三角函数值域问题的破解策略
策略1：逆用两角和与差的正弦(或余弦)公式、倍角公式转化为一次函数b kx y +=型,再由三角函数的有界性得解.(其中x 为正弦或余弦函数,b k ,为常数)
1.1形如c b a y ++=ααcos sin 的函数,可设22sin b a b +=?,22cos b a a +=?,逆用和角公式得到
(),sin 22c b a y +++=?α化为一次函数b kx y +=型.
例1：定义在R 上的函数x x x f cos 3sin )(+=的最大值是 . 1.2形如d x c x x b x a y +++=22cos cos sin sin 的函数可先逆用倍角公式化归为例1的形式再求解. 例2：已知函数)cos (sin sin 2)(x x x x f +=.求函数)(x f 的最大值.
1.3形如)cos(sin ?++=x b x a y 或)cos(sin ?+=x x a y 的的函数（式中也可以是同名函数），可先用和角公式展开，化归为例1、例2的形式求最值.
例3：函数)80sin(5)20sin(300+++=x x y 的最大值是（ ）A. 211 B. 6
37 C. 7 D. 6 0000:20,3sin 5sin(60)3sin 5(sin cos60cos sin 60)x y θθθθθθ=+=++=++解设则
11531153sin cos 7(sin cos )7sin()221414
θθθθθ?=+=?+?=+ (其中1435sin ,1411cos ==
??)，7,1)sin(取得最大值时当y =+∴?θ. 例4：求函数x x y cos )6sin(?-
=π的最小值.
解: x x y cos )6sin(?-=π 231(sin cos
cos sin )cos sin cos cos 6622x x x x x x π
π=-=- 31111sin 2cos 2sin(2)444264x x x π=--=-- 43,1)62sin(--=-∴取得最小值时当y x π. 1.4形如sin sin a x b y c x d
+=+的函数可分离常数，利用有界性求解. 例5： 求函数
的最大值和最小值. 1.5形如d
x c b x a y ++=
cos sin 的函数可将y 看作参数，化归为例1的形式求解. 例6：一条河宽1km ，两岸各有一座城市A 与B ，A 与B 的直线距离为4km ，今需铺设一条电缆线连接A 与B 。已知地下的电缆修建费是2万元/km ，水下电缆的修建费是4万元/km 。假定河两岸是平行的直线，问应如何铺设电缆方可使总施工费用达到最少
解：设θ=∠CAD ，则,sec ,θθ==AD tg CD
A
C D B θtg DB CB -==15,15设总费用为y 万元，则42sin 4sec 2215215(0)cos 2y tg θπθθθθ-=-+=
+<< 现求)2
0(cos sin 24πθθθ<<-=u 的最小值:
min
min
cos2sin4,sin()
3
2,1,,sin()1
2444
4,
2
3
u
u
u arctg arctg
u
y BD
θθθ?
πππ
?θ?θ?
π
θ?
+=+=
>∴=>=<+<∴+≤
+==
∴==
由可得
故若即
即水下电缆应从距B城（
3
3
15-）km处向A城铺设。
1.6参数型,注意分类讨论,特别小心定义域对值域的限制.
例7：函数b
a
x
x
a
x
a
y+
+
-
=cos
sin
3
2
sin
22的定义域为?
?
?
??
?
2
,0
π
,值域为[]1,5-,求常数b a,的值
.
:(1cos2)sin22cos2)2
2(sin2cos cos2sin)22sin(2)2
666
y a x x a b a x x a b
a x x a
b a x a b
πππ
=-++=-+++
=-+++=-+++
解
7
02,
2666
x x
ππππ
≤≤≤+≤
由知
1
sin(2)1
26
x
π
-≤+≤
故
,
)
6
2
sin(
2
2
,0
)a
x
a
a
a
i≤
+
-
≤
-
>
π
则
若2sin(2)23()3.
6
b a x a b a b b f x a b
π
≤-+++≤+≤≤+
即
312
,
55
a b a
b b
+==
??
??
=-=-
??
由已知得即
)0,(),
)0,2sin(2)2,3().
6
ii a f x b
iii a a a x a a b f x b
π
==
<≤-+≤-+≤≤
若则不合题意
若则得
1222
,
35151
b a a a
a b b b b
==-==-
????
????
+=-==-=
????
由已知得即综上所述或
策略2：通过换元转化为二次函数c
bt
at
y+
+
=2型,求一元二次函数在区间上的值域问题.
2.1求形如c
x
b
x
a
y+
+
=sin
sin2的函数的值域可利用换元化归为一元二次函数在区间上的值域问题，小心定义域对值域的限制.
例8：求函数?
?
?
??
?
∈
+
-
-
=
3
2
,
3
,4
cos
4
sin
32
π
π
x
x
x
y的值域.
22
2
max min
21
:3cos4cos13(cos),
33
2112111
cos,,,,3(),,,
33223322
11511115
,;,,,
242444
y x x x
t x x t y t t
t y t y
ππ
=-+=--
??????
=∈∈-∴=--∈-
??????
??????
??
∴=-===--??
??
解
设由得
当时当时故函数值域为
2.2求同时含有x
x cos
sin与x
x cos
sin+（或x
x cos
sin-）的函数的值域，一般令t
x
x=
+cos
sin(或t
x
x=
-cos
sin)可以化归为求c
bt
at
y+
+
=2在区间上的值域，要注意t的取值范围.
例9：当R
x∈时,求函数x
x
y cos
sin+
=+2
cos
sin
2+
x
x的最值.若?
?
?
??
?
∈
2
,0
π
x呢？
2221:sin cos ,sin cos ,)24131()24
t t x x x x t x y t t t π-?=+==+∈?∴=++=++解设则且 23,2,4
3,21max min +===-=∴y t y t 时当时当
min max 0,,,1,3,,32x t t y t y π???∈∈∴====?????
又若则当时当2.3参数形,分类讨论，注意定义域对值域的限制.
例10：函数)0(sin cos 2>+-=a b x a x y 的定义域为[]π2,0，值域为[]0,4-，求常数b a ,.
解;b x a x y +-=sin cos 2 b x a x +--=sin sin 122
2sin 1,24a a x b ??=-++++ ??? [][]2
2sin 1,1,1,1,124a a t x y t b t ??=∈-=-++++∈- ??
?令则 )2,1,0,0(1)1,4,4(2).(1)(2)2,2i a t y b a t y b a a b ≥=-+==--=-==-若则当时取最大值即而当时取最小值即联立解得
2
)02,,0,10(3),1,4,4(4).24
(3)(4),26,,,.
,2,2
a a ii a t y
b t y b a a a a b <<=-++==--=-==-==-若则当时取最大值即而当时取最小值即联立解得或经检验都不合题意舍去综上所述