《结构有限元分析》复习题（闭卷）
一、绪论
1.概述有限元法分析问题的过程。
二、平面问题
2.对平面问题T3单元，推导其位移模式。
3.对平面问题T3单元，证明形函数在本节点取值为1，在其它节点取值为0。
4.对平面问题T3单元，证明形函数在任意一点上取值之和为1。
5.对平面问题T3单元，证明边界上一点的形函数，与相对顶点的坐标无关。
6.对平面问题T3单元，证明边界上的位移协调性。
7.对平面问题T3单元，说明单元边界上无限点的约束等效于对该边节点的约束。
8.对平面问题T3单元，证明Li=Ni（i=i、j、m）。
9.对平面问题T3单元，证明∑NiXi=X，∑NiYi=Y。
10.对平面问题T3单元，利用最小势能原理，推导单元刚度矩阵的矩阵表达式。
11.说明刚度矩阵的性质和物理意义。
12.对平面问题T3单元，推导单元自重的等效节点力。
13.对平面问题T3单元，推导单元边界上均布压力的等效节点力。
14.对平面问题T3单元，推导单元边界上三角形分布压力的等效节点力。
15.对平面问题R4单元，推导其位移模式。
16.对平面问题R4单元，证明边界上的位移协调性。
17.试写出处理约束的两种方法（划0置1法，乘大数法）的过程。
三、空间问题和轴对称问题
18.对轴对称问题T3单元，推导其位移模式。
19.对轴对称问题T3单元，采用简化计算，推导单元自重的等效节点力。
20.对轴对称问题T3单元，采用简化计算，推导离心力的等效节点力。
21.对轴对称问题T3单元，采用简化计算，推导边界上梯形分布压力的等效节点力。
四、等参单元
22.对平面问题Q4等参单元，构造其位移模式。
23.对平面问题Q4等参单元，推导其几何矩阵。
24.对平面问题Q4等参单元，说明雅可比行列式的意义，并加以数学证明。
25.对平面问题Q4等参单元，证明其完备性、协调性。
26.对平面问题Q4-8变节点等参单元，构造其形函数。
27.对空间问题Hex8-20变节点等参单元，构造其形函数。
五、杆件系统
28.对平面等截面梁单元，利用虚功原理推导其单元刚度矩阵的矩阵表达形式。
29.推导杆件系统坐标转换的一般表达式。
六、综合试题
30.综合说明形函数的作用（位移模式，应变计算，应力计算，刚度计算，等效荷
载，几何插值，约束离散，单元映射）
31.综合说明有限元“离散化”的特征。（几何离散化，位移场、应变场、应力场离
散化，荷载离散化、约束离散化、刚度离散化、能量离散化、数学离散化）
七、计算题
1.计算单元刚度矩阵
2.组装结构的整体刚度矩阵
3.计算等效节点力
4.构建典型单元的形函数
5.布局结构的整体刚度矩阵（带状稀疏），计算半带宽列向量
2011年有限元试题 一、简答 1、有限元平面问题有几个自由度？空间问题有几个自由度？弹性力学三大方程分别应用了何种假定？ 2、位移模式的完备性条件是什么？必须要满足吗？ 3、如图所示节点编号，计算半带宽，并画出最合理的节点编号，刚度矩阵中对角元素为何都为正值？ 4、等参单元变换的必要条件是什么？ 5、简述铁木辛柯梁的基本特点，解释何谓剪切锁死现象，并给出避免出现剪切闭锁的条件。 二、推导题 1、用自然坐标推导四节点矩形单元的形函数 2、计算等效荷载，如图 3、分析下图的高斯点选取是否合理 三、计算 1、如图 （1）计算三角形单元的位移模式 （2）已知三节点的位移分别为() ,;,;,j j m i m i u u u v v v （已知数据），A 点的坐标（0.5，0.2,0）求A 点的位移分量
2、已知基本方程d 0d u u x +=，边界条件01x u ==，选取试函数1u cx =+ 用伽辽金法确定系数c 3、求雅克比矩阵J （同作业题） 4、如图所示结构当节点编号如右图所示时，可求出其单元刚度矩阵为 11121621 2226616266a a a a a a K a a a ??????=?????? （考试中均为具体数据） 试确定局部刚度矩阵[]22K 及[]45K
2005年有限元试卷 一、简答题 1、加权残数法、变分法与有限元法的联系与区别是什么？有限元方法有什么优点？ 2、单元分析的重点是什么？单元刚度矩阵有什么特征？其中每一个元素的物理意义是什么？单元分析中坐标转换的作用是什么？ 3、在有限元法中，等参单元的主要有点事什么？在应用等参单元时，坐标变换的精度与位移模式的精度是否一样？等参单元计算中积分阶次选择的原则是什么？ 4、为什么位移型有限元应力解的精度要低于位移解？应力解的近似性表现在哪些方面？应力近似解的性质是什么？试分析下列平面单元中的位移和应力的误差量级？ （1）三点三角形单元（2）四节点举行单元（3）六节点三角形单元 （4）四节点直边四边形等参单元（5）把节点曲边四边形等参单元 5、在博班弯曲问题中，何谓协调单元和非协调单元？试论证四节点矩形板12个自由度弯曲单元是完备的非协调单元 6、常用的构造单元插值函数的方法有哪三种？各有哪些优点？ 7、什么是材料非线性问题和几何非线性问题？各自的难点是什么？材料非线性和几何非线性有什么联系和区别？ 8、什么是非线性有限元方程的迭代解法和增量解法？各自的适用范围是什么？常见的迭代收敛准则有哪些？当有限元求解结果不对时，可从哪些方面进行检查？ 9、简要说明学习“有限元的”的心得体会？ 二、计算推导题 1、图示等刚度悬臂梁受均布荷载作用，假定试函数为：()21cos x x c l f π??=- ??? ，梁截面抗弯刚度为EI ，试采用最小势能原理计算梁的最大挠度 X
一判断题节点的位置依赖于形态而并不依赖于载荷的位置√2. 对于高压电线的铁塔那样的框架结构的模型化处理使用梁单元×3. 不能把梁单元、壳单元和实体单元混合在一起作成模型√4. 四边形的平面单元尽可能作成接近正方形形状的单元×5. 平面应变单元也好平面应力单元也好如果以单位厚来作模型化处理的话会得到一样的答案×6. 用有限元法不可以对运动的物体的结构进行静力分析√7. 一般应力变化大的地方单元尺寸要划的小才好×8. 所谓全约束只要将位移自由度约束住而不必约束转动自由度√9. 同一载荷作用下的结构所给材料的弹性模量越大则变形值越小√10一维变带宽存储通常比二维等带宽存储更节省存储量。二、填空平面应力问题与薄板弯曲问题的弹性体几何形状都是薄板但前者受力特点是平行于板面且沿厚度均布载荷作用变形发生在板面内后者受力特点是垂直于板面的力的作用板将变成有弯有扭的曲面。平面应力问题与平面应变问题都具有三个独立的应力分量三个独立的应变分量但对应的弹性体几何形状前者为薄板后者为长柱体。位移模式需反映刚体位移反映常变形满足单元边界上位移连续。单元刚度矩阵的特点有对称性奇异性还可按节点分块。轴对称问题单元形状为三角形或四边形截面的空间环形单元由于轴对称的特性任意一点变形只发生在子午面上因此可以作为二维问题处理。等参数单元指的是描述位移和描述坐标采用相同的形函数形式。等参数单元优点是可以采用高阶次位移模式能够模拟复杂几何边界方便单元刚度矩阵和等效节点载荷的积分运算。有限单元法首先求出的解是节点位移单元应力可由它求得其计算公式为。8、一个空间块体单元的节点有 3 个节点位移变形体基本变量有位移应变应力基本方程平衡方程物理方程几何方程10.实现有限元分析标准化和规范化的载体就是单元 三选择题分等参变换是指单元坐标变换和函数插值采用__B___的结点和______ 的插值函数。不相同不相同相同相同相同不相同不相同 相同2 有限元位移模式中广义坐标的个数应与_______B____相等。单元结点个数 单元结点自由度数场变量个数 3 如果出现在泛函中场函数的最高阶导数是m阶单元的完备性是指试探函数必须至少是___B___完全多项式。-1次 次-1次 4 与高斯消去法相比高斯约当消去法将系数矩阵化成了____C_____形式因此不用进行回代计算。上三角矩阵下三角矩阵对角矩阵5 对分析物体划分好单元后会对刚度矩阵的半带宽产生影响。单元编号单元组集次序结点编号6 n个积分点的高斯积分的精度可达到__C____阶。--引入位移边界条件是为了消除有限元整 体刚度矩阵的_____C_____。对称性稀疏性奇异性三简答题 共20分每题5分、简述有限单元法结构刚度矩阵的特点。2、简述有限元法中选取单元位移函数多项式的一般原则。1、答答对前3个给4分对称性 奇异性主对角元恒正稀疏性非零元素带状分布2、答一般原则有(1) 广义坐标的个数应该与结点自由度数相等选取多项式时常数项和坐标的一次项必须完备多项式的选取应由低阶到高阶尽量选取完全多项式以提高单元的精度。有限元方法分析的目的对变形体中的位移、应力、应变进行定义和表达进而建立平衡方程、几何方程和物理方程。2)针对具有任意复杂几何形状的变形体完整得获取在复杂外力作用下它内部的准确力学信息。3)力学分析的基础上对设计对象进行强度(strength)、刚度评判修改、优化参数。有限单元法分析步骤1、结构的离散化2、选择位移模式3 、分析单元的力学特性4、集合所有单元平衡方程得到整体结构的平衡方程5、由平衡方程求解未知节点位移6、单元应变和应力的计算4连续体结构分析的基本假定连续性假设完全弹性假设均匀性假设
1、有限元法是近似求解（连续）场问题的数值方法。 2、有限元法将连续的求解域（离散），得到有限个单元，单元与单元之间用（节点）相连。 3、从选择未知量的角度看，有限元法可分为三类（位移法力法混合法）。 4、以（节点位移）为基本未知量的求解方法称为位移量。 5、以（节点力）为基本未知量的求解方法称为力法。 7、直梁在外力作用下，横截面上的内力有（剪力）和（弯矩）两个。 8、平面刚架结构在外力作用下，横截面上的内力有（剪力）、（弯矩）、（轴力）。 9、进行直梁有限元分析，节点位移有（转角）、（挠度）。 10、平面刚架有限元分析，节点位移有（转角）、（挠度）、（？？？）。 11、在弹性和小变形下，节点力和节点位移关系是（）。 12、弹性力学问题的方程个数有（15）个，未知量个数有(15)个。 13、弹性力学平面问题方程个数有（8），未知数（8）个。 15h、几何方程是研究（应变）和（位移）关系的方程。 16、物理方程描述（应力）和（应变）关系的方程。 17、平衡方程反映（应力）和（位移）关系的方程。 18、把进过物体内任意一点各个（截面）上的应力状况叫做（该点）的应力状态。
19、形函数在单元节点上的值，具有本点为（1），他点为零的性质，并在三角形单元的后一节点上，三个形函数之和为（1）。 20、形函数是（三角形）单元内部坐标的（线性位移）函数，它反映了单元的（位移）状态。 21、节点编号时，同一单元相邻节点的（编号）尽量小。 25、单元刚度矩阵描述了（节点力）和（节点位移）之间的关系。矩形单元边界上位移是（线性）变化的。 从选择未知量的角度来看，有限元法可分为三类，下面那种方法不属于其中（ C ）。 力法 B、位移法 C、应变法 D、混合法 下面对有限元法特点的叙述中，哪种说法是错误的（ D ）。可以模拟各种几何形状负责的结构，得出其近似值。 解题步骤可以系统化，标准化。 容易处理非均匀连续介质，可以求解非线性问题。 需要适用于整个结构的插值函数。 几何方程研究的是（ A ）之间关系的方程式。 应变和位移 B、应力和体力 C、应力和位移 D、应力和应变 物理方研究的是（ D ）之间关系的方程式。 应变和位移 B、应力和体力 C、应力和位移 D、应力和应变 平衡方程研究的是（ C ）之间关系的方程式。
1．针对下图所示的3个三角形元，写出用完整多项式描述的位移模式表达式。 2．如下图所示，求下列情况的带宽: a)4结点四边形元； b)2结点线性杆元。 3．对上题图诸结点制定一种结点编号的方法，使所得带宽更小。图左下角的四边形在两种不同编号方式下，单元的带宽分别是多大 4．下图所示，若单元是2结点线性杆单元，勾画出组装总刚后总刚空间轮廓线。系统的带宽是多大按一右一左重新编号（即6变成3等）后，重复以上运算。
5．设杆件1－2受轴向力作用，截面积为A，长度为L，弹性模量为E，试写出 杆端力F 1，F 2 与杆端位移 2 1 ,u u之间的关系式，并求出杆件的单元刚度矩阵)(] [e k 6．设阶梯形杆件由两个等截面杆件○1与○2所组成，试写出三个结点1、2、3的 结点轴向力F 1，F 2 ，F 3 与结点轴向位移 3 2 1 , ,u u u之间的整体刚度矩阵[K]。 7．在上题的阶梯形杆件中，设结点3为固定端，结点1作用轴向载荷F 1 =P，求各结点的轴向位移和各杆的轴力。
8． 下图所示为平面桁架中的任一单元，y x ,为局部坐标系，x ，y 为总体坐标系，x 轴与x 轴的夹角为θ。 （1） 求在局部坐标系中的单元刚度矩阵 )(][e k （2） 求单元的坐标转换矩阵 [T]； （3） 求在总体坐标系中的单元刚度矩阵 )(][e k 9．如图所示一个直角三角形桁架，已知27/103cm N E ?=，两个直角边长度 cm l 100=，各杆截面面积210cm A =，求整体刚度矩阵[K]。
10．设上题中的桁架的支承情况和载荷情况如下图所示，按有限元素法求出各结点的位移与各杆的力。 11．进行结点编号时，如果把所有固定端处的结点编在最后，那么在引入边界条件时是否会更简便些 12．针对下图所示的3结点三角形单元，同一网格的两种不同的编号方式，单元的带宽分别是多大
1.结点的位置依赖于形态，而并不依赖于载荷的位置（×） 2.对于高压电线的铁塔那样的框架结构的模型化处理使用梁单元。√ 3.平面应变单元也好，平面应力单元也好，如果以单位厚来作模型化处理的话会得到一样的答案（×） 4.用有限元法不可以对运动的物体的结构进行静力分析（×） 5.一般应力变化大的地方单元尺寸要划的小才好（√） 6.四结点四边形等参单元的位移插值函数是坐标x、y的一次函数√ 7.在三角形单元中其面积坐标的值与三结点三角形单元的结点形函数值相等。√ 8.等参单元中Jacobi行列式的值不能等于零。√ 9.四边形单元的Jacobi行列式是常数。× 10.等参元是指单元坐标变换和函数插值采用相同的结点和相同的插值函数。√ 11.有限元位移模式中，广义坐标的个数应与单元结点自由度数相等√ 12.为了保证有限单元法解答的收敛性，位移函数应具备的条件是位移函数必须能反映单元的刚体位移和常量应变以及尽可能反映单元间的位移连续性。√ 13.在平面三结点三角形单元中，位移、应变和应力具有位移呈线形变化，应力和应变为常量特征。√ 1.梁单元和杆单元的区别？(自己分析:自由度不同)杆单元只能承受拉压荷载，梁单元则可以承受拉压弯扭荷载。具体的说，杆单元其实就是理论力学常说的二力杆，它只能在结点受载荷，且只有结点上的荷载合力通过其轴线时，杆件才有可能平衡，像均布荷载、中部集中荷载等是无法承担的，通常用于网架、桁架的分析；而梁单元则基本上适用于各种情况（除了楼板之类），且经过适当的处理（如释放自由度、耦合等），梁单元也可以当作杆单元使用。 2.有限单元法结构刚度矩阵的特点？对称性，奇异性，主对角元恒正，稀疏性，非零元素呈带状分布。 3.有限单元法的收敛性准则？完备性要求，协调性要求。位移模式要满足以下三个条件包含单元的刚体位移。当结点位移由体位移引起时，弹性体内不会产生应变。包含单元的常应变。与位置坐标无关的应变。位移模式在单元内要连续，在相邻单元之间的位移必须协调。当选择多项式来构成位移模式时，单元的连续性总得到满足，单元的协调性就是要求单元之间既不会出现开裂也不会出现重叠的现象。。 4.任何一个有限元分析问题都是空间问题，什么情况下可以简化为平面问题？轴对称问题？空
《汽车有限元基础》2009-2010二学期考试试卷
《汽车有限元基础》2009-2010第二学期考试试卷 一、填空题 1. 有限元法的基本思想是用个单元的集合来代替原来具有个自由 度的连续体。 2. 单元刚度矩阵K中元素K ij的物理意义：当单元第j个自由度产生而其它自由度固定时，在第i个自由度产生的。 3．按照各杆轴线及外力作用线在空间的位置，杆系结构可分为： 和。4．平面刚架中各单元发生轴向拉压变形及面内的弯曲变形，而且这两种变形相互独立，因此刚架单元可以看成是由单元和单元叠加而成。因此，平面刚架单元的节点位移应包含个平动分量和个转动分量。 5．工程中常用的薄板单元有：单元和单元。6．有限元分析的主要步骤先后为：(1) 网格划分, (2) , (3) 。 7. 单元特性分析的主要内容先后为：(1) 、(2) 、(3) 应力或内力、(4) 、(5) 单元节点载荷。 8．对于弹性变形体，承受的外载荷共有三种：集中载荷、和。在有限元法中，对于没有作用在节点上的这些外载荷，是按照的原则将其移置到节点上。 9．工程中任一平板，若其厚度为t，板面宽度为b，当t/b小于时可以认为是薄板。常用的薄板单元有：单元和单元。10．薄壳单元中的应力可看成平面应力问题和问题中两种应力的叠加。 11．求解结构系统的动力响应时，常用的两种求解方法为：和 12．在有限元分析中，为了描述几何模型和有限元模型，需要用到几种坐标系： (1) (2) (3) 和(4)
《汽车有限元基础》2009-2010第二学期考试试卷 二、 问答题 1．某一薄板矩形单元的节点编号按照逆时针依次为i 、j 、m 和p 。假设该单元每个节点的位移表示为{}{}T yi xi i i w θθδ=， (i, j, m, p )；该单元每个节点的载荷表示为{}{}T iy ix i i T T Z F θθ=，(i, j, m, p )。请写出该单元的单元节点位移列阵和单元 节点载荷列阵。 2．请写出使用有限元分析软件时，进行数据前处理的主要工作内容。 3．右下图为一典型三节点三角形平面单元，节点按照逆时针依次编号为i 、j 和m ，节点的坐标依次为(x i ，y i )，(x j ，y j )、（x m ，y m ）。假设单元内任意一点的两个位移分量分别表示u 和v 。请写出该单元位移模式的多项式形式，并简述待定常数个数的确定理由。 4. 请简述针对动力问题的有限元分析的基本步骤。
有限元试题及答案
一判断题（20分） （×）1. 节点的位置依赖于形态，而并不依赖于载荷的位置 （√）2. 对于高压电线的铁塔那样的框架结构的模型化处理使用梁单元 （×）3. 不能把梁单元、壳单元和实体单元混合在一起作成模型 （√）4. 四边形的平面单元尽可能作成接近正方形形状的单元 （×）5. 平面应变单元也好，平面应力单元也好，如果以单位厚来作模型化 处理的话会得到一样的答案 （×）6. 用有限元法不可以对运动的物体的结构进行静力分析 （√）7. 一般应力变化大的地方单元尺寸要划的小才好 （×）8. 所谓全约束只要将位移自由度约束住，而不必约束转动自由度 （√）9. 同一载荷作用下的结构，所给材料的弹性模量越大则变形值越小（√）10一维变带宽存储通常比二维等带宽存储更节省存储量。 二、填空（20分） 1．平面应力问题与薄板弯曲问题的弹性体几何形状都是薄板，但前者受力特点是：平行于板面且沿厚度均布载荷作用，变形发生在板面内； 后者受力特点是：垂直于板面的力的作用，板将变成有弯有扭的曲面。 2．平面应力问题与平面应变问题都具有三个独立的应力分量：σx，σy，τxy ，三个独立的应变分量：εx，εy，γxy，但对应的弹性体几何形状前者为薄板，后者为长柱体。3．位移模式需反映刚体位移，反映常变形，满足单元边界上位移连续。 4．单元刚度矩阵的特点有：对称性，奇异性，还可按节点分块。
5．轴对称问题单元形状为：三角形或四边形截面的空间环形单元，由于轴对称的特性，任意一点变形只发生在子午面上，因此可以作为二维问题处理。6．等参数单元指的是：描述位移和描述坐标采用相同的形函数形式。等参数单元优点是：可以采用高阶次位移模式，能够模拟复杂几何边界，方便单元刚度矩阵和等效节点载荷的积分运算。 7．有限单元法首先求出的解是节点位移，单元应力可由它求得，其计算公式为。（用符号表示即可） 8．一个空间块体单元的节点有 3 个节点位移： u，v，w 9．变形体基本变量有位移应变应力基本方程平衡方程物理方程几何方程 10.实现有限元分析标准化和规范化的载体就是单元
1、何为有限元法？其基本思想是什么？ 有限元法是一种基于变分法而发展起来的求解微分方程的数值计算方法，该方法以计算机为手段，采用分片近似，进而逼近整体的研究思想求解物理问题。 基本思想是化整为零集零为整。 2、为什么说有限元法是近似的方法，体现在哪里？ 有两点：用离散单元的组合体来逼近原始结构，体现了几何上的近似；而用近似函数逼近未知变量在单元内的真实解，体现了数学上的近似。 3、单元、节点的概念？ 节点：表达实际结构几何对象之间相互连接方式的概念 单元：网格划分中的每一个小部分称为单元，网格间相互联结点称为节点 4、有限元法分析过程可归纳为几个步骤？ 结构离散化、单元分析、整体分析 5、有限元方法分几种？本课程讲授的是哪一种？ 位移法、力法、混合法本课程讲授位移法 6、弹性力学的基本变量是什么？何为几何方程、物理方程及虚功方程？弹性矩阵的特点？ 弹性力学变量:外力、应力、应变和位移。 描述弹性体应变分量与位移分量之间的方程称为几何方程；物理方程描述应力分量与应变分量之间的关系；弹性体上外力在虚位移发生过程中所做的虚功与储存在弹性体内的需应变能相等。 弹性矩阵由材料的弹性模量和泊松比确定，与坐标位置无关。 7、何为平面应力问题和平面应变问题？ 平面应力问题：在结构上满足a几何条件：研究对象是等厚度薄板。b载荷条件：作用于薄板上的载荷平行于板平面且沿厚度方向均匀分布，而在两板面无外力作用。 平面应变问题：满足a几何条件：长柱体，即长度方向的尺寸远远大于横截面的尺寸，且横截面沿长度方向不变。b载荷条件：作用于长柱体结构上的载荷平行于横截面且沿纵向方向均匀分布，两端面不受力两条件的弹性力学问题。 1、何为结构的离散化？离散化的目的？何为有限元模型？ ①离散化:把连续的结构看成由有限个单元组成的集合体。②目的：建立有限元计算模型③通常把由节点,单元及相应的节点载荷和节点约束构成的模型称为有限元模型2、结构离散化时，划分单元数目的多少以及疏密分布，将直接影响到什么？确定单元数量的原则？通常如何设置节点？
1.针对下图所示的3个三角形元,写出用完整多项式描述的位移模式表达式。 ２.如下图所示,求下列情况的带宽: a)4结点四边形元; b)2结点线性杆元。 ３、对上题图诸结点制定一种结点编号的方法,使所得带宽更小。图左下角的四边形在两种不同编号方式下,单元的带宽分别就是多大? 4、下图所示,若单元就是2结点线性杆单元,勾画出组装总刚后总刚空间轮廓线。系统的带宽就是多大?按一右一左重新编号(即6变成3等)后,重复以上运算。
５. 设杆件1-2受轴向力作用,截面积为Ａ,长度为Ｌ,弹性模量为Ｅ,试写出杆端力Ｆ１,F 2与杆端位移21,u u 之间的关系式,并求出杆件的单元刚度矩阵)(][e k 6、设阶梯形杆件由两个等截面杆件＼o ＼a ｃ(○,1)与错误!所组成,试写出三个结点1、2、3的结点轴向力F 1,F 2,Ｆ3与结点轴向位移321,,u u u 之间的整体刚度矩阵［K]。 7. 在上题的阶梯形杆件中,设结点3为固定端,结点1作用轴向载荷F 1=Ｐ,求各结点的轴向位移与各杆的轴力。 8、 下图所示为平面桁架中的任一单元,y x ,为局部坐标系,ｘ,y 为总体坐标系,x 轴与x 轴的夹角为 。 (1) 求在局部坐标系中的单元刚度矩阵 )(][e k (2) 求单元的坐标转换矩阵 ［T]; (３) 求在总体坐标系中的单元刚度矩阵 )(][e k
９.如图所示一个直角三角形桁架,已知27/103cm N E ?=,两个直角边长度cm l 100=,各杆截面面积210cm A =,求整体刚度矩阵［K ］ 。 10. 设上题中的桁架的支承情况与载荷情况如下图所示,按有限元素法求出各结点的位移与各杆的内力。
一 判断题（20分） （×）1. 节点的位置依赖于形态，而并不依赖于载荷的位置 （√）2. 对于高压电线的铁塔那样的框架结构的模型化处理使用梁单元 （×）3. 不能把梁单元、壳单元和实体单元混合在一起作成模型 （√）4. 四边形的平面单元尽可能作成接近正方形形状的单元 （×）5. 平面应变单元也好，平面应力单元也好，如果以单位厚来作模型化 处理的话会得到一样的答案 （×）6. 用有限元法不可以对运动的物体的结构进行静力分析 （√）7. 一般应力变化大的地方单元尺寸要划的小才好 （×）8. 所谓全约束只要将位移自由度约束住，而不必约束转动自由度 （√）9. 同一载荷作用下的结构，所给材料的弹性模量越大则变形值越小 （√）10一维变带宽存储通常比二维等带宽存储更节省存储量。 二、填空（20分） 1．平面应力问题与薄板弯曲问题的弹性体几何形状都是 薄板 ，但前者受力特点是： 平行于板面且沿厚度均布载荷作用 ，变形发生在板面内； 后者受力特点是： 垂直于板面 的力的作用，板将变成有弯有扭的曲面。 2．平面应力问题与平面应变问题都具有三个独立的应力分量： σx ，σy ，τxy ，三个独立的应变分量：εx ，εy ，γxy ，但对应的弹性体几何形状前者为 薄板 ，后者为 长柱体 。3．位移模式需反映 刚体位移 ，反映 常变形 ，满足 单元边界上位移连续 。 4．单元刚度矩阵的特点有：对称性 ， 奇异性 ，还可按节点分块。 5．轴对称问题单元形状为：三角形或四边形截面的空间环形单元 ，由于轴对称的特性，任意一点变形只发生在子午面上，因此可以作为 二 维问题处理。 6．等参数单元指的是：描述位移和描述坐标采用相同的形函数形式。等参数单元优点是：可以采用高阶次位移模式，能够模拟复杂几何边界，方便单元刚度矩阵和等效节点载荷的积分运算。 7．有限单元法首先求出的解是 节点位移 ，单元应力可由它求得，其计算公式为 {}{} [][]e D B σδ=。（用符号表示即可） 8．一个空间块体单元的节点有 3 个节点位移： u ，v ，w 9．变形体基本变量有位移应变应力 基本方程 平衡方程 物理方程 几何方程 10.实现有限元分析标准化和规范化的载体就是单元
计算力学试题答案 1. 有限单元法和经典Ritz 法的主要区别是什么？ 答：经典Ritz 法是在整个区域内假设未知函数，适用于边界几何形状简单的情形；有限单元法是将整个区域离散，分散成若干个单元，在单元上假设未知函数。有限单元法是单元一级的Ritz 法。 2、单元刚度矩阵和整体刚度矩阵各有什么特征？刚度矩阵[K ]奇异有何物理意义？在求解问题时如何消除奇异性？ 答：单元刚度矩阵的特征：⑴对称性⑵奇异性⑶主元恒正⑷平面图形相似、弹性矩阵D 、厚度t 相同的单元，e K 相同⑸e K 的分块子矩阵按结点号排列，每一子矩阵代表一个结点，占两行两列，其位置与结点位置对应。 整体刚度矩阵的特征：⑴对称性⑵奇异性⑶主元恒正⑷稀疏性⑸非零元素呈带状分布。 []K 的物理意义是任意给定结构的结点位移所得到的结构结点力总体上满足力和力矩的平衡。 为消除[]K 的奇异性，需要引入边界条件，至少需给出能限制刚体位移的约束条件。 4. 何为等参数单元？为什么要引入等参数单元？ 答：等参变换是对单元的几何形状和单元内的场函数采用相同数目的结点参数及相同的插值函数进行变换，采用等参变换的单元称之为等参数单元。 借助于等参数单元可以对于一般的任意几何形状的工程问题和物理问题方便地进行有限元离散，其优点有：对单元形状的适应性强；单元特性矩阵的积分求解方便（积分限标准化）；便于编制通用化程序。 5、对于平面4节点（线性）和8节点（二次）矩形单元，为了得到精确的刚度矩阵，需要多少个Gauss 积分点？说明理由。 答：对于平面4节点（线性）矩形单元： (,)i N ξη∝1,,,ξηξη T B DB 221,,,,,ξηξηξη∝ =J 常数 所以2m = 因而积分点数为：22?矩阵 对于平面8节点（二次）矩形单元： (,)i N ξη∝22221,,,,,,ξηξηξηξη T B DB 221341,,,,,,ξηξηξηη∝ =J 常数 所以4m = 因而积分点数为：33?矩阵 ⑴矩形、正方形、平行四边形=J 常数 2、总刚度矩阵[K]的任一元素k ij 的物理意义是什么？如何解释总刚度矩阵的奇异性和带状稀疏性？ 答：K 中元素的ij K 物理意义：当结构的第j 个结点位移方向上发生单位位移，而其它结点位移方向上位移为零时，需在第i 个结点位移方向上施加的结点力大小。 奇异性：K =0,力学意义是对任意给定结点位移所得到结构结点力总体上是满足力和力矩的平衡。 反之，给定任意满足力和力矩平衡结点载荷P ，由于K 的奇异性却不能解得结构的位移a ,因而结构仍可能发生任意的刚体位移。为消除[]K 的奇异性，结构至少需给出能限制刚体位移的约束条件。 带状稀疏性：由于连续体离散为有限个单元体时，每个结点的相关单元只是围绕在该结点周围为数甚少的几个，一个结点通过相关单元与之发生关系的相关结点也只是它周围的少数几个，因此虽然总体单元数和结点数很多，结构刚度矩阵的阶数很高，但刚度系数中非零系数却很少，即为总刚度矩阵的稀疏性。另外，只要结点编号是合理的，这些稀疏的非零元素将集中在以主对角线为中心的1 1.52 m n +≥=141 2.522 m n ++≥==
1、何为有限元法其基本思想是什么 有限元法是一种基于变分法而发展起来的求解微分方程的数值计算方法，该方法 以计算机为手段，采用分片近似，进而逼近整体的研究思想求解物理问题。 基本思想是化整为零集零为整。 2、为什么说有限元法是近似的方法，体现在哪里 有两点：用离散单元的组合体来逼近原始结构，体现了几何上的近似；而用近似 函数逼近未知变量在单元内的真实解，体现了数学上的近似。 3、单元、节点的概念 节点：表达实际结构几何对象之间相互连接方式的概念 单元：网格划分中的每一个小部分称为单元，网格间相互联结点称为节点 4、有限元法分析过程可归纳为几个步骤 结构离散化、单元分析、整体分析 5、有限元方法分几种本课程讲授的是哪一种 位移法、力法、混合法本课程讲授位移法 6、弹性力学的基本变量是什么何为几何方程、物理方程及虚功方程弹性矩阵的特点 弹性力学变量 : 外力、应力、应变和位移。 描述弹性体应变分量与位移分量之间的方程称为几何方程；物理方程描述应力分 量与应变分量之间的关系；弹性体上外力在虚位移发生过程中所做的虚功与储存在弹 性体内的需应变能相等。 弹性矩阵由材料的弹性模量和泊松比确定，与坐标位置无关。 7、何为平面应力问题和平面应变问题 平面应力问题：在结构上满足 a 几何条件：研究对象是等厚度薄板。 b 载荷条件：作用于薄板上的载荷平行于板平面且沿厚度方向均匀分布，而在两板面无外力作 用。 平面应变问题：满足 a 几何条件：长柱体，即长度方向的尺寸远远大于横截面的尺寸，且横截面沿长度方向不变。 b 载荷条件：作用于长柱体结构上的载荷平行于横截面且沿纵 向方向均匀分布，两端面不受力两条件的弹性力学问题。 1、何为结构的离散化离散化的目的何为有限元模型 ①离散化 : 把连续的结构看成由有限个单元组成的集合体。②目的：建立有限元 计算模型③通常把由节点 , 单元及相应的节点载荷和节点约束构成的模型称为有限元模 型
有限元法基础试题（A ） 一、填空题（5×2分） 1.1单元刚度矩阵e T k B DBd Ω = Ω? 中，矩阵B 为__________，矩阵D 为___________。 1.2边界条件通常有两类。通常发生在位置完全固定不能转动的情况为_______边界，具体指定有限的非零值位移的情况，如支撑的下沉，称为_______边界。 1.3内部微元体上外力总虚功： ()(),,,,e x x xy y bx xy x y y by d W F u F v dxdy δστδτσδ??=+++++??+(),,,,x x y y xy y x u v u u dxdy σδσδτδδ??+++??的表达式中，第一项为____________________的虚功，第二项为____________________的虚功。 1.4弹簧单元的位移函数1N +2N =_________。 1.5 ij k 数学表达式：令j d =_____，k d =_____，k j ≠，则力i ij F k =。 二、判断题（5×2分） 2.1位移函数的假设合理与否将直接影响到有限元分析的计算精度、效率和可靠性。（ ） 2.2变形体虚功原理适用于一切结构（一维杆系、二维板、三位块体）、适用于任何力学行为的材料（线性和非线性），是变形体力学的普遍原理。 （ ） 2.3变形体虚功原理要求力系平衡，要求虚位移协调，是在“平衡、协调”前提下功的恒等关系。 （ ） 2.4常应变三角单元中变形矩阵是x 或y 的函数。 （ ） 2.5 对称单元中变形矩阵是x 或y 的函数。 （ ） 三、简答题（26分） 3.1列举有限元法的优点。（8分） 3.2写出有限单元法的分析过程。（8分） 3.3列出3种普通的有限元单元类型。（6分） 3.4简要阐述变形体虚位移原理。（4分） 四、计算题（54分） 4.1对于下图所示的弹簧组合，单元①的弹簧常数为10000N/m ，单元②的弹簧常数为20000N/m ，单元③的弹簧常数为10000N/m ，确定各节点位移、反力以及单元②的单元力。（10分） 4.2对于如图所示的杆组装，弹性模量E 为10GPa ，杆单元长L 均为2m ，横截面面积A 均为2×10-4m 2，弹簧常数为2000kN/m ，所受荷载如图。采用直接刚度法确定节点位移、作用力和单元②的应力。（10分）
有限元复习 一、选择题（每题1分，共10分） 二、判断题（每空1分，共10分） 三、填空题（每空1分，共10分） 三、简答题（共44分）共6题 四、综述题（共26分）两题 一．基本概念 1. 平面应力/平面应变问题；空间问题/轴对称问题；杆梁问题；线 性与非线性问题 平面应力问题 （1） 均匀薄板（2）载荷平行于板面且沿厚度方向均匀分布 在六个应力分量中，只需要研究剩下的平行于XOY 平面的三个应力分量，即x y xy yx σσττ=、、 （000z zx xz zy yz σττττ=====，，）。 一般0z σ=，z ε并不一定等于零，但可由x σ及y σ求得，在分析问题时不必考虑。于是只需要考虑 x y xy εεγ、、三个应变分量即可。 平面应变问题
（1） 纵向很长，且横截面沿纵向不变。（2）载荷平行于横截面且沿纵向 均匀分布 z yz zx εγγ===只剩下三个应变分量x y xy εεγ、、。也只需要考虑x y xy σστ、、三个应力分量即可 轴对称问题 物体的几何形状、约束情况及所受外力都对称于空间的某一根轴。 轴对称单元的特点（与平面三角形单元的区别）：轴对称单元为圆环体，单元与单元间为节圆相连接；节点力与节点载荷是施加于节圆上的均布力；单元边界是一回转面；应变不是常量。 在轴对称问题中，周向应变分量θε是与r 有关。 板壳问题 一个方向的尺寸比另外两个方向尺寸小很多，且能承受弯矩的结构称为板壳结构，并把平分板壳结构上下表面的面称为中面。如果中面是平面或平面组成的折平面，则称为平板；反之，中面为曲面的称为壳。 杆梁问题 杆梁结构是指长度远大于其横断面尺寸的构件组成的系统。在结构力学中常将承受轴力或扭矩的杆件称为杆，而将承受横向力和弯矩的杆件称为梁。 平面（应力应变）问题与板壳问题的区别与联系 平面应力问题是指很薄的等厚度薄板，只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的面力，同时，体力也平行于板面并且不沿厚度变化。而平面应变问题是指很长的柱形体，在柱面上受有平行于横截面并且不沿长度变化的面力，同时
1、何为有限元法？其基本思想是什么? 有限元法是一种基于变分法而发展起来的求解微分方程的数值计算方法，该方法以计算机为手段，采用分片近似，进而逼近整体的研究思想求解物理问题。 基本思想是化整为零集零为整。 2、为什么说有限元法是近似的方法，体现在哪里? 有两点：用离散单元的组合体来逼近原始结构，体现了几何上的近似；而用近似函数逼近未知变量在单元内的真实解，体现了数学上的近似。 3、单元、节点的概念? 节点：表达实际结构几何对象之间相互连接方式的概念 单元：网格划分中的每一个小部分称为单元，网格间相互联结点称为节点 4、有限元法分析过程可归纳为几个步骤? 结构离散化、单元分析、整体分析 5、有限元方法分几种？本课程讲授的是哪一种? 位移法、力法、混合法本课程讲授位移法 6、弹性力学的基本变量是什么？何为几何方程、物理方程及虚功方程？弹性矩阵的特点？ 弹性力学变量：外力、应力、应变和位移。 描述弹性体应变分量与位移分量之间的方程称为几何方程；物理方程描述应力分量与应变分量之间的关系；弹性体上外力在虚位移发生过程中所做的虚功与储存在弹性体内的需应变能相等。 弹性矩阵由材料的弹性模量和泊松比确定，与坐标位置无关。 7、何为平面应力问题和平面应变问题? 平面应力问题：在结构上满足a几何条件：研究对象是等厚度薄板。b载荷条件: 作用于薄板上的载荷平行于板平面且沿厚度方向均匀分布，而在两板面无外力作用。 平面应变问题：满足a几何条件：长柱体，即长度方向的尺寸远远大于横截面的尺寸，且横截面沿长度方向不变。b载荷条件：作用于长柱体结构上的载荷平行于横截面且沿纵向方向均匀分布，两端面不受力两条件的弹性力学问题。 1、何为结构的离散化？离散化的目的？何为有限元模型? ①离散化：把连续的结构看成由有限个单元组成的集合体。②目的：建立有限元计算模型③通常把由节点，单元及相应的节点载荷和节点约束构成的模型称为有限元模型 2、结构离散化时，划分单元数目的多少以及疏密分布，将直接影响到什么？确定单元数量的原则？通常如何设置节点？
一、 简答题（共40分，每题10分） 1. 论述单元划分应遵循的原则。 2. 说明形函数应满足的条件。 3. 说明四边形等参数单元中“等参数”的含义，即为什么要引入等参数单元。 4. 阐述边界元法的主要优缺点。 二、 计算题（共60分，每题20分） 1. 一杆件如图3所示，杆件上方固定后，在下方受垂直向下的集中力作用，已 知：杆件材料的杨氏模量2 721/100.3in lbf E E ?==，截面积2125.5in A =， 2275.3in A =，长度in L L 1221==，集中力lbf P 100=，用有限元方法求解B 点 和C 点位移。备注：（1）1 lbf （磅力，libra force ） = N 。（2）杨氏模量、弹性 模量、Young 氏弹性模量具有相同含义（10分） 2. 如图2 所示，有一正方形薄板，沿对角承受压力作用，厚度t=1m ，载荷 F=20KN/m ，设泊松比μ=0，材料的弹性模量为E ，试求它的应力分布。（15分） 学院 专业 学号 姓名 y 图1
图2 3. 图示结点三角形单元的124边作用有均布侧压力q，单元厚度为t，求单元的等效结点荷载。 图3
一、简答题 1. 答： 1）合理安排单元网格的疏密分布 2）为突出重要部位的单元二次划分 3）划分单元的个数 4）单元形状的合理性 5）不同材料界面处及荷载突变点、支承点的单元划分 6）曲线边界的处理，应尽可能减小几何误差 7）充分利用结构及载荷的对称性，以减少计算量 2. 答： 形函数应满足的三个条件： a.必须能反映单元的刚体位移，就是位移模式应反映与本单元形变无关的由 其它单元形变所引起的位移。 b.能反映单元的常量应变，所谓常量应变，就是与坐标位置无关，单元内所 有点都具有相同的应变。当单元尺寸取小时，则单元中各点的应变趋于相 等，也就是单元的形变趋于均匀，因而常量应变就成为应变的主要部分。 c.尽可能反映位移连续性；尽可能反映单元之间位移的连续性，即相邻单元 位移协调。 3. 答： 含义：所谓的等参数单元，就是在确定单元形状的插值函数和确定单元位移场的插值函数中采用了完全相同的形函数。 意义：构造出一些曲边地高精度单元，以便在给定地精度下，用数目较少地单元，解决工程实际地具体问题。 4. 答： 有限单元法是基于变分原理的里兹（Ritz）法的另一种形式，从而使里兹法分析的所有理论基础都适用子有限单元法，确认了有限单元法是处理连续介质问题的一种普遍方法．利用变分原理建立有限元方程和经典里兹法的主要区别是有限单元法假设的近似函数不是在全求解域而是在单元上规定的，面且事先不要求满足任何边界条件，因此它可以用来处理很复杂的连续介质问题。有限单元法中所利用的主要是伽辽金（Galerkin）法。它可以用于已经知道问题的微分方程和
有限元考试试题及答案 一、简答题（5道，共计25分）。 1.有限单元位移法求解弹性力学问题的基本步骤有哪些？（5分） 答：（1）选择适当的单元类型将弹性体离散化； （2）建立单元体的位移插值函数； （3）推导单元刚度矩阵； （4）将单元刚度矩阵组装成整体刚度矩阵； （5）代入边界条件和求解。 2. 在划分网格数相同的情况下，为什么八节点四边形等参数单元精度大于四边形矩形单元？（5分） 答：在对于曲线边界的边界单元，其边界为曲边，八节点四边形等参数单元边上三个节点所确定的抛物线来代替原来的曲线，显然拟合效果比四边形矩形单元的直边好。 3.轴对称单元与平面单元有哪些区别？（5分） 答：轴对称单元是三角形或四边形截面的空间的环形单元，平面单元是三角形或四边形平面单元；轴对称单元内任意一点有四个应变分量，平面单元内任意一点非零独立应变分量有三个。 4.有限元空间问题有哪些特征？（5分） 答：（1）单元为块体形状。常用单元：四面体单元、长方体单元、直边六面体单元、曲边六面体单元、轴对称单元。（2）结点位移3个分量。（3）基本方程比平面问题多。3个平衡方程，6个几何方程，6个物理方程。 5.简述四节点四边形等参数单元的平面问题分析过程。（5）分） 答：（1）通过整体坐标系和局部坐标系的映射关系得到四节点四边形等参单元的母单元， 并选取单元的唯一模式； （2）通过坐标变换和等参元确定平面四节点四边形等参数单元的几何形状和位移模式；
（3）将四节点四边形等参数单元的位移模式代入平面问题的几何方程，得到单元应变 分量的计算式，再将单元应变代入平面问题的物理方程，得到平面四节点等参 数单元的应力矩阵； （4）用虚功原理求得单元刚度矩阵，最后用高斯积分法计算完成。 二、论述题（3道,共计30分）。 1. 简述四节点四边形等参数单元的平面问题分析过程。（10分） 答：（1）通过整体坐标系和局部坐标系的映射关系得到四节点四边形等参单元的母单元，并选取单元的唯一模式； （2） 通过坐标变换和等参元确定平面四节点四边形等参数单元的几何形状和位移模式； （3）将四节点四边形等参数单元的位移模式代入平面问题的几何方程，得到单元应变 分量的计算式，再将单元应变代入平面问题的物理方程，得到平面四节点等参 数单元的应力矩阵； （4）用虚功原理求得单元刚度矩阵，最后用高斯积分法计算完成。 2.轴对称问题的简单三角形单元是否是常应力，常应变？为什么？（10分） 答：不是常应力和常应变。 因为应变与位移分量的关系式为: ? ?????????????? ? ?????????????? ???? =????????????????????????+??????=??? ???????????=w u 010r r u r u }{rz z r r z z r r w z u z w γεεεεθ,这里除含有微分算符外，还包含了r 的倒数项1/r ,则即使位移模式为线性的，但由于该项的存在，使得应变与坐标有关， 即不会是常应变。应力应变的物理关系为{ }[]{}εσD = ，由于应变不是常应变，则所求得的应力也不会是常应力。
2012年度弹性力学与有限元分析复习题及其答案 (绝密试题) 一、填空题 1、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。 2、在弹性力学中规定，线应变以伸长时为正，缩短时为负，与正应力的正负号规定相适应。 3、在弹性力学中规定，切应变以直角变小时为正，变大时为负，与切应力的正负号规定相适应。 4、物体受外力以后，其内部将发生内力，它的集度称为应力。与物体的形变和材料强度直接有关的，是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量，也就是正应力和切应力。应力及其分量的量纲是L -1MT -2。 5、弹性力学的基本假定为连续性、完全弹性、均匀性、各向同性。 6、平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。 7、已知一点处的应力分量100=x σMPa ，50=y σMPa ，5010=xy τ MPa ，则主应力=1σ150MPa ，=2σ0MPa ，=1α6135' 。 8、已知一点处的应力分量， 200=x σMPa ，0=y σMPa ，400-=xy τ MPa ， 则主应力=1σ512 MPa ，=2σ-312 MPa ，=1α-37°57′。 9、已知一点处的应力分量，2000-=x σMPa ，1000=y σMPa ，400-=xy τ MPa ，则主应力=1σ1052 MPa ，=2σ-2052 MPa ，=1α-82°32′。 10、在弹性力学里分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程。 11、表示应力分量与体力分量之间关系的方程为平衡微分方程。 12、边界条件表示边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。 13、按应力求解平面问题时常采用逆解法和半逆解法。 14、有限单元法首先将连续体变换成为离散化结构，然后再用结构力学位移法进行求解。其具体步骤分为单元分析和整体分析两部分。 15、每个单元的位移一般总是包含着两部分：一部分是由本单元的形变引起的，另一部分是由于其他单元发生了形变而连带引起的。 16、每个单元的应变一般总是包含着两部分：一部分是与该单元中各点的位置坐标有关的，是各点不相同的，即所谓变量应变；另一部分是与位置坐标无关的，是各点相同的，即所谓常量应变。 17、为了能从有限单元法得出正确的解答，位移模式必须能反映单元的刚体位移和常量应变，还应当尽可能反映相邻单元的位移连续性。 18、为了使得单元内部的位移保持连续，必须把位移模式取为坐标的单值连续函数，为