《抛物线的简单几何性质》教案
《抛物线的简单几何性质》教案及教材分析
教材:《全日制高级中学课本(必修)数学》第二册(上)
一. 教学理念
“数学教师不能充当数学知识的施舍者，没有人能教会学生,数学素质是学生在数学活动中自己获得的。”因此,教师的责任关键在于在教学过程中创设一个”数学活动”环境,让学生通过这个环境的相互作用,利用自身的知识和经验构建自己的理解,获得知识，从而培养自己的数学素质,培养自己的能力。
数学源于生活,高于生活,学习数学的最终目的是应用于生活(回归生活),通过平时教学,注意这方面的渗透,培养学生解决实际问题的能力。 二. 教材分析
1、本节教材的地位
本节通过类比椭圆、双曲线的几何性质,结合抛物线的标准方程讨论研究抛物线的几
何性质,让学生再一次体会用曲线的方程研究曲线性质的方法,学生不难掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等性质,对于抛物线几何性质的应用是学生学习的难点，教学中应强调几何模型与数学问题的转换。例1的设计，在于让学生通过作图感知p 的大小对抛物线开口的影响，引出通径的定义。例2的设计旨在利用抛物线的几何性质数学地解决实际问题即作抛物线的草图。
本节是第一课时,在数学思想和方法上可与椭圆、双曲线的性质对比进行,着重指出它
们的联系和区别，从而培养学生分析、归纳、推理等能力。
2、教学目标 (1) 知识目标：
ⅰ 抛物线的几何性质、范围、对称性、定点、离心率。. ⅱ 抛物线的通径及画法。 (2) 能力目标：.
ⅰ 使学生掌握抛物线的几何性质，根据给出条件求抛物线的标准方程。 ⅱ 掌握抛物线的画法。 (3) 情感目标：
ⅰ 培养学生数形结合及方程的思想。
)
0(22>=p px y
ⅱ 训练学生分析问题、解决问题的能力，了解抛物线在实际问题中的初步应用。 3、学生情况
我授课的学生是省级重点中学的学生,大部分学生数学基础较好,但理解能力、运算能力、思维能力等方面参差不齐。
4、教学重点、难点
教学的重点是掌握抛物线的几何性质，使学生能根据给出的条件求出抛物线的标准方程和一些实际应用。
难点是抛物线各个知识点的灵活应用。 三 、教学方法及手段
采用引导式、讲练结合法；多媒体课件辅助教学。 四、教学程序
教 学 过 程
教学内容 教师导拨与学生活动 设计意图 一、知识回顾
1、 抛物线的定义：平面内与一个点F 和一条定直线L 的距离
相等的点的轨迹叫做抛物线。点F →焦点，直线L →准线。 2、 抛物线的标准方程。
图形
标准方程 焦点坐标
准线方程
抛物线的定义及标准方程由学生口述，老师展示结论
提出这一问题的研究方法——对比、数形结合
二、引入课题
唐朝王翰在《凉州词》中有“葡萄美酒夜光杯，欲饮琵琶马上催”的句子，诗中提到“夜光杯”。
问题1：如果测得酒杯口宽4cm ，杯深8cm ， 试求抛物线方程。
提出问题由学生完成，引导学生由“数学模型”到
通过诗句中的“夜光杯”模型引发学生探
)
0(22>=p px y )0,2
(p
2p x -
=)
0(22>-=p px y )0,2
(p
-
2
p x =
)
0(22>=p py x )2,0(p
2
p y -=)
0(22>-=p py x )
2
,0(p -2
p y =
解：如图建立平面直角坐标系, 则可知A(-2,8),B(2,8) 所以设抛物线的方程为：
A 、
B 点在抛物线上，代入抛 物线方程，可得P=41 , 则所求的抛物线方程为：
y x 2
1
2=
问题2：研究酒杯轴截面所在曲线的几何性质。
“数学问题”的解决问题的方法。并思考抛物线的几何性质。
究问题本质的热情，同时巩固抛物线方程的知识并提出本节课的标题，起着承上启下的自然过度。
三、讲授新课
我们根据抛物线的标准方程
)0(22φp px y =
来研究它的几何性质。 1、 范围：0≥x
2、 对称性：关于x 轴对称
抛物线的对称轴叫做抛物线的轴
3、 顶点：（0，0）
抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的的顶点。
4、 离心率：e=1
抛物线上的点M 与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e 表示。
)
0(22>=p py x
标准 方程
)
0(22φp px y =
图形
范围 0≥x 0≤x
0≥y 0≤y
对称 轴 关于x 轴对称 关于x 轴对称 关于y 轴对称 关于y 轴对称
焦点坐标
准线方程
顶点 （0，0） 离心率
ｅ＝１
补充说明：1、抛物线只位于半个平面坐标内，虽然他可以无限延伸但他没有渐近线。
2、 抛物线只有一条对称轴，没有对称中心
3、 抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线
4、 抛物线的离心率是确定的且为1
问题：椭圆的圆扁程度、双曲线的张口大小由e 的大小决定，那么抛物线的开口大小由什么决定？ 通过类比椭圆与双曲线的几何性质，从范围、对称性、顶点、离心率方面研究抛物线
的几何性质，并由学生归纳总结出其他三种标准方程的几何性质。 从结论上去找出与椭圆和双曲线的几何性质的不同点 学生较易得出抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等方面的几何性质，掌握类比
研究问题
的方法 培养学生具备“运动变化”和“动中求静”的辩证法的思维
和观点
四、例题讲解
下面我们来看一例题
例1、 在同一坐标系中画出下列抛物线的草图：
（1）x y 2
12
=
（2）x y =2
（3）x y 22
= （4）x y 42=
通过例1作图实践得出P 对抛物线开口的影响并引导学生找出2P 的几何意义。
引导学生用所学知识解决实践问题
)0(22>=p px
y )
0(22>-=p px y )
0(22>=p py x )
0(22>-=p py x )0,2
(p
F )0,2(p
F -
)
2,0(p
F )
2,0(p F -2p x -=2p x -=2
p x =
2p y -
=
板书设计
§8.6 抛物线的简单几何性质（一）
抛物线的例题练习课时小结几何性质
2019-2020年高中数学第二章《抛物线》教案新人教A版选修2-1 一教学设想 12． 3 1抛物线及标准方程 （1）教具的准备 问题1：同学们对抛物线已有了哪些认识？ 在物理中，抛物线被认为是抛射物体的运行轨道；在数学中，抛物线是二次函数的图象？ 问题2：在二次函数中研究的抛物线有什么特征？ 在二次函数中研究的抛物线，它的对称轴是平行于y轴、开口向上或开口向下两种情形．引导学生进一步思考：如果抛物线的对称轴不平行于y轴，那么就不能作为二次函数的图象来研究了．今天，我们突破函数研究中这个限制，从更一般意义上来研究抛物线. 通过提问来激发学生的探究欲望，首先研究抛物线的定义，教师可以用直观的教具叫学生参与进行演示，再由学生归纳出抛物线的定义． （2）抛物线的标准方程 设定点F到定直线l的距离为p(p为已知数且大于0)．下面，我们来求抛物线的方程．怎样选择直角坐标系，才能使所得的方程取较简单的形式呢？ 让学生议论一下，教师巡视，启发辅导，最后简单小结建立直角坐标系的方案 方案1：(由第一组同学完成，请一优等生演板．)以l为y轴，过点F与直线l垂直的直线为x轴建立直角坐标系(图2-30)．设定点F(p，0)，动点M的坐标为(x，y)，过M作 MD⊥y轴于D，抛物线的集合为：p={M||MF|=|MD|}． 化简后得：y2=2px-p2(p＞0)． 方案2：(由第二组同学完成，请一优等生演板) 以定点F为原点，平行l的直线为y轴建立直角坐标系(图2-31)．设动点M的坐标为(x，y)，且设直线l的方程为x=-p，定点F(0，0)，过M作MD⊥l于D，抛物线的集合为：p={M||MF|=|MD|}． 化简得：y2=2px+p2(p＞0)． 方案3：(由第三、四组同学完成，请一优等生演板．) 取过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，x轴与l交于K，以线段KF的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系(图2-32)．
3.2.2《抛物线的几何性质》导学案 【学习目标】 1.抛物线的性质及其灵活运用； 2.抛物线的定义在求解最值问题中的运用. 【导入新课】 复习导入 1.抛物线的定义； 2.抛物线的方程的推导. 新授课阶段 1.抛物线的几何性质 (1) 抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但是没有渐近线． (2) 抛物线只有一条对称轴，这条对称轴垂直于抛物线的准线或与顶点和焦点的连线重合，抛物线没有中心． (3) 抛物线只有一个顶点，它是焦点和焦点在准线上射影的中点． 具体归纳如下表： 特征：1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸,但它渐近线; 2.抛物线只有对称轴,没有对称中心;
3.抛物线只有 顶点、 焦点、 准线; 4.抛物线的离心率是确定的且为1. 例1. 已知抛物线关于x 轴对称, 顶点在坐标原点, 并且过点M(2, -), 求它的标准方程. 解： 例2 斜率为1的直线l 经过抛物线2 4y x =的焦点F ,且与抛物线相交于A ,B 两点,求线段AB 的长. 解： 课堂小结 （一）本节课我们学习了抛物线的几个简单几何性质：范围、对称性、顶点坐标、离心率等概念及其几何意义. （二）了解了研究抛物线的焦半径，焦点弦和通径这对我们解决抛物线中的相关问题有很大的帮助. （三）在对曲线的问题的处理过程中，我们更多的是从方程的角度来挖掘题目中的条件，认识并熟练掌握数与形的联系.在本节课中，我们运用了数形结合，待定系数法来求解抛物线方程，在解题过程中，准确体现了函数与方程以及分类讨论的数学思想. 作业
见同步练习部分 拓展提升 1．抛物线24y x =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( ) A ．1716 B ．1516 C ．78 D ．0 2．已知两点M （－2，0），N （2，0），点P 为坐标平面内的动点，满足|MN → |·|MP → | ＋MN → ·NP → =0，则动点P （x,y ）的轨迹方程是 （ ） A ．y 2=8x B ．y 2=－8x C ．y 2=4x D ．y 2=－4x 3．已知P 是抛物线y=2x 2+1上的动点，定点A （0，―1），点M 分PA → 所成的比为2， 则点M 的轨迹方程是（ ） A ．y=6x 2―31 B ．x=6y 2－31 C ．y=3x 2+3 1 D ．y=―3x 2―1 4．有一个正三角形的两个顶点在抛物线y 2= 2 3 x 上，另一个顶点在原点，则这个三角形的边长是 . 5．对正整数n ，设抛物线x n y )12(22 +=，过)0,2(n P 任作直线l 交抛物线于n n B A ,两点，则数列?? ????????+?)1(2n OB OA n n 的前n 项和公式是 . 6．焦点在x 轴上的抛物线被直线y=2x ＋1截得的弦长为15 ，求抛物线的标准方程. 7．定长为3的线段AB 的两个端点在抛物线y 2=x 上移动，AB 的中点为M ，求点M 到y 轴的最短距离，并求出点M 的坐标.
抛物线的简单几何性质; ●教学目标 1.掌握抛物线的几何性质; 2.能根据几何性质确定抛物线的标准方程; 3.能利用工具作出抛物线的图形. ●教学重点 抛物线的几何性质 ●教学难点 几何性质的应用 ●教学方法 学导式 ●教具准备 三角板 ●教学过程 Ⅰ.复习回顾 简要回顾抛物线定义及标准方程的四种形式(要求学生回答) 师:这一节,我们根据抛物线的标准方程)0(22 p px y = ①来研究它的几何性质 Ⅱ.讲授新课 1. 范围 当x 的值增大时,y 也增大,这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.(但应让学生注意与双曲线一支 的区别,无渐近线). 2.对称性 抛物线关于x 轴对称. 我们把抛物线的对称轴叫抛物线的轴. 3.顶点 抛物线和它的轴的交点叫抛物线的顶点.即坐标原点. 4.离心率 抛物线上的点M 与焦点的距离和它到准线的距离的比,叫抛物线的离心率,用e 表示.由抛物线定义可知,e =1. 说明:对于其余三种形式的抛物线方程,要求自己得出它们的几何性质,这样,有助于学生掌握抛物线四种标准方程. 师:下面,大家通过问题来进一步熟悉抛物线的几何性质. 例1.已知抛物线关于x 轴对称,它的顶点在原点,并且经过点M (2,-22),求它的标准方程,并用描点法画出图形. 师:由已知条件求抛物线的标准方程时,首先要根据已知条件确定抛物线标准方程的类型,再求出方程中的参数P . 解:因为抛物线关于x 轴对称,它的顶点在原点,并且经过点M (2,-22),所以可设它的标准方程为: )0(22 p px y =
因为点M 在抛物线上，所以22)22(2?=-p ，即2=p 因此所求方程是.42x y = 下面列表、描点、作图： 说明：①利用抛物线的对称性可以简化作图步骤； ②抛物线没有渐近线； ③抛物线的标准方程)0(22 p px y =中p 2的几何意义：抛物线的通 径，即连结通过焦点而垂直于x 轴直线与抛物线两交点的线段. 师:下面我们通过练习进一步熟悉并掌握抛物线的标准方程. Ⅲ.课堂练习 课本P 122练习1,2. ●课堂小结 师:通过本节学习,要求大家掌握抛物线的几何性质,并在具体应用时注意区分抛物线标准方程的四种形式. ●课后作业 习题8.6 1,2,5. ●板书设计 ●教学后记
1抛物线的定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线． 2抛物线的图形和性质： ①顶点是焦点向准线所作垂线段中点。 ②焦准距：FK p = ③通径：过焦点垂直于轴的弦长为2p 。 ④顶点平分焦点到准线的垂线段：2 p OF OK == 。 ⑤焦半径为半径的圆：以P 为圆心、FP 为半径的圆必与准线相切。所有这样的圆过定点F 、准线是公切线。 ⑥焦半径为直径的圆：以焦半径 FP 为直径的圆必与过顶点垂直于轴的直线相切。所有这样的圆过定点F 、过顶点垂直于轴的直线是公切线。 ⑦焦点弦为直径的圆：以焦点弦PQ 为直径的圆必与准线相切。所有这样的圆的公切线是准线。 3抛物线标准方程的四种形式： ，，px y px y 2222-==。，py x py x 2222-== 4抛物线px y 22 =的图像和性质： ①焦点坐标是：?? ? ??02，p ， ②准线方程是：2 p x - =。 ③焦半径公式：若点),(00y x P 是抛物线px y 22 =上一点，则该点到抛物线的焦点的距离（称为焦半径）是：02 p PF x =+ ， ④焦点弦长公式：过焦点弦长121222 p p PQ x x x x p =+ ++=++ ⑤抛物线px y 22 =上的动点可设为P ),2(2 y p y 或2(2,2)P pt pt 或P px y y x 2),(2 =其中 5一般情况归纳：方程 图象 焦点 准线 定义特征 y 2=kx k>0时开口向右 (k/4,0) x= ─k/4 到焦点(k/4,0)的距离等于到准线x= ─k/4的距离 k<0时开口向左 x 2=ky k>0时开口向上 (0,k/4) y= ─k/4 到焦点(0,k/4)的距离等于到准线y= ─k/4的距离 k<0时开口向下 抛物线的定义： 例1：点M 与点F (－4，0)的距离比它到直线l ：x －6=0的距离4.2，求点M 的轨迹方程． C N M 1 Q M 2 K F P o M 1 Q M 2 K F P o y x
抛物线的几何性质教学设计 1. 教学目标： ⑴掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质； (2) 能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论； (3) 在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化。 2. 过程与方法 学会用类比的思想分析解决问题。 3■情态与价值观 学生通过和椭圆，双曲线和抛物线之间的简单几何性质类比， 了解到事物之间的普遍联系性。 教学重点:抛物线的几何性质及其运用 教学难点：抛物线几何性质的运用 授课类型：新授课 教学方法：学导式，启发式 教学过程设计： 教学环节 教学内容 设计意图 2. 新课探讨 以抛物线 2 1. 温故知新, 引入新课 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 l Y i 2 Y =2px (P>0) 任,0】 B 丿 P X =— 2 O
y =2px(p>0)为例
例1:已知抛物线关于 X 轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点 M ￠,-2耳2),求它的标准方程。 解： 因为抛物线关于X 轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点 M<2,-2^2》所以设方程为：y 2 = 2px (p>0)，又因为点M 在抛物线 上：(一2√? 2 =2px2 ，p = 2。因此所求抛物线标准方程为： y 2 =4x 当焦点在x(y)轴上,开口方向不定时，设为y2=2mx(m ≠ 0) (x2=2my (m ≠ O)),可避免讨论 2 例2.斜率为1的直线 经过抛物线 y = 4x 的焦点F ，且与抛物线 相交于A ，B 两点，求线段 AB 的长。 分析：法一、直线和抛物线联立为方程组，求出两个交点 A 、B ,然 后用两点间的距离公式求 AB 的长。 法二、设而不求，利用弦长公式来求 AB 的长。 法三、设而不求，数形结合，利用定义来求 AB 的长。 本题重在考试第三种方法。 解由题意可知，p =2, P =1, 2 焦点F 1,0 ,准线I : X =T . 3. 三种圆锥曲 线的简单几 何性质比较 学习新知识不 忘老知识，比较 着学习，总结归 纳更容 易让学 生掌握本课内 容。 4.经典例题
《抛物线的简单几何性质》教案 《抛物线的简单几何性质》教案及教材分析 教材:《全日制高级中学课本(必修)数学》第二册(上) 一. 教学理念 “数学教师不能充当数学知识的施舍者，没有人能教会学生,数学素质是学生在数学活动中自己获得的。”因此,教师的责任关键在于在教学过程中创设一个”数学活动”环境,让学生通过这个环境的相互作用,利用自身的知识和经验构建自己的理解,获得知识，从而培养自己的数学素质,培养自己的能力。 数学源于生活,高于生活,学习数学的最终目的是应用于生活(回归生活),通过平时教学,注意这方面的渗透,培养学生解决实际问题的能力。 二. 教材分析 1、本节教材的地位 本节通过类比椭圆、双曲线的几何性质,结合抛物线的标准方程讨论研究抛物线的几 何性质,让学生再一次体会用曲线的方程研究曲线性质的方法,学生不难掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等性质,对于抛物线几何性质的应用是学生学习的难点，教学中应强调几何模型与数学问题的转换。例1的设计，在于让学生通过作图感知p 的大小对抛物线开口的影响，引出通径的定义。例2的设计旨在利用抛物线的几何性质数学地解决实际问题即作抛物线的草图。 本节是第一课时,在数学思想和方法上可与椭圆、双曲线的性质对比进行,着重指出它 们的联系和区别，从而培养学生分析、归纳、推理等能力。 2、教学目标 (1) 知识目标： ⅰ 抛物线的几何性质、范围、对称性、定点、离心率。. ⅱ 抛物线的通径及画法。 (2) 能力目标：. ⅰ 使学生掌握抛物线的几何性质，根据给出条件求抛物线的标准方程。 ⅱ 掌握抛物线的画法。 (3) 情感目标： ⅰ 培养学生数形结合及方程的思想。 ) 0(22>=p px y
人教版抛物线教案 一．教学目的： １．掌握抛物线的概念． ２．掌握抛物线的标准方程及其应用． ３．理解并应用抛物线的几何性质． 二．重点难点： １．重点：抛物线的标准方程及其应用．抛物线的几何性质． ２．难点：抛物线的几何性质． 三．教学过程： 引入新课：与一定点的距离和一条定直线的距离比是常数ｅ的点的轨迹，当ｅ＜１时，是椭圆，当ｅ＞１时，是双曲线。当ｅ＝１时，是什么曲线呢？（让同学们看课件抛物线的定义部分，然后让学生回答，给出抛物线的定义。） 如图平面内与一个定点F 和一条定直线L 的距离 相等的点的轨迹叫做抛物线． 结合课件，让学生推导抛物线的标准方程． 取过焦点Ｆ且垂直与准线Ｌ的直线为ｘ轴，ｘ轴与Ｌ相交于点Ｋ，以线段KF 的垂直平分线为ｙ轴，如右图．设KF ＝ｐ，则焦点Ｆ的坐标为F(2 p ,0),准线L 的方程为:ｘ＝－ 2 p ． 设抛物线上的点Ｍ（ｘ，ｙ）到Ｌ的距离为ｄ．抛物线也就是集合Ｐ＝｛ＭMF ＝ｄ｝． ∵MF ＝2 2y p x +??? ?? - ， ｄ＝2 p x +， ∴2 2y p x +??? ?? - ＝2 p x + 将上式整理可得抛物线的标准方程：ｙ2 =2px(ｐ＞０) 让学生自己总结，写出抛物线标准方程的其他几种形式．教师总结如下表：
最后让学生看课件抛物线的标准方程部分,加深印象. 接着让学生看e与图线形状之间的关系.让学生对抛物线、椭圆、双曲线有一个整体认识,为后面综合应用打好基础. 例题1:求下列抛物线的焦点坐标和准线方程: ⑴ｘ２＝２ｙ： ⑵ｙ２－６ｘ＝０： 例题２：拱形桥洞是一段抛物线，宽７ｍ，高为０.７ｍ，求这条抛物线的方程．
高中数学《抛物线的简单几何性质》学案新人 教版选修 92、4、2抛物线的简单几何性质 【课程标准】 了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道抛物线的几何性质 【学习目标】 1、通过自主学习了解抛物线的对称性、范围、顶点、离心率等简单几何性质 2、能从抛物线的标准方程出发推导抛物线的性质，从而培养学生的分析、归纳、推理能力 3、通过例题和练习逐步掌握对称性、范围、顶点、离心率等简单几何性质 【自主学习】 请类比椭圆、双曲线的几何性质，讨论抛物线的性质以为例 1、范围 2、对称性 3、顶点 4、离心率
【典型例题】 例 1、轻松判断（1）顶点在原点、焦点在坐标轴上且经过点（3,2）的抛物线有4条（）（2）像椭圆、双曲线一样，一条抛物线有两个焦点，两条对称轴，一个对称中心（）（3）抛物线的的取值范围是不同的，但其焦点到准线的距离是相同的，离心率也相同（）（4）过抛物线焦点且垂直于对称轴的直线与抛物线交于两点A,B,则与抛物线标准方程的一次项系数相等( )例 2、边长为4的正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线上，求抛物线方程例 3、已知抛物线 ,设点A的坐标为，求抛物线上距离点A最近的点P的坐标及相应的距离、变式: 抛物线x2=4y的焦点为F, 斜率为2的直线经过抛物线的焦点,且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长、拓展提高： 抛物线y2=4x的焦点为F, 点M在抛物线上运动, A(2,2), 试求|MA|+|MF|的最小值、 【课堂练习】 1、若抛物线上一点P到准线的距离等于它到顶点O的距离，则P点的坐标为（） 2、连接抛物线上任意四点组成的图形有可能是（填写所有正确序号）①菱形②有3条边相等的四边形③梯形④平行四边形
教学题目：抛物线的标准方程 教学目标： 1. 能力与技能： （1）掌握抛物线的定义，理解抛物线的发生过程 （2）掌握抛物线的四种标准方程、图像、焦点、准线之间的关系 （3）会用待定系数法确定抛物线标准方程。 2. 过程与方法： （1） 有实际问题引入要研究的课题，发展学生的实践能力，通过实验使学生 发现抛物线的形成过程。 （2） 求抛物线的焦点坐标和准线方程中贯彻数形结合的思想。 （3） 掌握待定系数法在方程中的应用。 3. 情感与价值观： 让学生学会细心观察周围的事物，数学来源于生活，又为生活服务。 教学过程： 一.引入：探照灯、汽车前灯、卫星天线、激光 望远镜都是利用抛物线原理制成的，因此在生活当 中，抛物线是一个用途非常广泛的曲线。下面简单 介绍抛物线的光学反射原理，引起学生的兴趣。从 而引出课题：抛物线的标准方程。 二.新课： 1. 抛物线的定义：先从一个有趣的实验说起，仔细讲解实验的过程，让学生从实验的过程中发现抛物线的特点，从中学生可以自己总结出抛物线的定义：平面上与一个定点F 和一条定直线l(F 不在l 上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。点F 叫做抛物线的焦点。定直线l 叫做抛物线的准线。同时强调抛物线定义也是抛物线的性质即：是抛物线上的点就满足到焦点距离等于到准线的距离。 2. 抛物线标准方程的推导： 求一般曲线的方程（一般步骤）：1.建系2.设点3列式4.化简 建立抛物线的坐标系（由学生讨论）过点F 做准线L 的垂线，垂足为K 。以直线KF 为x 轴，线段KF 的中垂线为y 轴建立直角坐标系。 设︱KF ︱= p,则焦点F 的坐标是(2p ,0),准线l 的方程为2 p x -=
2.3.2 抛物线的几何性质教学设计
一、复习回顾 思考： 如何根据标准方程确定焦点位置以及开口方向？ 答：一次定焦点，正负定方向。 图 形 标准 方程 ) 0(22>=p px y )0(2-2>=p px y )0(22>=p py x ) 0(22>-=p py x 焦点 坐标 ）（0,2 p F ）（0,2-p F ），（20p F ），（2 -0p F 准线 方程 2 p x -= 2 p x = 2 p y -= 2 p y = 个，一起对答案即可。 温故而知新。这些都是本节课需要用到的相关概念，复习一遍便于后面解决问题。 二、课内探究 问题：我们在前面学习了椭圆与双曲线的标准方程，并根据其标准方程研究了它们的几何性质，现在回忆一下，我们研究过椭圆和双曲线哪些性质？ 学生答：椭圆：范围、对称性、顶点、离心率。 双曲线：范围、对称性、顶点、渐近线、离心率。 提出问题：通过对椭圆和双曲线几何性质的学习,应用类比的方 法，请学生讨论一下抛物线22(0)y px p =>的几何性质. 1、范围 2、对称性。 3、顶点坐标 4、离心率 总结： 开口向右的抛物线四条几何性质。 学生回 答，并强调这几类方法 教师提示，先研究两个性质。学生通过小组讨论得到结论。 另外两个性质 为引出抛物线几何性质做准备。 让学生自己发现总结，便于更好的理解并掌握性质。
二、通过以上讨论我们知道了抛物线22(0)y px p =>的几何性质，对于另外三种形式的标准方程，它们的几何性质又是怎样的？请同学们应用类比的方法看看这三种标准形式的抛物线有哪些性质. 思考:类比22(0)y px p =>几何性质,把下列表格填完整. 思考：抛物线的性质有哪些特点？ 1、标准方程的抛物线是否位于整个坐标平面内,是否有渐近线？ 2、抛物线有几条对称轴，有无对称中心？ 3、抛物线有几个顶点、几个焦点、几条准线？ 4、抛物线的离心率是否确定？ 标准 方程 2 2(0) y px p => 2 2(0)y px p =-> 2 2(0)x py p => 2 2(0)x py p =-> 图形 焦点 坐标 ）（0,2p F ）（0,2- p F ），（20p F ），（2-0p F 准线 方程 2 p x -= 2 p x = 2 p y -= 2 p y = 范围 }0|{≥x x }0|{≤x x }0|{≥y y }0|{≤y y 对称轴 x 轴 y 轴 顶点 坐标 （0,0） 离心率 1=e 教师先 给出定 义，然后学生回答。 学生自己通过类比， 填写表格。 学生思考并回答，进一步对抛物线几何性质的掌握 培养学 生类比的能力，提高归纳总结能力 此问题为了与椭圆和双曲线的性质区分开，便于记忆。
3.3.2抛物线的简单几何性质 基础过关练 题组一抛物线的几何性质及其运用 1.已知抛物线x2=2py(p>0)的准线经过点(-1,-1),则抛物线的焦点坐标为() A.(-1,0) B.(0,-1) C.(1,0) D.(0,1) 2.已知点P(6,y)在抛物线y2=2px(p>0)上,若点P到抛物线焦点F的距离等于8,则焦点F到抛物线准线的距离等于() A.2 B.1 C.4 D.8 3.已知抛物线y2=2px(p>0)的准线与圆(x-3)2+y2=16相切,则p的值为() B.1 C.2 D.4 A.1 2 4.已知点A是抛物线y2=2px(p>0)上一点,F为抛物线的焦点,O为坐标原点,当 |AF|=4时,∠OFA=120°,则抛物线的准线方程是() A.x=-1 B.y=-1 C.x=-2 D.y=-2 5.抛物线y2=4x的焦点为F,点P为抛物线上的动点,点M为其准线上的动点,当 △FPM为等边三角形时,其面积为() A.2√3 B.4 C.6 D.4√3 6.一条光线从抛物线y2=2px(p>0)的焦点F射出,经抛物线上一点B反射后,反射光线经过点A(5,4),若|AB|+|FB|=6,则抛物线的标准方程为.
题组二直线与抛物线的位置关系 7.已知直线l:y=x-1与抛物线C:y2=4x相交于A、B两点,则|AB|为() A.5 B.6 C.7 D.8 8.已知直线y=kx-k及抛物线y2=2px(p>0),则() A.直线与抛物线有一个公共点 B.直线与抛物线有两个公共点 C.直线与抛物线有一个或两个公共点 D.直线与抛物线可能没有公共点 9.过点(0,1)且与抛物线y2=4x只有一个公共点的直线有() A.1条 B.2条 C.3条 D.0条 10.(2020山东菏泽高二上期末)已知斜率为k的直线l与抛物线C:y2=4x交于A、B 两点,线段AB的中点为M(2,1),则直线l的方程为() A.2x-y-3=0 B.2x-y-5=0 C.x-2y=0 D.x-y-1=0 11.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l:y=x-2与抛物线C交于A,B两点. (1)求弦AB的长; (2)求△FAB的面积.
课时作业(十三) [学业水平层次] 一、选择题 1．已知点P (6，y )在抛物线y 2＝2px (p >0)上，若点P 到抛物线焦点F 的距离等于8，则焦点F 到抛物线准线的距离等于( ) A ．2 B ．1 C ．4 D ．8 【解析】 抛物线y 2＝2px (p >0)的准线为x ＝－p 2，因为P (6，y ) 为抛物线上的点，所以点P 到焦点F 的距离等于它到准线的距离，所 以6＋p 2＝8，所以p ＝4，即焦点F 到抛物线的距离等于4，故选C. 【答案】 C 2．(2014·成都高二检测)抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，点P 为抛物线上的动点，点M 为其准线上的动点，当△FPM 为等边三角形时，其面积为( ) A ．2 3 B ．4 C ．6 D ．43 【解析】 据题意知，△FPM 为等边三角形，|PF |＝|PM |＝|FM |， ∴PM ⊥抛物线的准线．设P ? ?? ??m 24，m ，则M (－1，m )，等边三角形边长为1＋m 24，又由F (1,0)，|PM |＝|FM |，得1＋m 24＝1＋12＋m 2，得m ＝23，∴等边三角形的边长为4，其面积为43，故选D. 【答案】 D 3．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准
线方程为( ) A ．x ＝1 B ．x ＝－1 C ．x ＝2 D ．x ＝－2 【解析】 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入抛物线方程得：????? y 21＝2px 1， ①y 22＝2px 2， ② ①－②得， (y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝2p (x 1－x 2)． 又∵y 1＋y 2＝4，∴y 1－y 2x 1－x 2＝2p 4＝p 2 ＝k ＝1，∴p ＝2. ∴所求抛物线的准线方程为x ＝－1. 【答案】 B 4．(2014·课标Ⅱ)设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，则|AB |＝( ) B ．6 C ．12 D ．73 【解析】 焦点F 的坐标为? ?? ??34，0，直线AB 的斜率为33，所以直线AB 的方程为y ＝33? ?? ??x －34， 即y ＝33x －34，代入y 2＝3x ， 得13x 2－72x ＋316＝0，
（1）教具的准备 问题1：同学们对抛物线已有了哪些认识？ 在物理中，抛物线被认为是抛射物体的运行轨道；在数学中，抛物线是二次函数的图象？ 问题2：在二次函数中研究的抛物线有什么特征？ 在二次函数中研究的抛物线，它的对称轴是平行于y轴、开口向上或开口向下两种情形．引导学生进一步思考：如果抛物线的对称轴不平行于y轴，那么就不能作为二次函数的图象来研究了．今天，我们突破函数研究中这个限制，从更一般意义上来研究抛物线. 通过提问来激发学生的探究欲望，首先研究抛物线的定义，教师可以用直观的教具叫学生参与进行演示，再由学生归纳出抛物线的定义． （2）抛物线的标准方程 设定点F到定直线l的距离为p(p为已知数且大于0)．下面，我们来求抛物线的方程．怎样选择直角坐标系，才能使所得的方程取较简单的形式呢？ 让学生议论一下，教师巡视，启发辅导，最后简单小结建立直角坐标系的方案 方案1：(由第一组同学完成，请一优等生演板．)以l为y轴，过点F与直线l垂直的直线为x轴建立直角坐标系(图2-30)．设定点F(p，0)，动点M的坐标为(x，y)，过M作 MD⊥y轴于D，抛物线的集合为：p={M||MF|=|MD|}． 化简后得：y2=2px-p2(p＞0)． 方案2：(由第二组同学完成，请一优等生演板) 以定点F为原点，平行l的直线为y轴建立直角坐标系(图2-31)．设动点M的坐标为(x，y)，且设直线l的方程为x=-p，定点F(0，0)，过M作MD⊥l于D，抛物线的集合为：p={M||MF|=|MD|}． 化简得：y2=2px+p2(p＞0)． 方案3：(由第三、四组同学完成，请一优等生演板．) 取过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，x轴与l交于K，以线段KF的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系(图2-32)．
抛物线几何性质说课稿 尊敬的各位评委、老师大家好！今天我说课的内容是人教 A 版数学第二册·上第八章第 6 节《抛物线的简单几何性质》 . 新课标指出，学生是教学的主体，教师的教应本着从学生的认知规律出发，以学生活动为主线，在原有知识的基础上，建构新的知识体系 . 本节课的教学中，我将尝 试这种理念 . 下面我将从教材分析、教法学法分析、教学过程及教学评价四个方面进行说明 一教材分析 教材地位与作用 本节课是在学习了抛物线的定义及其标准方程的基础上，第一次系统地按照抛物线方程来研 究抛物线的简单几何性质，该内容是高中数学的重要内容，也是高考的重点与热点内容。本课时 的主要内容是：探究抛物线的简单几何性质及应用。 教学目标 1、知识与技能 ■探究抛物线的简单几何性质，初步学习利用方程研究曲线性质的方法。 ■掌握抛物线的简单几何性质，理解抛物线方程与抛物线曲线间互逆推导的逻辑关系及利 用数形结合解决实际问题。 2、过程与方法 ■ 通过抛物线的方程研究抛物线的简单几何性质，使学生经历知识产生与形成的过程，培养学生观察、分析、逻辑推理，理性思维的能力。 ■ 通过掌握抛物线的简单几何性质及应用过程，培养学生对研究方法的思想渗透及运用数形 结合思想解决问题的能力。 3、情感、态度与价值观 通过数与形的辩证统一，对学生进行辩证唯物主义教育，通过对抛物线对称美的感受，激发 学生对美好事物的追求。 1.3教学重难点 得出抛物线几何性质的思维过程，掌握运用抛物线的几何性质去解决问题的方法． 二教法学法分析 学情分析 由于学生智力水平参差不齐，基础和发展不平衡，呈现两头尖中间大的趋势。学生已熟悉和 掌握抛物线定义及其标准方程，有亲历体验发现和探究的兴趣，有动手操作，归纳猜想，逻辑推理 的能力，有分组讨论、合作交流的良好习惯，从而愿意在教师的指导下主动与同学探究、发 现、归纳数学知识。 教法分析 本节课以启发式教学为主，综合运用演示法、讲授法、讨论法、有指导的发现法及练习法等教 学方法。先通过多媒体动画演示，创设问题情境；在抛物线简单几何性质的教学过程中，通过多媒 体演示，有指导的发现问题，然后进行讨论、探究、总结、运用，最后通过练习加以巩固提
课题：抛物线及其标准方程 教材内容和地位：本节内容是在初中以二次函数图象的形式初步探讨过，现在是在学习了椭圆、双曲线的基础上又一种圆锥曲线，它是以圆锥曲线统一定义（即第二定义）进行展开学习的。本章对抛物线的安排篇幅不多，但与椭圆、双曲线的地位是一样的。利用抛物线定义推出抛物线标准方程，为以后用代数方法研究抛物线的几何性质和选学内容“三种圆锥曲线的统一极坐标”打下基础，本节起到一个承上启下的作用。 教学目标 （1）知识目标：掌握抛物线的定义，掌握抛物线的四种标准方程形式，及其对应的焦点、准线。 （2）能力目标：通过对抛物线概念和标准方程的学习，培养学生分析和概括的能力，提高建立坐标系的能力，由圆锥曲线的统一定义，形成学生对事物运动变化、对立、统一的辨证唯物主义观点。 （3）德育目标：通过抛物线概念和标准方程的学习，培养学生勇于探索、严密细致的科学态度，通过提问、讨论、思考等教学活动，调动学生积极参与教学，培养良好的学习习惯。 教学重点：（1）抛物线的定义及焦点、准线； （2）利用坐标法求出抛物线的四种标准方程； （3）会根据抛物线的焦点坐标，准线方程求抛物线的标准方程。 教学难点：（1）抛物线的四种图形及标准方程的区分； （2）抛物线定义及焦点、准线等知识的灵活运用。 教学方法：启发引导法（通过椭圆与双曲线第二定义引出抛物线）。 依据建构主义教学原理，通过类比、归纳把新知识化归到原有的认知 结构中去（二次函数与抛物线方程的对比，移图与建立适当建立坐标 系的方法的归纳）。 利用多媒体教学 教学过程： 一、课题引入 利用学生已有知识提问学生:1、椭圆的第二种定义：到定点与到定直线的距离的比是小于1的常数的点的轨迹是椭圆。（用课件演示） 2、双曲线的第二种定义：到定点与到定直线的距离的比是大于1的常数 的点的轨迹是双曲线。（用课件演示） 由此引出：到定点的距离和到定直线的距离的比是等于1的常数的点的轨迹是什么？
2.4.2抛物线的几何性质 学习目标 1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质.2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题． 知识点一抛物线的范围 思考观察下列图形，思考以下问题： (1)观察焦点在x轴的抛物线与双曲线及椭圆的图形，分析其几何图形存在哪些区别？ (2)根据图形及抛物线方程y2＝2px(p>0)如何确定横坐标x的范围？ 梳理抛物线y2＝2px(p>0)中，x∈__________， y∈__________. 抛物线y2＝－2px(p>0)中，x∈__________， y∈__________. 抛物线x2＝2py(p>0)中，x∈__________， y∈__________. 抛物线x2＝－2py(p>0)中，x∈__________， y∈__________. 知识点二四种形式的抛物线的几何性质 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
知识点三 直线与抛物线的位置关系 直线y ＝kx ＋b 与抛物线y 2 ＝2px (p >0)的交点个数决定于关于x 的方程组? ???? y ＝kx ＋b ， y 2＝2px 解的个 数，即二次方程k 2x 2＋2(kb －p )x ＋b 2＝0解的个数． 当k ≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有______个不同的公共点；若Δ＝0时，直线与抛物线有______个公共点；若Δ<0时，直线与抛物线________公共点． 当k ＝0时，直线与抛物线的轴__________，此时直线与抛物线有______个公共点． 类型一 依据抛物线的几何性质求标准方程 例1 抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x 2＋4y 2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程． 引申探究 将本例改为“若抛物线的焦点F 在x 轴上，直线l 过F 且垂直于x 轴，l 与抛物线交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若△OAB 的面积等于4”，求此抛物线的标准方程． 反思与感悟 用待定系数法求抛物线方程的步骤 跟踪训练1 已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x 轴，且与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，|AB |＝23，求抛物线方程．
第2课时 椭圆的简单几何性质 错误!题型分类 深度解析 考点一 椭圆的性质 【例1】 (1)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为( ) A.63 B.33 C.23 D.13 (2)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点.若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于4 5，则椭圆E 的离心率的取值范围是( ) A.? ?? ??0，32 B.??? ?0，34 C.?? ?? ??32，1 D.??? ?3 4，1 解析 (1)以线段A 1A 2为直径的圆是x 2＋y 2＝a 2，又与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切， 所以圆心(0，0)到直线的距离d ＝2ab a 2＋b 2 ＝a ，整理为a 2＝3b 2 ，即b a ＝13. ∴e ＝c a ＝a 2－ b 2a ＝ 1－??? ?b a 2 ＝ 1－? ?? ??132＝63. (2)设左焦点为F 0，连接F 0A ，F 0B ，则四边形AFBF 0为平行四边形. ∵|AF |＋|BF |＝4， ∴|AF |＋|AF 0|＝4，∴a ＝2. 设M (0，b )，则4b 5≥4 5，∴1≤b <2. 离心率e ＝c a ＝ c 2a 2＝ a 2－ b 2a 2＝ 4－b 24∈? ???? 0，32. 答案 (1)A (2)A 规律方法 求椭圆离心率的方法 (1)直接求出a ，c 的值，利用离心率公式直接求解. (2)列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝a 2－c 2消去b ，转化为含有e 的
2019-2020学年高中数学 2.3.2抛物线的简单几何性质教学案 新人 教版选修1-1 （一）学习目标： 1．掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质； 2．能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论，在此基础上列表、描点、画抛物线图形； 3．在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化 . （二）学习重点：抛物线的几何性质及其运用 （三）学习难点：抛物线几何性质的运用 （四）学习过程： 一、复习引入：（回顾并填表格） 1．抛物线定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做 . 定点F 叫做抛物线的 ，定直线l 叫做抛物线的 . 2．抛物线的标准方程： 相同点： 不同点： 二、讲解新课： 类似研究双曲线的性质的过程，我们以()022 >=p px y 为例来研究一下抛物线的简单 几何性质： 1．范围
2．对称性 3．顶点 4．离心率 对于其它几种形式的方程，列表如下：（通过对照完成下表） 思考：抛物线有没有渐近线？（体会抛物线与双曲线的区别） 三、例题讲解： 例1 已知抛物线关于x 轴为对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点)22,2(-M ，求它的标准方程，并用描点法画出图形．
例2斜率为1的直线经过抛物线y 2 =4x 的焦点，与抛物线交于两点A 、B ，求线段AB 的长. （思考用不同方法求解） 变式训练：过抛物线2 4y x =的焦点F 作直线，交抛物 线于11(,)P x y ,22(,)Q x y 两点，若126y y +=，求PQ 。 点评：由以上例2以及变式训练可总结出焦点弦弦长： 四、达标练习： 1．过抛物线x y 42 =的焦点作直线交抛物线于()11,y x A ，()22,y x B 两点，如果 621=+x x ，那么||AB =（ ） （A ）10 （B ）8 （C ）6 （D ）4 2．已知M 为抛物线x y 42 =上一动点，F 为抛物线的焦点，定点()1,3P ，则 ||||MF MP +的最小值为（ ）
精品教学教案设计| Excellent teaching plan 教师学科教案 [20 -20学年度第—学期] 任教学科：________________ 任教年级：________________ 任教老师：________________ xx市实验学校
《抛物线的简单几何性质》教案 一.教学理念 数学教师不能充当数学知识的施舍者，没有人能教会学生，数学素质是学生在数学 活动中自己获得的。”因此，教师的责任关键在于在教学过程中创设一个”数学活动”环境，让学生通过这个环境的相互作用，利用自身的知识和经验构建自己的理解，获得知识，从而培养自 己的数学素质，培养自己的能力。 数学源于生活，高于生活，学习数学的最终目的是应用于生活(回归生活)，通过平时教学注意这方面的渗透，培养学生解决实际问题的能力。 二.教材分析 1、本节教材的地位 本节通过类比椭圆、双曲线的几何性质，结合抛物线的标准方程讨论研究抛物线的几 何性质，让学生再一次体会用曲线的方程研究曲线性质的方法，学生不难掌握抛物线的范围、 对称性、顶点、离心率等性质，对于抛物线几何性质的应用是学生学习的难点，教学中应强调几何模型与数学问题的转换。例1的设计，在于让学生通过作图感知p的大小对抛物线开 口的影响，引出通径的定义。例2的设计旨在利用抛物线的几何性质数学地解决实际问题即作抛物线的草图。 本节是第一课时，在数学思想和方法上可与椭圆、双曲线的性质对比进行，着重指出它们的联系和区别，从而培养学生分析、归纳、推理等能力。 2、教学目标 ⑴知识目标：i抛物线的几何性质、范围、对称性、定点、离心率。 ii抛物线的通径及画法。 (2)能力目标：. i使学生掌握抛物线的几何性质，根据给出条件求抛物线的标准方程。 i掌握抛物线的画法。 (3)情感目标： i培养学生数形结合及方程的思想。 i训练学生分析问题、解决问题的能力，了解抛物线在实际问题中的初步应用。 3、学生情况 我授课的学生是省级重点中学的学生，大部分学生数学基础较好，但理解能力、运算能力、思维能力等方面参差不齐。 4、教学重点、难点 教学的重点是掌握抛物线的几何性质，使学生能根据给出的条件求出抛物线的标准方程和一些实际应用。 难点是抛物线各个知识点的灵活应用。 三、教学方法及手段 采用引导式、讲练结合法；多媒体课件辅助教学。 四、教学程序
尝试探究有关抛物线的焦点弦问题 设计理念 美国著名作家海明威在谈到阅读欣赏时，曾讲过一个“冰山理论”：他认为人们看到的小说只是冰山露在海面上的八分之一，那海面下的八分之七得让读者自己去体会揣摩。小说的表象后面包藏了极为丰富的内涵，它们是小说广阔的背景材料，要真正读懂小说，就必须掌握和了解这些材料。 这段话从一定程度上反映了开展探究性教学的可能和意义所在。事实上，现行教材中存在很多可选的探究性学习课题，只要我们在教学过程中，善于探究，积极引导，其探究性课题还是比较丰富，并确实有探究的价值。 探究性学习课题 一道习题的引申 探究性学习目标 通过推理、发现、猜测、概括、探究等双边活动过程，来启迪学生思维，调动学生兴趣，激发学习热情，树立创新意识，培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力。 探究性学习方法 学生主动探究与教师启发引导相结合。 探究性学习问题预测 重点：抛物线的焦点弦问题的知识联想。 难点：习题的证明结论引发的几何意义。 疑点：更多结论的发现。 情感目标 培养学生锲而不舍的个性品质。 体验数学中的对称美、和谐美、统一美都是客观世界美的特征在数学中的反映。 探究性学习双边活动过程 问题：过抛物线y2=2px的焦点的一条直线与此抛物线相交，两个交点的纵坐标分别为
y 1、y 2.求证：y 1y 2= －p 2 证明： 222y px p y k x ?=????=- ????? ()k o ≠ ? 2220p y y p k --= （1） 或22 222(2)04k p k x p k x ??-++= ??? （2） ? 212y y p =- 以上是同学遇到的一道习题。请同学判断以上的过程是否正确。 忽视了k 这个变数的讨论 当k 不存在时：222 y px p x ?=??=?? ? 22y p = ? y p =或y p =- ? 212y y p =- 思考1：在证明这个结论的同时，还能得到什么新结论？ 可得：()21221222p k x x k p y y k ++= += 2 124 p x x =； 甚至还可得到： 2121234x x y y p +=-； 2121254 x x y y p -=； 412124 p x x y y =-； 121214x x y y =- 设问1 以上的部分结论能否以一个命题形式给出？ 成果1：过抛物线y 2 =2px 的焦点的一条直线与此抛物线相交，两交点的横、纵坐标之积， 以及它们的和、差、积、商均为定值。 启迪 数形结合是一种重要的数学思想方法。它主要表现在把抽象的数量关系，转化为适 当的几何图形，通常是将数量关系转化为线段图。能否就结论212y y p =-得出其几何意义？ 思考2：结论212y y p =-有何几何意义？ 成果2：焦点到准线的距离是焦点弦在准线上的射影被焦点在准线上的射影所分的两线段的