最大熵算法笔记
最大熵，就是要保留全部的不确定性，将风险降到最小，从信息论的角度讲，就是保留了最大的不确定性。
最大熵原理指出，当我们需要对一个随机事件的概率分布进行预测时，我们的预测应当满足全部已知的条件，而对未知的情况不要做任何主观假设。在这种情况下，概率分布最均匀，预测的风险最小。因为这时概率分布的信息熵最大，所以人们称这种模型叫"最大熵模型"。
匈牙利著名数学家、信息论最高奖香农奖得主希萨（Csiszar）证明，对任何一组不自相矛盾的信息，这个最大熵模型不仅存在，而且是唯一的。而且它们都有同一个非常简单的形式-- 指数函数。
我们已经知道所有的最大熵模型都是指数函数的形式，现在只需要确定指数函数的参数就可以了，这个过程称为模型的训练。
最原始的最大熵模型的训练方法是一种称为通用迭代算法GIS (generalized iterative scaling) 的迭代算法。GIS 的原理并不复杂，大致可以概括为以下几个步骤：
1. 假定第零次迭代的初始模型为等概率的均匀分布。
2. 用第N 次迭代的模型来估算每种信息特征在训练数据中的分布，如果超过了实际的，就把相应的模型参数变小；否则，将它们便大。
3. 重复步骤2 直到收敛。
GIS 最早是由Darroch 和Ratcliff 在七十年代提出的。但是，这两人没有能对这种算法的物理含义进行很好地解释。后来是由数学家希萨（Csiszar) 解释清楚的，因此，人们在谈到这个算法时，总是同时引用Darroch 和Ratcliff 以及希萨的两篇论文。GIS 算法每
次迭代的时间都很长，需要迭代很多次才能收敛，而且不太稳定，即使在64 位计算机上都会出现溢出。因此，在实际应用中很少有人真正使用GIS。大家只是通过它来了解最大熵模型的算法。
八十年代，很有天才的孪生兄弟的达拉皮垂(Della Pietra) 在IBM 对GIS 算法进行了两方面的改进，提出了改进迭代算法IIS （improved iterative scaling）。这使得最大熵模型的训练时间缩短了一到两个数量级。这样最大熵模型才有可能变得实用。即使如此，在当时也只有IBM 有条件是用最大熵模型。
由于最大熵模型在数学上十分完美，对科学家们有很大的诱惑力，因此不少研究者试图把自己的问题用一个类似最大熵的近似模型去套。谁知这一近似，最大熵模型就变得不完美了，结果可想而知，比打补丁的凑合的方法也好不了多少。于是，不少热心人又放弃了这种方法。第一个在实际信息处理应用中验证了最大熵模型的优势的，是宾夕法尼亚大学马库斯的另一个高徒原IBM 现微软的研究员拉纳帕提(Adwait Ratnaparkhi)。拉纳帕提的聪明之处在于他没有对最大熵模型进行近似，而是找到了几个最适合用最大熵模型、而计算量相对不太大的自然语言处理问题，比如词性标注和句法分析。拉纳帕提成功地将上下文信息、词性（名词、动词和形容词等）、句子成分（主谓宾）通过最大熵模型结合起来，做出了当时世界上最好的词性标识系统和句法分析器。拉纳帕提的论文发表后让人们耳目一新。拉纳帕提的词性标注系统，至今仍然是使用单一方法最好的系统。科学家们从拉纳帕提的成就中，又看到了用最大熵模型解决复杂的文字信息处理的希望。
但是，最大熵模型的计算量仍然是个拦路虎。我在学校时花了很长时间考虑如何简化最大熵模型的计算量。终于有一天，我对我的导师说，我发现一种数学变换，可以将大部分最大熵模型的训练时间在IIS 的基础上减少两个数量级。我在黑板上推导了一个多小时，他没有找出我的推导中的任何破绽，接着他又回去想了两天，然后告诉我我的算法是对的。从此，我们就建造了一些很大的最大熵模型。这些模型比修修补补的凑合的方法好不少。即使在我找到了快速训练算法以后，为了训练一个包含上下文信息，主题信息和语法信息的文法模型(language model)，我并行使用了20 台当时最快的SUN 工作站，仍然计算了三个月。由此可见最大熵模型的复杂的一面。最大熵模型快速算法的实现很复杂，到今天为止，世界上能有效实现这些算法的人也不到一百人。有兴趣实现一个最大熵模型的读者可以阅读我的论文。
最大熵模型，可以说是集简与繁于一体，形式简单，实现复杂。值得一提的是，在Google的很多产品中，比如机器翻译，都直接或间接地用到了最大熵模型。
讲到这里，读者也许会问，当年最早改进最大熵模型算法的达拉皮垂兄弟这些年难道没有做任何事吗？他们在九十年代初贾里尼克离开IBM 后，也退出了学术界，而到在金融界大显身手。他们两人和很多IBM 语音识别的同事一同到了一家当时还不大，但现在是世界上最成功对冲基金(hedge fund)公司----文艺复兴技术公司(Renaissance Technologies)。我们知道，决定股票涨落的因素可能有几十甚至上百种，而最大熵方法恰恰能找到一个同时满足成千上万种
不同条件的模型。达拉皮垂兄弟等科学家在那里，用于最大熵模型和其他一些先进的数学工具对股票预测，获得了巨大的成功。从该基金1988 年创立至今，它的净回报率高达平均每年34%。也就是说，如果1988 年你在该基金投入一块钱，今天你能得到200 块钱。这个业绩，远远超过股神巴菲特的旗舰公司伯克夏哈撒韦（Berkshire Hathaway)。同期，伯克夏哈撒韦的总回报是16 倍。
最大熵训练算法的比较
最大熵模型做为一个数学模型有一些特殊的或者通用的训练算法，比较常见的有GIS，SCGIS，IIS，LBFGS等，这里我根据自己的经验对他们做一番比较，仅供参考。
收敛速度：
既然是最优化算法，那么收敛速度是重要的性能衡量标准之一。GIS算法在这方面的表现不敢令人恭维，在大的数据模型上大家可能只能用最大迭代次数来限制训练时间了。
SCGIS是在GIS算法的基础上做了优化，使减速因子变小，从而收敛速度能提高几十倍左右。
LBFGS算法是一种通用的最优化方法，其基于牛顿算法的思想，收敛速度自也不慢，比SCGIS稍快一些。
单次迭代速度：
单次迭代速度也是影响训练算法性能的重要因素之一，否则一次迭代
就耗上半日，任你收敛再快，也是无用
GIS算法单次迭代是最快的，时间复杂度和特征数量成线性关系，但其实就时间复杂度来说三种算法都差不多
SCGIS算法单次迭代速度比GIS慢，在我们的系统中大概是3倍左右，主要由于SCGIS算法中数学运算比较多，所以其实现起来要特别注意针对数学运算的优化，不过终究是比GIS要慢的
LBFGS算法单次迭代速度比GIS算法稍慢，因为在算法内部除了和GIS算法类似的求模型期望外还多了一些线扫描之类的东西，但通常情况下这些操作都是很快的
稳定性：
这个纯粹是我们根据对特定数据上结果的观测总结出来的经验结果，无任何理论根据
GIS算法由于训练过慢故在实验中放弃掉了
SCGIS算法在用不同的参数进行训练的时候表现诡异，罕有规律可循LBFGS算法在进行各种实验的时候表现相对稳定，在一定的误差下有一些规律
IIS算法在我们的系统中没有实现，故不可妄加评论，只在一些论文中看到过其一些表现，大致为收敛较快，单次迭代慢，故总体类同于GIS算法，也属iterative scaling流派。
最大熵算法笔记 最大熵，就是要保留全部的不确定性，将风险降到最小，从信息论的角度讲，就是保留了最大的不确定性。 最大熵原理指出，当我们需要对一个随机事件的概率分布进行预测时，我们的预测应当满足全部已知的条件，而对未知的情况不要做任何主观假设。在这种情况下，概率分布最均匀，预测的风险最小。因为这时概率分布的信息熵最大，所以人们称这种模型叫"最大熵模型"。 匈牙利著名数学家、信息论最高奖香农奖得主希萨（Csiszar）证明，对任何一组不自相矛盾的信息，这个最大熵模型不仅存在，而且是唯一的。而且它们都有同一个非常简单的形式-- 指数函数。 我们已经知道所有的最大熵模型都是指数函数的形式，现在只需要确定指数函数的参数就可以了，这个过程称为模型的训练。 最原始的最大熵模型的训练方法是一种称为通用迭代算法GIS (generalized iterative scaling) 的迭代算法。GIS 的原理并不复杂，大致可以概括为以下几个步骤： 1. 假定第零次迭代的初始模型为等概率的均匀分布。 2. 用第N 次迭代的模型来估算每种信息特征在训练数据中的分布，如果超过了实际的，就把相应的模型参数变小；否则，将它们便大。 3. 重复步骤2 直到收敛。 GIS 最早是由Darroch 和Ratcliff 在七十年代提出的。但是，这两人没有能对这种算法的物理含义进行很好地解释。后来是由数学家希萨（Csiszar) 解释清楚的，因此，人们在谈到这个算法时，总是同时引用Darroch 和Ratcliff 以及希萨的两篇论文。GIS 算法每
次迭代的时间都很长，需要迭代很多次才能收敛，而且不太稳定，即使在64 位计算机上都会出现溢出。因此，在实际应用中很少有人真正使用GIS。大家只是通过它来了解最大熵模型的算法。 八十年代，很有天才的孪生兄弟的达拉皮垂(Della Pietra) 在IBM 对GIS 算法进行了两方面的改进，提出了改进迭代算法IIS （improved iterative scaling）。这使得最大熵模型的训练时间缩短了一到两个数量级。这样最大熵模型才有可能变得实用。即使如此，在当时也只有IBM 有条件是用最大熵模型。 由于最大熵模型在数学上十分完美，对科学家们有很大的诱惑力，因此不少研究者试图把自己的问题用一个类似最大熵的近似模型去套。谁知这一近似，最大熵模型就变得不完美了，结果可想而知，比打补丁的凑合的方法也好不了多少。于是，不少热心人又放弃了这种方法。第一个在实际信息处理应用中验证了最大熵模型的优势的，是宾夕法尼亚大学马库斯的另一个高徒原IBM 现微软的研究员拉纳帕提(Adwait Ratnaparkhi)。拉纳帕提的聪明之处在于他没有对最大熵模型进行近似，而是找到了几个最适合用最大熵模型、而计算量相对不太大的自然语言处理问题，比如词性标注和句法分析。拉纳帕提成功地将上下文信息、词性（名词、动词和形容词等）、句子成分（主谓宾）通过最大熵模型结合起来，做出了当时世界上最好的词性标识系统和句法分析器。拉纳帕提的论文发表后让人们耳目一新。拉纳帕提的词性标注系统，至今仍然是使用单一方法最好的系统。科学家们从拉纳帕提的成就中，又看到了用最大熵模型解决复杂的文字信息处理的希望。
(19)中华人民共和国国家知识产权局 (12)发明专利申请 (10)申请公布号 (43)申请公布日 (21)申请号 201910372132.X (22)申请日 2019.05.06 (71)申请人 安徽工业大学 地址 243002 安徽省马鞍山市湖东路59号 (72)发明人 董治麟 郑近德 潘海洋 童靳于 刘庆运 张义方 (74)专利代理机构 合肥顺超知识产权代理事务 所(特殊普通合伙) 34120 代理人 周发军 (51)Int.Cl. G06K 9/62(2006.01) G06K 9/00(2006.01) G06N 3/00(2006.01) (54)发明名称 一种基于精细时移多尺度排列熵与萤火虫 算法优化支持向量机的故障诊断方法 (57)摘要 本发明公开了故障诊断技术领域的一种基 于精细时移多尺度排列熵与支持向量机的故障 诊断方法，本发明的步骤为：采集待诊断物体的 原始故障振动信号；提取原始故障振动信号的精 细时移多尺度排列熵值；将故障样本分为多个训 练样本和测试样本；采用多个训练样本对基于萤 火虫优化的支持向量机多故障分类器进行训练； 采用已训练完成的多故障分类器(萤火虫算法优 化的支持向量机)对测试样本进行分类；根据分 类结果识别故障物体的工作状态和故障类型。本 发明提出的故障诊断方法在特征提取的过程中 有较高的创新性，在故障识别过程中具有较高的 识别度。权利要求书3页 说明书7页 附图4页CN 110084316 A 2019.08.02 C N 110084316 A
1.一种基于精细时移多尺度排列熵与萤火虫算法优化的支持向量机的故障诊断方法，其特征在于：包括步骤： 步骤1-1：采集待诊断物体的原始故障振动信号； 步骤1-2：提取原始故障振动信号的精细时移多尺度排列熵值； 步骤1-3：将故障特征样本分为多个训练样本和测试样本； 步骤1-4：采用多个训练样本对基于萤火虫算法优化的支持向量机的多故障特征分类器进行训练； 步骤1-5：采用已训练完成的多故障特征分类器对测试样本进行分类； 步骤1-6：根据分类结果识别物体的工作状态和故障类型。 2.根据权利要求1所述的一种基于精细时移多尺度排列熵与萤火虫算法优化的支持向量机的故障诊断方法，其特征在于：步骤1-2中所测取原始故障信息的精细时移多尺度排列熵值的过程包括： 步骤2-1：对获取的原始故障振动信号进行时移粗粒化； 步骤2-2：计算同一尺度因子τ下生成的τ个符号序列的概率； 步骤2-3：对同一尺度下的所有符号概率求平均，通过信息熵的定义得到原始故障振动信号的精细时移多尺度排列熵值； 步骤2-4:对所有的尺度因子重复步骤2-2到2-3的操作，得到振动信号在所有尺度因子下的精细时移多尺度排列熵值。 3.根据权利要求1所述的一种基于精细时移多尺度排列熵与萤火虫算法优化的支持向量机的故障诊断方法，其特征在于：步骤1-5中所述萤火虫算法优化的支持向量机用于对故障特征样本中各样本的工作状态和故障类型进行分类，并分别根据已经训练完成的多故障特征分类器中的每单一萤火虫算法优化的支持向量机的输出O(y)是否是+1进行判断；具体判断步骤包括： 步骤3-1：若输出是O(y)＝+1，则停止输入到下一个支持向量机，输出该测试样本集的分类； 步骤3-2：若输出是O(y)＝-1，则将该测试样本输入到下一个支持向量机，直到输出结果为+1时，输出测试样本的分类。 4.根据权利要求2所述的一种基于精细时移多尺度排列熵与萤火虫算法优化的支持向量机的故障诊断方法，其特征在于：步骤2-1中所述时移粗粒化过程包括: 步骤4-1：对于给定的尺度因子τ和时间序列X＝{x 1,x 2,...x N }，经过时移的处理，可以 得到新的时间序列： 其中，k(1≤k≤τ)和β(β＝τ)是正整数，分别表示时间序列的起点和间隔点数，i表示时间序列y的第i个点；Δ(k，β)＝(N - β)/k，是四舍五入的整数并表示上边界个数；步骤4-2：尺度因子为τ，对得到的y k ,β 中的每个序列依次进行粗粒化， 其表达式为如下：其中，j表示时间序列Z的第j个点。 权 利 要 求 书1/3页2CN 110084316 A
浅谈最大熵原理和统计物理学 摘要 在本文中我们将分别从物理和信息论角度简单讨论熵的意义并介绍由 E.T.Jaynes 所奠立基础的最大熵原理的原始理解。透过研究理想气体，我们将阐述如何运用最大熵 原理研究真实问题。同时藉由简短分析统计物理学研究方法的问题，本文会给出最大熵 原理更深层涵义及其应用。我们将称之为最大熵原理第二延伸。最后透过真实气体的研 究，我们将描绘出如何运用第二延伸来帮助我们思考及研究热力学系统。 一、前言 长时间以来人们对于熵有物理上的理解也有二、最大熵原理 (Information theory) 上的理解。物理上l、什么是最大熵原理信息论 的熵可以说明热力学系统的演化方向、热平衡的达相信物理系学生和物理研究人员都很熟悉成与否亦或是代表系统的混乱程度等[1-3]。在信Clausius的经验准则-热力学第二定律[1,2]。该定息论里，信息熵则代表量测信息系统的可信度或者律说明当一个热力学系统达到最后热平衡状态时，是忽略度[3,4]。然而不管物理或是信息论上对熵该系统的熵会达到最大值。进一步的研究指出当系的理解，实际上仍局限于将熵视为一个量测的工统的熵最大时，其自由能将会成为最小。在此一具。正如我们可藉由系统能量的量测来了解系统状特性的影响下人们惯性的倾向于将熵视为类似能态稳定与否。然而由于E.T.Jaynes的贡献，熵可量的巨观物理量。此一物理量成为描述系统乱度的
依据。此后由于 Gibbs 引入 ensemble 观念，开视为一种研究问题的推理工具，这一层意义才为人 所知[5,6]。时至今日，我们虽然仍无法全盘了解启微观角度的研究方法因而奠立近代统计力学理熵的真正意含，但是我们也渐渐掌握熵在物理学尤解熵的理论基础。在统计力学的观念中，观察者所其是统计物理中所能扮演的角色。通过本文浅显的量测到该系统热力学性质之巨观物理量诸如系统介绍，我们将从过去Jaynes对于熵的认识到今日内能或压力，基本上只能以平圴值来表现。原因在我们的新发现，掀开熵的神秘面纱。于观察者无法明确掌握系统微观状态。此种不确定 性可以藉由机率分布如canonical ensemble来量定义为忽略度 (degree of ignorance) 或者描述化表示。古典系统熵便可由此机率分布来定义出不了选取系统信息的倾向程度，称之为倾向度 (degree Of likelihood) 。通过 Cox 和 Skilling 连续表示， 完全不同的论证[5,7]，信息熵的机率分布型式类 似于热力学熵。所不同者在于热力学熵含有波兹曼， (1) S,,kPlogP,biii常数。这样的相似性直到 Jaynes 在1957 年的研式中代表波兹曼常数而为观察者量测到kPbi究才证明这个相似其实是相等[5]。信息熵和热力系统处在状态时的机率分布。或者是连续表示， i学熵实际上具有相同的含意。Jaynes更进一步指出且证明最大熵原理 (maximum entropy principle) ，，，，S,,kdqPqlogPq ， (2) 并不只是单纯的热力学第二定律。他的研究指出，bNNN, 最大熵原理不具任何物理意义仅是一个推论的工 具。藉由此原理，观察者所拥有的相关系统信息可式中，，代表空间和动量参数且q,r,pN以公正客观的被编入特定机率分布中来描述观察，，表示观察者量
%两个程序，亲测可用 clear all a=imread('moon.tif'); figure,imshow(a) count=imhist(a); [m,n]=size(a); N=m*n; L=256; count=count/N;%%每一个像素的分布概率 count for i=1:L if count(i)~=0 st=i-1; break; end end st for i=L:-1:1 if count(i)~=0 nd=i-1; break; end end nd f=count(st+1:nd+1); %f是每个灰度出现的概率 size(f) E=[]; for Th=st:nd-1 %%%设定初始分割阈值为Th av1=0; av2=0; Pth=sum(count(1:Th+1)); %%%第一类的平均相对熵为 for i=0:Th av1=av1-count(i+1)/Pth*log(count(i+1)/Pth+0.00001); end %%%第二类的平均相对熵为 for i=Th+1:L-1 av2=av2-count(i+1)/(1-Pth)*log(count(i+1)/(1-Pth)+0.00001); end E(Th-st+1)=av1+av2; end position=find(E==(max(E))); th=st+position-1
for i=1:m for j=1:n if a(i,j)>th a(i,j)=255; else a(i,j)=0; end end end figure,imshow(a); %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%2-d 最大熵法(递推方法) %%%%%%%%%%% clear all; clc; tic a=imread('trial2_2.tiff'); figure,imshow(a); a0=double(a); [m,n]=size(a); h=1; a1=zeros(m,n); % 计算平均领域灰度的一维灰度直方图 for i=1:m for j=1:n for k=-h:h for w=-h:h; p=i+k; q=j+w; if (p<=0)|( p>m) p=i; end if (q<=0)|(q>n) q=j; end a1(i,j)=a0(p,q)+a1(i,j); end end a2(i,j)=uint8(1/9*a1(i,j)); end
基于MATLAB勺模糊ISODAT算法设计 目录 一、前言 (1) 二、模糊ISODAT算法的基本原理 1 三、模糊ISODATA算法的基本步骤 3 四、模糊ISODATA算法MATLA程序实现............... 7 （一）模糊ISODATAf法MATLA程序流程图7
（二）模糊ISODATAf法程序运行结果及分析7 1 、初始化数据 (8) 2、..................................... 修改初始化数据e,其他同1 14 3、..................................... 修改初始化数据m其他同1 16 五、 ............................................. 后22 组样本的聚类结果 19 六、 .............................................................. 结论 20 参考文献 (21) 程序 (23)
、八、, 亠、刖言 G. H. Ball 与D. J. Hall 于1965年提出的ISODAT算法是一个通过逐步修改聚类中心的个数与位置来达到分类目的的集群算法，后来不断有人提出它的各种改进算法，其中包括Ball和Hall 1967年提出的改进算法、CLASS Asp等。1974年J. C. Dunn首次提出应用模糊数学判据的ISODATA集群算法——Fuzzy ISODATA (Iterative Self-Organizing Data Analysis Technique )。算法通过每样本点对各类的隶属度矩阵表示分类结果。通过不断修改聚类中心的位置来进行分类。1976年J. C. Bezdek把Dunn的方法推广到更一般的情形，并得到了一些有益的结论，其中包括新的判据，隶属度函数与聚类中心的计算公式。Bezdek于1979年用W. Zangwill的理论证明了Fuzzy ISODATA的收敛性。该方法已在行星跟踪系统，心脏病分析和天气预报等方面得到了应用。⑴ 1、模糊ISODATA算法的基本原理 J. C. Bezdek在普通分类基础上,利用模糊集合的概念提出了模糊分类问题。认为被分类对象集合X中的样本X i以一定的隶属度属于某一类，即所有的样本都分别以不同的隶属度属于某一类。[2]因此,每一类就被认为是样本集X上的一个模糊子集，于是,每一种这样的分类结果所对应的分类矩阵,就是一个模糊矩阵。模糊ISODATA聚类方法从选择的初始聚类中心出发，根据目标函数，用数学迭代计算的方法反复修改模糊矩阵和聚类中心，并 对类别进行合并、分解和删除等操作，直到合理为止。[3] 设有限样本集(论域)X ={X1,X2,...,X N}，每一个样本有s个特征 X j =(X j1,X j2,...,X js) , (j =1,2,..., N)。即样本的特征的矩阵: X 11 X 12 X ------ y/ A1s X N瘙=X2 1 1 1 — X 21 1 1 1 X 22 1 1 1 ------ 7 入2S I i i i 数字图象处理课程设计 题目：采用最大熵方法进行图像分割 班级：电信121 学号：3120412014 姓名：吴向荣 指导老师：王栋 起止时间：2016.1.4~2016.1.8 西安理工大学 源代码： clear,clc image=imread('C:\Users\Administrator\Desktop\图像课设\3.jpg'); subplot(2,2,1);imshow(image);title('原始彩图') %% %灰度图 imagegray=rgb2gray(image); %彩色图转换为灰度图 subplot(2,2,2);imshow(imagegray);title('灰度图') %计算灰度直方图分布counts和x分别为返回直方图数据向量和相应的彩色向量count=imhist(imagegray); subplot(2,2,3);imhist(imagegray);title('灰度直方图') [m,n]=size(imagegray); imagegray=fun_maxgray(count,imagegray,m,n); subplot(2,2,4);imshow(imagegray);title('最大熵处理后的图') %% 彩色图 % r=image(:,:,1);countr=imhist(r);r=fun_maxgray(countr,r,m,n); % subplot(2,2,1);imshow(r); % g=image(:,:,2);countg=imhist(g);g=fun_maxgray(countg,g,m,n); % subplot(2,2,2);imshow(g); % b=image(:,:,3);countb=imhist(b);b=fun_maxgray(countb,b,m,n); % subplot(2,2,3);imshow(b); b=0; for z=1:3 figure titleName = strcat('第',num2str(z),'通道灰度直方图'); titleName1 = strcat('第',num2str(z),'通道最大熵处理后图'); a=image(:,:,z);subplot(1,2,1);imhist(a);title(titleName) countr=imhist(a);a=fun_maxgray(countr,a,m,n); subplot(1,2,2);imshow(a);title(titleName1) b=b+a; end figure,imshow(b);title('彩色各通道处理后叠加图') 最大熵方法进行图像分割的子函数： function sample=fun_maxgray(count,sample,m,n) countp=count/(m*n); %每一个像素的分布概率 E=[]; E1=0; E2=0; 模糊不确定性的度量—模糊熵 摘要: 熵是模糊变量的一个重要的数字特征，用来度量模糊变量的不确定性，是处理模糊信息的重要工具。模糊集用来描述元素无法明确界定是否属于给定集合的集合类。模糊变量则是取值于这种具有不确定性的模糊集的变量。本文主要介绍模糊集模糊变量模糊熵简单的定义及其性质，文中最后通过例子具体介绍模糊熵的实际应用。 关键词:熵，模糊变量，模糊集，模糊程度，包含关系 1. 模糊集与熵 集合的概念是逻辑和数学中最基本的概念之一。集合中非常重要且基本的性质为矛盾律和排中律，满足矛盾律和排中律的集合就是清晰集。即一个元素可以明确的表示属于或是不属于这个集合，任意选定的元素可以被明确界定，对应于数理逻辑就是一个命题要么是真的 要么是假的。但是在实际客观事务的描述中很多集合和命题不满足这种特性，如“水很热”，显然这个集合中的元素无法被明确界定，这是因为“热”和“不热”之间不存在明确的分界。 定义函数 为模糊集 的隶属函数，表示 中的元素属于模糊集 的程度，隶属度越大，表示该元素属于集合 的程度就越大，隶属度为0表示该元素完全不属于集合 ，隶属度为1则表示该元素完全属于集合 。 1.1 模糊集合的一般性理论回顾 如果我们对周围的一切细加考察的话不难发现，普通集合无法描述像“天气好”“个子高”“美丽”这样的模糊概念，因为普通集合描述的概念有这样的特点：一个对象要么符合该概念，要么不符合该概念，二者必居其一，没有模棱两可的情况，而对于模糊概念来说，一对象是否符合它，不能简单的用“是”或“否”来回答，因为对象既不完全符合，也不完全不符合，而是在某种程度上符合该概念。 1.1.1 模糊集合的概念 论域X 上的模糊集合A*由隶属函数)(*x u A 来表征,其中)(*x u A 在实轴的闭区间[0,1] 上取值, )(*x u A 的值反映了X 中的元素x 对于A*的隶属程度. 模糊集合完全由隶属函数所刻画. )(*x u A 的值接近于1,表示x 隶属于A*的程度很高; )(*x u A 接近于0,表示x 隶属于A*的程度很低;当)(*x u A 的值域为{0,1}二值, )(*x u A 演化为普通集合的特征函数)(x u A ,A*便演化为普通集合A.我们可以认为模糊集合时普通集合的一般化. 1.1.2 模糊集合的表示方法 就论域的类型而言,模糊集合有以下两种表示方法: 1. 设论域X 是有限集或可数集,令X=}...,,{321n x x x x ,X 上的任一模糊集A*,其隶属 函数为)(*x u A ,i=1,2,3…,n,则此时A*可以表示成: The Stata Journal Editor H.Joseph Newton Department of Statistics Texas A&M University College Station,Texas77843 979-845-8817;fax979-845-6077 jnewton@https://www.doczj.com/doc/0a7930713.html, Editor Nicholas J.Cox Department of Geography Durham University South Road Durham DH13LE UK n.j.cox@https://www.doczj.com/doc/0a7930713.html, Associate Editors Christopher F.Baum Boston College Nathaniel Beck New York University Rino Bellocco Karolinska Institutet,Sweden,and University of Milano-Bicocca,Italy Maarten L.Buis T¨u bingen University,Germany A.Colin Cameron University of California–Davis Mario A.Cleves Univ.of Arkansas for Medical Sciences William D.Dupont Vanderbilt University David Epstein Columbia University Allan Gregory Queen’s University James Hardin University of South Carolina Ben Jann University of Bern,Switzerland Stephen Jenkins University of Essex Ulrich Kohler WZB,Berlin Frauke Kreuter University of Maryland–College Park Peter https://www.doczj.com/doc/0a7930713.html,chenbruch Oregon State University Jens Lauritsen Odense University Hospital Stanley Lemeshow Ohio State University J.Scott Long Indiana University Roger Newson Imperial College,London Austin Nichols Urban Institute,Washington DC Marcello Pagano Harvard School of Public Health Sophia Rabe-Hesketh University of California–Berkeley J.Patrick Royston MRC Clinical Trials Unit,London Philip Ryan University of Adelaide Mark E.Scha?er Heriot-Watt University,Edinburgh Jeroen Weesie Utrecht University Nicholas J.G.Winter University of Virginia Je?rey Wooldridge Michigan State University Stata Press Editorial Manager Stata Press Copy Editors Lisa Gilmore Deirdre Patterson and Erin Roberson 基于Burg 算法的最大熵谱估计 一、 实验目的 使用Matlab 平台实现基于Burg 算法的最大熵谱估计 二、 Burg 算法原理 现代谱估计是针对经典谱估计方差性能较差、分辨率较低的缺点提出并逐渐发展起来的，其分为参数模型谱估计和非参数模型谱估计。而参数模型谱估计主要有AR 模型、MA 模型、ARMA 模型等，其中AR 模型应用最多。 ARMA 模型功率谱的数学表达式为： 2 12121/1)(∑∑=-=-++=p i i j i q i i j i j e a e b e P ωωωσ 其中，P(e j ω )为功率谱密度；s 2是激励白噪声的方差；a i 和b i 为模型参数。 若ARMA 模型中b i 全为0，就变成了AR 模型，又称线性自回归模型，其是一个全极点模型： 2 121/)(∑=-+=p i i j i j e a e P ωωσ 研究表明，ARMA 模型和MA 模型均可用无限阶的AR 模型来表示。且AR 模型的参数估计计算相对简单。同时，实际的物理系统通常是全极点系统。 要利用AR 模型进行功率谱估计，必须由Yule - Walker 方程求得AR 模型的参数。而目前求解Yule - Walker 方程主要有三种方法: Levinson-Durbin 递推算法、Burg 算法和协方差方法。其中Burg 算法计算结果较为准确，且对于短的时间序列仍能得到较正确的估计，因此应用广泛。 研究最大熵谱估计时，Levinson 递推一直受制于反射系数K m 的求出。而Burg 算法秉着使前、后向预测误差平均功率最小的基本思想，不直接估计AR 模型的参数，而是先估计反射系数K m ，再利用Levinson 关系式求得AR 模型的参数，继而得到功率谱估计。 Burg 定义m 阶前、后向预测误差为： ∑=-=m i m m i n x i a n f 0)()()( (1) 基于最大熵的直方图阈值分割算法 苏茂君1 陈锐1 马义德1* 1兰州大学信息科学与工程学院，兰州 (730000) Email: ydma@https://www.doczj.com/doc/0a7930713.html, 摘 要：本文对图像阈值化分割算法进行了研究，提出了一种基于最大熵的直方图阈值分割算法，并通过几种常用的评价准则对本文算法和几种典型的图像分割算法进行了客观而定量的评价和比较，实验结果表明：基于最大熵的图像自动阈值选取分割算法分割效果良好，要优于常用的直方图分割算法。 关键词：图像分割 直方图 分割评价 信息熵 1． 引 言 图像的二值分割是数字图像处理中的一个很重要的研究领域。图像的二值化在计算机图像处理技术中的应用非常广泛，可以应用于目标识别、图像分析、文本增强、字符识别、牌照识别等各种应用领域，因此对其进行深入研究具有很重要的实际意义。 图像的二值分割就是把一幅图像分成目标和背景两大类，传统的二值分割方法主要是根据目标和背景的灰度分布差异选取适当的阈值进行分割，因此如何来选取阈值是图像分割的关键问题。本文中我们首先研究和分析了三种典型的图像阈值分割算法：直方图谷点阈值选取算法[1]、最大类间方差法（OSTU）[2]、基于灰度期望值的图像分割算法[3]。并在此基础上，通过对常用直方图谷点阈值选取算法以及信息熵的研究，提出了一种基于最大熵的直方图阈值分割算法，该算法不依赖于人的主观参与，利用计算机自动选取最佳阈值。为了将本文提出的图像分割算法与常用的经典分割算法进行比较，我们运用了几种典型的并且通用性较强的图像分割评价准则[4、5、8]：区域内部均匀性准则(UM)，形状测度准则（SM）和区域对比度准则（GC）,对不同分割算法下的分割结果进行了比较和评价，实验结果表明：本文提出的基于最大熵的自动图像阈值选取分割算法分割效果要明显优于传统基于直方图的阈值分割算法，分割效果良好。 2． 常用图像二值分割算法 2.1直方图谷点阈值选取算法 这是最简单的一种图像阈值分割算法，一般是根据图像的直方图来进行的。基本原理是：如果图像的目标和背景区域的灰度差异较大，则该图像的灰度直方图包络线就呈现双峰一谷的曲线，那么选取两峰之间的谷值就可以作为阈值来分割图像的目标和背景[1] 。这种方法在图像的目标和背景之间的灰度差异较为明显时，可以取得良好的分割效果，通常可以满足我们的分割要求。虽然由于该方法对图像直方图的特殊要求和依赖，使其在图像分割中具有一定的局限性，但其操作简单运算量低，因此也被经常使用。 2.2基于灰度期望值的图像分割算法 在对随机变量的统计过程中,期望值是一个十分重要的统计特征,它反映了随机变量的平均取值，类似于物体的质量中心，因此从灰度“中心”进行分割应当是最佳的分割平衡点。灰度图像的数学期望值[3] 可以按下式计算得到： 1()N threshold n n n L P L μ==∑ (1) 其中为图像的灰度级，为灰度级出现的概率。 n L ()n P L n L 二维最大熵阈值分割算法[引用]杜峰，施文康，邓勇等：《一种快速红外图像分割方法》 1. 二维最大熵阈值分割 熵是平均信息量的表征。二维最大熵法是基于图像二维直方图。图像二维直方图定义如下： N M n P j i j i ?= ,, 其中N M ?表示图像大小，j i n ,表示图像灰度值为i ，邻域灰度平均值为j 的像素个数。 通常二维直方图的平面示意图可以用下图1表示： 其中区域1和2表示背景和目标像素，区域3和4通常表示边界和噪声信息。阈值向量(t ,s )，t 表示灰度值，s 表示像素邻域均值（通常是8邻域）。 对于L 个灰度级的图像，设在阈值(t,s)定义区域1和2的概率P1，P2： ∑∑-=-== 101 ,1s i t j j i P P ，∑∑-=-==11 ,2L s i L t j j i P P 定义二维离散熵H 的一般表示： ∑∑- =i j j i j i P P H ,,lg 对各区域概率j i P ,进行归一化处理可得区域1的二维熵： 11)1lg(1lg 1)1(10 1 0,,P H P P P P P H s i t j j i j i +=???? ?????? ? ?- =∑∑ -=-= 同理区域2的二维熵： 2 2 )2lg()2(P H P H += 其中，H 1，H 2为： ∑∑-=-=- =101 ,,lg 1s i t j j i j i P P H ，∑∑-=-=-=11 ,,lg 2L s i L t j j i j i P P H 那么整个图像中目标和背景熵之和的函数 )2()1(),(H H t s +=φ 根据最大熵原则，存在最佳的阈值向量满足条件： 图1 二维直方图平面示意图 灰阶 第六章最大熵原理在气象学中的应用 上一章我们把熵原理作了简要介绍，并附带提及了它在一些领域的应用。由于熵原理的普遍的适用性，因而认真分析它在气象上的应用潜力是十分值得的。很显然，用熵原理说明的气象学中的问题越多，不仅越加显示熵原理的重要性，显示宇宙真理的统一性，而且也为气象学找到了新的理论武器，而这势必也提高了气象学的科学性和实用性。 在这一章我们就重点讨论最大熵原理怎样应用于各种气象问题之中，以及由此得出的结果。把最大熵原理用于说明气象现象大致包含如下步骤： ◆首先把气象问题归结为某种分布函数(这在第二章 已列出约30个分布函数的个例)。 ◆找出形成上述分布函数的物理(气象)过程中有哪些 重要的约束条件。 ◆从物理(气象)过程含有随机性引出对应的熵达到极 大值(即随机性导致最混乱)。 ◆进行数学处理，从熵理论导出分布函数。 ◆用实际资料验证理论结果(如不符，可再重复上述过 程)。 后边的介绍就是把上述步骤分别用于各个具体的气象分布问题中，并从中逐步加深对最大熵原理的认识。 另外，从70年代以来Paltridge[1]等人从热力学熵平衡角度研究地球纬圈上的气温分布的工作，也应属于试着用熵原理的一种事例。这个工作中尽管在原理上尚有不清楚之处，但其结果与实况的一致性和引用极值原理都是很有意义的。鉴于汤懋苍[2]近年对此已有介绍，我们这里就不再评述 了。 顺便指出，早在上世纪，从力学中发展起来的最小作用原理就从力学领域体现了自然界遵守某种极值原理的精神。 在气象界，罗伦茨[3]在60年代就设想大气也应当遵守某种极值原理。而我们指出有一些气象分布函数可以从熵达极大的角度推导出来，这可以看成是罗伦茨思想从统计角度(非决定论角度)的具体体现。 所以，最大熵原理在气象学中的应用不仅应看作是随机论(非决定论)的胜利，也应当看成广义的极值原理的胜利。 §1 大气的温度场和气压场 从最大熵原理出发，很容易说明大气中的温度场和气压场的分布。在第二章第4节我们已经论证了大气的温度场和气压场的分布。对气压场，我们从简单的分析得出它应是均匀分布，对温度场则从平均图上得出其分布也是均匀分布。这就是说，如果从大气中纯随机地抽取一个空气样品，则其气压(气温)为各种可能值的出现概率都是相等的，或者说各种可能的气压(温度)占有的大气质量是一样的。图2．5 就是其代表。 大气温度为什么恰为均匀分布(它竟然遵守如此简单的分布，确实有些出人意料！）? 形成现今温度分布的原因当然是太阳辐射和大气的对外辐射，这使我们想到如图6．1的极简单的模型。图的左侧有一高温的恒定热源，其温度为T1，左侧有一低温的恒定热汇，其温度为T0。介质处于T1和T0两个温度之间，它的温度在各处不会都是T1或T0，从而构成了一个温度场。如果介质仅能从左右两端吞吐热量而其他界面与外界绝缘，那么介质中的温度场理应会形成如图所示的等温线呈均匀分布之形状。此时介质上的温度分布函数应为均匀分布，对此我们也可以从解热传导方程中得出来。 一、熵 物理学概念 宏观上：热力学定律——体系的熵变等于可逆过程吸收或耗散的热量除以它的绝对温度（克劳修斯，1865） 微观上：熵是大量微观粒子的位置和速度的分布概率的函数，是描述系统中大量微观粒子的无序性的宏观参数（波尔兹曼，1872） 结论：熵是描述事物无序性的参数，熵越大则无序。 二、熵在自然界的变化规律——熵增原理 一个孤立系统的熵，自发性地趋于极大，随着熵的增加，有序状态逐步变为混沌状态，不可能自发地产生新的有序结构。 当熵处于最小值, 即能量集中程度最高、有效能量处于最大值时, 那么整个系统也处于最有序的状态,相反为最无序状态。 熵增原理预示着自然界越变越无序 三、信息熵 （1）和熵的联系——熵是描述客观事物无序性的参数。香农认为信息是人们对事物了解的不确定性的消除或减少，他把不确定的程度称为信息熵（香农，1948 ）。 随机事件的信息熵：设随机变量ξ，它有A1，A2，A3，A4，……，An共n种可能的结局，每个结局出现的概率分别为p1，p2，p3，p4，……，pn，则其不确定程度，即信息熵为 （2）信息熵是数学方法和语言文字学的结合。一个系统的熵就是它的无组织程度的度量。熵越大，事件越不确定。熵等于0，事件是确定的。 举例：抛硬币， p（head）=0.5，p（tail）=0.5 H（p）=-0.5log2（0.5）+（-0.5l og2（0.5））=1 说明：熵值最大，正反面的概率相等，事件最不确定。 四、最大熵理论 在无外力作用下，事物总是朝着最混乱的方向发展。事物是约束和自由的统一体。事物总是在约束下争取最大的自由权，这其实也是自然界的根本原则。在已知条件下，熵最大的事物，最可能接近它的真实状态。 论文名称：最大熵原理及其应用班级：13级通信工程班 专业：通信工程 学号： 学生姓名：指导老师： 时间：2015年11月8日 摘要 熵是源于物理学的基本概念，后来Shannon在信息论中引入了信息熵的概念，它在统计 物理中的成功使人们对熵的理论和应用有了广泛和高度的重视。最大熵原理是一种在实际问题中已得到广泛应用的信息论方法。本文从信息熵的概念出发，对最大熵原理做了简要介绍，并论述了最大熵原理的合理性，最后提及它在一些领域的应用，通过在具体例子当中应用最大熵原理，展示该原理的适用场合，以期对最大熵原理及其应用有更深刻的理解。 关键词：熵；信息熵；最大熵原理；不适定性问题 引言 科学技术的发展使人类跨入了高度发展的信息化时代。在政治、军事、经济等各个领域，信息的重要性不言而喻，有关信息理论的研究正越来越受到重视，信息论方法也逐渐被广泛应用于各个领域。 信息论一般指的是香农信息论，主要研究在信息可以度量的前提下如何有效地、可靠地、安全地传递信息，涉及消息的信息量、消息的传输以及编码问题。1948年C.E.Shannon 为解决通信工程中不确定信息的编码和传输问题创立信息论，提出信息的统计定义和信息熵、互信息概念，解决了信息的不确定性度量问题，并在此基础上对信息论的一系列理论和方法进行了严格的推导和证明，使以信息论为基础的通信工程获得了巨大的发展。信息论从它诞生的那时起就吸引了众多领域学者的注意，他们竞相应用信息论的概念和方法去理解和解决本领域中的问题。近年来，以不确定性信息为研究对象的信息论理论和方法在众多领域得到了广泛应用，并取得了许多重要的研究成果。迄今为止，较为成熟的研究成果有:A.N.Kolmogorov在1956年提出的关于信息量度定义的三种方法——概率法，组合法，计算法；A.N.Kolmogorov在1968年阐明并为J.Chaitin在1987年系统发展了的关于算法信息的理论。这些成果大大丰富了信息理论的概念、方法和应用范围。 在信息论中，最大熵的含义是最大的不确定性，它解决的一大类问题是在先验知识不充分的条件下进行决策或推断等。熵方法在谱估计、图象滤波、图象重建、天文信号处理、专家系统等中都有广泛的应用。最大熵原理在实际问题中的应用近年来一直在不断地发展。 1.信息熵的概念 信息熵是将熵概念成功地扩展到信息科学领域。熵是描述客观事物无序性的参数，它最早是由R.Clausius于1865年引入热力学中的一个物理概念，通常称之为热力学熵。后来L.Boltzmann赋予熵统计意义上的解释，称之为统计热力学熵。1929年，匈牙利科学家 基于负熵最大化的FastICA 算法 一．算法原理： 独立分量分析（ICA ）的过程如下图所示：在信源()s t 中各分量相互独立的假设下，由观察()x t 通过结婚系统B 把他们分离开来，使输出()y t 逼近()s t 。 图1-ICA 的一般过程 ICA 算法的研究可分为基于信息论准则的迭代估计方法和基于统计学的代数方法两大类，从原理上来说，它们都是利用了源信号的独立性和非高斯性。基于信息论的方法研究中，各国学者从最大熵、最小互信息、最大似然和负熵最大化等角度提出了一系列估计算法。如FastICA 算法, Infomax 算法，最大似然估计算法等。基于统计学的方法主要有二阶累积量、四阶累积量等高阶累积量方法。本实验主要讨论FastICA 算法。 1. 数据的预处理 一般情况下，所获得的数据都具有相关性，所以通常都要求对数据进行初步的白化或球化处理，因为白化处理可去除各观测信号之间的相关性，从而简化了后续独立分量的提取过程，而且，通常情况下，数据的白化处理能大大增强算法的收敛性。 若一零均值的随机向量()T M Z Z Z ,,1 =满足{}I ZZ E T =，其中：I 为单位矩阵，我 们称这个向量为白化向量。白化的本质在于去相关，这同主分量分析的目标是一样的。在ICA 中，对于为零均值的独立源信号()()()[]T N t S t S t S ,...,1=，有： {}{}{}j i S E S E S S E j i j i ≠==当,0，且协方差矩阵是单位阵()I S =cov ，因此，源信号()t S 是白色的。对观测信号()t X ，我们应该寻找一个线性变换，使()t X 投影到新的子空间后变成白化向量，即： ()()t X W t Z 0= （2.1） 其中，0W 为白化矩阵，Z 为白化向量。 电子测量与仪器学报２００４年增刊基于ＭＡＴＬＡＢ最大熵分布的最优解 余秀美［１、２］童玲［１］胡学海［１］ （１．电子科技大学自动化工程学院，成都６１００５４２．电子对抗国防科技重点实验室，成都６１００３６）摘要：本文用最大熵方法确定出数据样本概率密度函数，并基于非线性最小二乘法的 上，Ｐｗｎ易Ｐ馏一Ａ纪，．印“以，协信赖域模型，得到其参数的最优解，将算法在Ａ纪比易环境下编程实现。最后将结果应用于测量不确定度评定。 关键词：最大熵非线性最小二乘法ＭＡＴＬＡＢ ＥｖａｌｕａｔｉｏｎｏｆＵｎｃｅｒｔａｉｎｔｙｉｎＭｅａｓｕｒｅｍｅｎｔＢ嬲ｅｄｏｎｔｈｅＭａｘｉｍ咖Ｅｎｔｍｐｙ ＭｅｔｈＯｄ ＹｕⅪｕｍｅｉ［１、２】Ｔ０ｎｇＬｉｎｇ【１】ＨｕＸｕ曲ａｉ【１】 （１．ＡｕｔｏｍａｔｉｏｎＥｎｇｉｎ∞血ｇＳｃｈ００ｌｏｆＵＩｌｉｖｅｒｓ埘ｏｆＥ１ｅｃ咖ｉｃＳｃｉｅｎｃｅ姐ｄ ＴｅｃｌｌｌｌｏｌｏｇｙｏｆＣｌｌｉｎａ Ｃｈｅｎ鲷ｕ６１００５４２．ＮａｔｉｏｎａｌＥｌｅｃ廿ｏＩｌｉｃＷ曲ｒｅ ＬａｂｏｒａｒｙＣｈｅｎｇｄｕ６１００３６） Ａｂｓｔｒａｃｔ：１１１ｔｔｌｉｓｐａｐｅｒ，ｍｅｐｒｏｂａｂｉｌｉ够ｄｅｎｓ时ｆｕｎｃｔｉｏｎｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎｏｆｓ锄ｐｌｅｉｓｄｅｔｅ珊ｉｎｅｄｂｙａｐｐｌｙｉＩｌｇｍｅａ】【ｉＩｎ啪ｅｎ仃ｏｐｙｍｅｍｏｄ，柚ｄⅡｌｅｏｐｄｍｕｍｓｏｌｕｔｉｏｎｓｏｆｐａｒａｍｅｔｅｒＳａｒｅｓ０１ｖｅｄｂｙｍｅＬｅＶｅｎｂｅ玛－Ｍａｒｑｕａｒｄｔ仇ｌｓｔｒｅｇｉｏｎｍｏｄｅｌｏｆｍｅｎｏｎＨｎｅａｒ１ｅａｓｔｓｑｕａｒｅｓ，ⅡｌｅｎｔｌｌｅａｌｇｏｒｉｍｍｉｓａｃｔＩｌａｌｉｚｅｄｂｙｐｒｏ伊删ｎｇｗｉｔｌｌＭａｎａｂｓｏ脚ａｒｅ．ＩＩｌｍｅｅｎｄｔｌｌｅ ｒｅｓｕｌｔｉｓａｐｐｌｉｃｄｉｎⅡｌｅｅｓｔｉＩｎａｄｏｎｏｆｍｅＩｎｅａｓｕｒｅｍｅｎｔｕｎｃｅｎ＿ａｉｎｔｙ． Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ｍａ）【ｉＩ肌ｍｅｎ缸Ｄｐｙ，ｎ咖１ｉｎｅａｒｌｅａｓｔｓｑｕａｒｅｓ，ＭＡＴＩ，ＡＢ． １引言 从信息论中相关的理论我们可得：在满足已知信息的约束条件下，通过最大化熵得到的分布是含有最少主观偏见的概率分布，是最合理的分布。而且当没有足够的信息可以确定某一密度函数的解析形式或在给定信息下其解析形式难以求解时，就可以利用该未知分布的样本矩进行求解。这样，在满足样本矩约束条件下，通过最大熵得到的密度函数是被求解的密度函数的最小偏差估计。在工程中欲应用由最大熵法所确定的概率密度函数，则如何得到其中参数的“真值”是一个至关重要的环节。本文基于非线性最小二乘法的Ｌｅｖｅｎｂｅｒｇ－Ｍａｒｑｕａｒｄｔ信赖域模型，得到分布参数的最优解，并将算法在Ｍａｔｌａｂ环境下编程实现。最后将所得的结果应用于测量不确定度评定。 ２最大熵方法 对于连续的随机变量，最大熵法则可表示如下： ｓ＝一Ｊ：，（工）１Ｉｌ［，（ｘ）协＿脚（１） 满足约束条件为： Ｉ‘厂（曲出＝１（２）图像处理--采用最大熵方法进行图像分割
信息论--模糊熵
最大熵值法在stata中的运用
基于Burg算法的最大熵谱估计
基于最大熵的直方图阈值分割算法
二维最大熵阈值分割法
最大熵原理在气象学中的应用
熵最大原理
最大熵原理及其应用
基于负熵最大化的FastICA算法
基于MATLAB最大熵分布的最优解
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