23.1 一元二次方程
类型1、一元二次方程的概念解题要点：
（1）若一个方程是一元二次方程，必须同时满足三个条件：①是整式方程；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2，三个条件缺一不可。（2）有些方程需要先整理，再判断。
（3）分母中含有未知数或根号下含有未知数的方程均不是一元二次方程。题型1、一元二次方程的判别
例1．下列是一元二次方程的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．322-+x x 21
52
=+x x
2)2)(1(x x x =-+)1(2)1(2-=+t t t 例2．下列方程哪些是一元二次方程？指出它们的序号。 （1）
（2）； （3）； （4）012=+x 2
1
112=++
x x 012=++y x 0
123=+-x x （5）
（6）46)53(22+=-x x x 5
)3)(2(=--x x 题型2、利用一元二次方程的概念求字母的值。
例3．方程是关于的一元二次方程，则（ ）
013)2(||=+++mx x m m x
A ．
B ．
C ．
D ．2±=m 2=m 2-=m 2
±≠m 例4．关于的方程是一元二次方程的条件是什么？
x 2322+-=-mx x x mx 题型3、利用一元二次方程的概念求不等式的解集
例5．若是一元二次方程，且满足不等式，则的取值范围是（ ）
0352=+-x ax a 063>+a a
A ．
B ．
C ．且
D ．2->a 2-a 0≠a 2
1-
>a
（1）一元二次方程一般形式的特点是：方程左边是按未知数降幂排列的整式，右边是0，并且在通常情况下，左边各项系数不含有公约数。
（2）先化为一般形式：，后确定各项系数和常数项，一般形式中，、可以等于0。02=++c bx ax 0≠a b c （3）在应用时，如果求各项系数，不要漏掉前面的符号。题型1、化方程为一元二次方程的一般形式
例6．把方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其二次项系数，一次项系数、2)23)(12(2+=-+y y y 常数项。
题型2、利用一元二次方程的隐含条件解题
例7、为何值时，关于的方程，(1)是一元一次方程？(2)是一元二次方程？
a x 04)3()3(1||=+++--x a x a a 例8、方程是一元二次方程，指出其二次项系数、一次项系数及常数项。
08)4(2||=+++-a x x a a 例9、若一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项之和为5，求的值。
0)32()8(22=--++k x k x k
（1）根必须满足两个条件：①未知数的值；②必须使方程左右两边相等。
（2）用代入法验证一个数值是否为一元二次方程的解时，只要看方程左右两边是否相等即可。题型1、判断一元二次方程的根
例10．下列哪些数是一元二次方程的根？，，，0，1，2，3，4
342-=-x x 3-2-1-题型2、由一元二次方程的根求未知数的值。
例11、关于的一元二次方程的一个根是0，求的值。
x 01)1(22=-++-a x x a a 例12、已知，是关于的一元二次方程的根，求和的值。
2=x 6=x x 02=++b ax x a b 题型3、由一元二次方程的根求代数式的值。
例13、已知是一元二次方程的一个根，且，求的值。
1=x 0402
=-+bx ax b a ≠b
a b a 222
2--例14、已知是方程的一个根，试求的值。
a 0120102=+-x x 1
201020092
2++
-a a a
题型4、已知两方程有公共根，求代数式的值。
例15、已知关于的方程与有一个公共根，求的值。
x 02=++q px x )(02q p p qx x ≠=++2009)(q p +类型4、列一元二次方程解题要点：
一元二次方程一般源于实际生活中的问题，解决问题的关键是先列出一元二次方程，列方程时需注意的两个方面：
（1）设一个未知数，由其他未知量与这个未知数的关系，用表示其他量。
x x （2）寻找以上各量间的等量关系，一般为积的关系或平方差与平方和的关系，根据此关系列出一元二次方程。
例16、已知一个长方体粉笔盒的体积为750cm 3，高为6cm ，底面的长比宽多5cm ，若设这个粉笔盒的底面的宽为cm ，请根据题意列出方程，并将其他为一般形式。
x 例17．用锤子以均匀的力敲击铁钉入木板，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入
木板的钉子的长度后一次与前一次的比值为()，已知一个钉子受击三次后恰好全部进入木
k 10< 4 设铁钉的长度为1，那么符合这一事实的方程是（ ） A ． B ． C ． D ． 17474742=++k k 17474=+k 174 742=+k k 17 874=+k 23.2 一元二次方程的解法 类型5、直接开平方法解题要点： （1）用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义。 （2）对于形如的一元二次方程，常用直接开平方法求解，方程的根是，当时，)0(2≥=p p x p x ±=0=p 。 021==x x （3）对于形如的一元二次方程，也可以用直接开平方法求解，方程的根为 )0,0()(2≥≠=+p m p n mx ，当时，。m p n x ± -= 0=p m n x x - ==21（4）解题时，一定要注意方程有两个根。 题型1、用直接开平方法解一元二次方程的必备条件 例18、用直接开平方法解方程，方程有根的条件是（ ） b c x a =+2)( A ． B ． C ． D ．、同号或， 0>a 0>b 0,0≥>b a a b 0≠a 题型2、用直接开平方法解一元二次方程例19、求一元二次方程的根。0)3(2=-x 例20、求一元二次方程的根。 22)3()12(x x -=-类型6、因式分解法解题要点： （1）用因式分解法解一元二次方程的一般步骤可归纳为“右边化零，左边分解，分别为零，求解”。（2）因式分解的常用方法：公式法（完全平方公式、平方差公式）、提公因式法等，需注意一般方程的左边是因式的积，右边等于0。 （3）不是所有的一元二次方程都能用因式分解法求解。 题型1、用因式分解法解形如的一元二次方程。)0(02≠=+a bx ax 例21、用因式分解法解下列方程： （1） （2）5552-=-x x ) 2(2)2(32+=+x x 题型2、用因式分解法解形如（、为常数）的一元二次方程。0)(2=++-ab x b a x a b 例22、用因式分解法解下列方程。 （1）； （2）01662=--x x 0 6)32(2=++-x x 题型3、用因式分解法解形如的一元二次方程。)0(02≠=++a c bx ax 例23、用因式分解法解下列方程： （1）； （2）； 01562=+-x x 061362=++x x 题型4、因式分解法在解一元二次方程中的综合应用例24、当为何值时，代数式 的值等于0。 x 2 2 222 2-++x x x 例25、已知△ABC 的两边长分别为2和3，第三边的长是方程的根，求△ABC 的周长。 01072=+-x x 类型7、配方法解题要点： （1）配方法解一元二次方程是以完全平方公式和直接开平方法解一元二次为依222)(2b a b ab a ±=+±据。 （2）配方法的关键是配方，把一个一元二次方程的左边配成一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负数。 （3）配方法的一般步骤可以归纳为“一除、二移、三配、四开方”。题型1、用配方法解形如的一元二次方程)04(022≥-=++c b c bx x 例26、用配方法解下列方程 （1） （2）0142=--x x 0 752=-+x x 题型2、用配方法解形如的一元二次方程)04,0(022≥-≠=++c b a c bx ax 例27、用配方法解下列方程： （1）；（2）；（3）08432=-+x x 04722=--x x 0 7542=--x x 类型8、公式法解题要点： （1）一元二次方程的求根公式为。 )0(02 ≠=++a c bx ax )04(2422≥--±-=ac b a ac b b x （2）一元二次方程的求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程 的过程。 )0(02≠=++a c bx ax （3）由求根公式知，一元二次方程的根是由系数、、决定的，只要确定了、、的值就可以代 a b c a b c 入求根公式求出一元二次方程的根。 题型1、用公式法解系数为整数的一元二次方程。例28、方程242=+x x 的正根为（ ） A ．63- B ．62+ C ． D ．63+6 2+-例29、用公式法解方程：x x x 8101442--=-+题型2、用公式法解系数为分数或小数的一元二次方程例30、用公式法解下列方程： （1）； （2）； 3 1 32212=-+-x x 01.03.02.02=++x x 题型3、用公式法解一元二次方程的综合应用 例31、已知关于的方程的一个根与方程的根相同。x 0122=+-kx x 411 2=-+x x （1）求的值；（2）求方程的另一个根。 k 0122=+-kx x 类型9、根的判别式解题要点 （1）在用根的判别式判别根的情况时，是在一元二次方程的一般形式下进行的，即先将方程化为 的形式，再确定根的判别式与0的大小关系。 )0(02≠=++a c bx ax （2）当时，方程有两个不相等的实数根，，当 042 >-ac b a ac b b x 2421-+-=a ac b b x 2422---=时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根。042=-a c b a b x x 221- ==042<-ac b （3）通过计算根的判别式的值，可以在不解方程的情况下判断方程的根的情况。 （4）由方程的根情况可以得知根的判别式的情况，进而得出方程中未知字母的取值情况。题型1、由根的判别式来确定根的情况 例32、不解方程，判断下列关于的一元二次方程的根的情况。x （1）； （2）； （3）x x 54542=+0)1(422=-+-m mx x 8 32-=x x 题型2、由根的情况来确定方程中的待定系数。 例33、已知方程有两个不相等的实根，那么的最大整数值是（ ） 0)12(22=+--k x k x k A ． B ． C ．0 D ．12-1-例34．当取何值时，一元二次方程m 0 12)14(222=-++-m x m x （1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根。 题型3、根的判别式与三角形的综合应用 例35、已知、、分别是三角形的三边，则方程的根的情况是（ ）a b c 0)(2)(2=++++b a cx x b a A ．没有实根 B ．可能有且仅有一个实根 C ．有两个相等的实根 D ．有两个不相等的实根例36．已知、、是△ABC 的三边，且方程有两个相 a b c 0))(())(())((=--+--+--a x c x c x b x b x a x 等的实根，试判断△ABC 的形状。 类型10、选择合适的方法解一元二次方程解题要点： （1）解一元二次方程的基本思路；将二次方程通过“降次”化为一次方程。（2）解一元二次方程的方法口诀： 方程没有一次项，直接开方最理想； 如果缺少常数项，因式分解没商量； 、相等都为零，等根是零不要忘； 、同时不为零，因题而异择良方。 b c b c （3）在用多种方法都可以解一元二次方程且没有特殊规定方法时，首先考虑的方法是直接开平方法和因 式分解法，其次再考虑配方法和求根公式法。例37．用适当的方法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）；25)16(2=-x )7(8)7(x x x -=-x x 12142=-8 1222-=- x x 例38、我们已经学习了一元二次方程的四种解法：因式分解法、直接开平方法、配方法和公式法，请选择你认为适当的方法解下列方程： （1）；（2）；（3）；（4）0132=+-x x 3)1(2=-x 052=-x x 4 22=-x x 类型11、一元二次方程的实际应用例39、金鑫商店1月份的利润是2500元，3月份的利润为3000元，这两个月的利润平均月增长率是多少？ （精确到0.1%） 例40、明月兔业养殖厂在兔舍外面开辟了一个面积为20m 2的长方形活动场地，准备一边靠墙，其余三边利用长14m 的旧围栏，已知墙面长6m ，问：围成长方形的长和宽各是多少？ 23.3 实践与探索 类型12、一元二次方程与生活实践 解题要点： （1）用一元二次方程解决实际问题的一般步骤可归纳为“审、设、列、解、验、答”。 （2）在解决实际问题时有几个重要环节：①完整、准确地审清题意；②提取问题中的等量关系；③正确地求解方程并检验解的合理性。 题型1、平均增长率（降低率）问题 例41、义乌市是一个“车轮上的城市”，截止2007年底全市汽车拥有量为114508辆，已知2005年底全市汽车拥有量为72983辆，请解答如下问题： （1）2005年底至2007年底义乌市汽车拥有量的年平均增长率是多少？（结果精确到0.1%） （2）为保护城市环境，要求义乌市到2009年底汽车拥有量不超过158000辆，据估计从2007年底起，此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的4%，那么每年新增汽车数量最多不超过多少 辆？（假定每年新增汽车数量相同，结果精确到个位）。 题型2、商品经营策略问题 例42、某商店如果将货价为8元的商品按每件10元售出，每天可销售200件，现采用提高售价，尽可能减少进货量的方法增加利润，如果这种商品每件涨0.5元，其销售量就会减少10件，那么，将售价定为多少元时，才能使所赚利润为640元？ 题型3、利率问题 例43、李先生将10000元存入银行一年，到期后取出2000元购买彩电，剩余8000元和利息又按一年定期存入银行，若存款的年利率不变，则到期后本息和是8410元，试求不计利息税时这种存款的年利率。 （精确到0.01%）. 题型4、面积问题 例44、用12m 长的一根铁丝围成长方形，（1）如果长方形的面积为5m 2，那么此时长方形的长是多少？宽 是多少？如果面积是8m 2呢？（2）能否围成面积是10m 2的长方形？为什么？（3）能围成的长方形的最大面积是多少？ 类型13、根与系数的关系解题要点： 在根与系数的关系中包含的两个条件和两个结论： （1）两个条件：①方程是一元二次方程，即二次项系数；②方程有实数根，即；0≠a 042≥-ac b （2）两个结论：若、是一元二次方程的两个根，则①；②1x 2x )0(02≠=++a c bx ax a b x x - =+21。a c x x = ?21题型1、不解方程，求根与系数的关系。 例45、不解方程，检验以下方程的解是否正确。 （1）；（2）)2 5 2,252(0184212--=+-= =-+x x x x )7,1(076212-=-==+-x x x x 例46、不解方程，求出方程的两根之和与两根积； （1）； （2）021092=+-x x 2010 20092=-x x 题型2、不解方程，求含有方程两根的代数式的值。 例47、设方程的两根分别为、，不解方程求下列各代数式的值。01322=-+x x 1x 2x （1） （2） （3）2 2 21x x +2 11 1x x + ) 3)(3(21--x x 题型3、利用根与系数的关系求字母的值。 例48、若一元二次方程的一个根为，则= 。 032=++px x 3-p 例49、设、是关于的方程的两个根，且满足 ， 求的值。1x 2x x )0(0)1(2≠=---m m x m x 3 2 1121-=+x x m 题型4、根据要求构造一元二次方程解题 例50、已知，，试求作一个一元二次方程，使此方程的两根分别为、。 321+=x 322-=x 1x 2x 例51、已知两个数的和为，积为12，求这两个数。 7-题型5、根与系数关系的综合问题 例52、已知关于的一元二次方程的两个实数根分别是一个直角三角形的两x 0)1(4)53(22=-++-a x a x 条直角边，该直角三角形的周长是30，求此三角形的面积。 全章总结 类型14、数学思想方法解题要点： （1）转化思想是把复杂的问题变为简单的问题，把难的问题变为容易的问题，把未知的知识变为已知的知识来解决，本章把高次方程降次为一元二次方程或一元一次方程来求解，这就是转化思想在解方程中的应用。 （2）数学建模思想是指在解决实际问题时，通过对已知条件和未知条件的分析，提炼出实际问题与数学知识的联系，将其转化为相应的数学问题，从数学角度解决问题，它可以化难为易，化抽象为具体地解决实际问题。 （3）分类讨论思想是一种常见的数学思想方法，具体地说，就是把包含多种可能情况的问题，按照某一标准分成若干类，然后对每一类分别进行解决，从而达到解决整个问题的目的，即“化整为零，各个击破”。题型1、转化思想 例53、解方程：0 6524=-+x x 例54、数学建模思想 例54、在某市实施棚户区改造过程中，某工程队承包了一项拆迁工程，原计划每天拆迁1250m 2，因为准 备不足，第一天少拆迁了20%，从第二天开始，该工程队加快了拆迁速度，第三天拆迁了1440 m 2。 （1）求该工程队第一天拆迁的面积。 （2）若该工程队第二天、第三天每天拆迁的面积比前一天增加的百分数相同，求这个百分数。 题型3、分类讨论思想 例55．已知△ABC 的两边AB 、AC 的长是关于的一元二次方程的两个实数根， x 0)1()12(2=+++-k k x k x 第三边BC 的长为5。 （1）为何值时，△ABC 是以BC 为斜边的直角三角形？ k （2）为何值时，△ABC 是等腰三角形？并求△ABC 的周长。 k 类型15、一题多解 例56、分别用三种方法解一元二次方程0 1662=--x x 类型16、判断说理题 例57、若是关于的一元二次方程，求、的值，下面是两位同学的解法。 0132=+--+b a b a x x x a b 甲：根据题意，得，解得???=-=+122b a b a ?? ?==01 b a 乙：根据题意，得，或，解方程组得或， ???=-=+122b a b a ???=-=+212b a b a ???==01b a ? ??-==11 b a 你认为上述两位同学的解法是否正确？为什么？如果都不正确，请给出正确的解法。 类型17、定义新运算题 例58、若规定两实数、通过运算*得，即，例如a b ab 4ab b a 4*=486246*2=??= （1）求3*5的值。 （2）若中的值。04*2*2*=-+x x x x （3）若无论取何值时，总有，求的值。 x x x a =*a 类型18、学科间综合题 例59、已知竖直上抛的物体离地面的高度和抛出时间的关系是，是竖直上抛时)(m h )(s t 2 02 1gt t v h - =0v 的瞬间速度，常数取10m/s 2，设m/s ，问： g 300=v （1）隔多长时间物体的高度是25m ？（2）多长时间以后物体回到原处？ （3）隔多长时间物体达到最大高度，最大高度是多少？ 类型19、阅读理解题 例60、按下列范例提供的方法解方程07 16492=- +x x 一元二次方程的根为，方程的根为 )0(02 ≠=++a c bx ax a ac b b x 242-±-=02=++a c by y ，显然有，因为要求的根，只要求出的根，242ac b b y -±-= a y x =)0(02≠=++a c bx ax 02=++ac by y 再除以就可以了。a 范例：解方程06 1 8722=++x x 解：解方程，解得，06 1 7282=?++y y 21-=y 62-=y ∴方程的两根为，0618722=+ +x x 3617221-=-=x 12 1 7262- =-=x 类型20、规律探究题 例61、已知下列（为正整数）个关于的一元二次方程：n n x ① 012=-x ②022=-+x x ③0322=-+x x …… 0)1(2=--+n x n x ○ n （1）请解上述一元二次方程①②③……；○ n （2）请你指出这个方程的根有什么共同特点，写出一条即可。 n 类型21、图形拼割题 例62、如图，在长为10cm ，宽为8cm 的矩形四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形（图中 阴影部分）面积是原矩形面积的80%，求所截去的小正方形的边长。 类型22、方案设计题： 例63、在一块长16米，宽12米的矩形荒地上，要建造一个花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半，你能给出设计方案吗？ 知识点总结：一元二次方程 知识框架 知识点、概念总结 1.一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 2.一元二次方程有四个特点： (1)含有一个未知数； (2)且未知数次数最高次数是2； (3)是整式方程。要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理。如果能整理为 ax2+bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程。 （4）将方程化为一般形式：ax2+bx+c=0时，应满足（a≠0） 3. 一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，?都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）。 一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a 是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。4.一元二次方程的解法 （1）直接开平方法 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如b a x= +2) (的一元二次方程。根据平方根的定义可知，a x+是b的平方根，当0 ≥ b时，b a x± = +，b a x± - =，当b<0时，方程没有实数根。 （2）配方法 配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。配方法的理论根据是完全平方公式 2 2 2) ( 2b a b ab a+ = + ±，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有 2 2 2) ( 2b x b bx x± = + ±。 配方法解一元二次方程的一般步骤：现将已知方程化为一般形式；化二次项系数为1；常数项移到右边；方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；变形为(x+p)2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p ±√q；如果q＜0,方程无实根． （3）公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。 一元二次方程)0 (0 2≠ = + +a c bx ax的求根公式： )0 4 ( 2 4 2 2 ≥ - - ± - =ac b a ac b b x （4）因式分解法 因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。 5.一元二次方程根的判别式 根的判别式：一元二次方程)0 (0 2≠ = + +a c bx ax中，ac b4 2-叫做一元二次方程)0 (0 2≠ = + +a c bx ax的根的判别式，通常用“?”来表示，即ac b4 2- = ? 6.一元二次方程根与系数的关系 如果方程)0 (0 2≠ = + +a c bx ax的两个实数根是 2 1 x x，，那么a b x x- = + 2 1 ， a c x x= 2 1 。也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。 7.分式方程 一元二次方程专题复习 韦达定理:如一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根为12,x x ，则 12b x x a +=-，12c x x a ?= 适用题型：(1)已知一根求另一根及未知系数； (2)求与方程的根有关的代数式的值； (3)已知两根求作方程； (4)已知两数的和与积，求这两个数； (5)确定根的符号:(12,x x 是方程两根)； （6）题目给出两根之间的关系，如两根互为相反数、互为倒数、两根 的平方和或平方差是多少、两根是Rt ?的两直角边求斜边等情况. 注意：（1）2 22 12 1212()2x x x x x x +=+-? （2）22121212()()4x x x x x x -=+-?； 12x x -= （3）①方程有两正根，则1212 00x x x x ?≥?? +>???>?； ②方程有两负根，则1212 000x x x x ?≥?? +? ； ③方程有一正一负两根，则120 x x ?>?? ??? -- 一元二次方程 考点整合 1、一元二次方程概念：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程就是一元二次方程。 2、一般表达式：20(0)ax bx c a ++=≠ 其中2ax 是二次项，a 叫二次项系数；bx 是一次项，b 叫一次 项系数，c 是常数项。二次项系数、一次项系数及常数项都是方程在一般形式下定义的，所以求一元二次方程的各项系数时，必须先将方程化为一般形式。 3、使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。 4、一元二次方程的解法： （1）直接开方法，适用于能化为)( ( 2 )0 x a b b +=≥ 的一元二次方程。 （2）因式分解法，即把一元二次方程变形为（x+a ）（x+b ）=0的形式，则（x+a ）=0或（x+b ）=0 （3）配方 法，即把一元二次方程配成)( ( 2 )0 x a b b +=≥形式，再用直接开方法， (4)公式法，其中求根公式是2b x a -= （b 2-4ac ≥0） 5、根的判别式、根与系数的关系：当b 2-4ac >0时，方程有两个不相等的实数根。当b 2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根。当b 2-4ac <0时，方程有没有的实数根。如果一元二次方程2 0(0)ax bx c a ++=≠有两根12,x x 则有1212,b c x x x x a a +=- = 6、列一元二次方程解实际应用题步骤 考点精析 考点一、一元二次方程的解 例1：（2011黑龙江哈尔滨3分）若x =2是关于x 的一元二次方程x 2－m x ＋8=0的一个解．则m 的值是． (A) 6 (B) 5 (C) 2 (D)－6 1. （2011广西贵港3分）若关于x 的一元二次方程x 2－mx －2＝0的一个根为－1，则另一个根为 A ．1 B ．－1 C ．2 D ．－2 2.(2012年河北一模)关于x 的一元二次方程(a －1) x 2+x+a 2－1=0的一个根是0，则a 的值为（ ） A. 1 B. －1 C. 1或－1 D. 0 3. （2011广西百色3分）关于x 的方程22 20x mx m +-=的一个根为1，则m 的值为 A.1 B. 12. C.1或12. D.1或－12 . 4. （2012年浙江一模）已知关于x 的方程2 220x x k -+=的一个根是1，则k = ． 考点二、一元二次方程的解法 例题1,：（1）（2012湖北荆州）用配方法解关于x 的一元二次方程x 2－2x －3＝0，配方后的方程可以是( ) 21．1一元二次方程01基础题 知识点1一元二次方程的定义及一般形式 1．(山西农业大学附中月考)下列方程中是一元二次方程的是(A) A．3(x＋1)2＝2(x－1) B.1 x2＋ 1 x－2＝0 C．ax2＋bx＋c＝0 D．x2＋2x＝(x＋1)(x－1) 2．下列一元二次方程中，常数项为0的是(D) A．x2＋x＝1 B．2x2－x－12＝0 C．2(x2－1)＝3(x－1) D．2(x2＋1)＝x＋2 3．一个关于x的一元二次方程，它的二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为－5，则这个一元二次方程是2x2＋3x－5＝0． 4．将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项： (1)2x2＝8； 解：移项，得一元二次方程的一般形式：2x2－8＝0.其中二次项系数为2，一次项系数为0，常数项为－8. (2)2x2＋5＝4x； 解：移项，得一元二次方程的一般形式：2x2－4x＋5＝0. 其中二次项系数为2，一次项系数为－4，常数项为5. (3)4y(y＋3)＝0； 解：去括号，得一元二次方程的一般形式：4y2＋12y＝0. 其中二次项系数为4，一次项系数为12，常数项为0. (4)(x－2)(2x＋1)＝x2＋2. 解：去括号，得2x2＋x－4x－2＝x2＋2. 移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式： x2－3x－4＝0. 其中二次项系数为1，一次项系数为－3，常数项为－4. 知识点2一元二次方程的根 5．下列是方程3x2＋x－2＝0的解的是(A) A．x＝－1 B．x＝1 C．x＝－2 D．x＝2 6．下表是某同学求代数式x2－x的值的情况，根据表格可知方程x2－x＝2的根是(D A.x＝－1 B．x＝0 C．x＝2 D．x＝－1或x＝2 7．(山西第二次质量评估)若x＝－1是关于x的一元二次方程x2＋3x＋m＋1＝0的一个解，则m的值为1． 知识点3用一元二次方程刻画实际问题中的数量关系 8．某校准备修建一个面积为180平方米的矩形活动场地，它的长比宽多11米，设场地的宽为x米，则可列方程为(C) A．x(x－11)＝180 B．2x＋2(x－11)＝180 C．x(x＋11)＝180 D．2x＋2(x＋11)＝180 9．(教材P2问题1变式)(阳泉市平定县月考)王叔叔从市场上买了一块长80 cm，宽70 cm的矩形铁皮，准备制作一个工具箱．如图，他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边长为x cm的正方形后，剩余的部分刚好能围成一个底面积为3 000 cm2的无盖长方体工具箱，根据题意列方程为(C) A．(80－x)(70－x)＝3 000 B．80×70－4x2＝3 000 C．(80－2x)(70－2x)＝3 000 D．80×70－4x2－(70＋80)x＝3 000 10．有一根20 m长的绳子，怎样用它围成一个面积为24 m2的矩形？设矩形的长为x m，依题意可得方程为x(10－x)＝24． 11．根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化为一般形式． 一元二次方程知识点总结 考点一、一元二次方程 1、一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边十一个关于未知数x 的二次 多项式，等式右边是零，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。 考点二、一元二次方程的解法 1、直接开平方法: 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。 2、配方法: 配方法的理论根据是完全平方公式2 22)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。 配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式 3、公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。 一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式： )04(2422≥--±-=ac b a ac b b x 公式法的步骤：就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a ，一次项的系数为b ，常数项的系数为c 。 4、因式分解法 因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。 分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式 5、韦达定理 利用韦达定理去了解，韦达定理就是在一元二次方程中，二根之和等于- a b ，二根之积等于a c ，也可以表示为x 1+x 2=-a b ，x 1 x 2=a c 。利用韦达定理，可以求出一元二次方程中的各系数，在题目中很常用。 解一元二次方程: 例1 x 2 -4-(2x+4)=0 （因式分解法）解：（x+2)(x-2)-2(x+2)=0 (x+2)[(x-2)-2]=0 (x+2)(x-4)=0 所以 x 1=-2 ， x 2=4. （配方法）解：x 2 -2x-8=0 X 2-2x=8 X 2 -2x+(-1)2 =8+(-1)2 即(x-1)2=9 X-1=±3 所以 x 1=4 , x 2=-2. （公式法）解：x 2 -2x-8=0 →Δ=(-2)2 -4×1×(-8) =36>0 所以 x 1,2=1 236)2--?±（ 即x 1=4 , x 2=-2. （“x 2 +(a+b)x+ab=0→(x+a)(x+b)=0”法） 解：x 2-2x+(-4)2?=0 (X-4)(x+2)=0 所以 x 1=4 , x 2=-2. 1 例2 用配方法解下列一元二次方程： (1) x 2 -6x+5=0; (2) 2x 2 +4x-3=0; (3) 9x 2 +6x-1=0; (4) 4x 2-12x+m=0 (m 为任意实数）. 解：(1) x 2-6x=-5 X 2 -6x+(-3)2 =-5+(-3)2 即(x-3)2 =4 X-3=±2 所以 x 1=5 , x 2=1. (2) x 2 +2x=2 3 X 2 +2x+12 =2 3+12 (X+1)2 =2 5 X+1=± 210 所以 x 1=-1+ 2 10 , x 2=-1- 2 10 (3) (3x)2 +2×3x=1 (3x)2 +2×3x ×1+12 =1+12 (3x+1)2=2 3x+1=2± 所以x 1=32 1-+ ,x 2=-3 2 1+ . 2 23.1 一元二次方程 类型1、一元二次方程的概念 解题要点： （1）若一个方程是一元二次方程，必须同时满足三个条件：①是整式方程；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2，三个条件缺一不可。 （2）有些方程需要先整理，再判断。 （3）分母中含有未知数或根号下含有未知数的方程均不是一元二次方程。 题型1、一元二次方程的判别 例1．下列是一元二次方程的是（） 5x222．C．D ．B．A32x?x?)1(t)??2t(t?1(x?1)(x?2)?x?22?1x例2．下列方程哪些是一元二次方程？指出它们的序号。 1132222）4 （3）（1））（2（；；01?x?x0?1?x?01??y?x??x x?122）（6）（55)?x?3(x?2)(4?6x?2x(3x5)? 题型2、利用一元二次方程的概念求字母的值。 |m|是关于的一元二次方程，则（．方程）例 3x0?1?3xm?2)mx?( A．B．C．D．2m??2m?2?m?2??m 22是一元二次方程的条件是什么？例4．关于的方程x2??mxmx?3x?x 题型3、利用一元二次方程的概念求不等式的解集 2是一元二次方程，且满足不等式，则的取值范围是（．若）例5aa0?3ax??5x03a?6?1 ．D 且C B A ．．．0a?a?a?2?22??a???a 2 1/16 类型2、一元二次方程的一般形式 解题要点： （1）一元二次方程一般形式的特点是：方程左边是按未知数降幂排列的整式，右边是0，并且在通常情况下，左边各项系数不含有公约数。 2，后确定各项系数和常数项，一般形式中，、可以等于2）先化为一般形式：0。（c0ax??bx?cba?0（3）在应用时，如果求各项系数，不要漏掉前面的符号。 初中数学一元二次方程部分知识框架图如下： 第一：一元二次方程的基本解法 解一元二次方程的基本思路通过“降次”把一元二次方程转化为一元一次方程求解。 1.直接开平方法：对形如(x+a）2?=b（b≥0）的方程两边直接开平方而转化为两个一元一次方程的方法。 ①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数。 ②降次的实质是由一个一元二次方程转化为两个一元一次方程。 ③方法是根据平方根的意义开平方。 2.配方法：用配方法解一元二次方程：ax2?＋bx+c=0(k≠0）的一般步骤是： ①化为一般形式； ②移项，将常数项移到方程的右边； ③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数； ④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a）2?=b的形式； ⑤如果b≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b≤0，则原方程无解． 依据：配方法的理论依据是完全平方公式a?2;+b?2;±2ab=（a±b）?2; 关键：配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方。 3.公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的．一元二次方程的求根公式是 (b2?－4ac≥0)。步骤： ①把方程转化为一般形式； ②确定a，b，c的值； ③求出b2?－4ac的值，当b2?－4ac≥0时代入求根公式。 4.因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法．理论根据：若ab=0，则a=0或b=0。 ①将方程右边化为0； ②将方程左边分解为两一次因式的乘积； ③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解． 因式分解的方法：提公因式、公式法、十字相乘法。 5.图像解法:元二次方程的根的几何意义是二次函数的图像（为一条抛物线）与x轴交点的X坐标。 一元二次方程知识点 教学重点：根的判别式定理及逆定理的正确理解和运用 教学难点：根的判别式定理及逆定理的运用。 教学关键：对根的判别式定理及其逆定理使用条件的透彻理解。 主要知识点： 一、一元二次方程 1、一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边加一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。 二、一元二次方程的解法 1、直接开平方法: 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。 2、配方法: 配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。 配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式 3、公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。 一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式： )04(242 2≥--±-=ac b a ac b b x 公式法的步骤：就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a ，一次项的系数为b ，常数项的系数为c 4、因式分解法 因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。 分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式 5、韦达定理 一元二次方程 1、一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次 方程。 2、一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边十一个关 于未知数x 的二次多项式，等式右边是零，其中2 ax 叫做二 次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系 数；c 叫做常数项。 3.一元二次方程的解法 (1)直接开平方法:利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平 方法。直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。根据平 方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。 (2)配方法:配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看 做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。 配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项 的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式 (3)公式法:公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方 法。一元二次方程)0(02 ≠=++a c bx ax 的求根公式：)04(2422≥--±-=ac b a ac b b x 公式法的步骤：就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a ，一次项的 系数为b ，常数项的系数为c (4)因式分解法:因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单 易行，是解一元二次方程最常用的方法。 分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的 是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形 式 4.一元二次方程根的判别式:一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元 二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“?” 来表示，即ac b 42 -=? I 当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； 中考数学一元二次方程知识点总结 知识框架 知识点、概念总结 1.一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 2.一元二次方程有四个特点： (1)含有一个未知数； (2)且未知数次数最高次数是2； (3)是整式方程。要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行 整理。如果能整理为 ax 2 +bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程。 （4）将方程化为一般形式：ax 2 +bx+c=0时，应满足（a≠0） 3. 一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，?都能化成如下形式ax 2 +bx+c=0（a ≠0）。 一个一元二次方程经过整理化成ax 2+bx+c=0（a ≠0）后，其中ax 2 是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。 4.一元二次方程的解法 （1）直接开平方法 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如 b a x =+2)(的一元二次方程。根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±?=，当b<0时，方程没有实数根。 （2）配方法 配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。配方法的理论根据是完全平方公式2 2 2 )(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有2 2 2 )(2b x b bx x ±=+±。 配方法解一元二次方程的一般步骤：现将已知方程化为一般形式；化二次项系数为1；常数项移到右边；方 程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；变形为(x+p)2 =q 的形式，如果q ≥0，方程的根是x=-p ±√q ；如果q ＜0,方程无实根． （3）公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。 一元二次方程)0(02 ≠=++a c bx ax 的求根公式： 一元二次方程总复习 考点1：一元二次方程的概念 一元二次方程：只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且系数不为 0，这样的方程叫一元二次方 程． 一般形式：ax 2＋bx+c=0(a ≠0）。注意：判断某方程是否为一元二次方程时，应首先将方程化为一般形式。 考点2：一元二次方程的解法 1.直接开平方法：对形如(x+a ）2=b （b ≥0）的方程两边直接开平方而转化为两个一元一次方程的方法。 X+a=± b ∴1x =-a+b 2x =-a-b 2.配方法：用配方法解一元二次方程：ax 2＋bx+c=0(k ≠0）的一般步骤是：①化为一般形式；②移项，将常数项移到方程的右边；③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a ）2=b 的形式；⑤如果b ≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b ≤0，则原方程无解． 3.公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的．一元二 次方程的求根公式是a ac b b x 242-±-=(b 2－4ac ≥0)。步骤：①把方程转化为一般形式；②确定a ，b ，c 的值；③求出b 2－4ac 的值，当b 2－4ac ≥0时代入求根公式。 4.因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法．理论根据：若ab=0，则a=0或b=0。步骤是：①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解． 因式分解的方法：提公因式、公式法、十字相乘法。 5．一元二次方程的注意事项： 中考数学一元二次方程试题 一、选择题 1、一元二次方程2 210x x --=的根的情况为（ ） Ａ．有两个相等的实数根 Ｂ．有两个不相等的实数根Ｃ．只有一个实数根 Ｄ．没有实数根 2、若关于z 的一元二次方程02. 2=+-m x x 没有实数根，则实数m 的取值范围是（ ） A ．m 一元二次方程 1.一元二次方程的定义及一般形式： （1）等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数式2（二次）的方程，叫做一元二次方程。（2）一元二次方程的一般形式：20(0) ++=≠。其中a为 ax bx c a 二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。 注意：三个要点，①只含有一个未知数；②所含未知数的最高次数是2；③是整式方程。 2.一元二次方程的解法 （1）直接开平方法： 形如2 x a b b +=≥的方程可以用直接开平方法解，两边直接 ()(0) 开平方得x a b +=或者x a b =-±。 +=-，∴x a b 注意：若b<0，方程无解 （2）因式分解法： 一般步骤如下： ①将方程右边得各项移到方程左边，使方程右边为0； ②将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式； ③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程； ④解这两个一元一次方程，他们的解就是原方程的解。（3）配方法: 用配方法解一元二次方程20(0) ++=≠的一般步骤 ax bx c a ①二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数； ②移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项； ③配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程 化为2()(0)x m n n +=≥的形式； ④用直接开平方法解变形后的方程。 注意：当0n <时，方程无解 （4） 公式法： 一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠ 根的判别式：24b ac ?=- 0?>?方程有两个不相等的实根:242b b ac x a -±-=（240b ac -≥） ?()f x 的图像与x 轴有两个交点 0?=?方程有两个相等的实根?()f x 的图像与x 轴有一个交点 0? 一元二次方程单元测试题 一、选择题（共30分） 1、若关于x 的方程（a －1）x 21a +＝1是一元二次方程，则a 的值是（ ） A 、0 B 、－1 C 、 ±1 D 、1 2、下列方程: ①x 2=0, ② 21 x -2=0, ③22x +3x=(1+2x)(2+x), ④32x =0,⑤3 2x x -8x+ 1=0中,一元二次方程的个数是( ) A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 3、把方程（））+(2x-1)2=0化为一元二次方程的一般形式是( ) A 、5x 2-4x-4=0 B 、x 2-5=0 C 、5x 2-2x+1=0 D 、5x 2-4x+6=0 4、方程x 2=6x 的根是( ) A 、x 1=0,x 2=-6 B 、x 1=0,x 2=6 C 、x=6 D 、x=0 5、不解方程判断下列方程中无实数根的是( ) A 、-x 2=2x-1 B 、4x 2+4x+54 =0 C 20x -= D 、(x+2)(x-3)==-5 6、某超市一月份的营业额为200万元,已知第一季度的总营业额共1000万元, 如果平均每月增长率为x,则由题意列方程应为( ) A 、200(1+x)2=1000 B 、200+200×2x=1000 C 、200+200×3x=1000 D、200[1+(1+x)+(1+x)2]=1000 7、关于x 的二次方程01)1(22=-++-a x x a 的一个根是0，则a 的值为（ ） A 、1 B 、1- C 、1或1- D 、0.5 8、关于x 的方程x 2+2(k+2)x+k 2=0的两实根之和大于-4,则k 的取值范围是( ) A 、k>-1 B 、k<0 C 、-1 使用原理一：完全平方公式。 ①2222)(b ab a b a ++=+；②2222)(b ab a b a +-=-。 使用原理二：方程a x =2（0>a ）的解为a x ±=。 例题一：用配方法解一元二次方程。 ①4)2(2=+x ；②2)32(2=--x ；③9)12 1(2=-x ；④3)21(2=-x 。解答：①4)2(2=+x 。22424)2(2±=+?±=+?=+x x x 。 分类讨论：ｉ：当22=+x 时：02222=?-=?=+x x x 。 ⅱ：当22-=+x 时：42222-=?--=?-=+x x x 。 所以：方程4)2(2=+x 的解：01=x ，42-=x 。 ②2)32(2=--x 。2322)32(2±=--?=--x x 。分类讨论：ｉ：当232=--x 时：2 32322232-+=?+=-?=--x x x 。ⅱ：当232-=--x 时：232232322232-=-+-= ?+-=-?-=--x x x 。所以：方程4)2(2=+x 的解：2321-+= x ，2322-=x 。③9)121(2=-x 。312 191219)121(2±=-?±=-?=-x x x 。分类讨论：ｉ：当3121=-x 时：82442 113213121=??=?=?+=?=-x x x x x 。ⅱ：当3121-=-x 时：42222 113213121-=??-=?-=?+-=?-=-x x x x x 。所以：方程9)12 1(2=-x 的解：81=x ，42-=x 。 ④3)21(2=-x 。3213)21(2±=-?=-x x 。分类讨论：ｉ：当321=-x 时：2 31213132321-=--=?-=-?=-x x x 。ⅱ：当321-=-x 时：213213132321+=---= ?--=-?-=-x x x 。所以：方程3)21(2=-x 的解：2311-= x ，2132+=x 。跟踪训练一：用配方法解一元二次方程。 ①1)1(2=-x ；②5)22 1(2=--x ；③16)32(2=+x ；④7)2(2=-x 。例题二：用配方法解一元二次方程。 ①0322=--x x ；②01032=--x x ；③01072=-+-x x ；④022=+--x x 。 解答：①0322=--x x 。 4 )1(04)1(031)1(0311120322222222=-?=--?=---?=--+??-?=--x x x x x x x 2141±=-?±=-?x x 。 分类讨论：ｉ：当21=-x 时：31221=?+=?=-x x x 。 ⅱ：当21-=-x 时：11221-=?+-=?-=-x x x 。 所以：方程0322=--x x 的解：31=x ，12-=x 。 ②01032=--x x 。 04 49)23(0104923(010)23(23(2320103222222=--?=---?=--+??-?=--x x x x x x 2 72344923449)23(2±=-?±=-?=-?x x x 。分类讨论：ｉ：当2723=-x 时：52 1023272723=?=?+=?=-x x x x 。ⅱ：当2723-=- x 时：22 423272723-=?-=?+-=?-=-x x x x 。 一元二次方程知识点总结 1.一元二次方程的定义及一般形式： （1）等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数式2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 （2）一元二次方程的一般形式：20(0) a x b x c a ++=≠。其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。 注意：三个要点，①只含有一个未知数；②所含未知数的最高次数是2；③是整式方程。2.一元二次方程的解法 （1）直接开平方法： 形如2 += +=≥的方程可以用直接开平方法解，两边直接开平方得x a b ()(0) x a b b 或者x a b +=-，∴x a b =-±。 注意：若b<0，方程无解 （2）因式分解法： 一般步骤如下： ①将方程右边得各项移到方程左边，使方程右边为0； ②将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式； ③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程； ④解这两个一元一次方程，他们的解就是原方程的解。 （3）配方法: 用配方法解一元二次方程20(0) ++=≠的一般步骤 a x b x c a ①二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数； ②移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项； ③配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把方程化为2 x m n n +=≥ ()(0)的形式； ④用直接开平方法解变形后的方程。 注意：当0 n<时，方程无解 （4）公式法： 一元二次方程20(0)a x b x c a ++=≠ 根的判别式：2 4b a c ?=- 0?>?方程有两个不相等的实根:242b b a c x a -±-=（240b a c -≥）?()f x 的图 像与x 轴有两个交点 0?=?方程有两个相等的实根?()f x 的图像与x 轴有一个交点 0? 初中数学知识点归纳：一元二次方程 一元二次方程是初中数学的重要内容，是中考的热点，它是在学习一元一次方程、二元一次方程、分式方程等基础之上学习的，它也是一种数学建模的方法。学好一元二次方程是学好二次函数不可或缺的，是学好高中数学的奠基工程。应该说，一元二次方程是本书的重点内容。 一、目标与要求 1.了解一元二次方程及有关概念，一般式ax2+bx+c=0(a≠0)及其派生的概念，应用一元二次方程概念解决一些简单题目。 2.掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程，掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法，应用熟练掌握以上知识解决问题。 二、重点 1.一元二次方程及其它有关的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题。 2.判定一个数是否是方程的根; 3.用配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程。 4.运用开平方法解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程，领会降次──转化的数学思想。 5.利用实际问题建立一元二次方程的数学模型，并解决这个问题. 三、难点 1.一元二次方程配方法解题。 2.通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，?再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念。 3.用公式法解一元二次方程时的讨论。 4.通过根据平方根的意义解形如x2=n，知识迁移到根据平方根的意义解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程。 5.建立一元二次方程实际问题的数学模型，方程解与实际问题解的区别。 6.由实际问题列出的一元二次方程解出根后还要考虑这些根是否确定是实际问题的根。 7.知识框架 四、知识点、概念总结 1.一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程。 2.一元二次方程有四个特点： (1)含有一个未知数; (2)且未知数次数最高次数是2; (3)是整式方程。要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理。如果能整理为ax2+bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程。 (4)将方程化为一般形式：ax2+bx+c=0时，应满足(a≠0) 3. 一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，?都能化成如下形式ax2+bx+c=0(a≠0)。 一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0(a≠0)后，其中ax2是二次项，a是二次项系数;bx是一次项，b是一次项系数;c是常数项。(完整版)一元二次方程知识点总结和例题——复习
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初三复习资料一元二次方程知识点 中考考点 典型例题分
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一元二次方程知识点总结与易错题及答案
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