能够快速的掌握它们的用法。对于许多常微分方程（组），Maple都可以显式或隐式地给出它的们解析解。而在Maple中，许多常用的近似解法也都予以了实现，例如级数方法，渐进解法等等。我们还将介绍利用Maple解决一部分偏微分方程问题的方法。
7.3
在数学中，常微分方程是这样定义的，它具有一般形式：F ( y, y', y", ..., y(n), x ) = 0，其中y, y', y", ..., y(n)是一元函数y (x)对其自变量x的各阶导数，F是定义在Rn+2上的实值函数。称该常微分方程为线性的，当且仅当F对其前n+1个变元而言是线性函数，亦即可以表示成为如下的形式：
函数realroot还有一个可选参数，它是用来限制区间的最大长度的，为了保证使用数值求解方法时收敛，我们可以用它限制区间的最大长度。
7.2.2
Maple的函数isolve是用来求解方程或方程组的整数解的，它常常被用来求解不定方程。作为它的一个简单应用，我们来看一个量纲分析的小例子。

不定方程的所有解法
不定方程是指含有未知数的方程，但未知数的个数多于方程的个数，因此方程无法唯一确定未知数的值。

不定方程的所有解法取决于方程的具体形式和条件。

以下是解决不定方程的常见方法：
一、列举法：对于简单的不定方程，可以通过列举所有可能的解来确定方程的解。

例如，对于一元一次方程ax = b，其中a和b为已知常数，可以通过计算x = b/a 来确定方程的解。

二、参数法：对于形如ax + by = c的不定方程，可以引入参数t，将方程转化为x = at + x0，y = bt + y0的形式，其中x0和y0为常数，然后通过选择合适的t值来确定方程的解。

三、降维法：对于高维的不定方程，可以通过将方程进行降维处理，转化为更简单的形式来求解。

例如，对于二元二次方程ax^2 + by^2 = c，可以通过代换u = x^2 和v = y^2来将方程转化为线性方程的形式，然后求解。

四、递归法：对于某些特殊形式的不定方程，可以通过递归的方式求解。

例如，对于费马大定理中的不定方程x^n + y^n = z^n，可以利用递归方法求解。

五、数学工具：对于一些复杂的不定方程，可以利用数学工具如数值方法、图形法、线性规划等来求解。

需要注意的是，不定方程的解并不总是存在或唯一的，有时候可能存在无穷多个解，有时候可能不存在解。

因此，在求解不定方程时，需要根据具体的问题和条件来选择合适的解法和策略。

行进方向
1
2
3
4
起点
终点
动态规划寻优途径
图3
用动态规划解决这一问题的基本思想是：先考察第四阶段状态变
四川理工学院数学系 谢巍 3
数学建模讲座
量 s4 至 E 的最短路之权。接着考察第三阶段状态变量 s3 至 E 的最短路 之权，再考察第二阶段状态变量 s2 至 E 的最短路之权，最后求第一阶 段状态变量 s1 至 E 之最短路之权。下面是具体求解过程。
数学建模讲座
动态规划模型
动态规划是解决多阶段决策过程最优化问题的一种数学方法。
1951 年美国数学家贝尔曼（B.Bellman）等人所创建。后来的实践证
明，动态规划在工程技术、管理、经济、工业生产、军事及现代控制
工程等方面都有广泛的应用。
由于决策过程的时间参数有离散的和连续的情况，故决策过程分
为离散决策过程和连续决策过程。本部分内容主要介绍离散决策过
⎪ ⎩
w(B3, C4 ) +
f3 (C4 )
⎪ ⎭
⎪⎩2 +12⎪⎭
在第一阶段，类似的有
f1( A)
=
⎧
min
⎪⎪ ⎨
w( A, B1) + w( A, B2 ) +
f2 (B1) f2 (B2 )
⎫ ⎪⎪ ⎬
=
⎧4 +10⎫
min
⎪ ⎨3
+ 10 ⎬⎪
= 12
⎪ ⎪⎩
w( A, B3 ) +
f2 (B3 )
opt
xk ∈Dk ( Sk
)
wk (sk , xk ) : fk−1(sk−1)
k = 1," N

8
引言
分治技术的问题
子问题是相互独立的
Why?
问题：
如果子问题不是相互独立的，分治方法将重复 计算公共子问题，效率很低，甚至在多项式量 级的子问题数目时也可能耗费指数时间
解决方案：动态规划
用表来保存所有已解决子问题的答案 不同算法的填表格式是相同的
9
引言
最优化问题
Why?
可能有多个可行解，每个解对应一个 值，需要找出最优值的解。
MATRIX-MULTIPLY(A, B) 1 if columns[A] ≠ rows[B] 2 then return “error: incompatible dimensions” 3 else for i ← 1 to rows[A] 4 for j ← 1 to columns[B] 5 C[i, j] ← 0 6 for k ← 1 to columns[A] 7 C[i, j]←C[i, j]+A[i, k]·B[k, j] 8 return C
(A1 (A2 (A3 A4))) , (A1 ((A2 A3) A4)) , ((A1 A2) (A3 A4)) , ((A1 (A2 A3)) A4) , (((A1 A2) A3) A4).
15
矩阵连乘问题
采用不同的加括号方式，可导致不同的、 甚至及其富有戏剧性差别的乘法开销
设有四个矩阵A,B,C,D，它们的维数分别 是： A=50×10 B=10×40 C=40×30 D=30×5 总共有五种完全加括号的方式: (A((BC)D)) ——16000 (A(B(CD))) ——10500 ((AB)(CD)) ——36000 (((AB)C)D) ——87500 ((A(BC))D) ——34500