高中常见幂函数的图象和性质
二次函数的图象和性质
三次函数的图象和性质
、一次函数与二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式：f ( x) ax2 bx c(a 0) ②顶点式：f (x) a( x h) 2 k (a 0) ③两根式：f (x) a(x x1)( x x2)(a 0) (2)求二次函数解析式的方法 ①已知三个点坐标时，宜用一般式．②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时，常使用顶点式．③若已知抛物线与x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求f ( x) 更方便． (3)二次函数图象的性质
过定点：所有的幂函数在 (0, ) 都有定义，并且图象都通过点 (1,1)． ①. 二次函数 f ( x) ax 2 bx c(a 0) 的图象是一条抛物线， 对称轴方程为 x b , 顶点坐标 2a 是( b , 4 ac b 2 ) 2a 4a ②当 a 0 时，抛物线开口向上， 函数在 ( 2b a ] 上递减，在 [ b , 2a , ) 上递增，当 b 2a 时， f min ( x) 4ac b 2 ；当 a 4a 0时，抛物线开口向下， 函数在 ( b 2a ] 上递增，在 [ b 2a 上递减，当 x b 时， f max (x) 2 a max 4ac b 2 4a 、幂函数 1) 幂函数的定义 一般地，函数 y x 叫做幂函数，其中 x 为自变量， 是常数． 2) 幂函数的图象
三、指数函数 （1）根式的概念：如果x n a,a R,x R,n 1，且n N ，那么x 叫做a的n 次方根． （2）分数指数幂的概念 m ①正数的正分数指数幂 等于0． 的意义是：a n n a m(a0,m, n N,且n1）．0 的正分数指数幂 ②正数的负分数指数幂的意义是： mm 1 a n (1)n n (1a)m (a0,m,n N ,且n 1）．0的负 a a 分数指数幂没有意义． （3）运算性质 ① a r a s a r s( a 0,r, s R)②（r s rs a ) a ( a0,r,s R) ③ (ab)r a r b r (a 0,b 0,r R)
一、一次函数与二次函数 （1）二次函数解析式的三种形式 ①一般式：2 ()(0)f x ax bx c a =++≠ ②顶点式：2 ()()(0)f x a x h k a =-+≠ ③两根式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠ （2）求二次函数解析式的方法 ①已知三个点坐标时，宜用一般式． ②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式． ③若已知抛物线与 x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求()f x 更方便． （3
①.二次函数2 ()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线，对称轴方程为,2b x a =- 顶点坐标是2 4(,)24b ac b a a -- ②当0a >时，抛物线开口向上，函数在(,]2b a -∞- 上递减，在[,)2b a -+∞上递增，当2b x a =- 时，2 min 4()4ac b f x a -=；当0a <时，抛物线开口向下，函数在(,]2b a -∞-上递增，在[,) 2b a -+∞上递减，当2b x a =-时，2 max 4()4ac b f x a -=． 二、幂函数 （1）幂函数的定义 叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数． 过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)．
（1）根式的概念：如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根． （2）分数指数幂的概念 ①正数的正分数指数幂 的意义是：0,,,m n a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂 等于0． ②正数的负分数指数幂 的意义是： 1()0,,,m m n n a a m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． （3）运算性质 ①(0,,)r s r s a a a a r s R +?=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈
幂函数、指数函数图像与性质 学习目标： ① 幂函数运算、图像及性质 ② 指数函数运算、图像及性质 一、基础知识 1．有理指数幂的意义: （1） n a =_____)(*N n ∈；（2）a 0 =____（a ≠0）; （3） n a -=_______ ( a ≠0,n ∈N * ). (4)=n m a _____ (a>0,m,n ∈N * ,且n>1); (5)=- n m a _____=______(a>0,m,n ∈N *,且n>1). 规定：0的正分数指数幂等于______；0的负分数指数幂______________. 2.幂的运算性质：① n m a a ? =______ ； ②()n m a =________； ③()n ab =______; ④n m a a ÷ =_________(a ≠0)； ⑤(b a )n =________(b ≠0). 技巧： α α ?? ? ??=??? ??-b a a b 3．根式的概念：如果一个数的n （n>1,n ∈N * ）次方等于a ，那么这个数叫做a 的___________ 即若x n =a ，则x 叫做a 的___________，(其中n>1,且n ∈N * .) 式子n a 叫做________，其中n 叫做________，a 叫做________.当a ≥0时，n a ≥____. 4.指数函数的定义：形如x y a =（0a >且1a ≠）的函数叫做________，其中x 是自变量。 5．指数函数x y a =在底数1a >及01a <<这两种情况下的图象和性质： 图 象 性 ⑴ 定义域为：_____________；值域为：_____________. ⑵ 图像过点_________， 即x=0时，y=________________.
一.幂 函 数 一、幂函数定义：形如 )(R x y ∈=αα 的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数。 注意：幂函数与指数函数有何不同？ 【思考·提示】 本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置． 观察图： 归纳：幂函数图像在第一象限的分布情况如下： 二、幂函数的性质
归纳：幂函数在第一象限的性质： 0>α，图像过定点（0,0）（1,1），在区间（+∞,0）上单调递增。 0<α，图像过定点（1,1），在区间（+∞,0）上单调递减。 探究：整数m,n 的奇偶与幂函数n m x y =),,,(互质且n m Z n m ∈的定义域以及奇偶性有什么关系？ 结果：形如n m x y =),,,(互质且n m Z n m ∈的幂函数的奇偶性 （1）当m ，n 都为奇数时，f （x ）为奇函数，图象关于原点对称； （2）当m 为奇数n 为偶数时，f （x ）为偶函数，图象关于y 轴对称； （3）当m 为偶数n 为奇数时，f （x ）是非奇非偶函数，图象只在第一象限内. 三、幂函数的图像画法： 关键先画第一象限，然后根据奇偶性和定义域画其它象限。 指数大于1,在第一象限为抛物线型（凹）； 指数等于1,在第一象限为上升的射线； 指数大于0小于1,在第一象限为抛物线型（凸）； 指数等于0,在第一象限为水平的射线； 指数小于0,在第一象限为双曲线型； 四、规律方法总结： 1、幂函数 )1,0(==αα x y 的图像： 2、幂函数 ),,,,(互质q p Z q p p q x y ∈= =αα的图像：
3、比较幂形式的两个数的大小，一般的思路是： （1）若能化为同指数，则用幂函数的单调性； （2）若能化为同底数，则用指数函数的单调性； （3）若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需寻找一个恰当的数作为桥梁来比较大小． 二．指数与指数幂的运算 1．根式的概念：一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *． 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n 。 当n 是奇数时，a a n n =，当n 是偶数时， ???<≥-==) 0()0(||a a a a a a n n 2．分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定： )1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m )1,,,0(1 1 *>∈>= = -n N n m a a a a n m n m n m 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质 （1）r a 〃s r r a a += ),,0(R s r a ∈>； （2）rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>； （3）s r r a a ab =)( ),,0(R s r a ∈>． （二）指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫
（完整版）高中各种函数图像画法与函数性质 一次函数 （一）函数 1、确定函数定义域的方法： （1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数； （2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零； （3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零； （4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零； （5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。 二次函数
二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称 2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---； ()2 y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2 y a x h k =--- 2. 关于y 轴对称 2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+； ()2
y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2 y a x h k =++； 3. 关于原点对称 2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2 y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2 y a x h k =-+- 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2 y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是2 2 2b y ax bx c a =--+-； ()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2 y a x h k =--+． 5. 关于点()m n ， 对称 ()2 y a x h k =-+关于点()m n ， 对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+- 反比例函数 1、反比例函数图象：反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线 反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴Y轴但
、一次函数与二次函数 一)一次函数 1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式： f(x) ax 2 bx c(a 0) ②顶点式： f (x) a(x h)2 k(a 0) ③两根式： f (x) a(x x 1)(x x 2 )(a 0) (2)求二次函数解析式的方法 ①已知三个点坐标时，宜用一般式． ②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时，常使用顶点式． ③若已知抛物线与 x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求 f (x) 更方便． (3)二次函数图象的性质
①. 二次函数f (x) ax2 bx c(a 0) 的图象是一条抛物线，对称轴方程为 x b , 顶点坐标 2a 是( b , 4ac b2 ) 2a 4a ②当a 0 时，抛物线开口向 上，函数在( b ] 上递减，在 [ b , 2a 2a ) 上递增， 当 时，f min (x) 4ac b2；当a 4a 0 时，抛物线开口向 下， 函数在 ( 2a ]上递增，在[ 2a 2a 上递减，当x b 4ac b2 b时，f max (x) 4ac b 2a 4a 、幂函数 1)幂函数的定义 般地，函数y x 叫做幂函数，其 中x 为自变 量， 是常数． 2)幂函数的图象 过定点：所有的幂函数在(0, ) 都有定义，并且图象都通过点(1,1)．
三、指数函数 （1）根式的概念：如果x n a,a R,x R,n 1，且n N ，那么x 叫做a的n 次方根． （2）分数指数幂的概念 m ①正数的正分数指数幂等于0． 的意义 是：a n n a m(a 0,m,n N ,且n 1）．0 的正分数指 数幂 ②正数的负分数指数幂 的意义 是： mm 1 a n ( )n n (1) (a 0,m,n N ,且n 1）．0 的负 a a 分数指数幂没有意义．（3）运算性质 ① a r a s a r s(a 0, r,s R) ②（r s rs a ) a (a 0,r, s R) ③ (ab)r a r b r (a 0,b 0,r R) 4)指数函数
考点16 二次函数与幂函数 【命题解读】 二次函数为基本考察对象，以绝对值或分段函数的呈现方式，与不等式相结合，考查函数的基本性质，如奇偶性、单调性与最值、函数与方程（零点）、不等式的解法等，考查数学式子变形的能力、运算求解能力、等价转化思想和数形结合思想.其中函数与方程考查频率较高.涉及函数性质的考查； 【基础知识回顾】 1.幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数. (2)常见的五种幂函数的图象 (3)幂函数的性质 ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义； ②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减. 2.二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0). 顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n). 零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点. (2)二次函数的图象和性质
[常用结论与微点提醒] 1.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关. 2.若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当 ⎩⎪ ⎨ ⎪⎧a>0， Δ<0时恒有f(x)>0；当⎩⎪ ⎨ ⎪⎧a<0， Δ<0时，恒有f(x)<0. 3.(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限； (2)幂函数的图象过定点(1，1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点. 1、幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，则幂函数y＝f(x)的大致图象是() 【答案】C 【解析】(1)设幂函数的解析式为y＝xα， 因为幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)， 所以2＝4α，解得α＝ 1 2. 所以y＝x，其定义域为[0，＋∞)，且是增函数，当0 幂函数图像及性质总结 幂函数图像及性质总结：对任意实数，有|其中，是一个整系数多项式；分别表示 x 的函数，它们是奇函数。那么，这些系数和就称作二次函数的解析式。因此，上述公式也可写成如下形式：，故得到常见的二次函数解析式（这里假设两边取常量）。对于任何的正整数 n，二次函数都有一种特殊的、唯一确定的表达式，称为该正整数的函数表达式。在大部分情况下，所谓的“初等函数”即指这类特殊的函数。当然，并非所有的函数都具备这样的性质。 其中，表示第 k 个正整数的 n 次方，表示与它相乘后的积。由幂的定义知道：令，则：可得出，它又可以看作是积的三角函数，且：根据定义，当时，有当时，同理。又因为幂函数的底数只能是整数或正整数，故实际上，只要是整数，我们都能找到某个幂函数的一种对应关系，使之转化为的一种表达式。从而也证明了积与有一种特殊的联系。 令，则函数变为，积变为，我们将积的对应系数称作被乘积的幂函数。对于正整数 m，存在 k 个自然数，使得：此外，若能够给出幂函数解析式中的整数部分，就可以把整数表达式中的一般式移项，最终得到幂函数解析式。换句话说，如果已知整数的幂函数解析式，我们通过计算就可以求出整数的值。这样做会比较繁琐，但事实上，利用这种思想还是很容易得出整数解的。另外，运用幂函数也可以计算与实数的乘积。一个重要的原因是它很简单。 不妨以下面的三角函数为例，说明幂函数解析式与指数函数解析 式之间的联系。因为，，所以它也必须满足；令，得到。进而得到；再者，，所以。即它是。由前面的几点，我们可以归纳出指数函数与幂函数的对应规律。幂函数有许多性质：在许多场合都会遇到某个函数，但求出它的对应系数却十分困难，需借助一些常见的解析式来判断；还有，很多复杂函数的解析式也往往含有它的对应系数；更甚至，当你尝试去求某个指数函数的对应系数时，发现竟无法列举出可靠的对应系数。幂函数与指数函数的互逆定理则为这些问题提供了完美的答案：已知：对任意实数，，且对于任意的实数，均有。当 n≥3时，在区间[ a， b]上可导，并且连续。 高中数学函数的必考性质高中数学函数的必考性质 一次函数 一、定义与定义式 自变量x和因变量y有如下关系：y=kx+b 则此时称y是x的一次函数。 特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。即：y=kx （k为常数，k≠0） 二、一次函数的性质 1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k 即：y=kx+b （k为任意不为零的实数 b取任何实数） 2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。 三、一次函数的图像及性质 1．作法与图形：通过如下3个步骤 （1）列表； （2）描点； （3）连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。 因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。（通常找函数图像与x轴和y轴的交点） 2．性质： （1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b。 （2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像总是过原点。 3．k，b与函数图像所在象限： 当k＞0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大； 当k＜0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。 当b＞0时，直线必通过一、二象限； 当b=0时，直线通过原点 当b＜0时，直线必通过三、四象限。 特别地，当b=0时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。 这时，当k＞0时，直线只通过一、三象限；当k＜0时，直线只通过二、四象限。 四、确定一次函数的表达式 已知点A（x1，y1）；B（x2，y2），请确定过点A、B的一次函数的表达式。 （1）设一次函数的表达式（也叫解析式）为y=kx+b。 （2）因为在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程：y1=kx1+b 和y2=kx2+b （3）解这个二元一次方程，得到k，b的值。 （4）最后得到一次函数的表达式。 五、一次函数在生活中的应用 1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。 2.当水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。 六、常用公式：（不全面，可以在书上找） 1.求函数图像的k值：（y1-y2)/(x1-x2) 2.求与x轴平行线段的中点：|x1-x2|/2 3.求与y轴平行线段的中点：|y1-y2|/2 4.求任意线段的长：√(x1-x2)2+(y1-y2)2 （注：根号下（x1-x2)与（y1-y2)的平方和） 二次函数 （十一）二次函数 一．二次函数解析式 （1）一般式：).0()(2≠++=a c bx ax x f （2）顶点式：若二次函数的顶点坐标为),,(k h 则其解析式).0()()(2≠+-=a k h x a x f （3）交点式：若二次函数的图象与x 轴的交点为),0,(),0,(21x x 则),)(()(21x x x x a x f --= .0≠a 二．二次函数的对称轴 （1）对于二次函数)(x f y =的定义域内有21,x x 满足),()(21x f x f =则二次函数的对称轴为.2 21x x x += （2）对于一般函数)(x f y =对定义域内所有,x 都有)()(x a f x a f -=+成立，那么函数 )(x f y =图像的对称轴方程为：a x =. 三．二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 在],[n m 上的最值 （1）0>a ① 最小值讨论三种情况 1.)(2min m f y m a b =≤-，；2.)2(2min a b f y n a b m -=<-<，；3.)(2min n f y n a b =≥-，. ② 最大值讨论两种情况 1.)(,22max n f y n m a b =+≤-；2.)(2 2max m f y n m a b =+>-，. （2）0-，. 四．三个二次的关系 一元二次方程的根=一元二次函数的零点=一元二次不等式解集的端点. 五．一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的实根分布 （1）数的角度：① 两实根异号等价于 0>-≥∆a c a b ；③ 有两个负根等价于.0,0,0><-≥∆a c a b （2）形的角度：画出满足要求的图像，用“内有无，内无有”（开口内有端点则不需要考虑对称轴和，∆开口内无端点则需要考虑对称轴和.∆）。遇到等号的情况，可以解出字母的值，单独检验. 常见类型：给定一元二次方程)0(02>=++a c bx ax ，设).0()(2 >++=a c bx ax x f 1. 若)0(02>=++a c bx ax 在),(n m 内有两个不同的实数解⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>><-<>∆⇔0 )(0)(20n f m f n a b m ； 2. 若)0(02>=++a c bx ax 在两个异根都大于r ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>- >∆⇔0 )(20r f r a b ； 高中阶段常见函数性质汇总 函 数 名 称：常数函数 解析式 形 式：f (x )=b (b ∈R) 图象及其性质：函数f (x )的图象是平行于x 轴或与x 轴重合（垂直于 y 轴）的直线 定 义 域：R 值 域：{b} 单 调 性：没有单调性 奇 偶 性：均为偶函数[当b =0时，函数既是奇函数又是偶函数] 反 函 数：无反函数 周 期 性：无周期性 函 数 名 称：一次函数 解析式 形 式：f (x )=kx +b (k ≠0,b ∈R) 图象及其性质： 定 义 域：R 值 域：R 单 调 性：当k>0时，函数f (x )为R 上的增函数； 当k<0时，函数f (x )为R 上的减函数； 奇 偶 性：当b =0时，函数f (x )为奇函数；当b ≠0时，函数f (x )没有奇偶性； 反 函 数：有反函数。[特殊地，当k =-1或b =0且k =1时，函数f (x )的反函数为原函 数f (x )本身] 周 期 性：无 函 数 名 称：反比例函数 解析式 形 式：f (x )= x k (k ≠0) x y b O f (x )=b 图象及其性质： 定 义 域：),0()0,(+∞-∞ 值 域：),0()0,(+∞-∞ 单 调 性：当k>0时，函数f (x )为)0,(-∞和),0(+∞上的减函数； 当k<0时，函数f (x )为)0,(-∞和),0(+∞上的增函数； 奇 偶 性：奇函数 反 函 数：原函数本身 周 期 性：无 函 数 名 称：二次函数 解析式 形 式：一般式：)0()(2 ≠++=a c bx ax x f 顶点式：)0()()(2 ≠+-=a h k x a x f 两根式：)0)()(()(21≠--=a x x x x a x f 图象及其性质 ()()20f x ax bx c a =++≠ 0a > 0a < 图像 2b x a =- 2b x a =- 募函数知识点总结5篇 在平时的学习中，大家都没少背知识点吧？知识点就是掌握某个问题/知识的学习要点。想要一份整理好的知识点吗？差异网的我精心为您带来了5篇《幕函数知识点总结》，如果能帮助到亲，我们的一切努力都是值得的。 高一数学幕函数知识点总结篇一 1、函数的单调性(局部性质) (1)增函数 设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1.,x2,当X1. 如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1.,x2,当XIf(X2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数。区间D称为y=f(x)的单调减区间。 注意：函数的单调性是函数的局部性质； (2)图象的特点 如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的。 (3)函数单调区间与单调性的判定方法 (A)定义法： a.任取x1.,×2D,且x1. b.作差f(x1.)-f(×2); C,变形(通常是因式分解和配方)； d,定号(即判断差f(X1.)∙f(x2)的正负)； e.下结论(指出函数f(X)在给定的区间D上的单调性)。 (B)图象法(从图象上看升降) (C)复合函数的单调性 复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减’ 注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间，不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集。 8、函数的奇偶性(整体性质) (1)偶函数 一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个X,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数。 (2)奇函数 一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个X,都有f(∙x)=f(x),那么f(x)就叫做奇函数。 (3)具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称。 利用定义判断函数奇偶性的步骤： 初中高中数学七大函数的性质图像 1.一次函数(包括正比例函数) 最简单最常见的函数，在平面直角坐标系上的图象为直线。 定义域（下面没有说明的话，都是在无特殊要求情况下的定义域）：R 值域：R 奇偶性：无 周期性：无 平面直角坐标系解析式(下简称解析式): ①ax+by+c=0[一般式] ②y=kx+b[斜截式] （k为直线斜率，b为直线纵截距，正比例函数b=0） ③y-y1=k(x-x1)[点斜式] （k为直线斜率,(x1,y1)为该直线所过的一个点） ④（y-y1）/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)[两点式] （（x1,y1）与（x2,y2）为直线上的两点） ⑤x/a-y/b=0[截距式] （a、b分别为直线在x、y轴上的截距） 解析式表达局限性： ①所需条件较多（3个）； ②、③不能表达没有斜率的直线（平行于x轴的直线）； ④参数较多，计算过于烦琐； ⑤不能表达平行于坐标轴的直线和过圆点的直线。 倾斜角：x轴到直线的角（直线与x轴正方向所成的角）称为直线的倾斜角。设一直线的倾斜角为a，则该直线的斜率k=tg(a)。 2.二次函数： 题目中常见的函数，在平面直角坐标系上的图象是一条对称轴与y轴平行的抛物线。 定义域：R 值域：（对应解析式，且只讨论a大于0的情况，a小于0的情况请读者自行推断）①[(4ac-b^2)/4a，正无穷）；②[t，正无穷） 奇偶性：偶函数 周期性：无 解析式： ①y=ax^2+bx+c[一般式] ⑴a≠0 ⑵a＞0，则抛物线开口朝上；a＜0，则抛物线开口朝下； ⑶极值点：（-b/2a，(4ac-b^2)/4a）； ⑷Δ=b^2-4ac, Δ＞0，图象与x轴交于两点： （[-b+√Δ]/2a，0）和（[-b+√Δ]/2a，0）； 幂函数的图像与性质 一、根式与有理数指数幂 1、根式 （1 （2 ① ② 2 （1 ③0 （2 ① ② ③ 二、幂函数 1、幂函数的定形如()a y x a R =∈的函数称为幂函数，其中x 是自变量，a 为常数 已知函数()() 2 53 1m f x m m x --=--，当 m 为何值 时，()f x ： （1）是幂函数； （2）是正比例函数； （3）是反比例函数； （4）是二次函数； 练习：已知函数2 21 ()(2)m m f x m m x +-=+，m 为何 值时，()f x 是 （1）正比例函数 （2）反比例函数 （3）二次函数 （4）幂函数 三、幂函数的图像 幂函数a y x =的图象由于a 的值不同而不同． 1、幂函数a y x =的图象（部分图像） 2、单调性：（只研究第一象限的单调性） 当0a >时，图象过原点和()1,1，在第一象限的图象上升，故函数在第一象限单调递增； 当0a <时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，故函数在第一象限单调递减； 3、幂函数的奇偶性 （1）当a 是整数 如果a 是偶数，则幂函数的为偶函数 如果a 是奇数，则幂函数的为奇函数 （2）当a 是分数 (,,,a q q y x a p q N p p *== ∈为最简分式）的图象 备注：当a 是分数时，幂函数的奇偶性没有统一性，由具体情况才能判断。 4、幂的大小与函数图像的关系 总结： 在直线1x =右侧，图像越靠近x 轴，幂越小； 练习、右图为幂函数 y x α =在第一象限的 图像，则,,,a b c d 的大小关系是（ ） ()A a b c d >>> ()B b a d c >>> ()C a b d c >>> ()D a d c b >>> 题型分析： 一、求定义域 1、函数2 3- =x y 的定义域为 . 2、函数y ＝（x 2－2x ）2 1－的定义域 3、求函数25 y x =的定义域 练习：1、若a 2 1＜a 2 1－ ，则a 的取值范围是（ ） A ．a ≥1 B ．a ＞0 C ．1＞a ＞0 D ．1≥a ≥0 2、若2 1 )1(－＋a ＜2 1) 23(－－a ，求则a 的取值范围 二、单调性 1、函数y ＝5 2x 的单调递减区间为（ ） A ．（－∞，1） B ．（－∞，0） C ．［0，＋∞］ D ．（－∞，＋∞） 下列函数在(),0-∞上为减函数的是（ ） A ．13 y x = B ．2y x = C ．3y x = D ．2y x -= 三、判断下列函数的奇偶性 1、已知幂函数2 3-=x y ，那么函数为 A ．奇函数 B ．偶函数 C ．非奇非偶函数 D ．减函数 2、已知幂函数25 y x = ，那么函数为 A ．奇函数 B ．偶函数 C ．非奇非偶函数 D ．减函数 3、已知幂函数f(x)=x 3 22 --m m （m ∈Z ）为偶函数，且 在区间（0，+∞）上是单调减函数. （1）求函数f(x); （2）讨论F （x ）=a ） （）（x xf b x f -的奇偶性 x O y a y x =b y x = c y x = 幂依次减小 高中数学幂函数知识点 高中数学幂函数学问1 1.函数的单调性(局部性质) (1)增函数 设函数y=f(x)的定义域为I，假如对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1 假如对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间. 留意：函数的单调性是函数的局部性质; (2)图象的特点 假如函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的. (3)函数单调区间与单调性的判定〔方法〕 (A)定义法： a.任取x1，x2∈D，且x1 b.作差f(x1)-f(x2); c.变形(通常是因式分解和配方); d.定号(即推断差f(x1)-f(x2)的正负); e.下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性). (B)图象法(从图象上看升降) (C)复合函数的单调性 复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性亲密相关，其规律：“同增异减” 留意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集. 8.函数的奇偶性(整体性质) (1)偶函数 一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数. (2)奇函数 一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数. (3)具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称. 利用定义推断函数奇偶性的步骤： a.首先确定函数的定义域，并推断其是否关于原点对称; b.确定f(-x)与f(x)的关系; c.作出相应结论：若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0，则f(x)是偶函数;若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0，则f(x)是奇函数. 留意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再依据定义判定;(2)由f(-x)±f(x)=0或 常见函数性质汇总及简单评议对称变换 常数函数 f (x )=b (b ∈R) 1）、y=a 和 x=a 的图像和走势 2）、图象及其性质：函数f (x )的图象是平行于x 轴或与x 轴重合（垂直于y 轴）的直线 一次函数 f (x )=kx +b (k ≠0,b ∈R) 1)、两种常用的一次函数形式:斜截式—— 点斜式—— 2）、对斜截式而言，k 、b 的正负在直角坐标系中对应的图像走势： 3）、|k|越大，图象越陡；|k|越小，图象越平缓 4）、定 义 域：R 值域：R 单调性：当k>0时 ；当k<0时 奇 偶 性：当b =0时，函数f (x )为奇函数；当b ≠0时，函数f (x )没有奇偶性； 反 函 数：有反函数（特殊情况下：K=±1并且b=0的时候）。 补充：反函数定义： 例题：定义在r 上的函数y=f （x ）; y=g （x ）都有反函数，且f （x-1）和g -1 (x)函数的图像关于y=x 对称，若g （5）=2016，求）= 周 期 性：无 5）、一次函数与其它函数之间的练习 1、常用解题方法： x y b O f (x )=b x y O f (x )=kx +b R 2）点关于直线（点）对称，求点的坐标 反比例函数f(x)= x k (k≠0，k值不相等永不相交；k越大，离坐标轴越远) 图象及其性质：永不相交，渐趋平行；当k>0时，函数f(x)的图象分别在第一、第三 象限；当k<0时，函数f(x)的图象分别在第二、第四象限； 双曲线型曲线，x轴与y轴分别是曲线的两条渐近线； 既是中心对成图形也是轴对称图形 定义域：) ,0( )0, (+∞ -∞ 值域：) ,0( )0, (+∞ -∞ 单调性：当k> 0时；当k< 0时周期性：无 奇偶性：奇函数 反函数：原函数本身 补充：1、反比例函数的性质 2、与曲线函数的联合运用（常考查有无交点、交点围城图行的面积）——入手点常有两个——⑴直接带入，利用二次函数判别式计算未知数的取值；⑵利用斜率，数形结合判断未知数取值（计算面积基本方法也基于此） 3、反函数变形（如右图） 1）、y=1/（x-2）和y=1/x-2的图像移动比较 2）、y=1/(-x)和y=-（1/x）图像移动比较 3）、f(x)= d cx b ax + + (c≠0且 d≠0)（补充一下分离常数） （对比标准反比例函数，总结各项内容） 二次函数 一般式：)0 ( ) (2≠ + + =a c bx ax x f 顶点式：)0 ( ) ( ) (2≠ + - =a h k x a x f 两根式：)0 )( )( ( ) ( 2 1 ≠ - - =a x x x x a x f 图象及其性质：①图形为抛物线，对称轴为，顶点坐标为 ②当0 > a时，开口向上，有最低点当0 < a时。。。。。 ③当 = >0时，函数图象与x轴有两个交点 （）；当<0时，函数图象与x轴有一个交点（）；当=0时，函数图象与x轴没有交点。 ④)0 ( ) (2≠ + + =a c bx ax x f关系)0 ( ) (2≠ =a ax x f 定义域：R值域：当0 > a时，值域为（）；当0 < a时，值域为（） 单调性：当0 > a时；当0 < a时. 奇偶性：b=/≠0 反函数：定义域范围内无反函数，在单调区间内有反函数 周期性：无 补充： 1、a的正/负；大/小与和函数图象的大致走向（所以，a决定二次函数的） 2、 x y O f(x)= d cx b ax + + x y O f(x)=c bx ax+ + 2 二次函数与幂函数 1．幂函数 (1)定义：形如y ＝x α (α∈R )的函数称为幂函数，其中底数x 是自变量，α为常数．常见的五类幂函数为y ＝x ，y ＝x 2 ，y ＝x 3 ，y ＝x 1 2，y ＝x －1 . (2)图象 (3)性质 ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义； ②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减． 2．二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式：f (x )＝ax 2 ＋bx ＋c (a ≠0)． ②顶点式：f (x )＝a (x －m )2 ＋n (a ≠0)． ③零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． (2)二次函数的图象和性质 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝2x 1 2是幂函数．( ) (2)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．( ) (3)当n <0时，幂函数y ＝x n 是定义域上的减函数．( ) (4)二次函数y ＝ax 2 ＋bx ＋c ，x ∈[a ，b ]的最值一定是4ac －b 2 4a .( ) (5)二次函数y ＝ax 2 ＋bx ＋c ，x ∈R 不可能是偶函数．( ) (6)在y ＝ax 2 ＋bx ＋c (a ≠0)中，a 决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)√ (教材习题改编)如图是①y ＝x a ；②y ＝x b ；③y ＝x c 在第一象限的图象，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c
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