有限元法基本原理复习资料
1、线性弹性力学中一般哪些基本假设 ?什么是理想弹性体？
2、线弹性材料物体内任意一点，一定存在三个相互垂直的主应力 、 、 ，
假设材料的柏松比为 ，弹性模量为E，则三个应变 、 、 可以表达为：
3、弹性力学基本方程的导出，可从三方面分析：
通过平衡微分方程建立了应力、体力和面力之间的关系。
通过几何方程建立了应变、位移和边界位移之间的关系。
通过物理方程建立了应变与应力之间的关系。
4、写出并理解弹性力学的基本方程。
a．平衡微分方程：
b．几何方程：
1. 平面问题中的几何方程：
2. 空间问题的几何方程：
c、物理方程：
或者：
为体积应变
即：
简写成：{σ}=[D]{ε} 式中[D]称为弹性矩阵，它完全由弹性常数E 和μ 决定。
4、请表述如图所示边界条件：
5、如图所示的线弹性材料可以归结为：平面应力问题，其不为零的应力分量有：
6、如图所示的线弹性材料可以归结为：平面应变问题，其不为零的应变分量有： εx ，εy ，γ
xy
7、描述并理解平面问题的基本方程
平面应力问题和平面应变问题都只有8 个独立的未知量，它们只是x 和y 的函数，因此统称平面问题。
1. 平面问题的平衡微分方程
2. 平面问题中的几何方程：
3. a.平面应力问题中的物理方程：
记作{σ}=[D]{ε} 其中[D]为弹性矩阵。
b.平面应变问题中的物理方程：
记作{σ}=[D]{ε} 其中[D]为弹性矩阵。
比较两种平面问题的弹性矩阵，可以发现，将平面应力问题物理方程中的弹
性常数E、μ换成就可得到平面应变问题物理方程。
8、结构的分类与基本特征
（1）按结构在空间的位置分
结构可分为平面结构和空间结构两大类
z
g j W --=3z g j W --=
2(2) 按结构元件的几何特征分
① 杆系结构：梁、拱、桁架、刚架、桁构结构等 。 ② 板壳结构
③ 实体结构实体结构的长、宽、高三个尺寸都很大，具有同一量级。 ④ 混合结构 (3) 按结构自由度分
① 静定结构——自由度为零的几何不变结构。 ② 超静定结构——自由度小于零的几何不变结构。
9、结构对称性的利用
对称结构在正对称载荷下，对称轴截面上只能产生正对称的位移，反对称的位移为零；对称结构在反对称载荷下，对称轴截面上只有反对称的位移，正对称的位移为零。 10、自由度计算公式 (1)桁架自由度计算公式
桁架中的结点数为j ，杆件数为g ，支座链杆数为z ，则桁架的自由度W 为
平面桁架
空间桁架
(2) 平面混合结构的自由度计算公式
设单铰数为j ，杆件（刚片）数为m ，支座链杆数为z ，则：
一个平面体系的自由度计算结果，不外下述三种可能：
a. W ＞0 表明结构缺少必要的约束， 可运动， 故结构必定是几何可变体系。
b. W =0 表明结构具有保证几何不变所需的最少的约束数。
c. W ＜0 表明结构具有多余约束。
11、平面结构几何构造分析（判定结构的几何不变性）
z
j m W --=23
12、空间结构几何构造分析（判定空间结构的几何不变性）
13、弹性力学边值问题的基本解法？
根据弹性力学基本方程，只要给出边界条件，理论上完全可以解出空间问题共十五个未知量，平面问题八个未知量。这种问题在数学上叫做微分方程的边值问题。
三种基本解法：
按应力求解：按应力求解以应力分量为基本未知函数，先求应力分量，再求其它未知量，是超静定问题，需要补充变形协调条件。
按位移求解：以位移分量为基本未知函数，此时应通过物理方程和几何方程将平衡微分方程改用位移分量表达。应力边界条件也可以用位移分量表达，按位移求解时，弹性力学问题可以包括位移边界条件和应力边界条件。
混合求解：以一部分应力分量为基本未知量，再以一部分位移分量为基本未知量，即建立变形协调方程，又建立内力平衡方程，最后加以求解。
14、什么是虚位移原理？
虚位移原理：物体平衡时，作用在物体上的所有外力在物体所能发生的任何一组虚位移上所作虚功的代数和等于零。
15、什么是虚功方程？
矩阵表达式为
式中{δ*}为虚位移列阵，{F}为外力列阵，{ε*}为虚应变列阵，{σ}为应
力列阵。
16、什么是位移变分方程，也称拉格朗日变分方程？
17、什么是极小势能原理？
对于稳定平衡状态，实际发生的位移使弹性体的势能取极小值。
极小势能原理与虚功方程、拉格朗日变分方程是完全等价的。
18、有限元法求解问题的基本步骤？
1．建立几何模型
2．连续体离散化
3．单元分析
4．整体分析和
5．边界条件的处理
6．施加载荷
7、有限元方程求解
8．结果后处理和分析
19、主要的单元类型有哪些？
杆状单元：包括平面（空间）杆单元、梁单元
平面单元：常见的平面单元有三角形单元和四边形单元，矩形单元是经常采用的特殊的四边形单元。
?弹性力学平面问题根据其应力与应变特点分为平面应力问题和平面应变问题，在进行有限元分析时他们所采用的基本单元是相同的，区别仅在于弹性矩阵不同。
?平面单元属于二维单元，只能承受单元平面内的分布力和集中力，不能承受面外载荷。
薄板弯曲单元和薄板单元：
薄板弯曲单元通常也有三角形单元和四边形单元两种，矩形单元为后者的特殊形式，通常三角形单元有三个节点，四边形单元有四个节点。主要承受横向载荷和绕水平轴的弯矩。
多面体单元：
常用的三维多面体单元有四节点四面体单元和八节点六面体单元，六面体单元有规则六面体和不规则六面体。
20、什么是等参单元？
把单元形状的变化和单元内位移函数的变化用相同数目的节点参数和相同
的插值函数进行变换，即所谓等参变换，采用等参变换的单元称为等参单元。 21、什么条件下可以按轴对称问题处理？
在一些实际问题中，如飞轮、转轴、活塞、汽缸套等都是回转结构，如果约束条件和载荷都对称于回转轴，其应力、应变和位移也都对称于回转轴线，这类应力应变问题称为轴对称问题。 22、如何构建单元插值函数？
在有限元分析中一般都采用多项式作为插值函数，多项式的项数由所选取的单元和单元的节点数决定。
23、掌握三角形三节点单元和四节点四边形单元的插值函数和形函数的构造和推导。
三角形三节点单元： 三角形插值函数：
代入节点坐标点1（a ，0），点2（a ，a ），点3（0，0），
解得：
1
2
3
?????++=++=y
a x a a v y a x a a u e e
654321???????????==++=++=+=+=4
313
65423212541211a v a
u a a a a a v a a a a a u a
a a v a
a a u e e e
e e
e ???????????-=-==-=-==a
v v a a
v v a v a a u u a a u u a u a e e e e e e e e
e e /)(/)(/)(/)(126315
3
412331231
故
所以
即：
其中：
写成矩阵形式：
其中：
根据根据平面问题几何方程：
其中：
[]1
2
3=B B B B
根据平面应力问题的物理方程
???
???
?-++-=-++-=e
e e e e e
e e v a x v a y v a y x v u a x u a y u a y x u 321321)1()1(?????++=++=e e e e e
e e e v N v N v N v u N u N u N u 3
32211332211?????-+-+=-+-+=a
y v v a x v v v v a y u u a x u u u u e e e e e e e e e e e e /)(/)(/)(/)(1231312313??
?
?
?
?
???-==
-=a x N a y N a y x N 1321[]{}
e
e e N v u δ=??
????????[][]
321,,N N N N ={}[]{}[]{}e
e xy y x B B B B δδγεεε==?
??
???????=321,,a a a a a
B --=001210
00
01
22a a a
B =
a
a a
B --=00
001
23
其中式中[S]=[D][B]为应力矩阵，[D]为弹性矩阵
四节点四边形单元
设节点坐标为：i （-a,-b ）, j(a,-b), l(a,b), m(-a,b) 四边形插值函数：
单元内任一点位移与节点位移之间的关系可以表达为
可以推导出其形函数为：
? 上式如果令： ? ?
? 形函数可写如下成无量纲形式
2
200
21a a a
a a E
S -
-=02
00022a
a
a E
S -=2
00023a
a
a a E
S -
-=?????+++=+++=xy
a y a x a a v xy
a y a x a a u e
e
87654321
则：
根据弹性力学平面问题几何方程，
其中，
代入无量纲插值函数，
其中：
根据弹性力学平面问题的物理方程：
代入无量纲形函数：
24、形函数有什么特征？
形函数应有如下特征：
(1) 本节点上为1，其它节点上为0，即
(2) 在单元内任一点各形函数之和等于1，即
这一性质反映单元的刚体位移。
(3) 单元任意一条边上的形函数，仅与该边两端节点的坐标有关，而与其他节点无关，这一性质可以保证相邻单元在公共边界上位移的连续性。
25、为了保证解的收敛性，选用的位移函数应当满足下列要求:
a. 单元位移函数的项数，至少应等于单元的自由度数。它的阶数至少包含常数项和一次项。至于高次项要选取多少项，则应视单元的类型而定。
b. 单元的刚体位移状态和应变状态应当全部包含在位移函数中。
c. 单元的位移函数应保证在单元内连续，以及相邻单元之间的位移协调性。
26、如何进行载荷移置？
(1) 集中力。等效载荷为
由虚功原理得到：
(2) 体力。等效载荷为
由虚功原理有
(3) 分布面力。等效载荷为
由虚功原理有
27、如果一个弹性结构被分解为1000个20节点六面体单元，总共有1500个节点，其整体刚度矩阵为多少阶矩阵？
28、整体刚度矩阵有什么性质？
整体刚度矩阵[K]具有以下性质：
(1) 整体刚度矩阵是对称的稀疏矩阵，矩阵中各个元素都集中分布于对角线附近，形成“带状”，其余元素均为零。
(2) 由于单元刚度矩阵对角线上的元素均大于零，由整体刚度形成的方式可知，整体刚度矩阵的主对角线元素必然大于零。
(3) 未经约束条件处理的刚度矩阵是奇异矩阵。故在求解有限元方程时，需要根据约束条件，修正结构刚度矩阵以消除奇异性。
29、如何消除整体刚度矩阵的奇异性？
整体刚度矩阵的奇异性是由于刚体位移的存在，代入边界条件可以消除刚体位移，从而消除刚体矩阵的奇异性，最终使方程可解。
30、如何处理边界条件？
（1）划行划列法
当某一位移为零时，如（r 为整体编号），可将整体刚度矩阵中的第r 行和第r 列划去，同时划掉第r 行载荷列阵和位移列阵元素，对于多个零位移条件依次处理。
（2）对角线元素置1法
当给定位移为零时，如（r为整体编号），在整体刚度矩阵除了让主对角元素外，整体刚度矩阵中的第r行和第r列元素均改为零，同时在整体载荷列阵中让。这样修正以后，解方程时。对于多个零位移边界条件依次处理，全部修正完毕再进行求解。这种方法不改变原来方程的阶数和节点未知量的顺序，便于计算机编程实现。
（3）对角线元素乘大数法
当节点位移为定值，如，类似对角线元素置1 法，不同之处在于
对角元素K
rr 乘以大数a （ a 可取1010左右数量级），并将 F
r
用aK
rr
u
c
代替既
可。
解方程可得，对于多个位移依次作上述修正。
也可以看到对角线元素乘大数法对于零位移同样适用，因此此方法可适用上
面提到的两种边界条件，而且使用简单，编程方便，在有限元边界条件处理中被广泛使用。
31、进行有限元计算后处理的目的是什么？
在完成有限元计算过程之后，对有限元计算结果进行整理和后处理，以期获得如下输出：
第一，要得到结构中关键位置力学量的数值，如最大位移、最大主应力和主应变、等效应力等。
第二，得到整个结构的力学量的分布，如根据计算结果可以直接绘制位移分布图，结构边界上节点位移的连线形成结构外形的改变；对于应力也可以绘制应力分布图；以及典型切面上位移、应力和应变的分布等。
第三，后处理得到输入量和输出量之间的响应关系。
第四，最后选择前后处理结果的输出方式，如列表输出、图形输出、计算机动画模拟等方式。
32、如果有限元计算结果不符合实际情况或者计算进行不下去，可能出现的错误有哪些？
建模过程中的每个因素都可能造成计算结果错误或计算困难。如果计算结果不符合实际情况或者计算进行不下去，可能出现的错误有:
单元类型不对、
网格数量太少、
材料模型错误、
约束和载荷的施加方式不对、
接触定义有问题、
网格质量差、
计算方法不对等，
33、有限元建模的准则是什么？
（1) 有限元模型应满足平衡条件。即结构的整体和任意一单元在节点上都必须保持静力平衡。
（2) 满足变形协调条件。交汇于一个节点上的各单元在受力变形后也必须保持汇交于同一节点。
（3) 满足边界条件和材料的本构关系。边界条件包括整个结构的边界条件和单元间的边界条件。
（4) 刚度等价原则。有限元模型的抗拉压、抗弯曲、抗扭转、抗剪切刚度应尽可能与原来结构等价。
（5) 认真选取单元，包括单元类型、形状、阶次，使之能够很好地模拟几何
a b c
d
e
f 形状、反映受力和变形情况。单元类型如杆单元、梁单元、平面单元、板单元或空间单元等，空间块体又分四面体块单元或六面体块单元，六面体块单元又分八节点六面体或二十节点六面体等。选取单元时应综合考虑结构的类型、形状特征、应力和变形特点、精度要求和硬件条件等因素。
（6) 应根据结构特点、应力分布情况、单元的性质、精度要求及其计算量的大小等仔细划分计算网格。
（7) 在几何上要尽可能地逼近真实的结构体，其中特别要注意曲线与曲面的逼近问题。
（8) 仔细处理载荷模型，正确生成节点力，同时载荷的简化不应该跨越主要的受力构件。
（9) 质量的堆积应该满足质心及惯性矩等效要求。 （10) 超单元的划分尽可能单级化并使剩余结构最小。 34、如何处理下列情况的边界条件？
对于基于位移模式的有限元法，在结构的边界上必须严格满足已知的位移约束条件
35、为什么平面三角形单元又称为常应变单元？
由于采用了线性位移函数的缘故应变矩阵[B ]是常量，单元内各点应变分量也都是常量，故这种单元称为常应变三角形单元。 36、减小解题规模的常用措施有哪些？
（1）合理利用对称性和反对称性条件 （2）合理利用周期性条件 （3）降维处理和几何简化
（4）合理采用子结构技术 （5）非线性问题线形近似化 （6）多种载荷工况的合并处理 （7）节点编号的优化
37、半带宽d=（相关节点号的最大差值+1）×节点自由度数
38、掌握杆单元、梁单元的插值函数和形函数构建与推导。（见ppt 第五章） 39、如何判定结构是否为板壳问题？
需要确定厚度与其它方位尺寸的比值，如果 1/80≤t ≤1/10可以归结为板（薄壳）问题，若介于1/10 ~ 1/5 之间属于厚壳问题，若大于 1/5 则不属于板壳结构问题。
40、如何描述多自由度系统的振动方程？
质量矩阵[M ]，阻尼矩阵[C ]，刚度矩阵[K ] 41、试推导单元一致质量矩阵
42、如何描述三角形单元集中质量矩阵？
43、试推导阻尼矩阵
[]{}[]{}
[]{}(){}t F K C M =++δδδ {}{}
f t
P i 22
??-=ρ{}[]{}e
N f δ={}[]{}e
i t
N P δρ22
??-={}
[]{}dV P N P i T
e p
???
-=[][]{}e T
t dV N N δρ22
??-=???[][]{}e T
dV N N δρ ???
-
=[]{}
e e m δ
-=[]??
?
??
?
???
?
?????
?????=100000
010000001000000100
0000100000013g W m e []{}
f t
P r ??-=γ
2011年有限元试题 一、简答 1、有限元平面问题有几个自由度？空间问题有几个自由度？弹性力学三大方程分别应用了何种假定？ 2、位移模式的完备性条件是什么？必须要满足吗？ 3、如图所示节点编号，计算半带宽，并画出最合理的节点编号，刚度矩阵中对角元素为何都为正值？ 4、等参单元变换的必要条件是什么？ 5、简述铁木辛柯梁的基本特点，解释何谓剪切锁死现象，并给出避免出现剪切闭锁的条件。 二、推导题 1、用自然坐标推导四节点矩形单元的形函数 2、计算等效荷载，如图 3、分析下图的高斯点选取是否合理 三、计算 1、如图 （1）计算三角形单元的位移模式 （2）已知三节点的位移分别为() ,;,;,j j m i m i u u u v v v （已知数据），A 点的坐标（0.5，0.2,0）求A 点的位移分量
2、已知基本方程d 0d u u x +=，边界条件01x u ==，选取试函数1u cx =+ 用伽辽金法确定系数c 3、求雅克比矩阵J （同作业题） 4、如图所示结构当节点编号如右图所示时，可求出其单元刚度矩阵为 11121621 2226616266a a a a a a K a a a ??????=?????? （考试中均为具体数据） 试确定局部刚度矩阵[]22K 及[]45K
2005年有限元试卷 一、简答题 1、加权残数法、变分法与有限元法的联系与区别是什么？有限元方法有什么优点？ 2、单元分析的重点是什么？单元刚度矩阵有什么特征？其中每一个元素的物理意义是什么？单元分析中坐标转换的作用是什么？ 3、在有限元法中，等参单元的主要有点事什么？在应用等参单元时，坐标变换的精度与位移模式的精度是否一样？等参单元计算中积分阶次选择的原则是什么？ 4、为什么位移型有限元应力解的精度要低于位移解？应力解的近似性表现在哪些方面？应力近似解的性质是什么？试分析下列平面单元中的位移和应力的误差量级？ （1）三点三角形单元（2）四节点举行单元（3）六节点三角形单元 （4）四节点直边四边形等参单元（5）把节点曲边四边形等参单元 5、在博班弯曲问题中，何谓协调单元和非协调单元？试论证四节点矩形板12个自由度弯曲单元是完备的非协调单元 6、常用的构造单元插值函数的方法有哪三种？各有哪些优点？ 7、什么是材料非线性问题和几何非线性问题？各自的难点是什么？材料非线性和几何非线性有什么联系和区别？ 8、什么是非线性有限元方程的迭代解法和增量解法？各自的适用范围是什么？常见的迭代收敛准则有哪些？当有限元求解结果不对时，可从哪些方面进行检查？ 9、简要说明学习“有限元的”的心得体会？ 二、计算推导题 1、图示等刚度悬臂梁受均布荷载作用，假定试函数为：()21cos x x c l f π??=- ??? ，梁截面抗弯刚度为EI ，试采用最小势能原理计算梁的最大挠度 X
CATIA有限元分析计算实例 CATIA有限元分析计算实例 11.1例题1 受扭矩作用的圆筒 11.1－1划分四面体网格的计算 （1）进入【零部件设计】工作台 启动CATIA软件。单击【开始】→【机械设计】→【零部件设计】选项，如图11－1所示，进入【零部件设计】工作台。 图11－1单击【开始】→【机械设计】→【零部件设计】选项 单击后弹出【新建零部件】对话框，如图11-2所示。在对话框内输入新的零件名称，在本例题中，使用默认的零件名称【Part1】。点击对话框内的【确定】按钮，关闭对话框，进入【零部件设计】工作台。 （2）进入【草图绘制器】工作台 在左边的模型树中单击选中【xy平面】, 如图11-3所示。单击【草图编辑器】工具栏内的【草图】按钮，如图11-4所示。这时进入【草图绘制器】工作台。 图11－2【新建零部件】对话框
图11－3单击选中【xy平面】 （3）绘制两个同心圆草图 点击【轮廓】工具栏内的【圆】按钮，如图11-5所示。在原点点击一点，作为圆草图的圆心位置，然后移动鼠标，绘制一个圆。用同样分方法再绘制一个同心圆，如图11-6所示。 图11－4【草图编辑器】工具栏 图11－5【轮廓】工具栏 下面标注圆的尺寸。点击【约束】工具栏内的【约束】按钮，如图11-7所示。点击选择圆，就标注出圆的直径尺寸。用同样分方法标注另外一个圆的直径，如图11-8所示。 图11－6两个同心圆草图 图11－7【约束】工具栏 双击一个尺寸线，弹出【约束定义】对话框，如图11－9所示。在【直径】数值栏内输入100mm，点击对话框内的【确定】按钮，关闭对话框，同时圆的直径尺寸被修改为100mm。用同样的方法修改第二个圆的直径尺寸为50mm。修改尺寸后的圆如图11-10所示。
一．是非题（认为该题正确，在括号中打；该题错误，在括号中打×。）(每小题2分) （1）用加权余量法求解微分方程，其权函数V和场函数u的选择没有任何限制。（×）（2）四结点四边形等参单元的位移插值函数是坐标x、y的一次函数。（√）（3）在三角形单元中，其面积坐标的值与三结点三角形单元的结点形函数值相等。（√）（4）二维弹性力学问题的有限元法求解，其收敛准则要求试探位移函数C1连续。（×）（5）有限元位移法求得的应力结果通常比应变结果精度低。（×）（6）等参单元中Jacobi行列式的值不能等于零。（√）（7）在位移型有限元中，单元交界面上的应力是严格满足平衡条件的。（×）（8）四边形单元的Jacobi行列式是常数。（×）（9）利用高斯点的应力进行应力精度的改善时，可以采用与位移插值函数不同结点的形函数进行应力插值。（√）（10）一维变带宽存储通常比二维等带宽存储更节省存储量。（√） 二．单项选择题（共20分，每小题2分）C B B C B C D C C C 1 在加权余量法中，若简单地利用近似解的试探函数序列作为权函数，这类方法称为 ____C__________。 （A）配点法（B）子域法（C）伽辽金法 2 等参变换是指单元坐标变换和函数插值采用__B____的结点和______的插值函数。（A）不相同，不相同（B）相同，相同（C）相同，不相同（D）不相同，相同 3 有限元位移模式中，广义坐标的个数应与_____B______相等。 （A）单元结点个数（B）单元结点自由度数（C）场变量个数 4 采用位移元计算得到应力近似解与精确解相比较，一般______C_____。 （A）近似解总小于精确解（B）近似解总大于精确解（C）近似解在精确解上下震荡（D）没有规律 5 如果出现在泛函中场函数的最高阶导数是m阶，单元的完备性是指试探函数必须至少 是__B____完全多项式。 （A）m-1次（B）m次（C）2m-1次 6 与高斯消去法相比，高斯约当消去法将系数矩阵化成了____C_____形式，因此，不用 进行回代计算。 （A）上三角矩阵（B）下三角矩阵（C）对角矩阵 7 对称荷载在对称面上引起的________D________分量为零。 （A）对称应力（B）反对称应力（C）对称位移（D）反对称位移 8 对分析物体划分好单元后，______C____会对刚度矩阵的半带宽产生影响。 （A）单元编号（B）单元组集次序（C）结点编号 9 n个积分点的高斯积分的精度可达到__C____阶。 （A）n-1 （B）n（C）2n-1 （D）2n 10 引入位移边界条件是为了消除有限元整体刚度矩阵K的____C______。 （A）对称性（B）稀疏性（C）奇异性 三．简答题（共20分，每题5分） 1、简述有限单元法结构刚度矩阵的特点。 （1）对称性；（2）奇异性；（3）主对角元恒正；（4）稀疏性；（5）非零元素带状分布
一判断题节点的位置依赖于形态而并不依赖于载荷的位置√2. 对于高压电线的铁塔那样的框架结构的模型化处理使用梁单元×3. 不能把梁单元、壳单元和实体单元混合在一起作成模型√4. 四边形的平面单元尽可能作成接近正方形形状的单元×5. 平面应变单元也好平面应力单元也好如果以单位厚来作模型化处理的话会得到一样的答案×6. 用有限元法不可以对运动的物体的结构进行静力分析√7. 一般应力变化大的地方单元尺寸要划的小才好×8. 所谓全约束只要将位移自由度约束住而不必约束转动自由度√9. 同一载荷作用下的结构所给材料的弹性模量越大则变形值越小√10一维变带宽存储通常比二维等带宽存储更节省存储量。二、填空平面应力问题与薄板弯曲问题的弹性体几何形状都是薄板但前者受力特点是平行于板面且沿厚度均布载荷作用变形发生在板面内后者受力特点是垂直于板面的力的作用板将变成有弯有扭的曲面。平面应力问题与平面应变问题都具有三个独立的应力分量三个独立的应变分量但对应的弹性体几何形状前者为薄板后者为长柱体。位移模式需反映刚体位移反映常变形满足单元边界上位移连续。单元刚度矩阵的特点有对称性奇异性还可按节点分块。轴对称问题单元形状为三角形或四边形截面的空间环形单元由于轴对称的特性任意一点变形只发生在子午面上因此可以作为二维问题处理。等参数单元指的是描述位移和描述坐标采用相同的形函数形式。等参数单元优点是可以采用高阶次位移模式能够模拟复杂几何边界方便单元刚度矩阵和等效节点载荷的积分运算。有限单元法首先求出的解是节点位移单元应力可由它求得其计算公式为。8、一个空间块体单元的节点有 3 个节点位移变形体基本变量有位移应变应力基本方程平衡方程物理方程几何方程10.实现有限元分析标准化和规范化的载体就是单元 三选择题分等参变换是指单元坐标变换和函数插值采用__B___的结点和______ 的插值函数。不相同不相同相同相同相同不相同不相同 相同2 有限元位移模式中广义坐标的个数应与_______B____相等。单元结点个数 单元结点自由度数场变量个数 3 如果出现在泛函中场函数的最高阶导数是m阶单元的完备性是指试探函数必须至少是___B___完全多项式。-1次 次-1次 4 与高斯消去法相比高斯约当消去法将系数矩阵化成了____C_____形式因此不用进行回代计算。上三角矩阵下三角矩阵对角矩阵5 对分析物体划分好单元后会对刚度矩阵的半带宽产生影响。单元编号单元组集次序结点编号6 n个积分点的高斯积分的精度可达到__C____阶。--引入位移边界条件是为了消除有限元整 体刚度矩阵的_____C_____。对称性稀疏性奇异性三简答题 共20分每题5分、简述有限单元法结构刚度矩阵的特点。2、简述有限元法中选取单元位移函数多项式的一般原则。1、答答对前3个给4分对称性 奇异性主对角元恒正稀疏性非零元素带状分布2、答一般原则有(1) 广义坐标的个数应该与结点自由度数相等选取多项式时常数项和坐标的一次项必须完备多项式的选取应由低阶到高阶尽量选取完全多项式以提高单元的精度。有限元方法分析的目的对变形体中的位移、应力、应变进行定义和表达进而建立平衡方程、几何方程和物理方程。2)针对具有任意复杂几何形状的变形体完整得获取在复杂外力作用下它内部的准确力学信息。3)力学分析的基础上对设计对象进行强度(strength)、刚度评判修改、优化参数。有限单元法分析步骤1、结构的离散化2、选择位移模式3 、分析单元的力学特性4、集合所有单元平衡方程得到整体结构的平衡方程5、由平衡方程求解未知节点位移6、单元应变和应力的计算4连续体结构分析的基本假定连续性假设完全弹性假设均匀性假设
有限元法的基本思想及计算步骤 有限元法是把要分析的连续体假想地分割成有限个单元所组成的组合体，简称离散化。这些单元仅在顶角处相互联接，称这些联接点为结点。离散化的组合体与真实弹性体的区别在于：组合体中单元与单元之间的联接除了结点之外再无任何关联。但是这种联接要满足变形协调条件，即不能出现裂缝，也不允许发生重叠。显然，单元之间只能通过结点来传递内力。通过结点来传递的内力称为结点力，作用在结点上的荷载称为结点荷载。当连续体受到外力作用发生变形时，组成它的各个单元也将发生变形，因而各个结点要产生不同程度的位移，这种位移称为结点位移。在有限元中，常以结点位移作为基本未知量。并对每个单元根据分块近似的思想，假设一个简单的函数近似地表示单元内位移的分布规律，再利用力学理论中的变分原理或其他方法，建立结点力与位移之间的力学特性关系，得到一组以结点位移为未知量的代数方程，从而求解结点的位移分量。然后利用插值函数确定单元集合体上的场函数。显然，如果单元满足问题的收敛性要求，那么随着缩小单元的尺寸，增加求解区域内单元的数目，解的近似程度将不断改进，近似解最终将收敛于精确解。 用有限元法求解问题的计算步骤比较繁多，其中最主要的计算步骤为： 1）连续体离散化。首先，应根据连续体的形状选择最能完满地描述连续体形状的单元。常见的单元有：杆单元，梁单元，三角形单元，矩形单元，四边形单元，曲边四边形单元，四面体单元，六面体单元以及曲面六面体单元等等。其次，进行单元划分，单元划分完毕后，要将全部单元和结点按一定顺序编号，每个单元所受的荷载均按静力等效原理移植到结点上，并在位移受约束的结点上根据实际情况设置约束条件。 2）单元分析。所谓单元分析，就是建立各个单元的结点位移和结点力之间的关系式。现以三角形单元为例说明单元分析的过程。如图1所示，三角形有三个结点i，j，m。在平面问题中每个结点有两个位移分量u，v和两个结点力分量F x，F y。三个结点共六个结点位移分量可用列
西安交通大学 级研究生课程考试试题 考试（查）科目：有限元方法（II ）时间 年 月 日下午 一、4 ) 4,4(),()5,5(),()2,6(),()2,2(),(4 4332211====y x ， y x ，y x ， y x 母体单元为22?的正方形，如图所示。 求：（1）单元坐标变换()(ξηξ,,, y y x x == （2）变换的Jacobi 行列式detJ 的解析表达式，并分析该变换是否存在奇异性（8分）。 二、分析以下两种单元的位移场是否具备收敛到真实解所需的各项条件。（30） （1） 13结点矩形平面应力单元 结点参数取为：)13~ 1( ,=i v u i i 位移场为： 3 132 2 123 113 102 92 83726524321xy y x y x y xy y x x y xy x y x u ααααααααααααα++++++++++++= 3 262 2 253 243 232 222 2132021918217161514xy y x y x y xy y x x y xy x y x v ααααααααααααα++++++++++++=（2） 6自由度三角形薄板弯曲单元 结点参数取为： ()3~1=i w i ()6~4=??? ????i n w i 位移场为： 2 652 4321y xy x y x w αααααα+++++= 三、13结点平面应力单元如图所示， 在计算单元刚度矩阵时取图示的9个 积分点。试分析在单元一级是否存在 出现零变形能位移模式的可能性。 ,u x 7 8 10 9 11 12 1 2 3 4 5 6
一 判断题（20分） （×）1. 节点的位置依赖于形态，而并不依赖于载荷的位置 （√）2. 对于高压电线的铁塔那样的框架结构的模型化处理使用梁单元 （×）3. 不能把梁单元、壳单元和实体单元混合在一起作成模型 （√）4. 四边形的平面单元尽可能作成接近正方形形状的单元 （×）5. 平面应变单元也好，平面应力单元也好，如果以单位厚来作模型化 处理的话会得到一样的答案 （×）6. 用有限元法不可以对运动的物体的结构进行静力分析 （√）7. 一般应力变化大的地方单元尺寸要划的小才好 （×）8. 所谓全约束只要将位移自由度约束住，而不必约束转动自由度 （√）9. 同一载荷作用下的结构，所给材料的弹性模量越大则变形值越小 （√）10一维变带宽存储通常比二维等带宽存储更节省存储量。 二、填空（20分） 1．平面应力问题与薄板弯曲问题的弹性体几何形状都是 薄板 ，但前者受力特点是： 平行于板面且沿厚度均布载荷作用 ，变形发生在板面内； 后者受力特点是： 垂直于板面 的力的作用，板将变成有弯有扭的曲面。 2．平面应力问题与平面应变问题都具有三个独立的应力分量： σx ，σy ，τxy ，三个独立的应变分量：εx ，εy ，γxy ，但对应的弹性体几何形状前者为 薄板 ，后者为 长柱体 。3．位移模式需反映 刚体位移 ，反映 常变形 ，满足 单元边界上位移连续 。 4．单元刚度矩阵的特点有：对称性 ， 奇异性 ，还可按节点分块。 5．轴对称问题单元形状为：三角形或四边形截面的空间环形单元 ，由于轴对称的特性，任意一点变形只发生在子午面上，因此可以作为 二 维问题处理。 6．等参数单元指的是：描述位移和描述坐标采用相同的形函数形式。等参数单元优点是：可以采用高阶次位移模式，能够模拟复杂几何边界，方便单元刚度矩阵和等效节点载荷的积分运算。 7．有限单元法首先求出的解是 节点位移 ，单元应力可由它求得，其计算公式为 {}{} [][]e D B σδ=。（用符号表示即可） 8．一个空间块体单元的节点有 3 个节点位移： u ，v ，w 9．变形体基本变量有位移应变应力 基本方程 平衡方程 物理方程 几何方程 10.实现有限元分析标准化和规范化的载体就是单元
《汽车有限元基础》2009-2010二学期考试试卷
《汽车有限元基础》2009-2010第二学期考试试卷 一、填空题 1. 有限元法的基本思想是用个单元的集合来代替原来具有个自由 度的连续体。 2. 单元刚度矩阵K中元素K ij的物理意义：当单元第j个自由度产生而其它自由度固定时，在第i个自由度产生的。 3．按照各杆轴线及外力作用线在空间的位置，杆系结构可分为： 和。4．平面刚架中各单元发生轴向拉压变形及面内的弯曲变形，而且这两种变形相互独立，因此刚架单元可以看成是由单元和单元叠加而成。因此，平面刚架单元的节点位移应包含个平动分量和个转动分量。 5．工程中常用的薄板单元有：单元和单元。6．有限元分析的主要步骤先后为：(1) 网格划分, (2) , (3) 。 7. 单元特性分析的主要内容先后为：(1) 、(2) 、(3) 应力或内力、(4) 、(5) 单元节点载荷。 8．对于弹性变形体，承受的外载荷共有三种：集中载荷、和。在有限元法中，对于没有作用在节点上的这些外载荷，是按照的原则将其移置到节点上。 9．工程中任一平板，若其厚度为t，板面宽度为b，当t/b小于时可以认为是薄板。常用的薄板单元有：单元和单元。10．薄壳单元中的应力可看成平面应力问题和问题中两种应力的叠加。 11．求解结构系统的动力响应时，常用的两种求解方法为：和 12．在有限元分析中，为了描述几何模型和有限元模型，需要用到几种坐标系： (1) (2) (3) 和(4)
《汽车有限元基础》2009-2010第二学期考试试卷 二、 问答题 1．某一薄板矩形单元的节点编号按照逆时针依次为i 、j 、m 和p 。假设该单元每个节点的位移表示为{}{}T yi xi i i w θθδ=， (i, j, m, p )；该单元每个节点的载荷表示为{}{}T iy ix i i T T Z F θθ=，(i, j, m, p )。请写出该单元的单元节点位移列阵和单元 节点载荷列阵。 2．请写出使用有限元分析软件时，进行数据前处理的主要工作内容。 3．右下图为一典型三节点三角形平面单元，节点按照逆时针依次编号为i 、j 和m ，节点的坐标依次为(x i ，y i )，(x j ，y j )、（x m ，y m ）。假设单元内任意一点的两个位移分量分别表示u 和v 。请写出该单元位移模式的多项式形式，并简述待定常数个数的确定理由。 4. 请简述针对动力问题的有限元分析的基本步骤。
《有限元分析与应用》详细例题 试题1：图示无限长刚性地基上的三角形大坝，受齐顶的水压力作用，试用三节点常单元和六节点三角形单元对坝体进行有限元分析，并对以下几种计算方案进行比 较： 1）分别采用相同单元数目的三节点常应变单元和六节点三角形单元计算； 2）分别采用不同数量的三节点常应变单元计算； 3）当选常应变三角单元时，分别采用不同划分方案计算。 一．问题描述及数学建模 无限长的刚性地基上的三角形大坝受齐顶的水压作用可看作一个平面问题，简化为平面三角形受力问题，把无限长的地基看着平面三角形的底边受固定支座约束的作用，受力面的受力简化为受均布载荷的作用。 二．建模及计算过程 1. 分别采用相同单元数目的三节点常应变单元和六节点三角形单元计算 下面简述三节点常应变单元有限元建模过程（其他类型的建模过程类似）： 1.1进入ANSYS 【开始】→【程序】→ANSYS 10.0→ANSYS Product Launcher →change the working directory →Job Name: shiti1→Run 1.2设置计算类型 ANSYS Main Menu: Preferences →select Structural →OK 1.3选择单元类型 单元是三节点常应变单元，可以用4节点退化表示。 ANSYS Main Menu: Preprocessor →Element Type→Add/Edit/Delete →Add →select Solid Quad 4 node 42 →OK (back to Element Types window)→Options… →select K3: Plane Strain→OK→Close (the Element Type window) 1.4定义材料参数
1、何为有限元法？其基本思想是什么？ 有限元法是一种基于变分法而发展起来的求解微分方程的数值计算方法，该方法以计算机为手段，采用分片近似，进而逼近整体的研究思想求解物理问题。 基本思想是化整为零集零为整。 2、为什么说有限元法是近似的方法，体现在哪里？ 有两点：用离散单元的组合体来逼近原始结构，体现了几何上的近似；而用近似函数逼近未知变量在单元内的真实解，体现了数学上的近似。 3、单元、节点的概念？ 节点：表达实际结构几何对象之间相互连接方式的概念 单元：网格划分中的每一个小部分称为单元，网格间相互联结点称为节点 4、有限元法分析过程可归纳为几个步骤？ 结构离散化、单元分析、整体分析 5、有限元方法分几种？本课程讲授的是哪一种？ 位移法、力法、混合法本课程讲授位移法 6、弹性力学的基本变量是什么？何为几何方程、物理方程及虚功方程？弹性矩阵的特点？ 弹性力学变量:外力、应力、应变和位移。 描述弹性体应变分量与位移分量之间的方程称为几何方程；物理方程描述应力分量与应变分量之间的关系；弹性体上外力在虚位移发生过程中所做的虚功与储存在弹性体内的需应变能相等。 弹性矩阵由材料的弹性模量和泊松比确定，与坐标位置无关。 7、何为平面应力问题和平面应变问题？ 平面应力问题：在结构上满足a几何条件：研究对象是等厚度薄板。b载荷条件：作用于薄板上的载荷平行于板平面且沿厚度方向均匀分布，而在两板面无外力作用。 平面应变问题：满足a几何条件：长柱体，即长度方向的尺寸远远大于横截面的尺寸，且横截面沿长度方向不变。b载荷条件：作用于长柱体结构上的载荷平行于横截面且沿纵向方向均匀分布，两端面不受力两条件的弹性力学问题。 1、何为结构的离散化？离散化的目的？何为有限元模型？ ①离散化:把连续的结构看成由有限个单元组成的集合体。②目的：建立有限元计算模型③通常把由节点,单元及相应的节点载荷和节点约束构成的模型称为有限元模型
有限元分析软件 有限元分析是对于结构力学分析迅速发展起来的一种现代计算方法。它是50 年代首先在连续体力学领域--飞机结构静、动态特性分析中应用的一种有效的数值分析方法，随后很快广泛的应用于求解热传导、电磁场、流体力学等连续性问题。 有限元分析软件目前最流行的有：ANSYS、ADINA、ABAQUS、MSC 四个比较知名比较大的公司，其中ADINA、ABAQUS 在非线性分析方面有较强的能力目前是业内最认可的两款有限元分析软件，ANSYS、MSC 进入中国比较早所以在国内知名度高应用广泛。目前在多物理场耦合方面几大公司都可以做到结构、流体、热的耦合分析，但是除ADINA 以外其它三个必须与别的软件搭配进行迭代分析，唯一能做到真正流固耦合的软件只有ADINA。ANSYS是商业化比较早的一个软件，目前公司收购了很多其他软件在旗下。ABAQUS专注结构分析目前没有流体模块。MSC是比较老的一款软件目前更新速度比较慢。ADINA是在同一体系下开发有结构、流体、热分析的一款软件，功能强大但进入中国时间比较晚市场还没有完全铺开。 结构分析能力排名：ABAQUS、ADINA、MSC、ANSYS 流体分析能力排名：ANSYS、ADINA、MSC、ABAQUS 耦合分析能力排名：ADINA、ANSYS、MSC、ABAQUS 性价比排名：最好的是ADINA，其次ABAQUS、再次ANSYS、最后MSC ABAQUS 软件与ANSYS 软件的对比分析： 1．在世界范围内的知名度：两种软件同为国际知名的有限元分析软件，在世界范围内具有各自广泛的用户群。ANSYS 软件在致力于线性分析的用户中具有很好的声誉，它在计算机资源的利用，用户界面开发等方面也做出了较大的贡献。ABAQUS软件则致力于更复杂和深入的工程问题，其强大的非线性分析功能在设计和研究的高端用户群中得到了广泛的认可。由于ANSYS 产品进入中国市场早于ABAQUS，并且在五年前ANSYS 的界面是当时最好的界面之一，所以在中国，ANSYS 软件在用户数量和市场推广度方面要高于ABAQUS。但随着ABAQUS北京办事处的成立，ABAQUS软件的用户数目和市场占有率正在大幅度和稳步提高，并可望在今后的几年内赶上和超过ANSYS。 2．应用领域：ANSYS 软件注重应用领域的拓展，目前已覆盖流体、电磁场和多物理场耦合等十分广泛的研究领域。ABAQUS 则集中于结构力学和相关领域研究，致力于解决该领域的深层次实际问题。 3．性价比：ANSYS 软件由于价格政策灵活，具有多种销售方案，在解决常规的
一、简答题（40分，每小题5分） 1、 分别写出板弯类单元和平面应力膜单元上一个有限元节点的位移自由度 及其相对应的节点力列阵？ (1)薄板弯曲问题单元每节点三自由度，即每个结点有三个位移分量： 挠度w ,绕x 、y 轴转角 ??? ??? ?y x y x w θ θ轴转角绕轴转角绕挠度，即结点i 的位移 {}i yi xi i i x w y w w w d ?? ??? ? ??????????-??=??????????????=θθ ()4,1K =i 同理,相应的结点力 {}）轴力偶（上节中的绕）轴力偶（上节中的 绕竖向力 x y M y M x ??? ???????????=yi xi i i M M f F (2)平面应力膜单元每个节点两自由度，{},T i i u v ,对应节点力{},T xi yi f f 2、 欲求解在ay by cx R '''++=约束下的泛函(;,)b a I F x y y dx '=?极值，新泛函应 如何构造？ 答：* {(;,)()}b a I F x y y ay by cx R dx λ''''=+++-? 3、 欲求解在()(),,R P x y dx Q x y dy =+??约束下的泛函(;,)b a I F x y y dx '=?极 值，新泛函应如何构造？ 答：()()* {(;,)[,,']}b a I F x y y P x y Q x y y R dx λ'=++-? 4、 满足()f g g f ds L ''+=??条件下的泛函(;,)b a I F x y y dx '=?极值求解应如何构造新泛函？
有限元分析软件的比较（购买必看）－转贴 随着现代科学技术的发展，人们正在不断建造更为快速的交通工具、更大规模的建筑物、更大跨度的桥梁、更大功率的发电机组和更为精密的机械设备。这一切都要求工程师在设计阶段就能精确地预测出产品和工程的技术性能，需要对结构的静、动力强度以及温度场、流场、电磁场和渗流等技术参数进行分析计算。例如分析计算高层建筑和大跨度桥梁在地震时所受到的影响，看看是否会发生破坏性事故；分析计算核反应堆的温度场，确定传热和冷却系统是否合理；分析涡轮机叶片内的流体动力学参数，以提高其运转效率。这些都可归结为求解物理问题的控制偏微分方程式，这些问题的解析计算往往是不现实的。近年来在计算机技术和数值分析方法支持下发展起来的有限元分析（FEA，Finite Element A nalysis）方法则为解决这些复杂的工程分析计算问题提供了有效的途径。在工程实践中，有限元分析软件与CAD系统的集成应用使设计水平发生了质的飞跃，主要表现在以下几个方面： 增加设计功能，减少设计成本； 缩短设计和分析的循环周期； 增加产品和工程的可靠性； 采用优化设计，降低材料的消耗或成本； 在产品制造或工程施工前预先发现潜在的问题； 模拟各种试验方案，减少试验时间和经费； 进行机械事故分析，查找事故原因。 在大力推广CAD技术的今天，从自行车到航天飞机，所有的设计制造都离不开有限元分析计算，FEA在工程设计和分析中将得到越来越广泛的重视。国际上早20世纪在50年代末、60年代初就投入大量的人力和物力开发具有强大功能的有限元分析程序。其中最为著名的是由美国国家宇航局（NASA）在1965年委托美国计算科学公司和贝尔航空系统公司开发的NASTRAN有限元分析系统。该系统发展至今已有几十个版本，是目前世界上规模最大、功能最强的有限元分析系统。从那时到现在，世界各地的研究机构和大学也发展了一批规模较小但使用灵活、价格较低的专用或通用有限元分析软件，主要有德国的ASKA、英国的PA FEC、法国的SYSTUS、美国的ABQUS、ADINA、ANSYS、BERSAFE、BOSOR、COSMOS、ELAS、MARC和STARDYNE等公司的产品。 以下对一些常用的软件进行一些比较分析： 1. LSTC公司的LS-DYNA系列软件
有限元复习 一、选择题（每题1分，共10分） 二、判断题（每空1分，共10分） 三、填空题（每空1分，共10分） 三、简答题（共44分）共6题 四、综述题（共26分）两题 一．基本概念 1. 平面应力/平面应变问题；空间问题/轴对称问题；杆梁问题；线 性与非线性问题 平面应力问题 （1） 均匀薄板（2）载荷平行于板面且沿厚度方向均匀分布 在六个应力分量中，只需要研究剩下的平行于XOY 平面的三个应力分量，即x y xy yx σσττ=、、 （000z zx xz zy yz σττττ=====，，）。 一般0z σ=，z ε并不一定等于零，但可由x σ及y σ求得，在分析问题时不必考虑。于是只需要考虑 x y xy εεγ、、三个应变分量即可。 平面应变问题
（1） 纵向很长，且横截面沿纵向不变。（2）载荷平行于横截面且沿纵向 均匀分布 z yz zx εγγ===只剩下三个应变分量x y xy εεγ、、。也只需要考虑x y xy σστ、、三个应力分量即可 轴对称问题 物体的几何形状、约束情况及所受外力都对称于空间的某一根轴。 轴对称单元的特点（与平面三角形单元的区别）：轴对称单元为圆环体，单元与单元间为节圆相连接；节点力与节点载荷是施加于节圆上的均布力；单元边界是一回转面；应变不是常量。 在轴对称问题中，周向应变分量θε是与r 有关。 板壳问题 一个方向的尺寸比另外两个方向尺寸小很多，且能承受弯矩的结构称为板壳结构，并把平分板壳结构上下表面的面称为中面。如果中面是平面或平面组成的折平面，则称为平板；反之，中面为曲面的称为壳。 杆梁问题 杆梁结构是指长度远大于其横断面尺寸的构件组成的系统。在结构力学中常将承受轴力或扭矩的杆件称为杆，而将承受横向力和弯矩的杆件称为梁。 平面（应力应变）问题与板壳问题的区别与联系 平面应力问题是指很薄的等厚度薄板，只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的面力，同时，体力也平行于板面并且不沿厚度变化。而平面应变问题是指很长的柱形体，在柱面上受有平行于横截面并且不沿长度变化的面力，同时
有限元试题及答案
一判断题（20分） （×）1. 节点的位置依赖于形态，而并不依赖于载荷的位置 （√）2. 对于高压电线的铁塔那样的框架结构的模型化处理使用梁单元 （×）3. 不能把梁单元、壳单元和实体单元混合在一起作成模型 （√）4. 四边形的平面单元尽可能作成接近正方形形状的单元 （×）5. 平面应变单元也好，平面应力单元也好，如果以单位厚来作模型化 处理的话会得到一样的答案 （×）6. 用有限元法不可以对运动的物体的结构进行静力分析 （√）7. 一般应力变化大的地方单元尺寸要划的小才好 （×）8. 所谓全约束只要将位移自由度约束住，而不必约束转动自由度 （√）9. 同一载荷作用下的结构，所给材料的弹性模量越大则变形值越小（√）10一维变带宽存储通常比二维等带宽存储更节省存储量。 二、填空（20分） 1．平面应力问题与薄板弯曲问题的弹性体几何形状都是薄板，但前者受力特点是：平行于板面且沿厚度均布载荷作用，变形发生在板面内； 后者受力特点是：垂直于板面的力的作用，板将变成有弯有扭的曲面。 2．平面应力问题与平面应变问题都具有三个独立的应力分量：σx，σy，τxy ，三个独立的应变分量：εx，εy，γxy，但对应的弹性体几何形状前者为薄板，后者为长柱体。3．位移模式需反映刚体位移，反映常变形，满足单元边界上位移连续。 4．单元刚度矩阵的特点有：对称性，奇异性，还可按节点分块。
5．轴对称问题单元形状为：三角形或四边形截面的空间环形单元，由于轴对称的特性，任意一点变形只发生在子午面上，因此可以作为二维问题处理。6．等参数单元指的是：描述位移和描述坐标采用相同的形函数形式。等参数单元优点是：可以采用高阶次位移模式，能够模拟复杂几何边界，方便单元刚度矩阵和等效节点载荷的积分运算。 7．有限单元法首先求出的解是节点位移，单元应力可由它求得，其计算公式为。（用符号表示即可） 8．一个空间块体单元的节点有 3 个节点位移： u，v，w 9．变形体基本变量有位移应变应力基本方程平衡方程物理方程几何方程 10.实现有限元分析标准化和规范化的载体就是单元
CATIA有限元分析计算实例 11.1例题1 受扭矩作用的圆筒 11.1－1划分四面体网格的计算 （1）进入【零部件设计】工作台 启动CATIA软件。单击【开始】→【机械设计】→【零部件设计】选项，如图11－1所示，进入【零部件设计】工作台。 图11－1单击【开始】→【机械设计】→【零部件设计】选项 单击后弹出【新建零部件】对话框，如图11-2所示。在对话框内输入新的零件名称，在本例题中，使用默认的零件名称【Part1】。点击对话框内的【确定】按钮，关闭对话框，进入【零部件设计】工作台。 （2）进入【草图绘制器】工作台 在左边的模型树中单击选中【xy平面】, 如图11-3所示。单击【草图编辑器】工具栏内的【草图】按钮，如图11-4所示。这时进入【草图绘制器】工作台。
图11－2【新建零部件】对话框 图11－3单击选中【xy平面】 （3）绘制两个同心圆草图 点击【轮廓】工具栏内的【圆】按钮，如图11-5所示。在原点点击一点，作为圆草图的圆心位置，然后移动鼠标，绘制一个圆。用同样分方法再绘制一个同心圆，如图11-6所示。 图11－4【草图编辑器】工具栏 图11－5【轮廓】工具栏 下面标注圆的尺寸。点击【约束】工具栏内的【约束】按钮，如图11-7所示。点击选择圆，就标注出圆的直径尺寸。用同样分方法标注另外一个圆的直径，如图11-8所示。
图11－6两个同心圆草图 图11－7【约束】工具栏 双击一个尺寸线，弹出【约束定义】对话框，如图11－9所示。在【直径】数值栏内输入100mm，点击对话框内的【确定】按钮，关闭对话框，同时圆的直径尺寸被修改为100mm。用同样的方法修改第二个圆的直径尺寸为50mm。修改尺寸后的圆如图11-10所示。 图11－8标注直径尺寸的圆草图 图11－9【约束定义】对话框 （4）离开【草图绘制器】工作台 点击【工作台】工具栏内的【退出工作台】按钮，如图11-11所示。退出【草图绘制器】工作台，进入【零部件设计】工作台。 图11－10修改直径尺寸后的圆 图11－11【工作台】工具栏
有限元法基础试题（A ） 一、填空题（5×2分） 1.1单元刚度矩阵e T k B DBd Ω = Ω? 中，矩阵B 为__________，矩阵D 为___________。 1.2边界条件通常有两类。通常发生在位置完全固定不能转动的情况为_______边界，具体指定有限的非零值位移的情况，如支撑的下沉，称为_______边界。 1.3内部微元体上外力总虚功： ()(),,,,e x x xy y bx xy x y y by d W F u F v dxdy δστδτσδ??=+++++??+(),,,,x x y y xy y x u v u u dxdy σδσδτδδ??+++??的表达式中，第一项为____________________的虚功，第二项为____________________的虚功。 1.4弹簧单元的位移函数1N +2N =_________。 1.5 ij k 数学表达式：令j d =_____，k d =_____，k j ≠，则力i ij F k =。 二、判断题（5×2分） 2.1位移函数的假设合理与否将直接影响到有限元分析的计算精度、效率和可靠性。（ ） 2.2变形体虚功原理适用于一切结构（一维杆系、二维板、三位块体）、适用于任何力学行为的材料（线性和非线性），是变形体力学的普遍原理。 （ ） 2.3变形体虚功原理要求力系平衡，要求虚位移协调，是在“平衡、协调”前提下功的恒等关系。 （ ） 2.4常应变三角单元中变形矩阵是x 或y 的函数。 （ ） 2.5 对称单元中变形矩阵是x 或y 的函数。 （ ） 三、简答题（26分） 3.1列举有限元法的优点。（8分） 3.2写出有限单元法的分析过程。（8分） 3.3列出3种普通的有限元单元类型。（6分） 3.4简要阐述变形体虚位移原理。（4分） 四、计算题（54分） 4.1对于下图所示的弹簧组合，单元①的弹簧常数为10000N/m ，单元②的弹簧常数为20000N/m ，单元③的弹簧常数为10000N/m ，确定各节点位移、反力以及单元②的单元力。（10分） 4.2对于如图所示的杆组装，弹性模量E 为10GPa ，杆单元长L 均为2m ，横截面面积A 均为2×10-4m 2，弹簧常数为2000kN/m ，所受荷载如图。采用直接刚度法确定节点位移、作用力和单元②的应力。（10分）
CA TIA有限元分析计算例题 11.1例题1 受扭矩作用的圆筒 11.1－1划分四面体网格的计算 （1）进入【零部件设计】工作台 启动CATIA软件。单击【开始】→【机械设计】→【零部件设计】选项，如图11－1所示，进入【零部件设计】工作台。 图11－1单击【开始】→【机械设计】→【零部件设计】选项单击后弹出【新建零部件】对话框，如图11-2所示。在对话框内输入新的零件名称，在本例题中，使用默认的零件名称【Part1】。点击对话框内的【确定】按钮，关闭对话框，进入【零部件设计】工作台。 （2）进入【草图绘制器】工作台 在左边的模型树中单击选中【xy平面】, 如图11-3所示。单击【草图编辑器】工具栏内的【草图】按钮，如图11-4所示。这时进入【草图绘制器】工作台。 图11－2【新建零部件】对话框 图11－3单击选中【xy平面】 （3）绘制两个同心圆草图 点击【轮廓】工具栏内的【圆】按钮，如图11-5所示。在原点点击一点，作为圆草图的圆心位置，然后移动鼠标，绘制一个圆。用同样分方法再绘制一个同心圆，如图11-6
所示。 图11－4【草图编辑器】工具栏 图11－5【轮廓】工具栏 下面标注圆的尺寸。点击【约束】工具栏内的【约束】按钮，如图11-7所示。点击选择圆，就标注出圆的直径尺寸。用同样分方法标注另外一个圆的直径，如图11-8所示。 图11－6两个同心圆草图 图11－7【约束】工具栏 双击一个尺寸线，弹出【约束定义】对话框，如图11－9所示。在【直径】数值栏内输入100mm，点击对话框内的【确定】按钮，关闭对话框，同时圆的直径尺寸被修改为100mm。用同样的方法修改第二个圆的直径尺寸为50mm。修改尺寸后的圆如图11-10所示。 图11－8标注直径尺寸的圆草图 图11－9【约束定义】对话框 （4）离开【草图绘制器】工作台 点击【工作台】工具栏内的【退出工作台】按钮，如图11-11所示。退出【草图绘制器】工作台，进入【零部件设计】工作台。
1、何为有限元法？其基本思想是什么? 有限元法是一种基于变分法而发展起来的求解微分方程的数值计算方法，该方法以计算机为手段，采用分片近似，进而逼近整体的研究思想求解物理问题。 基本思想是化整为零集零为整。 2、为什么说有限元法是近似的方法，体现在哪里? 有两点：用离散单元的组合体来逼近原始结构，体现了几何上的近似；而用近似函数逼近未知变量在单元内的真实解，体现了数学上的近似。 3、单元、节点的概念? 节点：表达实际结构几何对象之间相互连接方式的概念 单元：网格划分中的每一个小部分称为单元，网格间相互联结点称为节点 4、有限元法分析过程可归纳为几个步骤? 结构离散化、单元分析、整体分析 5、有限元方法分几种？本课程讲授的是哪一种? 位移法、力法、混合法本课程讲授位移法 6、弹性力学的基本变量是什么？何为几何方程、物理方程及虚功方程？弹性矩阵的特点？ 弹性力学变量：外力、应力、应变和位移。 描述弹性体应变分量与位移分量之间的方程称为几何方程；物理方程描述应力分量与应变分量之间的关系；弹性体上外力在虚位移发生过程中所做的虚功与储存在弹性体内的需应变能相等。 弹性矩阵由材料的弹性模量和泊松比确定，与坐标位置无关。 7、何为平面应力问题和平面应变问题? 平面应力问题：在结构上满足a几何条件：研究对象是等厚度薄板。b载荷条件: 作用于薄板上的载荷平行于板平面且沿厚度方向均匀分布，而在两板面无外力作用。 平面应变问题：满足a几何条件：长柱体，即长度方向的尺寸远远大于横截面的尺寸，且横截面沿长度方向不变。b载荷条件：作用于长柱体结构上的载荷平行于横截面且沿纵向方向均匀分布，两端面不受力两条件的弹性力学问题。 1、何为结构的离散化？离散化的目的？何为有限元模型? ①离散化：把连续的结构看成由有限个单元组成的集合体。②目的：建立有限元计算模型③通常把由节点，单元及相应的节点载荷和节点约束构成的模型称为有限元模型 2、结构离散化时，划分单元数目的多少以及疏密分布，将直接影响到什么？确定单元数量的原则？通常如何设置节点？