3.3.2抛物线的简单几何性质
基础过关练
题组一抛物线的几何性质及其运用
1.已知抛物线x2=2py(p>0)的准线经过点(-1,-1),则抛物线的焦点坐标为()
A.(-1,0)
B.(0,-1)
C.(1,0)
D.(0,1)
2.已知点P(6,y)在抛物线y2=2px(p>0)上,若点P到抛物线焦点F的距离等于8,则焦点F到抛物线准线的距离等于()
A.2
B.1
C.4
D.8
3.已知抛物线y2=2px(p>0)的准线与圆(x-3)2+y2=16相切,则p的值为()
B.1
C.2
D.4
A.1
2
4.已知点A是抛物线y2=2px(p>0)上一点,F为抛物线的焦点,O为坐标原点,当
|AF|=4时,∠OFA=120°,则抛物线的准线方程是()
A.x=-1
B.y=-1
C.x=-2
D.y=-2
5.抛物线y2=4x的焦点为F,点P为抛物线上的动点,点M为其准线上的动点,当
△FPM为等边三角形时,其面积为()
A.2√3
B.4
C.6
D.4√3
6.一条光线从抛物线y2=2px(p>0)的焦点F射出,经抛物线上一点B反射后,反射光线经过点A(5,4),若|AB|+|FB|=6,则抛物线的标准方程为.
题组二直线与抛物线的位置关系
7.已知直线l:y=x-1与抛物线C:y2=4x相交于A、B两点,则|AB|为()
A.5
B.6
C.7
D.8
8.已知直线y=kx-k及抛物线y2=2px(p>0),则()
A.直线与抛物线有一个公共点
B.直线与抛物线有两个公共点
C.直线与抛物线有一个或两个公共点
D.直线与抛物线可能没有公共点
9.过点(0,1)且与抛物线y2=4x只有一个公共点的直线有()
A.1条
B.2条
C.3条
D.0条
10.(2020山东菏泽高二上期末)已知斜率为k的直线l与抛物线C:y2=4x交于A、B 两点,线段AB的中点为M(2,1),则直线l的方程为()
A.2x-y-3=0
B.2x-y-5=0
C.x-2y=0
D.x-y-1=0
11.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l:y=x-2与抛物线C交于A,B两点.
(1)求弦AB的长;
(2)求△FAB的面积.
12.(2020海南中学高二上期中)已知抛物线y 2=-x 与直线y=k(x+1)相交于A,B 两点,O 是坐标原点. (1)求证:OA ⊥OB;
(2)当△OAB 的面积等于√10时,求k 的值.
题组三 抛物线的综合运用
13.在同一平面直角坐标系中,方程a 2x 2+b 2y 2=1与ax+by 2=0(a>b>0)的曲线大致为( )
14.已知双曲线y 24
-x 2
=1的两条渐近线分别与抛物线y 2=2px(p>0)的准线交于
A,B 两
点,O 为坐标原点,若△OAB 的面积为1,则p 的值为( ) A.1 B.√2 C.2√2 D.4
15.抛物线y=-x 2上的点到直线4x+3y-8=0距离的最小值是( ) A.43
B.75
C.85
D.3
16.过抛物线y 2=2px(p>0)的焦点F 的直线与抛物线交于A,B 两点,若A,B 在准线上的射影分别为A 1,B 1,则∠A 1FB 1等于( ) A.90° B.45° C.60° D.120°
能力提升练
题组一 抛物线的几何性质及其运用 1.(
)设抛物线x 2=8y 的焦点为F,准线为l,P 为抛物线上一点,PA ⊥l,A 为垂足,如果
直线AF 的倾斜角等于60°,那么|PF|等于( ) A.2√3
B.4√3
C.83
D.3
2.(多选)(2020山东淄博一中高二上期中,
)设抛物线y 2=2px(p>0)的焦点为F.点M
在y 轴上,若线段FM 的中点B 在抛物线上,且点B 到抛物线准线的距离为3√2
4
,则点M 的坐标为( ) A.(0,-1) B.(0,-2) C.(0,2) D.(0,1)
3.(
)若抛物线y 2=2x 上的一点M 到坐标原点O 的距离为√3,则点M 到该抛物线
焦点的距离为 . 4.(2020北京通州高二上期末,
)已知双曲线x 2-y
23
=1,抛物线y 2=2px(p>0)的焦点与
双曲线的一个焦点相同,点P(x 0,y 0)为抛物线上一点. (1)求双曲线的焦点坐标;
(2)若点P 到抛物线的焦点的距离是5,求x 0的值.
题组二 直线与抛物线的位置关系 5.(2019黑龙江牡丹江一中高二上期中,
)已知直线l:y=k(x+2)(k>0)与抛物线
C:y 2=8x 相交于A 、B 两点,F 为C 的焦点,若|FA|=2|FB|,则k= ( ) A.13
B.√2
3
C.23
D.
2√2
3
6.(2019黑龙江大庆实验中学高二上期中,)已知y 2=x,点A,B 在该抛物线上且位
于x 轴的两侧,O 为坐标原点,若OA ????? ·OB ????? =12,则△AOB 面积的最小值为( ) A.6 B.8 C.10 D.12
7.(2020河南开封高二上期末联考,)已知抛物线C:y 2=2px(p>0)的焦点为F,点
P(x 0,√2p)在抛物线C 上,且|PF|=3. (1)求抛物线C 的方程;
(2)过焦点F 的直线l 与抛物线分别交于A,B 两点,点A,B 的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2),O 为坐标原点,若OA ????? ·OB ????? =-(x 1+x 2),求直线l 的方程.
题组三 抛物线的综合运用 8.(2020山东泰安高二上期末,
)已知点A 是抛物线x 2=4y 的对称轴与准线的交点,
点B 为抛物线的焦点,点P 在抛物线上且满足|PA|=m|PB|,当m 取最大值时,点P 恰好在以A,B 为焦点的双曲线上,则双曲线的离心率为(深度解析) A.
√2+1
2 B.√ C.√5+12
D.√5-1
9.(多选)(2020山东烟台高二上期末学业水平诊断,
)已知抛物线E:y 2=4x 的焦点为
F,准线为l,过F 的直线与E 交于A,B 两点,C,D 分别为A,B 在l 上的射影,且|AF|=3|BF|,M 为AB 中点,则下列结论正确的是(深度解析) A.∠CFD=90°
B.△CMD 为等腰直角三角形
C.直线AB 的斜率为±√3
D.△AOB 的面积为4 10.(
)设抛物线y 2=4x 的焦点为F,过点F 作直线与抛物线交于A,B 两点,点M 满
足OM ?????? =1
2
(OA ????? +OB
????? ),过M 作y 轴的垂线与抛物线交于点P,若|PF|=2,则点P 的横坐标为 ,|AB|= .
11.(2020湖南长沙长郡中学高二上期中,
)已知O 为坐标原点,点P(1,2)在抛物线
C:y 2=4x 上,过点P 作两直线分别交抛物线C 于点A,B,若k PA +k PB =0,则k AB ·k OP 的值为 .
答案全解全析
基础过关练
1.D∵抛物线x2=2py(p>0)的准线经过点(-1,-1),∴-p
2
=-1,即p=2,
∴抛物线的焦点坐标为(0,1).
2.C抛物线y2=2px(p>0)的准线为x=-p
2
,因为P(6,y)为抛物线上的点,所以点P到焦
点F的距离等于它到准线的距离,所以6+p
2
=8,所以p=4,即焦点F到抛物线准线的距离等于4,故选C.
3.C抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=-p
2
,因为抛物线y2=2px(p>0)的准线与圆
(x-3)2+y2=16相切,所以3+p
2
=4,解得p=2.
4.A如图所示,过A作准线的垂线AC,过F作AC的垂线FB,垂足分别为C,B,由题意,得∠BFA=∠OFA-90°=30°,所以|AB|=|AF|·sin30°=2,点A到准线的距离
d=|AB|+|BC|=2+p=4,解得p=2,则抛物线的准线方程是x=-1,故选A.
5.D由题意知,△FPM为等边三角形,|PF|=|PM|=|FM|,∴PM⊥抛物线的准线.
设P(m2
4,m),则M(-1,m),∴等边三角形的边长为1+m2
4
,
又F(1,0),|PM|=|FM|,∴1+m2
4
=√(1+1)2+m2,解得m=±2√3,
∴等边三角形的边长为4,其面积为4√3,故选D.
6.答案y2=4x
解析抛物线具有光学性质,即从焦点出发的光经抛物线上一点反射后,反射光线
沿平行于抛物线对称轴的方向射出,∵|AB|+|FB|=6,∴5+p
2
=6,∴p=2,∴抛物线的标准方程为y2=4x.
7.D由条件知,直线y=x-1过抛物线的焦点,
将y=x-1代入抛物线方程y2=4x,整理得x2-6x+1=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=6,
∴|AB|=x1+x2+2=8.
8.C因为直线y=kx-k=k(x-1),
所以直线过点(1,0).又点(1,0)在抛物线y 2=2px(p>0)的内部, 所以当k=0时,直线与抛物线有一个公共点; 当k ≠0时,直线与抛物线有两个公共点. 故选C.
9.C 易知过点(0,1),且斜率不存在的直线为x=0,满足与抛物线y 2=4x 只有一个公共点.当斜率存在时,设直线方程为y=kx+1,与y 2=4x 联立并整理,得k 2x 2+(2k-4)x+1=0,当k=0时,方程有一个解,即直线与抛物线只有一个公共点;当k ≠0时,令Δ=(2k -4)2-4k 2=0,解得k=1,即直线与抛物线有一个公共点.所以满足题意的直线有3条.故选C.
10.A 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),
则{y 12=4x 1,y 22=4x 2
?(y 1-y 2)(y 1+y 2)=4(x 1-x 2). 又AB 的中点为M(2,1), ∴y 1+y 2=2,∴k=
y 1-y 2x 1-x 2
=2,
因此直线AB 的方程为y-1=2(x-2), 化简得2x-y-3=0,故选A.
11.解析 (1)联立{y =x -2,
y 2=4x,消去y 整理得x 2-8x+4=0,其中Δ=64-4×4=48>0,
设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), 则x 1+x 2=8,x 1x 2=4,
所以|x 1-x 2|=√(x 1+x 2)2-4x 1x 2=4√3, 所以|AB|=2·|x 1-x 2|=√2×4√3=4√6. (2)由题意得点F(1,0), 故点F 到直线l 的距离d=
√=√2
2
,
所以S △FAB =1
2×|AB|×d=1
2×4√6×√2
2
=2√3.
12.解析 (1)证明:当k=0时,直线与抛物线仅一个交点,不合题意,∴k ≠0. 由y=k(x+1),得x=y
k
-1,代入y 2=-x,整理得,y 2+1
k
y-1=0.
设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), 则y 1+y 2=-1
k ,y 1y 2=-1.
∵点A,B 在抛物线y 2=-x 上,
∴A(-y 12,y 1),B(-y 22
,y 2),
∴k OA ·k OB =y 1-y 12·y 2-y 2
2=
1
y 1y 2
=-1,
∴OA ⊥OB.
(2)设直线AB 与x 轴交于点E,则E(-1,0), ∴|OE|=1,
∴S △OAB =12|OE|(|y 1|+|y 2|)=12|y 1-y 2|=12√1k 2+4=√10,解得k=±1
6
.
13.D 解法一:将方程a 2x 2+b 2y 2=1与ax+by 2
=0转化为x 21a 2
+y 2
1b 2
=1与y 2=-a b
x.因为a>b>0,
所以1b >1
a
>0,所以椭圆的焦点在y 轴上,抛物线的焦点在x 轴上,且开口向左.故选D.
解法二:方程ax+by 2=0(a>b>0)中,将y 换成-y,其结果不变,即ax+by 2=0的曲线关于x
轴对称,排除B,C;由解法一知椭圆的焦点在y 轴上,排除A.故选D.
14.B 双曲线y 2
4-x 2=1的两条渐近线方程是y=±2x,∵抛物线y 2=2px(p>0)的准线方程
是x=-p 2
,∴A,B 两点的纵坐标的差的绝对值是2p,又△AOB 的面积为1,∴12×p
2
×2p=1,
∴p=√2.故选B.
15.A 设抛物线y=-x 2上一点为A(m,-m 2),A 点到直线4x+3y-8=0的距离d=
|4m -3m 2
-8|5
=
|3(m -23)2+20
3
|5
,∴当m=23
时,d 取得最小值,为4
3
.故选A.
16.A 如图,由抛物线的定义,知|AA 1|=|AF|,|BB 1|=|BF|, 所以∠AA 1F=∠AFA 1. 又∠AA 1F=∠A 1FO, 所以∠AFA 1=∠A 1FO. 同理∠BFB 1=∠B 1FO,
于是∠AFA 1+∠BFB 1=∠A 1FO+∠B 1FO=∠A 1FB 1, 故∠A 1FB 1=90°.故选A.
能力提升练
1.C 在△APF 中,由抛物线的定义,可得|PA|=|PF|.∵|AF|sin 60°=4,∴|AF|=√.过P 作
PB ⊥AF 于B,∵∠PAF=∠PFA=30°,∴|PF|=|BF|
cos30°=8
3
,故选C.
2.BC 设M(0,y),易知F (p
2,0),
则B (p 4,y
2
),如图所示.
则|BB 1|=p 4+p 2=
3√2
4
,∴p=√2.
∴抛物线方程为y 2=2√2x,且B (√24,y
2
),
又B 在抛物线上,∴1
4
y 2=2√2×√2
4
,因此y 2=4,解得y=±2.故选BC.
3.答案 3
2
解析 设点M (y 2
2
,y),
∵|MO|=√3,∴(y 2
2
-0)2
+(y-0)2=3,
∴y 2=2或y 2
=-6(舍去),∴x=y 2
2
=1.
∴M 到抛物线y 2=2x 的准线x=-12的距离d=1-(-12)=3
2
.
∵点M 到抛物线焦点的距离等于点M 到抛物线y 2=2x 的准线的距离, ∴点M 到该抛物线焦点的距离为3
2
,故答案为3
2
.
4.解析 (1)因为双曲线的方程为x 2-y
2
3
=1,
所以a 2=1,b 2=3.
所以c 2=a 2+b 2=4.所以c=2.
所以双曲线的焦点坐标分别为(-2,0),(2,0).
(2)因为抛物线y 2=2px(p>0)的焦点与双曲线的一个焦点相同, 所以抛物线y 2=2px(p>0)的焦点坐标是(2,0),所以p=4. 因为点P(x 0,y 0)为抛物线上一点,
所以点P(x 0,y 0)到抛物线的焦点的距离等于点P(x 0,y 0)到抛物线的准线x=-2的距离. 因为点P 到抛物线的焦点的距离是5,即x 0+2=5,所以x 0=3. 5.D 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),x 1>0,x 2>0,y 1>0,y 2>0, 因为|FA|=2|FB|,所以x 1+2=2(x 2+2), 因为
y 1
x 1+2=
y 2
x 2+2
,所以y 1=2y 2,所以y 12=4y 22
,即8x 1=4×8x 2,所以x 1=4x 2,与x 1+2=2(x 2+2)联
立,解得x 2=1, 所以y 2=2√2, 因此k=
y 2x 2+2
=
2√23
,故选D.
6.B 设直线AB 的方程为x=ty+m,点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),直线AB 与x 轴的交点为
M(m,0),将x=ty+m 代入y 2=x,可得y 2-ty-m=0, 根据根与系数的关系得y 1y 2=-m,y 1+y 2=t.
∵OA ????? ·OB ????? =12,∴x 1·x 2+y 1·y 2=12,又x 1x 2=y 12y 22,∴(y 1·y 2)2+y 1·y 2-12=0,令y 1y 2=u,则
u 2+u-12=0,解得u=-4或u=3,∵点A,B 位于x 轴的两侧,∴u=y 1·y 2=-4,故m=4. 故直线AB 所过的定点坐标是(4,0),
故△AOB 的面积S=1
2×4×|y 1-y 2|=2×√(y 1+y 2)2-4y 1y 2=22+16≥8,
当t=0时,直线AB 垂直于x 轴,△AOB 的面积取得最小值,为8,故选B. 7.解析 (1)由点P(x 0,√2p)在抛物线C 上,得(√2p)2=2px 0,解得x 0=p, 由抛物线定义得,|PF|=x 0+p 2
=3p
2=3,解得p=2,
故抛物线C 的方程为y 2=4x.
(2)设直线l 的方程为x=my+1,
联立{y 2=4x,x =my +1,消去x,得y 2-4my-4=0,
故y 1+y 2=4m,y 1y 2=-4, 所以x 1x 2=y 1
24
×y 2
24=
y 12y 2
216
=1,x 1+x 2=(my 1+1)+(my 2+1)=m(y 1+y 2)+2=4m 2+2,
则OA ????? ·OB ????? =-(x 1+x 2)=x 1x 2+y 1y 2=-3,即4m 2+2=3,解得m=±1
2
,
所以所求直线l 的方程为y=2x-2或y=2-2x. 8.B 由x 2=4y,得p=2, ∴焦点B(0,1),准线l:y=-1,
从而A(0,-1),如图所示.设∠PAQ=θ.
∵|PA|=m|PB|,|PB|=|PQ|, ∴m=
|PA|
|PB|=
|PA|
|PQ|=
1
sinθ
.
结合图形知,当AP 与抛物线相切时,sin θ最小,从而m 最大. 设直线AP 的方程为y=kx-1(k ≠0), 由{x 2=4y,y =kx -1,得x 2-4kx+4=0, 令Δ=16k 2-16=0,解得k=±1, 不妨取k=1,得P 点坐标为(2,1). 设双曲线的方程为y 2a
2-x 2
b 2=1(a>0,b>0).
在双曲线y 2a
2-x 2
b
2=1(a>0,b>0)中,2c=2,即c=1,
2a=|PA|-|PB|=2√2-2?a=√2-1, ∴离心率e=c
a =
√=√2+1,故选B.
解题模板 在解决圆锥曲线问题时,对条件的运用,可用代数法,借助方程的手段解决问题;也可用几何法,利用几何性质、几何图形解决问题.如本题中条件“|PA|=m|PB|”就是借助图形,利用几何性质解决问题,简化运算. 9.AC 由y 2=4x,得2p=4,即p=2, ∴焦点F(1,0),准线l:x=-1.
设直线AB 的方程为x=my+1,A(x 1,y 1),B(x 2,y 2). 由{y 2=4x,x =my +1得y 2-4my-4=0, ∴y 1+y 2=4m,y 1·y 2=-4,
从而x 1+x 2=4m 2+2,x 1·x 2=1.
又|AF|=3|BF|,∴x 1+p
2=3(x 2+p
2
),即x 1=3x 2+2.
因此x 2=m 2,且3x 22
+2x 2-1=0?x 2=1
3或x 2=-1(舍去).
∴m 2=1
3
,∴m=±√3
3
,即直线AB 的斜率为±√3,C 正确;
选项A 中,C(-1,y 1),D(-1,y 2),
∴FC ????? ·FD ????? =4+y 1y 2=4-4=0,从而∠CFD=90°,A 正确; 选项B 中,M(2m 2+1,2m),
∴CM ?????? ·DM ?????? =4(m 2+1)2+4m 2-2m(y 1+y 2)+y 1y 2=4m 4+4m 2=169
,结合图形知△CMD 不是直角
三角形,B 错误;
选项D 中,S △AOB =1
2|OF||y 1-y 2|=1
2
√16m 2+16=
4√33
,D 错误.故选AC.
陷阱分析 解决多选题时,先明确条件的含义,如本题中,由条件“|AF|=3|BF|”可以确
定直线的方程,得到选项C 正确,进而可以将变化的问题化为确定的问题,简化运算.解题时避免将选项逐一验证,增加运算难度. 10.答案 1;8
解析 由y 2=4x,得2p=4,∴p=2. 因此F(1,0),准线l:x=-1.如图所示.
设P(x 0,y 0),则|PF|=x 0+1=2?x 0=1.
由P 在抛物线上知,y 02
=4x 0=4,
∴y 0=±2.
不妨取y 0=2,得P(1,2). 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),
∵OM ?????? =1
2
(OA ????? +OB
????? ), ∴M 为线段AB 的中点, ∴M (
x 1+x 22
,
y 1+y 22
).
∵A,B 均为抛物线上的点,
∴y 12=4x 1,y 22
=4x 2,
从而(y 1-y 2)(y 1+y 2)=4(x 1-x 2). 又
y 1+y 22
=2,
∴y 1+y 2=4. 因此k AB =
y 1-y 2x 1-x 2
=1,∴直线AB 的方程为y=x-1.
由{y 2=4x,y =x -1,
得x 2-6x+1=0, ∴x 1+x 2=6,因此|AB|=x 1+x 2+p=6+2=8. 11.答案 -2
解析 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), 则k AB =y 2-y 1x 2-x 1
=y 2-y 1y 224-y 1
2
4
=4y 1+y 2
,
k PA =
y 1-2x 1-1
=y 1-2y 124
-1=
4
y 1+2
,同理k PB =
4
y 2+2
.
∵k PA +k PB =0,∴4
y 1+2+
4
y 2+2
=0,得y 1+y 2=-4,∴k AB =4
-4
=-1.
又k OP =2
1=2,
∴k AB ·k OP =-1×2=-2.
抛物线的简单几何性质; ●教学目标 1.掌握抛物线的几何性质; 2.能根据几何性质确定抛物线的标准方程; 3.能利用工具作出抛物线的图形. ●教学重点 抛物线的几何性质 ●教学难点 几何性质的应用 ●教学方法 学导式 ●教具准备 三角板 ●教学过程 Ⅰ.复习回顾 简要回顾抛物线定义及标准方程的四种形式(要求学生回答) 师:这一节,我们根据抛物线的标准方程)0(22 p px y = ①来研究它的几何性质 Ⅱ.讲授新课 1. 范围 当x 的值增大时,y 也增大,这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.(但应让学生注意与双曲线一支 的区别,无渐近线). 2.对称性 抛物线关于x 轴对称. 我们把抛物线的对称轴叫抛物线的轴. 3.顶点 抛物线和它的轴的交点叫抛物线的顶点.即坐标原点. 4.离心率 抛物线上的点M 与焦点的距离和它到准线的距离的比,叫抛物线的离心率,用e 表示.由抛物线定义可知,e =1. 说明:对于其余三种形式的抛物线方程,要求自己得出它们的几何性质,这样,有助于学生掌握抛物线四种标准方程. 师:下面,大家通过问题来进一步熟悉抛物线的几何性质. 例1.已知抛物线关于x 轴对称,它的顶点在原点,并且经过点M (2,-22),求它的标准方程,并用描点法画出图形. 师:由已知条件求抛物线的标准方程时,首先要根据已知条件确定抛物线标准方程的类型,再求出方程中的参数P . 解:因为抛物线关于x 轴对称,它的顶点在原点,并且经过点M (2,-22),所以可设它的标准方程为: )0(22 p px y =
因为点M 在抛物线上，所以22)22(2?=-p ，即2=p 因此所求方程是.42x y = 下面列表、描点、作图： 说明：①利用抛物线的对称性可以简化作图步骤； ②抛物线没有渐近线； ③抛物线的标准方程)0(22 p px y =中p 2的几何意义：抛物线的通 径，即连结通过焦点而垂直于x 轴直线与抛物线两交点的线段. 师:下面我们通过练习进一步熟悉并掌握抛物线的标准方程. Ⅲ.课堂练习 课本P 122练习1,2. ●课堂小结 师:通过本节学习,要求大家掌握抛物线的几何性质,并在具体应用时注意区分抛物线标准方程的四种形式. ●课后作业 习题8.6 1,2,5. ●板书设计 ●教学后记
《抛物线的简单几何性质》教案 《抛物线的简单几何性质》教案及教材分析 教材:《全日制高级中学课本(必修)数学》第二册(上) 一. 教学理念 “数学教师不能充当数学知识的施舍者，没有人能教会学生,数学素质是学生在数学活动中自己获得的。”因此,教师的责任关键在于在教学过程中创设一个”数学活动”环境,让学生通过这个环境的相互作用,利用自身的知识和经验构建自己的理解,获得知识，从而培养自己的数学素质,培养自己的能力。 数学源于生活,高于生活,学习数学的最终目的是应用于生活(回归生活),通过平时教学,注意这方面的渗透,培养学生解决实际问题的能力。 二. 教材分析 1、本节教材的地位 本节通过类比椭圆、双曲线的几何性质,结合抛物线的标准方程讨论研究抛物线的几 何性质,让学生再一次体会用曲线的方程研究曲线性质的方法,学生不难掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等性质,对于抛物线几何性质的应用是学生学习的难点，教学中应强调几何模型与数学问题的转换。例1的设计，在于让学生通过作图感知p 的大小对抛物线开口的影响，引出通径的定义。例2的设计旨在利用抛物线的几何性质数学地解决实际问题即作抛物线的草图。 本节是第一课时,在数学思想和方法上可与椭圆、双曲线的性质对比进行,着重指出它 们的联系和区别，从而培养学生分析、归纳、推理等能力。 2、教学目标 (1) 知识目标： ⅰ 抛物线的几何性质、范围、对称性、定点、离心率。. ⅱ 抛物线的通径及画法。 (2) 能力目标：. ⅰ 使学生掌握抛物线的几何性质，根据给出条件求抛物线的标准方程。 ⅱ 掌握抛物线的画法。 (3) 情感目标： ⅰ 培养学生数形结合及方程的思想。 ) 0(22>=p px y
3.3.2抛物线的简单几何性质 基础过关练 题组一抛物线的几何性质及其运用 1.已知抛物线x2=2py(p>0)的准线经过点(-1,-1),则抛物线的焦点坐标为() A.(-1,0) B.(0,-1) C.(1,0) D.(0,1) 2.已知点P(6,y)在抛物线y2=2px(p>0)上,若点P到抛物线焦点F的距离等于8,则焦点F到抛物线准线的距离等于() A.2 B.1 C.4 D.8 3.已知抛物线y2=2px(p>0)的准线与圆(x-3)2+y2=16相切,则p的值为() B.1 C.2 D.4 A.1 2 4.已知点A是抛物线y2=2px(p>0)上一点,F为抛物线的焦点,O为坐标原点,当 |AF|=4时,∠OFA=120°,则抛物线的准线方程是() A.x=-1 B.y=-1 C.x=-2 D.y=-2 5.抛物线y2=4x的焦点为F,点P为抛物线上的动点,点M为其准线上的动点,当 △FPM为等边三角形时,其面积为() A.2√3 B.4 C.6 D.4√3 6.一条光线从抛物线y2=2px(p>0)的焦点F射出,经抛物线上一点B反射后,反射光线经过点A(5,4),若|AB|+|FB|=6,则抛物线的标准方程为.
题组二直线与抛物线的位置关系 7.已知直线l:y=x-1与抛物线C:y2=4x相交于A、B两点,则|AB|为() A.5 B.6 C.7 D.8 8.已知直线y=kx-k及抛物线y2=2px(p>0),则() A.直线与抛物线有一个公共点 B.直线与抛物线有两个公共点 C.直线与抛物线有一个或两个公共点 D.直线与抛物线可能没有公共点 9.过点(0,1)且与抛物线y2=4x只有一个公共点的直线有() A.1条 B.2条 C.3条 D.0条 10.(2020山东菏泽高二上期末)已知斜率为k的直线l与抛物线C:y2=4x交于A、B 两点,线段AB的中点为M(2,1),则直线l的方程为() A.2x-y-3=0 B.2x-y-5=0 C.x-2y=0 D.x-y-1=0 11.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l:y=x-2与抛物线C交于A,B两点. (1)求弦AB的长; (2)求△FAB的面积.
课时作业(十三) [学业水平层次] 一、选择题 1．已知点P (6，y )在抛物线y 2＝2px (p >0)上，若点P 到抛物线焦点F 的距离等于8，则焦点F 到抛物线准线的距离等于( ) A ．2 B ．1 C ．4 D ．8 【解析】 抛物线y 2＝2px (p >0)的准线为x ＝－p 2，因为P (6，y ) 为抛物线上的点，所以点P 到焦点F 的距离等于它到准线的距离，所 以6＋p 2＝8，所以p ＝4，即焦点F 到抛物线的距离等于4，故选C. 【答案】 C 2．(2014·成都高二检测)抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，点P 为抛物线上的动点，点M 为其准线上的动点，当△FPM 为等边三角形时，其面积为( ) A ．2 3 B ．4 C ．6 D ．43 【解析】 据题意知，△FPM 为等边三角形，|PF |＝|PM |＝|FM |， ∴PM ⊥抛物线的准线．设P ? ?? ??m 24，m ，则M (－1，m )，等边三角形边长为1＋m 24，又由F (1,0)，|PM |＝|FM |，得1＋m 24＝1＋12＋m 2，得m ＝23，∴等边三角形的边长为4，其面积为43，故选D. 【答案】 D 3．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准
线方程为( ) A ．x ＝1 B ．x ＝－1 C ．x ＝2 D ．x ＝－2 【解析】 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入抛物线方程得：????? y 21＝2px 1， ①y 22＝2px 2， ② ①－②得， (y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝2p (x 1－x 2)． 又∵y 1＋y 2＝4，∴y 1－y 2x 1－x 2＝2p 4＝p 2 ＝k ＝1，∴p ＝2. ∴所求抛物线的准线方程为x ＝－1. 【答案】 B 4．(2014·课标Ⅱ)设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，则|AB |＝( ) B ．6 C ．12 D ．73 【解析】 焦点F 的坐标为? ?? ??34，0，直线AB 的斜率为33，所以直线AB 的方程为y ＝33? ?? ??x －34， 即y ＝33x －34，代入y 2＝3x ， 得13x 2－72x ＋316＝0，
第 二 章圆锥曲线与方程 第 2.4.2 抛物线的简单几何性质（4课时） 主备教师 陈本川 一、内容及其解析 学的内容是抛物线的一些基本性质，其核心内容是抛物线的离心率及准线，理解它关键是先让学生认识抛物线的图形，从中概括出抛物线的性质。 学生已经学过抛物线线概念和标准形式，本节课的内容抛物线的基本性质就是在其基础上的发展。由于它还与椭圆、双曲线等圆锥曲线有密切的联系，并有参照对比的作用。是抛物线的核心内容。教学重点是抛物线的性质及范围，解决重点的关键是引导学生动手、动脑，从图形的直观得到抛物线性质的准确刻画。 二、目标及其解析 1、目标定位 （1）了解抛物线的基本性质及基本线段的概念。 （2）能够根据抛物线的标准方程及性质进行简单的运算。 2、目标解析 （1）是指：抛物线的基本线段范围及概念，对称性，离心率，准线表示。 （2）是指：能够根据抛物线中准线与焦点之间的关系能求出抛物线的标准方程。 三、问题诊断分析 在本节抛物线性质的教学中，学生可能遇到的问题是抛物线的一些基本概念会与其它圆锥曲线的概念产生混淆，产生这一问题的原因是学生对各种曲线的概念把握不清。要解决这一问题，就要类比着其它圆锥曲线的概念及性质学习，其中关键是借助图形直观类比。 四、教学支持条件分析 在本节课双曲线的性质教学中，准备使用多媒体辅助教学。因为使用多媒体辅助教学有利于学生对抛物线性质从直观到具体的把握。 五、教学设计过程 问题一：抛物线性质有哪些？观察抛物线的标准方程)0(22>=p px y 的形状， 设计意图：推导、识记抛物线的性质，并能够熟练的应用 问题1你能从图中看出它的范围吗？ 问题2它具有怎样的对称性？
§2.4.2 抛物线的简单几何性质（1） 学习目标 1．掌握抛物线的几何性质； 2．根据几何性质确定抛物线的标准方程． 学习过程 一、课前准备 6870，文P 60~ P 61找出疑惑之处） 复习1： 准线方程为x=2的抛物线的标准方程是 ． 复习2：双曲线22 1169 x y -=有哪些几何性质？ 二、新课导学 ※ 学习探究 探究1：类比椭圆、双曲线的几何性质，抛物线又会有怎样的几何性质？ 新知：抛物线的几何性质 图形 标准方 程 焦点 (0,)2p - 准线 2p y =- 顶点 (0,0)(0,0) 对称轴 x 轴 离心率 试试：画出抛物线28y x =的图形， 顶点坐标（ ）、焦点坐标（ ）、 准线方程 、对称轴 、 离心率 ．
※ 典型例题 例1已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点(2,M -，求它的标准方程． 变式：顶点在坐标原点，对称轴是坐标轴，并且经过点(2,M -的抛物线有几条？求出它们的标准方程． 小结：一般，过一点的抛物线会有两条，根据其开口方向，用待定系数法求解． 例2斜率为1的直线l 经过抛物线24y x =的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点，求线段AB 的长 ． 变式：过点(2,0)M 作斜率为1的直线l ，交抛物线24y x =于A ，B 两点，求AB ．
小结：求过抛物线焦点的弦长：可用弦长公式，也可利用抛物线的定义求解． ※动手试试 练1. 求适合下列条件的抛物线的标准方程： ⑴顶点在原点，关于x轴对称，并且经过点 (5 M，4) -； ⑵顶点在原点，焦点是(0,5) F； ⑶焦点是(0,8) F-，准线是8 y=． 三、总结提升 ※学习小结 1．抛物线的几何性质； 2．求过一点的抛物线方程； 3．求抛物线的弦长． ※知识拓展 抛物线的通径：过抛物线的焦点且与对称轴垂直的直线，与抛物线相交所得的弦叫抛物线的通径． 其长为2p． ※自我评价你完成本节导学案的情况为（）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分： 1．下列抛物线中，开口最大的是（）． A．21 2 y x =B．2y x =
抛物线的简单几何性质(参赛教案)
2.4.2 抛物线的简单几何性质 一、本节课内容分析与学情分析 1、教材的内容和地位 本节课是人教版普通高中课程标准实验教科书A版《数学》选修2—1第二章第四节的内容。它是在学习了抛物线的定义及其标准方程的基础上，系统地按照抛物线方程来研究抛物线的简单几何性质，是高中数学的重要内容。本节内容的学习，是对前面所学知识的深化、拓展和总结，可使学生对圆锥曲线形成一个系统的认识，同时也是一个培养学生数学思维和让学生体会数学思想的良好机会。 2、学生情况分析 在此内容之前，学生已经比较熟练的掌握了椭圆、双曲线的标准方程和简单几何性质，以及研究问题的基本方法。本节课，学生有能力通过类比椭圆、双曲线的几何性质，结合抛物线的标准方程去探索抛物线的几何性质。可培养学生的自主学习能力和创新能力。 二、教学目标 1、知识与技能： （1）理解并掌握抛物线的几何性质。 （2）能够运用抛物线的方程探索抛物线的几何性质。 2、过程和方法： 注重对研究方法的思想渗透，掌握研究曲线性质的一般方法；培养运用数形结合思想解决问题的能力。 3、情感态度价值观： 通过对几何性质的探索活动，亲历知识的构建过程，使学生领悟其中所蕴含的数学思想，数学方法，体会新知识探索过程中带来的快乐和成就感。让学生养成自主学习，合作探究的习惯。 三、重难点分析
教学重点：探索和掌握抛物线的简单几何性质。 教学难点：抛物线的几何性质在各种条件下的灵活运用。 四、教法、学法分析 教法：本节课以启发式教学为主，综合运用演示法、讲授法、讨论法等教学方法。“以学生的活动为主线，将问题抛给学生，用问题启发学生思考和探索，让学生在参与问题的提出、讨论和解决过程中，达到掌握知识、提高能力的目的。 学法：结合我校学生的特点，本节课主要采用“类比——探索——应用——思考——再探索”的探究式学习方法，使学生在掌握知识，形成技能的同时，培养学生的理性思维能力，增强学生学习的自信心。 五、教学过程 *情景引入 前面我们已经学习了椭圆与双曲线，根据他们的标准方程，得到了它们的简单几何性质。上一节课，我们学习了抛物线的定义和标准方程，本节课，我们根据抛物线的标准方程来探索它的几何性质。 师生活动 【教师】开门见山点明本节要学内容。 【学生】思考前面如何由椭圆双曲线得到它们的相应的几何性质。 设计意图：通过类比前面所学的椭圆和双曲线，来得到抛物线的性质，来激发学生的学习兴趣，使学生快速进入课堂。 复习回顾抛物线的定义和标准方程。 师生活动 【教师】利用多媒体投影，引导学生回顾抛物线的定义和标准方程。 【学生】复习巩固抛物线的定义的标准方程，一名学生回答定义和标准方程。 设计意图：为后期的探索奠定基础，使学生坚定用方程探索性质的信念。 *新课讲授 类比椭圆和双曲线，以22(0)px p =>y 为例探索抛物线的简单几何性质，它的主要性质如下： （1）范围：0,x y R ≥∈ （2）对称性：关于x 轴对称
一、选择题 2.抛物线y 2=10x 的焦点到准线的距离是( ) A.2.5 B.5 C.7.5 D.10 3.已知原点为顶点，x 轴为对称轴的抛物线的焦点在直线2x-4y+11=0上，则此抛物线的方程是( ) A.y 2=11x B.y 2=-11x C.y 2=22x D.y 2=-22x 5.以抛物线y 2=2px(p ＞0)的焦半径｜PF ｜为直径的圆与y 轴位置关系为( ) A.相交 B.相离 C.相切 D.不确定 二、填空题 6.圆心在抛物线y 2=2x 上，且与x 轴和该抛物线的准线都相切的圆的方程 是 . 7.若以曲线252x +16 2 y =1的中心为顶点，左准线为准线的抛物线与已知曲线右准线交于A 、B 两点，则｜AB ｜= . 8.若顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线截直线y=2x+1所得的弦长为15，则此抛物线的方程是 . 一、选择题 1.经过抛物线y 2=2px(p ＞0)的所有焦点弦中，弦长的最小值为( ) A.p B.2p C.4p D.不确定 2.直线y=kx-2交抛物线y 2=8x 于A 、B 两点，若AB 的中点横坐标为2，则｜AB ｜为( ) A.15 B.415 C.215 D.42 3.曲线2x 2-5xy+2y 2=1( ) A.关于x 轴对称 B.关于y 轴对称 C.关于原点对称，但不关于y=x 对称 D.关于直线y=x 对称也关于直线y=-x 对称 4.若抛物线y 2=2px(p ＞0)的弦PQ 的中点为(x 0,y 0)(y ≠0)，则弦PQ 的斜率为( ) A.-0x p B.0y p C.px - D.-px 0 5.已知抛物线y 2=2px(p ＞0)的焦点弦AB 的两端点坐标分别为A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则 2 121x x y y 的值一定等于( ) A.4 B.-4 C.p 2 D.-p 2 二、填空题 6.抛物线y 2=4x 的弦AB 垂直于x 轴，若AB 的长为43，则焦点到AB 的距离
课题：8．6抛物线的简单几何性质（一）教学目的： 1．掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质； 2．能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论，在此基础上列表、描点、画抛物线图形； 3．在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化 教学重点：抛物线的几何性质及其运用 教学难点：抛物线几何性质的运用 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教具：多媒体、实物投影仪 内容分析： “抛物线的简单几何性质”是课本第八章最后一节，它在全章占 本节知识在生产、生活和科学技术中经常用到，也是大纲规定的必须掌握的内容，还是将来大学学习的基础知识之一
对于训练学生用坐标法解题，本节一如前面各节一样起着相当重要 研究抛物线的几何性质和研究椭圆、双曲线的几何性质一样，按范围、对称性、顶点、离心率顺序来研究，完全可以独立探索得出结已知抛物线的标准方程，求它的焦点坐标和准线方程时，首先要判断抛物线的对称轴和开口方向，一次项的变量如果为x（或y），则x轴（或y轴）是抛物线的对称轴，一次项的符号决定开口方向，由已知条件求抛物线的标准方程时，首先要根据已知条件确定抛物线标准方程的类型，再求出方程中的参数p 本节分两课时进行教学第一课时内容主要讲抛物线的四个几何性质、抛物线的画图、例1、例2、及其它例题；第二课时主要内容焦半径公式、通径、例3 教学过程： 一、复习引入： 1．抛物线定义：
平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线2．抛物线的标准方程： 相同点：(1)抛物线都过原点；(2)对称轴为坐标轴；(3)准线都与对称轴垂直，垂足与焦点在对称轴上关于原点对称它们到原点的
抛物线的简单几何性质 一、要点精讲 抛物线的的简单几何性质 二、课前热身 1．抛物线x y 102 =的焦点到准线的距离是（ ） (A)2.5 (B)5 (C)7.5 (D) 10 2．抛物线px y 22 =()0>P 上一点为()0,6y Q ，且Q 点到抛物线焦点F 的距离为10，则F 到准线l 的距 离为 (A)4 (B)8 (C) 12 (D)16 3.（15陕西）若抛物线2 2(0)y px p =>的准线经过双曲线2 2 1x y -=的一个焦点，则 p= ． 4、(2016新课标Ⅱ) 设F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，曲线y =k x （k >0）与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k = （A ） 12 （B ）1 （C ）3 2 （D ）2 标准方程 px y 22 =()0>P px y 22 -=()0>P py x 22 =()0>P py x 22 -=()0>P 图 形 性 质 范围 0≥x ，R y ∈ 0≤x ，R y ∈ R x ∈，0≥y R x ∈，0≤y 焦半径 2 0p x PF += 2 0p x PF +-= 2 0p y PF += 2 0p y PF +-= 对称轴 x 轴 y 轴 顶点 ()0,0O 离心率 1=e 通径 过焦点且与对称轴垂直的弦AB ， p AB 2=
5．通过直线x y =与圆0622=++x y x 的交点， 且对称轴是坐标轴的抛物线方程是 . 6．已知抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴的正半轴上，通径为线段AB ，且4=?AOB S （O 为坐标原点），求抛物线方程． 三、典例精析 类型一：求抛物线的方程 1、求顶点在原点，以x 轴为对称轴，且通径的长为8的抛物线的标准方程，并指出它的焦点坐标和准线方程． 2. 如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为( ) A ．y 2＝9x B ．y 2＝6x C ．y 2＝3x D ．y 2＝3x 解：如图，分别过A ，B 作AA 1⊥l 于A 1， BB 1⊥l 于B 1，由抛物线的定义知，|AF |＝|AA 1|， |BF |＝|BB 1|，∵|BC |＝2|BF |，∴|BC |＝2|BB 1|， ∴∠BCB 1＝30°，∴∠AFx ＝60°.连接A 1F ，则△AA 1F 为等边三角形，过F 作FF 1⊥AA 1于F 1，则F 1为AA 1 的中点，设l 交x 轴于K ，则|KF |＝|A 1F 1|＝12|AA 1|＝12|AF |，即p ＝3 2，∴抛物线方程为y 2＝3x ，故选C. 3、已知圆0922=-+x y x ，与顶点在原点O ，焦点在x 轴上的抛物线交于A,B 两点，△OAB 的垂心恰为抛物线的焦点，求抛物线的方程． 4、已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x 轴，且与圆42 2=+y x 相交的公共弦长等于32，求这个 抛物线的方程．
《抛物线的简单几何性质》说课稿 教材:《全日制高级中学课本(必修)数学》第二册(上) 一.教学理念 “数学教师不能充当数学知识的施舍者，没有人能教会学生,数学素质是学生在数学活动中自己获得的。”因此,教师的责任关键在于在教学过程中创设一个”数学活动”环境,让学生通过这个环境的相互作用,利用自身的知识和经验构建自己的理解,获得知识，从而培养自己的数学素质,培养自己的能力。 数学源于生活,高于生活,学习数学的最终目的是应用于生活(回归生活),通过平时教学,注意这方面的渗透,培养学生解决实际问题的能力。 二.教材分析 1、本节教材的地位 本节通过类比椭圆、双曲线的几何性质,结合抛物线的标准方程讨论研究抛物线的几何性质,让学生再一次体会用曲线的方程研究曲线性质的方法,学生不难掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等性质,对于抛物线几何性质的应用是学生学习的难点，教学中应强调几何模型与数学问题的转换。例1的设计，在于让学生通过作图感知p的大小对抛物线开口的影响，引出通径的定义。例2的设计旨在利用抛物线的几何性质数学地解决实际问题即作抛物线的草图。 本节是第一课时,在数学思想和方法上可与椭圆、双曲线的性质对比进行,着重指出它们的联系和区别，从而培养学生分析、归纳、推理等能力。 2、教学目标 (1)知识目标： ⅰ抛物线的几何性质、范围、对称性、定点、离心率。. ⅱ抛物线的通径及画法。 (2)能力目标：. ⅰ使学生掌握抛物线的几何性质，根据给出条件求抛物线的标准方程。 ⅱ掌握抛物线的画法。 (3)情感目标： ⅰ培养学生数形结合及方程的思想。 ⅱ训练学生分析问题、解决问题的能力，了解抛物线在实际问题中的初步应用。 3、学生情况 我授课的学生是省级重点中学的学生,大部分学生数学基础较好,但理解能力、运算能力、思维能力等方面参差不齐。 4、教学重点、难点 教学的重点是掌握抛物线的几何性质，使学生能根据给出的条件求出抛物线的标准方程和一些实际应用。 难点是抛物线各个知识点的灵活应用。 三、教学方法及手段 采用引导式、讲练结合法；多媒体课件辅助教学。