三次函数性质的探索
我们已经学习了一次函数，知道图象是单调递增或单调递减，在整个定义域上不存在
最大值与最小值，在某一闭区间取得最大值与最小值．那么，是什么决定函数的单调性呢？
利用已学过的知识得出：当k>0时函数单调递增；当k<0时函数单调递增；b决定函数与y 轴相交的位置．
其中运用的较多的一次函数不等式性质是：在上恒成立的充要条件
接着，我们同样学习了二次函数，
利用已学知识归纳得出：当时（如图1），在对称轴的左侧单调递减、右侧单调递增，
对称轴上取得最小值；
当时（图2），在对称轴的左侧单调递增、右侧单调递减，
对称轴上取得最大值．
在某一区间取得最大值与最小值．
其中决定函数的开口方向，同时决定对称轴，决定函数与轴相交的位置．
总结：一次函数只有一个单调性，二次函数有两个单调性，那么三次函数是否就有三个单调性呢？
三次函数专题
一、定义
定义1 形如的函数，称为“三次函数” （从函数解析式的结构上命名）。
定义2 三次函数的导数，把叫做三次函数导函数的判别式。
由于三次函数的导函数是二次函数，而二次函数是高中数学中的重要内容，所以三次函数的问题，已经成为高考命题的一个新的热点和亮点。
系列探究1：从最简单的三次函数开始
反思1：三次函数的相关性质呢？
O 反思2：三次函数的相关性质呢？
反思3：三次函数的相关性质呢？
例题1. (2012 天津理4) 函数在区间内的零点个数是( )
( A) 0 (B)1 (C)2 (D)3
探究一般三次函数的性质：
先求导
1、单调性：
(1)若，此时函数f(x)在R上是增函数；
( 2)若，令两根为x1,x2且，则在上单调递增，在上单调递减。
2、零点
(1) 若b2 3ac 0，则恰有一个实根；
(2)若, 且，则恰有一个实根；
(3)若, 且，则有两个不相等的实根；
(4)若, 且，则有三个不相等的实根.
说明:
(1)(2) 有一个实根的充要条件是曲线与轴只相交一次，即在上为单调函数或两极值同号.
2
b 2
3ac 0，且 f(x 1) f(x 2) 0;
(4) f (x) 0 有三个不相等的实根的充要条件是
曲线 y f (x)与 x 轴有三个公共点， 即 f
( x)有一个极大值，
个极小值，且两极值异号 .所以 b
2
3ac 0且 f (x 1) f(x 2) 0.
3、奇偶性： 函数当且仅当 时是奇函数。
4、对称性： 函数图象关于点
中心对称(了解)
证明： 三次函数 关于点 对称的充要条件是
整理得，
据多项式恒等对应系数相等 ,可得
说明
1、
关于点 对称，可以理解为图象沿着向量 平 移后所得函数
是奇函数，于是
，即
2、其导函数为 对称轴为 ，所以对称中心的横坐标也就是导函数的对称
轴， 可见， 图象的对称中心在导函数 的对称轴上，且又是两个极值点的中点，
3、同时也是二阶导数为零的点，是 的拐点。
4、又可得以下结论：
是可导函数，若 的图象关于点 对称，则 图象关于直线
对称 .
证明： 的图象关于 对称，则
(3) f (x) 0 有两个相异实根的充要条件是曲线
y f (x) 与 x 轴有两个公共点且其中之一为切点，所以
从而三次函数是中心对称曲线，且对称中心是
或
于是
图象关于直线对称
5、是可导函数，若的图象关于直线对称，则图象关于点对称.
证明：的图象关于直线对称，则
于是
图象关于点对称。
这是因奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周
4、三次函数图象的切线条数
由三次函数的中心对称性可知：过三次函数的对称中心且与该三次曲线相切的直线有且只有一条；而过三次曲线上除对称中心的任一点与该三次曲线相切的直线有二条。
例题2. 已知曲线，求曲线在点处的切线方程
解：，
曲线在点处的切线斜率为
∴代入直线方程的斜截式，得切线方程为：，
即
变式：已知曲线，求曲线过点处的切线方程
错解：依上题，直接填上答案
错因剖析：如下图所示，在曲线上的点A 处的切线与该曲线还有一个交点。这与圆的切线是有不同的。点在曲线上，它可以是切点也可以不是。
正确解法：设过点的切线对应的切点为，
斜率为，切线方程为
点的坐标代入，得，
∴切线的方程为或x-y+2=0
点评：一个是“在点”、一个是“过点”，一字之差所得结果截然不同。
32
系列探究4：一般三次函数f(x) ax3 bx2 cx d(a 0) 的图像：
a>0 a<0
导
函
数>0 0 >0 0
图
象
x 0 x x1 x 2 x x0 x
x 1 x2 x
从数形结合的视角看三次方程的实数根：
三次函数y=f （x ）的图象与x 轴交点个数
交点个数的本质是多项式ax3+bx2+cx+d 在实数集上怎样进行因式分解，
记ax3+bx2+cx+d=a （x-x1 ）（x-x2 ）（x-x3 ），
（ⅰ）若x1≠x2≠x3，则交点为3 个；
（ⅱ）若x1、x2、x3 中有两个相等，不妨x1=x2≠x3，则交点为2 个。
（ⅲ）若x1=x2=x3 ，则交点为1 个；
（ⅳ）若f （x）=a（x-x0 ）（x2+dx+e ），且有d2-4e<0，y=f（x）的图象与x 轴只有一个交点。（1）若△ （2b）2 12ac 0，方程有且只有一个实数解；
（2）若△ （2b）2 12ac 0，令f （x） 3ax2 2bx c 0两根为x1,x2且x1 x2，
①若f （x1） f （x2） 0，即函数y f （x）极大值点和极小值点在x轴同侧，图象均与x轴只有一个交点，所以原方程有且只有一个实根。则方程有且只有一个实数解，且x1或x2 ，
②若f （x1） f（x2） 0 ，则方程有三个不同的实数解, , （），且有x1 x2
，
③若f （x1） 0或f （x2） 0 ，则方程有两个不同的实数解
由图像能够探究出在区间[m,n] 的最大值与最小值吗？
函数若，且，则：
f max x f m , f x0 , f n ；
。
拉格朗日中值定理：若函数f 满足如下条件：
i）f 在闭区间[a,b] 上连续；
2012 福建文) 12.已知 f ( x ) =x3-6x 2+9x-abc ， a 0；
②f
ii ) f 在开区间 (a,b) 内可导；
请你掌握： 三次函数解析式的形式 ( 1)一般形式： f (x) ax
3
bx 2 cx d(a 0)
( 2)已知函数的对称中心为 (m,n) ，则 f (x) A(x m)3
B(x m) n(a 0)
( 3)已知函数图象与 x 轴的三个交点的横坐标
, , ( ) ，则
f(x) a(x )(x )(x )(a 0)
( 4)已知函数图象与 x 轴的一个交点的横坐标 x 0 ，则 f (x) (x x 0)(ax
2
mx n)(a 0)
3
10)已知函数 y x 3 3x c 的图像与 x 轴恰有两个公共点，则
A ． 2或 2
B ． 9或3
C ． 1或 1
D ． 3或 1
【解析】因为三次函数的图像与 x 轴恰有两个公共点，结合该函数的图像，可得极大值或者极小值为零即可满足要求。而 f (x) 3x
2
3 3(x )(x 1) ，当 x 1时取得极值
由 f(1) 0或 f( 1) 0可得c 2 0或c 2 0，即c 2。答案 A
则在 a,b 内至少存在一点 ，使得
f b
b a
f a
. ba
2012 全国大纲版
0)f(1)< 0；③ f(0)f(3)> 0；④ f(0)f(3)< 0.其中正确结论的序号是
A. ①③
B.①④
C.②③
D. ②④
2
【解析】f (x) 3x2 12x 9 3(x 1)(x 3)，( ,1)单调递增，(1,3)单调递减，(3, )单调递增，又因为
f(a) f(b) f(c) 0，所以a ( ,1) b (1, 3，) c (3, )，
【法一】f(1) 4 abc 0，f (3) abc 0，f (0) abc 0 ．
【法二】又因为f (b) b3 6b2 9b abc b(b2 6b 9) abc b[(b 3)2 ac] 0，所以ac为正数，所以a为正数，又因为f (0) abc 0，f (1) 0，f (3) 0．
【点评】本题考查运用导数分析函数的能力，数形结合及代入转化的能力．【答案】 A
2012重庆理卷)(8)设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如题( 8)图所示，则下
列结论中一定成立的是
函数有极大值和极小值
2012 福建文) 12.已知f( x) =x3-6x 2+9x-abc，a
②f
B) 函数有极大值和极小值
C) 函数有极大值和极小值
D) 函数有极大值和极小值
高考含参三次函数题型分析
我们知道导数是研究函数的重要工具， 三次函数的导数是二次函数， 正因如此， 三次函数问题的解决往往关 键转化为二次函数问题，如二次函数方程根的问题，二次不等式解集问题等常见题型。 首先，回顾一下三次函数 f （x ） ax
3
bx 2 cx d （a 0） 图象
a>0
a<0
2012?重庆文）
f ′（ x ），且函数 f （x ）在 x=-2处取得极小值，则函数 y=xf ′（ x ）的图象可能是（
设函数 f （ x ）在 R 上可导，其导函数为
2012 福建文) 12.已知f( x) =x3-6x 2+9x-abc，a
②f
【题型 1】含参三次函数单调性问题 例一 (08 全国 文 21 ) 已知函数 f(x)=x 3+a x 2
+x+ 1,a R.
(Ⅰ)讨论函数 f(x)的单调区间；
21
(Ⅱ)设函数 f(x)在区间( - , )内是减函数，求 a 的取值范围
33
解法分析：对于问题(Ⅰ)我们往往采用的解题思路是：求函数 f (x) ax
3
bx 2
cx d 的导数为
f (x) 3ax 2
2bx c 然后往往按以下步骤进行讨论分析。
1) 讨论导数二次项系数是否为零 2) 讨论导数判别式
3) 0 则原函数为单调增(减)函数
4) 0 求导函数等于 0 时的根，并比较根的大小
5)
结合到导函数图象，得出三次函数单调性
面我们按照这个思路解决一下
f(x) x 3 ax 2 x 1 则 f (x) 3x 2 2ax 1 (1)讨论导数二次项系数是否为零 (2)讨论判别式 =4a 2
12
(3) 0 ，则原函数为单调增(减)函数 即
0时，
3 a 3， f (x) 0恒成立，则 f ( x)为单调增函数，单调增区间为 ( , )
(5)结合到导函数图象，得出三次函数单调性 所以此时函数 f (x) 的单调递增区间为
21 对于问题(Ⅱ)设函数 f(x)在区间( -23, 31
)内是减函数，求 a 的取值范围
4) 0 求导函数等于 0 时的根，并比较根的大小 0 时， a 3 或 a 3 时， f (x) 0 存在零解，
此时 x
1
a a 2
3
x
2
a a
2 3
3
显然 x 2 x 1 ，
a a 2
3)
3)
和
( a a 2
3
3
,)
单调递减区间为
(
a a 2 3
a a
2 3 3
往往转化为二次函数不等式问题，采用根的分布数形结合、主参分离求最值、求根公式三种方法解决。
2 1 2 2 1 f(x)在区间( - , )内是减函数，则f (x) 3x2 2ax 1 0对x ( , )恒成立。
3 3 3 3
方法一：根的分布，数形结合
2
由f (x) 3x2 2ax 1 0的两根在区间外则有
f ( 2) 0
3成立，可以解得a 2
1
f ( ) 0
3
方法二：主参分离，求最值 解法分析： (Ⅰ) f
'
(x) ax 2
3x (a 1) ，由于函数 f(x)在 x 1时取得极值，
所以 f
'
(1) 0 即 a 3 a 1 0,∴a 1 对于问
题(Ⅱ)有两种方法：
方法一 转化为关于 a 的函数 g( a)
22
由题设知： ax
2
3x (a 1) x 2
x a 1对任意 a (0, ) 都成立
22
即 a(x
2
2) x 2
2x 0 对任意 a (0, )都成立
设 g(a) a(x 2
2) x 2
2x(a R), 则对任意 x R ， g(a)为单调递增函数 (a R)
所以对任意 a (0, )， g(a) 0恒成立的充分必要条件是 g(0) 0
2
2 1
f (x) 3x 2
2ax 1 0对 x ( , )恒成立。则有
33
3x 2 1 2x
3x 2 1 2x )
max ，
由“对勾函数”
2
x ( 23, 1
3)(
3x 22x
1
)
max
方法三：求根公式 由 f (x) 3x
2
2ax 1 0的两根在区间外则有
a a 3
2
33
a
a 3
1
可以解得 a 2
33
题型 2】不等式与恒成立问题 例二( 08 安徽文) 设函数 f (x)
a x 3 3 x 2
(a 1)x 1,其中 a 为实数。 32
(Ⅰ)已知函数 f(x) 在 x 1处取得极值，求 a 的值； (Ⅱ)已知不等式 f '
(x) x 2
x a 1对任意 a (0, ) 都成立，求实数 x 的取值范围。
即 x
2
2x 0 ，∴ 2 x 0
于是 x 的取值范围是 x| 2x0
方法二 恒成立问题，转化为不等式的最值问题
22
由题设知： ax
2
3x (a 1) x 2 x a 1对任意 a (0, ) 都成立
22
即a(x
2
2) x 2
2x 0 对任意 a (0, ) 都成立
是 a
x
2 2x 对任意 a (0, ) 都成立， x 2 2 于是 x 的取值范围是 x| 2 x 0
题型 3】三次方程根问题
例三( 05全国)设 a 为实数，函数 f (x) x
3
x 2 x a 。
Ⅰ)求 f (x) 的极值；(Ⅱ)当 a 在什么范围内取值时，曲线 解法分析：
15 对于问题(Ⅰ)易得 f(x)的极大值是 f( 1) 5
a ，极小值是 f(1) a 1
3 27
x 2 2x
y f(x)与x 轴仅有一个交点。
对于问题(Ⅱ)主要方法结合三次函数图象解决 方法一：由三次函数单调性 函数 f(x) x
3
x 2 x a (x 1)2
(x 1) a 1 由此可知 x 取足够大的正数时，有 f(x) 0，x 取足够小的负数时
有 f(x) 0， 所以曲线 y f (x) 与 x 轴至少有一个交点。 结合 f(x) 的单调性可知： 55 当 f(x) 的极大值 a 0 ，即 a ( ，
) 时，它的极小值也小于 0 ，
27 27
因此曲线 y f(x)与 x 轴仅有一个交点，它在 (1，
)上；
当 f(x) 的极小值 a 1 0 ，即 a (1， ) 时，它的极大值也大于 0，
1
因此曲线 y f (x) 与 x 轴仅有一个交点，它在
( ，
) 上
3
所以当 a ( ，
5
) (1，
) 时，曲线 y f(x)与 x 轴仅有一个交点。
方法二：将 f(x)与 x 轴交点问题转化为函数 g(x) x
3
x 2 x 与函数 y a 的交点个数问题
3 2 5 易求函数 g(x) x 3 x 2
x 的极大值
极小值 -1，当 a
27 27
5
数 y a 只有一个交点所以当 a ( ， ) (1，
)时，曲线 y f(x)与 x 轴仅有一个交点。 27
同学们也可以思考一下，函数 f (x) x 3
x 2
x a 当 a 在什么范围内取值时，曲线 y f(x)与x 轴仅有三个 交
点。
题型 4】三次函数极值点与二次函数零点分布问题
1 3 2
例五(07 全国 22 ) 已知函数 f (x) ax 3 bx 2
(2 b)x 1
3
在 x x 1处取得极大值，在 x x 2处取得极小值，且 0 x 1 1 x 2 2 ． ( 1)证明 a 0；
(2)若 z=a+2b,求 z 的取值范围。
5
3 2 或 a
1时函数 g(x) x 3 x 2 x 与函
y
-
解法分析：
对于问题一，较容易解决，由函数 f (x)在x x1 处取得极大值，
在x x2 处取得极小值，知x1，x2 是f (x) 0的两个根．
所以f (x) a(x x1)(x x2)
当x x1 时，f (x) 为增函数，f (x) 0 ，由x x1 0 ，x x2 0 得a 0 ．
对于问题二，转化为二次函数零点分布问题
f (0) 0 2 b 0
在题设下，0 x1 1 x2 2 等价于f (1) 0 即a 2b 2 b 0
f (2) 0 4a 4b 2 b 0
2b0
化简得a 3b 2 0
4a 5b 2 0
此不等式组表示的区域为平面aOb 上三条直线：2 b 0， a 3b 2 0，4a 5b 2 0 ．
所围成的△ABC 的内部，其三个顶点分别为：
z 在这三点的值依次为16，6，
8 ．
所以z 的取值范围为16，8 ．所以的取值范
围为7，8 ．
总之，三次函数是我们高中学习中的一个重要函数，同学们有必要在不断探索、研究中，结合二次函数常见题型，总结出解决三次函数问题的基本方法、基本技巧。
三次函数 三次函数 基本概念与性质形如y=ax^3+bx^2+cx+d(a≠0,b,c,d为常数)的函数叫做三次函数(cubics function)。三次函数的图像是一条曲线----回归式抛物线（不同于普通抛物线），具有比较特殊性。 目录 二.零点求法 三.三次函数性态的五个要点 四.三次函数对称中心 五.其他性质 二.零点求法 求函数的零点可用盛金公式、盛金判别法、或传统解法 盛金公式与盛金判别法及盛金定理的运用从这里向您介绍 三次方程应用广泛。用根号解一元三次方程，虽然有著名的卡尔丹公式，并有相应的判别法，但使用卡尔丹公式解题比较复杂，缺乏直观性。范盛金推导出一套直接用a、b、c、d表达的较简明形式的一元三次方程的一般式新求根公式，并建立了新判别法。 1.盛金公式 一元三次方程aX^3＋bX^2＋cX＋d=0，（a，b，c，d∈R，且a≠0）。 重根判别式： A=b^2－3ac； B=bc－9ad； C=c^2－3bd， 总判别式：Δ=B^2－4AC。 当A=B=0时，盛金公式①： X1=X2=X3=－b/(3a)=－c/b=－3d/c。 当Δ=B^2－4AC>0时，盛金公式②： X1=(－b－(Y1)^(1/3)－(Y2)^(1/3))/(3a)； X2，3=(－2b＋(Y1)^(1/3)＋(Y2)^(1/3))/(6a)±i3^(1/2)((Y1)^(1/3)－(Y2)^(1/3))/(6a)，
其中Y1，2=Ab＋3a(－B±(B^2－4AC)^(1/2))/2，i^2=－1。 当Δ=B^2－4AC=0时，盛金公式③： X1=－b/a＋K；X2=X3=－K/2， 其中K=B/A，(A≠0)。 当Δ=B^2－4AC<0时，盛金公式④： X1= (－b－2A^(1/2)cos(θ/3))/(3a)； X2，3= (－b＋A^(1/2)(cos(θ/3)±3^(1/2)sin(θ/3)))/(3a)， 其中θ=arccosT，T= (2Ab－3aB)/(2A^(3/2))，(A>0，－1
三次函数的图像和性质 设三次函数为()32f x ax bx cx d =+++（a 、b 、c 、d R ∈且0a ≠），其基本性质有： 性质一：定义域为R ； 性质二：值域为R ，函数在整个定义域上没有最大值、最小值； 性质三：单调性和图象。 （1）当a>0时，先看二次函数f ′（x ）=3ax 2 +2bx+c ，Δ=4b 2 -12ac=4（b 2 -3ac ） ① 当Δ=4b 2 -12ac=4（b 2 -3ac ）>0，即b 2-3ac >0时，f ′（x ）与x 轴有两个交点1 x ， 2 x ， f （x ）形成三个单点区间和两个极值点1x ，2 x ， 图像如图1,2： ② 当Δ=4b 2 -12ac=4（b 2 -3ac ）=0，即b 2 -3ac=0时，f ′（x ）与x 轴有两个等根 1x 2 x ， f （x ）没有极值点， 图像如图3,4： 图1 图2 图3 图4 图5 图6 ③ 当Δ=4b 2 -12ac=4（b 2 -3ac ）＜0，即b 2 -3ac ＜0时，f ′（x ）与x 轴没有交点， f （x ）没有极值点， 图像如图5,6： （2）当a ＜0时，先看二次函数f ′（x ）=3ax 2 +2bx+c ，Δ=4b 2 -12ac=4（b 2 -3ac ） ① 当Δ=4b 2 -12ac=4（b 2 -3ac ）>0，即b 2-3ac >0时，f ′（x ）与x 轴有两个交点1 x ， 2 x ， f （x ）形成三个单点区间和两个极值点1x ，2x ， 图像如图7,8： 图7 图8 图9 图10 图11 图12 ② 当Δ=4b 2 -12ac=4（b 2 -3ac ）=0，即b 2 -3ac=0时，f ′（x ）与x 轴有两个等根1x 2 x ，f （x ）没有极值点， 图 像如图9,10： ③ 当Δ=4b 2 -12ac=4（b 2 -3ac ）＜0，即b 2 -3ac ＜0时，f ′（x ）与x 轴没有交点，f （x ）没有极值点， 图像如图11，12： 性质四：三次方程f （x ）=0的实根个数 对于三次函数()3 2 f x ax bx cx d =+++（a 、b 、c 、d R ∈且0a ≠），其导数为f ′（x ）=3ax 2 +2bx+c ， (1) 当b 2 -3ac >0，其导数f ′（x ）=0有两个解 ， ，原方程有两个极值。 ① 当 ，原方程有且只有一个实根，图像如图13，14； 图13 图14 图15 图16 图17 ② 当12()()0f x f x ⋅=，则方程有2个实根，图像如图15，16； ③ 当0)()(21<⋅x f x f ，则方程有三个实根，图像如图17； 性质五：奇偶性 对于三次函数()3 2 f x ax bx cx d =+++（a 、b 、c 、d R ∈且0a ≠） (1) f （x ）不可能为偶函数； (2) 当且仅当0==d b 时是奇函数； 性质六：对称性 (1) 结论一：三次函数是中心对称曲线，且对称中心是(,())33b b f a a - -； (2) 结论二：其导函数为2 ()320f x ax bx c '=++= 对称轴为a b x 3- =，所以对称中心的横坐标也就是导函数的对称轴，可见，y ＝f(x)图象的对称中心在导函数y ＝的对称轴上，且又是两个极值点的中点，同时也是二 阶导为零的点； 2 x 1x 0 )()(2 1>⋅x f x f x 1 x 2 x x 1 x 2
三次函数 百科名片 三次函数 基本概念与性质形如y=ax^3+bx^2+cx+d(a≠0,b,c,d为常数)的函数叫做三次函数(cubics function)。三次函数的图像是一条曲线----回归式抛物线（不同于普通抛物线），具有比较特殊性。 目录 1二.零点求法1.盛金公式 12.盛金判别法 13.盛金定理 14.传统解法 三.三次函数性态的五个要点 1四.三次函数对称中心1.三次函数有对称中心 12.推广 五.其他性质 展开 编辑本段二.零点求法 求函数的零点可用盛金公式、盛金判别法、或传统解法盛金公式与盛金判别法及盛金定理的运用从这里向您介绍三次方程应用广泛。用根号解一元三次方程，虽然有著名的卡尔丹公式，并有相应的判别法，但使用卡尔丹公式解题比较复杂，缺乏直观性。范盛金推导出一套直接用a、b、c、d表达的较简明形式的一元三次方程的一般式新求根公式，并建立了新判别法。 1.盛金公式 一元三次方程aX^3+bX^2+cX+d=0，（a，b，c，d∈R，且a≠0）。重根判别式：A=b^2－3ac；B=bc－9ad；C=c^2－3bd，总判别式：
Δ=B^2－4AC。当A=B=0时，盛金公式①：X1=X2=X3=－b/(3a)=－c/b=－3d/c。当Δ=B^2－4AC>0时，盛金公式②：X1=(－b－(Y1)^(1/3)－(Y2)^(1/3))/(3a)；X2，3=(－2b+(Y1)^(1/3)+(Y2)^(1/3))/(6a)±i3^(1/2)((Y1)^(1/3)－(Y2)^(1/3))/(6a)，其中Y1，2=Ab+3a(－B±(B^2－4AC)^(1/2))/2，i^2=－1。当Δ=B^2－4AC=0时，盛金公式③：X1=－b/a+K；X2=X3=－K/2，其中K=B/A，(A≠0)。当Δ=B^2－4AC<0时，盛金公式④：X1= (－b－2A^(1/2)cos(θ/3))/(3a)；X2，3= (－b+A^(1/2)(cos(θ/3)±3^(1/2)sin(θ/3)))/(3a)，其中θ=arccosT，T= (2Ab－3aB)/(2A^(3/2))，(A>0，－1
三次函数)0(≠a d cx bx ax x f +++=23)(性质大全 本文从三个专题（专题一 三次函数的图象及单调性，专题二 三次函 数的对称性，专题三 三次函数切线问题）来介绍三次数的性质，对同 学们学习三次函数大有帮助，可以解绝三次函数涉及到的高考题，是能够充分准备，应对高考。 专题一 三次函数的图象及单调性 c bx ax x f ++='23)(2,当01242≤-=?ac b 时，函数是单调增函数，或单调减函数，当时042>-=?ac b ，设0)(='x f 的两根分别为,,21x x 则原函数 0>a 时函数)(x f 图象 （先上升） 0a 时)(x f 在),(1x x -∞∈或),(2+∞∈x x 单调递增；)(x f 在),(21x x x ∈单调递减在1x x =处)(x f 取得极大值)(1x f ，在2x x =处)(x f 取得极小值)(2x f ． 2.0 注意：三次函数f(x)有极值 导函数(x)f '的判别式0>? 3.一般地d cx bx ax x f +++=23)()0(>a 在导数023)(2=++='c bx ax x f 有两根 ,,21x x 且21x x <时，在1x 处有1()()f x f x M ==极大值；在2x 处有 2()()f x f x m ==极小值， 4 .三次方程根的个数问题，由三次函数图象极易得到以下结论: 若()y f x =为三次函数,其导数为()y f x '=,则: ⑴若()0f x '≥或()0f x '≤恒成立,则()0f x =仅有一实数解。 ⑵若()0f x '=有两个不等实数解,m n 则: ① 若()()0>n f m f ,则()0f x =有一实数解. ② 若()()0=n f m f ,则()0f x =有二个不等实数解. ③ 若()()0 三次函数性质的探索，知道图象是单调递增或单调递减，在整个定义域上不存在我们已经学习了一次函数取得最大值与最小值．那么，是什么决定函数的单调性呢？最大值与最小值，在某一区间轴相交的位置．决定函数与y时函数单调递增； 当k<0时函数单调递增；b利用已学过的知识得出：当k>0n][m，??上恒成立的充要条件在其中运用的较多的一次函数不等式性质是：0?fx??0f?m ??0n?f 接着，我们同样学习了二次函数，图象大致如下： 图1 图2 利用已学知识归纳得出：当时(如图1)，在对称轴的左侧单调递减、右侧单调递增， 对称轴上取得最小值； 当时(图2)，在对称轴的左侧单调递增、右侧单调递减， 对称轴上取得最大值． 在某一区间取得最大值与最小值． 其中a决定函数的开口方向，a、b同时决定对称轴，c决定函数与y轴相交的位置． 总结：一次函数只有一个单调性，二次函数有两个单调性，那么三次函数是否就有三个单调性呢？1 三次函数专题 一、定义： 320)?d(a?ax?bx?cx?y。形如的函数，称为“三次函数”（从函数解析式的结构上命名）定义1、22?0)(a?ax?2bx?yc?3acb?12??4，把定义2、三次函数的导数叫做三次函数导函数的判别式。由 于三次函数的导函数是二次函数，而二次函数是高中数学中的重要内容，所以三次函数的问题，已经成为高考命题的一个新的热点和亮点。特别是文科。 3y?x开始从最简单的三次函数系列探究1：y x O 31?x?y的相关性质呢？反思1：三次函数 ??1?1y??x反思3：三次函数的相关性质呢？ 31y??x?的相关性质呢？反思2：三次函数3 3x2?f(x)?2?x B 天津理）（2012（4）函数在区间(0,1)内的零点个数是 1 （B））0 （A3 D）（（C）2 23)0d(a?(fx)?ax?bx?cx?的性质：：探究一般三次函数系列探究22?0)(a?ax?2bx?cf3(x)?先求导．单调性：12012ac?(2b)?△?)(xf上是增函数；在，此时函数（1）若R22?0?12ac?△?(2b)x,xx?x0?c?2bx?f)(x?3ax，令（2）若且两根为，2211)xx,()x??),((??,x)xf(在上单调递增，在则上单调递减。2121 三次函数的图像和性质 知识回顾： 定义：形如()()0,23≠+++=a d cx bx ax x f 的函数叫做三次函数； 定义域：R ； 值域：R ； 图像： 对称性：中心对称图形，对称中心⎪⎭ ⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b f a b O 3,3； 三次多项式因式分解：()()()32123x x x x x x a d cx bx ax ---=+++ 方法一：试根，待定系数因式分解； 方法二：代数基本定理：d s a r i i ,，则多项式的所有有理数根一定在i i r s 中取得； 典例1：三次函数单调区间和极值 1. 已知函数()1223-+-=x x x x f （1）求函数的单调区间和极值； （2）判断函数的零点个数； 典例2：三次函数的零点问题 1. 已知函数 ()λ--+-=1223x x x x f ，若函数存在三个零点，则实数λ的取值范围 ； 2. 已知奇函数()x f 是R 的单调函数，若函数()()213--++=x f x f y λ至少有两个零点，求实数a 的取值范围． 变式训练：设函数()a ax x x x f ++-=233 1有三个零点，求实数a 的取值范围． 典例3：三次函数的切线问题 1. 设函数()()1,3+==x x g x x f λ （1）若曲线()x g 与函数()x f 的图像相切，求实数λ的值； （2）若 ()()x g x f =有三个根，求实数λ的值； 2. 已知函数 ()x x x f 323-=． （1）求()x f 的对称中心以及对称中心处的切线方程； （2）若过点()t P ,1存在3条直线与曲线()x f 相切，求实数t 的取值范围； （3）讨论过点 ()()R n m n m ∈,,,存在几条直线与曲线()x f 相切； 经验分享： 一般的三次函数的切线条数有如下规律： 三次函数()()0,23≠+++=a d cx bx ax x f 的图像和其相应过对称中心⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b f a b O 3,3的切线l 将平面分为如下四个区域： （1）过区域①，③内的点可作3条与曲线 ()x f 相切的直线； （2）过曲线()x f 或直线l 上且不在O 处的点可作2条与曲线()x f 相切的直线； （3）过O 或区域②，④内的点可作1条与曲线()x f 相切的直线； •O ② ③ ④ O •① ② ④ 三次函数的图像与性质 形如f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）的函数叫做三次函数。由于三次函数的导函数是二次函数，而二次函数是高中数学中的重要内容，所以三次函数的问题已经成为高考命题的一个新的热点和亮点，尤其是文科数学更是如此。我们可以采用类比的方法，利用几何画板，较为深入地研究三次函数的图像与性质以及三次方程的解的个数的问题。 １三次函数的图像与性质 设三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），其导函数f’（x）=3ax2+2bx+c，其判别式△=4b2-12ac=4（b2-3ac）。当a>0时，若△>0，方程f’（x）=0有两个不相等的实数根，记作x1，x2，不妨令x1f（x2）。 结论1：f（x1）·f（x2）>0时，函数f（x）的图像与x轴有且仅有一个公共点；f（x1）·f（x2）=0时，函数f（x）的图像与x轴有且仅有两个公共点；f （x1）·f（x2）０，f（x2）0为例）： 当a>0时，f（x）的四种图象 ３推论 设三次函数f（x）＝ax3+bx2+cx+d（a>0），其导函数f’（x）=3ax2+2bx+c 的判别式△=4b2-12ac=4（b2-3ac）>0。方程f’（x）=0有两个不相等的实数根，记作x1，x2，不妨令x1 三次函数的图像与性质及应用 一、知识引导 三次函数y ax bx cx d a =+++320()≠是学生继二次函数后接触的新的多项式函数类型，是二次函数的深化和发展，和二次函数类似也有“与x 轴交点个数”等问题。 32()0f x ax bx cx d a =+++>（）的图像和性质： 1 由极限的思想，在x →+∞时，图像向上无限延伸；在x →-∞时，图像向下无限延伸。 2 ()0f x =根的个数，()f x 的单调性，极值： 其导函数为二次函数:)0(23)(2/≠++=a c bx ax x f ，二次函数的判别式为：△= )3(412422ac b ac b -=-， 若032>-ac b ，设/()0f x =的两根为12x x 和。则可整理给出32()0f x ax bx cx d a =+++>（） 类似于二次函数的图像和性质表： 设f(x)=ax 3+bx 2+cx+d(a ≠0)，f(x)的导数f '(x)=3ax 2+2bx+c ，导函数判别式Δ=4（b 2-3ac)，当Δ>0时记f '(x)=0的两根为x 1和x 2，且x 1 1、对称中心为点))3(,3(a b f a b -- 2、在R 上依次有三个单调区间的充要条件是b 2- 3ac>0. 3、若b 2- 3ac ≤0, 则ax 3+bx 2+cx+d=0 方程有且仅有一个实根 4、三次方程ax 3+bx 2+cx+d=0 有三个互不相同实根的充要条件是: |b 3- 9abc+27a 2d|<2( b 2- 3ac) ac b 3- +b 3 提示：当a<0时，同理可得相应的图像和性质，具体解题时也可转化为a>0得到解决 二、例题点拨 例：设函数3 2()(0)3 a f x x bx cx d a = +++，且方程'()90f x x -=的两个根分别 为1，4。 （Ⅰ）当a=3且曲线()y f x =过原点时，求()f x 的解析式； （Ⅱ）若()f x 在(,)-∞+∞无极值点，求a 的取值范围。 解：由3 2()3 a f x x bx cx d = +++ 得 2()2f x ax bx c '=++ 因为2()9290f x x ax bx c x '-=++-=的两个根分别为1,4，所以 290 168360 a b c a b c ++-=⎧⎨ ++-=⎩ （*） 三次函数(a≠0)f(x)=ax3+bx2+cx+d性质大全本文从三个专题（专题一三次函数的图象及单调性，专题二三次函数的对称性，专题三三次函数切线问题）来介绍三次数的性质，对同学们学习三次函数大有帮助，可以解绝三次函数涉及到的高考题，是能够充分准备，应对高考。 专题一三次函数的图象及单调性 f'(x)=3ax2+2bx+c,当∆=4b2-12ac≤0时，函数是单调增函数，或单调减函数，当时∆=b2-4ac>0，设f'(x)=0的两根分别为x,x,则原函数 12 a>0时函数f(x)图象（先上升）a<0时函数f(x)图象（先下降） 1.a>0时f(x)在x∈(-∞,x)或x∈(x,+∞)单调递增；f(x)在x∈(x,x)单调递减 1212 在x=x处f(x)取得极大值f(x)，在x=x处f(x)取得极小值f(x)．1122 2.a<0时f(x)在x∈(-∞,x)或x∈(x,+∞)单调递减；f(x)在x∈(x,x)单调递增 1212 在x=x处f(x)取得极小值f(x)，在x=x处f(x)取得极大值f(x)．1122 对称中心是(-b 注意：三次函数f(x)有极值导函数f'(x)的判别式∆>0 3.一般地f(x)=ax3+bx2+cx+d(a>0)在导数f'(x)=3ax2+2bx+c=0有两根 x,x,且x 初中数学教案三次函数的图像与性质三次函数是中学数学中的一个重要知识点，它具有独特的图像和性质。本教案将以图像为线索，详细介绍三次函数的特点和性质，帮助学生深入理解和掌握这一概念。 一、三次函数的基本形式 三次函数的一般形式为：$y = ax^3+bx^2+cx+d$，其中$a,b,c,d$为实数且$a\neq0$。 二、三次函数的图像 为了研究三次函数的图像，我们将从以下几个方面进行讲解。 1. 零点与轨迹 在$x$轴上，三次函数的零点对应的是方程$ax^3+bx^2+cx+d=0$的解。解方程的方法是通过因式分解、配方法、求根公式等来求得。 2. 极值点与拐点 三次函数的极值点和拐点可以通过求导数的方法得到。求解导函数$y' = 3ax^2+2bx+c$，令其等于零，即可求得极值点和拐点的横坐标。然后再代入原函数中，求得对应的纵坐标。 3. 对称性 三次函数具有奇函数的对称性，即$f(-x) = -f(x)$。这意味着如果某一点$(x_0, y_0)$在图像上，那么点$(-x_0, -y_0)$也在图像上。 三、三次函数的性质 除了图像特点之外，我们还需要讲解三次函数的其他性质，包括： 1. 定义域和值域 三次函数的定义域为全体实数。值域则需要通过观察图像或者进行计算得到。 2. 单调性 三次函数的单调性与系数$a$的正负有关。当$a>0$时，函数单调递增；当$a<0$时，函数单调递减。 3. 凹凸性 通过分析二阶导函数$y''=6ax + 2b$的正负，可以判断三次函数的凹凸性。当$y''>0$时，函数凹；当$y''<0$时，函数凸。 4. 渐近线 对于三次函数而言，它可能有水平渐近线、垂直渐近线以及斜渐近线等。通过求解极限或观察图像，可以确定渐近线的方程。 四、教学实例与练习 为了帮助学生更好地掌握三次函数的图像和性质，我们可以设计一些教学实例和练习题，如： 1. 画出函数$y=2x^3-3x^2-12x+5$的图像，并求出其所有零点和拐点的坐标。 三次函数的特性总结 三次函数，也被称为三次方程或者三次方程函数，是指具有三次幂的多项式函数。它的一般形式可以表示为： f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d 其中，a、b、c、d为函数的系数，且a不等于0。在本文中，我们将总结三次函数的几个主要特性。 1. 零点和因式分解 三次函数的零点即为函数与x轴交点的横坐标。为了求解零点，我们可以利用因式分解的方法。对于一个三次函数f(x)，如果x=a是它的零点，那么(x-a)就是它的一个因式。通过将函数进行因式分解，我们可以更方便地确定它的零点。 2. 对称性 三次函数有两个常见的对称性质：关于y轴的对称和关于原点的对称。对于一个三次函数f(x)，如果f(-x) = f(x)，则该函数具有关于y轴的对称性。如果f(-x) = -f(x)，则该函数具有关于原点的对称性。 3. 变化趋势 三次函数的变化趋势可以通过函数的导数和导数的二次项来判断。函数的导数表示了函数的变化速率，导数的符号则表示了函数的增减性。如果函数的导数大于0，那么函数在该点上升；如果导数小于0，则函数在该点下降。其次，导数的二次项可以用来判断函数的拐点位 置。如果导数的二次项大于0，则函数有一个拐点，该拐点位于导数为 0的点处。 4. 最值点 对于三次函数而言，它可能存在最大值或最小值点。为了找到函数 的最值点，我们可以计算函数的导数，令导数为0，并求解对应的x值。通过找到导数等于0的点，我们可以确定函数的局部最值点。 5. 图像特征 三次函数的图像通常呈现出“S”形状曲线。当a>0时，函数的图像 开口向上，底部为最小值点；当a<0时，函数的图像开口向下，顶部 为最大值点。同时，函数可能经过x轴的一次或两次。通过观察函数 的图像特征，我们可以初步判断函数的性质和行为。 总结起来，三次函数作为一种多项式函数，具有许多独特的特性。 通过研究它的零点、对称性、变化趋势、最值点以及图像特征，我们 可以更好地理解和利用三次函数的性质。这些特性不仅适用于解析的 求解过程，也对于理解图像、优化问题和物理现象等有着广泛的应用。 三次函数性质总结 三次函数是指函数的最高次项是3次的函数，一般的三次函数的函数 表达式可以写成y=ax^3+bx^2+cx+d。以下是关于三次函数的性质的总结： 1.对称性：三次函数一般具有对称性，即关于y轴对称。这是因为三 次函数中只有偶次次项，所以具有对称性。这可以通过函数图像来观察， 如果一条曲线对称于y轴，则表示这个函数是一个三次函数。 2.零点：三次函数可能有一个或多个零点。如果函数的零点为x=a， 那么乘以(x-a)后，函数会变为二次函数，这是因为函数中的三次项会被 消去，变成了二次项。因此，三次函数的零点可以用来快速确定函数的根 的个数。 3.单调性：三次函数的单调性与系数a有关。当a>0时，三次函数是 上凹的，即函数的曲线开口向上，为增函数；当a<0时，三次函数是下凹的，即函数的曲线开口向下，为减函数。 4.驻点：三次函数的导数是二次函数，因此导数为零的点称为驻点。 三次函数的驻点有最大值或最小值，可以通过求导数来求得驻点的位置。 5. 渐近线：三次函数可能有水平渐近线、垂直渐近线或斜渐近线。 水平渐近线是指当x趋于正无穷或负无穷时，函数值趋于一些常数；垂直 渐近线是指当x等于一些常数时，函数值趋于正无穷或负无穷；斜渐近线 是指当x趋于正无穷或负无穷时，函数值趋于ax^2+bx+c。 6.奇偶性：三次函数的奇偶性与系数b有关。当b为奇数时，三次函 数是奇函数，对称于原点，函数图像关于原点对称；当b为偶数时，三次 函数是偶函数，对称于y轴，函数图像关于y轴对称。 7.映射性：三次函数的图像可以映射到整个坐标平面上，因为三次函数没有任何限制，所以可以取得任意的y值。 8.随着函数系数的变化，函数图象会发生相应的形变。例如，当a的绝对值变大时，函数的曲线会变得更陡峭；当b的绝对值变大时，函数的曲线会向原点靠拢；当c的绝对值变大时，函数的曲线会上下平移；当d 的绝对值变大时，函数的曲线会上下平移。 总之，三次函数具有丰富的性质和特点，可以通过系数的变化来改变函数的图像和性质。 三次函数的性质 三次函数是一类重要的数学函数，它是利用一次函数、二次函数和多项式联立来构造的一类数学函数。三次函数的性质多变，常用的有三次函数的单调性性质、最值性质、奇偶性质、对称性质、递增递减性质等。 一、三次函数的单调性性质 三次函数满足单调性性质，即在函数定义域内函数值单调递增或单调递减，即“若y=f(x) 为某三次函数时，则若x在f(x)的定义域内，若x1 三次函数满足递增递减性质，即“若y=f(x) 为某三次函数时，若x 位于f(x)定义域内，若f(x)>0，则若x0 三次函数的性质 三次函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d（a≠0）在高中阶段学习导数后频繁出现，同时也是其他复杂函数的重要组成部分，因此有必要对其性质有所了解，才可以做到知己知彼，百战不殆． 性质一单调性 以 a>0 为例，如图 1，记Δ=b2- 3ac 为三次函数图象的判别式，则 图 1 用判别式判断函数图象 当 ? 0 时， f(x)为 R 上的单调递增函数； 当 >0时， f(x)会在中间一段单调递减，形成三个单调区间以及两个极值． 性质一的证明f(x)的导函数为 f′(x)=3ax3+2bx+c, 其判别式为 4(b2- 3ac)，进而易得结论． 例 1设直线l与曲线y=x3+x+1有三个不同的交点A,B,C，且|AB|=|BC|=5√，求直线 l 的方程． 解由|AB|=|BC|可知 B 为三次函数的对称中心，由性质一可得 B(0,1)，进而不难求得直线 l 的方程 y=2x+1． 性质二对称性 如图 2，f(x)的图象关于点 P(- b3a,f(- b3a))对称（特别地，极值点以及极值点对应的图象上的点也关于 P 对称）． 图 2图象的对称性 反之，若三次函数的对称中心为(m,n)，则其解析式可以设为 f(x)=α?(x- m)3+β?(x- m)+n, 其中α≠0． 性质二的证明由于 f(x)=a(x+b3a)3+(c- b23a)(x+b3a)- bc3a+2b327a2+d, 即 f(x)=( x+b3a)3+(c- b23a)(x+b3a)+f(- b3a), 于是性质二得证． 例 2设函数f(x)=x(x- 1)(x- a)，a>1． （1 ）求导数f′(x)，并证明f(x)有两个不同的极值点x1，x2； （2 ）若不等式f(x1)+ f(x2)? 0成立，求a的取值范围． （1）解 f(x)的导函数 f′(x)=(x- 1)(x- a)+x(x- a)+x(x- 1)=3x2- 2(a+2)x+a, 而 f′(0)f′(1)f′(a)=a>0,=1- a<0,=a(a- 1)>0, 于是 f′(x)有两个变号零点，从而f(x)有两个不同的极值点． （2）解根据性质二，三次函数的对称中心 (a+13,f(a+13))是两个极值点对应的函数图象上的点的中点．于是 f(x1)+f(x2)=2f(a+13)? 0, 即 2?a+13?a- 23?- 2a+13? 0, 结合 a>1，可得 a 的取值范围是 [2,+ ∞)． 注本题为 2004 年高考重庆卷理科数学第20 题． 性质三切割线性质 如图 3，设 P 是 f(x)上任意一点（非对称中心），过P 作函数 f(x)图象的一条割线 AB 与一条切线 PT（ P 点不为切点）， A、B、T 均在 f(x)的图象上，则 T 点的横坐标平分 A、B 点的横坐标． 图 3切割线性质 三次函数的性质以及在高考中的应用 三次函数y=口: /4中+崛口彳0）已经成为中学阶段一个重要的函数，在高考和一些重大考试中频繁出现有关它的单独命题。2004年高考，在江苏卷、浙江卷、天津卷、重庆 卷、湖北卷中都出现了这个函数的单独命题，特别是湖北卷以压轴题的形式出现，更应该引起我们的重视。单调性和对称性最能反映这个函数的特性。下面我们就来探讨一下它的单调性、对称性以及图象变化规律。 函数储+彳+叫口声0的导函数为+2纵+二。我们不妨把方程 I 3 I 纪/ + 0称为原函数的导方程，其判别式* = 4（$—兔/）。若A > 0 ,设其两根 —、施" - 3a，- 3“ 工］~ --------------- 、工芸= ---------------- 为% % ,则可得到以下性质： 性质1：函数F"的工”一+讶+4&彳0）, 若|厘> 口|,当A M 0时，y = f（x）是增函数；当|A > 0|时，其单调递增区间是 （一孙克J，［北+◎,单调递增区间是［孙的］； 若1《口，当A三。时，是减函数；当A >0时，其单调递减区间是（一°0，电〕， ［勺，+g）,单调递增区间是［何，勺］。 （证明略） 推论：函数尸+'/+。+“伊*0）,当也三口|时，不存在极大值和极小值；当|A >口 时，有极大值，（11）、极小值丁（电）。 根据a和△的不同情况，其图象特征分别为： 图1 性质2：函数/⑶=/+我+M+dg,o）,万可叫「若飞式如对 /&）=°,则： /⑶…=max（y（哂八0），〃叫. /㈤4=砌，/So）, 知。 （证明略） 性质3 ：函数V =+“ "口中0）是中心对称图形，其对称中心是 证明：设函数/⑸="/4及户俗声0）的对称中心为（m, n）。 按向量说・（-薛，-涔）将函数的图象平移，则所得函数y=」（花+忸）一内是奇函数，所以 y（彳+ wi）+ /（一工+掰）-= o (3^sa -\-b) x 45得vbm n - 0 化简得: 上式对x三度恒成立，故 酮曰4占二口，得 n - R加 +2朋,+r阴+ d = 所以，函数ya，4#+℃山口卢）的对称中心是（如" %））。 可见，y = f（x）图象的对称中心在导函数 y =/ 三次函数的图象与性质 三次函数的图象与性质 三次函数的图象与性质 河源市河源中学 钟少辉 三次函数()f x =3 2(0) ax bx cx d a +++≠是中学阶段一个 重要的函数，已经成为高考的高频考点。本文研究了三次函数的图象，并且得到它的几个性质，以及例说性质的应用。 已知三次函数：3 2(0) y ax bx cx d a =+++≠定义域(,)-∞+∞ 则2 32y ax bx c '=++ ， 62y ax b ''=+。由0y '=得 2320 ax bx c ++= (1) 依一元二次方程根的判别式知： 1.1若2 4120 b ac ∆=-＞ ， 即2 3b ac ＞。则方程（1）必有两 个不相等的实根1 2 ,x x ，即三次函数必有两个驻点 12 ,x x （这里不妨设2 1 x x ＞）， 且1 2 3()()y a x x x x '=--。由函数 极值的判定定理则有： 1.a ＞0 当 1(,)()0 x x f x '∈-∞时,＞， () f x 单调递增。 当 12(,)()0 x x x f x '∈时,＜， ()f x 单调递减。当2 (,)()0 x x f x '∈+∞时,＞ ，() f x 单调递增。 驻点即为极值点，且在两个驻点中值较小的一个点上取得极大值，在值较大的一个点上取得 极小值，且1 2 ,x = Ⅱ.0a ＜ 情况正好与I 相反，在此不再赘述。 图3 单一型图象 性质1 函数3 2()(0)f x ax bx cx d a =+++≠，若0,a ＞当0∆≤时,y= () f x 是增函数：当0∆＞时，其单调递增区间是1 2 (,),),x -∞+∞和(x 单调递减区间是1 2 (,);x x 若0,0()a f x ∆≤＜当时,y=是减函数；当0∆＞时，其单调递减区间是1 2 (,),),x -∞+∞和(x ，单调递增区间是1 2 (,)x x 。 推论 函数3 2()(0) f x ax bx cx d a =+++≠当0∆≤时,不存在极 大值和极小值：若0,a ＞当0∆＞时，有极大值()f x 、极小值2 ()f x ;若0,a ＜当0∆＞时，有极大值()f x 、极小值1 ()f x . 根据a 和∆的不同情况，其图象特征分别为： 性质 2 函数3 2()(0) f x ax bx cx d a =+++≠,[,],x m n ∈若0 [,],x m n ∈且 0()0 f x '=,则: max 0()max{(),(x ),()}; f x f m f f n = a > a <三次函数性质总结
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