递归方程解的渐近阶的求法
递归算法在最坏情况下的时间复杂性渐近阶的分析，都转化为求相应的一个递归方程的解的渐近阶。因此，求递归方程的解的渐近阶是对递归算法进行分析的关键步骤。
递归方程的形式多种多样，求其解的渐近阶的方法也多种多样。这里只介绍比较实用的五种方法。
1.代入法这个方法的基本步骤是先推测递归方程的显式解，然后用数学归纳法证明这
一推测的正确性。那么，显式解的渐近阶即为所求。
2.迭代法这个方法的基本步骤是通过反复迭代，将递归方程的右端变换成一个级数，
然后求级数的和，再估计和的渐近阶；或者，不求级数的和而直接估计级数的渐近阶，从而达到对递归方程解的渐近阶的估计。
3.套用公式法这个方法针对形如：T (n)=aT (n / b)+f (n) 的递归方程，给出三种情况
下方程解的渐近阶的三个相应估计公式供套用。
4.差分方程法有些递归方程可以看成一个差分方程，因而可以用解差分方程(初值问
题)的方法来解递归方程。然后对得到的解作渐近阶的估计。
5.母函数法这是一个有广泛适用性的方法。它不仅可以用来求解线性常系数高阶齐次
和非齐次的递归方程，而且可以用来求解线性变系数高阶齐次和非齐次的递归方程，甚至可以用来求解非线性递归方程。方法的基本思想是设定递归方程解的母函数，努力建立一个关于母函数的可解方程，将其解出，然后返回递归方程的解。
本章将逐一地介绍上述五种方法，并分别举例加以说明。
本来，递归方程都带有初始条件，为了简明起见，我们在下面的讨论中略去这些初始条件。
递归方程组解的渐进阶的求法——代入法
用这个办法既可估计上界也可估计下界。如前面所指出，方法的关键步骤在于预先对解答作出推测，然后用数学归纳法证明推测的正确性。
例如，我们要估计T(n)的上界，T(n)满足递归方程：
其中是地板(floors)函数的记号，表示不大于n的最大整数。
我们推测T(n)=O(n log n)，即推测存在正的常数C和自然数n0，使得当n≥n0
时有：
T(n)≤Cn log n (6.2)
事实上，取n0=22=4，并取
那么，当n0≤n≤2n0时，(6.2)成立。今归纳假设当2k-1n0≤n≤2k n0，k≥1时，(1.1.16)成立。那么，当2k n0≤n≤2k+1n0时，我们有：
即(6.2)仍然成立，于是对所有n≥n0，(6.2)成立。可见我们的推测是正确的。因而得出结论：递归方程(6.1)的解的渐近阶为O(n log n)。
这个方法的局限性在于它只适合容易推测出答案的递归方程或善于进行推测的高手。推测递归方程的正确解，没有一般的方法，得靠经验的积累和洞察力。我们在这里提三点建议：
(1) 如果一个递归方程类似于你从前见过的已知其解的方程，那么推测它有类似的解是合理的。作为例子，考虑递归方程：
右边项的变元中加了一个数17，使得方程看起来难于推测。但是它在形式上与(6.1)很类似。实际上，当n充分大时
与
相差无几。因此可以推测(6.3)与(6.1)有类似的上界T(n)=O(n log n)。进一步，数学归纳将证明此推测是正确的。
(2)从较宽松的界开始推测，逐步逼近精确界。比如对于递归方程(6.1)，要估计其解的渐近下界。由于明显地有T(n)≥n，我们可以从推测T(n)=Ω(n)开始，发现太松后，把推测的阶往上提，就可以得到T(n)=Ω(n log n)的精确估计。
(3)作变元的替换有时会使一个末知其解的递归方程变成类似于你曾见过的已知其解的方程，从而使得只要将变换后的方程的正确解的变元作逆变换，便可得到所需要的解。例如考虑递归方程：
看起来很复杂，因为右端变元中带根号。但是，如果作变元替换m=log n，即令n=2m，将其代入(6.4)，则(6.4)变成：
把m限制在正偶数集上，则(6.5)又可改写为：
T(2m)=2T(2m/2)+m
若令S(m)=T(2m)，则S(m)满足的递归方程：
S(m)=2S(m/2)+m，
与(6.1)类似，因而有：
S(m)=O(m1og m)，
进而得到T(n)=T(2m)=S(m)=O(m1og m)=O(log n loglog n) (6.6)
上面的论证只能表明：当(充分大的)n是2的正偶次幂或换句话说是4的正整数次幂时(6.6)才成立。进一步的分析表明(6.6)对所有充分大的正整数n都成立，从而，递归方程(6.4)解的渐近阶得到估计。
在使用代入法时，有三点要提醒：
(1)记号O不能滥用。比如，在估计(6.1)解的上界时，有人可能会推测T(n)=O(n)，即对于充分大的n，有T(n)≤Cn，其中C是确定的正的常数。他进一步运用数学归纳法，推出：
从而认为推测T(n)=O(n)是正确的。实际上，这个推测是错误的，原因是他滥用了记号O，错误地把(C+l)n与Cn等同起来。
(2)当对递归方程解的渐近阶的推测无可非议，但用数学归纳法去论证又通不过时，不妨在原有推测的基础上减去一个低阶项再试试。作为一个例子，考虑递归方程
其中是天花板(floors)函数的记号。我们推测解的渐近上界为O(n)。我们要设法证明对于适当选择的正常数C和自然数n0，当n≥n0时有T(n)≤Cn。把我们的推测代入递归方程，得到：
我们不能由此推断T(n)≤Cn，归纳法碰到障碍。原因在于(6.8)的右端比Cn多出一个低阶常量。为了抵消这一低阶量，我们可在原推测中减去一个待定的低阶量b，即修改原来的推测为T(n)≤Cn-b。现在将它代人(6.7)，得到：
只要b≥1，新的推测在归纳法中将得到通过。
(3)因为我们要估计的是递归方程解的渐近阶，所以不必要求所作的推测对递归方程的初始条件（如T(0)、T(1)）成立，而只要对T(n)成立，其中n充分大。比如，我们推测(6.1)的解T(n)≤Cn log n，而且已被证明是正确的，但是当n=l 时，这个推测却不成立，因为(Cn log n)|n=1=0而T(l)>0。
递归方程组解的渐进阶的求法——迭代法
用这个方法估计递归方程解的渐近阶不要求推测解的渐近表达式，但要求较多的代数运算。方法的思想是迭代地展开递归方程的右端，使之成为一个非递归的和式，然后通过对和式的估计来达到对方程左端即方程的解的估计。
作为一个例子，考虑递归方程：
接连迭代二次可将右端项展开为：
由于对地板函数有恒等式：
(6.10)式可化简为：
这仍然是一个递归方程，右端项还应该继续展开。容易看出，迭代i次后，将有
（6.11）而且当
时，(6.11)不再是递归方程。这时：
(6.13)
又因为[a]≤a，由(6.13)可得：
而由(6.12)，知i≤log4n，从而
，
代人(6.14)得：
即方程(6.9)的解T(n)=O(n)。
从这个例子可见迭代法导致繁杂的代数运算。但认真观察一下，要点在于确定达到初始条件的迭代次数和抓住每次迭代产生出来的"自由项"(与T无关的项)遵循的规律。顺便指出，迭代法的前几步迭代的结果常常能启发我们给出递归方程解的渐近阶的正确推测。这时若换用代入法，将可免去上述繁杂的代数运算。
图6-1 与方程(6.15)相应的递归树
为了使迭代法的步骤直观简明、图表化，我们引入递归树。靠着递归树，人们可以很快地得到递归方程解的渐近阶。它对描述分治算法的递归方程特别有效。我们以递归方程
T(n)=2T(n/2)+n2 (6.15)
为例加以说明。图6-1展示出(6.15)在迭代过程中递归树的演变。为了方便，我们假设n恰好是2的幂。在这里，递归树是一棵二叉树，因为(6.15)右端的递归项2T(n/2)可看成T(n/2)+T(n/2)。图6-1(a)表示T(n)集中在递归树的根处，(b)表示T(n)已按(6.15)展开。也就是将组成它的自由项n2留在原处，而将2个递归项T(n/2)分别摊给它的2个儿子结点。(c)表示迭代被执行一次。图6-1(d)展示出迭代的最终结果。
图6-1中的每一棵递归树的所有结点的值之和都等于T(n)。特别，已不含递归项的递归树(d)中所有结点的值之和亦然。我们的目的是估计这个和T(n)。我们看到有一个表格化的办法：先按横向求出每层结点的值之和，并记录在各相应层右端顶格处，然后从根到叶逐层地将顶格处的结果加起来便是我们要求的结果。照此，我们得到(6.15)解的渐近阶为θ(n2)。
再举一个例子。递归方程：
T(n)= T(n/3)+ T(2n/3)+n (6.16)
的迭代过程相应的递归树如图6-2所示。其中，为了简明，再一次略去地板函数和天花板函数。
图6-2迭代法解(6.16)的递归树
当我们累计递归树各层的值时，得到每一层的和都等于n，从根到叶的最长路径是
设最长路径的长度为k，则应该有
，
得
，
于是
即T(n)=O(n log n) 。
以上两个例子表明，借助于递归树，迭代法变得十分简单易行。
递归方程组解的渐进阶的求法——套用公式法
这个方法为估计形如：
T(n)=aT(n/b)+f(n) (6.17)
的递归方程解的渐近阶提供三个可套用的公式。(6.17)中的a≥1和b≥1是常数，
f (n)是一个确定的正函数。
(6.17)是一类分治法的时间复杂性所满足的递归关系，即一个规模为n的问题被分成规模均为n/b的a个子间题，递归地求解这a个子问题，然后通过对这a
个子间题的解的综合，得到原问题的解。如果用T(n)表示规模为n的原问题的复杂性，用f(n)表示把原问题分成a个子问题和将a个子问题的解综合为原问题的解所需要的时间，我们便有方程(6.17)。
这个方法依据的是如下的定理：设a≥1和b≥1是常数f(n)是定义在非负整数上的一个确定的非负函数。又设T(n)也是定义在非负整数上的一个非负函数，且满足递归方程(6.17)。方程(6.17)中的n/b可以是[n/b]，也可以是n/b。那么，在f(n)的三类情况下，我们有T(n)的渐近估计式：
1.若对于某常数ε>0，有
，
则
；
2.若
，
则
；
3.若对其常数ε>0，有
且对于某常数c>1和所有充分大的正整数n有af(n/b)≤cf(n)，则T(n)=θ(f(n))。
这里省略定理的证明。
在应用这个定理到一些实例之前，让我们先指出定理的直观含义，以帮助读者理解这个定理。读者可能已经注意到，这里涉及的三类情况，都是拿f(n)与
作比较。定理直观地告诉我们，递归方程解的渐近阶由这两个函数中的较大者决定。在第一类情况下，函数较大，则T(n)=θ()；在第三类情况下，函数f(n)较大，则T(n)=θ(f (n))；在第二类情况下，两个函数一样大，则
T(n)=θ()，即以n的对数作为因子乘上f(n)与T(n)的同阶。
此外，定理中的一些细节不能忽视。在第一类情况下f(n)不仅必须比小，
而且必须是多项式地比小，即f(n)必须渐近地小于与的积，ε是一个正的常数；在第三类情况下f(n)不仅必须比大，而且必须是多项
式地比大，还要满足附加的“正规性”条件：af(n/b)≤cf(n)。这个附加的“正规性”条件的直观含义是a个子间题的再分解和再综合所需要的时间最多与原问题的分解和综合所需要的时间同阶。我们在一般情况下将碰到的以多项式为界的函数基本上都满足这个正规性条件。
还有一点很重要，即要认识到上述三类情况并没有覆盖所有可能的f(n)。在第
一类情况和第二类情况之间有一个间隙：f(n)小于但不是多项式地小于；类似地，在第二类情况和第三类情况之间也有一个间隙：f(n)大于但不是多项式地大于。如果函数f(n)落在这两个间隙之一中，或者虽有
，但正规性条件不满足，那么，本定理无能为力。
下面是几个应用例子。
例1考虑
T(n)=9T(n/3)+n
对照(6.17)，我们有a=9，b=3， f(n)=n，，取，便有，可套用第一类情况的公式，得T(n)=θ(n2)。
例2 考虑
T(n)=T(2n/3)+1
对照(6.17)，我们有a=1，b=3/2， f(n)=1，，可套用第二类情况的公式，得T(n)=θ(logn)。
例3考虑
T(n)=3T(n/4)+nlogn
对照(6.17)，我们有a=3，b=4， f(n)=nlog n，，只要取，便有。进一步，检查正规性条件：
只要取c=3/4，便有af(n/b)≤cf(n)，即正规性条件也满足。可套用第三类情况的公式，得T(n)=θ(f(n))=θ(nlogn)。
最后举一个本方法对之无能为力的例子。
考虑
T(n)=2T(n/2)+n log n
对照(6.17)，我们有a=2，b=2， f(n)=n log n，，虽然f(n)渐近地大于，但f(n)并不是多项式地大于，因为对于任意的正常数ε，
，
即f(n)在第二类情况与第三类情况的间隙里，本方法对它无能为力。
递归方程组解的渐进阶的求法——差分方程法
这里只考虑形如：
T(n)=c
1T(n-1)+c
2
T(n-2)+…+ c
k
T(n-k)+f(n)，n≥k (6.18)
的递归方程。其中c i (i=l，2，…，k)为实常数，且c k≠0。它可改写为一个线性常系数k阶非齐次的差分方程：
T(n)-c
1T(n-1)- c
2
T(n-2)-…-c
k
T(n-k)=f(n)，n≥k (6.19)
(6.19)与线性常系数k阶非齐次常微分方程的结构十分相似，因而解法类同。限于篇幅，这里直接给出(6.19)的解法，略去其正确性的证明。
第一步，求(6.19)所对应的齐次方程：
T(n)-c
1T(n-1)- c
2
T(n-2)-…-c
k
T(n-k)=0 (6.20)
的基本解系：写出(6.20)的特征方程：
C(t)=t k-c
1t k-1-c
2
t k-2 -…-c
k
=0 (6.21)
若t=r是(6.21)的m重实根，则得(6.20)的m个基础解r n，nr n，n2r n，…，n m-1r n；若ρe iθ和ρe-iθ是(6.21)的一对l重的共扼复根，则得(6.20)的2l个基础解ρn cos nθ，ρn sin nθ，nρn cos nθ，nρn sin nθ，…，n l-1ρn cos nθ，n l-1ρn cos nθ。如此，求出(6.21)的所有的根，就可以得到(6.20)的k个的基础解。而且，这k 个基础解构成了(6.20)的基础解系。即(6.20)的任意一个解都可以表示成这k
个基础解的线性组合。
第二步，求(6.19)的一个特解。理论上，(6.19)的特解可以用Lagrange常数变易法得到。但其中要用到(6.20)的通解的显式表达，即(6.20)的基础解系的线性组合，十分麻烦。因此在实际中，常常采用试探法，也就是根据f(n)的特点推测特解的形式，留下若干可调的常数，将推测解代人(6.19)后确定。由于(6.19)的特殊性，可以利用迭加原理，将f(n)线性分解为若干个单项之和并求出各单项相应的特解，然后迭加便得到f(n)相应的特解。这使得试探法更为有效。为了方便，这里对三种特殊形式的f(n)，给出(6.19)的相应特解并列在表6-1中，可供直接套用。其中p i，i=1,2,…,s是待定常数。
表6-1 方程(6.19)的常用特解形式
第三步，写出(6.19)即(6.18)的通解
(6.22)
其中{T i(n)，i=0,1,2,…,n}是(6.20)的基础解系，g(n)是(6.19)的一个特解。然后由(6.18)的初始条件
T(i)=T
，i=1,2,…,k-1
i
来确定(6.22)中的待定的组合常数{a i}，即依靠线性方程组
或
解出{a i}，并代回(6.22)。其中βj=T j-g(j)，j=0,1,2,…,k-1。
第四步，估计(6.22)的渐近阶，即为所要求。
下面用两个例子加以说明。
例l考虑递归方程
它的相应特征方程为：
C(t)=t2-t-1=0
解之得两个单根和。相应的(6.20)的基础解系为{r0n，r1n}。相应的(6.19)的一个特解为F*(n)=-8，因而相应的(6.19)的通解为：
F(n)=a
0r
n +a
1
r
1
n- 8
令其满足初始条件，得二阶线性方程组：
或
或
解之得，，从而
于是
。
例2考虑递归方程
T(n)=4T(n-1)-4T(n-2)+2n n (6.23)
和初始条件T(0)=0，T(1)=4/3。
它对应的特征方程(6.21)为
C(t)=t2-4t+4=0
有一个两重根r =2。故相应的(6.20)的基础解系为{2n，2n n}。由于f(n)=2n n，利用表6-1，相应的(6.19)的一个特解为
T*(n)=n2(p
+p1n)2n，
代人(6.23)，定出p0=1/2，p1=1/6。因此相应的(6.19)的通解为：
T(n)=a
2n+a1n2n+n2(1/2+n/6)2n，
令其满足初始条件得a0=a1=0，从而
T(n)=n2(1/2+n/6)2n
于是T(n)=θ(n32n)。
递归方程组解的渐进阶的求法——母函数法
关于T(n)的递归方程的解的母函数通常设为：
(6.24)
当(6.24)右端由于T(n)增长太快而仅在x=0处收敛时可另设
(6.25)
如果我们可以利用递归方程建立A(x)的一个定解方程并将其解出，那么，把A(x)展开成幂级数，则x n或x n/n!项的系数便是所求的递归方程的解。其渐近阶可接着进行估计。
下面举两个例子加以说明。
例1 考虑线性变系数二阶齐次递归方程
(n-1)T(n)=(n-2)T(n-1)+2T(n-2) ，n≥2 (6.26)
和初始条件T(0)=0，T(1)=1。根据初始条件及(6.26)，可计算T(2)=0，
T(3)=T(1)=1。
设{T(n)}的母函数为：
由于T (0)=T (2)=0，T(1)= 1，有：
令B(x)= A (x)/x，即：
那么：
利用(6.26)并代入T (3)= 1，得
即
两边同时沿[0,x]积分，并注意到B(0)=1，有：
把B(x)展开成幂级数，得
从而
最后得
例2 考虑线性变系数一阶非齐次递归方程
D(n)=nD(n-1)+(-1)n n≥1 (6.27)
及初始条件D (0)= 1
很明显D(n)随n的增大而急剧增长。如果仍采用(6.24)形式的函数，则(6.24)的右端可能仅在x=0处收敛，所以这里的母函数设为：
用x n/n!乘以(6.27)的两端，然后从1到∞求和得：
化简并用母函数表达，有：A(x) -1= xA(x)+e-x-1
或
(1-x)A(x)=e-x
从而
A(x)=e-x/(1-x)
展成幂级数，则：
故
联立方程模型 一、概念： 联立方程模型系统将变量分为内生变量和外生变量两大类。 由系统决定的，同时也对模型系统产生影响，它会受到随机项的影 响。一般都是经济变量。每一个内生变量的值都要利用模型中的全 部方程才能决定。 外生变量：是不由系统决定的变量，是系统外变量，取值由系统外决定。一般是确定性变量，或者是具有临界概率分布的随机变量，其参数不是 模型系统研究的元素。外生变量影响系统，但本身不受系统的影响。 外生变量一般是经济变量、条件变量、政策变量、虚变量。 先决变量：外生变量和滞后内生变量 注：联立方程模型中有多少个内生变量就必定有多少个方程 ：根据经济理论和行为规律建立的描述经济变量之间直接结构关系 的计量经济学方程系统称为结构式模型。 结构方程的正规形式：将一个内生变量表示为其他内生变量、先 决变量和随机干扰项的函数形式 完备的结构式模型：g个内生变量、k个先决变量、g个结构方程 行为方程：描述变量之间经验关系的方程，含有未知的参数和随 机扰动项。例如：凯恩斯收入决定模型中的消费函数 制度方程：由法律、制度、政策等制度性规定的经济变量之间的 函数关系，如税收方程。 恒等式：定义方程式和平衡方程。 简化式模型：用所有先决变量作为每个内生变量的解释变量所形成的模型。 参数关系体系：描述简化式参数与结构式参数之间的关系。
二、识别 方程之间的关系有严格的要求，一个方程模型想要能估计，必须可识别。 ∴进行模型的估计之前需要判断模型是否可以识别（即是否能被估计）。 1、识别的基本定义：是否具有确定的统计形式。 注：识别的定义是针对结构方程而言的。 模型中每个需要估计其参数的随机方程都存在识别问题。 如果一个模型中的所有随机方程都是可以识别的，则认为该联立方程模型 系统是可以识别的。反之不识别。 恒等方程由于不存在参数估计问题，所以也不存在识别问题。但是，在判 断随机方程的识别性问题时，应该将恒等方程考虑在内。 恰好识别：某一个随机方程只有一组参数估计量 过度识别：某一个随机方程具有多组参数估计量 方程的线性组合是否得到的新方程具有与消费方程相同的统计形式，决定了方程也是否是可以识别的。 2、如何修改模型使不可识别的方程变成可以识别 （1）或者在其它方程中增加变量； （2）或者在该不可识别方程中减少变量。 （3）必须保持经济意义的合理性。 3、识 别条件 结构式: B ΓN Y X +=
《公式法解一元二次方程》教案 教学目标 、知识技能 掌握一元二次方程求根公式的推导，会运用公式法解一元二次方程． 、数学思考 通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性． 、解决问题 培养学生准确快速的计算能力． 、情感态度 通过公式的引入，培养学生寻求简便方法的探索精神及创新意识；通过求根公式的推导，渗透分类的思想． 重难点、关键 重点：求根公式的推导及 用公式法解一元二次方程． 难点：对求根公式推导过程中依据的理论的深刻理解． 关键：掌握一元二次方程的求根公式，并应用求根公式法解简单的一元二次方程． 教学过程 一、复习引入 【问题】（学生总结，老师点评） .用配方法解下列方程 （）－ （）－ ．总结用配方法解一元二次方程的步骤。 （）移项； （）化二次项系数为； （）方程两边都加上一次项系数的一半的平方； （）原方程变形为（）的形式； （）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解． 【活动方略】 教师演示课件，给出题目． 学生根据所学知识解答问题． 【设计意图】 复习配方法解一元二次方程，为继续学习公式法引入作好铺垫． 一、 探索新知 如果这个一元二次方程是一般形式（≠），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题． 【问题】 已知（≠）且－4ac≥，试推导它的两个根为2b a -+，2b a - 分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把、、?也当成一个具体数字，根据
上面的解题步骤就可以一直推下去． 解：移项，得：－ 二次项系数化为，得 b a － c a 配方，得：b a （2b a ）－c a （2b a ） 即（2b a ）2244b ac a - ∵－4ac≥且4a> ∴2244b ac a -≥ 直接开平方，得：2b a 即2b a - ∴2b a -，2b a -- 【说明】 这里a ac b b x 242-±-= （042≥-ac b ）是一元二次方程的求根公式 【活动方略】 鼓励学生独立完成问题的探究，完成探索后，教师让学生总结归纳，由形式是一元二次方程的一般形式，得出一元二次方程的求根公式． 【设计意图】 创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节内容，导出一元二次方程的求根公式。 【思考】 利用公式法解下列方程，从中你能发现什么 （）2320;x x -+=（）2222 -=-x x （）24320x x -+= 【活动方略】 在教师的引导下，学生回答，教师板书 引导学生总结步骤：确定c b a ,,的值、算出ac b 42-的值、代入求根公式求解． 在学生归纳的基础上，老师完善以下几点： （）一元二次方程)0(02 ≠=++a c bx ax 的根是由一元二次方程的系数c b a ,,确定的；
第五章解线性方程组的直接方法 ?预备知识 ?消元法 ?矩阵分解法 ?追赶法 ?误差分析 线性代数是数值计算方法的基础，学习它对数值计算方法其它内容的学习会有很大的帮助。无论是插值公式的建立，还是微分方程的离散格式的构造，其基本思想都是转化为代数问题来处理，即归结为解线性方程组。MATLAB的强大功能是建立在矩阵和向量运算基础上的，线性代数的学习也可以大大提高对MATLAB的掌握程度。 线性方程组的基本解法： 直接解法：经过有限步算术运算,在不考虑舍入误差的情况下求得方程组的精确解； 迭代解法：用某种极限过程逐步逼近方程组的精确解。 5.1 预备知识: 矩阵和向量及线性方程组的解 方阵：m=n 的矩阵； 零矩阵：所有元素都为0的矩阵。在MATLAB中零矩阵由zeros 命令定义。如A＝zeros（m,n）定义一个m×n 零矩阵，n×n 零矩阵可以用命令A＝zeros(n)定义。 单位矩阵：所有对角元为1而其余元素均为0的方阵。单位矩阵记为I。在MATLAB 中单位矩阵由eye命令定义。如A＝eye（n）定义一个n阶单位矩阵。 元素都是1的矩阵：在MATLAB中元素都是1的矩阵由ones命令定义。如 A＝ones（m,n）定义一个m×n阶的元素都是1的矩阵。 矩阵的加法和减法：行列数相同的矩阵之间才可以进行加法和减法。 矩阵的乘法：若A的行数和B的列数相等，则它们可以相乘C＝AB。其中C的第i 行第j列元素等于A的第i行和B的第j列对应元素乘积之和。 逆矩阵：若两个方阵A和B满足：AB＝I且BA＝I，则称A和B互为逆矩阵。在MATLAB 中M的逆矩阵由inv(M) 命令计算。对于任一非奇异矩阵都可用inv命令计算其逆矩阵。若MATLAB拒绝计算一个方阵的逆矩阵，则此矩阵一定是奇异的。一个奇异矩阵的行列式是0（或者至少有一行（列）可以用其它行（列）通过多次加法和减法表示）。 行列式：方阵A的行列式是一个标量值，用det(A)或|A|表示。在MATLAB中矩阵A
应用拓展 某数学兴趣小组对关于x 的方程（m+1）22m x ++（m-2）x-1=0提出了下列问题． （1）若使方程为一元二次方程，m 是否存在？若存在，求出m 并解此方程． （2）若使方程为一元二次方程m 是否存在？若存在，请求出． 你能解决这个问题吗？ 分析：能．（1）要使它为一元二次方程，必须满足m 2+1=2，同时还要满足（m+1）≠0． （2）要使它为一元一次方程，必须满足: ①211(1)(2)0m m m ?+=?++-≠?或②21020m m ?+=?-≠?或③1020 m m +=??-≠? 解：（1）存在．根据题意，得：m 2+1=2 m 2=1 m=±1 当m=1时，m+1=1+1=2≠0 当m=-1时，m+1=-1+1=0（不合题意，舍去） ∴当m=1时，方程为2x 2-1-x=0 a=2，b=-1，c=-1 b 2-4ac=（-1）2-4×2×（-1）=1+8=9 134 ±= x 1=，x 2=-12 因此，该方程是一元二次方程时，m=1，两根x 1=1，x 2=- 12． （2）存在．根据题意，得：①m 2+1=1，m 2=0，m=0 因为当m=0时，（m+1）+（m-2）=2m-1=-1≠0 所以m=0满足题意． ②当m 2+1=0，m 不存在． ③当m+1=0，即m=-1时，m-2=-3≠0 所以m=-1也满足题意． 当m=0时，一元一次方程是x-2x-1=0， 解得：x=-1 当m=-1时，一元一次方程是-3x-1=0 解得x=-13 因此，当m=0或-1时，该方程是一元一次方程，并且当m=0时，其根为x=-1；当m=-?1时，其一元一次方程的根为x=- 13． 布置作业 1．教材P 45 复习巩固4． 2．选用作业设计:
公式法解一元二次方程及答案详细解析 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】
21.2.2公式法 一．选择题（共5小题） 1．用公式法解一元二次方程x2﹣5x=6，解是（） A．x1=3，x2=2 B．x1=﹣6，x2=﹣1 C．x1=6，x2=﹣1 D．x1=﹣3，x2=﹣2 2．用公式法求一元二次方程的根时，首先要确定a、b、c的值．对于方程﹣ 4x2+3=5x，下列叙述正确的是（） A．a=﹣4，b=5，c=3 B．a=﹣4，b=﹣5，c=3 C．a=4，b=5，c=3 D．a=4，b=﹣5，c=﹣3 3．（2011春?招远市期中）一元二次方程x2+c=0实数解的条件是（） A．c≤0B．c＜0 C．c＞0 D．c≥0 4．（2012秋?建平县期中）若x=1是一元二次方程x2+x+c=0的一个解，则c2+c=（） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2013?下城区二模）一元二次方程x（x﹣2）=2﹣x的解是（） A．﹣1 B．2 C．﹣1或2 D．0或2 二．填空题（共3小题） 6．（2013秋?兴庆区校级期中）用公式法解一元二次方程﹣x2+3x=1时，应求出a，b，c的值，则：a=；b=；c=． 7．用公式法解一元二次方程x2﹣3x﹣1=0时，先找出对应的a、b、c，可求得 △，此方程式的根为． 8．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m=0，用配方法解此方程，配方后的方程是．
三．解答题（共12小题） 9．（2010秋?泉州校级月考）某液晶显示屏的对角线长30cm，其长与宽之比为4：3，列出一元二次方程，求该液晶显示屏的面积． 10．（2009秋?五莲县期中）已知一元二次方程x2+mx+3=0的一根是1，求该方程的另一根与m的值． 11．x2a+b﹣2x a+b+3=0是关于x的一元二次方程，求a与b的值． 12．（2012?西城区模拟）用公式法解一元二次方程：x2﹣4x+2=0． 13．（2013秋?海淀区期中）用公式法解一元二次方程：x2+4x=1． 14．（2011秋?江门期中）用公式法解一元二次方程：5x2﹣3x=x+1． 15．（2014秋?藁城市校级月考）（1）用公式法解方程：x2﹣6x+1=0； （2）用配方法解一元二次方程：x2+1=3x． 16．（2013秋?大理市校级月考）解一元二次方程： （1）4x2﹣1=12x（用配方法解）； （2）2x2﹣2=3x（用公式法解）． 17．（2013?自贡）用配方法解关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0． 18．（2014?泗县校级模拟）用配方法推导一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式． 19．（2011秋?南开区校级月考）（1）用公式法解方程：2x2+x=5 （2）解关于x的一元二次方程：． 20．（2011?西城区二模）已知：关于x的一元二次方程x2+4x+2k=0有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围；
第五章 二元一次方程组 基础过关卷 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ （考试时间：60分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、学号填写在试卷上。 2．回答第I 卷时，选出每小题答案后，将答案填在选择题上方的答题表中。 3．回答第II 卷时，将答案直接写在试卷上。 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10个小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。 1．(本题3分)下列各式是二元一次方程的是（ ） A ．12x y + B ．234x y y -+= C ．59x y =- D ．20x y -= 【答案】B 【解析】 解：A 、12x y + 是代数式，不符合题意； B 、234 x y y -+=是二元一次方程，符合题意； C 、59x y = -不是二元一次方程，不符合题意； D 、20x y -=不是二元一次方程，不符合题意； 故选：B ． 2．(本题3分)若,2x a y a =??=?是方程35x y +=的一个解，则a 的值是（ ）
A ．5 B ．1 C ．－5 D ．－1 【答案】B 【解析】 【分析】 将2x a y a =??=?代入方程3x+y=5得出关于a 的方程，解之可得． 【详解】 解：将2x a y a =??=?代入方程3x+y=5， 得：3a+2a=5， 解得：a=1， 故选：B ． 3．(本题3分)下列某个方程与3x y -=组成方程组的解为2 1x y =??=-?，则这个方程是（ ） A ．3410x y -= B ．1 232x y += C ．32x y += D ．()26x y y -= 【答案】A 【解析】 解：A 、当x ＝2，y ＝?1时，3x ?4y ＝6＋4＝10，故本选项符合题意； B 、当x ＝2，y ＝?1时，12x ＋2y ＝1?2＝?1≠3，故本选项不符合题意； C 、当x ＝2，y ＝?1时，x ＋3y ＝2?3＝?1≠2，故本选项不符合题意； D 、当x ＝2，y ＝?1时，2（x ?y ）＝2×3＝6≠?6＝6y ，故本选项不符合题意； 故选：A ．
公式法解一元二次方程 一、教学目标 （1）知识目标 1.理解求根公式的推导过程和判别公式； 2.使学生能熟练地运用公式法求解一元二次方程. （2）能力目标 1.通过由配方法推导求根公式，培养学生推理能力和由特殊到一般的数学思 想． 2．结合的使用求根公式解一元二次方程的练习，培养学生运用公式解决问题的能力，全面培养学生解方程的能力，使学生解方程的能力得到切实的提高。 (3)德育目标 让学生体验到所有一元二次方程都能运用公式法去解，形成全面解决问题的积极情感，感受公式的对称美、简洁美，产生热爱数学的情感． 二、教学的重、难点及教学设计 （1）教学的重点 1.掌握公式法解一元二次方程的一般步骤. 2.熟练地用求根公式解一元二次方程。 （2）教学的难点： 理解求根公式的推导过程及判别公式的应用。 （3）教学设计要点 1.情境设计 上课开始，通过提问让学生回忆一元二次方程的概念及配方法解一元二次方程的一般步骤。利用昨天所学“配方法”解一元二次方程，达到“温故而知新”的目的和总结配方法的一般步骤，为下一步解一般形式的一元二次方程做准备。 然后让学生思考对于一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 能否用配方法求出它的解？引出本节课的内容。 2.教学内容的处理 （1）回顾配方法的解题步骤，用配方法来解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)。 （2）总结用公式法解一元二次方程的解题步骤，并补充理解判别公式的分类与应用。 （3）在小黑板上补充课后思考题：李强和萧晨刚学了用公式法解一元二次方程,看到一个关于x 的一元二次方程x2+(2m-1)x+(m-1)=0, 李强说:“此方程有两个不相等的实数根”,而萧晨反驳说:“不一定，根的情况跟m的值有关”.那你们认为呢?并说明理由. 3.教学方法 在教学中由特殊的解法（配方法）引导探究一般形式一元二次方程的解的形
第5章 线性代数方程组的直接解法 一、选择题（四个选项中仅有一项符合题目要求，每小题3分，共计15分) 1、一般用高斯消元法解线性代数方程组要采用的技术是（ ） （1）调换方程位置； （2）选主元； （3）直接求解； （4）化简方程组。 2、设矩阵A 的LU 分解如下：2231002234772100124511006A b a ???????????? ==???????????????????? 则该分解式中,a b 的值分别为 （ ） （1）2,6a b ==；（2）6,2a b ==；（3）2,3a b ==；（4）1,2a b =?=。 3、设矩阵n n A R ×∈，n n Q R ×∈，且T Q Q E =，则下列关系式不成立的是（ ） (1) 2 2A AQ =；(2) F F QA A =；(3) 22Qx x =，其中n x R ∈； (4) ()()cond A cond AQ ∞∞=。 4、设矩阵314122232A ?????=???? ??????，111x ????=??????? ，则Ax ∞和 A ∞的值分别为（ ） (1) 88,； (2) 87,； (3) 86,； (4) 77,。 5、若解线性代数方程组的Gauss 部分选主元方法第二步得到的系数矩阵的第三列向量为 ()2632542T ?，则第三步主行是（ ） (1) 第2行； (2) 第3行； (3) 第5行； (4) 第6行。 二、填空题（每小题3分，共计15 分） 1、设2101202A a a ?? ??=?????? ，为使A 可分解为T A LL =，其中L 是对角元素为正的下三角矩阵， 则a 的取值范围是___________________。 2、设210121012A ?????=????????? ，则2()Cond A =_________________。 3、设()214T x =，如果()2 00T Lx =，则初等下三角矩阵L = 。
用公式法解一元二次方 程教案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
优质课比赛教案 第23章 23.2 用公式法解一元二次方程 整体设计 教学分析 求根公式是直接运用配方法推导出来的，从数字系数的一元二次方程到字母系数的方程，体现了从特殊到一般的思路。用公式法解一元二次方程是比较通用的方法，它体现了一元二次方程根与系数最直接的关系，一元二次方程的根是由系数a，b，c决定的，只要将其代入求根公式就可求解，在应用公式时应首先将方程化成一般形式。 教学目标 知识与技能： 1、理解一元二次方程求根公式的推导过程 2、会用求根公式解简单系数的一元二次方程 过程与方法： 经历探索求根公式的过程，发展学生的合情推理能力，提高学生的运算能力并养成良好的运算习惯 情感、态度与价值观 通过运用公式法解一元二次方程的训练，提高学生的运算能力，并让学生在学习中获得成功的体验，建立学好数学的自信心。 重点： 掌握一元二次方程的求根公式，并能用它熟练地解一元二次方程
难点： 一元二次方程求根公式的推导过程 教学过程： 一、复习引入： 1、用配方法解下列方程： （1）4x 2-12x-1=0；（2）3x 2+2x-3=0 2、用配方法解一元二次方程的步骤是什么？ 说明：教师引导学生回忆配方法解一元二次方程的基本思路及基本步骤，为本节课的学习做好铺垫。 3、你能用配方法解一般形式的一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）吗？ 二、问题探究： 问题1：你能用一般方法把一般形式的一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）转化为（x+m)2=n 的形式吗？ 说明：教师引导学生回顾用配方法解数字系数的一元二次方程的过程，让 学生分组讨论交流，达成共识，最后化成（x+a b 2)2=2244a a c b - ∵a ≠0，方程两边都除以a,得x 2+ 0=+a c x a b 移项，得x 2+ a c x a b -= 配方，得x 2+ 22)2(-)2(a b a c a b x a b +=+ 即（x+=2)2a b 2244a ac b -
第6课时 22.2.3 公式法 教学内容 1．一元二次方程求根公式的推导过程； 2．公式法的概念； 3．利用公式法解一元二次方程． 教学目标 理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程． 复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax2+bx+c=0（a≠0）?的求根公式的推导公式，并应用公式法解一元二次方程． 重难点关键 1．重点：求根公式的推导和公式法的应用． 2．难点与关键：一元二次方程求根公式法的推导． 教学过程 一、复习引入 1．前面我们学习过解一元二次方程的“直接开平方法”，比如，方程 （1）x2=4 (2)(x-2) 2=7 提问1 这种解法的（理论）依据是什么？ 提问2 这种解法的局限性是什么？（只对那种“平方式等于非负数”的特殊 二次方程有效，不能实施于一般形式的二次方程。） 2．面对这种局限性，怎么办？（使用配方法，把一般形式的二次方程配方成能够“直接开平方”的形式。） （学生活动）用配方法解方程 2x2+3=7x （老师点评）略 总结用配方法解一元二次方程的步骤（学生总结，老师点评）． (1)现将已知方程化为一般形式；（2）化二次项系数为1；（3）常数项移到右边； （4）方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式； （5）变形为(x+p)2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±√q；如果q＜0,方程无实根． 二、探索新知 用配方法解方程 （1）ax2－7x+3 =0 (2)a x2+bx+3=0 (3)如果这个一元二次方程是一般形式a x2+bx+c=0（a≠0），你能否用上面配方法的 步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题． 问题：已知ax2+bx+c=0（a≠0），试推导它的两个根x1=，x2=
21.2.2公式法 教案设计（张荣权） 教学内容：用公式法解一元二次方程 教材分析：在解一元二次方程时，仅仅是直接开平方法、配方法解一元二次 方程是远远不够的。对于系数不特殊的一元二次方程，这两种方法就不方便了。而用求根公式法解较复杂的一元二次方程教方便了。因此，学习用公式法解一元二次方程很有必要，也是不可缺少的一个重要内容。而公式法是一元二次方程的基本解法，它为进一步学习一元二次方程的解法级简单应用起到铺垫作用。 教学目标： 知识与技能目标：1.理解一元二次方程求根公式的推导。 2.会用求根公式解简单数字的一元二次方程。 3.理解一元二次方程的根的判别式，并会用它判别一元二次方程根的情况。 过程与方法：在教师的指导下，经过观察、推导、交流归纳等活动导出一元二次方程的求根公式，培养学生的合情推理与归纳总结能力。 情感态度与价值观：培养学生独立思考的习惯和合作交流意识。 教学重点、难点及突破 重点：1.掌握公式法解一元二次方程的步骤。 2.熟练的利用求根公式解一元二次方程。 难点：理解求根公式的推导过程及判别公式的应用。 教学突破 本节课我主要采用启发式、探究式教学法。教学中力求体现“试——究——升”模式。有计划的逐步展示知识的产生过程，渗透数学思想方法。由于学生配方能力有限，所以，崩皆可借助于多媒体辅助教学，指导学生通过观察，分析，总结配方规律，从而突破难点。学生经过自主探索和合作交流的学习过程，产生积极的情感体验，进而创造性地解决问题，有效发挥学生的思维能力，发挥学生的自觉性，主动性和创造性。 教学设想 通过复习配方法解一元二次方程，导入对一般形式的一元二次方程的解法探讨，通过提问引导学生观察思考，产生问题，进行小组合作探讨，发现结论。加深对应用公式法的理解。渗透由特殊到一般和分类讨论及化归的数学思想，运用解一元二次方程的基本思想----开方降次，重视相关的知识联系，建立合理的逻辑过程，突出解一元二次方程的基本策略。 教学准备 教师准备：课件精选例题 学生准备：配方法解一元二次方程、二次根式的化简 教学过程：
解一元二次方程练习题——公式法 一．填空题。（每小题5分，共25分） 1．一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当b2-4ac≥0时，它的根是_____，当b-4ac<0时，方程_________． 2．方程a x2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实数根，则有________，?若有两个不相等的实数根，则有_________，若方程无解，则有__________． 3．若方程3x2+bx+1=0无解，则b应满足的条件是________． 4．用公式法解方程x2=-8x-15，其中b2-4ac=_______，x1=_____，x2=________． 5．已知一个矩形的长比宽多2cm，其面积为8cm2，则此长方形的周长为________． 二．选择题。（每小题5分，共25分） 6．用公式法解方程4y2=12y+3，得到（） A．．． D． 7．不解方程，判断所给方程：①x2+3x+7=0；②x2+4=0；③x2+x-1=0中，有实数根的方程有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 8．关于x的一元二次方程kx2＋2x－1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（） A、k>-1 B、k>1 C、k≠0 D、k>-1且k≠0 9.下列方程中有两个相等的实数根的是（） A、3x2－x－1=0; B、x2－2x－1=0; C、9x2=4（3x－1）; D、x2＋7x＋15=0. 10．（m2-n2）（m2-n2-2）-8=0，则m2-n2的值是（）． A． 4或-2 B． -4或2 C． 4 D．-2 11．（20分）用公式法解方程 (1)x2+15x=-3x; (2)x2+x-6=0; (3)3x2-6x-2=0; (4)4x2-6x=0
第二章一元二次方程 ３．用公式法求解一元二次方程（一） 横山县第三中学柳金帛 一、学生知识状况分析 学生的知识技能基础：学生通过前几节课的学习，认识了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0),并且已经能够熟练地将一元二次方程化成它们的一般形式；在上一节课的基础上，大部分学生能够利用配方法解一元二次方程，但仍有一部分认知较慢、运算不扎实的同学不能够熟练使用配方法解一元二次方程. 学生活动经验基础：学生已经具备利用配方法解一元二次方程的经验；学生通过《规律的探求》、《勾股定理的探求》、《一次函数的图像》中一次函数增减性的总结等章节的学习，已经逐渐形成对于一些规律性的问题，用公式加以归纳总结的数学建模意识，并且已经具备本节课所需要的推理技能和逻辑思维能力. 二、教学任务分析 公式法实际上是配方法的一般化和程式化，然后再利用总结出来的公式更加便利地求解一元二次方程。所以首先要夯实上节课的配方法，在此基础上再进行一般规律性的探求——推导求根公式，最后，用公式法解一元二次方程。 其中，引导学生自主的探索，正确地导出一元二次方程的求根公式是本节课的重点、难点之一；正确、熟练地使用一元二次方程的求根公式解方程，提高学生的综合运算能力是本节课的另一个重点和难点。 为此，本节课的教学目标是： ①在教师的指导下，学生能够正确的导出一元二次方程的求根公式，并在探求过程中培养学生的数学建模意识和合情推理能力。 ②能够根据方程的系数，判断出方程的根的情况，在此过程中，培养学生观察和总结的能力.
③通过正确、熟练的使用求根公式解一元二次方程，提高学生的综合运算能力。 ④通过在探求公式过程中同学间的交流、使用公式过程中的小技巧的交流，进一步发展学生合作交流的意识和能力 三、教学过程分析 本课时分为以下五个教学环节：第一环节：回忆巩固；第二环节：探究新知；第三环节：巩固新知；第四环节：收获与感悟；第五环节：布置作业。 第一环节；回忆巩固 活动内容： ①用配方法解下列方程：(1)2x 2+3=7x (2)3x 2+2x+1=0 全班同学在练习本上运算,可找位同学上黑板演算 ②由学生总结用配方法解方程的一般方法: 第一题： 2x2+3=7x 解：将方程化成一般形式: 2x2-7x +3=0 两边都除以一次项系数:2 023272=+-x x 配方:加上再减去一次项系数一半的平方 0231649)47(2722=+-+- x x 即: 016 25)47(2=--x 1625)47(2=-x 两边开平方取“±” 得： 4547±=-x 4547±= x 写出方程的根 ∴ x1=3 , x2=21
一元二次方程的解法(公式法)教案 ——小店一中潘卫生 教学内容 1．一元二次方程求根公式的推导过程； 2．公式法的概念； 3．利用公式法解一元二次方程． 教学目标 理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程． 复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax2+bx+c=0（a≠0）?的求根公式的推导公式，并应用公式法解一元二次方程． 重难点关键 1．重点：求根公式的推导和公式法的应用． 2．难点与关键：一元二次方程求根公式法的推导． 教学过程 一、复习引入 （学生活动）用配方法解下列方程 （1）6x2-7x+1=0 （2）4x2-3x=52 （老师点评）（1）移项，得：6x2-7x=-1 二次项系数化为1，得：x2-7 6 x=- 1 6 配方，得：x2-7 6 x+（ 7 12 ）2=- 1 6 +（ 7 12 ）2 （x- 7 12 ）2= 25 144 x- 7 12 =± 5 12 x1= 5 12 + 7 12 = 75 12 + =1 x2=- 5 12 + 7 12 = 75 12 - = 1 6 （2）略 总结用配方法解一元二次方程的步骤（学生总结，老师点评）． （1）移项； （2）化二次项系数为1； （3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方； （4）原方程变形为（x+m）2=n的形式； （5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．
二、探索新知 如果这个一元二次方程是一般形式a x 2+bx+c=0（a ≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题． 问题：已知ax 2+bx+c=0（a ≠0）且b 2-4ac ≥0，试推导它的两个根 x 1=2b a -+x 2=2b a -- 分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a 、b 、c?也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去． 解：移项，得：a x 2+bx=-c 二次项系数化为1，得x 2+ b a x=- c a 配方，得：x 2+b a x+（2b a ）2=-c a +（2b a ）2 即（x+2b a ）2=2244b ac a - ∵b 2-4ac ≥0且4a 2>0 ∴2244b ac a -≥0 直接开平方，得：x+2b a = 即x=2b a -± ∴x 1=2b a -，x 2=2b a - 由上可知，一元二次方程a x 2+bx+c=0（a ≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因此： （1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx+c=0，当b-4ac ≥0时， ?将a 、b 、c 代入式子x=2b a -就得到方程的根． （2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式． （3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法． （4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根． 例1．用公式法解下列方程．
初中数学：《公式法解一元二次方程》练习（含答案） 一、选择题： 1．一元二次方程x（x﹣2）=0根的情况是（） A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根D．没有实数根 2．已知b＜0,关于x的一元二次方程（x﹣1）2=b的根的情况是（） A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．有两个实数根 3．已知关于x的一元二次方程（x+1）2﹣m=0有两个实数根,则m的取值范围是（）A．m≥﹣ B．m≥0 C．m≥1 D．m≥2 4．关于x的一元二次方程kx2﹣x+1=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是（）A．k＜B．k＞C．k＜且k≠0 D．k＞且k≠0 二、填空题 5．一元二次方程x2+x=3中,a=______,b=______,c=______,则方程的根是______． 6．若x 1,x 2 分别是x2﹣3x+2=0的两根,则x 1 +x 2 =______． 7．已知三角形两边长是方程x2﹣5x+6=0的两个根,则三角形的第三边c的取值范围是______．8．已知关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣2x﹣1=0有两个不相同的实数根,则k的取值范围是______． 9．写出一个一元二次方程,使它有两个不相等的实数根______． 10．一次二元方程x2+x+=0根的情况是______． 11．若关于x的方程ax2+2（a+2）x+a=0有实数解,那么实数a的取值范围是______． 12．已知代数式7x（x+5）与代数式﹣6x2﹣37x﹣9的值互为相反数,则x=______． 13．已知一次函数y=﹣x+4与反比例函数在同一直角坐标系内的图象没有交点,则k的取值范围是______．
21.2.2公式法 一．选择题（共5小题） 1．用公式法解一元二次方程x2﹣5x=6，解是（） A．x1=3，x2=2 B．x1=﹣6，x2=﹣1 C．x1=6，x2=﹣1 D．x1=﹣3，x2=﹣2 2．用公式法求一元二次方程的根时，首先要确定a、b、c的值．对于方程﹣4x2+3=5x，下列叙述正确的是（） A．a=﹣4，b=5，c=3 B．a=﹣4，b=﹣5，c=3 C．a=4，b=5，c=3 D．a=4，b=﹣5，c=﹣3 3．（2011春?招远市期中）一元二次方程x2+c=0实数解的条件是（）A．c≤0 B．c＜0 C．c＞0 D．c≥0 4．（2012秋?建平县期中）若x=1是一元二次方程x2+x+c=0的一个解，则c2+c=（） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2013?下城区二模）一元二次方程x（x﹣2）=2﹣x的解是（）A．﹣1 B．2 C．﹣1或2 D．0或2
二．填空题（共3小题） 6．（2013秋?兴庆区校级期中）用公式法解一元二次方程﹣x2+3x=1时，应求出a，b，c的值，则：a= ；b= ；c= ． 7．用公式法解一元二次方程x2﹣3x﹣1=0时，先找出对应的a、b、c，可求得△，此方程式的根为． 8．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m=0，用配方法解此方程，配方后的方程是． 三．解答题（共12小题） 9．（2010秋?泉州校级月考）某液晶显示屏的对角线长30cm，其长与宽之比为4：3，列出一元二次方程，求该液晶显示屏的面积．
10．（2009秋?五莲县期中）已知一元二次方程x2+mx+3=0的一根是1，求该方程的另一根与m的值． 11．x2a+b﹣2x a+b+3=0是关于x的一元二次方程，求a与b的值． 12．（2012?西城区模拟）用公式法解一元二次方程：x2﹣4x+2=0． 13．（2013秋?海淀区期中）用公式法解一元二次方程：x2+4x=1．
课题：1.2一元二次方程的解法 (4) 班级 姓名 【学习目标】 1、会用公式法解一元二次方程. 2、用配方法推导一元二次方程的求根公式，明确运用公式求根的前提条件是b 2 －4ac ≥0． 【重点难点】 重点：掌握一元二次方程的求根公式，并应用它熟练地解一元二次方程。 难点：掌握一元二次方程的求根公式及代入时的符号问题. 【新知导学】 读一读：阅读课本P 14-P 16 想一想: 1. 用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？ 2. 用配方法解一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠ 因为0a ≠，方程两边都除以a ，得 把常数项移到方程右边，得 配方，得 即2224()24b b ac x a a -+= 当 0≥时 ，2422b b ac x a a -+=± 即42b b ac x a -±-= 。 3.在上述配方过程中，若240b ac -≥＜ 0时，方程有实数根吗？ 练一练： 1.方程4-x 2=3x 中a= ，b= ，c= ， b 2-4ac= 2. 用公式法解方程0232 =+-x x 【新知归纳】 一般的，对于一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax
（1） 当_____________时，它的实数根是_________________.这个公式叫一元二次方程的求根 公式，利用这个公式解一元二次方程的方法叫公式法。 （2） 当_____________时，方程没有实数根。 【例题教学】 例1.用公式法解方程： （1）22330 x x -+= （2）x x 2322=- （3）a a a =-+)2)(2(51 （4）23(1)y y += 例2.已知y 1＝2x 2＋7x －1，y 2＝6x ＋2，当x 取何值时y 1＝y 2？ 【当堂训练】 1.用公式法解方程3x 2+4=12x ，下列代入公式正确的是（ ） A.x=21214412-± B. x=2 1214412-±- C. x= 21214412+± D. x=64814412-± 2.用公式法解下列方程： （１）2220x x +-=； （２）2 30x x -=
“用求根公式法解一元二次方程”教学设计 一、使用教材 新人教版义务教育课程标准实验教科书《数学》九年级上册 二、素质教育目标 （一）知识教学点 1、一元二次方程求根公式的推导 2、利用公式法解一元二次方程 （二）能力训练点 通过配方法解一元二次方程的过程，进一步加强推理技能训练，同时发展学生的逻辑思维能力。 （三）德育渗透点 向学生渗透由特殊到一般的唯物辩证法思想。 三、教学重点、难点、关键点 1、教学重点：一元二次方程的求根公式的推导过程 2、教学难点：灵活地运用公式法解一元二次方程 3、教学关键点： （1）掌握配方法的基本步骤 （2）确定求根公式中a 、b 、c 的值 四、学法引导 1、教学方法：指导探究发现法 2、学生学法：质疑探究发现法 五、教法设计 质疑—猜想—类比—探索—归纳—应用 六、教学流程 （一）创设情境，导入新课：
前面我们己学习了用配方法解一元二次方程，想不想再探索一种比配方法更简单，更直接的方法？ 大家一定想，那么这节课我们一同来研究。 < 设计意图 > 数学是一种逻辑性较强的科目，并且有时计算量较大，如果能简化计算，那是我们所期望的，逐步激发学生的学习欲望。 教师；下面我们先用配方法解下列一元二次方程 学生；（每组一题，每组派一名同学板演） 1．2x 2-4x-1=0 2. x 2+1.5=-3x 3．02 1 22=+-x x 4. 4x 2-3x+2=0 完成后小组内进行交流，并进行反馈矫正。 学生:总结用配方法解一元二次方程的步骤 教师板书：（1）移项； （2）化二次项系数为1； （3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方； （4）原方程变形为（x+m ）2=n 的形式； （5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解． 教师：通过以上四个方程的求解，你能试着猜想一下上述问题的求解的一般规律吗？ 学生：独立思考 < 设计意图 > 规律的探索与猜想不仅要体现数学知识的应用，而且要注重在观察实践中抽象出规律。 （二）新知探索
第五章 一次方程组初步 第一节 二元一次方程组综合问题 【知识点拨】 二元一次方程的一般形式是：c by ax =+ 二元一次方程组的一般形式是：?? ?=+=+222 1 11c y b x a c y b x a 解方程组的方法主要是：(1)代入消元法、(2)加减消元法 【赛题精讲】 例1、若2437249 52=+--++n m n m y x 是关于x 、y 的二元一次方程，求m n ++1995)1(的值。 例2、若x 、y 满足方程组???=+=+897 5431771103457323y x y x ，求4 224541992y y x x ++的值。 例3、2+-y x 与1-+y x 互为相反数，求xy 的负倒数。 例4、已知a 、b 都是有理数，a ＋b ＝－49，a －b ＝－97，求b a 1 +的值。
例5、△ABC 是等边三角形，其边长的可用如图代数式表示， 求2 2222y x y x +-的值。 例6、已知3、5、2x 、3y 的平均数是4。而20、18、5x 、－6y 的平均数是1。 求3 4 y x +的值。
例8、购买五种数学用具A1、A2、A3、A4、A5的件数和用钱总数如下表： 问每种教具各买一件共需多少元
【针对训练】
第二节一次方程（组）的讨论 【赛题精讲】 例1、学生们共同搬一堆砖，若每人搬k块，还剩14块；若每人搬9块，最后一人只要搬6块。求参加搬砖的学生有多少人 例2、一个自然数n的所有数字和记为S(n)，若n＋S(n)＝1993，试求n的值。 例3、一批旅客决定分乘几辆大汽车，并且要使每辆车有同样的人数，起先每辆车乘坐22人，发现多出一人。若是开走一辆空车，那么所有旅客刚好平均分到余下的汽车。已知每辆车的座位最多是32人，问原有多少辆汽车这指旅客共多少人 例4、工厂下料，把5米长的钢棒截成17厘米和27厘米的两种料。结果恰好截完而无剩余（损耗不计）。问：两种料至少各截了多少件
第五章 联立方程组模型的估计 第一节 概述 一、联立方程的概念 在实际经济活动中，变量之间不仅仅是存在单项的因果关 系。还会存在如下的情况：第一，由于两个变量之间存在双向因果关系，用单一方程模型就不能完整的描述这两个变量之间的关系。第二，为全面描述一项经济活动只用单一方程模型是不够的。这时应该用多个方程的组合来描述整个经济活动。这样的例子比如市场均衡模型（具体内容是什么）宏观经济学中的国民收入模型（具体内容是什么）。这类问题涉及的就是联立方程模型的问题。 简单来讲， 联立方程模型就是描述变量间联立依存性的方程体系。 比如如下的简单的宏观经济模型： ()C Y T I Y Y C I G αβγδ=+-??=+??=++? 在这个模型中，有三个方程，一个消费方程，一个投资方程
和一个均衡方程。比较这个由三个方程组成的一个经济模型和前边我们已经学过的由一个方程组成的经济模型。我们能够发现什么呢（1、从变量所处的位置上来看；2、从变量的分类上看；3、从变量之间的经济含义上看） 二、模型中变量的分类 1、内生变量：（由模型内变量所决定的变量）其数值是在所考虑的经济系统模型本身内所决定的，它一般是被解释变量（在其他的方程中也可以作为解释变量出现），且是模型求解的结果。 内生变量的性质：第一、内生变量与随机误差项是相关的；第二，它的值是在参数估计之后，由方程组所解出来的值第三，它的值可以是预测结果，也可以是政策后果。 2、外生变量：（由模型外变量所决定的变量）它是由系统外部因素所影响而不由所考虑的模型系统所决定的变量，但他影响模型系统内生变量的值。 外生变量的性质：第一，外生变量必须事先给定；第二，外生变量可以分为政策性外生变量（经济调控的手段）和非政策性外生变量（时间趋势、自然条件） 3、前定变量：外生变量和滞后变量（滞后内生变量和滞后外生变量）的统称。