c
x x 4.???????><->??<<0)(2021m f m a b m x x 5.????
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)(0)(2021n f m f n a
b m n x x m 9.??
?>?<<<0
)(0
)(21n f m f x n x m
11. ()02
=++=c bx ax x f 在),(n m 内恰有一解0f (m )f (n )??<或0f (m )=（检验另
一根在),(n m 内）或0f (n )=（检验另一根在),(n m 内）
12.????
???><<>?<<<<<0
)(0)(0)(0
)(21q f p f n f m f q x p n x m
讨论二次函数的区间根的分布情况一般需从三方面考虑：①判别式；②区间端点的函数值的符号；③对称轴与区间的相对位置
五、一元二次函数在给定区间上的值域
设()()2
0f x ax bx c a =++>，],[n m x ∈()m n <
1．当a
b
n 2-
<时，()f x 的值域为[]f (n ),f (m)； 2. 当n a b m ≤-
≤2时,2min b f f ()a
=- ，{}max f max f (m),f (n )=；（如果再细分的话，是什么情况呢，让同学思考）
3. 当m a
b
<-
2时，()f x 的值域为[]f (m),f (n ). 讨论二次函数的区间最值问题：①注意对称轴与区间的相对位置；②开口方向 六、二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系
设()()2
0f x ax bx c a =++>
①0?
0f (x )>的解集为R ?不等式的解集为?；
②0?=?函数y f (x )=的图像与x 轴相切?方程0f (x )=有两个相等的实根?不等式0)(>x f 的解集为?
?????-
≠a b x x 2；
③0?>?函数)x (f y =的图像与x 轴有两个不同的交点?方程0)x (f =有两个不等
的实根：）设，βαβα<(?不等式0f (x )>的解集为(,)(,)-∞+∞αβ?不等式0)x (f <的解集为(,)αβ. 例题解析
一、二次函数的概念
【例1】若()()2
23,[,]f x x b x x b c =-+++∈的图像关于1x =对称，则c =_________．
【例2】已知二次函数()2
f x ax bx c =++，如果()()12f x f x =(其中12x x ≠)，则
122x x f +??
= ???
____________. 【例3】若函数()()()
22111f x m x m x =-+-+是偶函数，则在区间(],0-∞上()f x 是
A ．增函数
B ．减函数
C ．常数
D ．可能是增函数，也可能是常数
0f (x )≤
【例4】已知函数()2
f x x kx =-+在[2,4]上是单调函数，则实数k 的取值范围为________．
【巩固训练】
1.若函数()()2
312f x ax bx a b a x a =+++-≤≤是偶函数，则点(),a b 的坐标是________．
2．已知函数2
()f x x ax b =++，且(2)f x +是偶函数，则57(1),(),()22
f f f 的大小关系是( )
A ．57()(1)()22f f f <<
B ．75(1)()()22
f f f <<)
C ．75()(1)()22
f f f << D ．75()()(1)22
f f f <<
3．已知函数2
()22,[5,5]f x x ax x =++∈-，且函数在[5,5]-上是单调函数，则a 的取值范围是____________.
二、和二次函数相关的函数的值域和最值问题
【例5】如果函数f x x ()()=-+112
定义在区间[,1]t t +上，求f x ()的最小值.
【例6】已知函数2
()21f x ax ax =++在区间[3,2]-上的最大值为4，求实数a 的值.
【例7】已知函数2
()2
x f x x =-+在区间[,]m n 上的最小值是3m ，最大值是3n ，求m ，n 的值.
【例8】函数2111x x x y -+-++=
的值域是
【例9】已知函数31++
-=x x y 的最大值为M ，最小值为m ，则
M
m
的值是 【巩固训练】
1．若函数]4,0[,422∈+--=x x x y 的取值范围是____________.
2．设),](1,[,44)(2
R t t t x x x x f ∈+∈--=求函数)(x f 的最小值)(t g 的解析式.
3．函数22214x x y -+=的值域是 4．函数x x y -+-=
53的值域为
5．已知二次函数2
211f (x )ax (a )x =+-+在区间3
[,2]2
-
上的最大值为3，求实数a 的值. 三、一元二次方程根的分布
【例10】求实数m 的范围，使关于x 的方程062)1(22
=++-+m x m x ． （1）有两个实根，且一个比2大，一个比2小． （2）有两个实根βα,，且满足410<<<<βα． （3）至少有一个正根．
【例11】已知a 是实数，函数2
()223f x ax x a =+--，如果函数()y f x =在区间[]11-，上有
零点，求a 的取值范围．
【例12】对于函数()f x ，若存在0x R ∈，使00()f x x =，则称0x 是()f x 的一个不动点，已知函数2
()(1)(1)(0)f x ax b x b a =+++-≠. （1）当1,2a b ==-时，求函数()f x 的不动点；
（2）对任意实数b ，函数()f x 恒有两个相异的不动点，求a 的取值范围．
【例13】设二次函数2
()(0)f x ax bx c a =++>，方程()0f x x -=的两个根12,x x 满足
121
0x x a
<<<
. （1）当1(0,)x x ∈时，证明1()x f x x <<；
（2）函数()f x 的图像关于直线0x x =对称，证明：1
02
x x <.
【巩固训练】
1．已知方程)(0)32()1(242
R m m x m x ∈=++-+有两个负根，求m 的取值范围．
2．已知抛物线2
2y x mx m =-+与直角坐标平面上两点(0,0),(1,1)为端点的线段（除去两个端点）有公共点，求m 取值范围．
3．已知关于x 的二次方程22210x mx m +++=.
(1) 若方程有两根，其中一根在区间(1,0)-内，另一根在区间(1,2)内，求m 的范围. (2) 若方程两根均在区间(0,1)内，求m 的范围.
四、二次函数、一元二次方程及一元二次不等式的联系
【例14】是否存在实数a b c 、、，使关于的不等式2+0ax bx c +>的解为11
32
x -<<？若存在，请解不等式2+0cx bx a --<；若不存在，请说明理由．
【例15】已知不等式组2220
2(25)50
x x x k x k ?-->??+++
【例16】已知二次函数()2
f x ax bx c =++的图象过点()10,-，问是否存在常数a b c 、、，使
不等式()()21
12
x f x x ≤≤
+对一切x R ∈都成立？
【巩固训练】
1．不等式2
0x ax b --<的解集为()23，，则不等式210bx ax -->的解集为__________.
2．已知关于x 的不等式4502≤++≤ax x 恰好有一个解，则a 的值为____________.
3．不等式0122
>--x x
的解集为A ，集合}{0))(52(<++=a x x x B .设Z 为整数集，若
{}2,1--=Z B A ，则实数a 的取值范围是________.
五、二次函数的实际应用问题
【例17】“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v （单位：千克/年）是养殖密度x （单位：尾/立方米）的函数．当x 不超过4（尾/立方米）时，v 的值为2（千克/年）；当
420x ≤≤时，v 是x 的一次函数；当x 达到20（尾/立方米）时，因缺氧等原因，v 的值为0
（千克/年）.
（1）当020x <≤时，求函数()v x 的表达式；
（2）当养殖密度x 为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）()()f x x v x =?可以达到最
大，并求出最大值．
【例18】某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD 是矩形，其中2AB =米，1BC =米；上部CDG 是等边三角形，固定点E 为
AB 的中点．EMN ?是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN 是可
以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB 平行的伸缩横杆．
（1）设MN 与AB 之间的距离为x 米，试将EMN ?的面积S （平方米）表示成关于x 的函数； （2）求EMN ?的面积S （平方米）的最大值．
【巩固训练】
1．通过研究学生的学习行为，专家发现，学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的兴趣激增；中间有一段时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，设)(t f 表示学生注意力随时间t （分钟）的变化规律（)(t f 越大，表明学生的注意力越集中），经过实验分析得知：
??
?
??≤<+-≤<≤≤++-=4020,38072010,240100,10024)(2t t t t t t t f
（1）讲课开始后多少分钟，学生的注意力最为集中？能持续多少分钟？
（2）讲课开始后5分钟和讲课开始后25分钟比较，何时学生的注意力更为集中？
（3）一道数学难题，需要讲解24分钟，并且要求学生的注意力至少达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生达到所需状态下讲授完这道题目？
2．某企业为打入国际市场，决定从A 、B 两种产品中只选择一种进行投资生产．已知投资生产这两种产品的有关数据如下表：（单位：万美元）
其中年固定成本与年生产的件数无关，m 为待定常数，其值由生产A 产品的原材料价格决定，预计]8,6[∈m ．另外，年销售x 件B 产品时需上交20.05x 万美元的特别关税．假设生产出来的产品都能在当年销售出去．
（Ⅰ）写出该厂分别投资生产A 、B 两种产品的年利润12,y y 与生产相应产品的件数x 之间的函数关系并指明其定义域；
（Ⅱ）如何投资才可获得最大年利润？请你做出规划．
六、二次函数的综合应用
【例19】直线1y =与曲线2
||y x x a =-+有四个交点，则实数a 的取值范围是__________. 【例20】设函数()()f x x x bx c x R =++∈给出下列4个命题
① 当0,0==c b 时，0)(=x f 只有一个实数根； ② 当0=c 时，)(x f y =是偶函数； ③ 函数)(x f y =的图像关于点),0(c 对称；
④ 当0,0≠≠c b 时，方程0)(=x f 有两个实数根. 上述命题中，所有正确命题的序号是___________.
【例21】对于定义域为D 的函数)(x f y =，若同时满足：①)(x f 在D 上单调递增或单调递减；②存在区间[]D b a ?,，使)(x f 在[]b a ,上的值域为[]b a ,,那么把)(x f y =（D x ∈）叫做闭函数.
（1）判断函数),0(,1
2)(+∞∈+=
x x
x x f 是否为闭函数？并说明理由； （2）若2)(++=x k x f 是闭函数,求实数k 的取值范围.
【例22】设R ∈a ，函数x a x x x f 2||)(+-?=． （1）若2=a ，求函数)(x f 在区间]3,0[上的最大值； （2）若2>a ，写出函数)(x f 的单调区间（不必证明）；
（3）若存在]4,2[-∈a ，使得关于x 的方程)()(a f t x f ?=有三个不相等的实数解，求实数t 的取值范围．
【巩固训练】
1．已知函数x a x x x f 2||)(+-=，若0>a ，关于x 的方程9)(=x f 有三个不相等的实数解，则a 的取值范围是__________．
2．设关于x 的不等式()()()2
21210x a x a a -+++->和0)(3
2
2
<++-a x a a x )(R a ∈的
解集分别是A 和B. （1）若A
B φ=，求实数a 的取值范围；
（2）是否存在实数a ，使得R B A = ？如果存在，求出a 的值，如果不存在，请说明理由．
3．已知函数a ax x x f -++=3)(2
，R a ∈.研究函数)(x f y =的图像与函数322--=x x y 的图像公共点的个数、坐标，并写出你的研究结论.
反思总结
二次函数是中学代数的基本内容之一，它既简单又具有丰富的内涵和外延。 学习二次函数，可以从两个方面入手：一是解析式，二是图像特征。从解析式出发，可以进行纯粹的代数推理，这种代数推理、论证的能力反映出一个人的基本数学素养；从图像特征出发，可以实现数与形的自然结合，这正是高中数学中一种非常重要的思想方法。而分类讨论是数学中重要的思想方法和解题策略，它是根据研究对象的本质属性的相同点和不同点,将对象分为不同种类然后逐类解决
问题，也是我们解决二次型函数问题的主要方法。
一般地，对于二次函数()[]s t x n m x a y ,,2
∈+-=求最值的问题的基本思路为：根据对称
轴相对定义域区间的位置，利用分类讨论思想方法。为做到分类时不重不漏，可画对称轴相对于定义域区间的简图分类。
①表示对称轴在区间[]s t ,的左侧，②表示对称轴在区间[]s t ,内且靠近区间的左端点，③表示对称轴在区间内且靠近区间的右端点，④表示对称轴在区间[]s t ,的右侧。然后，再根据口诀“开口向上，近则小、远则大”；“开口向下，近则大、远则小”即可快速求出最值。
含参数的二次函数求最值的问题大致分为两种题型，无论哪种题型都围绕着对称轴与定义域区间的位置关系来进行分类讨论。
课后练习
1．函数()x f =()()a bx a x 2+-（常数a ，b ∈R ）是偶函数，且它的值域为[)+∞-,10，则该函数的解析式()x f = .
2．不等式a ax x ->-32对一切43≤≤x 恒成立，则实数a 的取值范围是 ． 3
．函数()f x 的图像关于任意直线l 对称后的图像依然为某函数图像，则()f x 值域为 .
4．已知函数?????<++-≥++=0
,,
0,12)(2
2x c bx x x x ax x f 是偶函数，直线t y =与函数)(x f 的图像自左至右
依次交于四个不同点A 、B 、C 、D ，若||||BC AB =，则实数t 的值为________． 5．已知函数),()(2
R b a b ax x x f ∈++-=的值域为]0,(-∞，若关于x 的不等式1)(->c x f 的解集为)1,4(+-m m ，则实数c 的值为____________.
6．m 为何值时，关于 x 的方程 2
8(1)(7)0x m x m --+-=的两根：
（1）为正数根；（2）为异号根且负根绝对值大于正根；（3）都大于1；
（4）一根大于2，一根小于2；（5）两根在0，2之间.
7．不等式022>++bx ax 的解集是)3
1
,21(-
, 则b a -等于_________. 8．若α、β是关于x 的方程0622=++-k kx x 的两个实根, 则2
2
)1()1(-+-βα的最小 值为 .
9．已知
3
1
1≤≤a , 若1x 2ax )x (f 2+-=在区间]3,1[ 上的最大值为)(a M , 最小值为)(a N , 令)a (N )a (M )a (g -=. (1) 求)a (g 的函数表达式；
(2) 判断)a (g 的单调性, 并求出)a (g 的最小值.
10．设R a ∈，若0>x 时均有()[]()
01112
≥----ax x x a ，则a = .
11．已知()x x f 23-=，()x x x g 22
-=，()()()()()()()
??
?<≥=x g x f x f x g x f x g x F 若若,,，则()x F 的最值是
（ ）
A.最大值为3-，最小值为1-
B.最大值为727-，无最小值
C.最大值为3，无最小值
D.既无最大值，又无最小值
12．若关于x 的方程
24
kx x x =+有四个不同的实数解，则k 的取值范围为多少？
13．已知函数()f x =[)0,+∞，则实数m 的取值范围
是 .
14．已知函数2()|2|f x x ax a =-+（x ∈R ），给出下列四个命题： ① 当且仅当0a =时，()f x 是偶函数； ② 函数()f x 一定存在零点； ③ 函数在区间(,]a -∞上单调递减；
④ 当01a <<时，函数()f x 的最小值为2a a -。 那么所有真命题的序号是 .
15．某公司生产某种消防安全产品，年产量x 台(0100,)x x N ≤≤∈时，销售收入函数
2()300020R x x x =-（单位：百元），其成本函数满足()500C x x b =+（单位：百元）．已知该公司不生产任何产品时，其成本为4000（百元）． （1）求利润函数()P x ；
（2）问该公司生产多少台产品时，利润最大，最大利润是多少？
（3）在经济学中，对于函数()f x ，我们把函数(1)()f x f x +-称为函数()f x 的边际函数，记作
()Mf x ．对于（1）求得的利润函数()P x ，求边际函数()MP x ；并利用边际函数()MP x 的
性质解释公司生产利润情况．（本题所指的函数性质主要包括：函数的单调性、最值、零点等）
16．已知函数=--2()45f x x x .
(1) 在区间-[2,6]上画出函数()f x 的图像；
(2) 设集合{}=≥()5A x f x ，(,2)[0,4][6,)B =-∞-+∞，试判断集合,A B 间的关系，并给出证明；
(3)当>2k 时，求证: 在区间-[1,5]上，=+(3)y k x 的图像位于函数()f x 的上方.
高一寒假讲义1 集合的概念及表示
集合的概念及表示 含答案 知识梳理 1、集合的概念：一般的我们把研究对象统称为 ，把一些元素组成的总体叫做 。 2、集合的3个性质：?? ???的元素顺序无关无序性：集合与组成它元素是互不相同的互异性：集合中任两个必须是确定的确定性：集合中的元素 3、元素与集合的表示：我们通常用 来表示集合，用 来表示元素。 4、元素与集合的关系：①如果a 是集合A 的元素，就说a A ，记作：A a ∈ ②如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作： 注意：属于或不属于（?∈,）一定是用在表示元素与集合间的关系上。 5、集合的分类： （集合含有有限个元素）； 无限集（集合含有 个元素）； 空集（不含任何元素的集合，用记号 表示）。 6、常用集合的表示：自然数集（非负整数集）记作N ； 正整数集记作()+N N *； 整数集记作Z ； 有理数集记作Q ； 实数集记作R 。 注意：（这些特定集合外面不用加{}） 7、集合的表示：（1） ：把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来的表示方法。 注意：一般用列举法，元素是有限的，在不产生歧义的情况下，无限集合也可以用列举法，例：正整数集合｛1，2，3，4，…｝． （2） ：在花括号内先写上表示这个集合一般元素的符号及取值范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。例：{} 4>=x x B （如果元素的取值范围是全体实数，范围可省略不写）。 （3） ：用平面内一条封闭曲线的内部表示一个集合。
知识典例 题型一 基本概念 例1 下列各组对象中能构成集合的是（ ） A ．充分接近3的实数的全体 B ．数学成绩比较好的同学 C ．小于20的所有自然数 D ．未来世界的高科技产品 【答案】C 巩固练习 1、判断下面例子能否组成集合？ （1）大于3小于12的所有偶数； （2）我国的小河流。 2、判断下面例子能否组成集合？ 中国的直辖市； （2）身材较高的人 3、已知元素2x 在集合｛1，0，x ｝内，求实数x 的值 4、集合｛a ，b ，c ｝中元素是三角形三边，则这个三角形不可能是 三角形． 题型二 元素与集合的关系 例 2 用符号“∈”或“?”填空：（1）2_____N ；（2）3Q ；（3）13______Z ；（4）3.14______R ；（5）3-______N ；（69Q . 【答案】∈ ? ? ∈ ? ∈ 巩固练习 1、用符号“∈”或“?”填空 （1）N __0 （2）Z _____14.3 （3）Q ______π （4）N _____14.3 2、下列写法正确的是（ ） A ．??{}0
(北师大版)高一数学必修1全套教案
(北师大版)高一数学必修1全套教案
第一章集合 课题:§0 高中入学第一课（学法指导） 教学目标：了解高中阶段数学学习目标和基本能力要求，了解新课程标准的基本思路，了解高考意向，掌握高中数学学习基本方法，激发学生学习数学兴趣，强调布置有关数学学习要求和安排。 教学过程： 一、欢迎词： 1、祝贺同学们通过自己的努力，进入高一 级学校深造。希望同学们能够以新的行动， 圆满完成高中三年的学习任务，并祝愿同 学们取得优异成绩，实现宏伟目标。 2、同学们军训辛苦了，收获应是：吃苦耐 劳、严肃认真、严格要求 3、我将和同学们共同学习高中数学，暂定 一年，… 4、本节课和同学们谈谈几个问题：为什么 要学数学？如何学数学？高中数学知识结
构？新课程标准的基本思路？本期数学教 学、活动安排？作业要求？ 二、几个问题： 1.为什么要学数学：数学是各科之研究工具，渗透到各个领域；活脑，训练思维；计算机等高科技应用的需要；生活实践应用的需要。 2.如何学数学： 请几个同学发表自己的看法→共同完善归纳为四点：抓好自学和预习；带着问题认真听课；独立完成作业；及时复习。注重自学能力的培养，在学习中有的放矢，形成学习能力。 高中数学由于高考要求，学习时与初中有所不同，精通书本知识外，还要适当加大难度，即能够思考完成一些课后练习册，教材上每章复习参考题一定要题题会做。适当阅读一些课外资料，如订阅一份数学报刊，购买一本同步辅导资料. 3.高中数学知识结构： 书本：高一上期（必修①、②），高一下期（必
修③、④），高二上期（必修⑤、选修系列）， 高二下期（选修系列），高三年级：复习资 料。 知识：密切联系，必修（五个模块）＋选修系列（4个系列，分别有2、3、6、10个模块）能力：运算能力、逻辑思维能力、空间想像能力、分析和解决实际问题的能力、应用能力。 4.新课程标准的基本理念： ①构建共同基础，提供发展平台；②提供多样课程，适应个性选择；③倡导积极主动、勇于探索的学习方式；④注重提高学生的数学思维能力；⑤发展学生的数学应用意识；⑥与时俱进地认识“双基”；⑦强调本质，注意适度形式化；⑧体现数学的文化价值；⑨注重信息技术与数学课程的整合；⑩建立合理、科学的评价体系。 5.本期数学教学、活动安排： 本期学习内容：高一必修①、②，共72课时，
讲义高一数学必修一函数复习
函数的有关概念1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A →B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x 的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域． 2．定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是： (1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零； (4)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合. (5)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (6)指数为零底不可以等于零， (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. 3. 相同函数的判断方法：（满足以下两个条件） ①定义域一致 (化简前) ②表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）； 4．值域：先考虑其定义域 （1）图像观察法（掌握一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数、
)0,(>+ =b a x b ax y 三角函数等的图像，利用函数单调性） （2）基本不等式 （3）换元法 （4）判别式法 5. 函数图象知识归纳 (1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (x ∈A)中的x 为横坐标，函数值y 为纵坐标的点P(x ，y)的集合C ，叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象．C 上每一点的坐标(x ，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x 、y 为坐标的点(x ，y)均在C 上 . (2) 画法 描点法 图象变换法：常用变换方法有三种：平移变换 伸缩变换 对称变换 6．区间的概念 （1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间 （2）无穷区间 （3）区间的数轴表示． 7．映射 一般地，设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射。记作“f （对应关系）：A （原象）→B （象）” 对于映射f ：A →B 来说，则应满足： (1)集合A 中的每一个元素，在集合B 中都有象，并且象是唯一的；
人教A版高中数学同步辅导与检测必修1全集
第一章集合与函数概念 1.1 集合 1.1.1 集合的含义与表示 第1课时集合的含义 A级基础巩固 一、选择题 1．已知集合A中的元素x满足－5≤x≤5，且x∈N*，则必有( ) A．－1∈A B．0∈A C.3∈A D．1∈A 解析：－5≤x≤5，且x∈N*， 所以x＝1，2，所以1∈A. 答案：D 2．下列各对象可以组成集合的是( ) A．中国著名的科学家 B．2017感动中国十大人物 C．高速公路上接近限速速度行驶的车辆 D．中国最美的乡村 解析：看一组对象是否构成集合，关键是看这组对象是不是确定的，A，C，D选项没有一个明确的判定标准，只有B选项判断标准明确，可以构成集合． 答案：B
3．由x2，2|x|组成一个集合A中含有两个元素，则实数x的取值可以是( ) A．0 B．－2 C．8 D．2 解析：根据集合中元素的互异性，验证可知a的取值可以是8. 答案：C 4．已知集合M具有性质：若a∈M，则2a∈M，现已知－1∈M，则下列元素一定是M中的元素的是( ) A．1 B．0 C．－2 D．2 解析：因为a∈M，且2a∈M，又－1∈M， 所以－1×2＝－2∈M. 答案：C 5．由a2，2－a，4组成一个集合A，A中含有3个元素，则实数a的取值可以是( ) A．1 B．－2 C．6 D．2 解析：因A中含有3个元素，即a2，2－a，4互不相等，将选项中的数值代入验证可知答案选C. 答案：C 二、填空题 6．由下列对象组成的集体属于集合的是________(填序号)． ①不超过10的所有正整数； ②高一(6)班中成绩优秀的同学； ③中央一套播出的好看的电视剧；
高一数学同步辅导上课讲义
对数函数及其性质 【要点梳理】 要点一、对数函数的概念 1．函数y=log a x(a>0，a ≠1)叫做对数函数.其中x 是自变量，函数的定义域是()0,+∞，值域为R ． 2．判断一个函数是对数函数是形如log (0,1)a y x a a =>≠且的形式，即必须满足以下条件： （1）系数为1； （2）底数为大于0且不等于1的常数； （3）对数的真数仅有自变量x ． 要点诠释： （1）只有形如y=log a x(a>0，a ≠1)的函数才叫做对数函数，像log (1),2log ,log 3a a a y x y x y x =+==+等函数，它们是由对数函数变化得到的，都不是对数函数． （2）求对数函数的定义域时应注意：①对数函数的真数要求大于零，底数大于零且不等于1；②对含有字母的式子要注意分类讨论． a ＞0 0＜a ＜1 图象 性质 定义域：（0，+∞） 值域：R 过定点（1，0），即x=1时，y=0 在（0，+∞）上增函数 在（0，+∞）上是减函数 当0＜x ＜1时，y ＜0， 当x ≥1时，y ≥0 当0＜x ＜1时，y ＞0， 当x ≥1时，y ≤0 要点诠释： 关于对数式log a N 的符号问题，既受a 的制约又受N 的制约，两种因素交织在一起，应用时经常出错.下面介绍一种简单记忆方法，供同学们学习时参考. 以1为分界点，当a ，N 同侧时，log a N>0；当a ，N 异侧时，log a N<0. 要点三、底数对对数函数图象的影响 1．底数制约着图象的升降． 如图 要点诠释： 由于底数的取值范围制约着对数函数图象的升降（即函数的单调性），因此在解与对数函数单调性有关的问题时，必须考虑底数是大于1还是小于1，不要忽略． 2．底数变化与图象变化的规律
高一数学讲义完整版
高一数学复习讲义09年版 函数部分(1) 重点：1把握函数基本知识（定义域、值域） x（a>0、<0) 主要是指数函数y=a x（a>0、<0),对数函数y=log a 2二次函数（重点）基本概念（思维方式）对称轴、 开口方向、判别式 考点1：单调函数的考查 2：函数的最值 3：函数恒成立问题一般函数恒成立问题(重点讲) 4：个数问题（结合函数图象） 3反函数（原函数与对应反函数的关系）特殊值的取舍 4单调函数的证明(注意一般解法） 简易逻辑(较容易) 1. 2. 3. 4.
启示：对此部分重点把握第3题、第4题的解法（与集合的关系） 问题1：恒成立问题解法及题型总结(必考) 一般有5类：1、一次函数型：形如：给定一次函数y=f(x)=ax+b(a≠0),若y=f(x)在[m, n]内恒有f(x)>0(<0) 练习：对于满足0-4x+p-3恒成立的x的取值范围 2、二次函数型:若二次函数y=ax2+bx+c=0(a≠0)大于0恒成立,则有a>0Δ<0若是二次函数在指定区间上的恒成立问题,还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解 练习：1设f(x)=x2-2ax+2,当x∈[-1, +∞)时,都有f(x)>a恒成立, a的取值范围 2关于x的方程9x+(4+a)3x+4=0恒有解,求a的范围。 3、变量分离型 若在等式或不等式中出现两个变量,其中一个变量的范围已知,另一个变量的范围为所求,且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边,则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解 练习：若1-ax>1/(1+x),当对于x∈[0, 1]恒成立,求实数a的取值范围。 4利用图象 练习：当x∈(1, 2)时,不等式(x-1)22019-2020学年高一数学《集合及其运算》全套讲义(精品)
2019-2020学年高一数学《集合及其运算》全套讲义 知识点总结及例题讲解 一、集合的含义 1.集合中元素的特性：确定性、互异性和无序性． 2．元素与集合的关系 (1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A. (2)不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a不属于A，记作a?A. 3.常见的数集及表示符号 【例1】 ①中国各地最美的乡村； ②直角坐标系中横、纵坐标相等的点； ③不小于3的自然数； ④2018年第23届冬季奥运会金牌获得者． A．③④B．②③④ C．②③D．②④ B[①中“最美”标准不明确，不符合确定性，②③④中的元素标准明确，均可构成集合，故选B.] 判断一组对象能否组成集合的标准 判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合.同时还要注意集合中元素的互异性、无序性. 1．判断下列说法是否正确，并说明理由．
(1)大于3小于5的所有自然数构成一个集合； (2)直角坐标平面内第一象限的一些点组成一个集合； (3)方程(x－1)2(x＋2)＝0所有解组成的集合有3个元素． [解](1)正确，(1)中的元素是确定的，互异的，可以构成一个集合． (2)不正确，“一些点”标准不明确，不能构成一个集合． (3)不正确，方程的解只有1和－2，集合中有2个元素． 【例2】 ①π∈R；②2?Q；③0∈N*；④|－5|?N*. A．1B．2 C．3D．4 (2)已知集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，那么a为() A．2 B．2或4 C．4 D．0 (1)B(2)B[(1)①π是实数，所以π∈R正确； ②2是无理数，所以2?Q正确；③0不是正整数，所以0∈N*错误；④|－5|＝5为正整数，所以|－5|?N*错误．故选B. (2)集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，a＝2∈A,6－a＝4∈A， 所以a＝2， 或者a＝4∈A,6－a＝2∈A， 所以a＝4， 综上所述，a＝2或4.故选B.] 判断元素与集合关系的两种方法 (1)直接法：如果集合中的元素是直接给出的，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可. (2)推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征.
高一数学教程视频 全集
高一数学教程视频全集 教材指导高一数学01教材指导高一数学02教材指导高一数学03教材指导高一数学04教材指导高一数学05 教材指导高一数学06教材指导高一数学07教材指导高 一数学08教材指导高一数学09教材指导高一数学10教材指导高一数学11教材指导高一数学12教材指导高一 数学13教材指导高一数学14教材指导高一数学15教材指导高一数学16教材指导高一数学17教材指导高一数 学18教材指导高一数学19教材指导高一数学20教材指导高一数学21教材指导高一数学22教材指导高一数学23教材指导高一数学24教材指导高一数学25教材指导 高一数学26高一数学教程视频内容简介：这部高一数 学教学总结就在星火视频高一数学教程视频是由特级教师 主讲的精品数学教程，老师在教程里不仅教授学生课本知识，扩展数学知识，教授学生答题方法，而且为老师的高一数学教学总结提供参考。所以观看高一数学教学总结就在星火视频高一数学教程视频无论是老师还是学生都一定会受益匪 浅的。高一数学教学总是老师对所进行的高一学期教学工作、教学方法、教学疑难以及教学成果的总结是老师做好数学教学工作以及工作经验积累的良方。认真备课，做到既备学生又备教材与备教法是高一教学总结的第一点。根据教材内容
及学生的实际情况设计课程教学，拟定教学方法，并对教学过程中遇到的问题尽可能的预先考虑到，认真写好教案。每一课都做到“有备而去”，每堂课都在课前做好充分的准备， 课后及时对该课作出小结，并认真整理每一章节的知识要点，帮助学生进行归纳总结。增强上课技能，提高教学质量是高一教学总结的第二点。增强上课技能，提高教学质量是我们每一名新教师不断努力的目标。追求课堂讲解的清晰化，条理化，准确化，条理化，情感化，生动化;努力做到知识线索清晰，层次分明，教学言简意赅，深入浅出。我深知学生的积极参与是教学取得较好的效果的关键。所以在课堂上我特别注意调动学生的积极性，加强师生交流，充分体现学生在学习过程中的主动性，让学生学得轻松，学得愉快。他们强调让一定要注意精讲精练，在课堂上讲得尽量少些，而让学生自己动口动手动脑尽量多些;同时在每一堂课上都充分考 虑每一个层次的学生学习需求和接受能力，让各个层次的学生都得到提高。虚心向其他老师学习，在教学上做到有疑必问是高一教学总结的第三点。在每个章节的学习上都积极征求其他有经验老师的意见，学习他们的方法。同时多听老教师的课，做到边听边学，给自己不断充电，弥补自己在教学上的不足，并常请备课组长和其他教师来听课，征求他们的意见，改进教学工作。认真批改作业、布置作业有针对性，有层次性。是高一教学总结的第四点。作业是学生对所学知
高一数学同步辅导
高一数学同步辅导：函数的性质 1、若函数m x y -= 与其反函数的图象有公共点,则m 的取值范围是 ( ) (A)m ≥41 (B)m ≤41 (C)m ≥0 (D)m ≤0 2、函数y=x 2＋2x(x ＜－1)的反函数是 ( ) (A)y= 1+x －1(x ＜－1 ) (B)y=1+x －1(x ＞－1) (C)y=－1+x －1(x ＜-1) (D)y=－1+x －1(x ＞－1) 3、若函数f(x)=m x x +-2 的反函数f －1 (x)=f(x),则m 的值是 ( ) (A)1 (B)－1 (C)2 (D)－2 4、设f(x)= 3412++x x (x ∈R,且x ≠－43),则f －1(2)的值等于 ( ) (A)65 - (B)52- (C)52 (D)115 5、已知函数y=f(x)是偶函数,其图象与x 轴有四个交点,则方程f(x)=0的所有实数根之和为 （ ） (A)4 (B)2 (C)1 (D)0 6、奇函数y=f(x)在区间[3,7]上是增函数,且最小值为－5,那么f(x)在区间[－7,－3]上（ ） (A)是增函数且最小值为5 (B)是增函数且最大值为5 (C)是减函数且最小值为5 (D)是减函数且最大值为5 7、当21 ≤x ≤2时,函数y=x+ x 1的值域为 ( ) (A)[2,+∞] (B)[2 21 ,+∞] (C)[2,221 ] (D)(0,+∞) 8、若x x x f 1 )(-=,则对任意不为零的实数x 恒成立的是 ( ) (A)f(x)=f(－x) (B)??? ??=x f x f 1)( (C)??? ??-=x f x f 1)( (D)f(x)·01=??? ??x f 9、若函数y=f(x)是函数)10(222≤≤--=x x y 的反函数，则y=f(x)的图象是( ) 10、给定如下四个命题： (1)奇函数必有反函数； (2)由于函数 y = f (x )和其反函数y = f －1(x )的图象关于直线y = x 对称，所以y ＝f (x )
高一数学讲义_集合间的基本关系
集合间得基本关系 一、子集、空集等概念得教学: 比较下面几个例子,试发现两个集合之间得关系: (1),; (2),; (3), 1.子集得定义: 对于两个集合A,B,如果集合A得任何一个元素都就是集合B得元素,我们说这两个集合有包含关系,称集合A就是集合B得子集(subset)。记作: 读作:A包含于(is contained in)B,或B包含(contains)A 当集合A不包含于集合B时,记作 用Venn图表示两个集合间得“包含”关系: 2.集合相等定义: 如果A就是集合B得子集,且集合B就是集合A得子集,则集合A与集合B中得元素就是一样得,因此集合A与集合B相等,即若,则。 如(3)中得两集合。 3.真子集定义: 若集合,但存在元素,则称集合A就是集合B得真子集(proper subset)。记作: A B(或 B A) 读作:A真包含于B(或B真包含A) 4.空集定义: 不含有任何元素得集合称为空集(empty set),记作:。 用适当得符号填空: ; 0 ; ; 重要结论:
（1）空集就是任何集合得子集; （2）空集就是任何非空集合得真子集; （3）任何一个集合就是它本身得子集; （4）对于集合A,B,C,如果,且,那么。 说明: 1．注意集合与元素就是“属于”“不属于”得关系,集合与集合就是“包含于”“不包含于”得关系; 2．在分析有关集合问题时,要注意空集得地位。 三、例题讲解: 例1.若集合B A,求m得值。 (m=0或) 例2.已知集合且, 求实数m得取值范围。() 集合得基本运算㈠ 教学目标: (1)理解交集与并集得概念; (2)掌握交集与并集得区别与联系; (3)会求两个已知集合得交集与并集,并能正确应用它们解决一些简单问题。 一、复习回顾: 1.已知A={1,2,3},S={1,2,3,4,5},则A S;{x|x∈S且xA}= 。 2.用适当符号填空: 0 {0}; 0 Φ; Φ {x|x＋1＝0,x∈R} {0} {x|x<3且x>5}; {x|x>6} {x|x<－2或x>5} ; {x|x>－3} {x>2} 二、交集、并集概念及性质得教学: 思考1:考察下列集合,说出集合C与集合A,B之间得关系: (1),; （2）,; 1.并集得定义:
高中数学竞赛讲义
高中数学竞赛资料 一、高中数学竞赛大纲 全国高中数学联赛 全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。 全国高中数学联赛加试 全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是： 1.平面几何 几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。几何不等式。几何极值问题。几何中的变换：对称、平移、旋转。圆的幂和根轴。面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。 2.代数 周期函数，带绝对值的函数。三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。 第二数学归纳法。平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。 复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。 n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。 函数迭代，简单的函数方程* 3.初等数论 同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。
4.组合问题 圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。组合计数，组合几何。抽屉原理。容斥原理。极端原理。图论问题。集合的划分。覆盖。平面凸集、凸包及应用*。 注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。 二、初中数学竞赛大纲 1、数 整数及进位制表示法，整除性及其判定；素数和合数，最大公约数与最小公倍数；奇数和偶数，奇偶性分析；带余除法和利用余数分类；完全平方数；因数分解的表示法，约数个数的计算；有理数的概念及表示法，无理数，实数，有理数和实数四则运算的封闭性。 2、代数式 综合除法、余式定理；因式分解；拆项、添项、配方、待定系数法；对称式和轮换对称式；整式、分工、根式的恒等变形；恒等式的证明。 3、方程和不等式 含字母系数的一元一次方程、一元二次方程的解法，一元二次方程根的分布；含绝对值的一元一次方程、一元二次方程的解法；含字母系数的一元一次不等式的解法，一元二次不等式的解法；含绝对值的一元一次不等式；简单的多元方程组；简单的不定方程（组）。 4、函数 二次函数在给定区间上的最值，简单分工函数的最值；含字母系数的二次函数。 5、几何 三角形中的边角之间的不等关系；面积及等积变换；三角形中的边角之间的不等关系；面积及等积变换；三角形的心（内心、外心、垂心、重心）及其性质；相似形的概念和性质；圆，四点共圆，圆幂定理；四种命题及其关系。 6、逻辑推理问题 抽屉原理及其简单应用；简单的组合问题简单的逻辑推理问题，反证法；
南京市金陵中学高一数学同步辅导教材[整理]
南京市金陵中学高一数学同步辅导教材一、本讲教学进度 1．5（P23-24） 二、本讲内容 1．一元二次不等式>和<的解法. 2．可化为一元一次不等式组的分式不等式. 3．二次函数在给定范围内的最值. 三、重点、难点选讲 1．一元二次不等式>和<的解法. ⑴因一元二次方程的两个根是，故有 一元二次不等式>，(<)的解集为<，或>. 一元二次不等式<，(<)的解集为<<. ⑵引用上述结论时，必须注意不等式右边为零，两个括号中的系数为1的条件. 例1解不等式： ⑴≤； ⑵>； ⑶≤. 解：⑴原不等式即≤， 整理得≥， ≥. ∴不等式的解集为≤，或≥. ⑵∵≥, ∴由，得不是原不等式的解. 当，得>， 即<，<<. ∴原不等式的解集为<<，且.
⑶∵>, ∴原不等式与≤同解， ∴原不等式的解集为≤≤. 评析第⑵题中，因≥，故只需考虑是否满足不等式，就可以在原不等式中将 除去. 例2解关于的不等式：>（,R）. 解：原不等式可化为<. . ⑴>时，>，∴不等式的解集是<<. ⑵当时，，∴不等式的解集是. ⑶当<<时，<，∴不等式的解集是. ⑷当<<时，>，∴不等式的解集是 ⑸当时，，∴不等式的解集是. ⑹当<时，<，∴不等式的解集是. 2．可化为一元一次不等式组的分式不等式 ⑴不等式>与二次不等式>同解；不等式<与二次不等式 <同解.
⑵不等式≥的解集是不等式>的解集与集合的并集；不等式 ≤的解集是不等式<的解集与集合的并集. 例3解不等式： ⑴≥；⑵≥. 解：(1)原不等式等价于≤. ∴不等式的解集是 = (2)原不等式等价于. ∴不等式的解集是 评析：对带有等号的不等式求解，可以在相应的不含等号的不等式的解集中，增加使分子等于零的值，就得到所求解集. 例4：求不等式的解集. ①等价. 解：不等式与不等式组 ,② 由①，, ∴
高一数学必修一讲义1.1集合
本讲主要学习集合含义与表示，集合基本关系，集合基本运算三个方面，集合表示法一般含有_______和_______两种，通过学习要了解这两种方法的区别与联系，在此之外还学习了集合间的包含关系与相等关系，以及集合间的并集、交集、补集的含义，通过本部分的学习，同学们要了解集合的含义，能用Venn图表示集合的关系及运算。 一、重难点知识归纳 (一)元素与集合的含义 元素: 研究的对象 集合概念: 一些________组成的总体(简称集) 属于: 如果a是集合A的元素，就说a________集合A，记作________；如果a不是集合A中的元素，就说a_______集合A，记作________。 (二)列举法与描述法 列举法: 把集合的元素一一列举出来，并用_______括起来表示集合的方法叫做列举法. 描述法: 用集合所含元素的_________表示集合的方法称为描述法. 在学习过程中，我们要学会如何选择表示法表示集合，列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法。一般情况下，对有限集，在元素不太多的情况下，宜采用_________，它具有直观明了的特点；对无限集，一般采用_________表示。 (三)子集、真子集、空集
子集: 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中的_______元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为集合B的________，记作________,读做“A包含于B”(或“__________”). 真子集: 如果集合，但存在元素，且，我们称集合A是集合B的_________，记作____________ 空集:_________的集合叫做空集，记作________，并规定：空集是任何集合的___________ Venn图: 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图. 学习这几个概念时，应注意一下几点： ①若集合A是集合B的真子集，那么集合A必是集合B的_________，反之则不一定。 ②若集合A与集合B中的元素是一样的，则集合A与集合B________。 ③元素与集合之间是__________关系，而集合与集合之间则是___________关系，如设A={a},B={a,b}，则有a____B，A_____B ④集合中元素的特征:_________；_________；_________ 5、如果集合A中有n个元素，则A的子集个数是__________，真子集个数是___________。 (四)并集、交集、补集
2020年上海新高一新教材数学讲义-专题21 期中复习(学生版)
专题21 期中复习 知识梳理 一、集合与命题 1．区分集合中元素的形式： 2．研究集合必须注意集合元素的特征，即集合元素的三性：确定性、互异性、无序性． 3．集合的性质：① 任何一个集合P 都是它本身的子集，记为P P ?． ① 空集是任何集合P 的子集，记为P ??． ① 空集是任何非空集合P 的真子集，记为P ? ． 注意：若条件为B A ?，在讨论的时候不要遗忘了?=A 的情况． 集合的运算：①()()C B A C B A =、()()C B A C B A =； ()( )( )U U U A B A B =、 ()( )( )U U U A B A B =． ①U U U A B A A B B A B B A A B =?=??? ? ?=?． ①对于含有n 个元素的有限集合M ，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数 依次为：n 2、12-n 、12-n 、22-n ． 4．命题是表达判断的语句．判断正确的叫做真命题；判断错误的叫做假命题． ① 命题的四种形式及其内在联系：
原命题：如果α，那么β； 逆命题：如果β，那么α； 否命题：如果α，那么β； 逆否命题：如果β，那么α； ① 等价命题：对于甲、乙两个命题，如果从命题甲可以推出命题乙，同时从命题乙也可以推出命题甲，既“甲?乙”，那么这样的两个命题叫做等价命题． ① 互为逆否命题一定是等价命题，但等价命题不一定是互为逆否命题． ① 当某个命题直接考虑有困难时，可通过它的逆否命题来考虑． 5．常见结论的否定形式： 6．充要条件： 在判断“充要条件”的过程中，应注意步骤性： 首先必须区分谁是条件、谁是结论，然后由推导关系判断结果． 二、不等式
高一数学必修①第一章_集合与函数概念讲义
心智家三优教育高一特训营数学教学进度表
¤学习目标：通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；能选择自然语言、图形语言、 集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征. ¤知识要点： 1. 把一些元素组成的总体叫作集合（set ），其元素具有三个特征，即确定性、互异性、无序性. 2. 集合的表示方法有两种：列举法，即把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来，基本形式为123{,,,,}n a a a a ???，适用于有限集或元素间存在规律的无限集. 描述法，即用集合所含元素的共同特征来表示，基本形式为{|()x A P x ∈}，既要关注代表元素x ，也要把握其属性()P x ，适用于无限集. 3. 通常用大写拉丁字母,,,A B C ???表示集合. 要记住一些常见数集的表示，如自然数集N ，正整数集*N 或 N +，整数集Z ，有理数集Q ，实数集R . 4. 元素与集合之间的关系是属于（belong to ）与不属于（not belong to ），分别用符号∈、?表示，例如3N ∈， 2N -?. ¤例题精讲： 【例1】试分别用列举法和描述法表示下列集合： （1）由方程2(23)0x x x --=的所有实数根组成的集合； （2）大于2且小于7的整数. 【例2】用适当的符号填空：已知{|32,}A x x k k Z ==+∈，{|61,}B x x m m Z ==-∈，则有： 17 A ； －5 A ； 17 B . 【例3】试选择适当的方法表示下列集合：（教材P 6 练习题2， P 13 A 组题4） （1）一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点组成的集合； （2）二次函数24y x =-的函数值组成的集合； （3）反比例函数2 y x =的自变量的值组成的集合. *【例4】已知集合2{| 1}2 x a A a x +==-有唯一实数解，试用列举法表示集合A ．
上海(沪教版)数学高一下学期同步辅导讲义教师版：第十二讲 等差数列
沪教版数学高一下春季班第12讲 课题 等差数列 单元 第章 学科 数学 年级 十 学习 目标 1.掌握等差数列的概念； 2.熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式； 3.灵活掌握等差数列的性质； 4.等差数列求最值。 重点 1.熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式； 2.灵活掌握等差数列的性质； 难点 3.灵活掌握等差数列的性质； 数列通项公式求法： 1、等差数列的定义: ①如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示 2、等差数列的判定方法: ②定义法：对于数列{}n a ，若d a a n n =-+1(常数)，则数列{}n a 是等差数列 ③等差中项：对于数列{}n a ，若212+++=n n n a a a ，则数列{}n a 是等差数列 3、等差数列的通项公式: ④如果等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则等差数列的通项为d n a a n )1(1-+=该公式整 教学安排 版块 时长 1 知识梳理 30 2 例题解析 60 3 巩固训练 20 4 师生总结 10 5 课后练习 30 知识梳理
4、等差数列的前n 项和: ⑤2) (1n n a a n S += ⑥d n n na S n 2 )1(1-+= 对于公式2整理后是关于n 的没有常数项的二次函数 5、等差中项: ⑥如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项即：2 b a A += 或b a A +=2 在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项 6、等差数列的常用性质: ⑦等差数列任意两项间的关系：如果n a 是等差数列的第n 项，m a 是等差数列的第m 项，且 n m ≤，公差为d ，则有d m n a a m n )(-+= ⑧对于等差数列{}n a ，若q p m n +=+，则q p m n a a a a +=+ ⑨若数列{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，* N k ∈，那么k S ，k k S S -2，k k S S 23-成等 差数列 7、奇数项和与偶数项和的关系： ⑩设数列{}n a 是等差数列，奇S 是奇数项的和，偶S 是偶数项项的和，n S 是前n 项的和，则有如下性质： 前n 项的和偶奇S S S n += 当n 为偶数时，d 2 n S = -奇偶S ，其中d 为公差； 当n 为奇数时，则中偶奇a S =-S ，中奇a 21n S +=，中偶a 2 1 n S -=， 11S S -+=n n 偶奇，n =-+=-偶奇偶奇偶奇S S S S S S S n 8前n 项和与通项的关系： （11）若等差数列 {}n a 的前12-n 项的和为12-n S ，等差数列{}n b 的前12-n 项的和为'12-n S ，则 '1 2 1 2--n n n n S b a 9、等差数列的单调性 等差数列公差为d ，若d>0,则数列递增；若d<0,则数列递减；若d=0,则数列为常数列。 10、等差数列的最值 ○ 11若{}n a 是等差数列，求前n 项和的最值时， （1）若1 a >0,d<0,且满足10 n n a a +≥?? ≤?，前n 项和n S 最大； a ≤?
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第一讲 集合 知识要点一： 集合的有关概念 ⑴某些指定的对象集在一起就成为一个集合，这些研究对象叫做元素。 ⑵集合中元素的特性：?? ? ??的元素顺序无关无序性：集合与组成它元素是互不相同的互异性：集合中任两个必须是确定的确定性：集合中的元素 注意：这三条性质对于研究集合有着很重要的意义， 经常会渗透到集合的各种题目中，同学们应当重视。 ⑶元素与集合的关系：①如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作：A a ∈ ②如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作：A a ? （注意：属于或不属于（?∈,）一定是用在表示元素与集合间的关系上） ⑷集合的分类：集合的种类通常分为：有限集（集合含有有限个元素）、无限集（集合含有无限个元素）、空集（不含任何元素的集合，用记号?表示） ⑸集合的表示： ①集合的表示方法： 列举法：把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来的表示方法。例：{ }2,1=A 描述法：在花括号内先写上表示这个集合一般元素的符号及取值范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。例：{} 4>=x x B （如果元素的取值范围是全体实数，范围可省略不写）。 图示法（即维恩图法）：用平面内一条封闭曲线的内部表示一个集合。 ②特定集合的表示：自然数集（非负整数集）记作N ；正整数集记作()+N N * ；整数集记 作Z ；有理数集记作Q ；实数集记作R 。（这些特定集合外面不用加{}） 高考要求：理解集合的概念，了解属于关系的意义，掌握相关的术语符号，会表示一些 简单集合。 例题讲解： 夯实基础 一、判断下列语句是否正确
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职高高一数学课件 下面是小编整理的职高高一数学课件，欢迎大家阅读参考，希望帮助到你。 内容分析： 1.集合是中学数学的一个重要的基本概念。在小学数学中，就渗透了集合的初步概念，到了初中，更进一步应用集合的语言表述一 些问题。例如，在代数中用到的有数集、解集等 ; 在几何中用到的有点集。至于逻辑，可以说，从开始学习数学就离不开对逻辑知识的掌握 和运用，基本的逻辑知识在日常生活、学习、工作中，也是认识问题、研究问题不可缺少的工具。这些可以帮助学生认识学习本章的意义， 也是本章学习的基础。 把集合的初步知识与简易逻辑知识安排在高中数学的最开始，是因为在高中数学中，这些知识与其他内容有着密切联系，它们是学习、掌握和使用数学语言的基础。例如，下一章讲函数的概念与性 质，就离不开集合与逻辑。 2.1.1 节首先从初中代数与几何涉及的集合实例入手，引出集 合与集合的元素的概念，并且结合实例对集合的概念作了说明。然后，介绍了集合的常用表示方法，包括列举法、描述法，还给出了画图表 示集合的例子。 3. 这节课主要学习全章的引言和集合的基本概念。学习引言是
引发学生的学习兴趣，使学生认识学习本章的意义。本节课的教学重点是集合的基本概念。 4.在初中几何中，点、直线、平面等概念都是原始的、不定义 的概念，类似地，集合则是集合论中的原始的、不定义的概念。在开 始接触集合的概念时，主要还是通过实例，对概念有一个初步认识。 教科书给出的“一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合， 也简称集。”这句话，只是对集合概念的描述性说明。 教学过程： 一、复习引入： 1. 简介数集的发展，复习最大公约数和最小公倍数，质数与和数; 2.教材中的章头引言 ; 3.集合论的创始人——康托尔 ( 德国数学家 )( 见附录 ); 4.“物以类聚”，“人以群分”; 5.教材中例子 (P4) 二、讲解新课： 阅读教材第一部分，问题如下： (1)有那些概念 ?是关于如何定义的 ? (2)有那些符号 ?是关于如何表示的 ? (3)集合中元素的特性是什么 ? ( 一) 集合的有关概念： 由一些数、一些点、一些图形、一些整式、一些物体、一些人
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数列等差数列 一、学习目标： 1、理解数列的概念； 2、了解数列通项公式的意义； 3、了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项。 4、理解等差数列的概念； 5、掌握等差数列的通项公式，并能运用公式及等差数列的性质解决简单的问题。 二、例题分析： 第一阶段 [例1]根据下面数列{a n}的通项公式，写出它的第7项与第10项: (2)a =n(n+2); n =-2n+3 (4) a n 思路分析：根据数列定义的进行思考。 解：(1)
(2)a 7 =7×(7+2)=63， a 10 =10×(10+2)=120； (3) (4)a 7 =－27+3=－125， a 10 =－210m+3=－1021 说明：数列的通项公式其实就是项数n的函数。 [例2]己知数列 {a n } 的通项公式a n =n(14－n)，考察这个数列的单调性，并求它 的最值。 思路分析：要考察{a n }的单调性，只需判断a n －a n-1 的符号，这与判断函数 单调性相似： 解：a n －a n-1 =－2n+15，因为n N*所以当1≤n≤7时递增，当n>7时递减。 又a n =－n2+14n=-(n-7)2+49，故最大值为a 7 =49。 说明：在解题过程中，渗透了函数思想。 [例3]在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列。 思路分析：此题可从不同角度加以考虑。 解法一：设这个数组成的等差数列为 {a n } ，由己知a 1 =－1，a 5 =7，
∴7=－1+(5－1)d。 解得d=2，所求数列为－1，1，3，5，7。 解法二：可利用等差数列的性质求解。 ∵－1，a，b，c，7成等差数列，∴b是－1，7的等差中项，a是－1，b的等差中项，c 是b， 7的等差中项。 ∴ 所求数列为－1，1，3，5，7。 说明：数列解题方法灵活，应多加思考，开扩视野，培养自己发散思维能力。 第二阶段[例4] 设{a n}是等差数列， 思路分析：运用等差数列的定义进行解题。 解：设等差数列{a n } 的公差为d，则a n =a 1 +(n－1)d，
