三角函数最值问题的几种常见类型
三角函数的最值问题是三角函数基础知识的综合应用，近几年的高考题中经常出现。
其出现的形式，或者是在小题中单纯地考察三角函数的值域问题；或者是隐含在解答题中，
作为解决解答题所用的知识点之一；或者在解决某一问题时，应用三角函数有界性会使问
题更易于解决（比如参数方程）。题目给出的三角关系式往往比较复杂，进行化简后，再
进行归纳，主要有以下几种类型。掌握这几种类型后，几乎所有的三角函数最值问题都可
以解决。
1．y=asinx+bcosx 型的函数
特点是含有正余弦函数，并且是一次式。解决此类问题的指导思想是把正、余弦函数
转化为只有一种三角函数。应用课本中现成的公式即可：sin(x+φ)，其中tan b
a
φ= 例1已知函数f (x )=2cos x sin(x +)－sin 2x +sin x cos x 3π
3(1)求函数f (x )的最小正周期；
(2)求f (x )的最小值及取得最小值时相应的x 的值；
(3)若当x ∈［，］时，f (x )的反函数为f －1(x )，求f -－1(1)的值.12π
12
7π解：(1)f (x )=2cos x sin(x +
)－sin 2x +sin x cos x 3π3=2cos x (sin x cos +cos x sin )－sin 2x +sin x cos x 3π
3π
3=2sin x cos x +cos2x =2sin(2x +
)33π∴f (x )的最小正周期T =π
(2)当2x +=2k π－，即x =k π－ (k ∈Z )时，f (x )取得最小值－2.3π
2π
12
5π(3)令2sin(2x +)=1，又x ∈［］,3π2
7,
2ππ∴2x +∈［,］,∴2x +=，则3π3π23π3π65πx =，故f -－1(1)= .
4π
4π
2．y=asin 2x+bsinxcosx+cos 2x 型的函数。
特点是含有sinx, cosx 的二次式，处理方式是降幂，再化为型1的形式来解。
例2．求y=sin 2x+2sinxcosx+3cos 2x 的最小值，并求出y 取最小值时的x 的集合。
解：y=sin 2x+2sinxcosx+3cos 2x=(sin 2x+cos 2x)+sin2x+2cos 2x=1+sin2x+1+cos2x
sin(2x+
)4π 当sin(2x+)=-1时，y 取最小值
，此时x 的集合{x|x=k π-π, k ∈Z}.4π
38
3．y=asin 2x+bcosx+c 型的函数
特点是含有sinx, cosx ，并且其中一个是二次，处理方式是应用sin 2x+cos 2x=1,使函数式
只含有一种三角函数，再应用换元法，转化成二次函数来求解。
例3 是否存在实数a ，使得函数y =sin 2x +a ·cos x +
a －在闭区间［0，］上的最大85232π值是1？若存在，求出对应的a 值；若不存在，试说明理由.22
2max 2max 5351.:1cos cos (cos .8224820,0cos 1.
2531,2,cos 1,1282
202(),13
5101,02,cos ,122482
340().2
0,0,cos 0,2a a y x a x a x a x x a a x y a a a a a a a x y a a a a a x y π
=-++-=--++-≤≤≤≤>>==+-=?=<≤≤≤≤==+-=?==-<<<=解当时若时即则当时舍去若即则当时或舍去若即则当时max 51121()825
a a =-=?=>舍去综合上述知，存在符合题设2
3=a 4．y=型的函数 sin cos a x c b x d
++ 特点是一个分式，分子、分母分别会有正、余弦的一次式。几乎所有的分式型都可以
通过分子，分母的化简，最后整理成这个形式，它的处理方式有多种。
例4．求函数y=的最大值和最小值。2sin 2cos x x
-- 解法1：原解析式即：sinx-ycosx=2-2y, 即sin(x+φ
，
∵ |sin(x+φ)|≤1,
1，解出y 的范围即可。
解法2：表示的是过点(2, 2)与点(cosx, sinx)的斜率，而点(cosx, sinx)是单位2sin 2cos x x
--圆上的点，观察图形可以得出在直线与圆相切时取极值。
解法3：应用万能公式设t=tg() 则y=，即(2-3y)t 2-2t+2-y=0 2
x 2222231t t t -++ 根据Δ≥0解出y 的最值即可。
5．y=sinxcos2x 型的函数。
它的特点是关于sinx ，cosx 的三次式（cos2x 是cosx 的二次式）。因为高中数学不涉
及三次函数的最值问题，故几乎所有的三次式的最值问题（不只是在三角）都用均值不等
式来解（没有其它的方法）。但需要注意是否符合应用的条件（既然题目让你求，多半是
符合使用条件的，但做题不能少这一步），及等号是否能取得。
例6如右图，在半径为R 的圆桌的正中央上空挂一盏电灯，桌子边缘一点处的照度和灯光射到桌子边缘的光线与桌面的夹角θ的正弦成正比，角和这一点到光源的距离 r
的平方成反比，即I =k ·，其中 k 是一个和灯光强度有关的常数，那么怎样选择电灯2sin r θ悬挂的高度h ，才能使桌子边缘处最亮？
解：R =r cos θ，由此得：，20,cos 1π<θ<θ=R r R R h R k I R
k R k I R
k R k r k I 22tan ,33sin ,39
2)32(()sin 1)(sin 1(sin 2)(2)cos (sin cos sin sin 23
2222222222222=θ==θ?≤?≤θ-θ-?θ?=θ?θ?=θ?θ?=θ?=此时等号在由此得 注：本题的角和函数很难统一，并且还会出现次数太高的问题。
6．含有sinx 与cosx 的和与积型的函数式。
其特点是含有或经过化简整理后出现sinx+cosx 与sinxcosx 的式子，处理方式是应用
(sinx+cosx)2=1+2sinxcosx 进行转化，变成二次函数的问题。
例6．求y=2sinxcosx+sinx+cosx 的最大值。
解：令≤t )，则1+2sinxcosx=t 2，所以 2sinxcosx=t 2-1,
所以y=t 2-1+t=(t+)2-. 1254
根据二次函数的图象，解出y 的最大值是。 相信通过这一归纳整理，大家对
有关三角函数最值的问题就不会陌生了。并且好多其它的求最值的问题可以通过代换转化
成三角求最值的问题。望同学们在做有关的问题时结合上面的知识。
三角函数最值问题的几种常见类型 三角函数的最值问题是三角函数基础知识的综合应用，近几年的高考题中经常出现。其出现的形式，或者是在小题中单纯地考察三角函数的值域问题；或者是隐含在解答题中，作为解决解答题所用的知识点之一；或者在解决某一问题时，应用三角函数有界性会使问题更易于解决（比如参数方程）。题目给出的三角关系式往往比较复杂，进行化简后，再进行归纳，主要有以下几种类型。掌握这几种类型后，几乎所有的三角函数最值问题都可以解决。 1．y=asinx+bcosx 型的函数 特点是含有正余弦函数，并且是一次式。解决此类问题的指导思想是把正、余弦函数转 化为只有一种三角函数。应用课本中现成的公式即可：φ)，其中tan b a φ= 例1已知函数f (x )=2cos x sin(x +3 π)－3sin 2x +sin x cos x (1)求函数f (x )的最小正周期； (2)求f (x )的最小值及取得最小值时相应的x 的值； (3)若当x ∈［ 12π，12 7π］时，f (x )的反函数为f －1(x )，求f -－1(1)的值. 解：(1)f (x )=2cos x sin(x +3 π)－3sin 2x +sin x cos x =2cos x (sin x cos 3π+cos x sin 3 π)－3sin 2x +sin x cos x =2sin x cos x +3cos2x =2sin(2x +3 π) ∴f (x )的最小正周期T =π (2)当2x +3π=2k π－2 π，即x =k π－125π (k ∈Z )时，f (x )取得最小值－2. (3)令2sin(2x +3 π)=1，又x ∈［27,2ππ］, ∴2x +3π∈［3π,23π］,∴2x +3 π=65π，则 x =4π，故f -－1(1)= 4π. 2．y=asin 2x+bsinxcosx+cos 2x 型的函数。 特点是含有sinx, cosx 的二次式，处理方式是降幂，再化为型1的形式来解。 例2．求y=sin 2x+2sinxcosx+3cos 2x 的最小值，并求出y 取最小值时的x 的集合。
三角函数的值域-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
如何求三角函数的值域 濮阳外国语学校 王艳敏 电话： 摘要：三角函数的最值是中学数学的一个重要内容，归纳这一内容，有助于学生进一步掌握已经学过的三角知识，沟通三角、代数、几何的联系，培养学生的思维能力。 关键词：函数最值 三角函数 三角函数最值问题是高中数学的重点内容之一,也是高考命题的热点,由于三角函数和代数、几何等知识联系紧密,故求解这类问题的方法灵活多变,能力要求高,具有一定的综合性.本文介绍三角函数值域问题的一些常见类型和解题方法。 一． 基本型： 或 cos y a x b =+ 解决策略：利用sinx 和cosx 的有界性,即sin 1x ≤和cos 1x ≤ 解：x R ∈ 2sin(3 y x π =+ ） []sin()113x π ∴+∈- ，∴函数的值域为分析：引入辅助角，再利用正弦函数的有界性 sin y a x b =+1≤分析：利用 sinx 的有界性 1sin 1x -≤≤解： 12sin 13x ∴-≤+≤ [] 2sin 113y x ∴ =+- 函数的值域为，2sin 1y x =+例1.求 值域。 sin cos y a x b x c =++), tan b x c a ??=++= y 其中二、形如 引入辅助角转化为基本型 解决策略： 例2、求函数 sin y x x =+[]22-，
三、形如22 sin sin cos cos y a x b x x x =++ 型的函数 解决策略：通过降幂再转化为sin()y A x ω?=+ 来求解 例3.求 22 sin 2sin cos 3cos y x x x x =++ 的值域 解： 2 12sin cos 2cos y x x x =++ sin 2cos 22)24 x x x π=++=++ 1sin(2)14 x π -≤+≤ 所以所求函数的值域为2?-? 四、反比例型：形如 sin sin a x b y c x d +=+ 或cos cos a x b y c x d +=+ 解决策略：用反表示法，再利用有界性或数形结合。 例4、求函数1sin 2cos x y x -= -的值域 方法一 解：由1sin 2cos x y x -= - 得 2cos 1sin y y x x -=- sin cos 12x y x y ∴-=- )12tan x y y ??-=-=其中 sin()x ?∴-= sin()1x ?-≤ 1≤ 22(12)1y y ∴-≤+ 24340 03 y y y -≤∴≤≤ 方法二 解：此函数看做过定点A （2，1）和动点B （cosx,sinx ）的直线的斜率。如图所示 因为点B 的轨迹是单位圆 当直线和圆相切时斜率取最值 设直线方程为1(2)y k x -=- 即1 kx y -+-由于直线与圆相切 1= 解得 k=0或k=43 所以函数1sin 2cos x y x -= -的值域为40,3?????? 五、二次型，形如 2sin sin y a x b x c =++ 解决策略：转化为二次函数在有限闭区间上的值域问题
求三角函数的值域(或最值)的方法 三角函数y＝sinx及y＝cosx是有界函数，即当自变量x在R内取一定的值时，因变量y有最大值y max＝1和最小值y min＝－1，这是三角函数y＝sinx及y＝cosx的基本性质之一，利用三角函数的这一基本性质，我们可以使一些比较复杂的三角函数求最值的问题得以简化．虽然这部分内容在教材中出现不多，但是，在我们的日常练习和历年高考试题中却频频出现，学生也往往对这样的问题颇感棘手．笔者根据日常的教学积累，对三角函数求值域或最值的方法，加以归纳总结如下． 1 配方分析法 如果所给的函数是同名不同次或可化为同名不同次及其他能够进行配方的形式，可采用此方法． 例1求函数y＝2cos2x＋5sinx－4的值域． 解原函数可化为 当sinx＝1时，y max＝1； 当sinx＝－1时，y min＝－9， ∴原函数的值域是y∈[－9，1]． 注：此种方法在求三角函数的值域或最值问题中较为常见．但在最后讨论值域时，往往容易忽略自变量(例1中以sinx为自变量)的取值范围而出现错误应该引起注意． “cosx”，再求已知函数的最值 例2求下列函数的最值，并求出相应的x值．
y＝asinx＋bcosx或可转化为此种形式的函数，其最大值和最小值分别为y max＝ 3 求反函数法 如果函数的表达式中仅含有某一个三角函数名，我们可考虑此种方法，用因变量y表示出该函数，再利用该函数的值域求对应的原函数的值域．
∴原函数的值域是 4 应用函数的有界性 上面的求反函数法实际上就是在应用函数的有界性求最值，在此只不过是为了更加突出一下． 解由原式可得 (3y－1)sinx＋(2y－2)cosx＝3－y， 则上式即为 利用函数的有界性有 ∴原函数的值域是
求三角函数值域及最值的常用方法 （一）一次函数型 或利用：=+ =x b x a y cos sin )sin(22?+?+x b a 化为一个角的同名三角函数形式，利用三角函数的有界性或单调性求解； （2）2sin(3)512 y x π =-- +，x x y cos sin = （3）函数x x y cos 3sin +=在区间[0,]2 π 上的最小值为 1 ． （4）函数tan( )2 y x π =- (4 4 x π π - ≤≤ 且0)x ≠的值域是 (,1][1,)-∞-?+∞ （二）二次函数型 利用二倍角公式，化为一个角的同名三角函数形式的一元二次式，利用配方法、 换元及图像法求解。 （2）函数)(2cos 2 1 cos )(R x x x x f ∈- =的最大值等于43． （3）.当2 0π < （三）借助直线的斜率的关系，用数形结合求解 型如d x c b x a x f ++= cos sin )(型。此类型最值问题可考虑如下几种解法： ①转化为c x b x a =+cos sin 再利用辅助角公式求其最值； ②利用万能公式求解； ③采用数形结合法（转化为斜率问题）求最值。 例1：求函数sin cos 2 x y x = -的值域。 解法1：数形结合法：求原函数的值域等价于求单位圆上的点P(cosx , sinx )与定点Q(2, 0)所确定的直线的斜率的范围。作出如图得图象，当过Q 点的直线与单位圆相切时得斜率便是函数sin cos 2 x y x = -得最值，由几何知识，易求得过Q 的两切线得斜率分别为3 3 -、 33。结合图形可知，此函数的值域是33 [,]33 - 。 解法2：将函数sin cos 2x y x =-变形为cos sin 2y x x y -=，∴22s i n ()1y x y φ+= +由2 |2||sin()|11y x y φ+= ≤+22(2)1y y ?≤+，解得：3333 y - ≤≤，故值域是33 [,]33- 解法3：利用万能公式求解：由万能公式2 12sin t t x +=，221cos 1t x t -=+，代入sin cos 2x y x =-得到2 213t y t =--则有2 320yt t y ++=知：当0t =，则0y =，满足条件；当0t ≠，由2 4120y =-≥△，3333 y ?-≤≤，故所求函数的值域是33[,]33-。 解法4：利用重要不等式求解：由万能公式2 12sin t t x +=，221cos 1t x t -=+，代入sin cos 2x y x = -得到2 213t y t =--当0t =时，则0y =，满足条件；当0t ≠时， 22 113(3) y t t t t = =---+，如果t > 0，则2223113233(3)y t t t t ==-≥-=---+， x Q P y O 高考复习专题 三角函数的值域与最值 一、基础知识 1、形如()sin y A x ω?=+解析式的求解：详见“函数()sin y A x ω?=+解析式的求解”一节，本节只列出所需用到的三角公式 （1）降幂公式：2 21cos21cos2cos ,sin 22 αα αα+-= = （2）2sin cos sin2ααα= （3）两角和差的正余弦公式 ()sin sin cos sin cos αβαββα+=+ ()sin sin cos sin cos αβαββα-=- ()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=- ()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+ （4）合角公式：()sin cos a b ααα?+=+，其中tan b a ?= 2、常见三角函数的值域类型： （1）形如()sin y A x ω?=+的值域：使用换元法，设t x ω?=+，根据x 的范围确定t 的范围，然后再利用三角函数图像或单位圆求出x ω?+的三角函数值，进而得到值域 例：求()2sin 2,,444f x x x πππ?? ??=- ∈- ???? ??? 的值域 解：设24 t x π =- 当,44x ππ?? ∈- ???? 时，32,444t x πππ??=-∈-???? sin 22t ?∴∈-??? () f x ?∴∈? （2）形如()sin y f x =的形式，即()y f t =与sin t x =的复合函数：通常先将解析式化简为同角同三角函数名的形式，然后将此三角函数视为一个整体，通过换元解析式转变为熟悉的 函数，再求出值域即可 例：求()2 2sin cos 2,,63f x x x x ππ?? =-+∈- ???? 的值域 解：()() 2 2 sin 1sin 2sin sin 1f x x x x x =--+=++ 三角函数的值域或最值问题 三角函数的值域或最值问题在高考中时有出现，常见题型主要有以下几类： 一、可化为k x Af x f ++=)()(?ω型 例1、已知R x x x x y ∈++= ,1cos sin 2 3cos 212，求y 的最大值及此时x 的集合. 练习：若ABC ?的三个内角A 、B 、C 成等差数列，则C A 2 2cos cos +的最小值是 . 二、化为一个角的三角函数的一元二次方程 例2、设关于x 的函数)12(cos 2cos 22+--=a x a x y 的最小值为)(a f ，试写出)(a f 的表达式 练习：求函数1sin 2cos )(2-+=x a x x f 的最值 三、当x x cos sin ±与x x cos sin 同时出现时用换元 例3、求函数x x x x y cos sin cos sin ++=的最小值 练习：求x x x x x f cos sin 1cos sin )(++= 的值域 四、d x c b x a x f ++= sin sin )(型 例4、求2sin 1sin 3)(+-=x x x f 的值域 五、d x c b x a x f ++= cos sin )(或d x c b x a x f ++=sin cos )(型 例5、求函数x x y cos 2sin +=的值域 六、条件极值 例6、已知4422=+y x ，求y x y xy x M 24222++++=的最大值 课后作业： 1、求x x y sin cos 2+=在区间]4 ,4[ππ-上的最值 2、求)1cos 3(log 5.0+=x y 的值域 3、求),0(,2 cos sin π∈+=x x x y 的值域 4、已知αβαsin 2sin 2cos 322=+，求βα22cos cos +的最值 5、求),0(,sin 4sin π∈+=x x x y 的值域 三角函数值域问题的一些常见类型和解题方法。 一． 基本型： 或 cos y a x b =+ 解决策略：利用sinx 和cosx 的有界性,即sin 1x ≤和cos 1x ≤ 三、形如22 sin sin cos cos y a x b x x x =++ 型的函数 解决策略：通过降幂再转化为sin()y A x ω?=+ 来求解 例3.求 22 sin 2sin cos 3cos y x x x x =++ 的值域 解： 2 12sin cos 2cos y x x x =++ sin 2cos 22)24 x x x π=++=++ 1sin(2)14 x π -≤+≤ 所以所求函数的值域为2?? 四、反比例型：形如 sin sin a x b y c x d +=+ 或cos cos a x b y c x d +=+ 解决策略：用反表示法，再利用有界性或数形结合。 例4、求函数1sin 2cos x y x -= -的值域 方法一 解：由1sin 2cos x y x -= - 得 2cos 1sin y y x x -=- 解：x R ∈ 2sin(3y x π =+ ） []sin()113x π∴+∈- ，∴函数的值域为分析：引入辅助角，再利用正弦函数的有界性 sin y a x b =+1≤分析：利用 sinx 的有界性 1sin 1x -≤≤ 解： 12sin 13x ∴-≤+≤ [] 2sin 113y x ∴ =+- 函数的值域为，2sin 1y x =+例1.求 值域。 sin cos y a x b x c =++), tan b x c a ??=++= y 其中二、形如 引入辅助角转化为基本型 解决策略： 例2、求函数 sin y x x =+[]22-， 三角函数求值域方法小结 冯樊 （襄阳市第二十四中学） 在高中数学中，三角函数的值域或最值问题是非常重要的内容之一，也是近几年来高考的一个热点问题，所以本文就其求值域的方法归纳如下： 一、转化为利用正、余弦函数的有界性求解的最值问题。 例1. 求函数2sin 1 sin 2 x y x += -的值域。 解一：2sin 1sin 2x y x +=-=2 +5 sin 2 x - ∵1sin 1x -≤≤∴55 5sin 23 x -≤ ≤-- ∴1 33 y -≤≤ 解二：由2sin 1sin 2x y x += -得21 sin 2 y x y +=- ∵|sin |1x ≤ ∴21 | |12 y y +≤- ∴133y -≤≤ ∴函数的值域为[3-，1 3 ] 例2. 求函数y = 的值域。 解：由2sin x y x = +得sin 2y x x y =- )2(x y ??+=-为辅助角） ∴ sin()x ?+= ∵1sin()1x ?-≤+≤得 11-≤≤由此解得11y -≤≤ ∴函数的值域为[1,1-] 例3. 已知函数2()2sin sin cos f x a x x x a b =-++定义域是[0,]2π ，值域 是[5-，1]，求,a b 的值。 分析：本例为求参数的逆向问题，需先用倍角公式降次再利用利用正、余弦函数的有界性求解。 解：2()2sin sin cos f x a x x x a b =-++=1cos 22sin 22 x a x a b -? -++ sin 2cos22x a x a b =-++2sin(2)26 a x a b π =-+++ ∵02x π≤≤ ∴1sin(2)126 x π -≤+≤ ∴当0a >时， ()3b f x a b ≤≤+ ∴5b =-，31a b += 此时2a =，5b =-； 当0a <时 ，3()a b f x b +≤≤ ∴35a b +=-，1b = 此时2a =-，1b =。 二、转化为求二次函数2y at bt c =++在闭区间[1,1]-上的最值问题。 例4. 已知2223sin 2sin 2sin αβα+=，求22sin sin y αβ=+的值域。 解： ∵2223sin 2sin 2sin αβα+= ∴223sin sin sin 02βαα=-≥ ∴2 0sin 3 α≤≤ ∴22sin sin y αβ=+=22231 sin sin sin sin sin 22 ααααα+-=-+ =211 (sin 1)22 α--+ 由图象可知，2 [0,]3 是单调递增区间 ∴当sin 0α=时，min 0y = 当2sin 3α=时，max 4 9 y = ∴所求函数的值域为4 [0,]9 。 例5. 求函数(sin )(cos )y x a x a =++的最值。(0a <≤ 分析：本题中sin cos x x +与sin cos x x ?同时出现，所以需要换元。 解： (sin )(cos )y x a x a =++2sin cos (sin cos )x x a x x a =?+++ 令sin cos x x t +=，则[t ∈ ∴21 sin cos 2t x x -?= 故22 11()22 a y t a -=++ 定义域和值域的求法 Final revision by standardization team on December 10, 2020. 函数定义域求法总结 一、定义域是函数y=f(x)中的自变量x 的范围。 （1）分母不为零 （2）偶次根式的被开方数非负。 （3）对数中的真数部分大于0。 （4）指数、对数的底数大于0，且不等于1 （5）y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等。 ( 6 )0x 中x 0≠ 二、抽象函数的定义域 1.已知)(x f 的定义域，求复合函数()][x g f 的定义域 由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若)(x f 的定义域为()b a x ,∈，求出)]([x g f 中b x g a <<)(的解x 的范围，即为)]([x g f 的定义域。 2.已知复合函数()][x g f 的定义域，求)(x f 的定义域 方法是：若()][x g f 的定义域为()b a x ,∈，则由b x a <<确定)(x g 的范围即为)(x f 的定义域。 3.已知复合函数[()]f g x 的定义域，求[()]f h x 的定义域 结合以上一、二两类定义域的求法，我们可以得到此类解法为：可先由()][x g f 定义域求得()x f 的定义域，再由()x f 的定义域求得()][x h f 的定义域。 4.已知()f x 的定义域，求四则运算型函数的定义域 若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集。 函数值域求法四种 在函数的三要素中，定义域和值域起决定作用，而值域是由定义域和对应法则共同确定。研究函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。本次课就函数值域求法归纳如下，供参考。 1. 直接观察法 对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。 三角函数值域的求法 第二课时 【教学目标】 1．会根据正、余弦函数的有界性和单调性求简单三角函数的最值和值域； 2．运用转化思想，通过变形、换元等方法转化为代数函数求其给定区间内的值域和最值。 3．通过对最值问题的探索与解决，提高运算能力，增强分析问题和解决问题能力。体现数学化归、转换、类比等重要的思想方法在解决三角最值问题中的作用。 【教学重点】求三角函数的最值与值域 【教学难点】灵活选取不同的方法来求三角函数的最值和值域 知识回顾 求下列函数的值域 1 2 3 问题：求函数的值域 例1 ? 方法1（利用函数的有界性） sin cos y x x = +22cos cos y x x x =+22[,] x ππ ∈-[0,] x π ∈2sin 2cos sin cos 22y )22sin()sin()11 y x y x x y x x y x x ψψψ-= --=-+=-+= +≤≤≤≤?? 解：可化为 又2-sin 2+sin x x y = 2-sin 2+cos x x y = 方法2（运用模型、数形结合） 2 求下列函数的值域 2413830k 334433k k +≤-+≤≤≤ ?+??? 解析：函数的值域可看作求过点P(2,2)的单位圆切线的斜率k 的最大、最小值设切线PA 的方程为：y-2=k(x-2)即：kx-y-2k+2=0 设原点到切线的距离d,则d=1 即：即解得：故所求函数的值域为： ，22 222:cos sin 3 cos sin sin sin 115(sin )24 3 sin x 5y 45 ,] 44y x x x y x x y x x x x π π =+≤ =+=-++=--+ ≤ ∴≤≤≤≤ 例且解：可化为 又 故原函数的值域为[222sin 2cos y=1cos 1-cos x 0 cos x 1sin 2cos 1cos 2sin cos = 1cos 2cos (1cos )1cos 2cos (1 cos ) 11 2(cos ) 22 -1cos x<1 1 4 2 1 ,4] 2 x x x x x x x x x x x x x x x y -≠∴≠- --= -=+=+- ≤∴-≤≤-例3：解：又 又 故原函数的值域为[2 222sin cos =) 4 sin cos =1+2sin x cos x=t 1sin cos 2 1()(2 1 (1) 12 21x x t x t x x t t x x t f t t t t t y π ++≤≤+-=-=+≤=+--≤≤∴-≤≤例4: y=sinx+cosx+sinxcosx 解：设即 又可化为即原函数可化为 又 12 1 ] 2 原函数的值域为 . 专题三：三角函数的定义域与值域（习题库） 一、选择题 1、函数f（x）的定义域为[﹣，]，则f（sinx）的定义域为（） A、[﹣，] B、[，] C、[2kπ+，2kπ+]（k∈Z） D、[2kπ﹣，2kπ+]∪[2kπ+，2kπ+]（k∈Z） 分析：由题意知，求出x的围并用区间表示，是所求函数的定义域；解答：∵函数f（x）的定义域为为[﹣，]，∴， 解答（k∈Z） ∴所求函数的定义域是[2kπ﹣，2kπ+]∪[2kπ+，2kπ+]（k∈Z）故选D． 2、函数的定义域是（） A、. B、. C、 D、. 解答：由题意可得sinx﹣≥0?sinx≥又x∈（0，2π）∴函数的定义域是．故选B． 3、函数的定义域为（） A、B、 C、D、 解答：由题意得tanx≥0，又tanx 的定义域为（kπ﹣，kπ+）， ∴，故选D． 4、函数f（x）=cosx（cosx+sinx），x∈[0，]的值域是（） A、[1，] B、 C、 D、 解答：∵f（x）=cosx（cosx+sinx）=cos2x+sinxcosx= ==又∵∴ ∴则1≤f（x）≤故选A． 5、函数y=﹣cos2x+sinx﹣的值域为（） A、[﹣1，1] B、[﹣，1] C、[﹣，﹣1] D、[﹣1，] 解答：函数y=﹣cos2x+sinx﹣=﹣（1﹣2sin2x）+sinx﹣ =sin2x+sinx﹣1=﹣ ∵﹣1≤sinx≤1，∴当sinx=﹣时，函数y有最小值为﹣． sinx=1时，函数y 有最大值为1，故函数y 的值域为[﹣，1]，故选B． 6、函数值域是（） A、B、C、D、[﹣1，3] 解答：因为，所以sinx∈[]，2sinx+1∈故选B 7、函数的最大值是（） A、5 B、6 C、7 D、8 解答：∵= =∈[﹣7，7] ∴函数的最大值是7 8、若≤x≤，则的取值围是（） A、[﹣2，2] B、 C、 D、 解答：=2（sinx+cosx）=2sin（）， ∵≤x≤，∴﹣≤≤，∴≤﹣sin（）≤1， 则函数f（x）的取值围是：．故选C． 1. 角的有关概念 (1)角的概念：角可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的。射线的端点叫做角的顶点;旋转开始时的射线叫做角的始边;旋转终止时的射线叫做角的终边。 (2)正角、负角和零角 按逆时针方向旋转而成的角叫做正角； 按顺时针方向旋转而成的角叫做负角； 当一条射线没有作任何旋转时而成的角叫做零角. (3)象限角 在平面直角坐标系下,使角的顶点与坐标原点重合,角 的始边与x 轴的正半轴重合,角的终边落在第几象限,就把这个角称做第几象限角,若角的终边落在坐标轴上,称为轴线角,这个角不属于任何象限. (4)各个象限的半角范围可以用下图记忆，图中的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ 分别指第一、二、三、四象限角的半角范围； (5)终边相同的角 与α角终边相同的角所组成的集合:S={2,}k k z ββαπ=+∈ 2. 角度制与弧度制 设扇形的弧长为l ，圆心角为a （rad ）,半径为R ，面积为S 角a 的弧度数公式 2π×(a /360°) 角度与弧度的换算 ①360°=2π rad ②1°=π/180rad ③1rad=180°/π=57°18′≈57.3° 弧长公式 R a l = 扇形的面积公式 lR S 2 1= 3. 任意角的三角函数 三角函数（6个）表示：a 为任意角，角a 的终边上任意点P 的坐标为),(y x ，它与原点的距离为 22 0r x y =+>（r ＞0,当点P 在单位圆上时，r=1） 那么角a 的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割分别是： r y a =sin ，r x a =cos ，x y a =tan ，y x a =cot ，x r a =sec ，y r a =csc . 4. 同角三角函数关系式 ③ 倒数关系： 1cot tan =a a ②商数关系：a a a cos sin tan =， a a a sin cos cot = ③平方关系：1cos sin 2 2 =+a a 三角函数定义域问题 1.函数 ()2sin 1f x x =-的定义域为（ ） A 5,66ππ??-??? ? B 52,2()66k k k Z ππππ??++∈???? C )(62,62Z k k k ∈??????+-ππππ D )(322,32Z k k k ∈????? ?++ππππ 2.函数y ＝ 2＋log 12 x ＋tan x 的定义域_________； 三角函数值域问题 1、已知函数y=a －bsinx （b ＞0）的最大值是5，最小值是1，则a= ，b= __ 2、函数y ＝2sin ? ????2x ＋π3－1，x ∈? ?????0，π3的值域为________ 3、当7,66x ππ??∈????时，函数23sin 2cos y x x =--的最小值是_______，最大值是________ 4.已知函数()sin()6f x x π=+，其中,3x a π??∈-????，若()f x 的值域是1,12??-???? ，则cos α的取值范围是（ ） A ．1[,1)2 B ．11,2??-???? C ．10,2?????? D ．1,02??-???? 5、求函数y ＝sin x +cos x ＋sin x cos x ，x ∈[0，π]的值域。 6.设0a >，对于函数()sin (0)sin x a f x x x π+=<<，下列结论正确的是( ) A ．有最大值无最小值 B ．有最小值无最大值 C ．有最大值且有最小值 D ．无最值 7、函数3 cos 3cos )(+-=x x x f 的最大值为_______。 8、函数sin 2sin y x x =-的值域为 9、设函数253sin cos ,0,822y x a x a x π??=++-∈???? 的最大值为１，求实数a 的值。 例谈三角函数值域(最值)的几种求法 南县一中 肖胜军 有关三角函数的值域（最值）的问题是各级各类考试考察的热点之一，这类问题的解决涉及到化归、转换、类比等重要的数学思想，采取的数学方法包括易元变换、问题转换、等价化归等重常用方法。掌握这类问题的解法，不仅能加强知识的纵横联系，巩固基础知识和基本技能，还能提高数学思维能力和运算能力。 一、合理转化，利用有界性求值域 例1、求下列函数的值域： （1）1sin cos y x x =+ （2）cos 3 cos 3 x y x -= + （3）2 2 sin 2sin cos 3cos y x x x x =++ （4）3sin()4cos()44 y x x π π =+ ++解析： （1）根据11sin cos sin 222x x x ≤ ≤可知：13 22 y ≤≤ （2）将原函数的解析式化为：3(1)cos 1y x y += -，由cos 1x ≤可得：1 22 y -≤≤- (3) 原函数解析式可化为：2 1sin 22cos 2sin 2cos 22)4 y x x x x x π =++=++=++ 可得： 22y ≤≤+ （4）根据sin cos )a x b x x φ?+=+∈?可得：55y -≤≤ 二、单调性开路，定义回归 例2、求下列函数的值域： （1）y = （2）y = （3）2cos ,63y x x x ππ?? ??=+∈ ?? ????? （4）y 1sin 02x ≤≤≤解析：（1）由-1知： 1sin 1,cos1cos sin 1 2 2 x x π π ≤-≤≤≤ ≤≤≤≤（2）由- 有（）125sin()663366 x x x ππππππ +≤≤≤+≤≤≤（3）y=2由知：由正弦函数的单调性：1y 2 [](4)0,2y == 三、抓住结构特征，巧用均值不等式 海豚教育个性化简案 学生姓名：年级：科目： 授课日期：月日上课时间：时分------ 时分合计：小时 教学目标1.……掌握三角函数的的一般形式的应用 2.……掌握三角函数的值域的求法 3.……理解换元法和几何法的应用 重难点导航1.……三角函数的图像应用 2.……三角函数的值域求法1.……换元法和几何法 教学简案： 1、教学流程 知识回顾 例题讲解 随堂练习 课后作业 2、作业布置 3、教学反馈 授课教师评价：今日学生课堂表现符合共项（大写）审核人签字（姓名、日期） □准时上课：无迟到和早退现象 □今天所学知识点全部掌握：教师任意抽查一知识点，学生能完全掌握□上课态度认真：上课期间认真听讲，无任何不配合老师的情况 □海豚作业完成达标：全部按时按量完成所布置的作业，无少做漏做现象课前： 课后： 学生签字： 教师签字：胡洪光 备注：请交至行政前台处登记、存档保留，隔日无效（可另附教案内页）大写：壹贰叁肆签章： （2011杭九中高一期末） 1、设()?? ? ??≤≤-- +-=20214sin cos 2 πx a x a x x f ，用a 表示f(x)的最大值M(a). 2、求函数sin cos sin cos y x x x x =?++的最大值并指出当x 为何值时，取得最大值。 （2008?重庆）函数f （x ）=sin 54cos x x +（0≤x ≤2π）的值域是 。 （2006?辽宁）已知函数f （x ）=sinx+cosx-|sinx-cosx|，则f （x ）的值域是 。 （2011四川）求下列各式的最值：（1）已知(0,)x π∈，求函数23sin 13sin y θ θ =+的最大值； （2）已知(0,)x π∈，求函数2 sin sin y x x =+的最小值． 专题三：三角函数的定义域与值域（习题库） 一、选择题 1、函数f（x）的定义域为[﹣，]，则f（sinx）的定义域为（） A、[﹣，] B、[，] C、[2kπ+，2kπ+]（k∈Z） D、[2kπ﹣，2kπ+]∪[2kπ+，2kπ+]（k∈Z） 分析：由题意知，求出x的范围并用区间表示，是所求函数的定义域；解答：∵函数f（x）的定义域为为[﹣，]，∴， 解答（k∈Z） ∴所求函数的定义域是[2kπ﹣，2kπ+]∪[2kπ+，2kπ+]（k∈Z）故选D． 2、函数的定义域是（） A、. B、. C、 D、. 解答：由题意可得sinx﹣≥0?sinx≥又x∈（0，2π）∴函数的定义域是．故选B． 3、函数的定义域为（） A、B、 C、 D、 解答：由题意得tanx≥0，又tanx 的定义域为（kπ﹣，kπ+）， ∴，故选D． 4、函数f（x）=cosx（cosx+sinx），x∈[0，]的值域是（） A、[1，] B、 C、 D、 解答：∵f（x）=cosx（cosx+sinx）=cos2x+sinxcosx= ==又∵∴ ∴则1≤f（x）≤故选A． 5、函数y=﹣cos2x+sinx﹣的值域为（） A、[﹣1，1] B、[﹣，1] C、[﹣，﹣1] D、[﹣1，] 解答：函数y=﹣cos2x+sinx﹣=﹣（1﹣2sin2x）+sinx﹣ =sin2x+sinx﹣1=﹣ ∵﹣1≤sinx≤1，∴当sinx=﹣时，函数y有最小值为﹣． sinx=1时，函数y 有最大值为1，故函数y 的值域为[﹣，1]，故选B． 6、函数值域是（） A、B、 C、D、[﹣1，3] 解答：因为，所以sinx∈[]，2sinx+1∈故选B 7、函数的最大值是（） A、5 B、6 C、7 D、8 解答：∵= =∈[﹣7，7] ∴函数的最大值是7 8、若≤x≤，则的取值范围是（） A、[﹣2，2] B、 C、 D、 解答：=2（sinx+cosx）=2sin（）， ∵≤x≤，∴﹣≤≤，∴≤﹣sin（）≤1， 则函数f（x）的取值范围是：．故选C． 三角函数的图象与性质 教学目标 1．熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的性质，并能用它研究复合函数的性质． ．熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数图象的形状、 2 重点难点 重点是通过复习，能运用四种三角函数的性质研究复合三角函数的性质及图象的特点，特别是三角函数的周期性，是需要重点明确的问题． 难点是，在研究复合函数性质时，有些需要先进行三角变换，把问题转化到四种三角函数上，才能进行研究，这就增加了问题的综合性和难度． 教学过程 三角函数的图象与性质是三角函数的核心问题，要熟练、准确地掌握．特别是三角函数的周期性，反映了三角函数的特点，在复习“三角函数的性质与图象”时，要牢牢抓住“三角函数周期性”这一内容，认真体会周期性在三角函数所有性质中的地位和作用．这样才能把性质理解透彻． 一、三角函数性质的分析 ．三角函数的定义域 1 函数y=cotx的定义域是x≠π或(kπ，kπ+π)(k∈Z)，这两种表示法都需要掌握．即角x不能取终边在x轴上的角． (2)函数y=secx、y=cscx的定义域分别与y=tanx、y=cotx相同． 求下列函数的定义域： 例1 π](k∈Z) ． 形使函数定义域扩大． 到．注意不要遗漏． ． (3)满足下列条件的x的结果，要熟记(用图形更便于记住它的结果) 是 [ ] 所以选C． 2．三角函数的值域 (1)由|sinx|≤1、|cosx|≤1得函数y=cscx、y=secx的值域是 |cscx|≥1、|secx|≥1． (2)复合三角函数的值域问题较复杂，除了代数求值域的方法都可以适用外，还要注意三角函数本身的特点，特别是经常需要先进行三角变换再求值域． 三角函数最值问题的几种常见类型 三角函数的最值问题是三角函数基础知识的综合应用，近几年的高考题中经常出现。 其出现的形式，或者是在小题中单纯地考察三角函数的值域问题；或者是隐含在解答题中，作为解决解答题所用的知识点之一；或者在解决某一问题时，应用三角函数有界性会使问题更易于解决（比如参数方程）。题目给出的三角关系式往往比较复杂，进行化简后，再进行归纳，主要有以下几种类型。掌握这几种类型后，几乎所有的三角函数最值问题都可以解决。 1．y=asinx+bcosx 型的函数 特点是含有正余弦函数，并且是一次式。解决此类问题的指导思想是把正、余弦函数转 化为只有一种三角函数。应用课本中现成的公式即可：φ)，其中tan b a φ= 例1已知函数f (x )=2cos x sin(x + 3 π )－3sin 2x +sin x cos x (1)求函数f (x )的最小正周期； (2)求f (x )的最小值及取得最小值时相应的x 的值； (3)若当x ∈［ 12 π，127π］时，f (x )的反函数为f －1(x )，求f -－ 1(1)的值. 解：(1)f (x )=2cos x sin(x +3 π )－3sin 2x +sin x cos x =2cos x (sin x cos 3π+cos x sin 3 π )－3sin 2x +sin x cos x =2sin x cos x +3cos2x =2sin(2x +3 π ) ∴f (x )的最小正周期T =π (2)当2x +3π=2k π－2 π，即x =k π－125π (k ∈Z )时，f (x )取得最小值－2. (3)令2sin(2x +3 π )=1，又x ∈［27,2ππ］, ∴2x +3π∈［3π,23π］,∴2x +3π=65π，则 x =4π，故f -－ 1(1)= 4 π. 2．y=asin 2x+bsinxcosx+cos 2x 型的函数。 特点是含有sinx, cosx 的二次式，处理方式是降幂，再化为型1的形式来解。 例2．求y=sin 2x+2sinxcosx+3cos 2x 的最小值，并求出y 取最小值时的x 的集合。 三角函数的定义域、值域和最值 一 知识点精讲： 1 三角函数的定义域 （1）r y = αsin 定义域为R. （2）r x = αcos 定义域为R. （3）x y = αtan 定义域为 ? ?? ? ??∈+≠ Z k k ,2|ππ αα. （4）y x = αcot 定义域为{}Z k k ∈≠,|παα. 2 三角函数的值域 ① )0(,sin ≠+=a b x a y 型 当0>a 时，],[b a b a y ++-∈ ； 当0 高中数学总复习-三角函数 第5课 三角函数的图像和性质(一) 【考点导读】 1. 能画出正弦函数，余弦函数，正切函数的图像，借助图像理解正弦函数，余弦 函数在［0,2 ］，正切函数在(一,一)上的性质； 2 2 2. 了解函数y Asin( x )的实际意义，能画出y A si n( x )的图像； 3. 了解函数的周期性，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型. 【基础练习】 动的最小正周期T _____L_；初相 —- 2. 三角方程2sin(_ - x)=1的解集为 4. 要得到函数y sinx 的图象，只需将函数 y cos x ______ - ____ 个单位. 【范例解析】 例 1.已知函数 f (x) 2sin x(sin x cosx). (I) 用五点法画出函数在区间 ——上的图象，长度 为一个周期； 2’ 2 (H)说明f(x) 2s in x(si nx cosx)的图像可由y si nx 的图像经过怎样变换而 1. 已知简谐运动 f(x) 2sin (3X )( 2)的图象经过点(0，1)，则该简谐运 3.函数 y Asin( x )( 0, 尹R)的部分图象如图所示，则函数表达为 y 4si n( x ) 8 4 的图象向右平移 分析：化为Asin( x )形式.得到? 列表，取点，描图: x 335 88888 y11逅1 1 V21 故函数y f(x)在区间［-，2］上的图象是: (U)解法一：把y sinx图像上所有点向右平移—个单位，得到y sin(x ) 4 4 1 的图像，再把y sin(x -)的图像上所有点的横坐标缩短为原来的丄(纵坐标不 4 2 变)，得到y si n(2x —)的图像，然后把y sin(2x —)的图像上所有点纵坐标 4 4 伸长到原来的倍(横坐标不变)，得到y 2 sin(2x -)的图像，再将 4 y . 2 sin(2x )的图像上所有点向上平移1个单位，即得到 4 y 1 - 2 sin(2x -)的图像. 1 解法二：把y sinx图像上所有点的横坐标缩短为原来的-(纵坐标不变)，得 2 到y sin 2x的图像，再把y sin 2x图像上所有点向右平移—个单位，得到 8 解：(I)由f(x)2sin2x 2sin xcosx 1 cos2x sin 2x 2(sin 2x cos — 4 cos2xs in ) 4 2sin(2x 4 ).三角函数专题：三角函数的值域
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