最大熵模型中的数学推导

最大熵模型中的数学推导

https://www.doczj.com/doc/c413736476.html,/article/v_JULY_v/100349.html0 引言写完SVM之后，一直想继续写机器学习的系列，无奈一直时间不稳定且对各个模型算法的理解尚不够，所以导致迟迟未动笔。无独有偶，重写KMP得益于今年4月个人组织的算法班，而动笔继续写这个机器学习系列，正得益于今年10月组织的机器学习班。10月26日机器学习班第6次课，身为讲师之一的邹博讲最大熵模型，他从熵的概念，讲到为何要最大熵、最大熵的推导，以及求解参数的IIS方法，整个过程讲得非常流畅，特别是其中的数学推导。晚上我把他的PPT 在微博上公开分享了出来，但对于没有上过课的朋友直接看PPT 会感到非常跳跃，因此我打算针对机器学习班的某些次课写一系列博客，刚好也算继续博客中未完的机器学习系列。综上，本文结合邹博最大熵模型的PPT和其它相关资料写就，可以看成是课程笔记或学习心得，着重推导。有何建议或意见，欢迎随时于本文评论下指出，thanks。

1 何谓熵？从名字上来看，熵给人一种很玄乎，不知道是啥的感觉。其实，熵的定义很简单，即用来表示随机变量的不确定性。之所以给人玄乎的感觉，大概是因为为何要取

这样的名字，以及怎么用。熵的概念最早起源于物理学，用于度量一个热力学系统的无序程度。在信息论里面，熵是对不确定性的测量。1.1 熵的引入事实上，熵的英文原文为entropy，最初由德国物理学家鲁道夫·克劳修斯提出，其表达式为：它表示一个系系统在不受外部干扰时，其内部最稳定的状态。后来一中国学者翻译entropy时，考虑到entropy是能量Q跟温度T的商，且跟火有关，便把entropy 形象的翻译成“熵”。我们知道，任何粒子的常态都是随机运动，也就是"无序运动"，如果让粒子呈现"有序化"，必须耗费能量。所以，温度（热能）可以被看作"有序化"的一种度量，而"熵"可以看作是"无序化"的度量。如果没有外部能量输入，封闭系统趋向越来越混乱（熵越来越大）。比如，如果房间无人打扫，不可能越来越干净（有序化），只可能越来越乱（无序化）。而要让一个系统变得更有序，必须有外部能量的输入。1948年，香农Claude E. Shannon 引入信息（熵），将其定义为离散随机事件的出现概率。一个系统越是有序，信息熵就越低；反之，一个系统越是混乱，信息熵就越高。所以说，信息熵可以被认为是系统有序化程度的一个度量。

若无特别指出，下文中所有提到的熵均为信息熵。

1.2 熵的定义下面分别给出熵、联合熵、条件熵、相对熵、互信息的定义。熵：如果一个随机变量X的可能取

值为X = {x1, x2,…, xk}，其概率分布为P(X = xi) = pi（i = 1,2, ..., n），则随机变量X的熵定义为：把最前面的负号放到最后，便成了：上面两个熵的公式，无论用哪个都行，而且两者等价，一个意思（这两个公式在下文中都会用到）。

联合熵：两个随机变量X，Y的联合分布，可以形成联合熵Joint Entropy，用H(X,Y)表示。

条件熵：在随机变量X发生的前提下，随机变量Y发生所新带来的熵定义为Y的条件熵，用H(Y|X)表示，用来衡量在已知随机变量X的条件下随机变量Y的不确定性。且有此式子成立：H(Y|X) = H(X,Y) – H(X)，整个式子表示(X,Y)发生所包含的熵减去X单独发生包含的熵。至于怎么得来的请看推导：简单解释下上面的推导过程。整个式子共6行，其中第二行推到第三行的依据是边缘分布p(x)等于联合分布p(x,y)的和；第三行推到第四行的依据是把公因子logp(x)乘进去，然后把x,y写在一起；第四行推到第五行的依据是：因为两个sigma都有p(x,y)，故提取公因子p(x,y)放到外边，然后把里边的-（log p(x,y) - log p(x)）写成- log (p(x,y)/p(x) ) ；第五行推到第六行的依据是：条件概率的定义p(x,y) = p(x) * p(y|x)，故p(x,y) / p(x) = p(y|x)。相对熵：又称互熵，交叉熵，鉴别信息，Kullback熵，Kullback-Leible散度等。设p(x)、q(x)是X中取值的两个概

率分布，则p对q的相对熵是：

在一定程度上，相对熵可以度量两个随机变量的“距离”，且有D(p||q) ≠D(q||p)。另外，值得一提的是，D(p||q)是必然大于等于0的。

互信息：两个随机变量X，Y的互信息定义为X，Y的

联合分布和各自独立分布乘积的相对熵，用I(X,Y)表示：

且有I(X,Y)=D(P(X,Y) || P(X)P(Y))。下面，咱们来计算下

H(Y)-I(X,Y)的结果，如下：通过上面的计算过程，我们发现竟然有H(Y)-I(X,Y) = H(Y|X)。故通过条件熵的定义，有：H(Y|X) = H(X,Y) - H(X)，而根据互信息定义展开得到H(Y|X) = H(Y) - I(X,Y)，把前者跟后者结合起来，便有I(X,Y)= H(X) + H(Y) - H(X,Y)，此结论被多数文献作为互信息的定义。

2 最大熵熵是随机变量不确定性的度量，不确定性越大，熵值越大；若随机变量退化成定值，熵为0。如果没有外界干扰，随机变量总是趋向于无序，在经过足够时间的稳定演化，它应该能够达到的最大程度的熵。为了准确的估计随机变量的状态，我们一般习惯性最大化熵，其原则是承认已知事物（知识），且对未知事物不做任何假设，没有任

何偏见。2.1 无偏原则下面举个大多数有关最大熵模型的文章中都喜欢举的一个例子。一篇文章中出现了“学习”这个词，那这个词是主语、谓语、还是宾语呢？换言之，已知“学习”可能是动词，也可能是名词，故“学习”可以被标为主

语、谓语、宾语、定语等等。令x1表示“学习”被标为名词，x2表示“学习”被标为动词。令y1表示“学习”被标为主语，y2表示被标为谓语，y3表示宾语，y4表示定语。且这些概率值加起来的和必为1，即，，则根据无偏原则，认为这个分布中取各个值的概率是相等的，故得到：因为没有任何的先验知识，所以这种判断是合理的。如果有了一定的先验知识呢？

即进一步，若已知：“学习”被标为定语的可能性很小，只有0.05，即，剩下的依然根据无偏原则，可得：再进一步，当“学习”被标作名词x1的时候，它被标作谓语y2的概率为0.95，即，此时仍然需要坚持无偏见原则，使得概率分布尽量平均。但怎么样才能得到尽量无偏见的分布？

实践经验和理论计算都告诉我们，在完全无约束状态下，均匀分布等价于熵最大（有约束的情况下，不一定是概率相等的均匀分布。比如，给定均值和方差，熵最大的分布就变成了正态分布）。于是，问题便转化为了：计算X和Y 的分布，使得H(Y|X)达到最大值，并且满足下述条件：因此，也就引出了最大熵模型的本质，它要解决的问题就是已知X，计算Y的概率，且尽可能让Y的概率最大（实践中，X可能是某单词的上下文信息，Y是该单词翻译成me，I，us、we的各自概率），从而根据已有信息，尽可能最准确的推测未知信息，这就是最大熵模型所要解决的问题。转

换成公式，便是要最大化下述式子H(Y|X)：已知X，计算Y的最大可能的概率，且满足以下4个约束条件：2.2 最大熵模型的表示至此，我们可以写出最大熵模型的一般表达式了，如下：其中，P={p | p是X上满足条件的概率分布} 继续阐述之前，先定义下特征、样本和特征函数。特征：(x,y)

y：这个特征中需要确定的信息x：这个特征中的上下文信息样本：关于某个特征(x,y)的样本，特征所描述的语法现象在标准集合里的分布：(xi,yi)对，其中，yi是y的一个实例，xi 是yi的上下文。

对于一个特征(x0,y0)，定义特征函数：特征函数关于经验分布在样本中的期望值是：其中，。特征函数关于模型P(Y|X)与经验分布P-(X)的期望值为：换言之，如果能够获取训练数据中的信息，那么上述这两个期望值相等，即：

现回到最大熵模型的表达式上来。注意到p(x,y) = p(x) * p(y|x)，但因为p(x)不好求，所以一般用样本中x出现的概率"p(x)-"代替x在总体中的分布概率“p(x)”，从而得到最大熵模型的完整表述如下：其约束条件为：该问题已知若干条件，要求若干变量的值使到目标函数（熵）最大，其数学本质是最优化问题（Optimization Problem），其约束条件是线性的等式，而目标函数是非线性的，所以该问题属

于非线性规划（线性约束）(non-linear programming with linear constraints)问题，故可通过引入Lagrange函数将原约束最优化问题转换为无约束的最优化的对偶问题。2.3 凸优化中的对偶问题考虑到机器学习里，不少问题都在围绕着一个“最优化”打转，而最优化中凸优化最为常见，所以为了过渡自然，这里简单阐述下凸优化中的对偶问题。

一般优化问题可以表示为下述式子：其中，subject to 导出的是约束条件，f(x)表示不等式约束，h(x)表示等式约束。然后可通过引入拉格朗日乘子λ和v，建立拉格朗日函数，如下：对固定的x，Lagrange函数L(x,λ,v)为关于λ和v的仿射函数。2.4 对偶问题的极大化针对原问题，首先引入拉格朗日乘子λ0,λ1,λ2, ..., λi，定义拉格朗日函数，转换为对偶问题求其极大化：然后求偏导,：注：上面这里是对P(y|x)求偏导，即只把P(y|x)当做未知数，其他都是常数。因此，求偏导时，只有跟P(y0|x0)相等的那个"(x0,y0)"才会起作用，其他的(x,y)都不是关于P(y0|x0)的系数，是常数项，而常数项一律被“偏导掉”了。令上述的偏导结果等于0，解得：进一步转换：其中，Z(x)称为规范化因子。由于= 1，所以有从而有现将求得的最优解P*(y|x)带回之前建立的拉格朗日函数L

得到关于λ的式子：再回过头来看这个式子：可知，最大熵模型模型属于对数线性模型，因为其包含指数函

数，所以几乎不可能有解析解。换言之，即便有了解析解，仍然需要数值解。那么，能不能找到另一种逼近？构造函数f(λ)，求其最大/最小值？相当于问题转换成了寻找与样

本的分布最接近的概率分布模型，如何寻找呢？你可能想到了极大似然估计。2.5 最大熵模型的极大似然估计极大似然估计MLE的一般形式表示为：其中，是对模型进

行估计的概率分布，是实验结果得到的概率分布。进一步转换，可得：对上式两边取对数可得：因上述式子最后结果的第二项是常数项（因为第二项是关于样本的联合概率和样本自变量的式子，都是定值），所以最终结

果为：至此，我们发现极大似然估计和条件熵的定义式具有极大的相似性，故可以大胆猜测它们极有可能殊途同归，使得它们建立的目标函数也是相同的。我们来推导下，验

证下这个猜测。将之前得到的最大熵的解带入MLE，计算得到：注：上述式子的最后一步推导中，根据P(x,y) = P(x) * P(y|x)，和之前得到的结论= 1 推出。然后拿这个通过极大似然估计得到的结果跟之前得到的对偶问题的

极大化解对比下，发现二者的右端果然具有完全相同的目标函数。换言之，之前最大熵模型的对偶问题的极大化等价于最大熵模型的极大似然估计。且根据MLE的正确性，

可以断定：最大熵的解（无偏的对待不确定性）同时是最符合样本数据分布的解，进一步证明了最大熵模型的合理性。

两相对比，熵是表示不确定性的度量，似然表示的是与知识的吻合程度，进一步，最大熵模型是对不确定度的无偏分配，最大似然估计则是对知识的无偏理解。

3 参数求解法：IIS 回顾下之前最大熵模型的解：其中对数似然函数为：相当于现在的问题转换成：通过极大似然函数求解最大熵模型的参数，即求上述对数似然函数参数λ 的极大值。此时，通常通过迭代算法求解，比如改进的迭代尺度法IIS、梯度下降法、牛顿法或拟牛顿法。

这里主要介绍下其中的改进的迭代尺度法IIS。改进的

迭代尺度法IIS的核心思想是：假设最大熵模型当前的参数

向量是λ，希望找到一个新的参数向量λ+δ，使得当前模型

的对数似然函数值L增加。重复这一过程，直至找到对数似然函数的最大值。下面，咱们来计算下参数λ 变到λ+δ的过程中，对数似然函数的增加量，用L(λ+δ)-L(λ)表示，同时利用不等式：-lnx ≥1-x , x>0，可得到对数似然函数增

加量的下界，如下：将上述求得的下界结果记为A(δ | λ)，为了进一步降低这个下界，即缩小A(δ | λ)的值，引入一个变量：其中，f 是一个二值函数，故f#(x, y)表示的是所有特征(x, y)出现的次数，同时然后利用Jason不等式，可得：我们把上述式子求得的A(δ | λ)的下界记为B(δ | λ)：相当于B(δ | λ)是对数似然函数增加量的一个新的下界，可记作：L(λ+δ)-L(λ) >= B(δ | λ)。接下来，对B(δ | λ)求偏导，

得：此时得到的偏导结果只含δ，除δ之外不再含其它变量，令其为0，可得：从而求得δ，问题得解。值得一提的是，在求解δ的过程中，如果若f#(x,y)=M为常数，则否则，用牛顿法解决：求得了δ，便相当于求得权值λ，最终将λ 回代到下式中：即得到最大熵模型的最优估计。

4 参考文献热力学熵

https://www.doczj.com/doc/c413736476.html,/zh-mo/%E7%86%B5，信息熵：https://www.doczj.com/doc/c413736476.html,/wiki/%E7%86%B5_(%E4%BF%A1 %E6%81%AF%E8%AE%BA)，百度百科：

https://www.doczj.com/doc/c413736476.html,/view/401605.htm；熵的社会学意义：https://www.doczj.com/doc/c413736476.html,/blog/2013/04/entropy.html；北京10月机器学习班之邹博的最大熵模型PPT：

https://www.doczj.com/doc/c413736476.html,/s/1qWLSehI；北京10月机器学习班之邹博的凸优化PPT：https://www.doczj.com/doc/c413736476.html,/s/1sjHMj2d；《统计学习方法李航著》；

2014-10-27 16:28 星期一

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最大熵算法笔记

最大熵算法笔记 最大熵，就是要保留全部的不确定性，将风险降到最小，从信息论的角度讲，就是保留了最大的不确定性。 最大熵原理指出，当我们需要对一个随机事件的概率分布进行预测时，我们的预测应当满足全部已知的条件，而对未知的情况不要做任何主观假设。在这种情况下，概率分布最均匀，预测的风险最小。因为这时概率分布的信息熵最大，所以人们称这种模型叫"最大熵模型"。 匈牙利著名数学家、信息论最高奖香农奖得主希萨（Csiszar）证明，对任何一组不自相矛盾的信息，这个最大熵模型不仅存在，而且是唯一的。而且它们都有同一个非常简单的形式-- 指数函数。 我们已经知道所有的最大熵模型都是指数函数的形式，现在只需要确定指数函数的参数就可以了，这个过程称为模型的训练。 最原始的最大熵模型的训练方法是一种称为通用迭代算法GIS (generalized iterative scaling) 的迭代算法。GIS 的原理并不复杂，大致可以概括为以下几个步骤： 1. 假定第零次迭代的初始模型为等概率的均匀分布。 2. 用第N 次迭代的模型来估算每种信息特征在训练数据中的分布，如果超过了实际的，就把相应的模型参数变小；否则，将它们便大。 3. 重复步骤2 直到收敛。 GIS 最早是由Darroch 和Ratcliff 在七十年代提出的。但是，这两人没有能对这种算法的物理含义进行很好地解释。后来是由数学家希萨（Csiszar) 解释清楚的，因此，人们在谈到这个算法时，总是同时引用Darroch 和Ratcliff 以及希萨的两篇论文。GIS 算法每

次迭代的时间都很长，需要迭代很多次才能收敛，而且不太稳定，即使在64 位计算机上都会出现溢出。因此，在实际应用中很少有人真正使用GIS。大家只是通过它来了解最大熵模型的算法。 八十年代，很有天才的孪生兄弟的达拉皮垂(Della Pietra) 在IBM 对GIS 算法进行了两方面的改进，提出了改进迭代算法IIS （improved iterative scaling）。这使得最大熵模型的训练时间缩短了一到两个数量级。这样最大熵模型才有可能变得实用。即使如此，在当时也只有IBM 有条件是用最大熵模型。 由于最大熵模型在数学上十分完美，对科学家们有很大的诱惑力，因此不少研究者试图把自己的问题用一个类似最大熵的近似模型去套。谁知这一近似，最大熵模型就变得不完美了，结果可想而知，比打补丁的凑合的方法也好不了多少。于是，不少热心人又放弃了这种方法。第一个在实际信息处理应用中验证了最大熵模型的优势的，是宾夕法尼亚大学马库斯的另一个高徒原IBM 现微软的研究员拉纳帕提(Adwait Ratnaparkhi)。拉纳帕提的聪明之处在于他没有对最大熵模型进行近似，而是找到了几个最适合用最大熵模型、而计算量相对不太大的自然语言处理问题，比如词性标注和句法分析。拉纳帕提成功地将上下文信息、词性（名词、动词和形容词等）、句子成分（主谓宾）通过最大熵模型结合起来，做出了当时世界上最好的词性标识系统和句法分析器。拉纳帕提的论文发表后让人们耳目一新。拉纳帕提的词性标注系统，至今仍然是使用单一方法最好的系统。科学家们从拉纳帕提的成就中，又看到了用最大熵模型解决复杂的文字信息处理的希望。

数学模型第三版课后习题答案.doc

《数学模型》作业解答 第七章（ 2008 年 12 月 4 日） 1．对于节蛛网模型讨论下列问题： （ 1）因为一个时段上市的商品不能立即售完，其数量也会影响到下一时段的价格，所以第 k 1时段的价格y k 1由第k 1 和第 k 时段的数量x k 1和x k决定，如果仍设x k 1仍只取

决于 y k ，给出稳定平衡的条件，并与节的结果进行比较 . （ 2）若除了 y k 1 由 x k 1 和 x k 决定之外， x k 1 也由前两个时段的价格 析稳定平衡的条件是否还会放宽 . 解：（ 1）由题设条件可得需求函数、供应函数分别为： y k 1 f x k 1 x k ) ( 2 x k 1 h( y k ) 在 P 0 (x 0 , y 0 ) 点附近用直线来近似曲线 f , h ，得到 y k 1 y 0 ( x k 1 x k x 0 ), 2 x k 1 x 0 ( y k y 0 ) , 由（ 2）得 x k 2 x 0 ( y k 1 y 0 ) （ 1）代入（ 3）得 x k 2 x 0 ( x k 1x k x 0 ) 2 2x k 2 x k 1 x k 2x 0 2 x 0 对应齐次方程的特征方程为 2 2 ( ) 2 8 特征根为 1, 2 4 y k 和 y k 1 确定 . 试分 (1) ( 2) (3) 当 8 时，则有特征根在单位圆外，设 8 ，则

1,2 ( ) 2 ( ) 2 8 42 2 4 1,2 1 2 即平衡稳定的条件为 2与 P 207 的结果一致 . （ 2）此时需求函数、供应函数在 P 0 (x 0 , y 0 ) 处附近的直线近似表达式分别为： y k 1 y 0 ( x k 1 x k x 0 ), ( 4) 2 x k 1 x 0 ( y k y k 1 y 0 ) , ( 5) 2 由（ 5）得， (x x 0 ) β(y y y k 1 y 0 ) ( 6 ) 2 k 3 k 2 将（ 4）代入（ 6），得 2( x k 3 x 0 ) ( x k 2 x k 1 x 0 ) ( x k 1 x k x 0 ) 2 2 4 x k 3x k 2 2 x k 1 x k 4 x 0 4 x 0 对应齐次方程的特征方程为 4 3 2 2 0 (7) 代数方程（ 7 ）无正实根，且 αβ , , 2 4 不是（ 7）的根 . 设（ 7）的三个非零根分 别为 1, 2, 3，则 1 2 3 4 1 2 2 3 3 1 2 1 2 3 4 对（ 7）作变换： , 则 12 3 q 0, p 其中 p 1 (2 2 2 ), q 1(833 2 2 ) 4 12 4 123 6

33道西方经济学证明题

33道西方经济学证明题 1，（有图，暂缺） 2，证明线性需求函数Q=f（p）上的任意两点的需求弹性不等 3，应用数学方法证明蛛网模型的三种情况 4，论证消费者均衡条件为：MU1/P1=MU2/P2 5，如果预算线给定，一条无差异曲线U（Qx，Qy）与其相切，试证明切点E的坐标为最优商品组合，切点E为消费者均衡点。 6，证明：MRS12=MU1/MU2 7，证明：无差异曲线凸向原点 8，证明Q=A（a）K（b）。（A，a，b为参数）具有规模报酬的三种性质。注：这里的（a），（b）是A ，K的a，b次方的意思，我不知道怎么打`~~ 9，证明MPL与APL相交于APL的最大值点处。注：L为两者的下标。 10，证明：等产量曲线凸向原点。 11，证明：ARTS（LK）=MP（L）/MP（K）。注：括号中为下标。下面不再做解释。 12，证明厂商在既定产量条件下的成本最小化的条件是：MP（L）/MP（K）=w/r 13，证明AVC和MC曲线为AP（L）和MP（L）的一种镜像。 14，证明垄断厂商的MR曲线总是小于AR曲线，且斜率是2倍的关系，既MR 曲线平分由纵轴到需求曲线d的任何水平线。 15，证明边际收益与需求价格弹性的关系为：MR=P（1-1/e）（e 弹性）16，证明收益，价格与需求价格弹性的关系为：dR/dP=Q（1-e） 17，三级价格歧视要求在需求的价格弹性大的市场降低价格以使厂商获得最大的利润。 18，垄断竞争厂商长期均衡时，LAC必定与d曲线相切的切点：同时也与MR与LMC的交点处在同一条垂线上，即Q相同。 19，证明在生产技术相同的n寡头垄断企业组成的古诺模型中，行业供给量等于市场容量的n/（n+1） 20，证明完全竞争厂商使用要素的原则是：VMP=w 21，如果生产函数Q=Q（L，K）为一次齐次函数，则Q=L*δQ/δL+K*δQ/δK 注：*为乘号，δ ，为微分符号。 22，证明交换的一般均衡条件：MRS(A)xy=MRS(B)xy 23，证明三部门经济中转移支付乘数为：β/（1—β） 24，证明，固定税制条件下平衡预算乘数为1 25，证明与三部门经济相比，四部门经济相应的乘数更小。 26，证明财政政策乘数dy/dg=1/[1—β（1—t）+dk/h] 27，证明货币政策乘数dy/dm=1/[1—β（1—t）*（h/d）+k] 28，证明宏观经济学中的总需求函数Y=f（P）（Y：总需求，P：价格水平）的斜率为负数。 29，证明哈罗德模型的基本方程：△Y/Y=s/v 30，证明新古典增长模型的基本方程为：△k=sy—（n+δ）k 31，证明，当δ=0时，新古典增长模型可以表示为△k=sy—nk 32，证明，黄金分割律的表达式为f`（k*）=n 33，证明，G（Y）=G（A）+αG（L）+βG（K）括号中为下标。

蛛网模型

承诺书 我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题. 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出. 我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性.如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理. 我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）. 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员(打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)： （论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名.以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改.如填写错误，论文可能被取消评奖资格.） 日期：年月日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：

市场经济的分析 摘要 商品价格与产量的波动是市场经济的常态,认识我国商品价格与产量的波动规律,为宏观调控提供理论依据,是经济学研究的主要课题之一. 本文利用市场供求关系的需求函数和供应函数的图形,建立蛛网模型,并借助差分方程将模型结果用公式表示,再对结果进行分析.最后可将该模型进行适当推广,以实现对市场经济的调控作用.同时提出了相应的政策建议. 关键字：市场经济市场供求关系蛛网模型政策建议

第3题-蛛网模型——数学建模

六、问题三模型的建立与求解 7.1问题分析 由题可知,该问题是多目标优化问题,满足居民人体的营养均衡、平衡进出口贸易、土地面积等条件下，满足购买成本尽量低、使种植者获益尽量大这两个目标。 7.2弹性理论及蛛网模型 弹性描述的是两个变量之间的关系, 即因变量对自变量变化的敏感程度。在经济学中,弹性表示某一经济变量变动1%时,所导致的另一个经济变量变化的百分比： 弹性系数=因变量的变化比例/自变量的变化比例 1.需求弹性价格：价格每变动1%引起的需求量变化的百分比。通常用需求量变化的百分率除以价格变动的百分率表示。它们之间的比值称为弹性系数，记为Ep，即： 2..供给价格弹性:价格每变动1%引起供给量变化的百分比。 一般地，Es>0，斜率为正。 3.蛛网模型理论（Cobweb Model Theorom） 蛛网模型是对弹性理论的运用,用来考察某种商品(主要用于农产品)价格波动对下一周期产量的影响。蛛网理论有一系列假定条件:市场是完全竞争市场,任何消费者和厂商都不能单独影响商品的产量和价格;当期商品价格不受当期产量的影响,当期产量由前期价格决定。根据某种商品供给弹性和需求弹性之间的关系,蛛网理论分为收敛性蛛网、发散型蛛网和封闭型蛛网三种类型。 (l)收敛型蛛网 需求弹性绝对值大于供给弹性的绝对值,当市场受到干扰偏离均衡状态时,价格和产量围绕均衡水平波动,但是波动越来越小,最后恢复均衡,称为收敛型蛛 网。图中S曲线为供给曲线,D曲线为需求曲线,E点为均衡点,P 0,Q 分表代表均 衡价格和均衡产量。 在第一期,假定由于受到外在因素干扰导致减产,实际产量Q I Q,生产者为 了把商品出清,价格跌到P 2,此时P 2

最大熵模型在股票投资中

最大熵模型在股票投资中的应用 在股票投资中由于各种不确定性因素的影响，投资的收益可大可小，甚至遭受损失，这种收益的不确定性及其发生的概率就是风险。一般而言，预期收益越大的股票其风险越高。投资风险也越大。为了避免或分散较大的投资风险，追求“安全，高效率，低风险”，许多学者利用熵的特性图来全面描述和度量风险。有学者考虑到嫡仅仅是对概率分布的形状做出描述，与其位置无关；而投资风险取决于人们对收益的感知，所以许多学者在研究这个问题时，把对证券收益率做为一种权数加到对嫡度量投资风险模型中，比如效用风险嫡模型，考虑了随机事件客观状态的不确定性和结果价值两方面的因素；期望效用一嫡决策模型，把风险行动的风险度量与决策者的偏好结合起来，但这个模型只是按这种风险度量方法把行动方案排序，最后还是利用马科维茨的模型给出最优解；还有把收益最大和嫡量度的风险最小做为两个目标的多目标决策模型；还有利用嫡的最大嫡原理改变组合投资的目标函数建立的模型。根据单一指数模型的假设，把影响收益率波动的因素分为微观因素和宏观因素，并假设受宏观因素和微观因素的影响的误差项和市场收益率两者互不相关。我们可以利用这一假设把证券收益的不确定性拆分，把证券收益的不确定性分为微观因素的影响的误差项不确定性以及受宏观因素影响的市场收益率的不确定性来分析，从而可以计算整个行动方案的风险。首先，我们考虑如何在上述思想下计算投资一支证券的行动风险。在单一指数模型中，假设误差项与市场收益率是无关的，由于ε月和r分别受宏观因素和微观

因素的影响，两者互不相关，无论市场收益率发生多大变化，都不会对气产生影响。所以它们的嫡值又是可加的。那么我们就把对一支证券投资这个风险行动分解为两个相互独立的风险行动，则原来的风险行动的嫡值应为相应的各个行动的嫡值的加权和。 其次，我们考虑如何度量整个证券组合的行动风险。由市场收益率爪变动引起的各资产的收益率变动是相关的，所以在整个证券投资组合中，它们的嫡值是不能直接相加的。单一指数模型认为p 值可以反映了个别资产价格相对于市场总体水平波动的程度。同时也有研究结果表明，资产的期望收益和市场p 之间的线性关系是显著的，那么可以考虑用p 值作为一种对市场收益率的嫡的权数引入到对投资资产 A 的风险计算中去，来反映单个资产收益率的不确定性受市场总体收益率不确定性影响的程度。这样，用p 值乘以市场收益率的嫡可以反映单个资产收益率受宏观因素影响的程度，而对于整个投资组合来说，对同一个市场收益率的嫡值也就不存在直接相加而相关的问题了。 这样，我们就可以从影响收益率波动的因素分为微观因素和宏观因素对风险进行一个全面的综合度量，同时可以得出了合理地对整个证券投资组合的风险度量方法。下面基于上述思考的过程，给出具体的证券投资风险的嫡度量的数学定义。 考察对某一支股票投资方案X 在未来环境状态下的收益情况，设其收益为R，根据单一指数模型的假设，设市场收益率为r误差项

蛛网模型的数学推导.docx

假定供和需求函数都是性的，蛛网模型可由以下差分方程表示： （ 1） Q dt =c-dP t（2） Q s t=Q dt（3） （1）式表示，第 t 年供量取决于第 t-1 年的成交价格，（2）表示需求量取决于当年市价格，（3）式表示市必是出清的，因此每年供量均等于需 求量。 a、b、c、d 常数（参数），且都正数。 将（ 1）式和（ 2）式代入（ 3）式可得： c-dP t =-a+bP t-1（4） 从（ 4）式中解出 P t： -b a+c P t =（d） P t-1 + d（ 5） 在（ 5）式中假定 t=1 可得第 1 年价格： -b a+c P1=（d） P0+ d（6） 以此推： -b a+c P2=（d） P1+ d（7） 将（ 6）式代入（ 7）式中： 2-b -b a+c a+c P =（d） 2P+（d）d + d 重复一程，可得到以初始价格P0 来表示的第 3 年、第 4 年、??第 n 年的价格： -b n-b k a+c P n=（d） P0 +[ ∑（d） ] d -b n a+c-b n =（d）P0+b+d [1-（d）]（8） 又因达到均衡点后，价格不再化，假定第t 年达到均衡， P t =P t+1 =?? =P E（9） 将（ 9）式代入（ 5）式可得均衡价格 P E： E a+c P = b+d（10） 将（ 10）式代入（ 8）式并整理： P n=（-b ）n P0 +P E[1- （ -b ）n] d d Q st =-a+bP t-1

-b =（P0-P E）（d）n+P E（11） 从（ 11）式可得出下列结论： -b （ⅰ）如果 | d |<1 ，则： limP n=P E，即 P n趋近于 P E，市场价格将无限趋近 -b 均衡价格，蛛网周期是收敛的。而| d |<1 ，说明d1 ，则： limP n=∞，市场价格将振荡至无穷大，蛛网周期 是发散的。此时， d

熵模型

熵模型 1、数据。。。 计算第i 个教练第j 种指标下的权值 12 1 ,(1,230;1,26) ij ij ij i x p i j x == ==∑ 计算第j 种指标的熵值（公式） 6 1 1 ln(),0,,0ln(12)j ij ij j i e k p p k k e ==->= ≥∑其中 表2.2各种指标的熵值 第j 种指标的系数。 差别越大或是离散度越大,其在评价指标中占的影响位置越重要,其熵值也较小。定义差异系 数: 66 1 1 1,,01,1 j j e j j j j j e e g E e g g m E ==-= =≤≤=-∑∑式中 表2.3各种指标的差异系数:: 最大熵模型的优缺点 优点： （1）建模时，试验者只需集中精力选择特征，而不需要花费精力考虑如何使用这些特征。 （2）特征选择灵活，且不需要额外的独立假定或者内在约束。 （3）模型应用在不同领域时的可移植性强。 （4）可结合更丰富的信息。 缺点： （1）时空开销大 （2）数据稀疏问题严重 （3）对语料库的依赖性较强 层次分析法的优缺点 优点 1. 系统性的分析方法 层次分析法把研究对象作为一个系统，按照分解、比较判断、综合的思维方式进行决策，成为继机理分析、统计分析之后发展起来的系统分析的重要工具。系统的思想在于不割断各个因素对结果的影响，而层次分析法中每一层的权重设置最后都会直接或间接影响到结果，而且在每个层次中的每个因素对结果的影响程度都是量化的，非常清晰、明确。这种方法尤其可用于对无结构特性的系统评价以及多目标、多准则、多时期等的系统评价。 1234561.3816 1.3696 0.8472 1.3523 1.373 1.373 1g 2g 3g 4g 5g 6g 0.1498 0.1512 0.2444 0.1531 0.1508 0.1508

基于最大熵模型的中文词与句情感分析研究pdf

基于最大熵模型的中文词与句情感分析研究* 董喜双，关毅，李本阳，陈志杰，李生 哈尔滨工业大学，哈尔滨，150001 dongxishuang@https://www.doczj.com/doc/c413736476.html,, guanyi@https://www.doczj.com/doc/c413736476.html,, libenyang012566@https://www.doczj.com/doc/c413736476.html,, ruoyu_928@https://www.doczj.com/doc/c413736476.html,, lisheng@https://www.doczj.com/doc/c413736476.html, 摘要：本文将研究焦点对准喜、怒、哀、惧四类情感分析问题，重点解决中文词、句的情感分析问题。将词的情感分析处理为候选词情感分类问题。首先通过词性过滤获得候选词，进而根据特征模板获取候选词情感特征，然后应用最大熵模型判断候选词情感类别，最后应用中性词典、倾向性词典、复句词表、否定词表过滤候选情感词分类错误得到情感词集合。句的情感分析首先根据情感词典和倾向词典提取词特征，并采用规则提取词序列特征，然后采用最大熵模型对句子进行情感分类。在COAE2009评测中词与句情感分析取得较好结果。 关键词：情感分析；情感极性；最大熵；分类； Sentiment Analysis on Chinese Words and Sentences Based on Maximum Entropy Model Dong Xi-Shuang, Guan Yi, Li Ben-Yang, Chen Zhi-Jie, Li Sheng Harbin Institute of Technology, Harbin 150001 dongxishuang@https://www.doczj.com/doc/c413736476.html,, guanyi@https://www.doczj.com/doc/c413736476.html,, libenyang012566@https://www.doczj.com/doc/c413736476.html,, ruoyu_928@https://www.doczj.com/doc/c413736476.html,, lisheng@https://www.doczj.com/doc/c413736476.html, Abstract: This paper presents a method to analyze sentiments on Chinese words and sentences, where the sentiments include happy, angry, sad, and fear. In the case of words, sentiment analysis was processed as the sentiment classification of candidate words. The candidate words were firstly obtained by POS filtering, then Maximum Entropy (ME) model was adopted to judge sentiment categories of the words, which sentiment features were gained with feature templates. Finally, errors in the word classification would be removed through filtering with a neutral lexicon, a sentiment polarity lexicon, a connective word list of complex sentences, and a negative word list. In the case of sentences, word features in sentences were extracted on the basic of the sentiment lexicon and the sentiment polarity lexicon, and word sequence features were extracted by rules while processing sentiment analysis on sentences, then ME model was used to classify the sentences. Good performance of sentiment analysis was gained in COAE 2009. Keywords: Sentiment Analysis, Sentiment Polarity, Maximum Entropy, Classification 1 引言 情感分析的主要任务为识别文本对某一事物的观点[1]。情感包含两方面信息：情感极性与情感强度。情感极性指情感要素（词、短语、句子以及篇章）表达的情感倾向。情感强度指情感要素表达情感的强弱程度。情感分析包含四方面研究内容：词级情感分析、短语级情感分析、句级情感分析以及篇章级情感分析。词级情感分析包括识别候选情感词、判断候选情感词情感极性与强度以及构建情感字典[2]。短语级情感分析为根据情感词识别 *董喜双，1981年出生，男，黑龙江省哈尔滨市，博士研究生。本项研究受到国家自然科学基金项目支持，项目批准号：60975077，60736044

MATLAB蛛网模型

实验编号：002 数学实验报告 计算机科学学院级班实验名称：差分方程实验姓名：学号：指导老师：韩鸿宇实验成绩： 实验二差分方程实验 一．实验目的及要求 1)直观了解差分方程基本内容； 2)掌握用数学软件求解差分方程问题。 二．实验内容 蛛网模型：在自由贸易的集市上有这样的现象：一个时期由于猪肉的上市量大于需求，销售不畅导致价格下降，农民觉得养猪赔钱，于是转而经营其他农副产业，过段时间后猪肉上市量大减，供不应求导致价格上涨。原来的饲养户看到有利可图，又重操旧业，这样下一个时期会重现供大于求、价格下降的局面。在没有外界干预的情况下，这种现象将如此循环下去，试解释。 三．实验主要流程、基本操作或核心代码、算法片段 模型的建立及求解： 在k 段时间内，价格与猪的数量有关，即： 该函数是一个减函数。 假设： ； 在k+1 段时间内，猪的数量是与第k 段时间猪肉的价格相关的。 即： 该函数是一个增函数。 假设： ； 由此我们可以得知： 由此可知： 年月日

这是一个等比数列形式。 我们可以得到它的通项： 最终化简得到迭代格式： 假设前两年的猪肉的产量和猪肉的价格分别为：39吨，28吨，12元/公斤，17元/公斤 实验代码 function [x0,y0]=fun(c1,r1,c2,r2,c3,k) %c1为产量1, c2为产量2, c3为产量3, r1为%肉价1, r2为肉价2, k 为K 年后产量与肉价%是否稳定 a1=[c1 1;c2 1];b1=[r1,r2]';a2=[r1 1;r2 1]; b2=[c2,c3]';a=a1\b1;b=a2\b2;x0(1)=39; for n=1:30 y0(n)=a(1)*x0(n)+a(2); x0(n+1)=b(1)*y0(n)+b(2); x(n)=x0(n); y(n)=x0(n+1); end plot(x,y0,'-g',y,y0,'-b') hold on for n=1:k for j=1:30 t1=x0(n)+(j-1)*(x0(n+1)-x0(n))/30; t2=x0(n)+j*(x0(n+1)-x0(n))/30; if t2

数学建模答案

数学建模 1：[填空题] 名词解释: 1．原型2．模型3．数学模型4．机理分析5．测试分析6．理想方法7．计算机模拟8．蛛网模型9．群体决策10．直觉11．灵感12．想象力13．洞察力14．类比法15．思维模型16．符号模型17．直观模型18．物理模型 参考答案： 1．原型：原型指人们在现实世界里关心、研究或者从事生产、管理的实际对象。2．模型：指为某个特定目的将原形的某一部分信息简缩、提炼而构造的原型替代物。3．数学模型：是由数字、字母或其它数字符号组成的，描述现实对象数量规律的数学公式、图形或算法。4．机理分析：根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律，建立的模型常有明显的物理意义或现实意义。5．测试分析：将研究对象看作一个"黑箱”系统，通过对系统输入、输出数据的测量和统计分析，按照一定的准则找出与数据拟合得最好的模型。6．理想方法：是从观察和经验中通过想象和逻辑思维，把对象简化、纯化，使其升华到理状态，以其更本质地揭示对象的固有规律。7．计算机模拟：根据实际系统或过程的特性，按照一定的数学规律用计算机程序语言模拟实际运行情况，并依据大量模拟结构对系统或过程进行定量分析。8．蛛网模型：用需求曲线和供应曲线分析市场经济稳定性的图示法在经济学中称为蛛网模型。9．群体决策：根据若干人对某些对象的决策结果，综合出这个群体的决策结果的过程称为群体决策。10．直觉：直觉是人们对新事物本质的极敏锐的领悟、理解或推断。11．灵感：灵感是指在人有意识或下意识思考过程中迸发出来的猜测、思路或判断。12．想象力：指人们在原有知识基础上，将新感知的形象与记忆中的形象相互比较、重新组合、加工、处理，创造出新形象，是一种形象思维活动。13．洞察力：指人们在充分占有资料的基础上，经过初步分析能迅速抓住主要矛盾，舍弃次要因素，简化问题的层次，对可以用那些方法解决面临的问题，以及不同方法的优劣作出判断。14．类比法：类比法注意到研究对象与以熟悉的另一对象具有某些共性，比较二者相似之处以获得对研究对象的新认识。15．思维模型：指人们对原形的反复认识，将获取的知识以经验的形式直接储存于人脑中，从而可以根据思维或直觉作出相应的决策。16．符号模型：是在一定约束条件或假设下借助于专门的符号、线条等，按一定形式组合起来描述原型。17．直观模型：指那些供展览用的实物模型以及玩具、照片等，通常是把原型的尺寸按比例缩小或放大，主要追求外观上的逼真。18．物理模型：主要指科技工作者为一定的目的根据相似原理构造的模型，它不仅可以显示原型的外形或某些特征，而且可以用来进行模拟实验，间接地研究原型的某些规律。 1：[判断题]模型只要求反映与某种目的有关的那些方面和层次。 参考答案：正确 2：[判断题]一个原型只能建立一个模型。 参考答案：错误 3：[判断题]用建模法解决实际问题，首先是用数学语言表述问题，其次才用数学工具求解构成的模型。 参考答案：正确 4：[判断题]衡量一个数学模型的优劣在于它采用了什么样的数学方法。 参考答案：错误

第02章第五节蛛网模型的数学推导

第02章第五节蛛网模型的数学推导 假定供给和需求函数都是线性的，蛛网模型可由以下差分方程组表示： Q st=-a+bP t-1（1） Q dt=c-dP t（2） Q s t=Q dt（3） （1）式表示，第t年供给量取决于第t-1年的成交价格，（2）表示需求量取决于当年市场价格，（3）式表示市场必须是出清的，因此每年供给量均等于需求量。a、b、c、d为常数（参数），且都为正数。 将（1）式和（2）式代入（3）式可得： c-dP t=-a+bP t-1（4） 从（4）式中解出P t： P t=（-b d ）P t-1+ a+c d （5） 在（5）式中假定t=1可得第1年价格为： P1=（-b d ）P0+ a+c d （6）

以此类推： P 2=（ -b d ）P 1+a+c d （7） 将（6）式代入（7）式中： P 2=（-b d ）2P 0+（-b d ）a+c d +a+c d 重复这一过程，可得到以初始价格P0来表示的第3年、第4年、……第n 年的价格： P n =（ -b d ）n P 0+[∑（-b d ）k ]a+c d =（-b d ）n P 0+a+c b+d [1-（-b d ）n ] （8） 又因为达到均衡点后，价格不再变化，假定第t 年达到均衡，则 P t =P t+1=……=P E （9） 将（9）式代入（5）式可得均衡价格P E ： P E =a+c b+d （10） 将（10）式代入（8）式并整理：

P n =（-b d ）n P 0+P E [1-（-b d ）n ] =（P 0-P E ）（-b d ）n+P E （11） 从（11）式可得出下列结论： （ⅰ）如果|-b d |<1，则：limP n =P E ，即P n 趋近于P E ，市场价格将无限趋近均衡价格，蛛网周期是收敛的。而|-b d |<1，说明d1，则：limP n =∞，市场价格将振荡至无穷大，蛛网周期是发散的。此时，d

《数学模型与数学软件》

2011课程教学模式改革(第2小组) 《数学模型与数学软件》课程教学模式改革试点方案负责人：胡金杰 二○一一年九月

数学模型与数学软件 课程教学模式改革试点方案 一、方案总体目标 把原来的按一般理论：实验为1:2课时的教学模式，改变为“典型案例套装教学”的教学模式，即先计划好每章节的典型案例，以案例为主题，一个案例配好适量的理论环节、实践环节、和结果审核与评测环节，使得本课程教学与大学生数学建模竞赛培训有较好的衔接。 二、试点具体方案 试点对象为信息与计算101班学生，共45人。 试点实践为2011年第一学期。 试点理论教学在综合楼C207楼，每单周周一上午3、4节； 试点实践教学在综合楼A603机房，每周四上午1、2节。 理论学时1*17，实践学时2*17。 试点方案主要为： 1. 软硬件配备。 2. 选择合适的案例。 3. 制定规则，进行分组，并安排好交叉评阅的组。 4. 细化整个教、学流程。 5. 规范小论文要求和交叉评阅要求。 6. 细化考核方式和分值。

7. 适当安排讲评。 试点方案具体措施情况： 1. 软硬件配备。 完成时间：2011年8月28日前。 在开学前，综合楼A603机房重新添置设备，共八十台新的计算机，并安装MATLAB7.4(MATLAB2007a)和正版lingo12数学软件。具备学生查找资料、模型求解、图形展示、撰写小论文的条件。 另，机房配备多台打印机，每小组的小论文需要打印、修改、讨论、讲评，预计要耗纸8000~10000张，硒鼓2-3个。 2. 选择合适的案例。 完成时间：2011年8月2日(已完成)。 选择案例的主要依据有： 1）知识点； 2）代表性； 3）教材章节安排情况； 4）实用价值； 5）实践操作的难易度等。个别案例，如海上缉私是经典案例，而教材中没有，这里要引入。 6）机动案例要看整个教学执行情况，备用两个高级优化算法来介绍，不计理论考核范围。 根据教学大纲、教材内容安排和实际情况，选择下列案例为主要案例。

西方经济学实验报告蛛网模型

西方经济学 实 验 报 告 姓名：甘耀宗 班级：2017级5班 专业：劳动与社会保障 学号： 实验一：市场结构与价格竞争 ――――蛛网模型的仿真实验 一、实验目的要求 在仿真环境下，运用西方经济学关于市场机制的理论，对微观经济主体的决策行为进行系统分析和仿真实验，从而深入领会和掌握市场机制，提高分析和研究市场经济问题的能力。 二、课程类型 综合型 三、实验内容 （一）蛛网模型的定义

蛛网模型的基本假定是：商品的本期产量Qts决定于前一期的价格Pt-1，即供给函数为Qts=f(Pt-1），商品本期的需求量Qtd决定于本期的价格Pt，即需求函数为Qtd=f(Pt）。 根据以上的假设条件，蛛网模型可以用以下三个联立的方程式来表示： Qtd=α-β·Pt Qts=-δ+γ·Pt-1 Qtd=Qts 其中，α、β、δ和γ均为常数且均大于零。 （二）蛛网模型的数学推导 Qtd=α-β·Pt Qts=-δ+γ·Pt-1 Qtd=Qts 三个方程联立得 Pt=(α+δ)/β-(γ/β)Pt-1 Pt-1迭代后得 Pt=(α+δ)/β∑(-γ/β)^i+(-γ/β)^t·P0 即 Pt=[1-(-γ/β)^t](α+δ)/(β+γ)+(-γ/β)^t·P0?(*) （三）蛛网模型的类别 1.收敛型蛛网模型 2.发散型蛛网模型 3.封闭型蛛网模型

三.实验过程 （一）仿真模拟收敛型蛛网模型 收敛型蛛网：当市场由于受到干扰偏离原有的均衡状态以后，实际价格和实际产量会围绕均衡水平上下波动，但波动的幅度越来越小，最后会回复到原来的均衡点。 特征：相对于价格轴，供给曲线斜率的绝对值小于需求曲线斜率的绝对值。 供给弹性<需求弹性，或，供给曲线斜率绝对值>需求曲线斜率绝对值，此时即(*)中(-γ/β)^t一项趋于0，Pt趋于(α+δ)/(β+γ)。因为需求弹性大，表明价格变化相对较小，进而由价格引起的供给变化则更小，再进而由供给引起的价格变化则更小 相对于价格轴（注意：这里是把Y轴作为参考轴系讨论的，下文所说的“斜率‘”陡峭“都是以价格轴为参考轴而言的，与我们正常数学上以X轴为参考轴不同），需求曲线斜率的绝对值大于供给曲线斜率的绝对值。当市场由于受到干扰偏离原有的均衡状态以后，实际价格和实际产量会围绕均衡水平上下波动，但波动的幅度越来越小，最后会回复到原来的均衡点。 假定，在第一期由于某种外在原因的干扰，如恶劣的气候条件，实际产量 部的产量Q1，于是，实际价格上升为P1。根据第一期的较高的价格水平P1，按照供给曲线，生产者将第二期的产量增加为Q2

第五节最大熵模型

第五节最大熵模型 最大熵模型（Entropy Model）也是随机概率模型之一。典型的最大熵模型有Wilson模型和佐佐木(Sasaki)模型，以下分别讲述。 1．Wilson模型 Wilson模型是由A.G.Wilson提出的方法，它以英国为中心，在区域科学方面的应用例较多，其模型如下式所示。 (4-5-1) 式中，T：对象地区的生成交通量。即，OD交通量的组合数由求E的最大得到。 例：发生小区Ｏ，吸引区AB，出行生成量为4。能够发生的OD交通量状态如下。 OD交通量状态情况1 情况2 情况3 情况4情况5 组合数E： ,,,, 发生概率：1/16, 4/16, 6/16, 4/16, 1/16 16为可能发生的组合数。 从上述情况看,组合数为6的组合发生的概率最大,因此可以视为最容易发生。 Wilson模型的约束条件为： （4-5-2）

（4-5-3） (4-5-4) 式中，的交通费用；总交通费用。 最大熵模型一般用以下对数拉格朗日方法求解。 (4-5-5) 式中，，，为拉格朗日系数。 应用Stirling公式近似，得， (4-5-6) 代入（4-5-5）式，并对求导数，得， 令，得， (4-5-7)

∵ ∴(4-5-8) 同样，(4-5-9) 这里，令，则（4-5-7）为： (4-5-10）可以看出，式(4-5-10）为重力模型。 Wilson模型的特点： (1)能表现出行者的微观行动； (2)总交通费用是出行行为选择的结果，对其进行约束脱离现实； (3)各微观状态的概率相等，即各目的地的选择概率相等的假设没有考虑距离和行驶时间等因素。 计算步骤： 第1步给出 第2步给出，求出 第3步用求出的，求出 第4步如果，非收敛，则返第2步；反之执行第5步。 第5步将，，代入式（4-5-7)求出，这时，如果总用条件（ 4-5-4）满足，则结束计算，反之，更新值返回第1步。

第02章第五节 蛛网模型的数学推导

第02章第五节 蛛网模型的数学推导 假定供给和需求函数都是线性的，蛛网模型可由以下差分方程组表示： Q st =-a+bP t-1 （1） Q dt =c-dP t （2） Q s t=Q dt （3） （1）式表示，第t 年供给量取决于第t-1年的成交价格，（2）表示需求量取决于当年市场价格，（3）式表示市场必须是出清的，因此每年供给量均等于需求量。a 、b 、c 、d 为常数（参数），且都为正数。 将（1）式和（2）式代入（3）式可得： c-dP t =-a+bP t-1 （4） 从（4）式中解出P t ： P t =（-b d ）P t-1+a+c d （5） 在（5）式中假定t=1可得第1年价格为： P 1=（-b d ）P 0+a+c d （6） 以此类推： P 2=（-b d ）P 1+a+c d （7） 将（6）式代入（7）式中： P 2=（-b d ）2P 0+（-b d ）a+c d +a+c d 重复这一过程，可得到以初始价格P0来表示的第3年、第4年、……第n 年的价格： P n =（-b d ）n P 0+[∑（-b d ）k ]a+c d =（-b d ）n P 0+a+c b+d [1-（-b d ）n ] （8） 又因为达到均衡点后，价格不再变化，假定第t 年达到均衡，则 P t =P t+1=……=P E （9） 将（9）式代入（5）式可得均衡价格P E ： P E =a+c b+d （10） 将（10）式代入（8）式并整理： P n =（-b d ）n P 0+P E [1-（-b d ）n ] =（P 0-P E ）（-b d ）n+P E （11） 从（11）式可得出下列结论： （ⅰ）如果|-b d |<1，则：limP n =P E ，即P n 趋近于P E ，市场价格将无限趋近均衡 价格，蛛网周期是收敛的。而|-b d |<1，说明d

熵优化模型研究(2005)

第45卷第1期2005年1月 大连理工大学学报 Journal of Dalian University of Technology Vol .45,No .1Jan .2005 文章编号:1000-8608(2005)01-0153-04 收稿日期:2003-12-25;　修回日期:2004-11-20. 基金项目:国家重点基础研究发展规划资助项目(G1999032805). 作者简介:李　华(1974-),女,博士;李兴斯*(1942-),男,教授,博士生导师. 证券投资组合中的熵优化模型研究 李　华1,2,　李兴斯*3 (1.大连理工大学应用数学系,辽宁大连　116024;2.鞍山科技大学经济管理学院,辽宁鞍山　114044; 3.大连理工大学工业装备结构分析国家重点实验室,辽宁大连　116024) 摘要:为了解决马科维茨(M arko witz)模型中以证券收益率的方差测度投资风险的局限性, 基于熵以及差熵的概念,在研究其均值方差模型的基础上,提出用熵和差熵来作为风险的度量方法,从而建立了几种关于熵的证券投资组合优化模型,使对证券投资组合模型的研究和应用更加合理、客观. 关键词:熵;差熵;投资组合中图分类号:F830.59 文献标识码:A 0　引　言 证券投资组合的起源要追溯到马科维茨1959年的工作[1],他运用线性规划理论分析了投资的收益问题,奠定了应用数理方法来确定最佳 资产组合投资的基本理论,使均值-方差模型成为人们进行投资组合理论研究和实际应用的基础.用方差度量风险有很多缺陷,鉴于此,目前有很多模型进行了这方面的分析[2～4] ,其中投资收益基本上都是用期望进行表示,但是风险的度量方法多种多样,这些方法在实际应用中都存在不同程度的缺陷.风险与不确定性是紧密相连的,基于熵和差熵的内涵是研究不确定性的特征,就此本文提出几种新的模型,试图从另一个角度来研究证券投资组合模型,从而尽量避免方差以及其他方法度量风险的局限性. 1　马科维茨的均值-方差模型 设一个证券投资组合具有n 种证券,其期望收益率分别为r 1,r 2,…,r n ,用随机向量表示为r =(r 1　r 2　…　r n )T .投资者面临的一个重要问题就是如何对每种证券分配一个适当的权重x i (i =1,2,…,n ),使投资者能够达到收益较高而同时风险较低的投资目标.期望值向量R i =E (r i ) 反映了各种证券的期望收益率,随机向量r 的方差协方差矩阵用C 来表示,其通常用来表示投资的风险矩阵,向量X T CX 作为投资组合的期望风险,其中X =(x 1　x 2　…　x n )T . 马科维茨证券投资组合理论认为,投资者进行投资决策时总希望在一定的风险条件下,获得尽可能大的收益,或在收益率一定的情况下,尽可能降低风险,即通过下面模型(A)或(B)来进行证券组合投资决策. 模型(A): min X T CX s.t. ∑n i =1x i r i ≥c ∑n i =1 x i =1;i =1,2,3,…,n (1) 这个问题是一个二次规划问题,通过调节下界参数c 来进行求解,能够得到最优的或者有效的投资组合,即有效边界. 模型(B): max ∑n i =1x i r i s.t.X T CX ≤b ∑n i =1 x i =1;i =1,2,3,…,n (2)