一、填空
1．自然数从小到大准次序，排列 1 3 ? (2n1) 2 4 ? ( 2n ) 的逆序数，排列 13? ( 2n 1)( 2n ) ( 2n 2) ? 2 的逆序数.
2．在 6 行列式中，a23 a42a 31a56 a14a65的符号.
3．所有 n 元排列中，奇排列的个数共个.
二、
00010
00200
1. 由定算行列式= （） .
n10000
0000n
n(n 1 )(n 1)( n2)
（ A）
n!（B） ( 1)2!
（C） ( 1)
2
n!（D） ( 1)n( n 1)n!
n
x x10
2．在函数
1x23
） .
f ( x )
3x
中， x 3的系数是（
22
112x
（A）1（B）-1
3．四行列式的展开式中含有因子（A）4；（B）2；（ C）2（D）3
a 32的，共有（
（C）6；（D）8.
）个 .
三、按下列不同要求准确写出n 行列式D det(a ij) 定式：
1．各以行准序排列；
2．各以列准序排列；
3．各行列均以任意序排列.
四、若 n 行列式中，等于零的元素个数大于n2n ，此行列式的等于多少？明理由.
一、填空题
a11a12a134a112a113a12a13
1．若 D= a21a22a231, 则D14a212a213a22a23_____.
a 31a
32
a
334a312a313a32
a
33
1123
2．方程1 2 x 223
的根为 ___________ . 231
=0
5
2319 x
2
二、计算题
2134a100
1．
41916
2．
1b10 3015456001c1 11718001d
a b b
b a b
3．D n
b b a
x a1a2 a n11 a1x a2 a n11
4.
a1a2x a n11
D
n 1
a1a2a3x1
a1a2a3 a n1
x11x 12x 1n
x 21x 22x 2n
2) 。
5．计算 n 阶行列式D n(n
x n1x n2x n n
第 1 章
行列式 ( 作业 3)
一、填空题
0 a
12
a
13
a
1n
a 12
0 a 23 a 2n
1．当 n 为奇数时，行列式
a
13
a
23
a 3n =_________.
a 1n a 2n
a 3 n
x y 0 0 0
x y
2．行列式
.
0 0 0 x y
y
0 0
x
二、选择题
1．设 D 是 n 阶行列式 , 则下列各式中正确的是
(
).[
A ij 是 D 中 a ij 的代数余子式 ].
n
n
(A)
a ij A ij 0 , j
1,2,
,n;
(B)
a ij A ij
D , j
1,2, , n;
i 1
i 1
n
n
(C)
a 1 j A 2 j D ;
(D)
a ij A ij
0 ,i
1,2, , n .
j 1
j
1
2．行列式结果等于 ( b a)( c a)(d
a)( c b)(d
b)( d c) 的行列式是（ ）.
1
1 1
1
（ A ）
a
b c d a
2
b 2
c 2
d 2
a 4
b 4
c 4
d 4
三、计算题
1 1
1
1 1 a a
2 a 3
1
00 0
；（B ） 0
b a
c a d
a
；（ C ）
1
b b 2
b 3 ；（D ）1 b a b b 2 0 b c
d 1 c c 2
c
3
1 c a c
c
2
0 b 3
c 3
d 3
1 d d
2 d 3
1 d a d
d 2
1 5 1 3
1．设 1
1 3 4
A （ j
1，2，3，4）是 A 中元素 a 4 j 的代
A
，计算 A 41 A 42 A 43 A 44 , 其中
1 2 4 j
1
3 2 2 3 4
数余子式 .
x1000
0x100
2．
000x1
a n a n 1a n 2a2x a1
a n( a 1)n( a n)n
a n 1(a 1) n 1(a n )n 1 3．D n 1
a a 1 a n
111
a n
b n
4．D2 n
a1b1
0 0
d1
c1
c n
d n
第1章行列式(作业4)
一、填空题
a 1 x1 a 2 x 2a3 x3d1
1．已知关于变量x i( i 1,3)的线性方程组 b1 x1b2 x 2b3 x3 d 2，由克莱姆法则，当满足
c1 x1c2 x 2c3 x3 d 3
条件时，方程组有唯一解，且x 3.
a 11 x
1
a
12
x
2
a
1n
x
n0
2．齐次线性方程组a
21
x
1
a
22
x
2
a
2 n
x
n0的系数行列式为D，那么D0 是该行列式有a n1 x 1a n 2 x 2a nn x n0
非零解的条件 .
二、求解下列行列式
0123n1
1012n2
2101n3 1． D n
210n4 3
n 1n 2n 3n 40
1 a111
1 1 a21
2．D n,
其中 a1a 2 a n0 .
11 1 a n
(1) x12x 24x 30
三、问取何值时，齐次线性方程组2x1(3)x 2x30 有非零解？
x1x 2(1) x 30
第 1 章
行列式 ( 检测题)
一、填空题
1．若排列 i 1 i 2
i n 的逆序数为 k ，则排列 i n i n 1 i 1 的逆序数为 .
a 1 a 2 0 0 0 a 3 a 4
0 0 0
2． D c 1
c 2 2 3 1 .
c 3 c 4 0 1 4 c 5
c 6
4 5 0
a 1n
a 2n
a n 1n
a nn
a 1 n 1
a
2n 2
a
n 1n 1
3． n 阶行列式
= .
a 12
a 22 0 0
a
11
1
2 2 2 2 3
4．
1
1 1
1 = .
1 4 4 2
4 3 1
5 5 2
5 3
二、选择题
1 a 1 a
2 a
n 1
1 a 1
x 1 a 2
a n 1
1． 设 P(x) 1 a 1
a 2 x 2 a n 1 , 其中 a 1 , a 2 , , a n 1 是互不相同得实
1 a 1
a 2
a n 1
x n 1
数，则方程 P （x ） =0（ ）。
（ A ）无实根；
（ B ）根为 1 ， 2，。。。， n-1 ；
（ C ）根为 -1 ，-2 ，。。。， - （n-1 ）； （ D ）根为 0 。
2．设 n 阶行列式 D
det( a ij ) , 把 D 上下翻转、或逆时针旋转
90 、或依副对角线翻转，依次得 a n1
a nn
a 1n
a nn
a nn
a 1 n
D 1
， D 2
， D 3
，则（
）
a 11
a 1n
a 11
a n1
a n1
a 11
n
n(n
1)
（A ） D 1
D 2
D 3 D ；
（B ）； D 1 ( 1)2 D,D 2
( ) 2
D,D 3 D
n( n 1)
n(n 1)
（C ） D 1 D 2 D,D 3 ( 1) 2
D ；
（D ） D 1 D 2 ( 1) 2
D, D 3
D 。
三、计算题
3 2 1
4 1 3
5 1 2 2 2 ； 1．
1
0 2 3
5 4
1
2
1 2 3 18 19 20
2 1 2 17 18 19
3． D
3
2
1 16 17 18 ； 19 18 17
2 1 2
20 19
18
3
2
1
0 a b a
2．
a 0 a
b 。
b a 0 a
a
b a 0
a 1 x x x x
a 2
x
x
4 ． D n
(a i x, i 1, n) x x a
n 1
x x
x
x
a n
四、证明题
1． 行列式 D 中的每个数
a ij
分别用
b i j (b
0) 去乘，试证所得行列式
D 1与 D
相等 .
2cos 1 0 0 0
1 2cos
1 0 0 2． 证明
1
2cos
0 sin( n 1)
D n
sin
0 0 0 2cos
1
1
2cos
答案
第 1 章 行列式 ( 作业 1)
答案 一. 填空题
1 ．
n( n 1)
， n (n 1) .
2
．正号 . 3．
n!
2
2
二、选择题 1 ．（ C ）； 2 ．（B ）； 3 ．（ C ）
三、 1．
( 1)t ( p i
p
2
p n )
a 1 p
a
2 p a
np
n ； 2.
( 1)t ( q i q
2 q n )
a q 1
a
q 2 a q n .
1
2
1
2
n
( p i p 2 p n )
(q i q 2 q n )
3 ．
( 1)
t ( p i p
2
p n ) t ( q 1 q 2
q n )
a p q a p q a p q .
四. 值为 0.
1 1
2 2
n n
第 1 章行列式(作业 2)
答案
一、填空题 1． -12 。 2
。 ±1, ±2.
n
二、计算题 1 ．0； 2. abcd ab cd ad
1 ； 3. [a (n
1)b] (a
b)n 1
； 4.
( x a i ) ；
i
1
5． 当 n=2 时， D 2
x 1 x 2 ；
当 n>2 时 , 用拆项法可得 D n
。
第 1 章行列式(作业 3)
答案
一、填空题 . 2. x n ( 1)
n
1 y n .
二、选择题 1 (B). 2
（ C ），（ D ）
三、计算题
； 2． x n
a 1 x n 1
n
a n 1x a n ； 3.
(i j ) ；4. D 2n
(a i d i b i c i ) .
n 1 i
j 1
i 1
第 1 章 行列式 ( 作业 4)
答案
a 1 a 2 d 1 a 1 a 2 a 3
b 1
b 2 d 2
0 ， c 1
c 2
d 3
。 2. 充要条件 .
二、 1． ( 1)
n 1
(n 1)2 n 2 ；
一、填空题 1. b 1 b 2 b 3 c 1
c 2 c 3
a 1 a 2 a 3
b 1 b 2 b 3
c 1
c 2 c 3
n
n
2.
a j (1
1
)。 三、当
0,2或
3 时，该齐次线性方程组确有非零解.
j
1
j 1
a
j
第 1
章行列式(检测题)
答案
n(n
1)
n(n 1)
2
一、填空题 1.
k ； 2.
12( a 1 a 4 a 2 a 3 ) ； 3． ( 1) a 11a 22 a nn ； 4. – 72.
2
二、选择题 1 （C ）； 2 （ D ）.
三、 1．-37 ； 2 ． b 2
b 2 4a 2
. 3. 21 218
.
n
n
x
4.
a i x 1
； 四、1．[ 提示 ] 用行列式定义证明； 2.[ 提示 ] 用数学归纳法证明 .
a i i
1
i 1
x
第
一．判断题 （易）1、n 阶行列式 11121212221 2n n n n nn a a a a a a a a a ??????????????是由2n 个数构成的n 行n 列的数表（ ）． 答案：× （较容易）2、6216 210 0000000λλλ=λλλΛΛ M M M M M ΛΛ． （ ）． 答案：× （较容易）3、8218 210 0000000k k k k k k ΛΛ M M M M M ΛΛ=．（ ）． 答案： √ （较容易）4.若方阵A 的各行元素之和为零，则0A = ( ) 答案： √ 二．填空题 （中等）1.设12345 77733 324523332246523 =A ,313233++=A A A _________,3435+=A A ________ 答案：0，0 （中等）2.1234 243141321432 = D , 求11213141+++A A A A =________ 答案：0 （较容易）3. 5阶行列式D 的第2列元素依次为1,1,0,2,1它们对应的余子式分别为－1,3,－2,0,1，则=D ________. 答案：3 （较容易）4.d b a c d b c a b d c a b d a c = ． 答案：0
（较容易）5. y x y x x y x y x y x x y x 323222 +++++= ． 答案：)(2y x xy +- （较容易）6. 621 7213424435431014327 427246-= 答案：510294?- （中等）7．已知三阶行列式 9 876543 21 =D ，它的元素ij a 的代数余子式为ij A （3,2,1,3,2,1==j i ）， 则与232221cA bA aA ++对应的三阶行列式为 ． 答案： 9 873 21 c b a （中等）8． 设行列式3 0402222,07 5 3 22 D = -- 则第四行各元素余子式之和的值为 . 答案：–28 （较容易）9． 1111001 1110 y y y x x x --= ． 答案：22 x y （中等）10． 行列式 1 1 1 1 111111111111 --+---+---x x x x = ． 答案：4x （较容易）11． 当λ= 或μ= 时，齐次方程组??? ??=+μ+=+μ+=++λ0 200 321 321321x x x x x x x x x 有非零解． 答案：1，0
《线性代数》(工)单元练习题 一、填空题 1、设矩阵A 为4阶方阵，且|A |=5，则|A*|=__125____，|2A |=__80___，|1-A |= 1/5 2、若方程组?? ? ??=+=+=+a bz cy b az cx ay bx 0 有唯一解，则abc ≠ 0 3、把行列式的某一列的元素乘以同一数后加到另一列的对应元素上，行列式 0 . 4、当a 为 1 or 2 时，方程组??? ??=++=++=++0 40203221321321x a x x ax x x x x x 有非零解. 5、设=-+----=31211142,4 101322 13A A A D 则 .0 二、单项选择题 1．设） （则=---===33 3231312322212113 1211113332312322 211312 11324324324,1a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a D B （A)0 ； （B)―12 ； （C ）12 ； （D ）1 2．设齐次线性方程组??? ??=+-=++=+02020z y kx z ky x z kx 有非零解，则k = （ A ） （A ）2 （B ）0 （C ）-1 （D ）-2 3．设A=7 925138 02-，则代数余子式 =12A ( B ) (A) 31- (B) 31 (C) 0 (D) 11- 4．已知四阶行列式D 中第三列元素依次为-1，2，0，1，它们的余子式依次分别为5，3，-7,4， 则D= ( A ) （A ） -15 （B ） 15 （C ） 0 （D ） 1 三、计算行列式
第一章 行列式 一、单项选择题 1.行列式D 非零的充分条件是( D ) (A) D 的所有元素非零 (B) D 至少有n 个元素非零 (C) D 的任何两行元素不成比例 (D)以D 为系数矩阵的非齐次线性方程组有唯一解 2．二阶行列式 1 2 21--k k ≠0的充分必要条件是（ C ） A ．k ≠-1 B ．k ≠3 C ．k ≠-1且k ≠3 D ．k ≠-1或≠3 3．已知2阶行列式 2 21 1b a b a =m , 2 21 1c b c b =n ,则 2 22 111c a b c a b ++=（ B ） +n （m+n ） 4.设行列式==1 11103 4 222,1111304z y x z y x 则行列式（ A ） A. 32 D.3 8 5．下列行列式等于零的是(D ) A .100123123- B. 031010300- C ． 100003010- D ． 2 61422613- 6．行列式 1 1 1 101111011110------第二行第一列元素的代数余子式21A =（ B ） A ．-2 B ．-1 C ．1 D ．2 8．如果方程组?? ? ??=+=-=-+0404033232321kx x x x x kx x 有非零解,则 k =（ B ） 9．（考研题）行列式 0000000a b a b c d c d =（ B ） A.()2ad bc - B.() 2ad bc -- C.2222 a d b c - D.22 2 2 b c a d - 二、填空题 1.四阶行列式中带负号且含有因子12a 和21a 的项为 44332112a a a a 。 2. 行列式11 1 2 3 44916 中（3， 2 ）元素的代数余子式 A 32=___-2___. 3. 设7 3 43690211 1 1 875 1----= D ，则5A 14+A 24+A 44=_______。 解答：5A 14+A 24+A 44= 1501 3430 90211 1 15751-=--- 4．已知行列式01 110321 2=-a ，则数a =____3______. 5．若a ,b 是实数，则当a =___且b =___时，有=---10100 a b b a 0。 解答：0)(1 0100 22=+-=--=---b a a b b a a b b a a =0, b =0 6. 设1 31 2 4321322 )(+--+-+= x x x x f ，则2 x 的系数为 23 。 7. 五阶行列式=6 200357020381002 300031000___________。 解答：4232 1 2 331)1(6 200357020381002 30003100032=?? -=? 8. （考研题）多项式2 1 1 111 )(32 132132 1321+++++= x a a a a x a a a a x a a a a x f 的所有零 点为 01=x ，12-=x ，23-=x 。 9、（考研题）设x d c b d x c b d c x b d c b x x f = )(，则方程0)(=x f 的根为=x 。 【分析】 )(x f 是关于x 的四次多项式，故方程0)(=x f 应有四根，利用行列式的性质知，当d c b x ,,=时，分别会出现两行相等的情况，所以 行列式为零，故d c b x ,,=是方程的三个根。 再将后三列均加到第一列上去可以提取一个公因子为 d c b x +++，所以当)(d c b x ++-=时，满足0)(=x f ，所以得方程的 第四根)(d c b x ++-=。 故方程的四个根分别是：)(,,,d c b d c b ++-。 二、计算题 1、计算000100 0200020120002013000 002014 D = 。 【分析】方法一：此行列式刚好只有n 个非零元素 nn n n n a a a a ,,,,112211--- ，故非零项只有一项： nn n n n t a a a a 112211)1(---- ，其中2 ) 2)(1(--= n n t ， 因此 (20141)(20142) 2 (1) 2014!2014!D --=-= 方法二：按行列展开的方法也行。 2、计算行列式 3 214214314324 321= D 。 分析：如果行列式的各行（列）数的和相同时，一般首先采用的是将各列（行）加到第一列（行），提取第一列（行）的公因子(简称列（行)加 法). 解 这个行列式的特点是各列4个数的和为10 ，于是，各行加到第一行，得
第九讲 行列式单元测试题点评 一、填空题（每小题2分，满分20分） 1．全体3阶排列一共有 6 个，它们是123,132,213,231,312,321； 2. 奇排列经过奇数次对换变为偶排列，奇排列经过偶数次 对换变为奇排列； 3. 行列式D和它的转置行列式D'有关系式D D' =； 4. 交换一个行列式的两行（或两列），行列式的值改变符号； 5. 如果一个行列式有两行（或两列）的对应元素成比例，则这 个行列式等于零； 6. 一个行列式中某一行（列）所有元素的公因子可以提到 行列式符号的外边； 7. 把行列式的某一行（列）的元素乘以同一数后加到另一行（列） 的对应元素上，行列式的值不变； 8. 行列式的某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的 代数余子式的乘积之和等于零； 9. 11121 222 1122 ; 00 n n nn nn a a a a a a a a a = L L K M M M M L
10.当 k=22 ±时，542k k k =。 二、判断题（每小题3分，满分24分） 1.1)(,)(31221±==k i i i i k i i i n n ΛΛππ则若 （∨） 的符号 的一般项则设n n j i j i j i nn n n n n a a a a a a a a a a a a D ΛΛ M M M M ΛΛ2211D ,.221 2222111211= .)1() (21n j j j Λπ-是 （×） 3. 若n(n>2)阶行列式D=0,则D 有两行（列）元素相同. (×) 4．若n 阶行列式D 恰有n 个元素非0，则D ≠0. (×) 5.对于线性方程组，只要方程个数等于未知数个数，就可以直接使用克莱姆法则求解。 （×） 6．若行列式D 的相同元素多于2n n -个，则D=0. (×) 7. 11 121313233321222312 222331 32 33 11 21 31 a a a a a a a a a a a a a a a a a a = (×) 8.n 阶行列式主对角线上元素乘积项带正号，副对角线上元素乘积项带负号。 （×） 三、单项选择题（每小题4分，满分20分） 1．位于n 级排列12111k k n i i i i i -+L L 中的数1与其余数形成的反序个数为（ A ）
第一章 行列式 一、单项选择题 1．=0 001001001001000( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 2. =0 001100000100100( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 3. 若2 1 33 32 31 232221 131211 ==a a a a a a a a a D ，则=---=32 3133 31 2221232112 111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 4．若 a a a a a =22 2112 11，则 =21 11 2212ka a ka a ( ). (A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2- 5． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-, 则=x ( ). (A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 2 6. 若5 734111113263478 ----=D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 7. 若2 23 5 00 1 011110403 --= D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0
8. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x kx x kx x kx x x 有非零解. ( ) (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 二、填空题 1. 行列式=0 100111010100111. 2．行列式 = -0 10000200 0010 n n . 3．行列式 =--0 01) 1(2211)1(111 n n n n a a a a a a . 4．如果M a a a a a a a a a D ==3332 31 232221131211 ，则=---=32 323331 2222232112121311133333 3a a a a a a a a a a a a D . 5．已知某5阶行列式的值为5，将其第一行与第5行交换并转置，再用2乘所有元素，则所得的新行列式的值为 . 6．行列式 = --+---+---111 1 111111111111 x x x x . 7．n 阶行列式=+++λλλ 111 1 11111 . 8．已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3, 其对应的余子式依次为3, 2, 1，则该行列式的值为 .
行列式 矩阵练习题 一、单项选择题 1. 设行列式D=a 522315 21-=0，则a =( B ). A. 2 B. 3 C. -2 D. -3 2. 设A 是k ×l 矩阵，B 是m ×n 矩阵，如果AC T B 有意义，则矩阵C 的为( B ). A. k ×m B. k ×n C. m ×l D. l ×m 3. 设A 、B 均为n 阶矩阵，下列各式恒成立的是( B ). A. AB=BA B. (AB)T =B T A T C. (A+B)2=A 2+2AB+B 2 D. (A+B)(A-B)=A 2-B 2 4. A 为n 阶方阵，下面各项正确的是( C ). A. |-A|=-|A| B. 若|A|≠0,则AX=0有非零解 C. 若A 2=A,则A=E D. 若秩(A)
一、填空题 1．设自然数从小到大为标准次序，则排列1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n 的逆序数为 ，排列1 3 … )12(-n )2(n )22(-n …2的逆序数为 . 2．在6阶行列式中，651456314223a a a a a a 这项的符号为 . 3．所有n 元排列中，奇排列的个数共 个. 二、选择题 1.由定义计算行列式n n 0000000010 020001000 -= （ ）. （A ）! n （B ）!)1(2) 1(n n n -- （C ）!) 1(2) 2)(1(n n n --- （D ）!)1()1(n n n -- 2．在函数x x x x x x f 2 1 1 23232101)(= 中，3x 的系数是（ ）. （A ）1 （B ）-1 （C ）2 （D ）3 3．四阶行列式的展开式中含有因子32a 的项，共有（ ）个. （A ）4； （B ）2； （C ）6； （D ）8. 三、请按下列不同要求准确写出n 阶行列式)det(ij a D =定义式： 1． 各项以行标为标准顺序排列； 2． 各项以列标为标准顺序排列； 3． 各项行列标均以任意顺序排列. 四、若n 阶行列式中，等于零的元素个数大于n n -2，则此行列式的值等于多少？说明理由.
一、填空题 1．若D=._____324324324,133 32 3131 232221211312111113332 31 232221131211=---==a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a 则 2．方程 2 2913251323 2 213211x x --=0的根为___________ . 二、计算题 1． 8 1 71160451530169 14 4312----- 2． d c b a 100 1100 11001--- 3．a b b b a b b b a D n =
《线性代数》第一章练习题 一、填空题 1、_____________)631254(=N 2、要使排列（3729m14n5）为偶排列，则m =_______, n =_________ 3、关于x 的多项式x x x x x 22111---中含2 3 ,x x 项的系数分别 是 4、 A 为3阶方阵，2=A ，则__ __________3* =A 5、四阶行列式)det(ij a 的反对角线元素之积（即41 322314a a a a ）一项的符号为 6、求行列式的值 (1) 4692469234 1234=_____； （2） 13 14102 4 2 121=____ ； (3) 2005 000200410020030102002 200120001--=_______; (4) 行列式2 4 3 012 321---中元素0的代数余子式的值为 _______ 7、 64 8149712551 = ； 125 2786425941653241111--= 8、设矩阵A 为4阶方阵，且|A |=5，则|A*|=______，|2A |=_____，|1 -A |= 9、 11101110= ； =0 001003102222210 。 10、若方程组 ?? ? ??=+=+=+a bz cy b az cx ay bx 0 有唯一解，则abc ≠ 11、把行列式的某一列的元素乘以同一数后加到 另一列的对应元素上，行列式 。 12、行列式 中 在项的项共有214312344214231144 43 42 41 3433323124 23222114131211,,a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ，
行列式的概念 一、选择题 1． 下列选项中错误的是 ( ) a b c d (B) a b d b (A) d a b ； c d c ； c a a 3c b 3d a b a b a b (C) c d c ； (D) c d c . d d 答案： D 2．行列式 D n 不为零，利用行列式的性质对 D n 进行变换后，行 列式的值（ ）． (A) 保持不变； (B) 可以变成任何值； (C) 保持不为零； (D) 保持相同的正负号． 答案： C 二、填空题 1. log a b 1 =. 1 log b a 解析： log a b 1 log a b log b a 1 1 1 0 . 1 log b a cos sin 2. 3 6 =. sin cos 3 6 cos sin 解析： 3 6 cos cos sin sin cos0 sin cos 3 6 3 6 2 3 6 2x 1 3 3. 函数 f (x) x x 1 中， x 3 的系数为 ； 2 1 x 2x 1 1 g( x) x x x 中， x 3 的系数为. 1 2 x 答案： -2 ； -2.
阶行列式 D n中的n最小值是. 答案： 1. 1 2 3 5.三阶行列式0 2 4 中第2行第1列元素的代数余子式 3 1 1 等于. 答案： 5. 6.若 2x 8 0 ，则x= . 1 2 答案： 2. 7. 在n 阶行列式 D a ij 中，当 i 高等代数 《行列式》测 验 一 填空题（2'612'?=） 1. 六阶行列式的展开式共有（ ）项. （A ）120 （B ）60 (C) 720 (D) 240 2. 排列1 2345a a a a a 的逆序数为a ，则排列5 4321a a a a a 的逆序数为（ ）. (A) a - (B) 10a - (C) 10a - (D) 2 a -或a +2 3. 0001002003004 =( ). (A) 24 (B) -24 (C) 0 (D) 12 4. 已知11 121311111212132122232121222223313233313132323341 42 43 4141 42 42 43 , ,a a a b a a b a a a a b a a b a m n a a a b a a b a a a a b a a b a == 则行列式 11121311122122232122313233313241 4243 4142a a a b b a a a b b a a a b b a a a b b ++= ++（ ）. (A) m n + (B) n m - (C) m n - (D) () m n -+ 5. 已知2 31421,1 1 1 D =- i j A 为D 的元素ij a 的代数余子式，则（ ）. (A) 1112130 A A A ++= (B) 1121310 A A A ++= (C) (A),(B)都成立 (D) (A),(B)都不成立 6. 0001 00002000 10 n n =- ( ). (A) 1 (1) !n n +- (B) (1) 2 (1) !n n n -- (C) (1) 2 (1) !n n n +- (D)!n 二 填空题（2'816'?=） 1. 2011阶反对称行列式的值为 . 2. 13234425k l a a a a a 为五阶行列式ij D a =中带负号的项，则k = ， l = . 3. 排列(1)321n n - 的逆序数为 , 13(21)24(2) n n - 的逆序 数为 . 4. 线性方程组 1212040 x x x x λλ+=?? +=?有唯一解，则λ满足 . 5. 若n 阶行列式D 中等于0的元素个数大于2 n n -，则D = . 6. 2 1 1203101311 112 x x ----的展开式中2 x 的系数为 . 7. 1 1111234149161 8 27 64 = . 8. 已知四阶行列式D 的第3行元素为3,3,1,1--, 其对应的余子式的值 为1,2,5,4, 则行列式D = . 线性代数行列式经典例题 例1计算元素为a ij = | i －j |的n 阶行列式. 解 方法1 由题设知，11a =0，121a =，1,1,n a n =- ，故 01110212 n n n D n n --= -- 1,1,,2 i i r r i n n --=-= 01 1111 111 n ---- 1,,1 j n c c j n +=-= 121 1 021 (1)2(1)020 1 n n n n n n ------=---- 其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行．第二步用的每列加第n 列． 方法2 01110 212 0n n n D n n --= -- 1 1,2,,111 1111 120 i i r r i n n n +-=----=-- 1 2,,100120 1231 j c c j n n n n +=---= --- =12(1)2(1) n n n ---- 例2. 设a , b , c 是互异的实数, 证明: 的充要条件是a + b + c =0. 证明: 考察范德蒙行列式: = 行列式 即为y 2前的系数. 于是 = 所以 的充要条件是a + b + c = 0. 例3计算D n = 121 100010n n n x x a a a x a ----+ 解： 方法1 递推法 按第1列展开，有 D n = x D 1-n +（－1） 1 +n a n 1 1111n x x x ----- = x D 1-n + a n 由于D 1= x + a 1，221 1x D a x a -=+，于是D n = x D 1-n + a n =x （x D 2-n +a 1-n ）+ a n =x 2 D 2-n + a 1-n x + a n = = x 1 -n D 1+ a 2x 2 -n + + a 1-n x + a n =111n n n n x a x a x a --++++ 方法2 第2列的x 倍，第3列的x 2 倍， ，第n 列的x 1 -n 倍分别加到第1列上 12 c xc n D += 21121 10010000n n n n x x x a xa a a x a -----++ 9.4（1）三阶行列式 一、教学内容分析 三阶行列式是二阶行列式的后继学习，也是后续教材学习中一个有力的工具．本节课的教学内容主要围绕三阶行列式展开的对角线法则进行，如何理解三阶行列式展开的对角线法则和该法则的应用是本节课的重点内容． 二、教学目标设计 经历观察、比较、分析、归纳的数学类比研究，从二阶行列式的符号特征逐步形成三阶行列式的符号特征，从二阶行列式展开的对角线法则逐步内化形成三阶行列式展开的对角线法则，感悟类比思想方法在数学研究中的应用． 三、教学重点及难点 三阶行列式展开的对角线法则、三阶行列式展开的对角线法则形成的过程． 四、教学用具准备 可以计算三阶行列式值的计算器 五、教学流程设计 六、教学过程设计 一、情景引入 1．观察 (1)观察二阶行列式的符号特征： 13 25 02 31 - 612 711 - a b c d (2)观察二阶行列式的展开式特征： 13 112321=?-? 02 013(2)31-=?-?- 612 6(11)712711 =?--?- a b a d c b c d =?-? 2．思考 (1)二阶行列式算式的符号有哪些特征？ (2)你能总结一下二阶行列式的展开式有哪些特征吗？ [说明] (1)请学生观察二阶行列式的符号特征，主要是观察二阶行列式有几个元素，这几个元素怎么分布？从而可以类比得到三阶行列式的符号特征． (2)请学生观察和总结二阶行列式的展开式特征，可以提示学生主要着力于以下几个方面： ① 观察二阶行列式的展开式有几项？ ② 二阶行列式的展开式中每一项有几个元素相乘；这几个元素在行列式中的位置有什么要求吗？ ③ 二阶行列式的元素在其展开式中出现了几次？每个元素出现的次数一样吗？ 二、学习新课 1．新课解析 【问题探讨】 结合情景引入的两个思考问题，教师可以设计一些更加细化的问题引导学生发现二阶行列式的符号特征以及二阶行列式的展开式特征，从而类比得到三阶行列式相应特征．比如教师可以设计如下几个问题： 问题一，通过学习和观察，我们发现二阶行列式就是表示四个数(或式)的特定算式，这四个数分布成两行两列的方阵，那么三阶行列式符号应该有怎么样的特征呢？ 第二章 行列式测试题（A ） 一、单项选择题（每小题2分，共10分） 1．n 级行列式=0 1 00100 1001000 （ ） （A ）-1 （B ）2 )1() 1(--n n （C ）2 )1() 1(+-n n （D ）1 2．令(),2 271 32014 321 312------= x x f 那么()x f 的一次项系数为（ ） （A ） 1； （B ） 2； （C ） -1； （D ） -2 3．如果行列式=---=33 32 31 23222113 1211 3332 31 232221 13 1211 333222,a a a a a a a a a d a a a a a a a a a 那么（ ） （A ） 2d ； （B ）3d ； （C ）-d ； （D ）-6d 4．如果n (n ≥2)级行列式中每个元素都是1或-1,那么该行列式的值为( ) （A ）偶数； （B ）奇数； （C ）1； （D ） -1 5．行列式n 000 20001的主对角线上每个元素与其代数余子式乘积之和为( ) （A ） n !; （B ）()211n +； （C ） n .n !； （D ） ()2 12n n + 二、填空题（每小题2分，共10分） ⒈排列()()()112221+-k k k k 的逆序数为（ ）。 ⒉在4级行列式中，项11342243a a a a 前带的符号为（ ）。 ⒊ =+++x x x 111111 1 11（ ） ⒋ 3 2323 24441333122211111=（ ） ⒌如果方程组???=++=++010 1dy cx by ax 的系数行列式1=d c b a ，那么它的解为 。 三、判断题（每小题2分，共10分） ⒈ n n a a a a a a 21210 0000 00 -= （ ） ⒉如果n 级行列式中零元素多于n n -2个，那么该行列式的值为0。 （ ） ⒊两个行列式相加，等于对应元素相加。 （ ） ⒋行列式中负对角线上元素的余子式与代数余子式互为相反数。 （ ） ⒌33 32 31 23222113 12113332 31 232221 131211 a a a a a a a a a a a a a a a a a a -=--------- （ ） 四、计算下列行列式的值 ⒈ 2 1 100 2502 0214 214 ⒉ () n a b b a b a b a b a 00000000000000000 000 ⒊ n n n n y x x x x y x x x x y x +++ 222211 1 1 ⒋ 1 1 1 212 221212111n n n n n n n n n a a a a a a a a a ------ ⒌ a ax ax ax ax a ax ax a ax a n n n n 3 2 1 2 010010001------ 说明：黄色高亮部分是必做题目，其他为选作 第一章 行 列 式 专业 班 姓名 学号 第一节 行 列 式 一．选择题 1．若行列式x 52231 5 2 1- = 0，则=x [ ] （A ）2 （B ）2- （C ）3 （D ）3- 2．线性方程组???=+=+4733 221 21x x x x ，则方程组的解),(21x x = [ ] （A ）（13，5） （B ）（13-，5） （C ）（13，5-） （D ）（5,13--） 3．方程09 3 142 112 =x x 根的个数是 [ ] （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 4．下列构成六阶行列式展开式的各项中，取“+”的有 [ ] （A ）665144322315a a a a a a （B ）655344322611a a a a a a （C ）346542165321a a a a a a （D ）266544133251a a a a a a 5（A ）3,2==l k ，符号为正； （B ）3,2==l k ，符号为负； （C ）2,3==l k ，符号为正； （D ）2,3==l k ，符号为负 6．下列n （n >2）阶行列式的值必为零的是 [ ] (A) 行列式主对角线上的元素全为零 (B) 三角形行列式主对角线上有一个元素为零 (C) 行列式零的元素的个数多于n 个 (D) 行列式非零元素的个数小于n 个 二、填空题 1．行列式 1 2 21--k k 0≠的充分必要条件是 23．已知排列397461t s r 为奇排列，则r = s = ，t = 三、计算下列行列式（要写计算过程）： 1．1 32213 3 21 2．598413 1 11 ３． y x y x x y x y y x y x +++ ４． 001 100000100100 ５． 00100002000010 n n - 精锐教育学科教师辅导讲义 年 级：高二 辅导科目： 数学 课时数：3 课 题 二阶三阶行列式 教学目的 1、掌握行列式及算法有关的概念；掌握行列式的初等变换;理解行列式的意义； 2、掌握二阶行列式展开的对角线法则。 教学内容 【知识梳理】 1、掌握行列式展开的对角线法则：11 122122 b b a a b a b a =- 2、二元一次方程组：111222 , a x b y c a x b y c +=??+=?，其中x,y 为未知数，方程组系数不全为0 系数行列式11 22 b b a D a =；11 22 b b x c D c =；1122 c c y a D a = （1）当0D ≠时，方程有唯一解x y D x D D y D ?=????=?? （2）当0D =，0x y D D ==时，方程组有无穷多解； （3）当0D =，,x y D D 中至少有一个不为零，方程组无解. 3、掌握三阶行列式展开的对角线法则，以及按某一行（列）展开的方法； 【典型例题分析】 【例1】展开并化简下列行列式： （1）3423- （2）245lg 2lg - （3）432101421-- 巩固练习1.计算 a b b a log 21log =__________________ 2． y x y x y x y x sin sin cos cos cos cos sin sin +-+- 3．将函数 3sin ()1cos x f x x = 的图像向左平移a （0a >）个单位，所得图像对应的函数为偶函数， 则a 的最小值为___________ 【例2】不解方程，判断下列方程组解的情况 （1）?? ?=-=+1232y x y x （2）???=+=+5918324y x y x 巩固练习：1. 用行列式法求解下列方程组： （1）???=-=+1232y x y x （2）???=-+-=-0 9218.05.1y x y x 2017年9月13日15:53:58 由于本人最近在学习线性代数，刚学，很多东西不懂。于是边学边总结经验。 三阶行列式比二阶行列式计算难一些。于是总结计算方法如下。 二阶行列式 要计算三阶行列式的前提条件是，你要会计算二阶行列式 如下就是一个二阶行列式 222112 11a a a a 二阶行列式的计算方法非常简单，就是对角线互乘. 然后主对角线乘积(a 11a 22)减去副对角线乘积(a 12a 21). 222112 11a a a a =a 11a 22-a 12a 21 会了二阶行列式之后，你会发现二阶行列式其实不难。但是三阶行列式其实跟二阶行列式相比，难度就不在一个等级。我通过看书自学，发现有两个比较好的办法去解决这个问题。 方法一：对角线 只不过这次对角线比较多，而且比较繁琐 3332 312322 211312 11a a a a a a a a a 这个行列式中，我们计算，如果是用对角线去计算的话。方法如下 a 11a 22a 33 + a 12a 23a 31 + a 13a 21a 32 – a 13a 22a 31 – a 12a 21a 33 – a 11a 23a 32 例题 2 131323 21=1*3*2 + 2*1*3 + 3*2*1 – 3*3*3 – 2*2*2 – 1*1*1 = -18 理解对角线的关键在哪里呢？？？ 这里也是我做这个文档的原因。因为我发现很多教材包括我看到的，都是让你圈让你找。。。其实都太繁琐。我理解之后发现其实只有两个字就可以理解对角线。那就是——位移。 当然我发现更多的教材，对于基础问题，它都不怎么提及。你看吧。看得懂是你的悟性。看不懂来报我们的辅导班……这个怪现象真的容易把你带进沟你，因为所有的东西都涉及商业利益的时候，其实你看到的都不是真相，看到的只是教材编辑者想给你看到的。 是的。比如说a 12a 21a 33的时候，你可以通过对角线找到a 12a 21但是你怎么确定a 31的位置?关键其实只要把第三列整体移动到第一列前面就可以了。别的以此类推。 方法二：转换为二阶行列式 因为二阶行列式很简单，非常容易计算，虽然我们有了方法一可以解决大部分问题，但是有的时候还是计算太麻烦了。于是我们要升级方法。让原本可以解决的问题，我们用更简便的方法解决它。已达到省时省力的效果学习也事半功倍。 9.4 （2）三阶行列式按一行（或一列）展开 一、教学内容分析 三阶行列式按一行（或一列）展开是三阶行列式计算的另外一种法 则，学习这种法则有助于学生更好地理解二阶行列式、三阶行列式的内在联系，同时这个法则也是较复杂的行列式计算的常用方法，这个法则更是蕴涵了数学问题研究过程中将复杂问题转化为简单问题的研究方法.本节课的教学内容主要围绕代数余子式的符号的确定研究三阶行列式按一行（或一列）展开法则. 二、教学目标设计 ⑴ 掌握余子式、代数余子式的概念； ⑵ 经历实验、分析的数学探究，逐步归纳和掌握代数余子式的符号的确定方法和三阶行列式按一行（或一列）展开方法，体验研究数学的一般方法； ⑶体会用简单（二阶行列式）刻画复杂（三阶行列式）、将复杂问题简单化的数学思想. 三、教学重点及难点 三阶行列式按一行（或一列）展开、代数余子式的符号的确定. 四、教学过程设计 一、情景引入 【实验探究1】 （1）将下列行列式按对角线展开： （2）对比、分析以上几个行列式的展开式，你能将三阶行列式 a1 b1 c1 a2 b2 C2表示成含有几个二阶行列式运算的式子吗？ a3 b3 C3 ［说明］ (i)请学生展开几个行列式的主要目的是：巩固复习前面学习的 知识；同时，有意识地设计这几个行列式的展开，有助于学生发现三 G C 2 C 3 等等. 二、学习新课 1 .知识解析 阶行列式运算的式子，主要有: 请同学生选择其中的一个为例谈谈他们是如何发现这些等式 的？ a i b i a 2 b 2 a 3 b 3 与相应的二阶行列式间的关系. 阶行列式 (2)将三阶行列式 a i b i a 2 b 2 a 3 b 3 式子，结果可能不唯一，可以有 表示成几个含有二阶行列式运算的 a i b i a 2 b 2 a 3 b 3 C i C 2 C a i b 2 C 2 b 3 C 3 b i a 2 C 2 a 3 C 3 C i a 2 b 2 a 3 b 3 在刚才的实验中，将三阶行列式 a i b i C i a 2 b 2 C 2 a 3 b 3 C 3 表示成了含有二个二 a i a 2 a 3 a i a 2 a 3 a i a 2 a 3 b i C i b 2 C 2 b 3 C 3 b i C i b 2 C 2 b 3 C 3 b i C i b 2 C 2 b 3 C 3 b 2 C 2 b i a 2 C 2 a 2 b 2 a i b 3 C 3 a 3 C 3 C i a 3 b 3 b 2 C 2 bi C i b i C i a i b 3 C 3 a 2 a 3 C 3 a 3 b 2 C 2 a 2 C 2 b 2 a i C i b 3 a i C i a 3 C a 3 C 3 a 2 C 2 等等. 事实上，以 ai bi a 2 b 2 a 3 b 3 C i C 2 C a i b 2 C 2 b 3 C 3 bi a 2 C a 3 C 3 C i a 2 a 3 b 2 b 3 为例，先将展 开式 a i bi C i a 2 b 2 C 2 a 3 b 3 C 3 a a b 2C i a 2b i C 3 a 〔b 3C 2 变形为: C i C 2 C b i 命题人或命题小组负责人签名： 教研室（系）主任签名： 分院（部）领导签名： 《线性代数》第一章练习题 一、填空题 1、_____________)631254(=τ8 2、要使排列（3729m14n5）为偶排列，则m =___8____, n =____6_____ 3、关于x 的多项式x x x x x 22 1 11 ---中含23,x x 项的系数分别是 -2, 4 4、 A 为3阶方阵，2=A ，则____________3* =A 108 5、四阶行列式)det(ij a 的次对角线元素之积（即41322314a a a a ）一项的符号为 + 6、求行列式的值 (1) 469 24692341234=__1000___； （2）13 14102421 21=_0___ ； (3) 2005 200410020030102002 200120001--=___2005____; (4) 行列式2 430123 21---中元素0的代数余子式的值为___2____ 7、64 81497125 51 = 6 ； 125 27864259416 5 324 1111 --= 1680- 8、设矩阵A 为4阶方阵，且|A |=5，则|A*|=__125____，|2A |=__80___，|1-A |= 1 5 。 9、0 111011 10= 2 ； =0 0010 0310 2222210 12 。 10、若方程组?? ? ??=+=+=+a bz cy b az cx ay bx 0 有唯一解，则abc ≠ 0 11、把行列式的某一列的元素乘以同一数后加到另一列的对应元素上，行列式 值不变 。 12、行列式 中在项的项共有 214312344214231144 43 42 41 343332312423222114131211,,24 !4a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =， 21431234a a a a 是该行列式的项，符号是 + 。 13、当a 为 1或2 时，方程组??? ??=++=++=++0 40203221321321x a x x ax x x x x x 有非零解。 14、设=-+----=31211142,4 101322 13A A A D 则 0 15、若n 阶行列式中非零元素少于n 个，则该行列式的值为 0 。 16、设A ，B 均为3阶方阵，且,2,2 1 == B A 则=-)(21A B T 32 二、单项选择题高代-行列式测试题
线性代数行列式经典例题
三阶行列式
b第一章 行列式测试题
行列式练习题
二阶三阶行列式
3阶行列式计算方法-三对角行列式计算方法
三阶行列式展开
(完整word版)行列式习题1附答案
相关主题
文本预览