一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分. 不需写出解答过程．请把答案直接填写在答案卷上．．．．. 1、已知集合{}},12,3,1{,,32--==m B m A 若B A ?，则实数m 的值为 ▲ . 2、若复数i i a i z (),)(2(--=为虚数单位）为纯虚数，则实数a 的值为 ▲ . 3、一个几何体的主视图与左视图都是边长为2的正方形，其俯视图是直径为的圆，则该几何体的表面积为 ▲ .
4、如图，给出一个算法的伪代码， 则=+-)2()3(f f ▲ .
5、已知直线2121//,023)2(:6:l l a y x a l ay x l 则和=++-=++的充要条件是a =
▲ .
6、高三⑴班共有56人，学号依次为1，2，3，┅，56，现用系统抽样的办法抽取一个容量为4的样本，已知学号为6，34，48的同学在样本中，那么还有一个同学的学号应为 ▲ .
7、在一次招聘口试中，每位考生都要在5道备选试题中随机抽出3道题回答，答对其中2道题即为及格，若一位考生只会答5道题中的3道题，则这位考生能够及格的概率为 ▲ .
8、设方程=
+
-
∈=+k k k x x x x 则整数若的根为),21,21(,4200 ▲ .
9、已知函数231()log log 2,(
) 4.(2009)2009
f x a x b x f f =-+=若则的值为 ▲ .
10、已知平面区域}{}{(,)6,0,0,(,)4,0,20U x y x y x y A x y x y x y =+=-≤≥≥≤≥≥，若向区域U 内随机投一点P ，则点P 落入区域A 的概率为 ▲ .
11、已知抛物线)1)0(22
m M p px y ，（上一点>=到其焦点的距离为5，双曲线1
2
2
=-
a
y
x (第4题
) 俯视图 (第3题
)
的左顶点为A ，若双曲线一条渐近线与直线A M 垂直，则实数a = ▲ .
12、已知平面向量,,0,a b c a b c a b c b
++=?
满足且与的夹角为135，与的夹角为120?，
==a c
则,2 ▲ .
13、函数]3
2,
3
2[sin 2ππ-
-=在区间x x y
14标0，点（1，0）处标1，点（1，-1）处标2（0，-1）处标3，点（-1，-1）处标4，点（-1标5，点（-1，1）处标6，点（0，1）处标7类推，则标签22009的格点的坐标为 ▲ .
二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（本题满分14分）
在斜△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 且A
A C A ac
c
a b cos sin )cos(2
22+=
--.
(1)求角A ； (2)若
2
cos sin >
C
B ，求角
C 的取值范围。
16．（本题满分14分）
如图，在四棱锥O A B C D -中，底面A B C D 为菱形，O A ⊥平面A B C D ，E 为O A 的中点，
F
为B C 的中点，求证：
（1）平面B D O ⊥平面A C O ； （2）E F //平面O C D .
17、（本题满分14分）
已知圆O 的方程为），，过点直线03(,1122A l y x =+且与圆O 相切。
（1）求直线1l 的方程；
（2）设圆O 与x 轴交与,P Q 两点，M 是圆O 上异于,P Q 的任意一点，过点A 且与x 轴
（第14题）
D
A
B
C
F
E O
M
(第16题)
垂直的直线为2l ，直线PM 交直线2l 于点'P ，直线QM 交直线2l 于点'Q 。 求证：以''Q P 为直径的圆C 总经过定点，并求出定点坐标。 18、（本题满分16分）
有一座大桥既是交通拥挤地段，又是事故多发地段，为了保证安全，交通部门规定。大桥上的车距()d m 与车速(/)v km h 和车长()l m 的关系满足：l
l kv d 212+
=（k 为正的常
数），假定车身长为4m ，当车速为60(/)km h 时，车距为2.66个车身长。 （1）写出车距d 关于车速v 的函数关系式;
（2）应规定怎样的车速，才能使大桥上每小时通过的车辆最多？ 19、（本题满分16分）
已知函数).0()1()21
(),()(,3)(21f g g R b a cx bx x g ax x f =--∈+=-=--且
（1）试求,b c 所满足的关系式；
（2）若0b =，方程），在（∞+=0)()(x g x f 有唯一解，求a 的取值范围； （3）若1b =，集合}{0)(),()(<>=x g x g x f x A 且，试求集合A 。 20、（本题满分16分）
已知数列,,a b c 为各项都是正数的等差数列，公差为(0)d d >，在,a b 之间和,b c 之间共插入m 个实数后，所得到的3m +个数所组成的数列}{n a 是等比数列，其公比为q . (1)若1,1a m ==,求公差d ；
(2)若在,a b 之间和,b c 之间所插入数的个数均为奇数，求所插入的m m 数的乘积（用
,,a c m
表示）
(3)求证：q 是无理数。
2009届高三第三次调研考试数学试题参考答案与评分标准
1．1 2．
2
1 3．6π 4．－8 5．1a =- 6．20 7．
10
7
8．1 9．0 10．9
2
11．1
4
123
-
π
14．（1005，1004）
15.⑴ ∵
222
2cos ,
b a c
B ac
--=-cos()2cos ,
sin cos sin 2A C B A A
A
+=-
，……………………………… 2分
又∵
2
2
2
cos()sin cos b a c
A C ac
A A
--+=
，∴ 2cos 2cos ,sin 2B B A
--=
而A B C ?为斜三角形，
∵cosB 0≠，∴sin2A=1. ……………………………………………………………… 4分 ∵(0,)A π∈，∴2,24
A A π
π==
. …………………………………………………… 6分
⑵∵34
πB C +=
，∴333sin sin cos cos
sin sin 44
4cos cos cos 2
2
πππC C C
B
C C
C
C
??-- ?
??
=
=
=
>…12分
即tan 1C
>，∵304
C π<<
，∴
4
2
ππC <<
.…………………………………14分
16．⑴∵O A ⊥平面ABC D ，BD ?
平面ABC D ，所以O A BD
⊥
，…2分
∵ABC D 是菱形，∴A C B D
⊥，又O A A C A
= ，
∴BD
⊥
平面O AC ，……………………………………………………4分
又∵BD ?平面O BD
，∴平面BD O
⊥
平面A C O ． ……………………………………6分
⑵取O D 中点M ，连接EM ,C M ,则1,2M E AD M E AD
=
‖，
∵ABC D 是菱形，∴//,AD BC AD BC
=，
∵F 为BC 的中点，∴1,2
CF AD CF AD
=
‖，………………10分
∴,ME CF ME
CF
=‖．
∴四边形EFC M 是平行四边形，∴//EF C M ，………………12分 又∵E F
?
平面O C D ，C M
?
平面O C D ．
∴E F ‖平面O C D ． ………………………………………………………………14分 17.（1）∵直线1l 过点(3,0)A ，且与圆C ：221x y +=相切，
设直线1l 的方程为(3)y k x =-，即30kx y k --=， …………………………2分
则圆心(0,0)O 到直线1l
的距离为1d =
=，解得4
2±=k ，
∴直线1l
的方程为3)4
y
x =±
-
，即3)4
y x =±-． ...... (4)
分
（2）对于圆方程12
2
=+y
x ,令0y =，得1x =±,即(1,0),(1,0)
P Q -．又直线2l 过点A 且与
x 轴垂直，∴直线2l 方程为3x =，设(,)M s t ，则直线PM 方程为).1(1
++=
x s t y
D
A
B C
F
E
O
M
解方程组3,
(1)1x t
y x s =??
?=
+?+?
,得).14,3('+s t P 同理可得,).12,3('-s t Q ……………… 10分
∴以P Q ''为直径的圆C '的方程为0)1
2)(1
4()3)(3(=--
+-+--s t y s t y x x ，
又12
2
=+t
s ，∴整理得2262(61)0
s x y x y t
-+-++
=，……………………… 12分 若圆C '经过定点，只需令0y =，从而有2610
x x -+=
，解得3x =±，
∴圆C '
总经过定点坐标为(30)±． (14)
分
18．⑴因为当60v =时，l d 66.2=，所以0006.060
16.2602
166.22
2
==
-
=l
l l k ， ……4分
∴2
0.00242
d v =
+ ………………………………………………………6分
⑵设每小时通过的车辆为Q ，则10004
=+v Q d ．即Q
2
1000100060.00246
0.0024v v v v
=
=
++
……12分
∵60.00240.24
v v
+=≥，…………………………………………………14分
∴1000125000.24
3
Q =
≤
，当且仅当60.0024v v
=，即50v =时，Q 取最大值
12500
．
答：当()50v =km /h 时，大桥每小时通过的车辆最多．………19.（1）由)0()1()2
1(f g g =--
，得3)()42(-=+-+-c b c b
∴b 、c 所满足的关系式为01=--c b ．……………………2（2）由0=b ，01=--c b ，可得1-=c ． 方程)()(x g x f =，即2
3--=-x
ax ，可化为3
1
3---=x
x a ，
令t x =-1
，则由题意可得，3
3t t a -=在),0(+∞上有唯一解，…4分
令33)(t t t h -=)0(>t ，由0
33)(2
=-='t
t h ，可得1=t ，
当10<
时，由0)(<'t h ，可知)(t h 是减函数．故当1=t 时，)
(t h 取极大值2．………6分
由函数)(t h 的图象可知，当2
=a 或0≤a 时，方程
)()(x g x f =有且仅有一个正实数解．
故所求a 的取值范围是2|{=a a 或}0≤a ． ……………………………………………8分 （3）由1=b ，01=--c b ，可得0=c ．由)
()(|
{x g x f x A >=且}