一元二次方程总复习
考点1：一元二次方程的概念
一元二次方程：只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且系数不为 0，这样的方程叫一元二次方 程．
一般形式：ax 2＋bx+c=0(a ≠0）。注意：判断某方程是否为一元二次方程时，应首先将方程化为一般形式。
考点2：一元二次方程的解法
1.直接开平方法：对形如(x+a ）2=b （b ≥0）的方程两边直接开平方而转化为两个一元一次方程的方法。
X+a=±
b
∴1x =-a+b 2x =-a-b
2.配方法：用配方法解一元二次方程：ax 2＋bx+c=0(k ≠0）的一般步骤是：①化为一般形式；②移项，将常数项移到方程的右边；③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a ）2=b 的形式；⑤如果b ≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b ≤0，则原方程无解．
3.公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的．一元二
次方程的求根公式是a
ac b b x 242-±-=(b 2－4ac ≥0)。步骤：①把方程转化为一般形式；②确定a ，b ，c 的值；③求出b 2－4ac 的值，当b 2－4ac ≥0时代入求根公式。
4.因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法．理论根据：若ab=0，则a=0或b=0。步骤是：①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解．
因式分解的方法：提公因式、公式法、十字相乘法。 5．一元二次方程的注意事项：
⑴ 在一元二次方程的一般形式中要注意，强调a ≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程．
⑵ 应用求根公式解一元二次方程时应注意：①先化方程为一般形式再确定a ，b ，c 的值；②若b 2
－4ac ＜0，则方程无解．
⑶ 利用因式分解法解方程时，方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x ＋4)2
=3（x ＋4）中，不能随便约去x ＋4。
⑷ 注意：解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握，解一元二次方程的一般顺序是：开平方法→因式分解法→公式法． 6．一元二次方程解的情况
⑴b 2－4ac ≥0?方程有两个不相等的实数根； ⑵b 2－4ac=0?方程有两个相等的实数根； ⑶b 2－4ac ≤0?方程没有实数根。
解题小诀窍：当题目中含有“两不等实数根”“两相等实数根”“没有实数根”时，往往首先考虑用b 2－4ac 解题。主要用于求方程中未知系数的值或取值范围。
考点3：根与系数的关系:韦达定理
对于方程ax 2＋bx+c=0(a ≠0）来说，x1 +x2 =—a b ，x1●x2= a c 。
利用韦达定理可以求一些代数式的值（式子变形），如212
2122212)(x x x x x x -+=+
212
12111x x x x x x +=+。
解题小诀窍：当一元二次方程的题目中给出一个根让你求另外一个根或未知系数时，可以用韦达定理。
二、经典考题剖析：
【考题1－1】下列方程是关于x 的一元二次方程的是（ ） A ．ax2＋bx+c=0 B. k2 x ＋5k+6=0
C.3x2＋2x+x 1
=0 D.( k2＋3) x2＋2x+1=0
【考题1－2】解方程：x2＋2x －3=0
【考题1－3】（2009、青岛，6分）已知方程5x2+kx －10=0一个根是－5，求它的另一个根及k 的值． 三、针对性训练：
1、下列方程中，关于x 的一元二次方程是（ ）
22222
11
.3(1)2(1) .
20.0 .21A x x B x y
C ax bx c
D x x x +=++-=++=+=-
2、若
22324x ( )
x x +-与互为相反数，则的值为
A ．12
B 、2
C 、±2
D 、±1
2
3、用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ） A.x2-2x-99=0化为(x-1)2=100 B.x2+8x+9=0化为(x+4)2=25
C.2t2-7t-4=0化为
1681
)47(2=
-t D.3y2-4y-2=0化为910)32(2=-y 4、关于x 的一元二次方程22
(1)2m x x m m +++-
30-=的一个根为x=0，则m 的值为（ ） A ．m=3或m=－1 B ．m=－3或m= 1 C ．m=－1 D ．m=－3
5、(2009济南)若x1 ，x2 是方程x2 －5x+6=0的两个根，则x1 +x2的值是（ ） A .1 B.5 C. －5 D.6
6、(2009眉山) 若x1 ，x2 是方程x2 －3x －1=0的两个根，则2111x x +
的值为（ ）
A.3
B.－3
C.31 D －31
7、(2009潍坊) 若x1 ，x2 是方程x2 －6x+k －1=0的两个根，且242
221=+x x ，则k 的值为（）
A.8
B. －7
C.6
D.5
8、(2009成都) 若关于x 的方程kx 2
－2x －1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（） A.k ＞－1 B. k ＞－1且k ≠0 C. k ＜1 D. k ＜1且k ≠0
9、已知一元二次方程x 2
+2x －8=0的一根是2，则另一个根是______________.
10、(2009泰安) 若关于x 的方程－x 2 +（2k+1）x+2－k 2
=0有实数根，则k 的取值范围是_______
11、解方程：(1)
32)32(22
=-x ; (2)3(1)2(1)y y y -=-; (3) 3(4x2 －9)－(2x －3)=0; (4) x2 －6x+8=0
12、(2009鄂州)关于x 的方程kx 2
+(k+2)x+4k
=0有两个不相等的实数根，
(1)求k 的取值范围；
(2)是否存在实数k 使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在求出k 的值；不存在说明理由。
考点：一元二次方程的应用
一、考点讲解：
1．构建一元二次方程数学模型，常见的模型如下：
⑴ 与几何图形有关的应用：如几何图形面积模型、勾股定理等；
⑵ 有关增长率的应用：此类问题是在某个数据的基础上连续增长（降低）两次得到新数据，常见的等量关系是a(1±x ）2=b ，其中a 表示增长（降低）前的数据，x 表示增长率（降低率），b 表示后来的数据。注意：所得解中，增长率不为负，降低率不超过1。
⑶ 经济利润问题：总利润=（单件销售额－单件成本）×销售数量；或者，总利润=总销售额－总成本。
⑷ 动点问题：此类问题是一般几何问题的延伸，根据条件设出未知数后，要想办法把图中变化的线段用未知数表示出来，再根据题目中的等量关系列出方程。
2．注重解法的选择与验根：在具体问题中要注意恰当的选择解法，以保证解题过程简洁流畅，特别要对方程的解注意检验，根据实际做出正确取舍，以保证结论的准确性． 二、经典考题剖析：
【考题1】（2009、深圳南山区）
课外植物小组准备利用学校仓库旁的一块空地，开辟一个面积为130平方米的花圃（如图1－2－1），打算一面利用长为15米的仓库墙面，三面利用长为33米的旧围栏，求花圃的长和宽．
解：设与墙相接的两边长都为x 米，则另一边长为(
)
332x -米，
依题意得()332130x x -= ，
C
2
2331300x x -+=∴110x =
213
2x =
又∵ 当110x =时，()33213x -=
当
213
2x =
时，
()33220x -=＞15
∴
13
2x =
不合题意，舍去．∴10x
=
答：花圃的长为13米，宽为10米．
【考题2】（2009、襄樊）为了改善居民住房条件，我市计划用未来两年的时间，将城镇居民的住房面积由现在的人均约为10平方米提高到12.1平方米，若每年的增长率相同，则年增长率为（） A.9﹪ B.10﹪ C. 11﹪ D.12 ﹪ 解：设年增长率为x ，根据题意得
10(1+x)2
=12.1， 解得x1=0.1，x2 =－2.1．
因为增长率不为负，所以x=0.1。故选D 。
【考题3】（2009、海口）某水果批发商场经销一种高档水果 如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ 解：设每千克水果应涨价x 元，依题意，得
(500－2 0 x)（10+x ）=6000． 整理，得x 2－15x ＋50=0． 解这个方程，x 1=5，x 2=10． 要使顾客得到实惠，应取x=5． 答：每千克应涨价5元．．
点拨：①此类经济问题在设未知数时，一般设涨价或降价为未知数；②应根据“要使顾客得到实惠”来取舍根的情况．
【考题4】如图，在△ABC 中，∠B=90°，AB=5，BC=7，点P 从A 点开始沿AB 边向点B 点以1cm/s 的速度移动，点Q 从B 点开始沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动.
（1）如果点P 、Q 分别从A 、B 两点同时出发，经过几秒钟，△PBQ 的面积等于4？ （2）如果点P 、Q 分别从A 、B 两点同时出发，经过几秒钟，PQ 的长度等于5？
解：（1）设经过x 秒钟，△PBQ
的面积等于4，
则由题意得
AP=x ，BP=5－x ，BQ=2x,
由21
BP ·BQ=4，得21
（5－x ）·2x=4，
解得，x 1=1，x 2=4．
当x=4时，BQ=2x=8＞7=BC ，不符合题意。故x=1 （2）由BP 2
+BQ 2
=52
得（5－x ）2
+（2x ）2
=52
, 解得x1=0（不合题意），x2=2． 所以2秒后，PQ 的长度等于5。 三、针对性训练：
1．小明的妈妈上周三在自选商场花10元钱买了几瓶酸奶，周六再去买时，正好遇上商场搞酬宾活动，同样的酸奶，每瓶比周三便宜0．5元，结果小明的妈妈只比上次多花了2元钱，却比上次多买了2瓶酸奶，问她上周三买了几瓶？
2．合肥百货大搂服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元。为了迎接“十·一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存。经市场调查发现：如果每件童装降价4元，那么平均每天就可多售出8件。要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少？
3．在宽为20米、长为32米的矩形地面上，修筑同样宽的两条互相垂直的道路，余下部分作为耕地，要使耕地面积为540米2，道路的宽应为多少？
4．小红的妈妈前年存了5000元一年期的定期储蓄，到期后自动转存.今年到期扣除利息税（利息税
32m
为利息的20%），共取得5145元.求这种储蓄的年利率.（精确到0.1%）
5．如图12-3，△ABC 中，∠B=90°，点P 从A 点开始沿AB 向点B 以1cm/s 的速度移动，点Q 从B 点开始沿BC 边向C 点以2cm/s 的速度移动。
（1）如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，经几秒钟，使△ABQ 的面积等于8cm2?
(2)如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，并且P 到B 后又继续在BC 边上前进，Q 以C 后又继续在AC 边上前进，经几秒钟，使△PCQ 的面积等于12.6 cm2。
解：依题意，得：21
（6-x ）·2x=8
解这个方程得：x1=2，x2=4
即经过2s ，点P 到距离B 点4cm 处，点Q 到距离B 点4cm 处；经过4s ，点P 到距离B 点2cm 处，点Q 到距离B 点8cm 处。故本小题有两解。
（2）设经过x 秒，点P 移动到BC 上，且有CP=（14-x ）cm,点Q 移动到CA 上，且命名CQ=（2x-8） cm ，过Q 作QD ⊥CB 于D 。 ∵△CQD ∽△CAB ，
∴AC AB x QD =
-82，即QD=10)
82(6-x 。
依题意，得：21（14-x ）·10)82(6-x =12.6，
解这个方程得：x1=7，x2=11
经过7s ，点P 在BC 距离C 点7cm 处，点Q 在CA 上距离C 点6cm 处，使S △PCQ=12.6cm2 经过11s ，点P 在BC 距离C 点3cm 处，点Q 在CA 上距离C 点14cm 处， ∵14＞0,点Q 已超出CA 范围，此解不存在。故本题只有一解。
中考真题
1.钟老师出示了小黑板上的题目(如图1－2－2）后，小敏回答：“方程有一根为1”，小聪回答：“方程有一根为2”．则你认为（ ）
A ．只有小敏回答正确
B ．只有小聪回答正确
C ．两人回答都正确
D ．两人回答都不正确
2.解一元二次方程x 2
－x －12=0，结果正确的是（ ）
A ．x 1=－4， x 2=3
B ．x 1=4，x 2=－3
C ．x 1=－4，x 2=－3
D ．x 1=4，x 2=3 3.方程(3)(3)x x x +=+解是（ ）
A ．x 1=1
B ．x 1=0，x 2=－3
C ．x 1=1，x 2=3
D ．x 1=1，x 2=－3
4.若t 是一元二次方程ax 2＋bx+c=0(a ≠0）的根，则判别式Δ=b 2－4ac 和完全平方式M=(2at+b)2
的关系是（ ）
A ．Δ=M
B ．Δ＞M
C ．Δ＜M
D ．大小关系不能确定
5.方程2
(1)0x x -= 的根是（ ）
A ．0
B ．1
C ．0，－1
D ．0，1
6.已知一元二次方程x 2
－2x －7=0的两个根为x 1，x 2，则x 1+ x 2的值为（ ） A ．－2 B ．2 C ．－7 D ．7
7.已知x 1、x 2是方程x 2－3x ＋1 ＝0的两个实数根，则
2
11
1x x +
的值是( ) A 、3 B 、－3 C 、1
3
D 、1
8.用换元法解方程(x 2
＋x)2＋(x 2
＋x)＝6时，如果设x 2
＋x ＝y ，那么原方程可变形为（ ）
A 、y 2
＋y －6＝0 B 、y 2
－y －6＝0
C 、y 2
－y ＋6＝0
D 、y 2
＋y ＋6＝0
9.方程x 2－5x=0的根是（）
A ．0
B ．0，5
C ．5，5
D ．5 10.若关于x 的方程x 2
＋2x ＋k=0有实数根，则（ ） A ．k ＜1，B ．k ≤1 C ．k ≤－1 D ．k ≥－1
11.如果一元二次方程x 2－4x ＋2＝0的两个根是x 1，x 2，那么x 1＋x 2等于（ ） A. 4 B. －4 C. 2 D. －2
12.用换元法解方程(x 2－x)－x x -2＝6时，设x x -2＝y ，那么原方程可化为（ ） A.2y ＋y －6＝0 B. 2
y ＋y ＋6＝0 C. 2y －y －6＝0 D. 2
y －y ＋6＝0
13.设x 1，x 2是方程2x 2+3x-2=0的两个根，则x 1＋x 2的值是 ( ) A ．-3 B ．3 C ．－23 D ．2
3
14.方程x 3
-x=0的解是（ ） A ．0，1 B ．1，-1 C ．0，-1 D ．0，1，－1 15.用换元法解方程
25x (
)40=y,11x+1x x x x -+=++时，若设则原方程_
_
16.两个数的和为6，差（注意不是积）为8，以这两个数为根的一元二次方程是__________ 17.方程x 2
－x=0的解是______________
18.等腰△ABC 中，BC=8， AB 、BC 的长是关于x 的方程x 2
－10x+m= 0的两根，则m 的值是________. 19.关于x 的一元二次方程ax2 +2x+1=0的两个根同号，则a 的取值范围是 _______________.
20.
21.解方程：x 3－2x 2
－3x ＝0.
22.解方程组：22
y=x+1x +y =5???
23.解方程：2（x －1）2
+5（x －l ）+2=0． 24.解方程：x 2
－2x －2=0 25.解方程：x 2 +5x+3=0 26.已知关于x 的一元二次方程
2(1)60
x k x -+-=的一个根是2，求方程的另一根和k 的值．
27.已知关于 x 的一元 二次方程
22(4)3340
k x x k k ++++-=的一个根为0，求k 的值．
28.如图1－2－3为长方形时钟钟面示意图，时钟的中心在长方形对角线的交点上，长方形的宽为20厘米，钟面数字2在长方形的顶点处，则长方形的长为_________厘米．（此题用到三角函数）
中考预测题
一、基础经典题( 44分)
(一)选择题(每题4分，共28分 )
【备考1】如果在－1是方程x 2
+mx －1=0的一个根，那么m 的值为（ ） A ．－2 B ．－3 C ．1 D ．2 【备考2】方程2(3)5(3)x x x -=-的解是（ ） A ．
1255
3 . .3, .322x B x C x x D x ==
===-
【备考3】若n 是方程2
0x mx n ++=的根，n ≠0，则m+n 等于（ ）
A ．－7
B ．6
C ．1
D ．－1
【备考4】关于x 的方程2
0x mx n ++=的两根中只有一个等于0，则下列条件中正确的是（ ）
A ．m ＝0，n ＝0
B ．m ＝0，n ≠0
C ．m ≠0，n = 0
D ．m ≠0，n ≠0
【备考5】以5－2 6 和5+2 6 为根的一元二次方程 是（ ）
A ．21010x x -+=
B ．01102
=++x x
C ．01102=--x x
D ．01102
=-+x x 【备考6】已知1x ，2x 是方程x 2
－x －3=0的两根，
那么2
2
21x x +值是（ ） A ．1 B ．5 C ．7 D 、494
【备考7】关于x 的方程2
21(3)0
4x m x m --+= 有两个不相等的实根，那么m 的最大整数是（ ）
A ．2
B ．－1
C ．0
D ．l （二）填空题（每题4分，共16分）
【备考8】已知一元二次方程x 2
＋3x+1=0的两个根为x 1，x 2那么（1+ x 1）（1+ x 2）的值等于_______. 【备考9】已知一个一元二次方程x 2
+px+l=0的一个实数根的倒数恰是它本身，则P 的值是_______. 【备考10】如图，在□ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，AE=EB=EC=a ，且a 是一元二次方程x 2
+2x －3=0的根，则□ABCD 的周长是_______
【备考11】关于x 的方程2(1)3(2)k x k x ++-+2
420k -=的一次项系数是－3，则k=_______
【备考12】关于x 的方程2
21
(1)50a a a x
x --++-= 是一元二次方程，则a=__________. 三、实际应用题（9分）
本题为增长率问题，一般形式为a （1+x ）2=b ，a 为起始时间的有关数量，b 为终止时间的有关数量
【备考13】2003年2月27日《广州日报》报道：2002年底广州自然保护区覆盖率(即自然保护区面积占全市面积的百分比）为4．65％，尚未达到国家A 级标准，因此，市政府决定加快绿化建设，力争到2005年底自然保护区覆盖率达到8％以上，若要达到最低目标8％，则广州市自然保护区面积的年平均增长率应是多少？（结果保留三位有效数字）．
14. 据媒体报道，我国2009年公民出境旅游总人数约5000万人次，2011年公民出境旅游总人数约
7200万人次，若2010年、2011年公民出境旅游总人数逐年递增，请解答下列问题：
（1）求这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率；
（2）如果2012年仍保持相同的年平均增长率，请你预测2012年我国公民出境旅游总人数约多少万人次？
15.商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的
降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价x 元．据此规律，请回答：
（1）商场日销售量增加件，每件商品盈利元（用含x的代数式表示）；
（2）在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？
16、当m是何值时，关于x的方程
2
2
23
4
)1
(
)2
(x
x
m
x
m=
-
-
+
+
（1）是一元二次方程；
（2）是一元一次方程；
（3）若x=-2是它的一个根，求m的值。
一元二次方程专项练习 一、选择题 x2-2a=0的一个根，则2a-1的值是 1.已知x=2是关于x的方程3 2 ( )． （A）3 （B）4 （C）5 （D）6 2.在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，? 制成一幅矩形挂图，如图所示．如果要使整个挂图的面积是 5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，?那么x满足的方程是( )．（A）x2+130x-1400=0 （B）x2+65x-350=0 （C）x2-130x-1400=0 （D）x2-65x-350=0 3.当代数式x2+3x+5的值为7时，代数式3x2+9x-2的值是( )． （A）4 （B）0 （C）-2 （D）-4 4.方程（x+1）（x+2）=6的解是( )． （A）x1=-1，x2=-2 （B）x1=1，x2=-4 （C）x1=-1，x2=4 （D）x1=2，x2=3 5.下列方程属于一元二次方程的是( )． （A）（x2-2）·x=x2（B）ax2+bx+c=0 （C）x+1 =5 （D） x x2=0
6.如果关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1=3，x2=1， ?那么这个一元二次方程是( )． （A）x2+3x+4=0 （B）x2-4x+3=0 （C）x2+4x-3=0 （D）x2+3x-4=0 7.某市计划经过两年时间，绿地面积增加44%，?这两年平均每年绿 地面积的增长率是( )． （A）19% （B）20% （C）21% （D）22% 8.下列方程中，无实数根的是( )． （A）x2+2x+5=0 （B）x2-x-2=0 （C）2x2+x-10=0 （D）2x2-x-1=0 9.方程x（x-1）=5（x-1）的解是( )． （A）1 （B）5 （C）1或5 （D）无解 10.把方程x2-4x-6=0配方，化为（x+m）2=n的形式应为( )． （A）（x-4）2=6 （B）（x-2）2=4 （C）（x-2）2=0 （D）（x-2）2=10 二、填空题 1.已知x2+y2-4x+6y+13=0，x，y为实数，则x y=_________． 2.请写出两根分别为-2，3的一个一元二次方程_________． 3.方程2x2-x-2=0的二次项系数是________，一次项系数是 ________，常数项是________． 4.已知三角形的两边分别是1和2，第三边的数值是方程2x2-5x+3=0 的根，则这个三角形的周长为_______． 5.若方程ax2+bx+c=0的一个根为-1，则a-b+c=_______．
一元二次方程 1、一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次 方程。 2、一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边十一个关 于未知数x 的二次多项式，等式右边是零，其中2 ax 叫做二 次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系 数；c 叫做常数项。 3.一元二次方程的解法 (1)直接开平方法:利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平 方法。直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。根据平 方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。 (2)配方法:配方法的理论根据是完全平方公式2 22)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看 做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。 配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项 的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式 (3)公式法:公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方 法。一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式：)04(2422≥--±-=ac b a ac b b x 公式法的步骤：就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a ，一次项的 系数为b ，常数项的系数为c (4)因式分解法:因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单 易行，是解一元二次方程最常用的方法。 分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的 是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形 式 4.一元二次方程根的判别式:一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元 二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“?” 来表示，即ac b 42 -=? I 当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；
初中数学知识点总结 一、基本知识 ㈠、数与代数A、数与式： 1、有理数 有理数：①整数→正整数/0/负整数 ②分数→正分数/负分数 数轴：①画一条水平直线，在直线上取一点表示0（原点），选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到数轴。②任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。③如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另外一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，并且与原点距离相等。④数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大。正数大于0，负数小于0，正数大于负数。 绝对值：①在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。②正数的绝对值是他的本身、负数的绝对值是他的相反数、0的绝对值是0。两个负数比较大小，绝对值大的反而小。 有理数的运算： 加法：①同号相加，取相同的符号，把绝对值相加。②异号相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。③一个数与0相加不变。 减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数。 乘法：①两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。②任何数与0相乘得0。③乘积为1的两个有理数互为倒数。 除法：①除以一个数等于乘以一个数的倒数。②0不能作除数。 乘方：求N个相同因数A的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫幂，A叫底数，N叫次数。 混合顺序：先算乘法，再算乘除，最后算加减，有括号要先算括号里的。 2、实数 无理数：无限不循环小数叫无理数 平方根：①如果一个正数X的平方等于A，那么这个正数X就叫做A的算术平方根。②如果一个数X的平方等于A，那么这个数X就叫做A的平方根。③一个正数有2个平方根/0的平方根为0/负数没有平方根。④求一个数A的平方根运算，叫做开平方，其中A叫做被开方数。 立方根：①如果一个数X的立方等于A，那么这个数X就叫做A的立方根。②正数的立方根是正数、0的立方根是0、负数的立方根是负数。③求一个数A的立方根的运算叫开立方，其中A叫做被开方数。 实数：①实数分有理数和无理数。②在实数范围内，相反数，倒数，绝对值的意义和有理数范围内的相反数，倒数，绝对值的意义完全一样。③每一个实数都可以在数轴上的一个点来表示。 3、代数式 代数式：单独一个数或者一个字母也是代数式。 合并同类项：①所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项。②把同类项合并成一项就叫做合并同类项。③在合并同类项时，我们把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。 4、整式与分式 整式：①数与字母的乘积的代数式叫单项式，几个单项式的和叫多项式，单项式和多项式统称整式。②一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。③一个多项式中，次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数。整式运算：加减运算时，如果遇到括号先去括号，再合并同类项。 幂的运算：AM+AN=A（M+N） （AM）N=AMN （A/B）N=AN/BN 除法一样。 整式的乘法：①单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母的幂分别相乘，其余字母连同他的指数不变，作
一元二次方程 专题一：一元二次方程的定义 典例分析： 例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ） A ()()12132 +=+x x B 02112=-+x x C 02=++c bx ax D 1222+=+x x x 2、若方程013)2(||=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则（ ） A ．2±=m B ．m=2 C ．2-≠m D ．2±≠m 3、关于x 的一元二次方程（a －1）x 2＋x+a 2－l=0的一个根是0。则a 的值为( ) A 、 1 B 、－l C 、 1 或－1 D 、 1 2 4、若方程()112=?+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 。 5、关于x 的方程0)2(2 2=++-+b ax x a a 是一元二次方程的条件是（ ） A 、a ≠1 B 、a ≠－2 C 、a ≠1且a ≠－2 D 、a ≠1或a ≠－2 专题二：一元二次方程的解 典例分析： 1、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。 2、已知方程0102=-+kx x 的一根是2，则k 为 ，另一根是 。 3、已知a 是0132=+-x x 的根，则=-a a 622 。
4、若方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)中，a,b,c 满足a+b+c=0和a-b+c=0,则方程的根是_______。 5、方程()()02=-+-+-a c x c b x b a 的一个根为（ ） A 1- B 1 C c b - D a - 课堂练习： 1、已知一元二次方程x 2+3x+m=0的一个根为-1，则另一个根为 2、已知x=1是一元二次方程x 2+bx+5=0的一个解，求b 的值及方程的另一个根． 3、已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为 。 4、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程必有一根为 。 专题三：一元二次方程的求解方法 典例分析： 一、直接开平方法 ();0912=--x 二、配方法 ． 难度训练： 1、如果二次三项式16)122++-x m x （ 是一个完全平方式，那么m 的值是_______________.
一元二次方程 知识点题集 （须用心按质完成） 1．方程12 x （x －3）=5（x －3）的根是_______． 2．下列方程中，是关于x 的一元二次方程的有________． （1）2y 2+y －1=0；（2）x （2x －1）=2x 2；（3）21x －2x=1；（4）ax 2+bx+c=0；（5）12 x 2=0． 3．把方程（1－2x ）（1+2x ）=2x 2－1化为一元二次方程的一般形式为________． 4．如果21x －2x －8=0，则1x 的值是________． 5．关于x 的方程（m 2－1）x 2+（m －1）x+2m －1=0是一元二次方程的条件是________． 6．关于x 的一元二次方程x 2－x －3m=0?有两个不相等的实数根，则m?的取值范围是定______________． 7．x 2－5│x │+4=0的所有实数根的和是________． 8．方程x 4－5x 2+6=0，设y=x 2，则原方程变形为___________________，原方程的根为________． 9．以－1为一根的一元二次方程可为_____________________（写一个即可）． 10．代数式12 x 2+8x+5的最小值是_________． 11．若方程（a －b ）x 2+（b －c ）x+（c －a ）=0是关于x 的一元二次方程，则必有（ ）． A ．a=b=c B ．一根为1 C ．一根为－1 D ．以上都不对 12.一元二次方程x 2－4＝0的解是（ ） A ．x 1＝2，x 2＝－2 B ．x ＝－2 C ．x ＝2 D ． x 1＝2，x 2＝0 13．已知（x 2+y 2+1）（x 2+y 2+3）=8，则x 2+y 2的值为（ ）． A ．－5或1 B ．1 C ．5 D ．5或－1 14．已知方程x 2+px+q=0的两个根分别是2和－3，则x 2－px+q 可分解为（ ）． A ．（x+2）（x+3） B ．（x －2）（x －3） C ．（x －2）（x+3） D ．（x+2）（x －3） 15．已知α，β是方程x 2+2006x+1=0的两个根，则（1+2008α+α2）（1+2008β+β2）的值为（ ）． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 16．三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x 2－6x+8=0的解，?则这个三角形的周长是（ ）． A ．8 B ．8或10 C ．10 D ．8和10 17.下列方程中不一定是一元二次方程的是( ) A.(a-3)x 2=8 (a ≠3) B.ax 2+bx+c=0 232057 x + -= 18下列方程中,常数项为零的是( ) A.x 2+x=1 B.2x 2-x-12=12； C.2(x 2-1)=3(x-1) D.2(x 2+1)=x+2 19.一元二次方程2x 2-3x+1=0化为(x+a)2=b 的形式,正确的是( )
知识点总结：一元二次方程 知识框架 知识点、概念总结 1.一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 2.一元二次方程有四个特点： (1)含有一个未知数； (2)且未知数次数最高次数是2； (3)是整式方程。要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理。如果能整理为 ax2+bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程。 （4）将方程化为一般形式：ax2+bx+c=0时，应满足（a≠0） 3. 一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，?都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）。 一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a 是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。4.一元二次方程的解法 （1）直接开平方法 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如b a x= +2) (的一元二次方程。根据平方根的定义可知，a x+是b的平方根，当0 ≥ b时，b a x± = +，b a x± - =，当b<0时，方程没有实数根。 （2）配方法 配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。配方法的理论根据是完全平方公式 2 2 2) ( 2b a b ab a+ = + ±，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有 2 2 2) ( 2b x b bx x± = + ±。 配方法解一元二次方程的一般步骤：现将已知方程化为一般形式；化二次项系数为1；常数项移到右边；方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；变形为(x+p)2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p ±√q；如果q＜0,方程无实根． （3）公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。 一元二次方程)0 (0 2≠ = + +a c bx ax的求根公式： )0 4 ( 2 4 2 2 ≥ - - ± - =ac b a ac b b x （4）因式分解法 因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。 5.一元二次方程根的判别式 根的判别式：一元二次方程)0 (0 2≠ = + +a c bx ax中，ac b4 2-叫做一元二次方程)0 (0 2≠ = + +a c bx ax的根的判别式，通常用“?”来表示，即ac b4 2- = ? 6.一元二次方程根与系数的关系 如果方程)0 (0 2≠ = + +a c bx ax的两个实数根是 2 1 x x，，那么a b x x- = + 2 1 ， a c x x= 2 1 。也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。 7.分式方程
解一元二次方程专项练习题（带答案） 1、用配方法解下列方程： （1） 025122＝＋＋x x （2） 1042＝＋x x （3） 1162＝－x x （4）0422＝－－x x 2、用配方法解下列方程： （1） 01762＝＋－x x （2） x x 91852＝－ （3） 52342＝－x x （4）x x 2452－＝ 3、用公式法解下列方程： （1） 08922＝＋－x x （2） 01692＝＋＋x x （3） 38162＝＋x x （4）01422＝－－x x 4、运用公式法解下列方程: (1) 01252＝－＋x x (2) 7962＝＋＋x x
（3） 2325x x ＝＋ （4） 1)53)(2(＝－－x x 5、用分解因式法解下列方程： （1）01692＝＋＋x x （2） x x x 22)1(3－＝－ （3）)32(4)32(2＋＝＋x x （4）9)3(222－＝－x x 6、用适当方法解下列方程： （1） 22(3)5x x -+= （2） 22330x x ++= （3） 2)2)(113(=--x x ； （4） 4 ) 2)(1(13)1(+-= -+x x x x 7、 解下列关于x 的方程: (1) x 2+2x －2=0 (2) 3x 2+4x －7= (3) (x +3)(x －1)=5 （4) (x －2)2+42x =0 8、解下列方程（12分） （1）用开平方法解方程：4)1(2=-x （2）用配方法解方程：x 2 —4x +1=0 （3）用公式法解方程：3x 2+5(2x+1)=0 （4）用因式分解法解方程：
一、知识结构： 一元二次方程?? ???*?韦达定理根的判别解与解法 二、考点精析 考点一、概念 (1)定义：①只含有一个未知数．．．．．．．．，并且②未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．，这样的③整式方程．．．． 就是一元二次方程。 (2)一般表达式：)0(02≠=++a c bx ⑶难点：如何理解 “未知数的最高次数是2”： ①该项系数不为“0”； ②未知数指数为“2”； ③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。 典型例题： 例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ） A ()()12132+=+x x B 02112=-+x x C 02=++c bx ax D 1222+=+x x x 变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。 例2、方程()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 。 针对练习： 1、方程782=x 的一次项系数是 ，常数项是 。 2、若方程()021=--m x m 是关于x 的一元一次方程， ⑴求m 的值；⑵写出关于x 的一元一次方程。 3、若方程()112=?+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 。 4、若方程nx m +x n -2x 2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（ ） =n=2 =2,n=1 =2,m=1 =n=1 考点二、方程的解
⑴概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。 ⑵应用：利用根的概念求代数式的值； 典型例题： 例1、已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为 。 例2、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。 例3、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程 必有一根为 。 例4、已知b a ,是方程042=+-m x x 的两个根，c b ,是方程0582=+-m y y 的两个根， 则m 的值为 。 针对练习： 1、已知方程0102=-+kx x 的一根是2，则k 为 ，另一根是 。 2、已知关于x 的方程022=-+kx x 的一个解与方程 31 1=-+x x 的解相同。 ⑴求k 的值； ⑵方程的另一个解。 3、已知m 是方程012=--x x 的一个根，则代数式=-m m 2 。 4、已知a 是0132=+-x x 的根，则=-a a 622 。 5、方程()()02=-+-+-a c x c b x b a 的一个根为（ ） A 1- B 1 C c b - D a - 6、若=?=-+y x 则y x 324,0352 。 考点三、解法 ⑴方法：①直接开方法；②因式分解法；③配方法；④公式法 ⑵关键点：降次 类型一、直接开方法：()m x m m x ±=?≥=,02
知识点1：一元二次方程的基本概念 1．一元二次方程3x 2 +5x-2=0的常数项是-2. 2．一元二次方程3x 2 +4x-2=0的一次项系数为4，常数项是-2. 3．一元二次方程3x 2 -5x-7=0的二次项系数为3，常数项是-7. 4．把方程3x(x-1)-2=-4x 化为一般式为3x 2 -x-2=0. 知识点2：直角坐标系与点的位置 1．直角坐标系中，点A （3，0）在y 轴上。 2．直角坐标系中，x 轴上的任意点的横坐标为0. 3．直角坐标系中，点A （1，1）在第一象限. 4．直角坐标系中，点A （-2，3）在第四象限. 5．直角坐标系中，点A （-2，1）在第二象限. 知识点3：已知自变量的值求函数值 1．当x=2时,函数y=32-x 的值为1. 2．当x=3时,函数y=2 1-x 的值为1. 3．当x=-1时,函数y= 3 21-x 的值为1. 知识点4：基本函数的概念及性质 1．函数y=-8x 是一次函数. 2．函数y=4x+1是正比例函数. 3．函数x y 2 1-=是反比例函数. 4．抛物线y=-3(x-2)2 -5的开口向下. 5．抛物线y=4(x-3)2 -10的对称轴是x=3. 6．抛物线2)1(2 12+-=x y 的顶点坐标是(1,2). 7．反比例函数x y 2 = 的图象在第一、三象限. 知识点5：数据的平均数中位数与众数 1．数据13,10,12,8,7的平均数是10. 2．数据3,4,2,4,4的众数是4. 3．数据1，2，3，4，5的中位数是3. 知识点6：特殊三角函数值 1．cos30°= 2 3. 2．sin 2 60°+ cos 2 60°= 1. 3．2sin30°+ tan45°= 2. 4．tan45°= 1. 5．cos60°+ sin30°= 1.
北师大版九年级数学-第二章-一元二次方程知识点 知识点一：认识一元一次方程 （一）一元二次方程的定义：只含有一个未知数（一元）并且未知数的次数是2（二次）的整式方程；这样的方程叫一元二次方程. （注意：一元二次方程必须满足以下三个条件：是整式方程；一元；二次） （二） 一元二次方程的一般形式：把20ax bx c ++=（a 、b 、c 为常数；a ≠0）称为一元二次方程的一般形式.其中a 为二次项系数；b 为一次项系数；c 为常数项. 【例题】 1、一元二次方程3x 2＝5x －1的一般形式是 ；二次项系数是 ；一次项系数是 ；常数项是 . 2、一元二次方程（x+1）(3x －2)=10的一般形式是 . 3、当m= 时；关于x 的方程5)3(7 2 =---x x m m 是一元二次方程. 4、下列方程中不一定是一元二次方程的是( ) A.(a-3)x 2=8 (a ≠3) B.ax 2+bx+c=0 23 2057 x +-= 知识点二：求解一元一次方程 （一）一元二次方程的根定义：使得方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解；一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根. 【例题】 例1、关于x 的一元二次方程()22110a x x a -++-=的一个根是0；则a 值为（ ） A 、1 B 、1- C 、1或1- D 、1 2 （二）解一元二次方程的方法： 1.配方法 <即将其变为2()0x m +=的形式> 配方法解一元二次方程的基本步骤： ①把方程化成一元二次方程的一般形式； ②将二次项系数化成1； ③把常数项移到方程的右边； ④两边加上一次项系数的一半的平方； ⑤把方程转化成2()0x m +=的形式； ⑥两边开方求其根. 【例题】 例2 一元二次方程x 2-8x-1=0配方后可变形为（ ） A ．（x+4）2=17 B ．（x+4）2=15 C ．（x-4）2=17 D ．（x-4）2=15 例3 用配方法解一元二次方程x 2-6x-4=0；下列变形正确的是（ ） A ．（x-6）2=-4+36 B ．（x-6）2=4+36 C ．（x-3）2=-4+9 D ．（x-3）2=4+9 例4 x 2-6x-4=0； x 2-4x=1； x 2-2x-2=0 2. 公式法x = （注意在找abc 时须先把方程化为一般形式） 【例题】 例5若一元二次方程x 2+2x+a=0的有实数解；则a 的取值范围是（ ） A ．a ＜1 B ．a≤4 C ．a≤1 D ．a≥1 例6 已知一元二次方程2x 2-5x+3=0；则该方程根的情况是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．两个根都是自然数 D ．无实数根 例7 已知关于x 的方程x 2+2x+a-2=0． （1）若该方程有两个不相等的实数根；求实数a 的取值范围； （2）当该方程的一个根为1时；求a 的值及方程的另一根． 3.分解因式法 把方程的一边变成0；另一边变成两个一次因式的乘积来求解.（主要包括“提公因式”和“十字相乘”） 【例题】 例8 一元二次方程x 2-2x=0的解是（ ） A ．0 B ．2 C ．0；-2 D ．0；2 例9 方程3（x-5）2=2（x-5）的根是 例10 x 2-3x+2=0； x 2+2x=3； （x-1）2+2x （x-1）=0 知识点三：一元二次方程的根与系数的关系 1.根与系数的关系：如果一元二次方程20ax bx c ++=的两根分别为x1、x2；则有：1212,b c x x x x a a +=-?= . 2.一元二次方程的根与系数的关系的作用： （1）已知方程的一根；求另一根； （2）不解方程；求二次方程的根x1、x2的对称式的值. （3）对比记忆以下公式：
一、一元二次方程真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．“父母恩深重，恩怜无歇时”，每年5月的第二个星期日即为母亲节，节日前夕巴蜀中学学生会计划采购一批鲜花礼盒赠送给妈妈们． （1）经过和花店卖家议价，可在原标价的基础上打八折购进，若在花店购买80个礼盒最多花费7680元，请求出每个礼盒在花店的最高标价；（用不等式解答） （2）后来学生会了解到通过“大众点评”或“美团”同城配送会在（1）中花店最高售价的基础上降价25%，学生会计划在这两个网站上分别购买相同数量的礼盒，但实际购买过程 中，“大众点评”网上的购买价格比原有价格上涨5 2 m%，购买数量和原计划一样：“美团”网 上的购买价格比原有价格下降了9 20 m元，购买数量在原计划基础上增加15m%，最终，在 两个网站的实际消费总额比原计划的预算总额增加了15 2 m%，求出m的值． 【答案】（1）120；（2）20． 【解析】 试题分析：（1）本题介绍两种解法： 解法一：设标价为x元，列不等式为0.8x?80≤7680，解出即可； 解法二：根据单价=总价÷数量先求出1个礼盒最多花费，再除以折扣可求出每个礼盒在花店的最高标价； （2）先假设学生会计划在这两个网站上分别购买的礼盒数为a个礼盒，表示在“大众点评” 网上的购买实际消费总额：120a（1﹣25%）（1+5 2 m%），在“美团”网上的购买实际消费 总额：a[120（1﹣25%）﹣9 20 m]（1+15m%）；根据“在两个网站的实际消费总额比原计划 的预算总额增加了15 2 m%”列方程解出即可． 试题解析：（1）解：解法一：设标价为x元，列不等式为0.8x?80≤7680，x≤120； 解法二：7680÷80÷0.8=96÷0.8=120（元）． 答：每个礼盒在花店的最高标价是120元； （2）解：假设学生会计划在这两个网站上分别购买的礼盒数为a个礼盒，由题意得： 120×0.8a（1﹣25%）（1+5 2 m%）+a[120×0.8（1﹣25%）﹣ 9 20 m]（1+15m%）=120×0.8a （1﹣25%）×2（1+ 15 2 m%），即72a（1+ 5 2 m%）+a（72﹣ 9 20 m）（1+15m%）=144a （1+ 15 2 m%），整理得：0．0675m2﹣1.35m=0，m2﹣20m=0，解得：m1=0（舍）， m2=20． 答：m的值是20．
一元二次方程专题 知识点1：一元二次方程的概念及一般形式 1、方程（1）3x-1=0;(2) 2310x -=;(3) 2130x x + =;(4) 221(1)(2)x x x -=--; (5) 2(52)(37)15x x x +-=;(6) 232x y x +=.其中一元二次方程的个数为 （ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 2、将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出方程的二次项系数、一次项系数和常数项。 （1）2(5)3x x x --=- （2）(21)(5)6x x x -+= 知识点2：用直接开平方法解一元二次方程 3、用直接看平方法解一元二次方程： （1）2169x = （2）2450x -= （3）24(21)360x --= （4）（21)40x +-= 知识点3：用配方法解一元二次方程
4、用配方法解方程2250x x --=时，原方程变形为 （ ） A 、2(1)6x += B 、2(1)6x -= C 、2(2)9x += D 、2(2)9x -= 5、用配方法解一元二次方程： （1）22410x x -+= （2）2213x x += 知识点4：用公式法解一元二次方程 6、用公式法解一元二次方程： （1）2410x x +-= （2）2441018x x x ++=- 知识点5：根的判别式（24b ac -）的应用 7、若关于x 的一元二次方程2210mx x --=有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 （ ） A 、m>-1 B 、m>-1且m ≠0 C 、m<1 D 、m<1且m ≠0 8、已知a 、b 、c 分别是三角形ABC 的三边，其中a=1,c=4,且关于x 的方程240x x b -+=有两个相等的实数根，试判断三角形ABC 的形状。 4、 已知关于x 的一元二次方程2223840x mx m m --+-=. （1）求证：原方程恒有两个实数根; （2）若方程的两个实数根一个小于5，另一个大于2，求m 的取值范围. 知识点6：用分解因式法解一元二次方程 9、用分解因式法解一元二次方程 （1）230x x += （2）2(3)4(3)0x x x -+-=
一元二次方程概念专项练习 知识梳理： 1.一元二次方程的一般形式：a x2＋bx＋c=0(a≠0) 2.一元二次方程的特点： ①整式方程 ②a不为0 ③只含有一个未知数 ④未知数的最高次数为2 3.重点：一元二次方程的识别与判断 4.难点：题目不表明所需要判断的方程是一元二次方程还是一元一次方程时，需要分类讨论 一、选择题 1、在下列方程中是一元二次方程的是（） A．x2－2xy+y2=0 B．x(x+3)=x2－1 C．x2－2x=3 D．x+ =0 2、下列方程为一元二次方程的是 ( ) A. B. C. D. 3、下列方程中，一元二次方程个数（） ①、；②、；③、；④、；⑤、. A、5个 B、4个 C、3个 D、2个 4、已知关于x的一元二次方程（x+1）2﹣m=0有两个实数根，则m的取值范围是（） A．m≥﹣ B．m≥0 C．m≥1 D．m≥2 5、以1，-2为根的一元二次方程是 A.x2+x-2=0 B.x2-x+2=0 C.x2-x-2=0 D.x2+x+2=0 6、已知x=0是二次方程（m +1）x2+ mx + 4m2- 4 = 0的一个解，那么m的值是（） A．0 B．1 C．- 1 D． 7、若c（c≠0）为关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的根，则c+b的值为（） A．1 B．-1 C．2 D．-2 8、若关于x的一元二次方程的常数项为0，则m的值等于
A．1 B．2 C．1或2 D．0 9、定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程.已知 是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（） A． B． C． D． 10、若为方程的解，则的值为（） A.12 B.6 C.9 D.16 二、填空题 11、如果,则一元二次方程必有一个根是. 12、已知是方程的解，则代数式的值为 . 13、已知，则的值是 . 14、某中学摄影兴趣小组的学生，将自己拍摄的照片向本组其他成员各赠送一张，全组共互赠了182张，若全组有名学生，则根据题意列出的方程是。 15、若实数a满足，则3___________． 三、简答题 16、关于的方程是否一定是一元二次方程？请证明你的结论. 17、若关于的一元二次方程的常数项为0，求的值是多少？ 18、已知关于x的方程． （1）m为何值时，此方程是一元一次方程？
一元二次方程知识点总结 考点一、一元二次方程 1、一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边十一个关于未知数x 的二次 多项式，等式右边是零，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。 考点二、一元二次方程的解法 1、直接开平方法: 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。 2、配方法: 配方法的理论根据是完全平方公式2 22)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。 配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式 3、公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。 一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式： )04(2422≥--±-=ac b a ac b b x 公式法的步骤：就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a ，一次项的系数为b ，常数项的系数为c 。 4、因式分解法 因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。 分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式 5、韦达定理 利用韦达定理去了解，韦达定理就是在一元二次方程中，二根之和等于- a b ，二根之积等于a c ，也可以表示为x 1+x 2=-a b ，x 1 x 2=a c 。利用韦达定理，可以求出一元二次方程中的各系数，在题目中很常用。
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第一章：实数 重要复习的知识点： 一、实数的分类： ?????? ???????????????????????????????????????无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数或无限循环小负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数实数 1、有理数：任何一个有理数总可以写成q p 的形式，其中p 、q 是互质的整数，这是有理数的重要特征。 2、无理数：初中遇到的无理数有三种：开不尽的方
根，如2、34；特定结构的不限环无限小数，如 1.101001000100001……；特定意义的数，如π、45sin °等。 3、判断一个实数的数性不能仅凭表面上的感觉，往往要经过整理化简后才下结论。 二、实数中的几个概念 1、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。 （1）实数a 的相反数是 -a ； （2）a 和b 互为相反数?a+b=0 2、倒数： （1）实数a （a ≠0）的倒数是a 1；（2）a 和b 互为倒数?1=ab ；（3）注意0没有倒数 3、绝对值： （1）一个数a 的绝对值有以下三种情况： ?????-==0,0, 00, a a a a a a （2）实数的绝对值是一个非负数，从数轴上看，一个实数的绝对值，就是数轴上表示这个数的点到原
点的距离。 （3）去掉绝对值符号（化简）必须要对绝对值符号里面的实数进行数性（正、负）确认，再去掉绝对值符号。 4、n次方根 （1）平方根，算术平方根：设a≥0，称a 叫a的平方根，a叫a的算术平方根。 （2）正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。 （3）立方根：3a叫实数a的立方根。 （4）一个正数有一个正的立方根；0的立方根是0；一个负数有一个负的立方根。 三、实数与数轴 1、数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线称为数轴。原点、正方向、单位长度是数轴的三要素。 2、数轴上的点和实数的对应关系：数轴上的每一个点都表示一个实数，而每一个实数都可以用数轴上的唯一的点来表示。实数和数轴上的点是一一对应
一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．已知关于x 的一元二次方程()22 2130x k x k --+-=有两个实数根． ()1求k 的取值范围； ()2设方程两实数根分别为1x ，2x ，且满足221223x x +=，求k 的值． 【答案】（1）134k ≤ ；（2）2k =-． 【解析】 【分析】 ()1根据方程有实数根得出()()22[2k 1]41k 38k 50=---??-=-+≥，解之可得． ()2利用根与系数的关系可用k 表示出12x x +和12x x 的值，根据条件可得到关于k 的方程，可求得k 的值，注意利用根的判别式进行取舍． 【详解】 解：()1关于x 的一元二次方程()22 2130x k x k --+-=有两个实数根， 0∴≥，即()()22[21]4134130k k k ---??-=-+≥， 解得134 k ≤． ()2由根与系数的关系可得1221x x k +=-，2123x x k =-， () 222222121212()2(21)23247x x x x x x k k k k ∴+=+-=---=-+， 221223x x +=， 224723k k ∴-+=，解得4k =，或2k =-， 134 k ≤， 4k ∴=舍去， 2k ∴=-． 【点睛】 本题考查了一元二次方程2 ax bx c 0(a 0,++=≠a ，b ，c 为常数)根的判别式.当0>，方程有两个不相等的实数根；当0=，方程有两个相等的实数根；当0<，方程没有实数根.以及根与系数的关系． 2．已知：关于的方程 有两个不相等实数根． （1） 用含的式子表示方程的两实数根； （2）设方程的两实数根分别是，（其中），且，求的值．
一元二次方程知识点 知识点一：一元二次方程及其解法关键点拨及对应举例 1.一元二次方程的相关概念 (1)定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2 的整式方 程． (2)一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中ax2、bx、c分别叫做二次 项、一次项、常数项，a、b、c分别称为二次项系数、一次项系数、常 数项． 例：方程20 a ax+=是关于x 的一元二次方程，则方程的根为－ 1. 2 .一元二 次方程的解法 （1）直接开平方法：形如（x+m）2=n(n≥0)的方程，可直接开平方 求解. ( 2 )因式分解法：可化为（ax+m）(bx+n)=0的方程，用因式分解 法求解. ( 3 )公式法:一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式为 x= 24 2 b b ac a -±-（b2-4ac≥0）. (4)配方法：当一元二次方程的二次项系数为1，一次项系数为偶 数时，也可以考虑用配方法． 解一元二次方程时，注意 观察，先特殊后一般，即先 考虑能否用直接开平方法和 因式分解法，不能用这两种方 法解时，再用公式法. 例：把方程x2+6x+3=0变 形为(x+h)2=k的形式后， h=-3,k=6. 知识点二：一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 3 .根的判别式 (1)当Δ＝24 b ac -0时，原方程有两个不相等的实数根． (2)当Δ＝24 b ac -0时，原方程有两个相等的实数根． (3)当Δ＝24 b ac -0时，原方程没有实数根． 例：方程2210 x x +-=的判 别式等于8，故该方程有两个不相 等的实数根；方程2230 x x ++= 的判别式等于－8，故该方程没有实 数根. * 4.根与系数的关系 （1）基本关系：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两 个根分别为x1、x2,则x1+x2= ；x1x2= 。注意运用根与系数 关系的前提条件是△≥0. （2）解题策略：已知一元二次方程，求关于方程两根的代数式 的值时，先把所求代数式变形为含有x1+x2、x1x2的式子，再运用根与 系数的关系求解. 与一元二次方程两根相关代数 式的常见变形： x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2, (x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1, 12 1212 11x x x x x x + += 等. 失分点警示 在运用根与系数关系解题时， 注意前提条件时△=b2-4ac≥0.a≠0 知识点三：一元二次方程的应用 4（1）解题步骤：①审题；②设未知数；③列一元二次方程； ④解一元二次方程；⑤检验根是否有意义；⑥作答． 运用一元二次方程解决实际问题时，方程一般有两个实
21章 一元二次方程知识点 一、一元二次方程 1、一元二次方程概念：等号两边是整式，含有一个未知数，并且未 知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程。 注意：（1）一元二次方程必须是一个整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2 ；（4）二次项系数不能等于0 2、一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边是一个关于未知数x 的二次三项式，等式右边是零，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。 注意：（1）二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前面的符号。 （2）要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式。 （3）形如02=++c bx ax 不一定是一元二次方程，当且仅当0≠a 时是一元二次方程。 二、 一元二次方程的解 使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解，如：当2 =x 时，0232=+-x x 所以2=x 是0232=+-x x 方程的解。一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。一元二次方程有两个根（相等或不等） 三、一元二次方程的解法 1、直接开平方法: 直接开平方法理论依据：平方根的定义。 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。 根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。
三种类型：（1）()02≥=a a x 的解是a x ±=； （2）()()02≥=+n n m x 的解是m n x -±=； （3）()()0,02≥≠=+c m c n mx 且的解是m n c x -±= 。 2、配方法: 配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。 （一）用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤： （1） 把一元二次方程化成一般形式 （2） 在方程的左边加上一次项系数绝对值的一半的平方，再减去这 个数； （3） 把原方程变为()n m x =+2的形式。 （4） 若0≥n ，用直接开平方法求出x 的值，若n ﹤0，原方程无解。 （二）用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程 当一元二次方程的形式为()1,002≠≠=++a a c bx ax 时，用配方法解一元二次方程的步骤： （1）把一元二次方程化成一般形式 (2) 先把常数项移到等号右边，再把二次项的系数化为1：方程的左、右两边同时除以二项的系数； （3）在方程的左、右两边加上一次项系数绝对值的一半的平方把原方程化为()n m x =+2的形式； （4）若0≥n ，用直接开平方法或因式分解法解变形后的方程。 3、公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。