例1（1）关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两个实根，且一个大于1，一个小于1，求m 的取值范围； （2）关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两实根都在)4,0[内，求m 的取值范围； ⑶关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两实根在[]3,1外，求m 的取值范围 （4）关于x 的方程0142)3(22=++++m x m mx 有两实根，且一个大于4，一个小于4，求m 的取值范围. 例3已知函数3)12()(2--+=x a ax x f 在区间]2,2 3[-上的最大值为1，求实数a 的值。
解（1）令142)3(2)(2++++=m x m x x f ，∵对应抛物线开口向上，∴方程有两个实根，且一个大于1，一个小于1等价于0)1(
方程与不等式之一元二次方程技巧及练习题含答案 一、选择题 1．某果园2011年水果产量为100吨，2013年水果产量为144吨，求该果园水果产量的年平均增长率．设该果园水果产量的年平均增长率为x ，则根据题意可列方程为（ ） A ．144（1﹣x ）2=100 B ．100（1﹣x ）2=144 C ．144（1+x ）2=100 D ．100（1+x ）2=144 【答案】D 【解析】 试题分析：2013年的产量=2011年的产量×（1+年平均增长率）2，把相关数值代入即可． 解：2012年的产量为100（1+x ）， 2013年的产量为100（1+x ）（1+x ）=100（1+x ）2， 即所列的方程为100（1+x ）2=144， 故选D ． 点评：考查列一元二次方程；得到2013年产量的等量关系是解决本题的关键． 2．上海世博会的某纪念品原价168元，连续两次降价a %后售价为128元，下面所列方程中正确的是( ) A ．168(1＋a %)2＝128 B ．168(1－a %)2＝128 C ．168(1－2a %)＝128 D ．168(1－a 2%)＝128 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】 解：第一次降价a%后的售价是168（1-a%)元， 第二次降价a%后的售价是168（1-a%)(1-a%)=168(1-a%)2； 故选B. 3．将方程()2 2230x x x m n --=-=化为的形式，指出,m n 分别是（ ） A ．1和3 B ．-1和3 C ．1和4 D ．-1和4 【答案】C 【解析】 【分析】 此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数． 【详解】 移项得x 2-2x=3， 配方得x 2-2x+1=4， 即（x-1）2=4， ∴m=1，n=4．
《二次函数与一元二次方程、一元二次不等式》复习题汇编 【知识梳理】： 1.二次函数与一元二次方程关系非常密切，可以相互转化，若已知函数值，可以利用一元二次方程的知识求自变量的值。 2.从“形”的方面看，函数2 y ax bx c =++的图像与 轴交点的横坐标，即为方程 20ax bx c ++=的解；从“数”的方面看，当二次函数2y ax bx c =++的函数值为 时，相应的自变量的值即为方程2 0ax bx c ++=的解。 3.抛物线2 y ax bx c =++与x 轴有 个， 个， 个交点，相应的一元二次方程 20ax bx c ++=有两个不相等的实数根，两个相等的实数根，没有实数根；反过来，如 果一元二次方程2 0ax bx c ++=有两个不相等的实数根，两个相等的实数根，没有实数 根，那么抛物线2 y ax bx c =++与x 轴有 个， 个， 个交点。 4.二次函数2 y ax bx c =++与一元二次方程2 的关系如下： 5.直线y=kx+b 与抛物线y ax bx c =++有0个、1个、2个交点，则由方程y ax bx c =++； y=kx+b 联立并消元后的一元二次方程分别满足24b ac -＜0、24b ac -=0、2 4b ac -＞0. 6.二次函数与一元二次不等式的关系也非常密切，当c bx ax ++2 ＞0时，则相应的二次函 数图象2y ax bx c =++上的点位于x 轴的上方；当c bx ax ++2 ＜0时，则相应的二次函 数图象2 y ax bx c =++上的点位于x 轴的下方。 7.抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2 与x 轴两交点为 ()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故12b x x a +=- 、12c x x a = ； ()()a a ac b a c a b x x x x x x x x AB ?= -=-?? ? ??-=--= -= -=44422 212 212 2121【典型例题】 例1．已知函数()()()() 2 2 113513x x y x x ?--? =?--??≤＞，则使y=k 成立的x 值恰好有三个，则k 的值为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 例2．已知函数12)3(2++-=x x k y 的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是 A.4 [A 基础达标] 1．函数f (x )＝－x 2＋4x ＋5(0≤x <5)的值域为( ) A ． (0，5] B ．[0，5] C ．[5，9] D ．(0，9] 解析：选D.f (x )＝－x 2＋4x ＋5＝－(x －2)2＋9(0≤x <5)，当x ＝2时，f (x )最大＝9；当x >0且x 接近5时，f (x )接近0，故f (x )的值域为(0，9]． 2．已知函数y ＝x 2－6x ＋8在[1，a )上为减函数，则a 的取值范围是( ) A ．a ≤3 B ．0≤a ≤3 C ．a ≥3 D ．10时，f (x )的对称轴为x ＝12a ，在????－∞，12a 上是递减的，由题意(－∞，2)?? ???－∞，12a ， 所以2≤12a ，即a ≤14 ，综上，a 的取值范围是????0，14. 4．如果函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意的实数x ，都有f (1＋x )＝f (－x )，那么( ) A ．f (－2)＜f (0)＜f (2) B ．f (0)＜f (－2)＜f (2) C ．f (2)＜f (0)＜f (－2) D ．f (0)＜f (2)＜f (－2) 解析：选D.函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意的实数x 都有f (1＋x )＝f (－x )．可知函数f (x )图像的对称轴为x ＝12 ，又函数图像开口向上，自变量离对称轴越远函数值越大，故选D. 5．设二次函数f (x )＝－x 2＋x ＋a (a <0)，若f (m )>0，则f (m ＋1)的值为( ) §2.3.1 二次函数与一元二次方程、不等式（第一课时） 导学目标： 1．从函数观点看一元二次方程．会结合一元二次函数的图象，求解一元二次方程． 2．从函数观点看一元二次不等式．会结合一元二次函数图像，求解一元二次不等式． 3．借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式、方程与其相应函数的联系． （预习教材P 51~ P 53，回答下列问题） 情景：学校要在长为8，宽为6 的一块长方形地面上进行绿化， 计划四周种花卉，花卉带的宽度相同， 中间种植草坪(图中阴影部分)为了美观， 现要求草坪的种植面积超过总面积的一半， 此时花卉带的宽度的取值范围是什么? 【知识点一】一元二次不等式的定义 只含有一个未知数，并且未知数最高次数是2 的不等式叫做一元二次不等式. 其一般形式可表示为：2 0ax bx c ++>或2 0ax bx c ++<()0a ≠ 自我检测1：下列不等式中是一元二次不等式的是( ) A ．22 20a x x +≥ B ． 2 1 3x < C ．20x x m -+-≤ D ．32 410x x x +-+> 【知识点二】一元二次不等式的解法 下图是一元二次函数76y x x =--的图像，请根据图像回答： （1）当x 取 时，0y = 当x 取 时，0y < 当x 取 时，0y > 由上面可知： （2）一元二次不等式2 760x x --<的解集为 一元二次不等式2 760x x --<的解集为 有何发现： 第二章 一元二次函数、方程和不等式 - 2 - （3）一元二次方程2760x x --=的解集为 有何发现： 请归纳求解一元二次不等式()2 00ax bx c ++><的解集的步骤？ 自我检测2：一元二次不等式2 20x x -<的解集是 【知识点三】三个二次之间的关系 请根据右图回答： 一元二次方程()2 00ax bx c a ++=≠、 一元二次不等式()2 00ax bx c a ++>≠ 与其对应的一元二次函数()2 0y ax bx c a =++≠图像的关系？ （1）一元二次方程()2 00ax bx c a ++=≠的两根为21,x x 是一元二次函数 ()20y ax bx c a =++≠图像与x 轴 ． （2）一元二次方程()2 00ax bx c a ++>≠的解集的端点是一元二次方程 ()200ax bx c a ++=≠的 ． （3）一元二次方程()2 00ax bx c a ++=≠的两根为21,x x ，则 ． 自我检测3：不等式2 50ax x c ++>的解集为1 13 2x x ??<≠恒成立的充要条件是：0a >且2 40()b ac x -<∈R ． （2）2 0(0)ax bx c a ++<≠恒成立的充要条件是：0a <且2 40()b ac x -<∈R ． 怀文中学2014—2015学年度第一学期随堂练习 初 三 数 学（5.3二次函数与一元二次方程和不等式(1)） 设计：吴兵 审校：蔡应桃 班级__________ 学号___________ 姓名____________ 一、知识点 1.二次函数与一元二次方程之间的关系是通过 与 的交点来体现的:若抛物线0(2 ≠++=a c bx ax y ）与x 轴的交点为(m ,0)、(n ,0),则对应的一元二次方程 02=++c bx ax 的两根为 . 一元二次方程根的情况对应决定着抛物线与x 轴的交点个数. （1）抛物线2 (0)y ax bx c a =++≠与x 轴有两个交点, 02 =+ +c bx ax ac b 42- 0； （2）抛物线2 (0)y ax bx c a =++≠与x 轴只有一个交点， 02 =++c bx ax ac b 42- 0； （3）抛物线2 (0)y ax bx c a =++≠与x 轴没有交点, 02 =++c bx ax ac b 42- 0. 2.抛物线与直线的交点: ①二次函数图象与x 轴及平行于x 轴的直线； ②二次函数图象与y 轴及平行于y 轴的直线； ③二次函数图象与其它直线(不平行于坐标轴,即一次函数图象). 3.根据示意图求一元二次不等式的解集. 二、典型例题 不画图象，你能判断函数 的图象与x 轴是否有公共点吗？请说明理由。 三、适应练习 1、方程 的根是 ；则函数 的图象与x 轴的交点有 个，其坐标是 ． 2、方程 的根是 ；则函数 的图象与x 轴的 交点有 个，其坐标是 ． 3、下列函数的图象中，与x 轴没有公共点的是（ ） 62 -+=x x y 0542 =-+x x 025102=-+-x x 25102 -+-=x x y 542 -+=x x y 2)(2-=x y A x x y B -=2)(96)(2-+-=x x y C 2)(2+-=x x y D 初中数学方程与不等式之一元二次方程知识点 一、选择题 1．关于x 的一元二次方程ax 2+2x+1=0有两个不相等的实数根，那么a 的取值范围是( ) A ．a ＞1 B ．a=1 C ．a ＜1 D ．a<1且a≠0 【答案】D 【解析】 【分析】 由于原方程是一元二次方程，首先应该确定的是a≠0；然后再根据原方程根的情况，利用根的判别式建立关于a 的不等式，求出a 的取值范围． 【详解】 解：由于原方程是二次方程，所以a≠0； ∵原方程有两个不相等的实数根， ∴△=b 2-4ac=4-4a ＞0，解得a ＜1； 综上，可得a≠0，且a ＜1； 故选D ． 【点睛】 本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系： (1)△＞0?方程有两个不相等的实数根； (2)△=0?方程有两个相等的实数根； (3)△＜0?方程没有实数根． 2．对于一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0），下列说法： ①若b ＝ax 2+bx +c ＝0一定有两个相等的实数根； ②若方程ax 2+bx +c ＝0有两个不等的实数根，则方程x 2﹣bx +ac ＝0也一定有两个不等的实数根； ③若c 是方程ax 2+bx +c ＝0的一个根，则一定有ac +b +1＝0成立； ④若x 0是一元二次方程ax 2+bx +c ＝0的根，则b 2﹣4ac ＝（2ax 0+b ）2，其中正确的（ ） A ．只有①②③ B ．只有①②④ C ．①②③④ D ．只有③④ 【答案】B 【解析】 【分析】 判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△=-24b ac 的值的符号就可以了．④难度较大，用到了求根公式表示0x ． 【详解】 解：①若b =，方程两边平方得b 2＝4ac ，即b 2﹣4ac ＝0，所以方程ax 2+bx +c ＝0一定有两个相等的实数根； ②若方程ax 2+bx +c ＝0有两个不等的实数根，则b 2﹣4ac ＞0 高一数学 必修一 第二章《一元二次函数、方程和不等式》训练题 (18) 一、选择题（本大题共9小题，共45.0分） 1. 若a >b ，则下列正确的是( ) A. a 2>b 2 B. ac >bc C. ac 2>bc 2 D. a ?c >b ?c 2. 不等式?2x 2+x +3≤0的解集是( ) A. {x|?1≤x ≤3 2} B. {x|x ≤?1或x ≥3 2} C. {x|x ≤?3 2或x ≥1} D. {x|?3 2≤x ≤1} 3. 下列各函数中，最小值为2的是( ) A. y =x +1 x B. y =sinx +1 sin x ，x ∈(0,π 2) C. y =2√x 2+2 D. y =x ?2√x +3 4. 下列四个结论中正确的个数是( ) (1)对于命题p:?x 0∈R 使得x 02?1≤0，则?p:?x ∈R 都有x 2?1>0； (2)已知X ～N(2,σ2)，则P(X >2)=0.5 (3)已知回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为(4,5)，则回归直线方程为y ?=2x ?3； (4)“x ≥1”是“x +1 x ≥2”的充分不必要条件． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 5. 已知集合A ={y |y =1 2}，B ={x|x 2<4}，则A ∪B = A. (0,2) B. (?2,2) C. (?1,+∞) D. (?2,+∞) 6. 函数f(x)=?x 2+3x ?2a ，g(x)=2x ?x 2，若f(g(x))≥0对x ∈[0,1]恒成立，则实数a 的取 值范围为 A. (?∞,?2] B. (?∞,?1] C. (?∞,0] D. (?∞,1] 7. 已知函数f(x)=xe x +1 2x 2+x +a ，g(x)=xlnx +1，若存在x 1∈[?2,2]，对任意x 2∈[1 e 2,e]， 都有f (x 1)=g (x 2)，则实数a 的取值范围是( ) A. [?3?1 e ?2e 2,e ?3?2e 2] B. (?3?1 e ?2e 2,e ?3?2e 2) C. [e ?3?2e 2,3 2] D. (e ?3?2e 2,3 2) 8. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若a =4，A =π 3，则该三角形面积的最 大值是( ) A. 2√2 B. 3√3 C. 4√3 D. 4√2 九年级数学第十周拓展训练（部分习题选自《新思维》）（2017.11.5） 1．（永州）抛物线122-++=m x x y 与x 轴有两个不同的交点，则m 的取值范围是----（ ） A ．m ＜2 B ．m ＞2 C ．0＜m≤2 D ．m ＜﹣2 2.(陕西)根据下表中的二次函数c bx ax y ++=2的自变量x 与函数y 的对应值，可判断该二次函数的图 （ ） x … 1- 0 1 2 … y … 1- 47- 2- 4 7- … A.只有一个交点 B.有两个交点，且它们分别在y 轴两侧 C.有两个交点，且它们均在y 轴同侧 D.无交点 3.（宜昌）已知抛物线122+-=x ax y 与x 轴没有交点，那么该抛物线的顶点所在的象限是------（ ） A.第四象限 B.第三象限 C.第二象限 D.第一象限 4．（南宁）二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 和正比例函数x y 3 2=的图象如图所示，则方程0)3 2(2=+-+c x b ax 的两根之和-------------------------------------------------------（ ） A ．大于0 B ．等于0 C ．小于0 D ．不能确定 5.（安徽）如图，一次函数x y =1与二次函数c bx ax y ++=22的图象相交于P 、Q 两点，则函数 c x b ax y +-+=)1(2的图象可能为-----------------------------------------------------（ ） 6.（绵阳）若)(,2121x x x x ＜是方程)(1))((b a b x a x ＜=--的两个根，则b a x x ,,,21的大小关系（ ） A. b a x x ＜＜＜21 B. b x a x ＜＜＜21 C. 21x b a x ＜＜＜ D. 21x b x a ＜＜＜ 7.（泰安）二次函数bx ax y +=2 的图象如图所示，若一元二次方程02=++m bx ax 有实数根，则m 的最大值为-----------------------------------------------------------------------------（ ） A.-3 B.3 C.-6 D.9 第4题 第5题 第7题 一元二次方程练习题 1. 解下列方程：（1）2(1) 9x -=； （2）2(21)3x +=； （3）2(61)250x --=． （4）281(2)16x -=． 2. 用直接开平方法解下列方程： （1）25(21)180y -=； （2）21(31)644 x +=； （3）26(2) 1x +=； （4）2()(00)ax c b b a -=≠，≥ 3. 填空 （1）28x x ++（ ）=（x + ）2．（2）223x x -+（ ）＝（x - ）2． （3）2b y y a -+（ ）＝（y - ）2． 4. 用适当的数（式）填空： 23x x -+ (x =- 2)；2x px -+ ＝(x - 2) 23223(x x x +-=+ 2)+ ． 5. 用配方法解方程． 23610x x --= 22540x x --= 6. 关于x 的方程22291240x a ab b ---=的根1x = ，2x = ． 7. 用适当的方法解方程（1）23(1) 12x +=； （2）2410y y ++=； （3）2884x x -=； （4）2310y y ++=． （5） ()9322=-x ； （6）162=-x x ； 一元二次不等式 2．一元二次不等式20(0)ax bx c a ++>>与相应的函数2(0)y ax bx c a =++>、相应的方程20(0)ax bx c a ++=>之间 1、把二次项的系数变为正的。（如果是负，那么在不等式两边都乘以-1，把系数变为正） 2、解对应的一元二次方程。（先看能否因式分解，若不能，再看△，然后求根） 3、求解一元二次不等式。（根据一元二次方程的根及不等式的方向） 高一数学第二单元一二次函数知识点及测试题 一次函数二次函数知识点： 一、定义与定义式： 自变量x和因变量y有如下关系： y=kx+b 则此时称y是x的一次函数。 特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。 即：y=kx （k为常数，k≠0） 二、一次函数的性质： 1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k 即：y=kx+b （k为任意不为零的实数b取任何实数） 2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。 三、一次函数的图像及性质： 1．作法与图形：通过如下3个步骤 （1）列表； （2）描点； （3）连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。（通常找函数图像与x轴和y轴的交点） 2．性质：（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b。（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像总是过原点。 3．k，b与函数图像所在象限： 当k＞0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大； 当k＜0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。 当b＞0时，直线必通过一、二象限； 当b=0时，直线通过原点 当b＜0时，直线必通过三、四象限。 特别地，当b=O时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。 这时，当k＞0时，直线只通过一、三象限；当k＜0时，直线只通过二、四象限。 四、确定一次函数的表达式： 已知点A（x1，y1）；B（x2，y2），请确定过点A、B的一次函数的表达式。 （1）设一次函数的表达式（也叫解析式）为y=kx+b。 （2）因为在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程：y1=kx1+b …… ①和y2=kx2+b …… ② （3）解这个二元一次方程，得到k，b的值。 （4）最后得到一次函数的表达式。 二次函数 1．解析式、待定系数法 若()2 f x x bx c =++，且()10f =，()30f =，求()1f -的值． 变式1：若二次函数()2 f x ax bx c =++的图像的顶点坐标为()2,1-，与y 轴的交点坐标为(0,11)，则 A ．1,4,11a b c ==-=- B ．3,12,11a b c === C ．3,6,11a b c ==-= D ．3,12,11a b c ==-= 变式2：若()()2 23,[,]f x x b x x b c =-+++∈的图像x =1对称，则c =_______． 变式3：若二次函数()2 f x ax bx c =++的图像与x 轴有两个不同的交点()1,0A x 、()2,0B x ，且 2212269 x x += ，试问该二次函数的图像由()()2 31f x x =--的图像向上平移几个单位得到？ 2．图像特征 将函数()2 361f x x x =--+配方，确定其对称轴，顶点坐标，求出它的单调区间及最大值或最小值，并画出它的图像． 变式1：已知二次函数()2 f x ax bx c =++，如果()()12f x f x =(其中12x x ≠)，则122x x f +?? = ??? A ．2b a - B ．b a - C ． c D ．244ac b a - 变式2：函数()2 f x x px q =++对任意的x 均有()()11f x f x +=-，那么()0f 、()1f -、()1f 的大小关 系是 A ．()()()110f f f <-< B ．()()()011f f f <-< C ．()()()101f f f <<- D ．()()()101f f f -<< 变式3：已知函数()2 f x ax bx c =++的图像如右图所示， 请至少写出三个与系数a 、b 、c 有关的正确命题_________． 3．）单调性 已知函数()2 2f x x x =-，()()2 2[2,4]g x x x x =-∈． (1)求()f x ，()g x 的单调区间；(2) 求()f x ，()g x 的最小值． 变式1：已知函数()2 42f x x ax =++在区间(),6-∞内单调递减，则a 的取值范围是 A ．3a ≥ B ．3a ≤ C ．3a <- D ．3a ≤- x y O 二次函数与一元二次方程、不等式之间的关系(第8课时) 知识回顾： 1如图填空：（1）a____0 2）b___0 （3）c___0 （4）b 2－4ac____0 2如图一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝3 的解为_________________ 探究实践： 例1．画出函数322 --=x x y 的图象，根据图象回答下列问题． （1）图象与x 轴、y 轴的交点坐标分别是什么 （2）当x 取何值时，y=0这里x 的取值与方程0322=--x x 有什么关系 （3）x 取什么值时，函数值y 大于0x 取什么值时，函数值y 小于0 例2、关察图像回答下列问题: 1．特殊代数式求值： ①如图 看图填空：（1）a ＋b ＋c___0 （2）a －b ＋c_____0 （3）2a －b __0 ②如图2a ＋b _______0 4a ＋2b ＋c_______0 2．利用抛物线图象求解一元二次方程及二次不等式 （1）方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根为___________； （2）方程ax 2＋bx ＋c ＝－3的根为__________； （3）方程ax 2＋bx ＋c ＝－4的根为__________； （4）不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为________； （5）不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集为________； （6）不等式－4＜ax 2＋bx ＋c ＜0的解集为________． 课内练习： 1、根据图象填空： （1）a_____0；（2）b_____0；（3）c______0； （4）△＝b 2－4ac_____0；（5）a ＋b ＋c_____0； （6）a －b ＋c_____0；（7）2a ＋b_____0； （8）方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根为__________； （9）当y ＞0时，x 的范围为___________； （10）当y ＜0时，x 的范围为___________； 二次函数综合问题例谈 二次函数是中学代数的基本内容之一，它既简单又具有丰富的内涵和外延. 作为最基本的初等函数，可以以它为素材来研究函数的单调性、奇偶性、最值等性质，还可建立起函数、方程、不等式之间的有机联系；作为抛物线，可以联系其它平面曲线讨论相互之间关系. 这些纵横联系，使得围绕二次函数可以编制出层出不穷、灵活多变的数学问题. 同时，有关二次函数的内容又与近、现代数学发展紧密联系，是学生进入高校继续深造的重要知识基础. 因此，从这个意义上说，有关二次函数的问题在高考中频繁出现，也就不足为奇了. 学习二次函数，可以从两个方面入手：一是解析式，二是图像特征. 从解析式出发，可以进行纯粹的代数推理，这种代数推理、论证的能力反映出一个人的基本数学素养；从图像特征出发，可以实现数与形的自然结合，这正是中学数学中一种非常重要的思想方法. 本文将从这两个方面研究涉及二次函数的一些综合问题. 1. 代数推理 由于二次函数的解析式简捷明了，易于变形（一般式、顶点式、零点式等），所以，在解决二次函数的问题时，常常借助其解析式，通过纯代数推理，进而导出二次函数的有关性质. 1.1 二次函数的一般式c bx ax y ++=2 )0(≠c 中有三个参数c b a ,,. 解题的关键在于：通过三个独立条件“确定”这三个参数. 例1 已知f x ax bx ()=+2 ，满足1≤-≤f ()12且214≤≤f ()，求f ()-2的取值范围. 分析：本题中，所给条件并不足以确定参数b a ,的值，但应该注意到：所要求的结论不是()2-f 的确定值，而是与条件相对应的“取值范围”，因此，我们可以把1≤-≤f ()12和 4)1(2≤≤f 当成两个独立条件，先用()1-f 和()1f 来表示b a ,. 解：由()b a f +=1，()b a f -=-1可解得： ))1()1((2 1 )),1()1((21--=-+= f f b f f a （*） 将以上二式代入f x ax bx ()=+2 ，并整理得 ()()??? ? ??--+???? ??+=2)1(2122x x f x x f x f , ∴ ()()()1312-+=f f f . 又∵214≤≤f ()，2)1(1≤-≤f , ∴ ()1025≤≤f . 第4节从函数的观点看一元二次方程和 一元二次不等式 知识梳理 1.一元二次不等式 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式不等式叫作一元二次不等式. 2.三个“二次”间的关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0Δ＝0Δ＜0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根有两相异实根x1， x2(x1＜x2) 有两相等实根x1＝ x2＝－ b 2a 没有实数根 ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集{x|x＞x2 或x＜x1}?? ? ? ? ? x|x≠－ b 2a R ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2}??3.(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解集 不等式 解集 ab (x－a)·(x－b)>0{x|x (1)f (x ) g (x )>0(<0)?f (x )·g (x )>0(<0). (2)f (x ) g (x )≥0(≤0)?f (x )·g (x )≥0(≤0)且g (x )≠0. [微点提醒] 1.绝对值不等式|x |>a (a >0)的解集为(－∞，－a )∪(a ，＋∞)；|x |0)的解集为(－a ，a ). 记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间. 2.解不等式ax 2＋bx ＋c >0(<0)时不要忘记当a ＝0时的情形. 3.不等式ax 2＋bx ＋c >0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定. (1)不等式ax 2＋bx ＋c >0对任意实数x 恒成立????a ＝b ＝0，c >0或???a >0，Δ<0. (2)不等式ax 2 ＋bx ＋c <0对任意实数x 恒成立????a ＝b ＝0，c <0或???a <0， Δ<0. 基 础 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)若不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞)，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根是x 1和x 2.( ) (2)若不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集为(x 1，x 2)，则必有a ＞0.( ) (3)不等式x 2≤a 的解集为[－a ，a ].( ) (4)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＜0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(a <0)的解集为R .( ) 解析 (3)错误.对于不等式x 2≤a ，当a >0时，其解集为[－a ，a ]；当a ＝0时，其解集为{0}，当a <0时，其解集为?. (4)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a <0)没有实根，则不等式ax 2＋bx ＋c >0(a <0)的解集为?. 答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)× 2.(必修5P103A2改编)已知集合 A ＝???? ?? x ???12x －1≤0，B ＝{x |x 2－x －6<0}，则A ∩B 一元二次方程和不等式 1. 如图，抛物线从 c bx ax y ++=2与x 轴交于点A （1,0），B （3,0），则 (1) a 0, b 0, c 0； (2) 方程02=++c bx ax 的解集为 ； (3) 不等式02>++c bx ax 的解集为 ； (4) 不等式02<++c bx ax 的解集为 ； 2. 如图，是二次函数 c bx ax y ++=21和一次函数n mx y +=2的图象， (1) n x c bx ax +=++m 2的解为 ； (2) 不等式n x c bx ax +>++m 2的解集为 ； (3) 不等式n x c bx ax +<++m 2的解集为 ； 3. 解一元二次不等式 (1) 解不等式0342<+-x x (2) 已知二次函数21x y -=与一次函数432--=x y 交于A 、B 两点 a 、 求A 、B 两点的坐标； b 、判断x 为何值时，21 y y < 4、抛物线c bx ax y ++=2分别交坐标轴于A （-2,0），B （6,0），C （0,4），则402<++≤c bx ax 的解集是 。 y y 2y 1 根与系数关系（一） 基本问题：直线与抛物线相交所截线段长度可用根与系数关系得到。 例1：基本图形，抛物线所截弦长。如图，直线1+=x y 与m m mx x y ++-=222交于A ，B 两点（A 在B 左边）。求证无论m 为任何值，AB 的长总为定值。 例2：(线段和差)如图,抛物线342+-=x x y 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，将直线BC 向上平移交抛物线于M ，N ，交y 轴于点P ，求PM-PN 的 值。 例3：（线段乘积）如图，已知直线k kx 9y -=(k<0)与抛物线322 --=x x y 交于A,B 两点，与x 轴交于点P ，过点A 做AC ⊥x 轴于点C ，过点B 做BD ⊥x 轴于点D ，求证：PC PD ? 为定值。 例4．抛物线L ：y ＝－x 2＋bx ＋c 经过点A (0，1)，与它的对称轴直线x ＝1交于点B (1) 直接写出抛物线L 的解析式 (2) 如图1，过定点的直线y ＝kx －k ＋4（k ＜0）与抛物线L 交于点M 、N ．若 △BMN 的面积等于1，求k 的值 第1课 二次函数在闭区间上的最值 一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。 一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况. 设)0()(2 ≠++=a c bx ax x f ，求)(x f 在][n m x ，∈上的最大值与最小值。 分析：将)(x f 配方，得顶点为???? ? ?--a b ac a b 4422，、对称轴为a b x 2-= 当0>a 时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m ，n]上)(x f 的最值： （1）当[]n m a b ，∈-2时，)(x f 的最小值是 a b ac a b f 4422 -= ?? ? ??-， )(x f 的最大值是)()(n f m f 、中的较大者。 （2）当),(2m a b -∞∈- 时，)(x f 在[]n m ，上是增函数则)(x f 的最小值是)(m f ，最大值是)(n f （3）当),(2+∞∈-n a b 时，)(x f 在[]n m ，上是减函数则)(x f 的最大值是)(m f ，最小值是)(n f 当0 方程与不等式之一元二次方程技巧及练习题 一、选择题 1．已知x 1、x 2是关于x 的方程x 2﹣ax ﹣2=0的两根，下列结论一定正确的是（ ） A ．x 1≠x 2 B ．x 1+x 2＞0 C ．x 1?x 2＞0 D ．x 1＜0，x 2＜0 【答案】A 【解析】 分析：A 、根据方程的系数结合根的判别式，可得出△＞0，由此即可得出x 1≠x 2，结论A 正确； B 、根据根与系数的关系可得出x 1+x 2=a ，结合a 的值不确定，可得出B 结论不一定正确； C 、根据根与系数的关系可得出x 1?x 2=﹣2，结论C 错误； D 、由x 1?x 2=﹣2，可得出x 1＜0，x 2＞0，结论D 错误． 综上即可得出结论． 详解：A ∵△=（﹣a ）2﹣4×1×（﹣2）=a 2+8＞0， ∴x 1≠x 2，结论A 正确； B 、∵x 1、x 2是关于x 的方程x 2﹣ax ﹣2=0的两根， ∴x 1+x 2=a ， ∵a 的值不确定， ∴B 结论不一定正确； C 、∵x 1、x 2是关于x 的方程x 2﹣ax ﹣2=0的两根， ∴x 1?x 2=﹣2，结论C 错误； D 、∵x 1?x 2=﹣2， ∴x 1＜0，x 2＞0，结论D 错误． 故选A ． 点睛：本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键． 2．从4-，2-，1-，0，1，2，4，6这八个数中，随机抽一个数，记为a ．若数a 使关于x 的一元二次方程()22 240x a x a --+=有实数解．且关于y 的分式方程1311y a y y +-=--有整数解，则符合条件的a 的值的和是（ ） A ．6- B ．4- C ．2- D ．2 【答案】C 【解析】 【分析】 由一元二次方程()22240x a x a --+=有实数解，确定a 的取值范围，由分式方程1311y a y y +-=--有整数解，确定a 的值即可判断． 【详解】 高一数学一次函数、二次函数练习题 一、选择题 1.已知一次函数23)2(2--+-=m m x m y ，它的图象在y 轴上的截距为4-，则m 的 值为（ ） A.4- B.2 C.1 D.2或1 2.已知一次函数y ＝kx ＋b ，x ＝1时，y ＝－2，且在y 轴上的截距为－5，那么它的解析式是（ ） A ．y ＝3x ＋5 B ．y ＝－3x －5 C ．y ＝－3x ＋5 D ．y ＝3x －5 3．一次函数k kx y -=，若y 随x 的增大而增大，则它的图象经过 （ ） A.第一、二、三象限 B.第一、三、四象限 C.第一、二、四象限 D.第二、三、四象限 4.已知函数[]355,5y x x =-∈-，则其图象的形状为 （ ） A.一条直线 B.一条线段 C.一系列点 D.不存在 5.如果ab>0，bc<0，那么ax ＋by ＋c ＝0的图象的大致形状是 （ ） 6.二次函数y ＝ax 2 ＋bx ＋c 的图象如右图所示，则( ) A ．a>0，b>0 B ．a>0，c>0 C ．b>0，c>0 D ．a 、b 、c 均 小于0 7.函数()23f x ax bx =++在(],1-∞-上是增函数，在[)1,-+∞上是 减函数，则（ ） A.00b a ><且 B.20b a =< C.20b a => D.,b a 的符号不定 8.已知函数()()2123f x m x mx =-++为偶函数，则()f x 在区间()5,2--上是（ ） A.增函数 B.减函数 C.部分增部分减 D.无法确定单调性 9.若二次函数b x a ax x f +-=2242)(对任意的实数ｘ都满足)3()3(x f x f -=+，则实数ａ的值为 （ ） Ａ．23 Ｂ．－2 3 Ｃ．－３ Ｄ．３北师大版数学高一必修1练习 二次函数的性质
2.3.1 二次函数与一元二次方程、不等式(第一课时)导学案
二次函数与一元二次方程和不等式教学提纲
初中数学方程与不等式之一元二次方程知识点
高一数学 必修一 第二章《一元二次函数、方程和不等式》训练题 (18)-200708(解析版)
二次函数与一元二次方程不等式之间的关系
解一元二次方程及一元二次不等式练习题 -
高一数学函数一二次函数知识点测试题
高一数学《二次函数》试题
次函数与一元二次方程、不等式之间的关系
高中数学专题-二次函数综合问题例谈
第4节 从函数的观点看一元二次方程和一元二次不等式
一元二次方程和不等式
高一数学二次函数在闭区间上的最值练习题
方程与不等式之一元二次方程技巧及练习题
高一数学一次函数二次函数练习题
相关主题
文本预览