有限元法基本原理复习资料
1、线性弹性力学中一般哪些基本假设 ?什么是理想弹性体？
2、线弹性材料物体内任意一点，一定存在三个相互垂直的主应力σ1、σ2、σ3，
假设材料的柏松比为μ，弹性模量为E，则三个应变ε1、ε2、ε3可以表达为：
3、弹性力学基本方程的导出，可从三方面分析：
通过平衡微分方程建立了应力、体力和面力之间的关系。
通过几何方程建立了应变、位移和边界位移之间的关系。
通过物理方程建立了应变与应力之间的关系。
4、写出并理解弹性力学的基本方程。
a．平衡微分方程：
b．几何方程：
1. 平面问题中的几何方程：
2. 空间问题的几何方程：
c、物理方程：
或者：
为体积应变
即：
简写成：{σ}=[D]{ε} 式中[D]称为弹性矩阵，它完全由弹性常数E 和μ 决定。
4、请表述如图所示边界条件：
5、如图所示的线弹性材料可以归结为：平面应力问题，其不为零的应力分量有：
6、如图所示的线弹性材料可以归结为：平面应变问题，其不为零的应变分量
有：
ε
x ，ε
y
，γ
xy
7、描述并理解平面问题的基本方程
平面应力问题和平面应变问题都只有8 个独立的未知量，它们只是x 和y 的函数，因此统称平面问题。
1. 平面问题的平衡微分方程
2. 平面问题中的几何方程：
3. a.平面应力问题中的物理方程：
记作{σ}=[D]{ε} 其中[D]为弹性矩阵。
b.平面应变问题中的物理方程：
记作{σ}=[D]{ε} 其中[D]为弹性矩阵。
比较两种平面问题的弹性矩阵，可以发现，将平面应力问题物理方程中的弹性常数E 、μ 换成就可得到平面应变问题物理方程。
8、结构的分类与基本特征
（1） 按结构在空间的位置分
结构可分为平面结构和空间结构两大类
(2) 按结构元件的几何特征分
① 杆系结构：梁、拱、桁架、刚架、桁构结构等 。 ② 板壳结构
③ 实体结构实体结构的长、宽、高三个尺寸都很大，具有同一量级。 ④ 混合结构 (3) 按结构自由度分
① 静定结构——自由度为零的几何不变结构。 ② 超静定结构——自由度小于零的几何不变结构。
9、结构对称性的利用
对称结构在正对称载荷下，对称轴截面上只能产生正对称的位移，反对称的位移为零；对称结构在反对称载荷下，对称轴截面上只有反对称的位移，正对称的位移为零。 10、自由度计算公式 (1)桁架自由度计算公式
桁架中的结点数为j ，杆件数为g ，支座链杆数为z ，则桁架的自由度W 为
平面桁架
空间桁架
(2) 平面混合结构的自由度计算公式
设单铰数为j ，杆件（刚片）数为m ，支座链杆数为z ，则：
一个平面体系的自由度计算结果，不外下述三种可能：
a. W ＞0 表明结构缺少必要的约束， 可运动， 故结构必定是几何可变体系。
b. W =0 表明结构具有保证几何不变所需的最少的约束数。
c. W ＜0 表明结构具有多余约束。
11、平面结构几何构造分析（判定结构的几何不变性）
z
g j W --=3z g j W --=2z
j m W --=23
12、空间结构几何构造分析（判定空间结构的几何不变性）
13、弹性力学边值问题的基本解法？
根据弹性力学基本方程，只要给出边界条件，理论上完全可以解出空间问题共十五个未知量，平面问题八个未知量。这种问题在数学上叫做微分方程的边值问题。
三种基本解法：
按应力求解：按应力求解以应力分量为基本未知函数，先求应力分量，再求其它未知量，是超静定问题，需要补充变形协调条件。
按位移求解：以位移分量为基本未知函数，此时应通过物理方程和几何方程将平衡微分方程改用位移分量表达。应力边界条件也可以用位移分量表达，按位移求解时，弹性力学问题可以包括位移边界条件和应力边界条件。
混合求解：以一部分应力分量为基本未知量，再以一部分位移分量为基本未知量，即建立变形协调方程，又建立内力平衡方程，最后加以求解。
14、什么是虚位移原理？
虚位移原理：物体平衡时，作用在物体上的所有外力在物体所能发生的任何一组虚位移上所作虚功的代数和等于零。
15、什么是虚功方程？
矩阵表达式为
式中{δ*}为虚位移列阵，{F}为外力列阵，{ε*}为虚应变列阵，{σ}为应力列阵。
16、什么是位移变分方程，也称拉格朗日变分方程？
17、什么是极小势能原理？
对于稳定平衡状态，实际发生的位移使弹性体的势能取极小值。
极小势能原理与虚功方程、拉格朗日变分方程是完全等价的。
18、有限元法求解问题的基本步骤？
1．建立几何模型
2．连续体离散化
3．单元分析
4．整体分析和
5．边界条件的处理
6．施加载荷
7、有限元方程求解
8．结果后处理和分析
19、主要的单元类型有哪些？
杆状单元：包括平面（空间）杆单元、梁单元
平面单元：常见的平面单元有三角形单元和四边形单元，矩形单元是经常采用的特殊的四边形单元。
?弹性力学平面问题根据其应力与应变特点分为平面应力问题和平面应变问题，在进行有限元分析时他们所采用的基本单元是相同的，区别仅在于弹性矩阵不同。
?平面单元属于二维单元，只能承受单元平面内的分布力和集中力，不能承受面外载荷。
薄板弯曲单元和薄板单元：
薄板弯曲单元通常也有三角形单元和四边形单元两种，矩形单元为后者的特
殊形式，通常三角形单元有三个节点，四边形单元有四个节点。主要承受横向载荷和绕水平轴的弯矩。
多面体单元：
常用的三维多面体单元有四节点四面体单元和八节点六面体单元，六面体单元有规则六面体和不规则六面体。 20、什么是等参单元？
把单元形状的变化和单元内位移函数的变化用相同数目的节点参数和相同的插值函数进行变换，即所谓等参变换，采用等参变换的单元称为等参单元。 21、什么条件下可以按轴对称问题处理？
在一些实际问题中，如飞轮、转轴、活塞、汽缸套等都是回转结构，如果约束条件和载荷都对称于回转轴，其应力、应变和位移也都对称于回转轴线，这类应力应变问题称为轴对称问题。 22、如何构建单元插值函数？
在有限元分析中一般都采用多项式作为插值函数，多项式的项数由所选取的单元和单元的节点数决定。
23、掌握三角形三节点单元和四节点四边形单元的插值函数和形函数的构造和推导。
三角形三节点单元： 三角形插值函数：
代入节点坐标点1（a ，0），点2（a ，a ），点3（0，0），
1
2
3
?????++=++=y
a x a a v y a x a a u e e
654321???????????==++=++=+=+=4
313
65423212541211a v a
u a a a a a v a a a a a u a
a a v a
a a u e e e
e e
e
解得：
故
所以
即：
其中：
写成矩阵形式：
其中：
根据根据平面问题几何方程：
???????????-=-==-=-==a
v v a a
v v a v a a u u a a u u a u a e e e e e e e e
e e
/)(/)(/)(/)(126315
3
412331231???
???
?-++-=-++-=e
e e e e e
e e v a x v a y v a y x v u a x u a y u a y x u 321321)1()1(?????++=++=e e e e e
e e e v N v N v N v u N u N u N u 3
32211332211?????-+-+=-+-+=a
y v v a x v v v v a y u u a x u u u u e e e e e e e
e e e e e /)(/)(/)(/)(1231312313??
?
?
?
?
???
-==
-=a x N a y N a y x N 1321[]{}e e e
N v u δ=??
????????[][]
321,,N N N N ={}[]{}[]{}e
e xy y x B B B B δδγεεε==?
?
?
???????=321,,
其中：
[]1
2
3=B B B B
根据平面应力问题的物理方程
其中式中[S]=[D][B]为应力矩阵，[D]为弹性矩阵
四节点四边形单元
设节点坐标为：i （-a,-b ）, j(a,-b), l(a,b), m(-a,b) 四边形插值函数：
单元内任一点位移与节点位移之间的关系可以表达为
可以推导出其形函数为：
a a a
a a
B --=00
1210
00
01
2
2a a a B =
a
a a
B --=00
001
232
20021a a a
a a E
S -
-=02
00022a
a
a E
S -=2
0002
3a
a
a a
E S -
-=?????+++=+++=xy
a y a x a a v xy
a y a x a a u e
e
87654321
?上式如果令：
?
?
?形函数可写如下成无量纲形式
则：
根据弹性力学平面问
题几何方程，
其中，
代入无量纲插值函数，
其中：
根据弹性力学平面问题的物理方程：
一．是非题（认为该题正确，在括号中打；该题错误，在括号中打×。）(每小题2分) （1）用加权余量法求解微分方程，其权函数V和场函数u的选择没有任何限制。（×）（2）四结点四边形等参单元的位移插值函数是坐标x、y的一次函数。（√）（3）在三角形单元中，其面积坐标的值与三结点三角形单元的结点形函数值相等。（√）（4）二维弹性力学问题的有限元法求解，其收敛准则要求试探位移函数C1连续。（×）（5）有限元位移法求得的应力结果通常比应变结果精度低。（×）（6）等参单元中Jacobi行列式的值不能等于零。（√）（7）在位移型有限元中，单元交界面上的应力是严格满足平衡条件的。（×）（8）四边形单元的Jacobi行列式是常数。（×）（9）利用高斯点的应力进行应力精度的改善时，可以采用与位移插值函数不同结点的形函数进行应力插值。（√）（10）一维变带宽存储通常比二维等带宽存储更节省存储量。（√） 二．单项选择题（共20分，每小题2分）C B B C B C D C C C 1 在加权余量法中，若简单地利用近似解的试探函数序列作为权函数，这类方法称为 ____C__________。 （A）配点法（B）子域法（C）伽辽金法 2 等参变换是指单元坐标变换和函数插值采用__B____的结点和______的插值函数。（A）不相同，不相同（B）相同，相同（C）相同，不相同（D）不相同，相同 3 有限元位移模式中，广义坐标的个数应与_____B______相等。 （A）单元结点个数（B）单元结点自由度数（C）场变量个数 4 采用位移元计算得到应力近似解与精确解相比较，一般______C_____。 （A）近似解总小于精确解（B）近似解总大于精确解（C）近似解在精确解上下震荡（D）没有规律 5 如果出现在泛函中场函数的最高阶导数是m阶，单元的完备性是指试探函数必须至少 是__B____完全多项式。 （A）m-1次（B）m次（C）2m-1次 6 与高斯消去法相比，高斯约当消去法将系数矩阵化成了____C_____形式，因此，不用 进行回代计算。 （A）上三角矩阵（B）下三角矩阵（C）对角矩阵 7 对称荷载在对称面上引起的________D________分量为零。 （A）对称应力（B）反对称应力（C）对称位移（D）反对称位移 8 对分析物体划分好单元后，______C____会对刚度矩阵的半带宽产生影响。 （A）单元编号（B）单元组集次序（C）结点编号 9 n个积分点的高斯积分的精度可达到__C____阶。 （A）n-1 （B）n（C）2n-1 （D）2n 10 引入位移边界条件是为了消除有限元整体刚度矩阵K的____C______。 （A）对称性（B）稀疏性（C）奇异性 三．简答题（共20分，每题5分） 1、简述有限单元法结构刚度矩阵的特点。 （1）对称性；（2）奇异性；（3）主对角元恒正；（4）稀疏性；（5）非零元素带状分布
《有限元基础》期末测试 一、结构线性静力分析 如图所示的托架，其顶面承受2 lbf in的均匀分布载荷。托架通过有孔的表面 50/ ν=，托架尺固定在墙上，托架是钢制的，弹性模量6 =?，泊松比0.3 E psi 2910 寸如图，单位为英寸。试通过ANSYS求其变形图及von Mises应力分布图。 对题目分析。进行建模，网格划分 托架网格图
施加约束后，就可以对实体进行加载求解， 托架变形图 托架变形图输出的是原型托架和施加载荷后托架变形图的对比，
虚线部分即为托架的原型，托架变形图可看出，由于载荷的作用，托架上面板明显变形了，变形最严重的就是红色部分，这是因为其离托板就远，没有任何物体与其分担载荷，故其较容易变形甚至折断。这是我们在应用托架的时候应当注意的。 节点位移图
托架von Mises 应力分布图
上面两个图为托架的应力分布图，由图可看出主要在两孔处出现应力集中，也就是说这些地方所受的应力的最大的，比较容易出现裂痕。我们在应用托架的时候，应当注意采取一些设施，以便减缓其应力集中。特别是在施加载荷时，绝对不能够超过托架所能承受的极限，否则必将导致事故的发生。 二、动力分析 如图1有一梁板结构，板的四角由四根梁固定支撑，板质量集中于中央。梁板材料相关参数为弹性模量112210/E N m =?，泊松比0.3ν=，密度 337.810/kg m ρ=?。板的厚度0.02t =，板长2000L mm =，宽1000B mm =，板的质量100M kg =。梁长1000h mm =，截面面积为42210A m -=?，惯性矩为 84210J m -=?，现在板的表面施加均匀压力载荷如图2。试研究该梁板结构的瞬 态动力响应。 图 1 图2
有限元复习题及答案 填空题 1、有限元法是近似求解（连续）场问题的数值方法。 2、有限元法将连续的求解域（离散），得到有限个单元，单元与单元之间用（节点）相连。 3、从选择未知量的角度看，有限元法可分为三类（）。 4、以（）为基本未知量的求解方法称为位移量。 5、以（）为基本未知量的求解方法称为力法。 7、直梁在外力作用下，横截面上的内力有（）和（）两个。 8、平面刚架结构在外力作用下，横截面上的内力有（）、（）、（）。 9、进行直梁有限元分析，节点位移有（转角）、（挠度）。 10、平面刚架有限元分析，节点位移有（）、（）、（）。 11、在弹性和小变形下，节点力和节点位移关系是（）。 12、弹性力学问题的方程个数有（）个，未知量个数有()个。 13、弹性力学平面问题方程个数有（），未知数（）个。 15h、几何方程是研究（）和（）关系的方程。 16、物理方程描述（）和（）关系的方程。 17、平衡方程反映（）和（）关系的方程。 18、把进过物体内任意一点各个（）上的应力状况叫做（）的应力状态。 19、形函数在单元节点上的值，具有本点为（），他点为零的性质，并在三角形单元的后一节点上，三个形函数之和为（）。 20、形函数是（定义于）单元内部坐标的（连续）函数，它反映了单元的（位移）状态。 21、节点编号时，同一单元相邻节点的（）尽量小。 25、单元刚度矩阵描述了（）和（）之间的关系。 矩形单元边界上位移是（）变化的。 选择题 1、从选择未知量的角度来看，有限元法可分为三类，下面那种方法不属于其中（）。 A、力法 B、位移法 C、应变法 D、混合法 2、下面对有限元法特点的叙述中，哪种说法是错误的（）。 A、可以模拟各种几何形状负责的结构，得出其近似值。 B、解题步骤可以系统化，标准化。 C、容易处理非均匀连续介质，可以求解非线性问题。
西安交通大学 级研究生课程考试试题 考试（查）科目：有限元方法（II ）时间 年 月 日下午 一、4 ) 4,4(),()5,5(),()2,6(),()2,2(),(4 4332211====y x ， y x ，y x ， y x 母体单元为22?的正方形，如图所示。 求：（1）单元坐标变换()(ξηξ,,, y y x x == （2）变换的Jacobi 行列式detJ 的解析表达式，并分析该变换是否存在奇异性（8分）。 二、分析以下两种单元的位移场是否具备收敛到真实解所需的各项条件。（30） （1） 13结点矩形平面应力单元 结点参数取为：)13~ 1( ,=i v u i i 位移场为： 3 132 2 123 113 102 92 83726524321xy y x y x y xy y x x y xy x y x u ααααααααααααα++++++++++++= 3 262 2 253 243 232 222 2132021918217161514xy y x y x y xy y x x y xy x y x v ααααααααααααα++++++++++++=（2） 6自由度三角形薄板弯曲单元 结点参数取为： ()3~1=i w i ()6~4=??? ????i n w i 位移场为： 2 652 4321y xy x y x w αααααα+++++= 三、13结点平面应力单元如图所示， 在计算单元刚度矩阵时取图示的9个 积分点。试分析在单元一级是否存在 出现零变形能位移模式的可能性。 ,u x 7 8 10 9 11 12 1 2 3 4 5 6
一．是非题（认为该题正确，在括号中打√；该题错误，在括号中打×。）(每小题2分) （1）用加权余量法求解微分方程，其权函数V和场函数u的选择没有任何限制。（）（2）四结点四边形等参单元的位移插值函数是坐标x、y的一次函数。（）（3）在三角形单元中，其面积坐标的值与三结点三角形单元的结点形函数值相等。（）（4）二维弹性力学问题的有限元法求解，其收敛准则要求试探位移函数C1连续。（）（5）有限元位移法求得的应力结果通常比应变结果精度低。（）（6）等参单元中Jacobi行列式的值不能等于零。（）（7）在位移型有限元中，单元交界面上的应力是严格满足平衡条件的。（）（8）四边形单元的Jacobi行列式是常数。（）（9）利用高斯点的应力进行应力精度的改善时，可以采用与位移插值函数不同结点的形函数进行应力插值。（）（10）一维变带宽存储通常比二维等带宽存储更节省存储量。（） 二．单项选择题（共20分，每小题2分） 1 在加权余量法中，若简单地利用近似解的试探函数序列作为权函数，这类方法称为 ________________。 （A）配点法（B）子域法（C）伽辽金法 2 等参变换是指单元坐标变换和函数插值采用______的结点和______的插值函数。 （A）不相同，不相同（B）相同，相同（C）相同，不相同（D）不相同，相同 3 有限元位移模式中，广义坐标的个数应与___________相等。 （A）单元结点个数（B）单元结点自由度数（C）场变量个数 4 采用位移元计算得到应力近似解与精确解相比较，一般___________。 （A）近似解总小于精确解（B）近似解总大于精确解（C）近似解在精确解上下震荡（D）没有规律 5 如果出现在泛函中场函数的最高阶导数是m阶，单元的完备性是指试探函数必须至少 是______完全多项式。 （A）m-1次（B）m次（C）2m-1次 6 与高斯消去法相比，高斯约当消去法将系数矩阵化成了_________形式，因此，不用进 行回代计算。 （A）上三角矩阵（B）下三角矩阵（C）对角矩阵 7 对称荷载在对称面上引起的________________分量为零。 （A）对称应力（B）反对称应力（C）对称位移（D）反对称位移 8 对分析物体划分好单元后，__________会对刚度矩阵的半带宽产生影响。 （A）单元编号（B）单元组集次序（C）结点编号 9 n个积分点的高斯积分的精度可达到______阶。 （A）n-1 （B）n（C）2n-1 （D）2n 10 引入位移边界条件是为了消除有限元整体刚度矩阵K的__________。 （A）对称性（B）稀疏性（C）奇异性 三．简答题（共20分，每题5分） 1、简述有限单元法结构刚度矩阵的特点。 2、简述有限元法中选取单元位移函数（多项式）的一般原则。 3、简述有限单元法的收敛性准则。
1．针对下图所示的3个三角形元，写出用完整多项式描述的位移模式表达式。 2．如下图所示，求下列情况的带宽: a)4结点四边形元； b)2结点线性杆元。 3．对上题图诸结点制定一种结点编号的方法，使所得带宽更小。图左下角的四边形在两种不同编号方式下，单元的带宽分别是多大 4．下图所示，若单元是2结点线性杆单元，勾画出组装总刚后总刚空间轮廓线。系统的带宽是多大按一右一左重新编号（即6变成3等）后，重复以上运算。
5．设杆件1－2受轴向力作用，截面积为A，长度为L，弹性模量为E，试写出 杆端力F 1，F 2 与杆端位移 2 1 ,u u之间的关系式，并求出杆件的单元刚度矩阵)(] [e k 6．设阶梯形杆件由两个等截面杆件○1与○2所组成，试写出三个结点1、2、3的 结点轴向力F 1，F 2 ，F 3 与结点轴向位移 3 2 1 , ,u u u之间的整体刚度矩阵[K]。 7．在上题的阶梯形杆件中，设结点3为固定端，结点1作用轴向载荷F 1 =P，求各结点的轴向位移和各杆的轴力。
8． 下图所示为平面桁架中的任一单元，y x ,为局部坐标系，x ，y 为总体坐标系，x 轴与x 轴的夹角为θ。 （1） 求在局部坐标系中的单元刚度矩阵 )(][e k （2） 求单元的坐标转换矩阵 [T]； （3） 求在总体坐标系中的单元刚度矩阵 )(][e k 9．如图所示一个直角三角形桁架，已知27/103cm N E ?=，两个直角边长度 cm l 100=，各杆截面面积210cm A =，求整体刚度矩阵[K]。
10．设上题中的桁架的支承情况和载荷情况如下图所示，按有限元素法求出各结点的位移与各杆的力。 11．进行结点编号时，如果把所有固定端处的结点编在最后，那么在引入边界条件时是否会更简便些 12．针对下图所示的3结点三角形单元，同一网格的两种不同的编号方式，单元的带宽分别是多大
一判断题节点的位置依赖于形态而并不依赖于载荷的位置√2. 对于高压电线的铁塔那样的框架结构的模型化处理使用梁单元×3. 不能把梁单元、壳单元和实体单元混合在一起作成模型√4. 四边形的平面单元尽可能作成接近正方形形状的单元×5. 平面应变单元也好平面应力单元也好如果以单位厚来作模型化处理的话会得到一样的答案×6. 用有限元法不可以对运动的物体的结构进行静力分析√7. 一般应力变化大的地方单元尺寸要划的小才好×8. 所谓全约束只要将位移自由度约束住而不必约束转动自由度√9. 同一载荷作用下的结构所给材料的弹性模量越大则变形值越小√10一维变带宽存储通常比二维等带宽存储更节省存储量。二、填空平面应力问题与薄板弯曲问题的弹性体几何形状都是薄板但前者受力特点是平行于板面且沿厚度均布载荷作用变形发生在板面内后者受力特点是垂直于板面的力的作用板将变成有弯有扭的曲面。平面应力问题与平面应变问题都具有三个独立的应力分量三个独立的应变分量但对应的弹性体几何形状前者为薄板后者为长柱体。位移模式需反映刚体位移反映常变形满足单元边界上位移连续。单元刚度矩阵的特点有对称性奇异性还可按节点分块。轴对称问题单元形状为三角形或四边形截面的空间环形单元由于轴对称的特性任意一点变形只发生在子午面上因此可以作为二维问题处理。等参数单元指的是描述位移和描述坐标采用相同的形函数形式。等参数单元优点是可以采用高阶次位移模式能够模拟复杂几何边界方便单元刚度矩阵和等效节点载荷的积分运算。有限单元法首先求出的解是节点位移单元应力可由它求得其计算公式为。8、一个空间块体单元的节点有 3 个节点位移变形体基本变量有位移应变应力基本方程平衡方程物理方程几何方程10.实现有限元分析标准化和规范化的载体就是单元 三选择题分等参变换是指单元坐标变换和函数插值采用__B___的结点和______ 的插值函数。不相同不相同相同相同相同不相同不相同 相同2 有限元位移模式中广义坐标的个数应与_______B____相等。单元结点个数 单元结点自由度数场变量个数 3 如果出现在泛函中场函数的最高阶导数是m阶单元的完备性是指试探函数必须至少是___B___完全多项式。-1次 次-1次 4 与高斯消去法相比高斯约当消去法将系数矩阵化成了____C_____形式因此不用进行回代计算。上三角矩阵下三角矩阵对角矩阵5 对分析物体划分好单元后会对刚度矩阵的半带宽产生影响。单元编号单元组集次序结点编号6 n个积分点的高斯积分的精度可达到__C____阶。--引入位移边界条件是为了消除有限元整 体刚度矩阵的_____C_____。对称性稀疏性奇异性三简答题 共20分每题5分、简述有限单元法结构刚度矩阵的特点。2、简述有限元法中选取单元位移函数多项式的一般原则。1、答答对前3个给4分对称性 奇异性主对角元恒正稀疏性非零元素带状分布2、答一般原则有(1) 广义坐标的个数应该与结点自由度数相等选取多项式时常数项和坐标的一次项必须完备多项式的选取应由低阶到高阶尽量选取完全多项式以提高单元的精度。有限元方法分析的目的对变形体中的位移、应力、应变进行定义和表达进而建立平衡方程、几何方程和物理方程。2)针对具有任意复杂几何形状的变形体完整得获取在复杂外力作用下它内部的准确力学信息。3)力学分析的基础上对设计对象进行强度(strength)、刚度评判修改、优化参数。有限单元法分析步骤1、结构的离散化2、选择位移模式3 、分析单元的力学特性4、集合所有单元平衡方程得到整体结构的平衡方程5、由平衡方程求解未知节点位移6、单元应变和应力的计算4连续体结构分析的基本假定连续性假设完全弹性假设均匀性假设
一 判断题（20分） （×）1. 节点的位置依赖于形态，而并不依赖于载荷的位置 （√）2. 对于高压电线的铁塔那样的框架结构的模型化处理使用梁单元 （×）3. 不能把梁单元、壳单元和实体单元混合在一起作成模型 （√）4. 四边形的平面单元尽可能作成接近正方形形状的单元 （×）5. 平面应变单元也好，平面应力单元也好，如果以单位厚来作模型化 处理的话会得到一样的答案 （×）6. 用有限元法不可以对运动的物体的结构进行静力分析 （√）7. 一般应力变化大的地方单元尺寸要划的小才好 （×）8. 所谓全约束只要将位移自由度约束住，而不必约束转动自由度 （√）9. 同一载荷作用下的结构，所给材料的弹性模量越大则变形值越小 （√）10一维变带宽存储通常比二维等带宽存储更节省存储量。 二、填空（20分） 1．平面应力问题与薄板弯曲问题的弹性体几何形状都是 薄板 ，但前者受力特点是： 平行于板面且沿厚度均布载荷作用 ，变形发生在板面内； 后者受力特点是： 垂直于板面 的力的作用，板将变成有弯有扭的曲面。 2．平面应力问题与平面应变问题都具有三个独立的应力分量： σx ，σy ，τxy ，三个独立的应变分量：εx ，εy ，γxy ，但对应的弹性体几何形状前者为 薄板 ，后者为 长柱体 。3．位移模式需反映 刚体位移 ，反映 常变形 ，满足 单元边界上位移连续 。 4．单元刚度矩阵的特点有：对称性 ， 奇异性 ，还可按节点分块。 5．轴对称问题单元形状为：三角形或四边形截面的空间环形单元 ，由于轴对称的特性，任意一点变形只发生在子午面上，因此可以作为 二 维问题处理。 6．等参数单元指的是：描述位移和描述坐标采用相同的形函数形式。等参数单元优点是：可以采用高阶次位移模式，能够模拟复杂几何边界，方便单元刚度矩阵和等效节点载荷的积分运算。 7．有限单元法首先求出的解是 节点位移 ，单元应力可由它求得，其计算公式为 {}{} [][]e D B σδ=。（用符号表示即可） 8．一个空间块体单元的节点有 3 个节点位移： u ，v ，w 9．变形体基本变量有位移应变应力 基本方程 平衡方程 物理方程 几何方程 10.实现有限元分析标准化和规范化的载体就是单元
《汽车有限元基础》2009-2010二学期考试试卷
《汽车有限元基础》2009-2010第二学期考试试卷 一、填空题 1. 有限元法的基本思想是用个单元的集合来代替原来具有个自由 度的连续体。 2. 单元刚度矩阵K中元素K ij的物理意义：当单元第j个自由度产生而其它自由度固定时，在第i个自由度产生的。 3．按照各杆轴线及外力作用线在空间的位置，杆系结构可分为： 和。4．平面刚架中各单元发生轴向拉压变形及面内的弯曲变形，而且这两种变形相互独立，因此刚架单元可以看成是由单元和单元叠加而成。因此，平面刚架单元的节点位移应包含个平动分量和个转动分量。 5．工程中常用的薄板单元有：单元和单元。6．有限元分析的主要步骤先后为：(1) 网格划分, (2) , (3) 。 7. 单元特性分析的主要内容先后为：(1) 、(2) 、(3) 应力或内力、(4) 、(5) 单元节点载荷。 8．对于弹性变形体，承受的外载荷共有三种：集中载荷、和。在有限元法中，对于没有作用在节点上的这些外载荷，是按照的原则将其移置到节点上。 9．工程中任一平板，若其厚度为t，板面宽度为b，当t/b小于时可以认为是薄板。常用的薄板单元有：单元和单元。10．薄壳单元中的应力可看成平面应力问题和问题中两种应力的叠加。 11．求解结构系统的动力响应时，常用的两种求解方法为：和 12．在有限元分析中，为了描述几何模型和有限元模型，需要用到几种坐标系： (1) (2) (3) 和(4)
《汽车有限元基础》2009-2010第二学期考试试卷 二、 问答题 1．某一薄板矩形单元的节点编号按照逆时针依次为i 、j 、m 和p 。假设该单元每个节点的位移表示为{}{}T yi xi i i w θθδ=， (i, j, m, p )；该单元每个节点的载荷表示为{}{}T iy ix i i T T Z F θθ=，(i, j, m, p )。请写出该单元的单元节点位移列阵和单元 节点载荷列阵。 2．请写出使用有限元分析软件时，进行数据前处理的主要工作内容。 3．右下图为一典型三节点三角形平面单元，节点按照逆时针依次编号为i 、j 和m ，节点的坐标依次为(x i ，y i )，(x j ，y j )、（x m ，y m ）。假设单元内任意一点的两个位移分量分别表示u 和v 。请写出该单元位移模式的多项式形式，并简述待定常数个数的确定理由。 4. 请简述针对动力问题的有限元分析的基本步骤。
有限元试题及答案
一判断题（20分） （×）1. 节点的位置依赖于形态，而并不依赖于载荷的位置 （√）2. 对于高压电线的铁塔那样的框架结构的模型化处理使用梁单元 （×）3. 不能把梁单元、壳单元和实体单元混合在一起作成模型 （√）4. 四边形的平面单元尽可能作成接近正方形形状的单元 （×）5. 平面应变单元也好，平面应力单元也好，如果以单位厚来作模型化 处理的话会得到一样的答案 （×）6. 用有限元法不可以对运动的物体的结构进行静力分析 （√）7. 一般应力变化大的地方单元尺寸要划的小才好 （×）8. 所谓全约束只要将位移自由度约束住，而不必约束转动自由度 （√）9. 同一载荷作用下的结构，所给材料的弹性模量越大则变形值越小（√）10一维变带宽存储通常比二维等带宽存储更节省存储量。 二、填空（20分） 1．平面应力问题与薄板弯曲问题的弹性体几何形状都是薄板，但前者受力特点是：平行于板面且沿厚度均布载荷作用，变形发生在板面内； 后者受力特点是：垂直于板面的力的作用，板将变成有弯有扭的曲面。 2．平面应力问题与平面应变问题都具有三个独立的应力分量：σx，σy，τxy ，三个独立的应变分量：εx，εy，γxy，但对应的弹性体几何形状前者为薄板，后者为长柱体。3．位移模式需反映刚体位移，反映常变形，满足单元边界上位移连续。 4．单元刚度矩阵的特点有：对称性，奇异性，还可按节点分块。
5．轴对称问题单元形状为：三角形或四边形截面的空间环形单元，由于轴对称的特性，任意一点变形只发生在子午面上，因此可以作为二维问题处理。6．等参数单元指的是：描述位移和描述坐标采用相同的形函数形式。等参数单元优点是：可以采用高阶次位移模式，能够模拟复杂几何边界，方便单元刚度矩阵和等效节点载荷的积分运算。 7．有限单元法首先求出的解是节点位移，单元应力可由它求得，其计算公式为。（用符号表示即可） 8．一个空间块体单元的节点有 3 个节点位移： u，v，w 9．变形体基本变量有位移应变应力基本方程平衡方程物理方程几何方程 10.实现有限元分析标准化和规范化的载体就是单元
有限元复习 一、选择题（每题1分，共10分） 二、判断题（每空1分，共10分） 三、填空题（每空1分，共10分） 三、简答题（共44分）共6题 四、综述题（共26分）两题 一．基本概念 1. 平面应力/平面应变问题；空间问题/轴对称问题；杆梁问题；线 性与非线性问题 平面应力问题 （1） 均匀薄板（2）载荷平行于板面且沿厚度方向均匀分布 在六个应力分量中，只需要研究剩下的平行于XOY 平面的三个应力分量，即x y xy yx σσττ=、、 （000z zx xz zy yz σττττ=====，，）。 一般0z σ=，z ε并不一定等于零，但可由x σ及y σ求得，在分析问题时不必考虑。于是只需要考虑 x y xy εεγ、、三个应变分量即可。 平面应变问题
（1） 纵向很长，且横截面沿纵向不变。（2）载荷平行于横截面且沿纵向 均匀分布 z yz zx εγγ===只剩下三个应变分量x y xy εεγ、、。也只需要考虑x y xy σστ、、三个应力分量即可 轴对称问题 物体的几何形状、约束情况及所受外力都对称于空间的某一根轴。 轴对称单元的特点（与平面三角形单元的区别）：轴对称单元为圆环体，单元与单元间为节圆相连接；节点力与节点载荷是施加于节圆上的均布力；单元边界是一回转面；应变不是常量。 在轴对称问题中，周向应变分量θε是与r 有关。 板壳问题 一个方向的尺寸比另外两个方向尺寸小很多，且能承受弯矩的结构称为板壳结构，并把平分板壳结构上下表面的面称为中面。如果中面是平面或平面组成的折平面，则称为平板；反之，中面为曲面的称为壳。 杆梁问题 杆梁结构是指长度远大于其横断面尺寸的构件组成的系统。在结构力学中常将承受轴力或扭矩的杆件称为杆，而将承受横向力和弯矩的杆件称为梁。 平面（应力应变）问题与板壳问题的区别与联系 平面应力问题是指很薄的等厚度薄板，只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的面力，同时，体力也平行于板面并且不沿厚度变化。而平面应变问题是指很长的柱形体，在柱面上受有平行于横截面并且不沿长度变化的面力，同时
有限元法基础试题（A ） 一、填空题（5×2分） 1.1单元刚度矩阵e T k B DBd Ω = Ω? 中，矩阵B 为__________，矩阵D 为___________。 1.2边界条件通常有两类。通常发生在位置完全固定不能转动的情况为_______边界，具体指定有限的非零值位移的情况，如支撑的下沉，称为_______边界。 1.3内部微元体上外力总虚功： ()(),,,,e x x xy y bx xy x y y by d W F u F v dxdy δστδτσδ??=+++++??+(),,,,x x y y xy y x u v u u dxdy σδσδτδδ??+++??的表达式中，第一项为____________________的虚功，第二项为____________________的虚功。 1.4弹簧单元的位移函数1N +2N =_________。 1.5 ij k 数学表达式：令j d =_____，k d =_____，k j ≠，则力i ij F k =。 二、判断题（5×2分） 2.1位移函数的假设合理与否将直接影响到有限元分析的计算精度、效率和可靠性。（ ） 2.2变形体虚功原理适用于一切结构（一维杆系、二维板、三位块体）、适用于任何力学行为的材料（线性和非线性），是变形体力学的普遍原理。 （ ） 2.3变形体虚功原理要求力系平衡，要求虚位移协调，是在“平衡、协调”前提下功的恒等关系。 （ ） 2.4常应变三角单元中变形矩阵是x 或y 的函数。 （ ） 2.5 对称单元中变形矩阵是x 或y 的函数。 （ ） 三、简答题（26分） 3.1列举有限元法的优点。（8分） 3.2写出有限单元法的分析过程。（8分） 3.3列出3种普通的有限元单元类型。（6分） 3.4简要阐述变形体虚位移原理。（4分） 四、计算题（54分） 4.1对于下图所示的弹簧组合，单元①的弹簧常数为10000N/m ，单元②的弹簧常数为20000N/m ，单元③的弹簧常数为10000N/m ，确定各节点位移、反力以及单元②的单元力。（10分） 4.2对于如图所示的杆组装，弹性模量E 为10GPa ，杆单元长L 均为2m ，横截面面积A 均为2×10-4m 2，弹簧常数为2000kN/m ，所受荷载如图。采用直接刚度法确定节点位移、作用力和单元②的应力。（10分）
1.针对下图所示的3个三角形元,写出用完整多项式描述的位移模式表达式。 ２.如下图所示,求下列情况的带宽: a)4结点四边形元; b)2结点线性杆元。 ３、对上题图诸结点制定一种结点编号的方法,使所得带宽更小。图左下角的四边形在两种不同编号方式下,单元的带宽分别就是多大? 4、下图所示,若单元就是2结点线性杆单元,勾画出组装总刚后总刚空间轮廓线。系统的带宽就是多大?按一右一左重新编号(即6变成3等)后,重复以上运算。
５. 设杆件1-2受轴向力作用,截面积为Ａ,长度为Ｌ,弹性模量为Ｅ,试写出杆端力Ｆ１,F 2与杆端位移21,u u 之间的关系式,并求出杆件的单元刚度矩阵)(][e k 6、设阶梯形杆件由两个等截面杆件＼o ＼a ｃ(○,1)与错误!所组成,试写出三个结点1、2、3的结点轴向力F 1,F 2,Ｆ3与结点轴向位移321,,u u u 之间的整体刚度矩阵［K]。 7. 在上题的阶梯形杆件中,设结点3为固定端,结点1作用轴向载荷F 1=Ｐ,求各结点的轴向位移与各杆的轴力。 8、 下图所示为平面桁架中的任一单元,y x ,为局部坐标系,ｘ,y 为总体坐标系,x 轴与x 轴的夹角为 。 (1) 求在局部坐标系中的单元刚度矩阵 )(][e k (2) 求单元的坐标转换矩阵 ［T]; (３) 求在总体坐标系中的单元刚度矩阵 )(][e k
９.如图所示一个直角三角形桁架,已知27/103cm N E ?=,两个直角边长度cm l 100=,各杆截面面积210cm A =,求整体刚度矩阵［K ］ 。 10. 设上题中的桁架的支承情况与载荷情况如下图所示,按有限元素法求出各结点的位移与各杆的内力。
一、 简答题（共40分，每题10分） 1. 论述单元划分应遵循的原则。 2. 说明形函数应满足的条件。 3. 说明四边形等参数单元中“等参数”的含义，即为什么要引入等参数单元。 4. 阐述边界元法的主要优缺点。 二、 计算题（共60分，每题20分） 1. 一杆件如图3所示，杆件上方固定后，在下方受垂直向下的集中力作用，已 知：杆件材料的杨氏模量2 721/100.3in lbf E E ?==，截面积2125.5in A =， 2275.3in A =，长度in L L 1221==，集中力lbf P 100=，用有限元方法求解B 点 和C 点位移。备注：（1）1 lbf （磅力，libra force ） = N 。（2）杨氏模量、弹性 模量、Young 氏弹性模量具有相同含义（10分） 2. 如图2 所示，有一正方形薄板，沿对角承受压力作用，厚度t=1m ，载荷 F=20KN/m ，设泊松比μ=0，材料的弹性模量为E ，试求它的应力分布。（15分） 学院 专业 学号 姓名 y 图1
图2 3. 图示结点三角形单元的124边作用有均布侧压力q，单元厚度为t，求单元的等效结点荷载。 图3
一、简答题 1. 答： 1）合理安排单元网格的疏密分布 2）为突出重要部位的单元二次划分 3）划分单元的个数 4）单元形状的合理性 5）不同材料界面处及荷载突变点、支承点的单元划分 6）曲线边界的处理，应尽可能减小几何误差 7）充分利用结构及载荷的对称性，以减少计算量 2. 答： 形函数应满足的三个条件： a.必须能反映单元的刚体位移，就是位移模式应反映与本单元形变无关的由 其它单元形变所引起的位移。 b.能反映单元的常量应变，所谓常量应变，就是与坐标位置无关，单元内所 有点都具有相同的应变。当单元尺寸取小时，则单元中各点的应变趋于相 等，也就是单元的形变趋于均匀，因而常量应变就成为应变的主要部分。 c.尽可能反映位移连续性；尽可能反映单元之间位移的连续性，即相邻单元 位移协调。 3. 答： 含义：所谓的等参数单元，就是在确定单元形状的插值函数和确定单元位移场的插值函数中采用了完全相同的形函数。 意义：构造出一些曲边地高精度单元，以便在给定地精度下，用数目较少地单元，解决工程实际地具体问题。 4. 答： 有限单元法是基于变分原理的里兹（Ritz）法的另一种形式，从而使里兹法分析的所有理论基础都适用子有限单元法，确认了有限单元法是处理连续介质问题的一种普遍方法．利用变分原理建立有限元方程和经典里兹法的主要区别是有限单元法假设的近似函数不是在全求解域而是在单元上规定的，面且事先不要求满足任何边界条件，因此它可以用来处理很复杂的连续介质问题。有限单元法中所利用的主要是伽辽金（Galerkin）法。它可以用于已经知道问题的微分方程和
太原理工大学有限元复习题 一、简答题 1、弹性力学和材料力学在研究对象上的区别？ 答：材料力学的研究对象是杆状构件，即长度远大于宽度和厚度的构件。弹性力学除了研究杆状构件外，还研究板、壳、块，甚 至是三维物体等。因此，弹性力 学的研究对象要广泛得多。 2、理想弹性体的五点假设？ 答：连续性假定、完全弹性假定、均匀性假定、 各向同性假定、小位移和小变形 的假定。 3、什么叫轴对称问题，采用什么坐标系分析？为 什么？ 答：如果弹性体的几何形状、约束状态以及外载 荷都对称于某一根轴，那么弹性 体所有的位移、应变和应力也都对称于这根轴， 这类问题称为轴对称问题。对于 轴对称问题，采用圆柱坐标比采用直角坐标方便 得多。当以弹性体的对称轴为Z 轴时，则所有的应力分量，应变分量和位移分量 都只与坐标r、z有关，而与θ无关。 4、梁单元和杆单元的区别？ 答：梁单元和杆单元在形状上没有多大区别，其 截面可以是任何形状，有一方向的长度远远大于 另外两个方向。主要区别是受力不同，梁单元主 要承受弯矩，杆单元主要承受轴向力。杆单元通 常用于网架、桁架的分析；而梁单元则基本上可 以适用于各种情况。 5、薄板弯曲问题与平面应力问题的区别？ 答：平面应力问题与薄板弯曲问题的弹性体几何 形状都是薄板，但前者受力特点是平行于板面且 沿厚度均布载荷，变形发生在板面内；后者受力 特点是当承受垂直于板面的载荷时，板在弯曲应 力和扭转应力作用下将变成曲面板。 6、有限单元法结构刚度矩阵的特点？ 答：主对称元素总是正的；对称性；稀疏性；奇 异性；非零元素呈带状分布。 7、有限单元法的收敛性准则？ 答：完备性要求，协调性要求。 完备性要求。如果出现在泛函中场函数的最高阶 导数是m阶，则有限元解收敛的条件之一是单元 内场函数的试探函数至少是m次完全多项式。或 者说试探函数中必须包括本身和直至m阶导数为
2012年度弹性力学与有限元分析复习题及其答案 (绝密试题) 一、填空题 1、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。 2、在弹性力学中规定，线应变以伸长时为正，缩短时为负，与正应力的正负号规定相适应。 3、在弹性力学中规定，切应变以直角变小时为正，变大时为负，与切应力的正负号规定相适应。 4、物体受外力以后，其内部将发生内力，它的集度称为应力。与物体的形变和材料强度直接有关的，是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量，也就是正应力和切应力。应力及其分量的量纲是L -1MT -2。 5、弹性力学的基本假定为连续性、完全弹性、均匀性、各向同性。 6、平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。 7、已知一点处的应力分量100=x σMPa ，50=y σMPa ，5010=xy τ MPa ，则主应力=1σ150MPa ，=2σ0MPa ，=1α6135' 。 8、已知一点处的应力分量， 200=x σMPa ，0=y σMPa ，400-=xy τ MPa ， 则主应力=1σ512 MPa ，=2σ-312 MPa ，=1α-37°57′。 9、已知一点处的应力分量，2000-=x σMPa ，1000=y σMPa ，400-=xy τ MPa ，则主应力=1σ1052 MPa ，=2σ-2052 MPa ，=1α-82°32′。 10、在弹性力学里分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程。 11、表示应力分量与体力分量之间关系的方程为平衡微分方程。 12、边界条件表示边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。 13、按应力求解平面问题时常采用逆解法和半逆解法。 14、有限单元法首先将连续体变换成为离散化结构，然后再用结构力学位移法进行求解。其具体步骤分为单元分析和整体分析两部分。 15、每个单元的位移一般总是包含着两部分：一部分是由本单元的形变引起的，另一部分是由于其他单元发生了形变而连带引起的。 16、每个单元的应变一般总是包含着两部分：一部分是与该单元中各点的位置坐标有关的，是各点不相同的，即所谓变量应变；另一部分是与位置坐标无关的，是各点相同的，即所谓常量应变。 17、为了能从有限单元法得出正确的解答，位移模式必须能反映单元的刚体位移和常量应变，还应当尽可能反映相邻单元的位移连续性。 18、为了使得单元内部的位移保持连续，必须把位移模式取为坐标的单值连续函数，为
有限元复习资料 工程问题的研究对象： 离散体：材料力学中的连续梁、建筑结构框架和桁架结构。我们把这类问题，称为离散系统。离散问题是可解的 连续体：通常可以建立它们应遵循的基本方程，即微分方程和相应的边界条件。通常只能得到少数简单问题的精确解答。对于许多实际的工程问题，还无法给出精确的解答。 有限元方法的两大应用: 科学计算或数值模拟 数字设计或虚拟仿真(CAD CAM CAE) 有限元法的实质： 将复杂的连续体划分为有限个简单的单元体，化无限自由度问题为有限自由度问题。 将连续场函数的（偏）微分方程的求解问题转化为有限个参数的代数方程组的求解问题。 有限元法的基本思路：将连续系统分割成有限个分区或单元，对每个单元提出一个近似解，再将所有单元按标准方法组合成一个与原有系统近似的系统 有限元分析的基本步骤：1）建立研究对象的近似模型。 2）将研究对象分割成有限数量的单元(结构离散化) 3）用标准方法对每个单元提出一个近似解（单元分析） （1）选择位移模式 （2）建立单元刚度矩阵 （3）计算等效节点力 4）将所有单元按标准方法组合成一个与原有系统近似的系统（单元集成） 5）用数值方法求解这个近似系统。（选择合适计算方法计算节点位移、应力、应变）6）计算结果处理与结果验证（如何显示、分析数据并找到有用的结论） 弹性力学的基本假设：（1）连续性（2）均匀性（3）各向同性（4）完全弹性符合（1）-（4）假定的称为理想弹性体。（5）小变形假定满足以上五个基本假设的弹性力学称为线弹性力学。 弹性力学中的基本量：1）外力（体力面力集中力）弹性体受外力以后，其内部将产生应力。三种外力 应力（正应力剪应力）应力成对出现，坐标面上的应力以正面正向，负面负向为正。六个应力分量 剪应力互等定律：作用在两个互相垂直的面上并且垂直于该两面交线的剪应力是互等的。(大
有限元考试试题及答案 一、简答题（5道，共计25分）。 1.有限单元位移法求解弹性力学问题的基本步骤有哪些？（5分） 答：（1）选择适当的单元类型将弹性体离散化； （2）建立单元体的位移插值函数； （3）推导单元刚度矩阵； （4）将单元刚度矩阵组装成整体刚度矩阵； （5）代入边界条件和求解。 2. 在划分网格数相同的情况下，为什么八节点四边形等参数单元精度大于四边形矩形单元？（5分） 答：在对于曲线边界的边界单元，其边界为曲边，八节点四边形等参数单元边上三个节点所确定的抛物线来代替原来的曲线，显然拟合效果比四边形矩形单元的直边好。 3.轴对称单元与平面单元有哪些区别？（5分） 答：轴对称单元是三角形或四边形截面的空间的环形单元，平面单元是三角形或四边形平面单元；轴对称单元内任意一点有四个应变分量，平面单元内任意一点非零独立应变分量有三个。 4.有限元空间问题有哪些特征？（5分） 答：（1）单元为块体形状。常用单元：四面体单元、长方体单元、直边六面体单元、曲边六面体单元、轴对称单元。（2）结点位移3个分量。（3）基本方程比平面问题多。3个平衡方程，6个几何方程，6个物理方程。 5.简述四节点四边形等参数单元的平面问题分析过程。（5）分） 答：（1）通过整体坐标系和局部坐标系的映射关系得到四节点四边形等参单元的母单元， 并选取单元的唯一模式； （2）通过坐标变换和等参元确定平面四节点四边形等参数单元的几何形状和位移模式；
（3）将四节点四边形等参数单元的位移模式代入平面问题的几何方程，得到单元应变 分量的计算式，再将单元应变代入平面问题的物理方程，得到平面四节点等参 数单元的应力矩阵； （4）用虚功原理求得单元刚度矩阵，最后用高斯积分法计算完成。 二、论述题（3道,共计30分）。 1. 简述四节点四边形等参数单元的平面问题分析过程。（10分） 答：（1）通过整体坐标系和局部坐标系的映射关系得到四节点四边形等参单元的母单元，并选取单元的唯一模式； （2） 通过坐标变换和等参元确定平面四节点四边形等参数单元的几何形状和位移模式； （3）将四节点四边形等参数单元的位移模式代入平面问题的几何方程，得到单元应变 分量的计算式，再将单元应变代入平面问题的物理方程，得到平面四节点等参 数单元的应力矩阵； （4）用虚功原理求得单元刚度矩阵，最后用高斯积分法计算完成。 2.轴对称问题的简单三角形单元是否是常应力，常应变？为什么？（10分） 答：不是常应力和常应变。 因为应变与位移分量的关系式为: ? ?????????????? ? ?????????????? ???? =????????????????????????+??????=??? ???????????=w u 010r r u r u }{rz z r r z z r r w z u z w γεεεεθ,这里除含有微分算符外，还包含了r 的倒数项1/r ,则即使位移模式为线性的，但由于该项的存在，使得应变与坐标有关， 即不会是常应变。应力应变的物理关系为{ }[]{}εσD = ，由于应变不是常应变，则所求得的应力也不会是常应力。
江西理工大学研究生考试试卷 一、 简答题（共4 0分， 每题10分） 1. 论述单元划分应遵循的原则。 2. 说明形函数应满足的条件。 3. 说明四边形等参数单元中“等参数”的含义，即为什么要引入等参数单元。 4. 阐述边界元法的主要优缺点。 二、 计算题（共60分，每题20分） 1.一杆件如图3所示，杆件上方固定后，在下方受垂直向下的集中力作用，已知：杆件材 料的杨氏模量2721/100.3in lbf E E ?==，截面积2125.5in A =，2 275.3in A =，长度 in L L 1221==，集中力lbf P 100=，用有限元方法求解B 点和C 点位移。备注：（1）1lbf （磅力，libraforce ）=。（2）杨氏模量、弹性模量、Young 氏弹性模量具有相同含义（10 分） 2.如图2 t=1m ，载荷F=20KN/m ，设泊松比μ=015分） 3.图示结点三角形单元的q ，单元厚度为t ，求单元的等效结点荷载。 学院专业学号姓名 y
图3
一、简答题 1.答： 1）合理安排单元网格的疏密分布 2）为突出重要部位的单元二次划分 3）划分单元的个数 4）单元形状的合理性 5）不同材料界面处及荷载突变点、支承点的单元划分 6）曲线边界的处理，应尽可能减小几何误差 7）充分利用结构及载荷的对称性，以减少计算量 2.答： 形函数应满足的三个条件： a.必须能反映单元的刚体位移，就是位移模式应反映与本单元形变无关的由其它单元形 变所引起的位移。 b.能反映单元的常量应变，所谓常量应变，就是与坐标位置无关，单元内所有点都具有 相同的应变。当单元尺寸取小时，则单元中各点的应变趋于相等，也就是单元的形变趋于均匀，因而常量应变就成为应变的主要部分。 c.尽可能反映位移连续性；尽可能反映单元之间位移的连续性，即相邻单元位移协调。 3.答： 含义：所谓的等参数单元，就是在确定单元形状的插值函数和确定单元位移场的插值函数中采用了完全相同的形函数。 意义：构造出一些曲边地高精度单元，以便在给定地精度下，用数目较少地单元，解决工程实际地具体问题。 4.答： 有限单元法是基于变分原理的里兹（Ritz）法的另一种形式，从而使里兹法分析的所有理论基础都适用子有限单元法，确认了有限单元法是处理连续介质问题的一种普遍方法．利用变分原理建立有限元方程和经典里兹法的主要区别是有限单元法假设的近似函数不是在全求解域而是在单元上规定的，面且事先不要求满足任何边界条件，因此它可以用来处理很复杂的连续介质问题。有限单元法中所利用的主要是伽辽金（Galerkin）法。它可以用于已经知道问题的微分方程和边界条件，但变分的泛函尚未找到或者根本不存在的情况，因而进一步扩大了有限单元法的应用领域。 三十多年来，有限单元法的应用已由弹性力学平面问题扩展到空间问题、板壳问题，由