抛物线的简单几何性质
一、抛物线几何性质的应用 活动与探究1
已知抛物线的顶点在原点，焦点F 在x 轴正半轴上．若抛物线上一动点P 到A ? ??
??2，32，F 两点距离之和的最小值为4，且A 为抛物线内一点，求抛物线方程．
迁移与应用
1．抛物线y 2
＝2px (p ＞0)上一点M 的纵坐标为－42，该点到准线的距离为6，则抛物线方程为________________．
2．已知圆x 2＋y 2－6x －7＝0与抛物线y 2
＝2px (p ＞0)的准线相切，则p ＝__________． 注意抛物线各元素间的关系：抛物线的焦点始终在对称轴上，抛物线的顶点就是抛物线与对称轴的交点，抛物线的准线始终与对称轴垂直，抛物线的准线与对称轴的交点和焦点关于抛物线的顶点对称．
二、抛物线的焦点弦 活动与探究2
已知直线l 经过抛物线y 2
＝6x 的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点． (1)若直线l 的倾斜角为60°，求|AB |的值；
(2)若|AB |＝9，求线段AB 的中点M 到准线的距离． 迁移与应用
1．过抛物线y 2
＝2px 的焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，若A ，B 在准线上的射影为A 1，B 1，则∠A 1FB 1等于( )．
A ．45°
B ．90° C．60° D．120°
2．过抛物线y 2
＝2px (p ＞0)的焦点F 作一条直线交抛物线于A ，B 两点，求1|AF |＋1|BF |
的
值．
已知过抛物线y 2
＝2px (p ＞0)的焦点的直线交抛物线于A ，B 两点，则弦AB 称为焦点弦．设
A (x 1，y 1)，
B (x 2，y 2)，则有下列性质：|AB |＝x 1＋x 2＋p 或|AB |＝2p
sin 2α
(α为AB 的倾斜角)，
y 1y 2＝－p 2
，x 1x 2＝p 2
4
等．
三、直线与抛物线的位置关系 活动与探究3
已知抛物线y 2
＝6x 的弦AB 经过点P (4,2)，且OA ⊥OB (O 为坐标原点)，求弦AB 的长．
迁移与应用
1．直线y ＝kx －2与抛物线y 2
＝8x 交于A ，B 两点，且AB 中点的横坐标为2，则k 的值为( )．
A ．－1
B ．2
C ．2或－1
D ．4
2．过点Q (4,1)作抛物线y 2
＝8x 的弦AB ，若AB 恰被Q 平分，求AB 所在的直线方程．
1．直线与抛物线位置关系的判定：直线方程与抛物线方程联立得方程ax 2
＋bx ＋c ＝0，当a ＝0时，直线是抛物线的对称轴或是和对称轴平行的直线，此时直线与抛物线相交，且只有一个交点；当a ≠0时，两者位置关系的判定和椭圆、双曲线相同，用判别式法即可，即①相交：两个不同交点?a ≠0且Δ＞0；②相切?a ≠0且Δ＝0；③相离?a ≠0且Δ＜0．
2．凡涉及抛物线的弦长、弦的中点问题，要注意“点差法”的运用，体现“设而不求”的优越性．
当堂检测
1．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，如果
直线AF的斜率为|PF|＝( )．
A．．8 C．．16
2．直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x只有一个公共点，则k的值为( )．
A．1 B．1或3 C．0 D．0或1
3．过抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于A，B两点，A，B
在x轴上的正射影分别为D，C．若梯形ABCD的面积为，则p＝__________．4．已知P，Q为抛物线x2＝2y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，－2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为__________．
5．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)过点A(1，－2)．
(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；
(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直
？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
线OA与l的距离等于
5
答案：
课前2预习导学 【预习导引】
1．? ????－p 2，0 ? ??
??0，p 2 x ＝－p 2 y ＝p
2 x ≤0
y ≤0 x 轴 y 轴 (0,0)
预习交流1 提示：抛物线与双曲线的一支不相同．双曲线的一支有渐近线，离心率e ＞1；抛物线没有渐近线，它的离心率是唯一的，e ＝1．
2．x 0＋p
2
x 1＋x 2＋p 2p
预习交流2 提示：抛物线方程化为y 2
＝13x ，2p ＝13，故其通径长为13
．
预习交流3 提示：不正确，若直线与抛物线相切，则它们只有一个公共点，但当直线与抛物线只有一个公共点时，直线不一定与抛物线相切，还可能是相交，这时直线与抛物线的对称轴平行或重合．这一点与圆、椭圆是不同的，要注意区别．
课堂2合作探究 【问题导学】
活动与探究1 思路分析：先根据题目条件设出抛物线方程，再结合图形，探讨抛物线上的动点P 满足到A ，F 两点距离之和取最小值时的条件，进而列出等量关系．
解：设所求的抛物线方程为y 2
＝2px (p ＞0)，
其焦点为F ? ??
??p 2，0，准线l ：x ＝－p
2．
如图所示，若A 点在“抛物线所包含的区域之内”， 过点P 作准线的垂线，垂足为H ，
由抛物线定义可知|PF |＝|PH |． 当H ，P ，A 在同一条直线上时， |PA |＋|PF |取最小值|AH |＝2＋
2
p ＝4，解得p ＝4，故所求的抛物线方程为y 2
＝8x ． 迁移与应用 1．y 2
＝16x 或y 2
＝8x 解析：由于抛物线的准线方程是x ＝－p
2
，而点M 到
准线的距离为6，所以M 点的横坐标是6－p 2，于是M ? ????6－p 2，－42，代入方程得32＝2p ? ??
??6－p
2，
解得p ＝8或p ＝4，故方程为y 2＝16x 或y 2
＝8x ．
2．2 解析：圆x 2＋y 2－6x －7＝0的圆心为(3,0)，半径为4，抛物线y 2
＝2px 的准线为
x ＝－p 2．由????
??3＋p 2＝4，得p ＝2或－14(舍)．
活动与探究2 思路分析：(1)由倾斜角可知斜率，从而得到l 的方程，与抛物线方程联立，结合抛物线定义可求得|AB |的值；(2)由|AB |＝9求得弦AB 中点的横坐标即可求得M 到准线的距离．
解：(1)因为直线l 的倾斜角为60°，所以其斜率k ＝tan 60°＝3．
又F ? ????32，0，所以直线l 的方程为y ＝3? ??
??x －32． 联立?
????
y 2
＝6x ，y ＝3? ????x －32，
消去y 得x 2
－5x ＋94
＝0．
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝5，
而|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p
2
＝x 1＋x 2＋p ，所以|AB |＝5＋3＝8．
(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线定义知 |AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋p ＝x 1＋x 2＋3，
所以x 1＋x 2＝6，于是线段AB 的中点M 的横坐标是3．
又准线方程是x ＝－3
2
，
所以M 到准线的距离为3＋32＝9
2
．
迁移与应用 1．B 解析：如图，由抛物线定义知|AA 1|＝|AF |，|BB 1|＝|BF |，所以∠AA 1F ＝∠AFA 1．
又∠AA 1F ＝∠A 1FO ， 所以∠AFA 1＝∠A 1FO ． 同理∠BFB 1＝∠B 1FO ．
于是∠AFA 1＋∠BFB 1＝∠A 1FO ＋∠B 1FO ＝∠A 1FB 1．
故∠A 1FB 1＝90°．
2．解：已知抛物线的焦点,02p F ??
???
，
设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)． 对于直线AB ，分两种情况考虑： (1)若直线AB 的倾斜角为90°， 则有|AF |＝|BF |＝p ，所以
112
||||AF BF p
+=； (2)若直线AB 的倾斜角不等于90°， 设直线AB 的方程为2p y k x ??=- ???
， 与抛物线方程联立并消去y ，
整理得k 2x 2
－(k 2
＋2)px ＋22
4k p ＝0，
由韦达定理得，x 1＋x 2＝22(2)k p k +，x 1x 2＝2
4
p ．
另一方面，由抛物线定义得
|AF |＝x 1＋
2p ，|BF |＝x 2＋2p
． 于是1
21111||||22
p p AF BF x x +=+
++ ＝()122
121224x x p
p p x x x x +++++
＝()
()
22222222=2424
k p
p k p k p p p p
k ++++?+． 活动与探究3 思路分析：要求弦AB 的长，只需求出A ，B 两点的坐标．为此，设出A ，
B 两点的坐标，利用OA ⊥OB 以及A ，B ，P 三点共线的条件求解．
解：∵A ，B 两点在抛物线y 2
＝6x 上，
可设A ? ????y 216，y 1，B ? ??
??y 2
26，y 2． ∵OA ⊥OB ，∴OA 2OB ＝0．
由OA ＝? ????y 216，y 1，OB ＝? ??
??y 226，y 2，
得
y 21y 22
36
＋y 1y 2＝0．
∵y 1y 2≠0，∴y 1y 2＝－36．①
∵点A ，B 与点P (4,2)在一条直线上， ∴y 1－2y 216－4＝y 1－y 2y 216－y 226
，化简得y 1－2y 21－24＝1y 1＋y 2， 即y 1y 2－2(y 1＋y 2)＝－24． 将①代入，得y 1＋y 2＝－6．②
由①和②，得y 1＝－3－35，y 2＝－3＋35，从而点A 的坐标为(9＋35，－3－35)，点B 的坐标为(9－35，－3＋35)．
∴|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2
＝610．
迁移与应用 1．B 解析：∵直线y ＝kx －2与抛物线y 2
＝8x 交于两点，∴k ≠0． 由?????
y ＝kx －2，y 2＝8x ，
消去y ，得k 2x 2－4kx －8x ＋4＝0， ∴x 1＋x 2＝4k ＋8k
2．
而AB 中点的横坐标为2， ∴4k ＋8
k
2＝4，解得k
＝－1或k ＝2．
而当k ＝－1时，方程k 2x 2
－4kx －8x ＋4＝0只有一个解，即A ，B 两点重合，∴k ≠－1． 2．解：方法1：显然AB 不垂直于x 轴，
故可设弦AB 所在的直线方程为y －1＝k (x －4)，
联立方程组?
????
y －1＝k (x －4)，
y 2
＝8x ，消去x ，
整理得ky 2
－8y －32k ＋8＝0．
此方程的两根是弦AB 的端点A ，B 的纵坐标，
由韦达定理得y 1＋y 2＝8
k
．
又Q 点是弦AB 的中点，∴y 1＋y 2＝2．∴k ＝4． 故弦AB 所在的直线方程为y －1＝4(x －4)， 即4x －y －15＝0．
方法2：设弦AB 的端点A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)． 则有2118y x ＝，2228y x ＝，
两式相减得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝8(x 1－x 2)． 由于Q 点是弦AB 的中点，
∴y 1＋y 2＝2，于是
y 1－y 2
x 1－x 2
＝4， 即直线AB 的斜率k ＝4，
故弦AB 所在的直线方程为y －1＝4(x －4)， 即4x －y －15＝0．
当堂检测
1．设抛物线y 2
＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足，如果
直线AF 的斜率为|PF |＝( )．
A ．．8
C ．．16
答案：B 解析：如图，直线AF 的方程为2)y x =-，与准线方程x ＝－2联立得
A (－2，．
设P (x 0，，代入抛物线y 2
＝8x ，得8x 0＝48，∴x 0＝6． ∴|PF |＝x 0＋2＝8．
2．直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2
＝8x 只有一个公共点，则k 的值为( )． A ．1 B ．1或3 C ．0 D ．0或1
答案：D 解析：联立22,8y kx y x
=+??=?得(kx ＋2)2
－8x ＝0．
整理得k 2x 2
＋(4k －8)x ＋4＝0．
当k ＝0时，方程变为－8x ＋4＝0，只有一解，这时直线与抛物线只有一个公共点；
当k ≠0时，由Δ＝0得(4k －8)2－16k 2
＝0，解得k ＝1． 综上，k ＝0或1．
3．过抛物线x 2
＝2py (p ＞0)的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于A ，B 两点，A ，B
在x 轴上的正射影分别为D ，C ．若梯形ABCD 的面积为，则p ＝__________．
答案：2 解析：如图，抛物线焦点为0,
2p ?? ???
，
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB ：y －
2p ＝x ，即y ＝x ＋2
p ．
联立x 2＝2py ，得2,22,p y x x py ?
=+?
??=?
消去y 得x 2
－2px －p 2
＝0，
∴x 1＝(1
p ，x 2＝(1
p ．
∴|AD |＋|BC |＝y 1＋y 2＝x 1＋
2p ＋x 2＋2
p
＝2p ＋p ＝3p ，|CD |＝|x 1－x 2|
＝． 由S 梯形ABCD ＝12(|AD |＋|BC |)2|CD |
＝132
p ??=p 2
＝4，∴p ＝±2．
∵p ＞0，∴p ＝2．
4．已知P ，Q 为抛物线x 2
＝2y 上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，－2，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为__________．
答案：－4 解析：由已知可设P (4，y 1)，Q (－2，y 2)，
∵点P ，Q 在抛物线x 2
＝2y 上，
∴212
242(2)2y y ?=?-=?,①,② ∴12
8,2,y y =??=?
∴P (4,8)，Q (－2,2)． 又∵抛物线可化为2
12
y x =， ∴y ′＝x ，
∴过点P 的切线斜率为4
'
4x y ==． ∴过点P 的切线为y －8＝4(x －4)，即y ＝4x －8． 又∵过点Q 的切线斜率为2
'
2x y =-=-，
∴过点Q 的切线为y －2＝－2(x ＋2)， 即y ＝－2x －2． 联立48,
22,
y x y x =-??
=--?得x ＝1，y ＝－4，
∴点A 的纵坐标为－4．
5．已知抛物线C ：y 2
＝2px (p ＞0)过点A (1，－2)． (1)求抛物线C 的方程，并求其准线方程；
答案：解：将(1，－2)代入y 2＝2px ，得(－2)2
＝2p 21，∴p ＝2．
故所求的抛物线C 的方程为y 2
＝4x ，其准线方程为x ＝－1．
(2)是否存在平行于OA (O 为坐标原点)的直线l ，使得直线l 与抛物线C 有公共点，且直
线OA 与l l 的方程；若不存在，说明理由． 答案：假设存在符合题意的直线l ，其方程为y ＝－2x ＋t ． 由2
2,4y x t y x
=-+??
=?得y 2
＋2y －2t ＝0． ∵直线l 与抛物线C 有公共点， ∴Δ＝4＋8t ≥0，解得12
t ≥-
．
另一方面，由直线OA 与l 的距离
5d =
=，解得t ＝±1． ∵11,2??-?-+∞????，11,2??∈-+∞????
，
∴符合题意的直线l 存在，其方程为2x ＋y －1＝0．
用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本
抛物线的简单几何性质; ●教学目标 1.掌握抛物线的几何性质; 2.能根据几何性质确定抛物线的标准方程; 3.能利用工具作出抛物线的图形. ●教学重点 抛物线的几何性质 ●教学难点 几何性质的应用 ●教学方法 学导式 ●教具准备 三角板 ●教学过程 Ⅰ.复习回顾 简要回顾抛物线定义及标准方程的四种形式(要求学生回答) 师:这一节,我们根据抛物线的标准方程)0(22 p px y = ①来研究它的几何性质 Ⅱ.讲授新课 1. 范围 当x 的值增大时,y 也增大,这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.(但应让学生注意与双曲线一支 的区别,无渐近线). 2.对称性 抛物线关于x 轴对称. 我们把抛物线的对称轴叫抛物线的轴. 3.顶点 抛物线和它的轴的交点叫抛物线的顶点.即坐标原点. 4.离心率 抛物线上的点M 与焦点的距离和它到准线的距离的比,叫抛物线的离心率,用e 表示.由抛物线定义可知,e =1. 说明:对于其余三种形式的抛物线方程,要求自己得出它们的几何性质,这样,有助于学生掌握抛物线四种标准方程. 师:下面,大家通过问题来进一步熟悉抛物线的几何性质. 例1.已知抛物线关于x 轴对称,它的顶点在原点,并且经过点M (2,-22),求它的标准方程,并用描点法画出图形. 师:由已知条件求抛物线的标准方程时,首先要根据已知条件确定抛物线标准方程的类型,再求出方程中的参数P . 解:因为抛物线关于x 轴对称,它的顶点在原点,并且经过点M (2,-22),所以可设它的标准方程为: )0(22 p px y =
因为点M 在抛物线上，所以22)22(2?=-p ，即2=p 因此所求方程是.42x y = 下面列表、描点、作图： 说明：①利用抛物线的对称性可以简化作图步骤； ②抛物线没有渐近线； ③抛物线的标准方程)0(22 p px y =中p 2的几何意义：抛物线的通 径，即连结通过焦点而垂直于x 轴直线与抛物线两交点的线段. 师:下面我们通过练习进一步熟悉并掌握抛物线的标准方程. Ⅲ.课堂练习 课本P 122练习1,2. ●课堂小结 师:通过本节学习,要求大家掌握抛物线的几何性质,并在具体应用时注意区分抛物线标准方程的四种形式. ●课后作业 习题8.6 1,2,5. ●板书设计 ●教学后记
抛物线专题复习讲义及练习 ★知识梳理 ★ 1. 抛物线的标准方程、类型及其几何性质 ( p 0 ) ： 标准方程 y 2 2 px y 2 2 px x 2 2 py x 22py 图形 ▲ ▲ y ▲ ▲ y y y x x x x O O O O 焦点 p p ,0) F ( 0, p F (0, p F ( ,0) F ( ) ) 2 2 2 2 准线 p p p p x x y y 2 2 2 2 范围 x 0, y R x 0, y R x R, y 0 x R, y 0 对称轴 x 轴 y 轴 顶点 （0， 0） 离心率 e 1 2. 抛物线的焦半径、焦点弦 ① y 2 2 px( p 0) 的焦半径 PF x P ; x 2 2 p y( p 0) 的焦半径 PF y P ； 2 2 ② 过焦点的所有弦中最短的弦，也被称做通径 . 其长度为 2p. ③ AB 为抛物线 y 2 2 px 的焦点弦，则 x A x B p 2 ， y A y B p 2 ， | AB |= x A x B p 4 ★重难点突破 ★ 重点 :掌握抛物线的定义和标准方程，会运用定义和会求抛物线的标准方程，能通过方程研究抛物线的几何性质 难点 : 与焦点有关的计算与论证 重难点 :围绕焦半径、焦点弦，运用数形结合和代数方法研究抛物线的性质 1.要有用定义的意识 问题 1：抛物线 y=4 x 2 上的一点 M 到焦点的距离为 1，则点 M 的纵坐标是 ( ) A. 17 B. 15 C. 7 D. 0 16 16 8 点拨：抛物线的标准方程为 x 2 1 y ，准线方程为 y 1 , 由定义知，点 M 到准线的距 离 4 16
《抛物线的简单几何性质》教案 《抛物线的简单几何性质》教案及教材分析 教材:《全日制高级中学课本(必修)数学》第二册(上) 一. 教学理念 “数学教师不能充当数学知识的施舍者，没有人能教会学生,数学素质是学生在数学活动中自己获得的。”因此,教师的责任关键在于在教学过程中创设一个”数学活动”环境,让学生通过这个环境的相互作用,利用自身的知识和经验构建自己的理解,获得知识，从而培养自己的数学素质,培养自己的能力。 数学源于生活,高于生活,学习数学的最终目的是应用于生活(回归生活),通过平时教学,注意这方面的渗透,培养学生解决实际问题的能力。 二. 教材分析 1、本节教材的地位 本节通过类比椭圆、双曲线的几何性质,结合抛物线的标准方程讨论研究抛物线的几 何性质,让学生再一次体会用曲线的方程研究曲线性质的方法,学生不难掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等性质,对于抛物线几何性质的应用是学生学习的难点，教学中应强调几何模型与数学问题的转换。例1的设计，在于让学生通过作图感知p 的大小对抛物线开口的影响，引出通径的定义。例2的设计旨在利用抛物线的几何性质数学地解决实际问题即作抛物线的草图。 本节是第一课时,在数学思想和方法上可与椭圆、双曲线的性质对比进行,着重指出它 们的联系和区别，从而培养学生分析、归纳、推理等能力。 2、教学目标 (1) 知识目标： ⅰ 抛物线的几何性质、范围、对称性、定点、离心率。. ⅱ 抛物线的通径及画法。 (2) 能力目标：. ⅰ 使学生掌握抛物线的几何性质，根据给出条件求抛物线的标准方程。 ⅱ 掌握抛物线的画法。 (3) 情感目标： ⅰ 培养学生数形结合及方程的思想。 ) 0(22>=p px y
双曲线及抛物线（讲义） 知识点睛 一、双曲线 1. 双曲线的标准方程 我们把平面内与两个定点1F ，2F 的距离的差的绝对值等于常数(小于12||F F )的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 设()M x y ，是双曲线上任意一点，双曲线的焦距为2(0)c c >， 那么焦点1F ，2F 的坐标分别为(0)c -，，(0)c ，． 又设M 与1F ，2F 的距离的差的绝对值等于常数2a ． 12{|||||||2}P M MF MF a =-=． 因为12|| ||MF MF == 所以 2a =±． ① 类比建立椭圆标准方程的化简过程，化简①，得 22222222()()c a x a y a c a --=-， 两边同除以222()a c a -，得 22 2221x y a c a -=-． 由双曲线的定义可知，22220c a c a c a >>->，即，所以． 类比椭圆标准方程的建立过程，我们令222c a b -=，其中0b >，代入上式，得 22 221(00)x y a b a b -=>>，． 双曲线的标准方程：22 221(0 0)x y a b a b ， -=>>．
2.双曲线的几何性质 二、抛物线 1.抛物线的标准方程 我们把平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）距离相等的点的
轨迹叫做抛物线． 点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线． 设||(0)KF p p =>，那么焦点F 的坐标为(0)2p ，，准线l 的方程为2 p x =-． 设()M x y ，d ． 由抛物线的定义，抛物线就是点的集合 {|||}P M MF d ==． 因为||||2 p MF d x == +，所以 ||2 p x =+． 将上式两边平方并化简，得 22(0)y px p =>． 抛物线的标准方程：22(0)y px p =>． 2. 抛物线的几何性质
3.3.2抛物线的简单几何性质 基础过关练 题组一抛物线的几何性质及其运用 1.已知抛物线x2=2py(p>0)的准线经过点(-1,-1),则抛物线的焦点坐标为() A.(-1,0) B.(0,-1) C.(1,0) D.(0,1) 2.已知点P(6,y)在抛物线y2=2px(p>0)上,若点P到抛物线焦点F的距离等于8,则焦点F到抛物线准线的距离等于() A.2 B.1 C.4 D.8 3.已知抛物线y2=2px(p>0)的准线与圆(x-3)2+y2=16相切,则p的值为() B.1 C.2 D.4 A.1 2 4.已知点A是抛物线y2=2px(p>0)上一点,F为抛物线的焦点,O为坐标原点,当 |AF|=4时,∠OFA=120°,则抛物线的准线方程是() A.x=-1 B.y=-1 C.x=-2 D.y=-2 5.抛物线y2=4x的焦点为F,点P为抛物线上的动点,点M为其准线上的动点,当 △FPM为等边三角形时,其面积为() A.2√3 B.4 C.6 D.4√3 6.一条光线从抛物线y2=2px(p>0)的焦点F射出,经抛物线上一点B反射后,反射光线经过点A(5,4),若|AB|+|FB|=6,则抛物线的标准方程为.
题组二直线与抛物线的位置关系 7.已知直线l:y=x-1与抛物线C:y2=4x相交于A、B两点,则|AB|为() A.5 B.6 C.7 D.8 8.已知直线y=kx-k及抛物线y2=2px(p>0),则() A.直线与抛物线有一个公共点 B.直线与抛物线有两个公共点 C.直线与抛物线有一个或两个公共点 D.直线与抛物线可能没有公共点 9.过点(0,1)且与抛物线y2=4x只有一个公共点的直线有() A.1条 B.2条 C.3条 D.0条 10.(2020山东菏泽高二上期末)已知斜率为k的直线l与抛物线C:y2=4x交于A、B 两点,线段AB的中点为M(2,1),则直线l的方程为() A.2x-y-3=0 B.2x-y-5=0 C.x-2y=0 D.x-y-1=0 11.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l:y=x-2与抛物线C交于A,B两点. (1)求弦AB的长; (2)求△FAB的面积.
抛物线及其性质 【考纲说明】 1、掌握抛物线的简单几何性质，能运用性质解决与抛物线有关问题。 2、通过类比，找出抛物线与椭圆，双曲线的性质之间的区别与联系。 【知识梳理】 1．抛物线定义：平面内到一定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线． 2．抛物线四种标准方程的几何性质： 图形 参数p 几何意义 参数p 表示焦点到准线的距离，p 越大，开口越阔. 开口方向 右 左 上 下 标 准方 程 22(0)y px p => 22(0)y px p =-> 22(0)x py p => 22(0)x py p =-> 焦 点位 置 X 正 X 负 Y 正 Y 负 焦 点坐 标 (,0)2 p (,0)2p - (0,)2p (0,)2p - 准 线方 程 2p x =- 2p x = 2p y =- 2p y = 范 围 0,x y R ≥∈ 0,x y R ≤∈ 0,y x R ≥∈ 0,y x R ≤∈ 对 称轴 X 轴 X 轴 Y 轴 Y 轴 顶 点坐 标 （0,0） 离心率 1e = 通 径 2p 焦半径11(,)A x y 12 p AF x =+ 12 p AF x =-+ 12 p AF y =+ 12 p AF y =-+ 焦点弦长AB 12()x x p ++ 12()x x p -++ 12()y y p ++ 12()y y p -++ 焦点弦长AB 以AB 为直径的圆必与准线l 相切
3．抛物线)0(22>=p px y 的几何性质： (1)范围 因为p>0，由方程可知x ≥0，所以抛物线在y 轴的右侧， 当x 的值增大时，|y |也增大，说明抛物线向右上方和右下方无限延伸． (2)对称性：对称轴要看一次项，符号决定开口方向． (3)顶点（0，0），离心率：1=e ，焦点( ,0)2p F ，准线2 p x -=，焦准距p ． (4) 焦点弦：抛物线)0(22 >=p px y 的焦点弦AB ，),(11y x A ,),(22y x B ,则p x x AB ++=21||． 弦长|AB|=x 1+x 2+p,当x 1=x 2时，通径最短为2p 。 4．焦点弦的相关性质：焦点弦AB ，),(11y x A ,),(22y x B ，焦点( ,0)2 p F (1) 若AB 是抛物线2 2(0)y px p =>的焦点弦（过焦点的弦），且11(,)A x y ，22(,)B x y ，则：21 24 p x x =，2 12y y p =-。 (2) 若AB 是抛物线2 2(0)y px p =>的焦点弦，且直线AB 的倾斜角为α，则22sin P AB α =（α≠0）。 (3) 已知直线AB 是过抛物线2 2(0)y px p =>焦点F , 112AF BF AB AF BF AF BF AF BF p ++===?? (4) 焦点弦中通径最短长为2p 。通径：过焦点垂直于焦点所在的轴的焦点弦叫做通径． (5) 两个相切：○1以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切.○2过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。 5．弦长公式：),(11y x A ,),(22y x B 是抛物线上两点，则 AB =||1 1||1212212y y k x x k -+ =-+= 【经典例题】 （1）抛物线——二次曲线的和谐线 椭圆与双曲线都有两种定义方法，可抛物线只有一种：到一个定点和一条定直线的距离相等的所有点的集合.其离心率e=1，这使它既与椭圆、双曲线相依相伴，又鼎立在圆锥曲线之中.由于这个美好的1，既使它享尽和谐之美，又生出多少华丽的篇章.
2014年二轮复习抛物线之对称与比例问题
内容 明细内容 要求层次 了解 理解 掌握 圆锥曲线 椭圆的定义与标准方程 √ 椭圆的简单几何意义 √ 抛物线的定义及其标准方程 √ 抛物线的简单几何意义 √ 双曲线的定义及标准方程 √ 双曲线的简单几何性质 √ 直线与圆锥曲线的位置关系 √ 北京三年高考两年模拟统计 中点弦 垂直角度 弦长面积范围 定点定值 共线比例 其它 高考试题 4 1 1 模拟试题 7 8 11 14 4 4 共计 7 8 15 14 5 5 抛物线之对称与比例 高考大纲 自检自查必考点
抛物线22y px =与直线y kx m =+联立 2 2y kx m y px =+???=?? 消去x ，得22y y k m p =?+ 2 02k y y m p -+= 设1122(,),(,)A x y B x y ，则 12 12 210(*)22km p p y y k pm y y k ?=->?? ? +=?? ?=?? V 推出2 2221 2 12222( ) 22(2)pm y y m k x x p p p k =?== 题型一：对称问题 圆锥曲线上存在关于某条直线对称的两个点求参数取值范围的问题，充分运用“垂直平分”这两个特征：（1）连线段的中点在对称轴上；（2）两点的斜率与对称轴的斜率互为负倒数；有以下四种解法： 1. 判别式法 设1122(,),(,)P x y Q x y 是曲线C 上关于直线:l y kx m =+对称的两点，又设PQ 的方程为：1 'y x m k =-+， 代入曲线C 的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，其中,P Q 点的坐标即为方程的根，利用韦达定 理和PQ 方程求得PQ 中点M 的坐标，由M 在l 上，得到一个关系式代回曲线方程，0>V 可求得参数的取值范围。 2. 点差法 设1122(,),(,)P x y Q x y 是曲线C 上关于直线:l y kx m =+对称的两点，00(,)M x y 是PQ 的中点，用“点差法”（或弦中点斜率公式）并结合M 在l 上，求出PQ 中点坐标（含所求参数），再利用点斜式写出PQ 的 方程，代入曲线C 的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，由0>V 可求得参数的取值范围。（或：若能求得此一元二次方程的实数根，说明曲线C 上存在对称的两个点；若无实数根，说明不存在对称的两个点）。 3. 内部法 同上用“点差法”结合中点在对称轴上求出PQ 中点的坐标。由弦中点须在曲线内部（指包含焦点的区域）得出关于参数的不等式，解此不等式求出参数的取值范围。 4. 求对称曲线法 求出曲线C 关于直线l 的对称曲线'C 的方程，若C 和'C 有两个不同的交点，这两个交点关于直线l 对称，问题转化为确定两曲线C 与'C 有两个不同的交点问题（联立方程组应有两个不同的实数解），此法运算较繁，当对称轴为较特殊直线时可考虑用此法。 自检自查必考点 O y x B A
课时作业(十三) [学业水平层次] 一、选择题 1．已知点P (6，y )在抛物线y 2＝2px (p >0)上，若点P 到抛物线焦点F 的距离等于8，则焦点F 到抛物线准线的距离等于( ) A ．2 B ．1 C ．4 D ．8 【解析】 抛物线y 2＝2px (p >0)的准线为x ＝－p 2，因为P (6，y ) 为抛物线上的点，所以点P 到焦点F 的距离等于它到准线的距离，所 以6＋p 2＝8，所以p ＝4，即焦点F 到抛物线的距离等于4，故选C. 【答案】 C 2．(2014·成都高二检测)抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，点P 为抛物线上的动点，点M 为其准线上的动点，当△FPM 为等边三角形时，其面积为( ) A ．2 3 B ．4 C ．6 D ．43 【解析】 据题意知，△FPM 为等边三角形，|PF |＝|PM |＝|FM |， ∴PM ⊥抛物线的准线．设P ? ?? ??m 24，m ，则M (－1，m )，等边三角形边长为1＋m 24，又由F (1,0)，|PM |＝|FM |，得1＋m 24＝1＋12＋m 2，得m ＝23，∴等边三角形的边长为4，其面积为43，故选D. 【答案】 D 3．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准
线方程为( ) A ．x ＝1 B ．x ＝－1 C ．x ＝2 D ．x ＝－2 【解析】 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入抛物线方程得：????? y 21＝2px 1， ①y 22＝2px 2， ② ①－②得， (y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝2p (x 1－x 2)． 又∵y 1＋y 2＝4，∴y 1－y 2x 1－x 2＝2p 4＝p 2 ＝k ＝1，∴p ＝2. ∴所求抛物线的准线方程为x ＝－1. 【答案】 B 4．(2014·课标Ⅱ)设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，则|AB |＝( ) B ．6 C ．12 D ．73 【解析】 焦点F 的坐标为? ?? ??34，0，直线AB 的斜率为33，所以直线AB 的方程为y ＝33? ?? ??x －34， 即y ＝33x －34，代入y 2＝3x ， 得13x 2－72x ＋316＝0，
抛物线练习题
抛物线练习题 一、选择题 1. （2014·重庆高考文科·Ｔ8）设1 2 ,F F 分别为双曲线 22 221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得() 2 21 2 3, PF PF b ab -=- 则该双曲线的离心率为 （） 215 417 【解题提示】直接根据双曲线的定义得到关于,a b 的等式，进而求出离心率的值. 【解析】选 D.由双曲线的定义知，() 2 21 2 4, PF PF a -=又 ()2 2 1 2 3,PF PF b ab -=- 所以2 243a b ab =- 等号两边同除2 a ，化简得2 340b b a a ?? -?-= ??? ，解得4,b a =或1b a =-（舍去） 故离心率 2 22222 117.c c a b b e a a a a +?? ====+= ??? 2. （2014·天津高考文科·Ｔ6同2014·天津高考理科·Ｔ5））已知双曲线 )0,0(12 2 22>>=-b a b y a x 的一条渐近线平行于直线 , 102:+=x y l 双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（ ） A. 120 52 2=-y x B. 15 202 2=-y x C. 1100 32532 2=-y x D. 125 310032 2=-y x
【解析】选 A.因为双曲线的一个焦点在直线l 上，所以 0210, c =+即5,c =又因为渐近线平行于直线,102:+=x y l 故有 2,b a =结合2 2 2 , c a b =+得2 2 5,20, a b ==所以双曲线的标准方程为 120 52 2=-y x 3. （2014·湖北高考理科·Ｔ9）已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是他们的一个公共点，且123 F PF π ∠=,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ） A. 433 B.23 3 C.3 D.2 【解题提示】 椭圆、双曲线的定义与性质，余弦定理及用基本不等式求最值 【解析】选A. 设椭圆的长半轴长为a ，双曲线的实半轴长为1a （1a a >），半焦距为c ，由椭圆、双曲线的定义得a PF PF 2||||21=+，121||||2PF PF a -=，所以11||a a PF +=， 12||a a PF -=， 因为 123F PF π ∠= ，由余弦定理得 22211114()()2()()cos 3c a a a a a a a a π =++--+-， 所以2 1 2 2 34a a c +=，即2 122122221)(2124c a c a c a c a c a +≥+=-， 所以21 214 8)11(e e e -≤+， 利用基本不等式可求得椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为 43 . 4.(2014·广东高考理科)若实数k 满足0 个性化辅导授课教案 学员姓名 ： 辅导类型（1对1、小班）： 年 级： 辅 导 科 目 ： 学 科 教 师 ： 课 题 圆锥曲线专题 课 型 □ 预习课 □ 同步课 □ 复习课 □ 习题课 授课日期及时段 年 月 日 时间段 教 学 内 容 圆锥曲线知识点总结 1、平面内与两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹称为椭圆． 即：|)|2(,2||||2121F F a a MF MF >=+。 这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距． 2、椭圆的几何性质： 焦点的位置 焦点在x 轴上 焦点在y 轴上 图形 标准方程 ()22 2210x y a b a b +=>> ()22 2210y x a b a b +=>> 范围 a x a -≤≤且 b y b -≤≤ b x b -≤≤且a y a -≤≤ 顶点 ()1,0a A -、()2,0a A ()10,b B -、()20,b B ()10,a A -、()20,a A ()1,0b B -、()2,0b B 轴长 短轴的长2b = 长轴的长2a = 焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c 焦距 ()222122F F c c a b ==- 对称性 关于x 轴、y 轴、原点对称 离心率 ()2 2101c b e e a a ==-<< 3、平面内与两个定点1F ，2F 的距离之差的绝对值等于常数（小于12 F F ）的点的轨迹称为双曲线．即：|)|2(,2||||||2121F F a a MF MF <=-。 抛物线专题复习讲义及练习 ★知识梳理★ 1.抛物线的标准方程、类型及其几何性质 (0>p )： ①)0(22≠=p px y 的焦半径PF )0(22≠=p py x 的焦半径PF ② 过焦点的所有弦中最短的弦，也被称做通径.其长度为2p. ③ AB 为抛物线px y 22 =的焦点弦，则=B A x x 4 2p ，=B A y y 2 p -，||AB =p x x B A ++ ★重难点突破★ 重点:掌握抛物线的定义和标准方程，会运用定义和会求抛物线的标准方程，能通过方程研究抛物线的几何性质 难点: 与焦点有关的计算与论证 重难点:围绕焦半径、焦点弦，运用数形结合和代数方法研究抛物线的性质 1.要有用定义的意识 问题1：抛物线y=42 x 上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( ) A. 1617 B. 16 15 C.87 D. 0 点拨：抛物线的标准方程为y x 412 = ，准线方程为16 1 -=y ,由定义知，点M 到准线的距离 为1，所以点M 的纵坐标是 16 15 2.求标准方程要注意焦点位置和开口方向 问题2：顶点在原点、焦点在坐标轴上且经过点（3，2）的抛物线的条数有 点拨：抛物线的类型一共有4种，经过第一象限的抛物线有2种，故满足条件的抛物线有2条 3.研究几何性质，要具备数形结合思想，“两条腿走路” 问题3：证明：以抛物线焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切 点拨：设AB 为抛物线的焦点弦，F 为抛物线的焦点，点''、B A 分别是点B A 、在准线上的射影，弦AB 的中点为M ，则''BB AA BF AF AB +=+=，点M 到准线的距离为 AB BB AA 2 1 )''(21=+，∴以抛物线焦点弦为直径的圆总与抛物线的准线相切 ★热点考点题型探析★ 考点1 抛物线的定义 题型 利用定义,实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换 [例1 ]已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和的最小值为 【解题思路】将点P 到焦点的距离转化为点P 到准线的距离 [解析]过点P 作准线的垂线l 交准线于点R ，由抛物线的定义知，PR PQ PF PQ +=+，当P 点为抛物线与垂线l 的交点时，PR PQ +取得最小值，最小值为点Q 到准线的距离 ,因准线方程为x=-1,故最小值为3 【名师指引】灵活利用抛物线的定义，就是实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换，一般来说,用定义问题都与焦半径问题相关 【新题导练】 1.已知抛物线2 2(0)y px p =>的焦点为F ，点11 1222()()P x y P x y ，，，，333()P x y ，在抛物线上，且||1F P 、||2F P 、||3F P 成等差数列， 则有 （ ） A ．321x x x =+ B ． 3 21y y y =+ C ．2312x x x =+ D. 2312y y y =+ ［解析］C 由抛物线定义，2132()()(),222 p p p x x x + =+++即：2312x x x =+． 2. 已知点),4,3(A F 是抛物线x y 82 =的焦点,M 是抛物线上的动点,当MF MA +最小时, M 点坐标是 ( ) A. )0,0( B. )62,3( C. )4,2( D. )62,3(- 抛物线的标准方程 知识要点： 1. 定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫 抛物线。点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线。 2. 标准方程 ①坐标系：使坐标轴经过点F且垂直于直线l于K，并使原点与线段KF 的中点重合。 ②设|KF|=p（p>0），则抛物线的标准方程及焦点坐标、准线方程如下表： 3. 几何性质：以抛物线y2=2px（p>0）为例。 （1）范围。x≥0，|y|随x增大而增大，但无渐近线。 （2）对称性。关于x轴对称。（对称轴与准线垂直） （3）顶点。对称轴与抛物线的交点。 （4）离心率。同椭圆、双曲线离心率定义。e=1（注e与抛物线开口大小无关，开口大小由p值确定，画特征草图时，先画出通径（2p）过焦点且与对称轴垂直的弦）。 4. 几个重要的解析结果： （1）平行抛物线对称轴的直线和抛物线只有一个交点。 （2）焦点弦两端点的纵坐标乘积为常数即y1y2=－p2（p>0） （3）焦半径公式： （4）焦点弦长公式：|AB|=x1+x2+p（x1、x2分别为A、B的横坐标），由此可知，通径长为焦点长的最小值： 例题： 例1 在抛物线y2=12x上，求与焦点的距离等于9的点的坐标. 例2 已知顶点在原点、焦点在坐标轴上的抛物线被直线l:y=2x+1截得的弦长为，求抛物线方程： 例3 如果抛物线y2=px和圆(x-2)2+y2=3相交，它们在x轴上方的交点为A、B，那么当p为何值时，线段AB的中点M在直线y=x上? 例4 过抛物线y2=2px(p＞0)的焦点F，引两条相互垂直的弦AC、BD，求四边形ABCD面积的最小值. 例5 直线l1和l2相交于M，l1⊥l2，点N∈l1，以A，B为端点的曲线段C上任一点到l2的距离与到点N的距离相等，若△AMN为锐角三角形，｜AM ｜=，｜AN｜=3，且｜BN｜=6，建立适当坐标系，求曲线段C的方程. 例6 已知抛物线y2=2px(p＞0).过动点M(a,0)且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B，｜AB｜≤2p. (Ⅰ)求a的取值范围. (Ⅱ)若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求Rt△NAB面积的最大值.习题练习： A级 一、选择题 1.抛物线y=-x2的准线方程是( ) A.x= B.x= C.y=2 D.y=4 2.直线y=kx-2交抛物线y2=8x于A、B两点，若AB中点的横坐标为2，则k等于( ) A.0 B.1 C.2 D.3 【例1】 抛物线24y x =上点M 的横坐标为1，则点M 到该抛物线的焦点的距离为（ ） A ．3 B ．2 C ．1.5 D ．1 【考点】抛物线的几何性质 【难度】1星 【题型】选择 【关键字】无 【解析】B ； 【答案】B ； 【考点】抛物线的几何性质 【难度】2星 【题型】选择 【关键字】2010年，辽宁高考 【解析】B ； 【答案】B ； 【例3】 抛物线24x y =-与过焦点且垂直于对称轴的直线交于A ，B 两点，则（ ） A ．84ABO A B S ==△， B ．82AOB AB S ==△， C ．42AOB AB S ==△， D ．44AOB AB S ==△， 【考点】抛物线的几何性质 【难度】2星 【题型】选择 【关键字】无 【解析】抛物线24x y =-的焦点为(01)-，，对称轴为y 轴，故点A ，B 的纵坐标为1-， 典例分析 板块二.抛物线的几何性质 代入得其横坐标分别为22-，，故4AB =，1 4122 ABC S ?=??-=，故选C ； 【答案】C ； 【例4】 过点(12)M ，且以y 轴为准线的抛物线的焦点的轨迹为（ ） A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线 【考点】抛物线的几何性质 【难度】星 【题型】选择 【关键字】无 【解析】设焦点为F ，则由抛物线的性质，||1FM =． 【答案】A ； 【例5】 设O 为坐标原点，F 为抛物线24y x =的焦点，A 是抛物线上一点， 若4OA AF ?=-，则点A 的坐标是（ ） A ．(2,± B ．(2, C ．(1,2)± D ．(1,2) 【考点】抛物线的几何性质 【难度】2星 【题型】选择 【关键字】无 【解析】(1,0)F ，不妨设11(,)A x y ，于是有221111111(,)(1,)4x y x y x x y ?--=-=--，又 2114y x =，故有211340x x +-=，从而14x =-（舍去）或11x =．此时12y =±． 【答案】C ； 【例6】 抛物线24y x =的弦AB 过定点(20)，，则AOB ∠是（ ） A ．锐角 B ．直角 C ．钝角 D ．以上都可能 【考点】抛物线的几何性质 【难度】2星 【题型】选择 【关键字】无 【解析】若AB 过点(40)，，则AOB ∠为直角，点(20)，在点(40)，左侧，故为钝角． 【答案】C ； 【例7】 已知点P 在抛物线24y x =上，那么点P 到点(21)Q -，的距离与点P 到抛物线焦点 距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ ） A ．114??- ???， B ．114?? ???， C ．(12)， D ．(12)-， 【考点】抛物线的几何性质 双曲线的几何性质 年级__________ 班级_________ 学号_________ 姓名__________ 分数____ — 一、选择题(共34题，题分合计170分) ） 1.双曲线9y 2－x 2 －2x －10＝0的渐近线方程是 ＝±3(x ＋1) ＝±3(x －1) ＝±31(x ＋1) ＝±31 (x －1) 2.若双曲线x 2－y 2 =1右支上一点P (a ,b )到直线y =x 的距离为2，则a ＋b 的值是 A.－21 B.21 C.－21或21 或－2 ( 3.过(0,3)作直线 L ,若L 与双曲线 342 2y x =1,只有一个公共点,则L 共有 条 条 条 条 4.双曲线2mx 2 -my 2 =2,有一条准线方程是y =1,则m 应等于 是 21 34 5.双曲线15)1(422=--y x ，经过第一象限内的点) 217 , (m P ，则P 点到双曲线右焦点的距离是__________. 6.双曲线11692 2=-y x 的一个焦点到一条渐近线的距离等于 A.3 7.已知双曲线中心在原点且一个焦点为 )0,7(F ，直线y =x -1与其相交于M ?N 两点,MN 中点的横坐标为, 32 -则此双曲线的方程是 … A.14322=-y x B.13422=-y x C.12522=-y x D.1522 2=-y x 8.双曲线虚轴的一个端点为M,两个焦点为F,F ,∠FMF =120°则双曲线的离心率为 A.3 B.26 C.36 D.33 9.双曲线的渐近线方程为y =±2(x -1),一焦点坐标为(1+25,0),则该双曲线的方程是 A.116)1(422=--y x B.1164)1(22=--y x C.1416)1(22=--y x D.116)1(42 2=--y x 10.过双曲线1 22 2 =-y x 的右焦点F 作直线l 交双曲线于A ?B 两点,若|AB |=4,则这样的直线l 有 条 条 条 条 11.以椭圆114416922=+y x 的右焦点为圆心，且与双曲线116922=-y x 的渐近线相切的圆的方程是 / A. 91022=+-+x y x B. 91022=--+x y x C. 091022=-++x y x 包头师范学院“数学分析”课程教学大纲《数学分析》教学大纲 课程编号： 课程性质：基础必修课 适用专业：数学与应用数学专业（本科） 选用教材：《数学分析讲义》（第五版） 刘玉琏等编著 高等教育出版社2008年10月 包头师范学院数学科学学院 函数论教研室 数学分析课程教学大纲 课程编号：课程类型：基础必修课 总学时：352 总学分：20 适用专业：数学与应用数学 先修课程：高中数学 使用教材： 刘玉琏、傅沛仁编著《数学分析讲义》（第四版），高等教育出版社，2002年10月。 参考书： 陈传璋等编著《数学分析》（第二版），高等教育出版社，1983年7月。 1987年获全国优秀教材一等奖。 华东师大编《数学分析》，面向21世纪课程教材 一、课程性质、目的和任务 本课程是包头师范学院数学科学学院数学与应用数学专业(信息与计算科学专业)的一门重要基础课。本课程一方面为后继课程提供所需的基础，同时还为培养学生的独立工作能力提供必要的训练。通过本课程的学习学会分析方法、培养学生的运算能力、抽象思维能力以及处理实际问题的综合应用能力。学生学好这门课程的基本内容和方法，对今后的学习、研究和应用都具有关键性的作用。 二、教学基本要求 在教学中，应注意本课程的整体结构，各部分知识的内在联系，以及与初等数学和后继课程的联系。要求学生熟练掌握本课程的基本概念、基本理论、基本运算及方法。通过课堂教学及进行大量的习题训练，使得学生做到概念清晰、推理严谨、运算准确，能综合应用所学知识解决实际问题，并且了解分析学的基本概念及物理、几何意义，学会应用这些基本理论和方法去处理和解决物理、几何等领域中的实际问题。 三、教学内容及要求 依据《2001年包头师范学院数学与应用数学专业本科培养计划》，本课程教学在第1、2、3、4学期进行，分别称为《数学分析Ⅰ》、《数学分析Ⅱ》、《数学分析Ⅲ》和《数学分析Ⅳ》。 《数学分析Ⅰ》 第一章函数 §1.1.函数 一、函数概念，二、函数的四则运算，三、函数的图象四、数列 §1.2. 四类具有特殊性质的函数 一、有界函数，二、单调函数三、奇函数与偶函数四、周期函数 §1.3.复合函数与反函数 一、复合函数二、反函数三、初等函数 重点掌握：函数的概念，函数的表示，函数的复合运算和具有特殊性质的函数。 第二章极限 §2.1. 数列极限 第 二 章圆锥曲线与方程 第 2.4.2 抛物线的简单几何性质（4课时） 主备教师 陈本川 一、内容及其解析 学的内容是抛物线的一些基本性质，其核心内容是抛物线的离心率及准线，理解它关键是先让学生认识抛物线的图形，从中概括出抛物线的性质。 学生已经学过抛物线线概念和标准形式，本节课的内容抛物线的基本性质就是在其基础上的发展。由于它还与椭圆、双曲线等圆锥曲线有密切的联系，并有参照对比的作用。是抛物线的核心内容。教学重点是抛物线的性质及范围，解决重点的关键是引导学生动手、动脑，从图形的直观得到抛物线性质的准确刻画。 二、目标及其解析 1、目标定位 （1）了解抛物线的基本性质及基本线段的概念。 （2）能够根据抛物线的标准方程及性质进行简单的运算。 2、目标解析 （1）是指：抛物线的基本线段范围及概念，对称性，离心率，准线表示。 （2）是指：能够根据抛物线中准线与焦点之间的关系能求出抛物线的标准方程。 三、问题诊断分析 在本节抛物线性质的教学中，学生可能遇到的问题是抛物线的一些基本概念会与其它圆锥曲线的概念产生混淆，产生这一问题的原因是学生对各种曲线的概念把握不清。要解决这一问题，就要类比着其它圆锥曲线的概念及性质学习，其中关键是借助图形直观类比。 四、教学支持条件分析 在本节课双曲线的性质教学中，准备使用多媒体辅助教学。因为使用多媒体辅助教学有利于学生对抛物线性质从直观到具体的把握。 五、教学设计过程 问题一：抛物线性质有哪些？观察抛物线的标准方程)0(22>=p px y 的形状， 设计意图：推导、识记抛物线的性质，并能够熟练的应用 问题1你能从图中看出它的范围吗？ 问题2它具有怎样的对称性？ §2.4.2 抛物线的简单几何性质（1） 学习目标 1．掌握抛物线的几何性质； 2．根据几何性质确定抛物线的标准方程． 学习过程 一、课前准备 6870，文P 60~ P 61找出疑惑之处） 复习1： 准线方程为x=2的抛物线的标准方程是 ． 复习2：双曲线22 1169 x y -=有哪些几何性质？ 二、新课导学 ※ 学习探究 探究1：类比椭圆、双曲线的几何性质，抛物线又会有怎样的几何性质？ 新知：抛物线的几何性质 图形 标准方 程 焦点 (0,)2p - 准线 2p y =- 顶点 (0,0)(0,0) 对称轴 x 轴 离心率 试试：画出抛物线28y x =的图形， 顶点坐标（ ）、焦点坐标（ ）、 准线方程 、对称轴 、 离心率 ． ※ 典型例题 例1已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点(2,M -，求它的标准方程． 变式：顶点在坐标原点，对称轴是坐标轴，并且经过点(2,M -的抛物线有几条？求出它们的标准方程． 小结：一般，过一点的抛物线会有两条，根据其开口方向，用待定系数法求解． 例2斜率为1的直线l 经过抛物线24y x =的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点，求线段AB 的长 ． 变式：过点(2,0)M 作斜率为1的直线l ，交抛物线24y x =于A ，B 两点，求AB ． 小结：求过抛物线焦点的弦长：可用弦长公式，也可利用抛物线的定义求解． ※动手试试 练1. 求适合下列条件的抛物线的标准方程： ⑴顶点在原点，关于x轴对称，并且经过点 (5 M，4) -； ⑵顶点在原点，焦点是(0,5) F； ⑶焦点是(0,8) F-，准线是8 y=． 三、总结提升 ※学习小结 1．抛物线的几何性质； 2．求过一点的抛物线方程； 3．求抛物线的弦长． ※知识拓展 抛物线的通径：过抛物线的焦点且与对称轴垂直的直线，与抛物线相交所得的弦叫抛物线的通径． 其长为2p． ※自我评价你完成本节导学案的情况为（）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分： 1．下列抛物线中，开口最大的是（）． A．21 2 y x =B．2y x = 抛物线经典结论和例题 抛 物 线 ) 0(22>=p px y ) 0(22>-=p px y ) 0(22>=p py x ) 0(22>-=p py x 定义 平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫 做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线。 {MF M =点M 到直线l 的距离} 范围 0,x y R ≥∈ 0,x y R ≤∈ ,0x R y ∈≥ ,0x R y ∈≤ 对称性 关于x 轴对称 关于y 轴对称 焦点 ( 2 p ,0) (2 p -,0) (0, 2 p ) (0,2 p - ) 焦点在对称轴上 顶点 (0,0)O 离心率 e =1 准线 方程 2 p x - = 2 p x = 2 p y - = 2 p y = 准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等。 顶点到准 2 p x y O l F x y O l F l F x y O x y O l F 线的距离 焦点到准线的距离 p 焦半径 11(,)A x y 12 p AF x =+ 12 p AF x =-+ 12 p AF y =+ 12 p AF y =-+ 焦 点弦 长 AB 12()x x p ++ 12()x x p -++ 12()y y p ++ 12()y y p -++ 焦点弦 AB 的几条性质 11(,) A x y 22(,) B x y 以AB 为直径的圆必与准线l 相切 若AB 的倾斜角为α，则22sin p AB α = 若AB 的倾斜角为α，则22cos p AB α = 2 124 p x x = 212y y p =- 112AF BF AB AF BF AF BF AF BF p ++===?? o x ()22,B x y F y ()11,A x y圆锥曲线讲义(带答案)
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